arcsin sinx grafiği. Ters trigonometrik fonksiyonlar, grafikleri ve formülleri

Ters trigonometrik fonksiyonlar(dairesel fonksiyonlar, yay fonksiyonları) - trigonometrik fonksiyonlara ters olan matematiksel fonksiyonlar.

Arksinüs(olarak gösterilir yay x; yay x açı günah eşittir x).

Arksinüs (y = arksin x) - ters trigonometrik fonksiyon günah (x = günah), bir tanım alanına ve bir dizi değere sahip olan . Başka bir deyişle, açıyı değerine göre döndürür günah.

İşlev y=günah x sürekli ve tüm sayı doğrusu boyunca sınırlı. İşlev y=yay x- kesinlikle artar.

Arcsin fonksiyonunun özellikleri.

yay grafiği.

Arcsin işlevini edinin.

bir işleve sahip olmak y = günah x. Tüm tanım alanı boyunca parçalı monotondur, bu nedenle ters yazışma y = arksin x bir fonksiyon değildir. Bu nedenle, sadece arttığı ve - aralığının her değerini aldığı segmenti dikkate alıyoruz. Çünkü işlev için y = günah x aralıkta, işlevin tüm değerleri, argümanın yalnızca bir değeri ile elde edilir, bu, bu segmentte ters bir işlev olduğu anlamına gelir. y = arksin x grafiği, fonksiyonun grafiğine simetrik olan y = günah x bir çizgi parçası üzerinde y=x.

Ters trigonometrik fonksiyonlarla ilgili görevler genellikle okul bitirme sınavlarında ve bazı üniversitelerde giriş sınavlarında sunulur. Bu konunun ayrıntılı bir şekilde çalışılması ancak ders dışı derslerde veya seçmeli derslerde gerçekleştirilebilir. Önerilen kurs, matematik eğitimini geliştirmek için her öğrencinin yeteneklerini mümkün olduğunca tam olarak geliştirmek için tasarlanmıştır.

Kurs 10 saat için tasarlanmıştır:

1. arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x fonksiyonları (4 saat).

2. Ters trigonometrik fonksiyonlarla ilgili işlemler (4 saat).

3. Trigonometrik fonksiyonlarda ters trigonometrik işlemler (2 saat).

Ders 1 (2 saat) Konu: Fonksiyonlar y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Amaç: Bu konunun tam kapsamı.

1. İşlev y \u003d arcsin x.

a) Segmentte y \u003d sin x işlevi için, arksinüs olarak adlandırmayı kabul ettiğimiz ve aşağıdaki gibi gösterdiğimiz ters (tek değerli) bir işlev vardır: y \u003d arcsin x. Ters fonksiyonun grafiği, I - III koordinat açılarının açıortaylarına göre ana fonksiyonun grafiği ile simetriktir.

Fonksiyon özellikleri y = arcsin x .

1)Tanım kapsamı: segment [-1; bir];

2) Değişim alanı: kesim;

3) Fonksiyon y = arcsin x tek: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) y = arcsin x fonksiyonu monoton olarak artıyor;

5) Grafik orijinde Ox, Oy eksenlerini kesiyor.

Örnek 1. a = arcsin bulun. Bu örnek, aşağıdaki gibi ayrıntılı olarak formüle edilebilir: sinüsü eşit olan, ila arasında uzanan böyle bir a argümanı bulun.

Çözüm. Sinüs değeri olan sayısız argüman vardır, örneğin: vb. Ama biz sadece aralıktaki argümanla ilgileniyoruz. Bu argüman olacaktır. Yani, .

Örnek 2. Bul .Çözüm.Örnek 1'deki gibi tartışırsak, şunu elde ederiz: .

b) sözlü egzersizler. Bulun: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin 0 Örnek cevap: , çünkü . İfadeler anlamlı mı: ; yay 1.5; ?

c) Artan sırada düzenleyin: arcsin, arcsin (-0.3), arcsin 0.9.

II. Fonksiyonlar y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (benzer şekilde).

Ders 2 (2 saat) Konu: Ters trigonometrik fonksiyonlar, grafikleri.

