Bir dizi fonksiyon değeri nasıl tanımlanır. Sınavın görevlerindeki işlevlerin kapsamı
Bir değişkenin diğerine bağımlılığına denir işlevsel bağımlılık. Değişken bağımlılık y bir değişkenden x isminde işlev, eğer her bir değer x tek bir değerle eşleşir y.
atama:
değişken x bağımsız değişken denir veya argüman, ve değişken y- bağımlı. öyle diyorlar y bir fonksiyonudur x. Anlam y verilen değere karşılık gelen x, isminde fonksiyon değeri.
Aldığı tüm değerler x, form fonksiyon kapsamı; aldığı tüm değerler y, form fonksiyon değerleri seti.
Tanımlamalar: 
D(f)- bağımsız değişken değerleri. E(f)- fonksiyon değerleri. Fonksiyon bir formül tarafından verilirse, tanım alanının, bu formülün anlamlı olduğu değişkenin tüm değerlerinden oluştuğu kabul edilir.
Fonksiyon Grafiği apsisleri argümanın değerlerine eşit olan koordinat düzlemindeki tüm noktaların kümesi denir ve ordinatlar fonksiyonun karşılık gelen değerlerine eşittir. eğer bir değer x=x0 birden fazla değeri eşleştirin (sadece bir tane değil) y, o zaman böyle bir yazışma bir işlev değildir. Koordinat düzleminin noktaları kümesinin bir fonksiyonun grafiği olması için, Oy eksenine paralel herhangi bir düz çizginin grafikle birden fazla noktada kesişmemesi gerekli ve yeterlidir.
Bir işlevi ayarlamanın yolları
1) Fonksiyon ayarlanabilir analitik olarak bir formül şeklinde. Örneğin, 
2) Fonksiyon, birçok çiftten oluşan bir tablo ile tanımlanabilir. (x; y).
3) Fonksiyon grafiksel olarak ayarlanabilir. Değer Çiftleri (x; y) koordinat düzleminde görüntülenir.
fonksiyon monotonluğu
İşlev f(x) isminde artan belirli bir sayısal aralıkta, bağımsız değişkenin daha büyük bir değeri, işlevin daha büyük bir değerine karşılık geliyorsa. Grafik boyunca belirli bir noktanın soldan sağa doğru hareket ettiğini hayal edin. O zaman nokta bir nevi grafikte "tırmanacak".
İşlev f(x) isminde azalan belirli bir sayısal aralıkta, bağımsız değişkenin daha büyük bir değeri, işlevin daha küçük bir değerine karşılık geliyorsa. Grafik boyunca belirli bir noktanın soldan sağa doğru hareket ettiğini hayal edin. O zaman nokta, olduğu gibi, çizelgede aşağı doğru "yuvarlanır".
Belirli bir sayısal aralıkta yalnızca artan veya yalnızca azalan bir fonksiyona ne ad verilir? monoton bu aralıkta.
İşlev sıfırları ve sabitlik aralıkları
değerler x, hangi y=0, denir fonksiyon sıfırları. Bunlar, fonksiyonun grafiğinin x ekseni ile kesişme noktalarının apsisleridir.
Bu tür değer aralıkları x, fonksiyonun değerlerinin üzerinde y sadece pozitif veya sadece negatif denir fonksiyonun işaret sabitliği aralıkları.
Çift ve tek fonksiyonlar
Eşit işlev
1) Tanım alanı (0; 0) noktasına göre simetriktir, yani nokta a tanım alanına aittir, sonra nokta -a aynı zamanda tanım alanına da aittir.
2) Herhangi bir değer için x f(-x)=f(x)
3) Bir çift fonksiyonun grafiği Oy eksenine göre simetriktir.
Tek işlev aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1) Tanım alanı (0; 0) noktasına göre simetriktir.
2) herhangi bir değer için x tanım alanına ait olan, eşitlik f(-x)=-f(x)
3) Tek bir fonksiyonun grafiği, orijine (0; 0) göre simetriktir.
Her fonksiyon çift veya tek değildir. Fonksiyonlar Genel görünüm ne çift ne de tek.
Periyodik fonksiyonlar
İşlev Föyle bir sayı varsa periyodik olarak adlandırılır. x tanım alanından eşitlik f(x)=f(x-T)=f(x+T). T fonksiyonun periyodudur.
Her periyodik fonksiyonun sonsuz sayıda periyodu vardır. Uygulamada, genellikle en küçük pozitif dönem kabul edilir.
