Teorik materyal. §6 Çok değişkenli karmaşık fonksiyonların kısmi türevleri Çok değişkenli karmaşık fonksiyonların türevlerini hesaplayın
z - /(x, y) fonksiyonunun xOy düzlemindeki bir D bölgesinde tanımlı olmasına izin verin. D alanından bir iç nokta (x, y) alalım ve x'e, (x + Ax, y) 6 D noktası olacak şekilde bir Ax artışı verelim (Şekil 9). Bu miktara z fonksiyonunun x'e göre kısmi artışı diyelim. Bir ilişki kuralım: Belirli bir (x, y) noktası için bu ilişki Tanımın bir fonksiyonudur. Ax -* 0 için ^ ilişkisinin sonlu bir limiti varsa, bu limite z = /(x, y) fonksiyonunun (x, y) noktasındaki bağımsız x değişkenine göre kısmi türevi denir ve jfc (veya /i(x, jj ) veya z"x(x) sembolüyle gösterilir. Aynı şekilde, tanım gereği veya, ki bu aynı şeydir, Benzer şekilde, eğer u n bağımsız değişkenin bir fonksiyonu ise, Arz'ın y değişkeninin sabit değeriyle ve Atz'nin - x değişkeninin sabit değeriyle hesaplandığı dikkate alındığında, kısmi türevlerin tanımları şu şekilde formüle edilebilir: Kısmi türevler İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerinin geometrik anlamı Çok değişkenli bir fonksiyonun türevlenebilirliği Bir fonksiyonun türevlenebilirliği için gerekli koşullar Çok değişkenli fonksiyonların türevlenebilirliği için yeterli koşullar Toplam diferansiyel Kısmi diferansiyeller Kısmi türevinin karmaşık bir fonksiyonunun z = /(x) fonksiyonunun x'e göre türevleri , y ), bu fonksiyonun x'e göre sıradan türevidir ve y'nin bir sabit olduğu varsayımıyla hesaplanmıştır; z - /(x, y) fonksiyonunun y'ye göre kısmi türevi, y'ye göre türevidir , x'in sabit olduğu varsayımıyla hesaplanır. Kısmi türevlerin hesaplanmasına ilişkin kuralların, tek değişkenli bir fonksiyon için kanıtlanmış kurallarla örtüştüğü anlaşılmaktadır. Örnek. Fonksiyonun kısmi türevlerini bulun 4 Yerine koymalarımız var*. Tüm argümanlara göre kısmi türevlerin belirli bir noktasında r = f(x, y) fonksiyonunun varlığı, fonksiyonun bu noktada sürekliliği anlamına gelmez. Dolayısıyla fonksiyon 0(0,0) noktasında sürekli değildir. Ancak bu noktada belirtilen fonksiyonun x ve y'ye göre kısmi türevleri vardır. Bu, /(x, 0) = 0 ve /(0, y) = 0 olmasından ve dolayısıyla iki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerinin geometrik anlamının sonucudur. Üç boyutlu uzayda S yüzeyi şu şekilde tanımlansın: f(x, y)'nin bazı D bölgesinde sürekli olan ve x ve y'ye göre kısmi türevleri olan bir fonksiyon olduğu denklem. Z = f(x)y) yüzeyinde f(x0)yo) noktasına karşılık gelen Mo(xo,yo) 6 D noktasında bu türevlerin geometrik anlamlarını bulalım. M0 noktasının kısmi türevini bulurken, z'nin yalnızca x argümanının bir fonksiyonu olduğunu, y argümanının ise y = y0 sabit değerini koruduğunu varsayarız, yani fi(x) fonksiyonu geometrik olarak L eğrisi ile temsil edilir. S yüzeyi o noktasında y = düzlemiyle kesişmektedir. Tek değişkenli bir fonksiyonun türevinin geometrik anlamı nedeniyle, f\(xo) = tan a, burada a, Ox ekseni ile JV0 noktasında L çizgisine teğet tarafından oluşturulan açıdır (Şekil 10) . Ancak öyle Böylece, kısmi türev ($|), Ox ekseni arasındaki a açısının N0 noktasındaki teğetinin, z = /(x, y) yüzeyi bölümünde elde edilen eğriye olan tanjantına eşittir. y düzlemi Benzer şekilde §6'yı elde ederiz. Çok değişkenli bir fonksiyonun türevlenebilirliği z = /(x, y) fonksiyonunun xOy düzlemindeki bazı D etki alanlarında tanımlı olmasına izin verin. Bir (x, y) € D noktası alalım ve seçilen x ve y değerlerine Ax ve Dy artışlarını verelim, ancak öyle ki nokta. Tanım. Bir r = /(x, y) fonksiyonuna diferansiyellenebilir * nokta (x, y) € 2E denir, eğer bu fonksiyonun Dx, Dy argümanlarının artışlarına karşılık gelen tam artışı, A ve B'nin olduğu biçimde temsil edilebilirse Dx ve Dy'ye bağlı değildir (ancak genel olarak x ve y'ye bağlıdır) ve a(Dx, Dy) ve /?