Amaç: Bu derste, trigonometrik fonksiyonların değerlerini belirleme, D (y), E (y) kullanarak ters trigonometrik fonksiyonları çizme ve gerekli dönüşümleri yapma becerilerini geliştirmek gereklidir.

Bu derste, şu türdeki fonksiyonların tanım alanını ve kapsamını bulma alıştırmalarını yapın: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos .

Fonksiyonların grafiklerini oluşturmak gereklidir: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 yaysin 2x; c) y \u003d arksin;

d) y \u003d arksin; e) y = arksin; f) y = arksin; g) y = | arksin | .

Örnek. y = arccos'u çizelim

Aşağıdaki alıştırmaları ödevinize dahil edebilirsiniz: fonksiyonların grafiklerini oluşturun: y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

ters fonksiyonların grafikleri

Ders #3 (2 saat) Konu:

Ters trigonometrik fonksiyonlar üzerinde işlemler.

Amaç: ters trigonometrik fonksiyonlar için temel ilişkileri tanıtarak matematiksel bilgiyi genişletmek (matematiksel hazırlık için artan gereksinimleri olan uzmanlıklara başvuranlar için önemlidir).

Ders materyali.

Ters trigonometrik fonksiyonlarda bazı basit trigonometrik işlemler: günah (arcsin x) \u003d x, i xi? bir; çünkü (arсcos x) = x, i xi? bir; tg (yay x)= x , x I R; ctg (yay x) = x , x ben R.

Egzersizler.

a) tg (1.5 + arktg 5) = - ctg (arktg 5) = .

ctg (arctgx) = ; tg (yay x) = .

b) cos (+ arcsin 0.6) = - cos (arcsin 0.6). Arksin 0,6 \u003d a, sin a \u003d 0,6 olsun;

cos(arcsin x) = ; günah (arccos x) = .

Not: a = arcsin x'i sağladığı için kökün önüne “+” işaretini alıyoruz.

c) sin (1.5 + arcsin) Cevap:;

d) ctg ( + arctg 3) Cevap: ;

e) tg (- arcctg 4) Cevap: .

f) cos (0.5 + arccos) . Cevap: .

Hesaplamak:

a) günah (2 arctan 5) .

arktg 5 = a olsun, sonra sin 2 a = veya sin(2 arctan 5) = ;

b) cos (+ 2 arcsin 0.8) Cevap: 0.28.

c) ark + ark.

a = arktg , b = arktg olsun ,

o zaman tan(a + b) = .

d) günah (arcsin + arcsin).

e) Tüm x I [-1 için; 1] gerçek arcsin x + arccos x = .

Kanıt:

arcsin x = - arccos x

sin (arcsin x) = günah (- arccos x)

x = çünkü (arccos x)

Bağımsız bir çözüm için: günah (arccos), çünkü (arcsin) , cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos) , ctg (arccos).

Ev çözümü için: 1) sin (arcsin 0.6 + arctg 0); 2) arksin + arksin; 3) ctg ( - arccos 0.6); 4) cos (2 arkctg 5) ; 5) sin (1.5 - arcsin 0.8); 6) ark 0.5 - ark 3.

4. Ders (2 saat) Konu: Ters trigonometrik fonksiyonlarla ilgili işlemler.

Amaç: Bu derste daha karmaşık ifadelerin dönüşümünde oranların kullanımını göstermek.

Ders materyali.

SÖZLÜ OLARAK:

a) sin (arccos 0.6), cos (arcsin 0.8);

b) tg (arctg 5), ctg (arctg 5);

c) günah (arctg -3), cos (arktg ());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

YAZILI:

1) cos (arksin + arksin + arksin).

2) cos (arctg 5 - arccos 0.8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0.8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0.8) =

3) tg (- arksin 0,6) = - tg (arksin 0,6) =

4)

Bağımsız çalışma, malzemenin asimilasyon seviyesini belirlemeye yardımcı olacaktır.

1) tg ( arktg 2 - arktg ) 2) cos( - arctg2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arksin + arksin) 2) günah (1.5 - arktg 3) 3) arkctg3 - arktg 2

Ev ödevi için şunları sunabilirsiniz:

1) ctg (arktg + arktg + arktg); 2) sin 2 (arctg 2 - arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tg ( arcsin )); 4) günah (2 arctan); 5) tg ( (arcsin ))

Ders No. 5 (2h) Konu: Trigonometrik fonksiyonlarda ters trigonometrik işlemler.