Periyodik fonksiyonun değerleri, periyoda eşit bir aralıktan sonra tekrarlanır. Bu, grafikler çizilirken kullanılır.
Çoğu zaman, problem çözme çerçevesinde, tanım alanında veya bir segmentte bir fonksiyonun bir dizi değerini aramamız gerekir. Örneğin, çözerken bu yapılmalıdır. farklı şekiller eşitsizlikler, ifade değerlendirmeleri vb.
Bu materyalin bir parçası olarak, size bir fonksiyonun aralığının ne olduğunu anlatacağız, hesaplanabileceği ana yöntemleri vereceğiz ve görevleri analiz edeceğiz. değişen dereceler zorluklar. Anlaşılır olması için, bireysel konumlar grafiklerle gösterilmiştir. Bu makaleyi okuduktan sonra, bir fonksiyonun kapsamı hakkında kapsamlı bir anlayışa sahip olacaksınız.
Temel tanımlarla başlayalım.
tanım 1
Bazı x aralığında y = f (x) işlevinin değer kümesi, bu işlevin tüm değerleri üzerinde yineleme yaparken aldığı tüm değerlerin kümesidir x ∈ X .
tanım 2
Bir fonksiyonun y = f (x) aralığı, x ∈ (f) aralığından x değerlerini yinelerken alabileceği tüm değerlerinin kümesidir.
Bazı fonksiyonların aralığı genellikle E(f) ile gösterilir.
Lütfen bir fonksiyonun değer kümesi kavramının, değerlerinin alanıyla her zaman aynı olmadığını unutmayın. Bu kavramlar, yalnızca değer kümesi bulunurken x değer aralığı işlevin etki alanı ile çakışırsa eşdeğer olacaktır.
Sağ taraftaki y = f (x) ifadesi için x değişkeninin aralığını ve aralığını ayırt etmek de önemlidir. f(x) ifadesi için kabul edilebilir x değerlerinin alanı bu fonksiyonun tanım alanı olacaktır.
Aşağıda bazı örnekleri gösteren bir çizim bulunmaktadır. Mavi çizgiler fonksiyonların grafikleridir, kırmızılar asimptotlardır, kırmızı noktalar ve y eksenindeki çizgiler fonksiyonun aralıklarıdır.
Açıkçası, fonksiyonun aralığı, fonksiyonun grafiğini O y eksenine yansıtarak elde edilebilir. Aynı zamanda, tek bir sayı veya bir dizi sayı, bir segment, bir aralık, bir açık ışın, bir sayısal aralıklar birliği vb.
Bir fonksiyonun aralığını bulmanın ana yollarını düşünün.
[ a ; B] . Belirli bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun minimum ve maksimum değerlerine, yani maksimum m a x x ∈ a ; b f (x) ve en küçük değer m ben n x ∈ a ; bf(x) . Böylece, bir m i n x ∈ a segmenti elde ederiz; bf(x); m x x ∈ bir ; b f (x) , orijinal işlevin değer kümelerini içerecektir. O zaman tek yapmamız gereken bu segment üzerinde belirtilen minimum ve maksimum noktaları bulmaktır.
Arksin değer aralığını belirlemenin gerekli olduğu bir problemi ele alalım.
örnek 1
Koşul: y = a r c sin x aralığını bulun.
Çözüm
Genel durumda, arksinüs tanım alanı [ - 1 ; 1 ] . Üzerinde belirtilen fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini belirlememiz gerekiyor.
y "= a r c günah x" = 1 1 - x 2
[ - 1 ; aralığında bulunan tüm x değerleri için fonksiyonun türevinin pozitif olacağını biliyoruz; 1 ] , yani tüm tanım alanı boyunca ark sinüs fonksiyonu artacaktır. Bu, x -1'e eşit olduğunda en küçük değeri ve x 1'e eşit olduğunda en büyük - değeri alacağı anlamına gelir.
m ben x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a rc sin 1 = π 2
Böylece, arksinüs fonksiyonunun aralığı E (a r c sin x) = - π 2'ye eşit olacaktır; π 2 .
Yanıt vermek: E (ar c sin x) \u003d - π 2; π 2
Örnek 2
Koşul: verilen aralıkta y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 aralığını hesaplayın [ 1 ; 4 ].
Çözüm
Tek yapmamız gereken verilen aralıktaki fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini hesaplamak.