(Dx, Dy) sıfıra yönelirken, Dx ve Dy sıfıra yaklaşır. . Eğer z = /(x, y) fonksiyonu (x, y) noktasında türevlenebilirse, o zaman fonksiyonun Dx ve Dy'ye göre doğrusal olan artışının A Dx 4- VDy kısmına toplam diferansiyel denir. Bu fonksiyonun (x, y) noktasındaki değeri dz sembolü ile gösterilir: Bu şekilde Örnek. r = x2 + y2 olsun. Herhangi bir (r,y) noktasında ve herhangi bir Dx ve Du için Burada varız. şimdi Dx ve Dy sıfıra yaklaştıkça a ve /3 de sıfıra yaklaşıyor. Tanıma göre bu fonksiyon xOy düzleminin herhangi bir noktasında türevlenebilir. Aynı zamanda, akıl yürütmemizde, Dx, Du artışlarının ayrı ayrı veya hatta her ikisinin de aynı anda sıfıra eşit olduğu durumu resmi olarak hariç tutmadığımızı not ediyoruz. Formül (1), (noktalar arasındaki mesafe) ifadesini eklersek daha kompakt bir şekilde yazılabilir (Bunu kullanarak şunu yazabiliriz: Parantez içindeki ifadeyi e ile göstererek, c'nin J, Du'ya bağlı olduğu ve J 0 ve DN 0 veya kısaca p 0 ise. z = f(xt y) fonksiyonunun (x, y) noktasında türevlenebilirlik koşulunu ifade eden formül (1), şimdi şu şekilde yazılabilir: Yani, yukarıdaki örnekte 6.1.Bir fonksiyonun diferansiyellenebilir gerekli koşulları™ Teorem 4. Eğer bir r = f(x, y) fonksiyonu bir noktada türevlenebilirse, bu durumda o noktada süreklidir.4 (x, y) noktasında ise ) r = f(x, y) fonksiyonu türevlenebilirse, bu durumda i fonksiyonunun bu noktada argümanların J ve Dy artışlarına karşılık gelen artışının tamamı şu şekilde temsil edilebilir (A, B miktarları) belirli bir nokta için sabittir; bundan ikincisinin (x, y) noktasında r /(x, y) fonksiyonunun sürekli olduğu anlamına geldiği sonucu çıkar.Teorem! b.Eğer r = /(x, y) belirli bir noktada türevlenebilir, mo o s. bu noktada $§ u kısmi türevleridir. z = /(x, y) fonksiyonu (x, y) noktasında türevlenebilir olsun. Daha sonra, argümanların Dx, Ay artışlarına karşılık gelen bu fonksiyonun Dg artışı, (1) formunda temsil edilebilir. (1) Dx Φ 0 eşitliğini alarak Dy = 0 elde ederiz. Son eşitliğin sağ tarafında A değeri bağlı olmadığından, Bu (x, y) noktasında kısmi bir türevin olduğu anlamına gelir x'teki r = /(x, y) fonksiyonunun ve benzer mantıkla (x'in, zy fonksiyonunun kısmi bir türevi olduğuna ve teoremden şu sonucu çıkardığına ikna olduk: Teorem 5'in varlığını ifade ettiğini vurguluyoruz.) kısmi türevler yalnızca (x, y) noktasındadır, ancak bu noktadaki süreklilikleri ve ayrıca (x, y) noktasının komşuluğundaki davranışları hakkında hiçbir şey söylemez. x0 noktasında türev /"(x). Fonksiyonun birden fazla değişkene bağlı olması durumunda durum çok daha karmaşıktır: iki bağımsız değişken x, y'nin z = /(x, y) fonksiyonunun türevlenebilirliği için gerekli ve yeterli koşullar yoktur; yalnızca ayrı ayrı vardır gerekli koşullar (bkz. yukarıda) ve ayrı ayrı - yeterli. Çok değişkenli fonksiyonların diferansiyellenebilirliği için bu yeterli koşullar aşağıdaki teorem ile ifade edilir. Teorem c. Eğer bir fonksiyonun ince (xo, V0) civarında kısmi türevleri /ε ve f"v varsa ve bu türevler (xo, V0) noktasında sürekliyse, o zaman z = f(x, y) fonksiyonu türevlenebilirdir noktasında (x- Örnek: Fonksiyonu düşünün Kısmi türevler İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerinin geometrik anlamı Çok değişkenli bir fonksiyonun türevlenebilirliği Bir fonksiyonun türevlenebilirliği için gerekli koşullar Çok değişkenli fonksiyonların türevlenebilirliği için yeterli koşullar Toplam diferansiyel Kısmi diferansiyeller Karmaşık bir fonksiyonun türevleri Her yerde tanımlanır Kısmi türevlerin tanımına dayanarak, bu fonksiyonun 0(0,0) noktasındaki ™ değerini ve bu noktanın artışını buluyoruz. Fonksiyonun türevlenebilirliği için /( x,y) = 0(0,0) noktasında e(Dx, Dy) fonksiyonunun Dx 0 ve Ду 0'da tamamen küçük olması gerekir. D0'ı ayarlayalım. O zaman formül (1)'den şunu elde ederiz: Dolayısıyla /(x,y) = fonksiyonu, bu noktada fa ve f"r'ye sahip olmasına rağmen 0(0,0) noktasında türevlenebilir değildir. Elde edilen sonuç, f"z ve f türevlerinin olmasıyla açıklanmaktadır. "§7 noktasında süreksizdirler. Tam diferansiyel. Kısmi diferansiyeller z - f(z> y) fonksiyonu türevlenebilirse, toplam diferansiyeli dz eşittir A = B = u olduğuna dikkat ederek formül (1)'i aşağıdaki biçimde yazıyoruz. Bir fonksiyonun bağımsız değişkenlere oranı, bağımsız değişkenlerin diferansiyellerinin artışlarına eşitlenmesi: Bundan sonra fonksiyonun toplam diferansiyeli formülü Örnek olarak alınır. i - 1l(x + y2) olsun. Benzer şekilde, eğer u =) n bağımsız değişkenin türevlenebilir bir fonksiyonu ise, o zaman İfadeye z = f(x, y) fonksiyonunun x değişkenine göre post diferansiyeli denir; ifadeye y değişkeninin z = /(x, y) fonksiyonunun kısmi diferansiyeli denir. Formül (3), (4) ve (5)'ten, bir fonksiyonun toplam diferansiyelinin kısmi diferansiyellerinin toplamı olduğu sonucu çıkar: Genel olarak konuşursak, z = /(x, y) fonksiyonunun toplam Az artışına dikkat edin. , kısmi artışların toplamına eşit değildir. (i, y) noktasında z = /(x, y) fonksiyonu türevlenebilirse ve bu noktada diferansiyel dz Φ 0 ise, toplam artışı doğrusal kısmından yalnızca