Amaç: öğrencilerin trigonometrik fonksiyonlar üzerindeki ters trigonometrik işlemler anlayışını oluşturmak, çalışılan teorinin anlamlılığını artırmaya odaklanmak.

Bu konuyu incelerken, ezberlenecek teorik materyal miktarının sınırlı olduğu varsayılır.

Ders materyali:

y = arcsin (sin x) fonksiyonunu inceleyip grafiğini çizerek yeni materyal öğrenmeye başlayabilirsiniz.

3. Her x I R, y I ile ilişkilidir, yani.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. İşlev tektir: sin (-x) \u003d - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Grafik y = arcsin (sin x):

bir) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

günah y \u003d günah ( - x) \u003d sinx, 0<= - x <= .

Yani,

y = arcsin (sin x) üzerine kurduktan sonra, [- ; 0], bu işlevin tuhaflığını dikkate alarak. Periyodikliği kullanarak, tüm sayısal eksene devam ediyoruz.

Sonra bazı oranları yazın: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos a ) = 0 ise<= a <= ; arktg (tg a) = bir eğer< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

Ve aşağıdaki alıştırmaları yapın: a) arccos (sin 2) Cevap: 2 - ; b) arcsin (cos 0.6) Cevap: - 0.1; c) arktg (tg 2) Cevap: 2 -;

d) arcctg (tg 0.6) Cevap: 0.9; e) arccos (cos ( - 2)) Cevap: 2 -; f) arcsin (sin (- 0.6)). Cevap: - 0.6; g) yay (tg 2) = yay (tg (2 - )). Cevap: 2 - ; h) yay (tg 0.6). Cevap: - 0.6; - arctanx; e) arklar + arklar

Sin, cos, tg ve ctg fonksiyonlarına her zaman bir ark, ark, arktanjant ve arkkotanjant eşlik eder. Biri diğerinin sonucudur ve fonksiyon çiftleri, trigonometrik ifadelerle çalışmak için eşit derecede önemlidir.

Trigonometrik fonksiyonların değerlerini grafiksel olarak gösteren bir birim çember çizmeyi düşünün.

OA, arcos OC, arctg DE ve arcctg MK yaylarını hesaplarsanız, hepsi α açısının değerine eşit olacaktır. Aşağıdaki formüller, ana trigonometrik fonksiyonlar ile bunlara karşılık gelen yaylar arasındaki ilişkiyi yansıtır.

Yayın özellikleri hakkında daha fazla bilgi edinmek için işlevini göz önünde bulundurmak gerekir. Takvim koordinatların merkezinden geçen asimetrik bir eğri şeklindedir.

Arcsine özellikleri:

Grafikleri karşılaştırırsak günah ve ark günahı, iki trigonometrik fonksiyon ortak kalıplar bulabilir.

ark kosinüsü

a sayısının arkcos'u, kosinüsü a'ya eşit olan α açısının değeridir.

eğri y = arkos x tek farkı OY ekseni üzerindeki π/2 noktasından geçmesidir.

Arccosine işlevini daha ayrıntılı olarak düşünün:

1. İşlev [-1; bir].
2. Arccos için ODZ - .
3. Grafik tamamen I ve II çeyreklerinde bulunur ve fonksiyonun kendisi ne çift ne de tektir.
4. x = 1 için Y = 0.
5. Eğri tüm uzunluğu boyunca azalır. Ark kosinüsünün bazı özellikleri kosinüs fonksiyonu ile aynıdır.

Ark kosinüsünün bazı özellikleri kosinüs fonksiyonu ile aynıdır.

"Kemerlerin" böylesine "ayrıntılı" bir çalışmasının okul çocukları için gereksiz görünmesi mümkündür. Ancak, aksi takdirde, bazı temel tipik KULLANIM görevleri öğrencileri çıkmaza sokabilir.

1. Egzersiz.Şekilde gösterilen işlevleri belirtin.

Cevap: pilav. 1 - 4, şekil 2 - 1.