Ekstremum noktalarını belirlemek için aşağıdaki hesaplamaları yapmak gerekir:
y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 ve l ve 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1;4
Şimdi verilen fonksiyonun değerlerini segmentin uçlarında ve x 2 = 15 - 33 8 noktalarında bulalım; x 3 \u003d 15 + 33 8:
y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32
Bu, fonksiyon değerleri kümesinin 117 - 165 33 512 segmenti tarafından belirleneceği anlamına gelir; 32 .
Yanıt vermek: 117 - 165 33 512 ; 32 .
(a ; b) ve a aralıklarında y = f (x) sürekli fonksiyonunun değer kümesini bulmaya devam edelim; + ∞ , - ∞ ; b, -∞ ; +∞ .
Belirli bir aralıktaki en büyük ve en küçük noktaların yanı sıra artış ve azalma aralıklarını belirleyerek başlayalım. Bundan sonra, aralığın sonundaki tek taraflı limitleri ve/veya sonsuzdaki limitleri hesaplamamız gerekecek. Başka bir deyişle, verilen koşullar altında fonksiyonun davranışını belirlememiz gerekir. Bunun için gerekli tüm verilere sahibiz.
Örnek 3
Koşul:(- 2 ; 2) aralığında y = 1 x 2 - 4 fonksiyonunun aralığını hesaplayın .
Çözüm
Belirli bir aralıkta fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini belirleyin
y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)
Maksimum değeri 0'a eşitledik, çünkü bu noktada fonksiyonun işareti değişir ve grafik azalmaya başlar. İllüstrasyona bakın:
Yani, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 maksimum değerler fonksiyonlar.
Şimdi sağ tarafta - 2 ve sol tarafta + 2 olma eğiliminde olan bir x için fonksiyonun davranışını tanımlayalım. Başka bir deyişle, tek taraflı limitler buluyoruz:
lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞
Argüman - 2'den 0'a değiştiğinde fonksiyon değerlerinin eksi sonsuzdan - 1 4'e yükseleceğini anladık. Ve argüman 0'dan 2'ye değiştiğinde, fonksiyonun değerleri eksi sonsuza doğru azalır. Bu nedenle, ihtiyacımız olan aralıkta verilen fonksiyonun değer kümesi (- ∞ ; - 1 4 ] olacaktır.
Yanıt vermek: (- ∞ ; - 1 4 ] .
Örnek 4
Koşul: verilen aralıkta y = t g x değer kümesini belirtin - π 2 ; π 2 .
Çözüm
Genel olarak, - π 2'deki tanjantın türevinin; π 2 pozitif olacak, yani fonksiyon artacak. Şimdi fonksiyonun verilen sınırlar içinde nasıl davrandığını tanımlayalım:
lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞
Argüman - π 2'den π 2'ye değiştiğinde, fonksiyonun değerlerinde eksi sonsuzdan artı sonsuza bir artış elde ettik ve bu fonksiyonun çözüm kümesinin tüm gerçeklerin kümesi olacağını söyleyebiliriz. sayılar.
Yanıt vermek: - ∞ ; + ∞ .
Örnek 5
Koşul: y = ln x doğal logaritma fonksiyonunun aralığının ne olduğunu belirleyin.
Çözüm
Bu fonksiyonun D (y) = 0 argümanının pozitif değerleri için tanımlandığını biliyoruz; +∞ . Verilen aralıktaki türev pozitif olacaktır: y " = ln x " = 1 x . Bu, fonksiyonun üzerinde arttığı anlamına gelir. Ardından, argümanın 0'a (sağ tarafta) gittiği ve x'in sonsuza gittiği durum için tek taraflı bir limit tanımlamamız gerekiyor:
lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞
x değerleri sıfırdan artı sonsuza doğru değiştikçe fonksiyonun değerlerinin eksi sonsuzdan artı sonsuza doğru artacağını bulduk. Bu, tüm reel sayıların kümesinin doğal logaritma fonksiyonunun aralığı olduğu anlamına gelir.
Yanıt vermek: tüm reel sayılar kümesi, doğal logaritma fonksiyonunun aralığıdır.
Örnek 6
Koşul: y = 9 x 2 + 1 fonksiyonunun aralığının ne olduğunu belirleyin.
Çözüm
Bu fonksiyon, x'in gerçek bir sayı olması şartıyla tanımlanır. Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini ve ayrıca artış ve azalma aralıklarını hesaplayalım:
y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
Sonuç olarak x ≥ 0 ise bu fonksiyonun azalacağını belirledik; x ≤ 0 ise artırın; değişken 0 olduğunda maksimum y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 noktasına sahiptir.
