Ev Durum

Dereceler aynı ama temeller farklı. Yetkilerin bölünmesi kuralı

Her aritmetik işlem bazen yazılamayacak kadar hantallaşır ve basitleştirmeye çalışırlar. Bir zamanlar toplama işleminde de durum böyleydi. Örneğin her biri 3 altın olan yüz İran halısının maliyetini hesaplamak için insanların aynı türden tekrar tekrar ekleme yapması gerekiyordu. 3+3+3+…+3 = 300. Ağırlığı nedeniyle notasyonun 3 * 100 = 300 olarak kısaltılmasına karar verildi. Aslında “üç kere yüz” notasyonu bir tane almanız gerektiği anlamına geliyor yüz üçlük ve bunları bir araya toplayın. Çarpma işlemi yaygınlaştı ve genel bir popülerlik kazandı. Ancak dünya yerinde durmuyor ve Orta Çağ'da aynı türden tekrar tekrar çarpma ihtiyacı ortaya çıktı. Yapılan işin ödülü olarak aşağıdaki miktarlarda buğday taneleri isteyen bir bilge hakkında eski bir Hint bilmecesini hatırlıyorum: satranç tahtasının ilk karesi için bir tane, ikinci karesi için iki, üçüncüsü için dört tane istedi, beşinci - sekiz vb. için. Güçlerin ilk çarpımı bu şekilde ortaya çıktı, çünkü tane sayısı hücre sayısının iki kuvvetine eşitti. Örneğin, son hücrede 2*2*2*...*2 = 2^63 tane bulunur, bu da 18 karakter uzunluğunda bir sayıya eşittir, aslında bilmecenin anlamı da budur.

Üs alma işlemi oldukça hızlı bir şekilde yaygınlaştı ve kuvvetlerin toplama, çıkarma, bölme ve çarpma işlemlerini gerçekleştirme ihtiyacı da hızla ortaya çıktı. İkincisi daha ayrıntılı olarak ele alınmaya değer. Güç ekleme formülleri basit ve hatırlanması kolaydır. Ayrıca kuvvet işleminin yerini çarpma işlemi alırsa nereden geldiklerini anlamak çok kolaydır. Ancak önce bazı temel terminolojiyi anlamanız gerekir. a^b ("a üzeri b'nin kuvveti" şeklinde okunur) ifadesi, a sayısının kendisiyle b kez çarpılması gerektiği anlamına gelir; "a" kuvvetinin tabanı, "b" ise kuvvet üssü olarak adlandırılır. Derecelerin tabanları aynıysa formüller oldukça basit bir şekilde türetilir. Spesifik örnek: 2^3 * 2^4 ifadesinin değerini bulun. Ne olacağını bilmek için çözüme başlamadan önce cevabı bilgisayarda bulmalısınız. Bu ifadeyi herhangi bir çevrimiçi hesap makinesine, arama motoruna, “kuvvetleri farklı tabanlarla ve aynı şekilde çarpmak” veya bir matematik paketine girdiğinizde çıktı 128 olacaktır. Şimdi bu ifadeyi yazalım: 2^3 = 2*2*2, ve 2^4 = 2 *2*2*2. 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) olduğu ortaya çıktı. Aynı tabana sahip kuvvetlerin çarpımının, önceki iki gücün toplamına eşit bir güce yükseltilen tabana eşit olduğu ortaya çıktı.