Bu örnekte, vurgu küçük şeyler üzerindedir. Genellikle, öğrenciler grafiklerin oluşturulması ve fonksiyonların görünümü konusunda çok dikkatsizdirler. Aslında, her zaman hesaplanan noktalardan inşa edilebiliyorsa, neden eğrinin şeklini ezberleyesiniz? Test koşullarında basit bir görev için çizim yapmak için harcanan zamanın daha karmaşık görevleri çözmek için gerekli olacağını unutmayın.

arktanjant

Arktg a sayısı, α açısının öyle bir değeridir ki, teğeti a'ya eşittir.

Ark teğetinin grafiğini düşünürsek, aşağıdaki özellikleri ayırt edebiliriz:

1. Grafik sonsuzdur ve (- ∞; + ∞) aralığında tanımlanır.
2. Arktanjant tek bir fonksiyondur, dolayısıyla arktan (- x) = - arktan x.
3. x = 0 için Y = 0.
4. Eğri, tüm tanım alanı boyunca artar.

Bir tablo şeklinde tg x ve arctg x'in kısa bir karşılaştırmalı analizini verelim.

ark teğeti

a sayısının arkctg'si, (0; π) aralığından öyle bir α değeri alır ki, kotanjantı a'ya eşittir.

Ark kotanjant fonksiyonunun özellikleri:

1. Fonksiyon tanımlama aralığı sonsuzdur.
2. Kabul edilebilir değerler aralığı (0; π) aralığıdır.
3. F(x) ne çift ne de tektir.
4. Uzunluğu boyunca, fonksiyonun grafiği azalır.

ctg x ve arctg x'i karşılaştırmak çok basittir, sadece iki çizim yapmanız ve eğrilerin davranışını tanımlamanız yeterlidir.

Görev 2. Grafiği ve fonksiyonun biçimini ilişkilendirin.

Mantıksal olarak, grafikler her iki fonksiyonun da arttığını göstermektedir. Bu nedenle, her iki şekil de bazı arctg işlevlerini gösterir. Yay tanjantının özelliklerinden x = 0 için y=0 olduğu bilinmektedir,

Cevap: pilav. 1 - 1, şek. 2-4.

Trigonometrik kimlikler arcsin, arcos, arctg ve arcctg

Daha önce, kemerler ile trigonometrinin ana işlevleri arasındaki ilişkiyi zaten tanımlamıştık. Bu bağımlılık, örneğin bir argümanın sinüsünü arksinüsü, arkkosinüsü veya tersi yoluyla ifade etmeye izin veren bir dizi formülle ifade edilebilir. Bu tür kimliklerin bilgisi, belirli örnekleri çözmede yararlı olabilir.

Arctg ve arcctg için de oranlar vardır:

Bir başka yararlı formül çifti, aynı açının arcsin ve arcos ve arcctg ve arcctg değerlerinin toplamı için değeri ayarlar.

Problem çözme örnekleri

Trigonometri görevleri koşullu olarak dört gruba ayrılabilir: belirli bir ifadenin sayısal değerini hesaplayın, belirli bir işlevi çizin, tanım alanını veya ODZ'yi bulun ve örneği çözmek için analitik dönüşümler gerçekleştirin.

İlk tür görevleri çözerken, aşağıdaki eylem planına bağlı kalmak gerekir:

Fonksiyon grafikleriyle çalışırken asıl mesele, özelliklerinin bilgisi ve eğrinin görünümüdür. Trigonometrik denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek için kimlik tablolarına ihtiyaç vardır. Öğrenci ne kadar çok formül hatırlarsa, görevin yanıtını bulmak o kadar kolay olur.

Sınavda aşağıdaki türde bir denklemin cevabını bulmanın gerekli olduğunu varsayalım:

İfadeyi doğru bir şekilde dönüştürür ve istenen forma getirirseniz, çözmek çok basit ve hızlıdır. İlk olarak, arksin x'i denklemin sağ tarafına taşıyalım.

Formülü hatırlarsak arcsin (sinα) = α, o zaman cevap aramayı iki denklemli bir sistemi çözmeye indirgeyebiliriz:

x modelindeki kısıtlama, yine arcsin'in özelliklerinden kaynaklanmaktadır: ODZ for x [-1; bir]. a ≠ 0 olduğunda, sistemin bir kısmı kökleri x1 = 1 ve x2 = - 1/a olan ikinci dereceden bir denklemdir. a = 0 ile x, 1'e eşit olacaktır.

Trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğundan, bunların tersi olan fonksiyonlar tek değerli değildir. Yani, y = denklemi günah x, verilen için sonsuz sayıda köke sahiptir. Aslında, sinüsün periyodikliği nedeniyle, eğer x böyle bir kök ise, o zaman x + 2n(burada n bir tamsayıdır) ayrıca denklemin kökü olacaktır. Böylece, ters trigonometrik fonksiyonlar çok değerlidir. Onlarla çalışmayı kolaylaştırmak için ana değerleri kavramı tanıtılır. Örneğin sinüsü ele alalım: y = günah x. X bağımsız değişkenini aralıkla sınırlarsak, o zaman y = işlevi onun üzerindedir. günah x monoton olarak artar. Bu nedenle, yay olarak adlandırılan tek değerli bir ters fonksiyona sahiptir: x = arksin y.

Aksi belirtilmedikçe, ters trigonometrik fonksiyonlar, aşağıdaki tanımlarla tanımlanan temel değerleri anlamına gelir.

arksin ( y= yay x) sinüsün ters fonksiyonudur ( x= sinsi
Ark kosinüsü ( y= arkcos x) kosinüsün ters fonksiyonudur ( x= Rahat) bir tanım alanına ve bir dizi değere sahip olan .
arktanjant ( y= yay x) teğetin ters fonksiyonudur ( x= tg y) bir tanım alanına ve bir dizi değere sahip olan .
ark teğeti ( y= yay x) kotanjantın ters fonksiyonudur ( x= ctg y) bir tanım alanına ve bir dizi değere sahip olan .

Ters trigonometrik fonksiyonların grafikleri

Ters trigonometrik fonksiyonların grafikleri, y = x düz çizgisine göre ayna yansıması ile trigonometrik fonksiyonların grafiklerinden elde edilir. Sinüs, kosinüs, Teğet, kotanjant bölümlerine bakın.

y= yay x

y= arkcos x

y= yay x

y= yay x

Temel formüller

Burada formüllerin geçerli olduğu aralıklara özellikle dikkat edilmelidir.

arcsin(günah x) = x de
günah(yaysin x) = x
arccos(cos x) = x de
cos(arccos x) = x

arktg(tg x) = x de
tg(yay x) = x
arkctg(ctg x) = x de
ctg(yay x) = x

Ters trigonometrik fonksiyonlarla ilgili formüller

Ayrıca bakınız: Ters trigonometrik fonksiyonlar için formüllerin türetilmesi

Toplam ve fark formülleri

veya

ve

ve

veya

ve

ve

de

de

de

de

de

de

de

de

de

de

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Yüksek Eğitim Kurumlarının Mühendisleri ve Öğrencileri için Matematik El Kitabı, Lan, 2009.

(dairesel fonksiyonlar, yay fonksiyonları) - trigonometrik fonksiyonlara ters olan matematiksel fonksiyonlar.

ark kosinüsü, cos'a ters fonksiyon (x = cos y), y= arklar x için tanımlanır ve bir dizi değere sahiptir. Başka bir deyişle, açıyı değerine göre döndürür çünkü.

ark kosinüsü(sembol: arkcos x; arkcos x kosinüsü eşit olan açıdır x ve benzeri).

İşlev y = çünkü x sürekli ve tüm sayı doğrusu boyunca sınırlı. İşlev y = yay x kesin olarak azalmaktadır.

Arcsin fonksiyonunun özellikleri.

Arccos işlevini alma.

Verilen bir işlev y = çünkü x. Tüm tanım alanı boyunca parçalı monotondur ve bu nedenle ters karşılık gelir y = yay x bir fonksiyon değildir. Bu nedenle, kesinlikle azaldığı ve tüm değerlerini aldığı segmenti ele alacağız - . Bu segmentte y = çünkü x kesinlikle monoton olarak azalır ve tüm değerlerini yalnızca bir kez alır, bu da aralıkta ters bir fonksiyon olduğu anlamına gelir y = yay x grafiği grafiğe simetrik olan y = çünkü x bir çizgi parçası üzerinde y=x.