Şimdi fonksiyonun sonsuzda nasıl davrandığını görelim:
lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0
Bu durumda fonksiyonun değerlerinin asimptotik olarak 0'a yaklaşacağı kayıttan görülebilir.
Özetlemek gerekirse: argüman eksi sonsuzdan sıfıra değiştiğinde, fonksiyonun değerleri 0'dan 9'a yükselir. Argüman değerleri 0'dan artı sonsuza giderken karşılık gelen fonksiyon değerleri 9'dan 0'a düşecektir. Bunu şekilde tasvir ettik:
Fonksiyonun aralığının E (y) = (0 ; 9 ] aralığı olacağını gösterir.
Yanıt vermek: E (y) = (0 ; 9 ]
y = f (x) fonksiyonunun değer kümesini [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , o zaman tam olarak aynı çalışmaları yapmamız gerekecek. Bu vakaları henüz analiz etmeyeceğiz: daha sonra problemlerde karşılaşacağız .
Peki ya belirli bir fonksiyonun alanı birkaç aralığın birleşimiyse? Daha sonra bu aralıkların her birinde değer kümelerini hesaplamamız ve birleştirmemiz gerekiyor.
Örnek 7
Koşul: y = x x - 2 aralığının ne olacağını belirleyin .
Çözüm
Fonksiyonun paydası 0'a çevrilmemesi gerektiği için D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞ .
İlk segmentte fonksiyon değerleri kümesini tanımlayarak başlayalım - ∞ ; 2, açık bir ışındır. Üzerindeki fonksiyonun azalacağını, yani bu fonksiyonun türevinin negatif olacağını biliyoruz.
lim x → 2 - 0 xx - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ xx - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0
Ardından, argümanın eksi sonsuza doğru değiştiği durumlarda, fonksiyonun değerleri asimptotik olarak 1'e yaklaşacaktır. x'in değerleri eksi sonsuzdan 2'ye değişirse, değerler 1'den eksi sonsuza, yani. bu segmentteki fonksiyon - ∞ aralığından değerler alacaktır; 1 . Fonksiyonun değerleri ona ulaşmadığı, ancak sadece asimptotik olarak yaklaştığı için birliği akıl yürütmemizden hariç tutuyoruz.
Açık ışın 2 için; + ∞ birebir aynı işlemleri yapıyoruz. Üzerindeki fonksiyon da azalıyor:
lim x → 2 + 0 xx - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ xx - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0
Bu segmentteki fonksiyonun değerleri set 1 ile belirlenir; +∞ . Bu, ihtiyacımız olan koşulda belirtilen fonksiyonun değer aralığının kümelerin birleşimi olacağı anlamına gelir - ∞; 1 ve 1 ; +∞ .
Yanıt vermek: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; +∞ .
Bu, grafikte görülebilir:
Özel bir durum, periyodik fonksiyonlardır. Değer alanları, bu işlevin periyoduna karşılık gelen aralıktaki değerler kümesiyle çakışmaktadır.
Örnek 8
Koşul: sinüs y = sin x aralığını belirleyin.
Çözüm
Sinüs, periyodik bir işlevi ifade eder ve periyodu 2 pi'dir. 0 segmenti alıyoruz; 2 π ve üzerindeki değer kümesinin ne olacağını görün.
y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z
0 içinde; 2 π fonksiyonun π 2 ve x = 3 π 2 uç noktaları olacaktır. En büyük ve en küçük değeri seçtiğimiz, segmentin sınırlarında olduğu gibi, fonksiyonun değerlerinin de bunlara eşit olacağını hesaplayalım.
y (0) = günah 0 = 0 y π 2 = günah π 2 = 1 y 3 π 2 = günah 3 π 2 = - 1 y (2 π) = günah (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π günah x = günah 3 π 2 = - 1 , maksimum x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d günah π 2 \u003d 1
Yanıt vermek: E (sinx) = - 1 ; 1 .
Üstel, üstel, logaritmik, trigonometrik, ters trigonometrik gibi fonksiyon aralıklarını bilmeniz gerekiyorsa, temel temel fonksiyonlar hakkındaki makaleyi tekrar okumanızı tavsiye ederiz. Burada sunduğumuz teori, orada belirtilen değerleri test etmemizi sağlıyor. Problem çözmede sıklıkla gerekli olduklarından, bunları öğrenmek arzu edilir. Ana fonksiyonların aralıklarını biliyorsanız, geometrik bir dönüşüm kullanarak temel fonksiyonlardan elde edilen fonksiyonların aralıklarını kolayca bulabilirsiniz.
Örnek 9
Koşul: y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 aralığını belirleyin .