Bunun bir kaza olduğunu düşünebilirsiniz, ancak hayır: başka herhangi bir örnek yalnızca bu kuralı doğrulayabilir. Dolayısıyla genel olarak formül şu şekilde görünür: a^n * a^m = a^(n+m) . Ayrıca herhangi bir sayının sıfır üssünün bire eşit olması kuralı da vardır. Burada negatif kuvvetler kuralını hatırlamalıyız: a^(-n) = 1 / a^n. Yani 2^3 = 8 ise 2^(-3) = 1/8 olur. Bu kuralı kullanarak a^0 = 1 eşitliğinin geçerliliğini kanıtlayabilirsiniz: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^(n) azaltılabilir ve bir tane kalır. Buradan, aynı tabanlara sahip kuvvetlerin bölümünün bu tabana, bölenin ve bölenin oranına eşit olduğu kuralı çıkarılmaktadır: a^n: a^m = a^(n-m) . Örnek: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) ifadesini basitleştirin. Çarpma değişmeli bir işlemdir, bu nedenle önce çarpma üslerini eklemelisiniz: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Daha sonra negatif bir güçle bölünmeyle uğraşmanız gerekir. Bölenin üssünü bölenin üssünden çıkarmak gerekir: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Negatif bir dereceye bölme işleminin, benzer bir pozitif üsle çarpma işlemiyle aynı olduğu ortaya çıktı. Yani son cevap 8'dir.

Kanonik olmayan kuvvet çarpımının gerçekleştiği örnekler vardır. Farklı temellere sahip güçleri çoğaltmak çoğu zaman çok daha zor, hatta bazen imkansızdır. Olası farklı tekniklere ilişkin bazı örnekler verilmelidir. Örnek: 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729 ifadesini basitleştirin. Açıkçası, farklı tabanlara sahip kuvvetlerin çarpımı var. Ancak tüm üslerin üçün farklı kuvvetleri olduğuna dikkat edilmelidir. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. (a^n) ^m = a^(n*m) kuralını kullanarak, ifadeyi daha uygun bir biçimde yeniden yazmalısınız: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Cevap: 3^11. Farklı tabanların olduğu durumlarda a^n * b^n = (a*b) ^n kuralı eşit göstergeler için işe yarar. Örneğin, 3^3 * 7^3 = 21^3. Aksi takdirde tabanlar ve üsler farklı olduğunda tam çarpma işlemi yapılamaz. Bazen kısmen basitleştirebilir veya bilgisayar teknolojisinin yardımına başvurabilirsiniz.

Güçler nasıl çoğaltılır? Hangi güçler çoğaltılabilir, hangileri çoğaltılamaz? Bir sayı bir kuvvetle nasıl çarpılır?

Cebirde iki durumda kuvvetlerin çarpımını bulabilirsiniz:

1) Derecelerin tabanları aynı ise;

2) derecelerin aynı göstergelere sahip olması durumunda.

Üsler aynı tabanlarla çarpılırken taban aynı bırakılmalı ve üsler toplanmalıdır:

Dereceleri aynı göstergelerle çarparken genel gösterge parantezlerden çıkarılabilir:

Belirli örnekleri kullanarak güçlerin nasıl çarpılacağına bakalım.

Birim üs olarak yazılmaz, ancak kuvvetleri çarparken aşağıdakileri dikkate alırlar:

Çarpma sırasında herhangi bir sayıda güç olabilir. Çarpma işaretini harften önce yazmanıza gerek olmadığı unutulmamalıdır:

İfadelerde ilk önce üs alma işlemi yapılır.

Bir sayıyı bir kuvvetle çarpmanız gerekiyorsa, önce üstel alma işlemini, ardından çarpma işlemini gerçekleştirmelisiniz:

www.algebraclass.ru

Toplama, çıkarma, çarpma ve kuvvetler ayrılığı

Kuvvetlerin eklenmesi ve çıkarılması

Üssü olan sayıların da diğer nicelikler gibi toplanabileceği açıktır. , işaretleriyle birlikte birbiri ardına ekleyerek.

Yani a 3 ile b 2'nin toplamı a 3 + b 2'dir.
a 3 - b n ve h 5 -d 4'ün toplamı a 3 - b n + h 5 - d 4'tür.

Oranlar aynı değişkenlerin eşit kuvvetleri eklenebilir veya çıkarılabilir.

Yani 2a 2 ve 3a 2'nin toplamı 5a 2'ye eşittir.

Ayrıca iki kare a, üç kare a veya beş kare a alırsanız da açıktır.