son aAx 4 terimlerinin toplamı kadar farklılık gösterir. - /?DE, Ax 0 ve Ау -» О'da doğrusal kısmın terimlerinden daha yüksek dereceden sonsuz küçüklerdir. Bu nedenle, dz Ф 0 olduğunda, diferansiyellenebilir fonksiyonun artışının doğrusal kısmı, fonksiyonun artışının ana kısmı olarak adlandırılır ve artışların mutlak değeri ne kadar küçük olursa, o kadar doğru olacak yaklaşık bir formül kullanılır. argümanlar şunlardır. §8. Karmaşık bir fonksiyonun türevleri 1. Fonksiyonun xOy düzlemindeki bir D etki alanında tanımlı olduğunu varsayalım ve x, y değişkenlerinin her biri sırasıyla t argümanının bir fonksiyonu olsun: t () aralığında değiştiğinde şunu varsayacağız: karşılık gelen noktalar (x, y) D bölgesinin dışına çıkmaz. Değerleri z = / (x, y) fonksiyonuna koyarsak, bir t değişkeninin karmaşık bir fonksiyonunu elde ederiz ve uygun değerler için /(x,y) fonksiyonu diferansiyellenebilir ise t noktasındaki karmaşık fonksiyonun türevi ve M'si vardır. t'ye bir Dt artışı verelim. O zaman x ve y'ye Ax ve Dy gibi bazı artışlar verilecek. Bunun sonucunda for ( J)2 + (Dy)2 Ф 0, z fonksiyonu ayrıca bir miktar Dt artışı alacaktır; bu, z = /(x, y) fonksiyonunun (x, y) noktasındaki türevlenebilirliği nedeniyle şu şekilde temsil edilebilir: Ax ve Du'nun sıfıra yönelmesiyle a)'nın sıfıra yöneldiği form. Ax = Ay = 0 için a ve /3'ü a olarak tanımlayalım. O zaman a(J = Dn = 0 için sürekli olacaktır. Sahip olduğumuz ilişkiyi düşünün. (2)'nin sağ tarafındaki her terimde her iki faktörün de sınırları vardır aslında, verilen bir için kısmi türevler ve ^ sabittir, ^ türevlerinin varlığından kaynaklanan sınırlar olması koşuluyla ve £ noktasında x = y(t) ve y = fonksiyonları bu noktada süreklidir; dolayısıyla At olarak 0'da, hem J hem de Dy sıfıra eğilimlidir, bu da a(Dx, Dy) ve P(Ax, Ay)'nin sıfıra doğru eğilimini gerektirir. Dolayısıyla, eşitliğin (2) sağ tarafının 0'da bir limiti vardır. So'ya eşit, 0'da ayrıca (2)'nin sol tarafının da bir limiti vardır, yani e.eşit bir tane var.Eşitlik (2)'yi At -» 0 olarak limite geçirerek gerekli formülü elde ederiz.Bu nedenle özel durumda, z, x'in karmaşık bir fonksiyonu olduğunda, aşağıdaki formülü elde ederiz: (5) /(x, y) ifadesinde y argümanının bir sabit olarak alındığı hesaplanırken, x'e göre kısmi bir funadiig = /(x, y) türevi vardır. Ve z fonksiyonunun x bağımsız değişkenine göre tam bir türevi vardır; /(x, y) ifadesindeki hangi y'nin artık sabit olarak alınmadığını, ancak x'in bir fonksiyonu olarak kabul edildiğini hesaplarken: y = tp(x)t ve dolayısıyla z'nin bağımlılığı tamamen dikkate alınır. Örnek. Find ve jg if 2. Şimdi birkaç değişkenli karmaşık bir fonksiyonun türevini ele alalım. (() noktasında sürekli kısmi türevler u, 3? olduğunu ve buna karşılık gelen (x, y) noktasında f(x, y) fonksiyonunun türevlenebilir olduğunu varsayalım. bu koşullar altında t7) noktasındaki z = z(() y) karmaşık fonksiyonunun türevleri ve π'si vardır ve bu türevler için ifadeler bulacağız. Bu durumun daha önce çalışılan durumdan önemli ölçüde farklı olmadığını unutmayın. Gerçekten de, z'nin £'e göre türevi alınırken, ikinci bağımsız değişken rj bir sabit olarak alınır, bunun sonucunda bu işlemde x ve y tek bir x" = c), y = c) değişkeninin fonksiyonları haline gelir ve şu soru ortaya çıkar: ζ türevinin çözümü, formül (3) türetilirken türev sorusuyla tamamen aynı şekilde çözülür.Formül (3)'ü kullanarak ve içindeki § ve ^ türevlerini resmi olarak u türevleriyle değiştirerek, sırasıyla şunu elde ederiz: Bul Örnek: r = x2 y - husli x - y fonksiyonunun ^ ve ^ kısmi türevlerini bulun. Ve = burada Kısmi türevler İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerinin geometrik anlamı Çok değişkenli bir fonksiyonun türevlenebilirliği Bir fonksiyonun türevlenebilirliği için gerekli koşullar Çok değişkenli fonksiyonların türevlenebilirliği için yeterli koşullar Toplam diferansiyel Kısmi diferansiyeller Bir kompleksin türevleri elimizdeki fonksiyon Burada m, fonksiyonun toplam kısmi türevidir ve bağımsız değişken x'e göre, z = z(x,y),a ^ -kısmi türevi dahil olmak üzere x'in ve x'e tam bağımlılığı dikkate alınır. k hesaplanırken x'e göre u = /(r, y, d) fonksiyonu
1°. Tek bağımsız değişken durumu. Eğer z=f(x,y), x ve y argümanlarının türevlenebilir bir fonksiyonu ise, bunlar da bağımsız değişkenin türevlenebilir işlevleridir T: , o zaman karmaşık fonksiyonun türevi 
formül kullanılarak hesaplanabilir
Örnek. Varsa, nerede olduğunu bulun.