Çözüm
0'dan pi'ye kadar olan bölümün, ters kosinüs aralığı olduğunu biliyoruz. Başka bir deyişle, E (a r c cos x) = 0 ; π veya 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Ark kosinüsünden a r c cos x 3 + 5 π 7 fonksiyonunu O x ekseni boyunca kaydırıp gererek elde edebiliriz, ancak bu tür dönüşümler bize hiçbir şey vermez. Dolayısıyla, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .
3 a r c cos x 3 + 5 π 7 fonksiyonu, ters kosinüs a r c cos x 3 + 5 π 7'den y ekseni boyunca gerilerek elde edilebilir, yani. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Son dönüşüm, Oy ekseni boyunca 4 değer kaymasıdır. Sonuç olarak, bir çift eşitsizlik elde ederiz:
0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4
İhtiyacımız olan aralığın E (y) = - 4'e eşit olacağını anladık; 3 pi - 4 .
Yanıt vermek: E(y) = - 4; 3 pi - 4 .
Açıklama yapmadan bir örnek daha yazalım çünkü öncekine tamamen benzer.
Örnek 10
Koşul: y = 2 2 x - 1 + 3 fonksiyonunun aralığının ne olacağını hesaplayın.
Çözüm
y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 koşulunda verilen fonksiyonu yeniden yazalım. Bir güç fonksiyonu için y = x - 1 2 aralık 0 aralığında tanımlanacaktır; + ∞ , yani x - 1 2 > 0 . Bu durumda:
2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3
O halde E(y) = 3 ; +∞ .
Yanıt vermek: E(y) = 3; +∞ .
Şimdi sürekli olmayan bir fonksiyonun aralığını nasıl bulacağımıza bakalım. Bunu yapmak için, tüm alanı aralıklara bölmemiz ve her birinin üzerindeki değer kümelerini bulmamız ve sonra sahip olduklarımızı birleştirmemiz gerekiyor. Bunu daha iyi anlamak için, ana fonksiyon kesme noktası türlerini gözden geçirmenizi tavsiye ederiz.
Örnek 11
Koşul: verilen bir fonksiyon y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Aralığını hesaplayın.
Çözüm
Bu fonksiyon tüm x değerleri için tanımlanmıştır. - 3 ve 3'e eşit olan argümanın değerleriyle süreklilik için analiz edelim:
lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 günah x 2 - 4 = 2 günah - 3 2 - 4 = - 2 günah 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)
- 3 argümanının değeriyle birinci türden kurtarılamaz bir süreksizliğimiz var. Yaklaştıkça, fonksiyonun değerleri - 2 sin 3 2 - 4 eğiliminde ve x sağ tarafta - 3 eğiliminde olduğu için değerler - 1 eğiliminde olacaktır.
lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞
3. noktada ikinci türden giderilemez bir süreksizliğimiz var. Fonksiyon ona yöneldiğinde, değerleri - 1'e, sağda aynı noktaya yönelirken - eksi sonsuzluğa yaklaşır.
Bu, bu fonksiyonun tanım alanının tamamının 3 aralığa bölündüğü anlamına gelir (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .
Bunlardan ilkinde, y \u003d 2 sin x 2 - 4 işlevini aldık. - 1 ≤ sin x ≤ 1 olduğundan, şunu elde ederiz:
1 ≤ günah x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2
Bu, bu aralıkta (- ∞ ; - 3 ] işlevin değer kümesinin [ - 6 ; 2 ] olduğu anlamına gelir.
Yarı aralıkta (- 3 ; 3 ] sabit bir fonksiyon elde ederiz y = - 1 Sonuç olarak, bu durumda değerlerinin tamamı bir sayı - 1'e düşürülecektir.
İkinci aralıkta 3 ; + ∞ y = 1 x - 3 fonksiyonumuz var. azalıyor çünkü y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:
lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0
Bu nedenle, x > 3 için orijinal fonksiyonun değer kümesi 0 kümesidir; +∞ . Şimdi sonuçları birleştirelim: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .
Yanıt vermek: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .
Çözüm grafikte gösterilmiştir:
Örnek 12
Koşul: y = x 2 - 3 e x fonksiyonu var. Değerlerinin kümesini belirleyin.
Çözüm
Gerçek sayı olan tüm argüman değerleri için tanımlanır. Bu fonksiyonun hangi aralıklarla artacağını, hangi aralıklarda azalacağını belirleyelim:
y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x
x = - 1 ve x = 3 ise türevin 0 olacağını biliyoruz. Bu iki noktayı eksene yerleştiriyoruz ve elde edilen aralıklarda türevin hangi işaretlere sahip olacağını buluyoruz.