Ama dereceler çeşitli değişkenler Ve çeşitli dereceler özdeş değişkenler, işaretleriyle birlikte eklenerek oluşturulmalıdır.

Yani 2 ile 3'ün toplamı 2 + a 3'ün toplamıdır.

A'nın karesi ve a'nın küpünün, a'nın karesinin iki katına değil, a'nın küpünün iki katına eşit olduğu açıktır.

a 3 b n ile 3a 5 b 6'nın toplamı a 3 b n + 3a 5 b 6'dır.

Çıkarma kuvvetler toplama işlemiyle aynı şekilde gerçekleştirilir, ancak çıkanların işaretlerinin buna göre değiştirilmesi gerekir.

Veya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 sa 2 b 6 — 4 sa 2 b 6 = - sa 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Çarpan güçler

Üssü olan sayılar da diğer nicelikler gibi, aralarında çarpım işareti olsun ya da olmasın, arka arkaya yazılarak çarpılabilir.

Dolayısıyla a 3'ü b 2 ile çarpmanın sonucu a 3 b 2 veya aaabb olur.

Veya:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Son örnekteki sonuç aynı değişkenler eklenerek sıralanabilir.
İfade şu şekli alacaktır: a 5 b 5 y 3.

Birkaç sayıyı (değişkeni) üslerle karşılaştırarak, bunlardan herhangi ikisi çarpıldığında sonucun kuvveti eşit olan bir sayı (değişken) olduğunu görebiliriz. miktar terimlerin dereceleri.

Yani a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaaa = a 5 .

Burada 5, terimlerin kuvvetlerinin toplamı olan 2 + 3'e eşit olan çarpma sonucunun kuvvetidir.

Yani a n .a m = a m+n .

Bir n için a, n'nin kuvveti kadar bir faktör olarak alınır;

Ve a m, m derecesinin eşit olduğu sayıda faktör olarak alınır;

Bu yüzden, aynı tabanlara sahip kuvvetler, kuvvetlerin üsleri toplanarak çarpılabilir.

Yani a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ve x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Veya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) ile çarpın.
Cevap: x 4 - y 4.
(x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) ile çarpın.

Bu kural üsleri eşit olan sayılar için de geçerlidir. olumsuz.

1. Yani a -2 .a -3 = a -5 . Bu (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa şeklinde yazılabilir.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Eğer a + b a - b ile çarpılırsa sonuç a 2 - b 2 olacaktır: yani

İki sayının toplamı veya farkının çarpılmasının sonucu, karelerinin toplamına veya farkına eşittir.

Yükseltilmiş iki sayının toplamını ve farkını çarparsanız kare sonuç bu sayıların toplamına veya farkına eşit olacaktır. dördüncü derece.

Yani (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Derecelerin bölünmesi

Üslü sayılar da diğer sayılar gibi paydan çıkarılarak veya kesirli hale getirilerek bölünebilir.

Böylece a 3 b 2 bölü b 2 eşittir a 3.

5 bölü 3'ü yazmak $\frac'a benzer $. Ama bu 2'ye eşit. Bir dizi sayı halinde
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
herhangi bir sayı diğerine bölünebilir ve üs şuna eşit olacaktır: fark Bölünebilen sayıların göstergeleri.

Tabanları aynı olan dereceleri bölerken üsleri çıkarılır..

Yani, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Yani $\frac = y$.

Ve a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yani, $\frac = a^n$.

Veya:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Kural aynı zamanda sayıları olan sayılar için de geçerlidir. olumsuz derece değerleri.
-5'i -3'e bölmenin sonucu -2'dir.
Ayrıca, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 veya $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Bu tür işlemler cebirde çok yaygın olarak kullanıldığı için çarpma ve kuvvetler bölüşümüne çok iyi hakim olmak gerekir.

Üsleri olan sayıları içeren kesirlerle örnek çözme örnekleri

1. Üsleri $\frac $ azaltın Cevap: $\frac $.

2. Üsleri $\frac$ kadar azaltın. Cevap: $\frac$ veya 2x.