Çözüm. Formül (1)'e göre elimizde:
Örnek. Kısmi türevi ve toplam türevi bulun, eğer 
.
Çözüm. .
Formül (2)'ye dayanarak elde ederiz 
.
2°. Birkaç bağımsız değişkenin durumu.
İzin vermek z =F (X ;y) - iki değişkenli fonksiyon X Ve sen, bunların her biri bağımsız değişkenin bir fonksiyonudur t : x =X (t), y =sen (T). Bu durumda fonksiyon z =F (X (T);sen (T )) bir bağımsız değişkenin karmaşık bir fonksiyonudur T; değişkenler x ve y ara değişkenlerdir.
Teorem. Eğer z == F(X ; y) - bir noktada türevlenebilir M(x;y)D fonksiyon ve x =X (T) Ve en =sen (T) - bağımsız değişkenin türevlenebilir fonksiyonları T, o zaman karmaşık bir fonksiyonun türevi z (T) == F(X (T);sen (T )) formülle hesaplanır
|
|
Özel durum:z = F (X ; y), burada y = y(x), onlar. z = F (X ;sen (X )) - bir bağımsız değişkenin karmaşık fonksiyonu X. Bu durum bir öncekine indirgenir ve değişkenin rolü T oynar X. Formül (3)'e göre elimizde:
.
Son formülün adı toplam türev formülleri.
Genel dava:z = F (X ;y), Nerede x =X (sen;v),y =sen (sen;v). O halde z = F (X (sen;v);sen (sen;v)) - bağımsız değişkenlerin karmaşık fonksiyonu Ve Ve v. Kısmi türevleri formül (3) kullanılarak aşağıdaki şekilde bulunabilir. Sabitlendikten sonra v, karşılık gelen kısmi türevleri yerine koyarız
Böylece karmaşık bir fonksiyonun (z) her bağımsız değişkene göre türevi (Ve Ve v) bu fonksiyonun (z) ara değişkenlerine göre kısmi türevlerinin çarpımlarının toplamına eşittir (x ve y) karşılık gelen bağımsız değişkene göre türevlerine (sen ve v).
Dikkate alınan tüm durumlarda formül geçerlidir
(toplam diferansiyelin değişmezlik özelliği).
Örnek. Bul ve eğer z = F(x ,y ), burada x =uv , .
Çözüm. Formül (4) ve (5)'i uygulayarak şunu elde ederiz:
Örnek. Fonksiyonun denklemi sağladığını gösterin 
.
Çözüm. İşlev, bir ara argüman aracılığıyla x ve y'ye bağlıdır; dolayısıyla
Kısmi türevleri denklemin sol tarafına koyarsak:
Yani z fonksiyonu bu denklemi karşılamaktadır.
Fonksiyonun belirli bir yönde ve gradyanında türevi
1°. Bir fonksiyonun belirli bir yönde türevi. Türev işlevler z= F(x,y) bu yönde isminde 
, nerede ve fonksiyonun değerleri ve noktalarıdır. Z fonksiyonu türevlenebilirse formül geçerlidir
yönler arasındaki açılar nerede ben ve karşılık gelen koordinat eksenleri. Belirli bir yöndeki türev, bir fonksiyonun o yöndeki değişim oranını karakterize eder.
Örnek. z = 2x 2 - 3 2 fonksiyonunun P(1; 0) noktasında OX ekseniyle 120° açı yapacak yönde türevini bulun.
Çözüm. Bu fonksiyonun kısmi türevlerini ve P noktasındaki değerlerini bulalım.
Teorem.İzin vermek sen = f(x,y) D etki alanında verilmiştir ve x = x(t) Ve y = y(t) bölgede tespit edilen , ve ne zaman , bu durumda x ve y D bölgesine aittir . u fonksiyonu M noktasında türevlenebilir olsun 0 (X 0 , sen 0 , z 0), ve x fonksiyonları(T) ve(T) karşılık gelen t noktasında türevlenebilir 0 , o zaman karmaşık fonksiyon u = f [X(T), sen(T)]=F (T) t noktasında türevlenebilir 0 ve eşitlik geçerlidir:
.
Kanıt. u noktadaki koşula göre türevlenebilir olduğundan ( X 0 , sen 0), o zaman toplam artışı şu şekilde temsil edilir:
Bu oranı 'a bölerek şunu elde ederiz:
hadi limite gidelim ve formülü alalım
.
Not 1. Eğer sen= sen(x, y) Ve X= X, sen= sen(X), daha sonra fonksiyonun toplam türevi sen değişkene göre X
veya 
.
Son eşitlik, formda örtülü olarak verilen, tek değişkenli bir fonksiyonun türevini alma kuralını kanıtlamak için kullanılabilir. F(X, sen) = 0, burada sen= sen(X) (bkz. konu No. 3 ve örnek 14).
Sahibiz: 
. Buradan 
.
(6.1)
3 numaralı konunun 14. örneğine dönelim:
;
.
Gördüğünüz gibi cevaplar örtüşüyor.