İşlev (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) azalır ve [ - 1 ; 3]. Minimum puan - 1, maksimum - 3 olacaktır.
Şimdi karşılık gelen fonksiyon değerlerini bulalım:
y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3
Şimdi fonksiyonun sonsuzdaki davranışına bakalım:
lim x → - ∞ x 2 - 3 ex = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 ex = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "ex" = lim x → + ∞ 2 xex = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(ex)" = 2 lim x → + ∞ 1 ex = 2 1 + ∞ = + 0
İkinci limiti hesaplamak için L'Hopital kuralı kullanıldı. Çözümümüzü bir grafik üzerinde çizelim.
Argüman eksi sonsuzdan - 1'e değiştiğinde fonksiyonun değerlerinin artı sonsuzdan - 2 e'ye düşeceğini gösterir. 3'ten artı sonsuza değişirse, değerler 6 e - 3'ten 0'a düşer, ancak 0'a ulaşılmaz.
Böylece, E(y) = [ - 2 e ; +∞) .
Yanıt vermek: E (y) = [ - 2 e ; +∞)
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Birçok görev, belirli bir segmentte veya tüm tanım alanında bir dizi fonksiyon değeri aramamıza neden olur. Bu tür görevler, ifadelerin çeşitli değerlendirmelerini, eşitsizliklerin çözümünü içerir.
Bu yazıda, bir fonksiyonun aralığını tanımlayacağız, onu bulma yöntemlerini ele alacağız ve basitten karmaşığa doğru örneklerin çözümünü ayrıntılı olarak analiz edeceğiz. Tüm materyaller, netlik için grafik çizimlerle sağlanacaktır. Dolayısıyla bu makale, bir fonksiyonun aralığı nasıl bulunur sorusunun ayrıntılı bir cevabıdır.
Tanım.
X aralığında y = f(x) fonksiyonunun değer kümesi tümü üzerinde yineleme yaparken aldığı işlevin tüm değerlerinin kümesi olarak adlandırılır.
Tanım.
y = f(x) fonksiyonunun aralığı tanım alanından tüm x'leri yinelerken işlevin aldığı tüm değerlerin kümesi olarak adlandırılır.
Fonksiyonun aralığı E(f) olarak gösterilir.
Bir fonksiyonun aralığı ve bir fonksiyonun değer kümesi aynı şey değildir. Bu kavramlar, y = f(x) fonksiyonunun değer kümesini bulurken X aralığı fonksiyonun etki alanı ile çakışırsa eşdeğer kabul edilecektir.
Ayrıca, y=f(x) denkleminin sağ tarafındaki ifade için fonksiyonun aralığını x değişkeniyle karıştırmayın. f(x) ifadesi için x değişkeninin izin verilen değerlerinin alanı, y=f(x) fonksiyonunun tanımının alanıdır.
Şekil birkaç örnek göstermektedir.
Fonksiyon grafikleri kalın mavi çizgilerle gösterilir, ince kırmızı çizgiler asimptotlardır, kırmızı noktalar ve Oy eksenindeki çizgiler karşılık gelen fonksiyonun aralığını gösterir.
Gördüğünüz gibi, fonksiyonun grafiği y eksenine yansıtılarak fonksiyonun aralığı elde edilir. Tek bir sayı (birinci durum), bir sayı dizisi (ikinci durum), bir segment (üçüncü durum), bir aralık (dördüncü durum), bir açık ışın (beşinci durum), birleşim (altıncı durum), vb. olabilir. .
Peki fonksiyonun aralığını bulmak için ne yapmanız gerekiyor.
En basit durumla başlayalım: aralıkta sürekli bir y = f(x) fonksiyonunun değer kümesinin nasıl belirleneceğini göstereceğiz.
Bir segment üzerinde sürekli bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerine o segment üzerinde ulaştığı bilinmektedir. Böylece, segment üzerindeki orijinal fonksiyonun değer kümesi segment olacaktır. 
. Bu nedenle görevimiz fonksiyonun aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulmaya indirgenmiştir.
Örneğin, arksinüs fonksiyonunun aralığını bulalım.
Örnek vermek.
y = arcsinx fonksiyonunun aralığını belirtin.
Çözüm.
Arksin tanım alanı, [-1; 1] . Bu segmentteki fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulun. 