3. a 2 /a 3 ve a -3 /a -4 üslerini azaltın ve ortak bir paydaya getirin.
a 2 .a -4 birinci pay -2'dir.
a 3 .a -3, ikinci pay olan 0 = 1'dir.
a 3 .a -4 ortak pay olan a -1'dir.
Basitleştirmeden sonra: a -2 /a -1 ve 1/a -1 .

4. 2a 4 /5a 3 ve 2 /a 4 üslerini azaltın ve ortak bir paydaya getirin.
Yanıt: 2a 3 /5a 7 ve 5a 5 /5a 7 veya 2a 3 /5a 2 ve 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4'ü (a - b)/3 ile çarpın.

6. (a 5 + 1)/x 2'yi (b 2 - 1)/(x + a) ile çarpın.

7. b 4 /a -2'yi h -3 /x ve a n /y -3 ile çarpın.

8. 4 /y 3'ü 3 /y 2'ye bölün. Cevap: a/y.

Derecenin özellikleri

Bu derste anlayacağımızı hatırlatırız. derecelerin özellikleri doğal göstergeler ve sıfır ile. Rasyonel üslü kuvvetler ve özellikleri 8. sınıf derslerinde işlenecektir.

Doğal üssü olan bir kuvvetin, kuvvet içeren örneklerde hesaplamaları basitleştirmemize olanak tanıyan birkaç önemli özelliği vardır.

Mülk No.1
Güçlerin çarpımı

Üsler aynı tabanlarla çarpıldığında taban değişmeden kalır ve kuvvetlerin üsleri toplanır.

a m · an n = a m + n, burada "a" herhangi bir sayıdır ve "m", "n" herhangi bir doğal sayıdır.

Güçlerin bu özelliği aynı zamanda üç veya daha fazla gücün çarpımı için de geçerlidir.

Ifadeyi basitleştir.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Bunu bir derece olarak sunun.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Bunu bir derece olarak sunun.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Belirtilen özellikte yalnızca aynı temellere sahip kuvvetlerin çarpımından bahsettiğimizi lütfen unutmayın.. Bunların eklenmesi için geçerli değildir.

Toplamı (3 3 + 3 2) 3 5 ile değiştiremezsiniz. Bu anlaşılırsa
hesapla (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ve 3 5 = 243

Mülk No.2
Kısmi dereceler

Üsleri aynı tabanlarla bölerken, taban değişmeden kalır ve bölenin üssü, bölenin üssünden çıkarılır.

Bölümü kuvvet olarak yazın
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Hesaplamak.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Örnek. Denklemi çözün. Bölüm kuvvetlerinin özelliğini kullanıyoruz.
3 8: t = 3 4

Cevap: t = 3 4 = 81

1 ve 2 numaralı özellikleri kullanarak ifadeleri kolayca basitleştirebilir ve hesaplamalar yapabilirsiniz.

Örnek. Üslü sayıların özelliklerini kullanarak bir ifadenin değerini bulun.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Lütfen Özellik 2'de sadece kuvvetlerin aynı temellere bölünmesinden bahsettiğimizi unutmayın.

Farkı (4 3 −4 2) 4 1 ile değiştiremezsiniz. (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ve 4 1 = 4'ü hesaplarsanız bu anlaşılabilir bir durumdur.

Mülk No.3
Bir dereceyi bir güce yükseltmek

Bir dereceyi bir kuvvete yükseltirken derecenin tabanı değişmeden kalır ve üsler çarpılır.

(a n) m = a n · m, burada “a” herhangi bir sayıdır ve “m”, “n” herhangi bir doğal sayıdır.

Derecelerin diğer özellikleri gibi 4 numaralı özelliğin de ters sırada uygulandığını lütfen unutmayın.

(a n · b n)= (a · b) n

Yani, aynı üslerle kuvvetleri çarpmak için tabanları çarpabilirsiniz ancak üssü değiştirmeden bırakabilirsiniz.