Not 2.İzin vermek sen = F (x, y), Nerede X= X(T ,v), en= en(T ,v). O zaman u sonuçta iki değişkenin karmaşık bir fonksiyonudur T Ve v . Eğer şimdi u fonksiyonu bu noktada türevlenebilirse M 0 (X 0 , sen 0) ve işlevler X Ve en karşılık gelen noktada türevlenebilir ( T 0 , v 0), o zaman kısmi türevlerden bahsedebiliriz. T Ve v noktasındaki karmaşık bir fonksiyondan ( T 0 , v 0). Ancak belirli bir noktada t'ye göre kısmi türevden bahsediyorsak, o zaman ikinci değişken v'nin sabit ve eşit olduğu kabul edilir. v 0. Sonuç olarak, yalnızca karmaşık bir fonksiyonun t'ye göre türevinden bahsediyoruz ve bu nedenle türetilmiş formülü kullanabiliriz. Böylece şunu elde ederiz:
Ve 
.
Örnek 13. Bir fonksiyonun tam türevini bulun sen = X sen, Nerede x = günah T, y = çünkü T .
41. Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumları.
Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu. Bir ekstremun varlığı için gerekli ve yeterli koşullar
Tanım 7. Eğer bir noktanın, bu komşuluktaki tüm noktalar için eşitsizliği () sağlayacak şekilde bir komşuluğu varsa, bu noktaya bir fonksiyonun minimum (maksimum) noktası denir.
Bir fonksiyonun minimum ve maksimum noktalarına ekstremum noktaları, fonksiyonun bu noktalardaki değerlerine ise fonksiyonun ekstremum değerleri (sırasıyla minimum ve maksimum) denir.
Bir fonksiyonun bir noktadaki değeri, yeterince yakın noktalardaki değerleriyle karşılaştırıldığından, bir fonksiyonun minimum ve maksimumunun doğası gereği yerel olduğuna dikkat edin.
Teorem 1 (bir ekstremum için gerekli koşullar). Türevlenebilir fonksiyonun uç noktası ise, bu noktadaki kısmi türevleri sıfıra eşittir: .
Birinci dereceden kısmi türevlerin sıfıra eşit olduğu noktalara kritik veya durağan denir. Kritik noktalarda fonksiyonun bir ekstremumu olabilir veya olmayabilir.
Teorem 2 (ekstremum için yeterli koşul). Fonksiyonun: a) ve'nin bulunduğu kritik noktanın bir komşuluğunda tanımlı olmasına izin verin; b) ikinci dereceden sürekli kısmi türevleri vardır. O halde, if, o zaman noktadaki fonksiyonun bir ekstremumu vardır: maksimum, if A<0; минимум, если А>0; eğer öyleyse, fonksiyonun bir ekstremumu yoktur. Bu durumda, bir ekstremun varlığı sorusu açık kalmaktadır.
Bir ekstremum için iki değişkenli bir fonksiyonu incelerken aşağıdaki şemanın kullanılması tavsiye edilir:
1. Birinci dereceden kısmi türevleri bulun: ve.
2. Denklem sistemini çözün ve fonksiyonun kritik noktalarını bulun.
3. İkinci dereceden kısmi türevleri bulun: , .
4. Her kritik noktada ikinci dereceden kısmi türevlerin değerlerini hesaplayın ve yeterli koşulları kullanarak bir ekstremun varlığı hakkında bir sonuç çıkarın.
5. Fonksiyonun ekstremumlarını bulun.
Örnek 6. Fonksiyonun ekstremumunu bulun.
Çözüm. 1. Kısmi türevleri bulun ve:
2. Kritik noktaları belirlemek için denklem sistemini çözüyoruz
Sistemin ilk denkleminden şunu buluyoruz: . Y'nin bulunan değerini ikinci denklemde yerine koyarsak, şunu elde ederiz:
Değerlere karşılık gelen y değerlerini bulun. Değerleri denklemde yerine koyarsak şunu elde ederiz: .
Böylece iki kritik noktamız var: ve.
3. İkinci dereceden kısmi türevleri bulun:
4. Her kritik noktada ikinci dereceden kısmi türevlerin değerlerini hesaplıyoruz. Bir noktada elimizde:
o zaman bu noktada hiçbir ekstremum yoktur.
ve bu nedenle
Bu, bir ekstremum için yeterli koşul nedeniyle fonksiyonun bir noktada minimuma sahip olduğu anlamına gelir, çünkü bu noktada ve.
§ 5. Karmaşık fonksiyonların kısmi türevleri. karmaşık fonksiyonların diferansiyelleri
1. Karmaşık bir fonksiyonun kısmi türevleri.
Argümanları eşit olan iki değişkenin bir fonksiyonu olsun. 
Ve 
, kendileri iki veya daha fazla değişkenin fonksiyonlarıdır. Örneğin, izin ver 
, 
.
Daha sonra 
irade karmaşık fonksiyon
bağımsız değişkenler 
Ve 
, değişkenler onun için olacak ara değişkenler.
Bu durumda bir fonksiyonun kısmi türevlerinin nasıl bulunacağı 
Ve ?
Elbette bunu doğrudan ve cinsinden ifade edebilirsiniz:
ve elde edilen fonksiyonun kısmi türevlerini arayın. Ancak ifade çok karmaşık olabilir ve kısmi türevleri bulmak 
, 
o zaman çok çaba gerektirecektir.
Eğer işlevler 
, 
, 
diferansiyellenebilirse, bulun 
ve aracılığıyla doğrudan ifadeye başvurmadan da mümkündür. Bu durumda formüller geçerli olacaktır.
(5.1)
Aslında argümanı verelim 
artış 
, 
– inşaat. Daha sonra işlevler 
Ve 
artışlar alacak
ve fonksiyon artırılacak
Nerede 
, 
– sonsuz küçük 
, 
. Son eşitliğin tüm terimlerini 'ye bölelim. Şunu elde ederiz:
Koşullara göre ve fonksiyonları türevlenebilir olduğundan süreklidirler. Bu nedenle eğer 
, sonra ve . Bu, son eşitlikteki limite geçerek elde ettiğimiz anlamına gelir:
(çünkü , , için sonsuz küçüktür).
(5.1)'deki ikinci eşitlik de benzer şekilde kanıtlanır.