(-1; 1) aralığındaki tüm x için türev pozitiftir, yani arksinüs fonksiyonu tüm tanım alanı boyunca artar. Bu nedenle, x = -1'deki en küçük değeri ve x = 1'deki en büyük değeri alır. 
Arcsine fonksiyonunun aralığını aldık 
.
Örnek vermek.
İşlev değerleri kümesini bulun 
segmentte.
Çözüm.
Verilen segmentte fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulun.
Segmente ait ekstremum noktalarını tanımlayalım: 
Segmentin uçlarında ve noktalarda orijinal fonksiyonun değerlerini hesaplıyoruz 
:
Bu nedenle, segment üzerindeki fonksiyonun değer kümesi segmenttir. 
.
Şimdi y = f(x) sürekli fonksiyonunun değer kümesinin (a; b) , aralıklarında nasıl bulunacağını göstereceğiz.
İlk olarak, verilen bir aralıkta fonksiyonun ekstremum noktalarını, fonksiyonun ekstremumlarını, fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirleriz. Daha sonra, aralığın uçlarında ve (veya) sonsuzdaki sınırları hesaplarız (yani, fonksiyonun aralığının sınırlarında veya sonsuzdaki davranışını inceleriz). Bu bilgi, bu tür aralıklarla fonksiyon değerleri kümesini bulmak için yeterlidir.
Örnek vermek.
(-2; 2) aralığındaki fonksiyon değerleri kümesini belirleyin.
Çözüm.
(-2; 2) aralığına düşen fonksiyonun uç noktalarını bulalım: 
Nokta x = 0 maksimum noktadır, çünkü türev içinden geçerken artıdan eksiye işaret değiştirir ve fonksiyonun grafiği artandan azalana doğru gider. 
fonksiyonun karşılık gelen maksimumudur.
x sağda -2'ye ve x solda 2'ye meyilli olduğunda, yani tek taraflı limitler bulduğumuzda fonksiyonun davranışını bulalım: 
Ne elde ettik: argüman -2'den sıfıra değiştiğinde, fonksiyon değerleri eksi sonsuzdan eksi dörtte bire yükselir (x = 0'daki fonksiyonun maksimumu), argüman sıfırdan 2'ye değiştiğinde, fonksiyon değerler eksi sonsuzluğa düşer. Böylece (-2; 2) aralığındaki fonksiyon değerleri kümesi .
Örnek vermek.
y = tgx teğet fonksiyonunun aralıktaki değer kümesini belirtin.
Çözüm.
Aralıktaki tanjant fonksiyonunun türevi pozitiftir 
, bu fonksiyonda bir artışı gösterir. Fonksiyonun davranışını aralığın sınırları üzerinde inceliyoruz: 
Böylece, ile argüman değiştiğinde, fonksiyonun değerleri eksi sonsuzdan artı sonsuza doğru artar, yani bu aralıktaki teğet değerler kümesi tüm gerçek sayıların kümesidir.
Örnek vermek.
Doğal logaritma fonksiyonunun y = lnx aralığını bulun.
Çözüm.
Doğal logaritma işlevi şu şekilde tanımlanır: pozitif değerler argüman 
. Bu aralıkta türev pozitiftir 
, bu, üzerindeki fonksiyonda bir artış olduğunu gösterir. Argüman sağdan sıfıra meyilli olduğu için fonksiyonun tek taraflı sınırını ve x'in artı sonsuz eğiliminde olduğu limiti bulalım: 
x sıfırdan artı sonsuza değiştiğinde, fonksiyonun değerlerinin eksi sonsuzdan artı sonsuza doğru arttığını görüyoruz. Bu nedenle, doğal logaritma fonksiyonunun aralığı, gerçek sayılar kümesinin tamamıdır.
Örnek vermek.
Çözüm.
Bu fonksiyon herkes için tanımlanmıştır. gerçek değerler x . Fonksiyonun ekstremum noktalarını ve artış ve azalış aralıklarını belirleyelim. 
Bu nedenle, fonksiyon 'de azalır, 'de artar, x = 0 maksimum noktadır, 
fonksiyonun karşılık gelen maksimumu.
Şimdi fonksiyonun sonsuzdaki davranışına bakalım: 
Böylece sonsuzda fonksiyonun değerleri asimptotik olarak sıfıra yaklaşır.
Argüman eksi sonsuzdan sıfıra (maksimum nokta) değiştiğinde, fonksiyonun değerlerinin sıfırdan dokuza (fonksiyonun maksimumuna kadar) arttığını ve x sıfırdan artı sonsuza değiştiğinde, fonksiyonun değerleri dokuzdan sıfıra düşer.