Örnek. Hesaplamak.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

Örnek. Hesaplamak.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Daha karmaşık örneklerde, farklı tabanlara ve farklı üslere sahip kuvvetler üzerinde çarpma ve bölme yapılması gereken durumlar olabilir. Bu durumda aşağıdakileri yapmanızı öneririz.

Örneğin, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Ondalık sayının bir kuvvete yükseltilmesine bir örnek.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Özellikler 5
Bir bölümün kuvveti (kesir)

Bir bölümü bir kuvvete yükseltmek için, böleni ve böleni ayrı ayrı bu kuvvete yükseltebilir ve ilk sonucu ikinciye bölebilirsiniz.

(a: b) n = a n: b n, burada “a”, “b” herhangi bir rasyonel sayıdır, b ≠ 0, n - herhangi bir doğal sayı.

Örnek. İfadeyi kuvvetler bölümü olarak gösterin.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Bir bölümün kesir olarak temsil edilebileceğini size hatırlatırız. Bu nedenle bir kesrin bir kuvvete yükseltilmesi konusunu bir sonraki sayfada daha detaylı olarak ele alacağız.

Güçler ve kökler

Yetkileri ve kökleri olan işlemler. Negatif derece ,

sıfır ve kesirli gösterge. Anlamı olmayan ifadeler hakkında.

Dereceli işlemler.

1. Aynı tabana sahip kuvvetleri çarparken üsleri toplanır:

bir m · bir n = bir m + n .

2. Dereceleri aynı tabana göre bölerken üsleri düşüldü .

3. İki veya daha fazla faktörün çarpımının derecesi, bu faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir.

4. Bir oranın derecesi (kesir), bölenin (pay) ve bölenin (payda) derecelerinin oranına eşittir:

(a/b) n = a n / b n.

5. Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken üsleri çarpılır:

Yukarıdaki formüllerin tümü soldan sağa ve soldan sağa her iki yönde okunur ve yürütülür.

ÖRNEK (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Köklerle işlemler. Aşağıdaki tüm formüllerde sembol şu anlama gelir: aritmetik kök(Radikal ifade pozitiftir).

1. Birkaç faktörün çarpımının kökü, bu faktörlerin köklerinin çarpımına eşittir:

2. Bir oranın kökü, bölünenin ve bölenin köklerinin oranına eşittir:

3. Bir kökü bir kuvvete yükseltirken, bu kuvvete yükseltmek yeterlidir. radikal sayı:

4. Kökün derecesini m kat artırırsanız ve aynı zamanda radikal sayıyı m'inci kuvvete yükseltirseniz, kökün değeri değişmeyecektir:

5. Kökün derecesini m kat azaltırsanız ve aynı anda radikal sayının m'inci kökünü çıkarırsanız, kökün değeri değişmeyecektir:

Derece kavramının genişletilmesi. Şu ana kadar dereceleri yalnızca doğal üstellerle ele aldık; ancak güçleri ve kökleri olan operasyonlar da şunlara yol açabilir: olumsuz, sıfır Ve kesirli göstergeler. Tüm bu üsler ek tanım gerektirir.

Negatif üslü bir derece. Negatif (tam sayı) üssü olan belirli bir sayının kuvveti, üssü negatif üssün mutlak değerine eşit olan aynı sayının kuvvetine bölünerek tanımlanır:

Şimdi formül bir m : BİR = bir m - n sadece için kullanılamaz M, bundan fazla N, ama aynı zamanda M, daha az N .

ÖRNEK A 4: A 7 =a 4 — 7 =a — 3 .

Eğer formülü istiyorsak bir m : BİR = bir m — N ne zaman adildi m = n sıfır derece tanımına ihtiyacımız var.

Sıfır endeksli bir derece. Sıfır üssü sıfır olan herhangi bir sayının kuvveti 1'dir.

ÖRNEKLER. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Kesirli üslü derece. Bir a gerçek sayısını m/n üssüne çıkarmak için, bu a sayısının m'inci kuvvetinin n'inci kökünü çıkarmanız gerekir:

Anlamı olmayan ifadeler hakkında. Bunun gibi birkaç ifade var.