ÖRNEK. İzin vermek 
, Nerede 
, 
. O zaman bağımsız değişkenlerin karmaşık bir fonksiyonudur ve . Kısmi türevlerini bulmak için formül (5.1) kullanıyoruz. Sahibiz
(5.1)’i değiştirerek şunu elde ederiz:
,
Formüller (5.1), doğal olarak daha fazla sayıda bağımsız ve ara argümana sahip bir fonksiyon durumuna genelleştirilir. Yani eğer
………………………
ve söz konusu fonksiyonların tümü diferansiyellenebilirdir, o zaman herhangi bir durum için 
eşitlik var
Fonksiyon argümanlarının yalnızca bir değişkenin fonksiyonları olması da mümkündür;
, 
.
O zaman bu sadece bir değişkenin karmaşık bir fonksiyonu olacaktır. 
ve türevi bulma sorusunu gündeme getirebiliriz 
. Eğer işlevler 
, 
türevlenebilirse formülle bulunabilir 
(5.2)
ÖRNEK. İzin vermek 
, Nerede 
, 
. Burada bir bağımsız değişkenin karmaşık bir fonksiyonu var. Formül (5.2)'yi kullanarak şunu elde ederiz:
.
Ve son olarak, bağımsız değişkenin rolünün , yani tarafından oynanması mümkündür. ,
Nerede 
.
Daha sonra formül (5.2)'den şunu elde ederiz:
(5.3)
(Çünkü 
). Türev 
, formül (5.3)'te sağda duran, fonksiyonun 'ye göre kısmi türevidir. Sabit bir değerle hesaplanır. Türev 
Formül (5.3)'ün sol tarafında denir fonksiyonun tam türevi 
. Hesaplanırken iki şekilde bağlı olduğu dikkate alınmıştır: doğrudan ve ikinci argüman aracılığıyla.
ÖRNEK. Bul ve işlev için 
, Nerede 
.
Sahibiz 
.
Bulmak için formül (5.3) kullanıyoruz. Aldık
.
Bu paragrafın sonunda, (5.2) ve (5.3) formüllerinin çok sayıda ara argümana sahip fonksiyonlar durumuna genelleştirilmesinin kolay olduğunu not ediyoruz.
2. Karmaşık bir fonksiyonun diferansiyeli.
Eğer şunu hatırlayalım 
iki bağımsız değişkenin türevlenebilir bir fonksiyonudur, o zaman tanım gereği
, (5.4)
veya başka bir biçimde 
. (5.5)
Formül (5.5)'in avantajı, karmaşık bir fonksiyon olsa bile doğru kalmasıdır.
Gerçekten de, nerede , olsun. , fonksiyonlarının türevlenebilir olduğunu varsayalım. O zaman karmaşık fonksiyon da türevlenebilir olacak ve formül (5.5)'e göre toplam diferansiyeli şuna eşit olacaktır:
.
Karmaşık bir fonksiyonun kısmi türevlerini hesaplamak için formül (5.1)'i uygulayarak şunu elde ederiz:
ve fonksiyonlarının tam diferansiyelleri parantez içinde olduğundan, sonunda şunu elde ederiz:
Dolayısıyla, hem ve'nin bağımsız değişken olması durumunda, hem de ve'nin bağımlı değişken olması durumunda, fonksiyonun diferansiyelinin (5.5) formunda yazılabileceğine inanıyoruz. Bu bağlamda, toplam diferansiyelin kaydedilmesinin bu şekline denir. değişmez
. (5.4)'te önerilen diferansiyelin yazım şekli değişmez olmayacaktır; yalnızca ve'nin bağımsız değişken olduğu durumlarda kullanılabilir. Diferansiyelin yazılma şekli de değişmez olmayacaktır. 
-inci sipariş. Daha önce bir sıra diferansiyelinin olduğunu gösterdiğimizi hatırlayın. 
iki değişkenin fonksiyonu formülle bulunabilir
. (4.12)
Ancak eğer bunlar bağımsız değişkenler değilse, o zaman formül (4.12) 
gerçek olmaktan çıkıyor.
Açıkçası, bu bölümde iki değişkenli bir fonksiyon için yürütülen tüm akıl yürütme, daha fazla sayıda argümana sahip bir fonksiyon durumunda tekrarlanabilir. Bu nedenle, bir fonksiyon için diferansiyel iki biçimde de yazılabilir:
ve ikinci gösterim biçimi değişmez olacaktır, yani. şu durumda bile adil 
bağımsız değişkenler değil, ara argümanlardır.
§ 6. Örtülü işlevlerin farklılaşması
Bir veya daha fazla değişkenli bir fonksiyonu tanımlamanın yollarından bahsederken, bir fonksiyonun analitik tanımının açık veya örtülü olabileceğini belirtmiştik. İlk durumda, fonksiyonun değeri argümanların bilinen değerlerinden bulunur; ikincisinde fonksiyonun değeri ve argümanları bir denklemle ilişkilendirilir. Ancak denklemlerin ne zaman çözüleceğini belirtmedik.
Ve
Örtük olarak belirtilen işlevleri ve sırasıyla tanımlayın. Örtülü bir fonksiyonun varlığı için kullanımı kolay yeterli koşullar 
değişkenler ( 
) aşağıdaki teoremde yer almaktadır.
TEOREM6.1
. (örtük bir fonksiyonun varlığı) Fonksiyonun 
ve kısmi türevleri 
noktanın bazı komşuluklarında tanımlanmış ve süreklidir. Eğer 
Ve 
öyle bir mahalle var ki 
denklemin olduğu nokta
sürekli bir fonksiyonu tanımlar ve
1) Denklemi düşünün 
. Teoremin koşulları, örneğin noktanın herhangi bir komşuluğunda sağlanır. 
. Bu nedenle, noktanın bazı mahallelerinde 
bu denklem iki değişkenin örtülü bir fonksiyonu olarak tanımlanır ve . Bu fonksiyonun açık bir ifadesi aşağıdaki denklemin çözülmesiyle kolayca elde edilebilir:
2) Denklemi düşünün 
. İki değişkenli iki fonksiyonu tanımlar ve . Aslında teoremin koşulları, örneğin noktanın herhangi bir komşuluğunda karşılanır. 
verilen denklemin değeri alan sürekli bir fonksiyonu tanımladığı 
.
Öte yandan, teoremin koşulları noktanın herhangi bir komşuluğunda sağlanır. 
. Sonuç olarak, noktanın belirli bir komşuluğunda denklem, o noktada değer alan sürekli bir fonksiyonu tanımlar. 
.
Bir fonksiyon aynı anda iki değer alamayacağına göre iki farklı fonksiyondan bahsediyoruz demektir 
ve buna bağlı olarak. Açık ifadelerini bulalım. Bunu yapmak için orijinal denklemi çözelim. Aldık
3) Denklemi düşünün 
. Teoremin koşullarının noktanın herhangi bir komşuluğunda sağlandığı açıktır. 
. Sonuç olarak, noktanın böyle bir komşuluğu var 
burada denklem değişkenin örtülü bir fonksiyonu olarak tanımlanır. Denklem 'e göre çözülemediğinden bu fonksiyon için açık bir ifade elde etmek imkansızdır.
4) Denklem 
herhangi bir örtülü işlevi tanımlamaz, çünkü onu karşılayan hiçbir gerçek sayı çifti yoktur.
İşlev 
denklem tarafından verilen 
Teorem 6.1'e göre noktanın komşuluğundaki tüm argümanlara göre sürekli kısmi türevlere sahiptir. İşlevi açıkça belirtmeden bunları nasıl bulacağımızı öğrenelim.
Fonksiyona izin ver 
Teorem 6.1'in koşullarını karşılar. Daha sonra denklem 
sürekli fonksiyon 
. Karmaşık işlevi düşünün 
, Nerede . Fonksiyon tek değişkenli karmaşık bir fonksiyondur ve eğer 
, O
(6.1)
Öte yandan, formül (5.3)'e göre toplam türevi hesaplamak için 
(6.2)
(6.1) ve (6.2)'den şunu elde ederiz: eğer , o zaman
(6.3)
Yorum. Bölünür 
mümkündür, çünkü Teorem 6.1'e göre 
yakınlarda herhangi bir yerde.
ÖRNEK. Denklemin verdiği örtülü fonksiyonun türevini bulun ve değerini hesaplayın. 
.
, 
.
Kısmi türevleri formül (6.3)'te değiştirerek şunu elde ederiz:
.
Daha sonra, orijinal denklemin yerine iki değer koyarız: 
Ve 
.
Sonuç olarak, noktanın komşuluğunda denklem iki fonksiyonu tanımlar: 
Ve 
, Nerede 
, 
. Türevleri eşit olacaktır
Ve 
.
Şimdi denklemi kuralım 
bir noktanın bazı mahallelerini tanımlar 
işlev Hadi bulalım. Bunun aslında bir değişkenin sabit değerdeki fonksiyonu olarak kabul edilen bir fonksiyonun sıradan türevi olduğunu hatırlayalım. Bu nedenle, onu bir fonksiyon, bir argüman, bir sabit olarak kabul ederek onu bulmak için formül (6.3)'ü uygulayabiliriz. Aldık
. (6.4)
Benzer şekilde, bir fonksiyonu, bir argümanı, bir sabiti göz önünde bulundurarak formül (6.3)'ü kullanarak şunu buluruz:
. (6.5)
ÖRNEK. Denklemin verdiği fonksiyonun kısmi türevlerini bulun 
.
, 
, 
.
(6.4) ve (6.5) formüllerini kullanarak şunu elde ederiz:
, 
.
Son olarak, denklemin genel durumunu düşünün.
Bir noktanın belirli bir komşuluğundaki değişkenlerin bir fonksiyonunu tanımlar. İki değişkenin örtülü olarak verilen bir fonksiyonu için gerçekleştirilen argümanları tekrarlayarak şunu elde ederiz:
, 
, …, 
.
§ 7. Yönlü türev
1. Yönlü türev.
Bir etki alanında iki değişkenli bir fonksiyonun tanımlanmasına izin verin 
uçak 
, – bölgenin noktası, 
–herhangi bir yönün vektörü. Konumuzdan hareket edelim 
vektör yönünde bir noktaya. Fonksiyon bir artış alacak
Fonksiyon artışını bölelim 
ofset segmentinin uzunluğuna göre 
. Ortaya çıkan oran 
bölgedeki fonksiyonun ortalama değişim oranını verir 
. O zaman bu oranın limiti 
(varsa ve sonluysa) fonksiyonun o noktadaki değişim oranı olacaktır. 
vektör yönünde. O aradı bir fonksiyonun vektör yönündeki bir noktada türevi
ve belirtmek 
veya 
.
Fonksiyonun değişim hızına ek olarak, vektör yönündeki bir noktada fonksiyondaki değişimin niteliğini de belirlemenize olanak tanır. 
(artan veya azalan):
Bu ifadeler, tek değişkenli bir fonksiyon için benzer ifadelerle aynı şekilde kanıtlanır.
Bir fonksiyonun kısmi türevlerinin yönlü türevin özel bir durumu olduğuna dikkat edin. Yani, 
bu fonksiyonun vektör yönünde türevidir 
(eksen yönü 
), fonksiyonun vektör yönünde türevidir 
(eksen yönü 
).
Fonksiyonun bu noktada türevlenebilir olduğunu varsayalım. Daha sonra
Nerede 
– sonsuz küçük 
.