Nerede A ≠ 0 , bulunmuyor.

Aslında öyle varsayarsak X belirli bir sayıysa, bölme işleminin tanımına uygun olarak elimizde: A = 0· X yani A= 0, bu durum şu koşulla çelişiyor: A ≠ 0

— herhangi bir numara.

Aslında bu ifadenin bir sayıya eşit olduğunu varsayarsak X, o zaman bölme işleminin tanımına göre elimizde: 0 = 0 · X. Ancak bu eşitlik şu durumlarda ortaya çıkar: herhangi bir sayı x Kanıtlanması gereken şey buydu.

0 0 — herhangi bir numara.

Çözüm: Üç ana durumu ele alalım:

1) X = 0 – bu değer bu denklemi karşılamıyor

2) ne zaman X> 0 elde ederiz: x/x= 1, yani 1 = 1, bunun anlamı

Ne X- herhangi bir numara; ancak bunu dikkate alarak

bizim durumumuzda X> 0, cevap X > 0 ;

Farklı tabanlarla kuvvetleri çarpma kuralları

RASYONEL GÖSTERGELİ DERECE,

GÜÇ FONKSİYONU IV

§ 69. Aynı temellerle güçlerin çoğaltılması ve bölünmesi

Teorem 1. Aynı tabanlarla kuvvetleri çarpmak için üsleri toplayıp tabanı aynı bırakmak yeterlidir, yani

Kanıt. Derecenin tanımı gereği

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

İki kuvvetin çarpımına baktık. Aslında kanıtlanmış özellik, aynı temellere sahip herhangi bir sayıda güç için doğrudur.

Teorem 2.Üsleri aynı bazlarla bölmek için, temettü endeksi bölenin endeksinden büyük olduğunda, bölenin endeksini temettü endeksinden çıkarıp tabanı aynı bırakmak yeterlidir. en t > p

(A =/= 0)

Kanıt. Bir sayıyı diğerine bölme bölümünün, bölenle çarpıldığında bölüneni veren sayı olduğunu hatırlayın. Bu nedenle formülün nerede olduğunu kanıtlayın A =/= 0, formülü kanıtlamakla aynı şey

Eğer t > p , ardından sayı t-p doğal olacak; bu nedenle Teorem 1'e göre

Teorem 2 kanıtlandı.

Şunu belirtmek gerekir ki formül

bunu yalnızca varsayım altında kanıtladık t > p . Bu nedenle kanıtlanmış olanlardan örneğin aşağıdaki sonuçları çıkarmak henüz mümkün değildir:

Ayrıca negatif üslü dereceleri henüz dikkate almadık ve 3. ifadeye ne anlam verilebileceğini henüz bilmiyoruz. - 2 .

Teorem 3. Bir dereceyi bir kuvvete yükseltmek için, derecenin tabanını aynı bırakarak üsleri çarpmak yeterlidir., yani

Kanıt. Bu bölümdeki derece tanımını ve Teorem 1'i kullanarak şunu elde ederiz:

Q.E.D.

Örneğin, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Sözlü) Belirle X denklemlerden:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 X ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 X ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 X ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 X .

519. (Set no.) Basitleştirin:

520. (No. Ayarla) Basitleştirin:

521. Bu ifadeleri aynı tabanlara sahip dereceler şeklinde sunun:

1) 32 ve 64; 3) 8 5 ve 16 3; 5) 4 100 ve 32 50;

2) -1000 ve 100; 4) -27 ve -243; 6) 81 75 8 200 ve 3 600 4 150.

Bu derste anlayacağımızı hatırlatırız. derecelerin özellikleri doğal göstergeler ve sıfır ile. Rasyonel üslü kuvvetler ve özellikleri 8. sınıf derslerinde işlenecektir.

Doğal üssü olan bir kuvvetin, kuvvet içeren örneklerde hesaplamaları basitleştirmemize olanak tanıyan birkaç önemli özelliği vardır.