Belirleme
|
başından sonuna kadar 
, sahibiz
, anlıyoruz ki, bir noktadaKarmaşık bir fonksiyonun türevinin formülünün bir kanıtı verilmiştir. Karmaşık bir fonksiyonun bir veya iki değişkene bağlı olduğu durumlar ayrıntılı olarak ele alınır. Rasgele sayıda değişken olması durumunda bir genelleme yapılır.
İçerikAyrıca bakınız: Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü kullanma örnekleri
Temel formüller
Burada karmaşık bir fonksiyonun türevi için aşağıdaki formüllerin türetilmesini sağlıyoruz.
Eğer öyleyse
.
Eğer öyleyse
.
Eğer öyleyse
.
Karmaşık bir fonksiyonun tek değişkenden türevi
X değişkenli bir fonksiyonun aşağıdaki biçimde karmaşık bir fonksiyon olarak temsil edilmesine izin verin:
,
bazı işlevlerin olduğu yer. Fonksiyon x değişkeninin bazı değerleri için türevlenebilir. Fonksiyon değişkenin değerinde türevlenebilir.
Daha sonra karmaşık (bileşik) fonksiyon x noktasında türevlenebilir ve türevi aşağıdaki formülle belirlenir:
(1)
.
Formül (1) aşağıdaki şekilde de yazılabilir:
;
.
Kanıt
Aşağıdaki gösterimi tanıtalım.
;
.
Burada ve değişkenlerinin bir fonksiyonu var, ve değişkenlerinin bir fonksiyonu var. Ancak hesaplamaları karıştırmamak için bu fonksiyonların argümanlarını atlayacağız.
ve fonksiyonları sırasıyla x ve , noktalarında türevlenebilir olduğundan, bu noktalarda bu fonksiyonların aşağıdaki limitlere sahip türevleri vardır:
;
.
Aşağıdaki işlevi göz önünde bulundurun:
.
u değişkeninin sabit bir değeri için, bir fonksiyonudur. Açıkça görülüyor ki
.
Daha sonra
.
Fonksiyon bir noktada türevlenebilir bir fonksiyon olduğundan o noktada süreklidir. Bu yüzden
.
Daha sonra
.
Şimdi türevini buluyoruz.
.
Formül kanıtlanmıştır.
Sonuçlar
Bir x değişkeninin bir fonksiyonu, karmaşık bir fonksiyonun karmaşık bir fonksiyonu olarak temsil edilebiliyorsa
,
daha sonra türevi formülle belirlenir
.
Burada bazı türevlenebilir fonksiyonlar vardır.
Bu formülü kanıtlamak için, karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını kullanarak türevi sırayla hesaplıyoruz.
Karmaşık işlevi düşünün
.
Türevi
.
Orijinal işlevi düşünün
.
Türevi
.
İki değişkenli karmaşık bir fonksiyonun türevi
Şimdi karmaşık fonksiyonun birkaç değişkene bağlı olmasına izin verin. İlk önce şuna bakalım iki değişkenli karmaşık bir fonksiyon durumunda.
X değişkenine bağlı bir fonksiyonun, iki değişkenli karmaşık bir fonksiyon olarak aşağıdaki biçimde temsil edilmesine izin verin:
,
Nerede
ve x değişkeninin bazı değerleri için türevlenebilir fonksiyonlar vardır;
- noktasında türevi alınabilen iki değişkenli bir fonksiyon. Daha sonra karmaşık fonksiyon noktanın belirli bir komşuluğunda tanımlanır ve aşağıdaki formülle belirlenen bir türevi vardır:
(2)
.
Kanıt
Fonksiyonlar ve fonksiyonları noktada türevli olduklarından bu noktanın belli bir komşuluğunda tanımlıdırlar, noktada süreklidirler ve bu noktada türevleri de vardır ve bunlar aşağıdaki limitlerdir:
;
.
Burada
;
.
Bu fonksiyonların bir noktada sürekliliği nedeniyle elimizde:
;
.
Fonksiyon bu noktada türevlenebilir olduğundan bu noktanın belirli bir komşuluğunda tanımlıdır, bu noktada süreklidir ve artışı aşağıdaki biçimde yazılabilir:
(3)
.
Burada
- argümanları değerlerle artırıldığında bir fonksiyonun arttırılması ve;
;
- fonksiyonun değişkenlere göre kısmi türevleri ve .
ve'nin sabit değerleri için ve, ve değişkenlerinin fonksiyonlarıdır. Sıfırlama eğilimindedirler ve:
;
.
O zamandan beri ve o zaman
;
.
Fonksiyon artışı:
.
:
.
(3)'ü yerine koyalım:
.
Formül kanıtlanmıştır.
Karmaşık bir fonksiyonun çeşitli değişkenlerden türevi
Yukarıdaki sonuç, karmaşık bir fonksiyonun değişken sayısının ikiden fazla olduğu duruma kolaylıkla genelleştirilebilir.
Örneğin, eğer f ise üç değişkenli fonksiyon, O
,
Nerede
ve x değişkeninin bazı değerleri için türevlenebilir fonksiyonlar vardır;
- , , noktasında üç değişkenin türevlenebilir fonksiyonu.
O zaman fonksiyonun türevlenebilirliğinin tanımından şunu elde ederiz:
(4)
.
Çünkü süreklilik nedeniyle
;
;
,
O
;
;
.
(4)'ü bölerek ve limite geçerek şunu elde ederiz:
.
Ve son olarak şunu düşünelim en genel durum.
X değişkenli bir fonksiyonun, n değişkenli karmaşık bir fonksiyon olarak aşağıdaki biçimde temsil edilmesine izin verin:
,
Nerede
x değişkeninin bazı değerleri için türevlenebilir fonksiyonlar vardır;
- bir noktada n değişkenin türevlenebilir fonksiyonu
,
,
... , .
Daha sonra
.