Şematik çizime bakın.
Şimdi açıkça görülüyor ki fonksiyonun aralığı .
y = f(x) fonksiyonunun değer kümesinin aralıklarda bulunması da benzer çalışmalar gerektirir. Şimdi bu davalar üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız. Bunları aşağıdaki örneklerde göreceğiz.
y = f(x) fonksiyonunun tanım kümesi birkaç aralığın birleşimi olsun. Böyle bir fonksiyonun aralığını bulurken, her aralıktaki değer kümeleri belirlenir ve birleşimleri alınır.
Örnek vermek.
Fonksiyonun aralığını bulun.
Çözüm.
Fonksiyonumuzun paydası sıfıra gitmemeli, yani .
İlk önce açık ışın üzerinde fonksiyonun değer kümesini bulalım.
fonksiyon türevi 
bu aralıkta negatiftir, yani fonksiyon o aralıkta azalır. 
Argümanın eksi sonsuz olma eğiliminde olduğu için, fonksiyonun değerlerinin asimptotik olarak birliğe yaklaştığını bulduk. x, eksi sonsuzdan ikiye değiştiğinde, fonksiyonun değerleri birden eksi sonsuza düşer, yani düşünülen aralıkta fonksiyon bir dizi değer alır. Birliği dahil etmiyoruz, çünkü fonksiyonun değerleri ona ulaşmaz, ancak eksi sonsuzda yalnızca asimptotik olarak buna eğilimlidir.
Açık bir ışın için benzer şekilde hareket ediyoruz.
Fonksiyon da bu aralıkta azalır. 
Bu aralıktaki fonksiyon değerleri kümesidir.
Böylece istenen fonksiyon değerleri aralığı ve kümelerinin birleşimidir.
Grafik illüstrasyon.
Ayrı olarak, periyodik fonksiyonlar üzerinde durmalıyız. Periyodik fonksiyonların aralığı, bu fonksiyonun periyoduna karşılık gelen aralıktaki değerler seti ile çakışmaktadır.
Örnek vermek.
sinüs fonksiyonunun y = sinx aralığını bulun.
Çözüm.
Bu fonksiyon, periyodu iki pi olan periyodiktir. Bir segment alıp üzerinde değerler kümesini tanımlayalım. 
Segment iki ekstremum noktası içerir ve .
Fonksiyonun değerlerini bu noktalarda hesaplıyoruz ve segment sınırlarında en küçük ve en büyük değerleri seçiyoruz: 
Sonuç olarak, 
.
Örnek vermek.
Bir fonksiyonun aralığını bulun 
.
Çözüm.
Arkosinüs aralığının sıfırdan pi'ye kadar olan segment olduğunu biliyoruz, yani, 
veya başka bir gönderide. İşlev 
arccosx'tan x ekseni boyunca kaydırılarak ve gerilerek elde edilebilir. Bu tür dönüşümler aralığı etkilemez, bu nedenle, 
. İşlev 
gelen Oy ekseni boyunca üç kez germe, yani, 
. Ve dönüşümlerin son aşaması, y ekseni boyunca dört birim aşağı kaymadır. Bu bizi çifte eşitsizliğe götürür 
Böylece istenilen değer aralığı 
.
Başka bir örneğe bir çözüm verelim, ancak açıklama yapmadan (tamamen benzer oldukları için gerekli değildir).
Örnek vermek.
Fonksiyon Aralığını Tanımla 
.
Çözüm.
Orijinal işlevi formda yazıyoruz 
. Üstel fonksiyonun aralığı aralıktır. yani, . O zamanlar 
Sonuç olarak, 
.
Resmi tamamlamak için tanım alanında sürekli olmayan bir fonksiyonun aralığını bulma hakkında konuşmalıyız. Bu durumda, tanım alanı, kırılma noktalarına aralıklara bölünür ve her birinde değer kümelerini buluruz. Elde edilen değer kümelerini birleştirerek, orijinal işlevin değer aralığını elde ederiz. Solda 3, fonksiyonun değerleri eksi bire, x sağda 3'e eğilimliyken, fonksiyonun değerleri artı sonsuz olma eğiliminde olduğunu hatırlamanızı öneririz.
Böylece, fonksiyonun tanım alanı üç aralığa bölünmüştür.
Aralıkta fonksiyonumuz var 
. O zamandan beri 
Böylece, aralıktaki orijinal işlevin değer kümesi [-6;2] .
Yarı aralıkta sabit bir fonksiyonumuz var y = -1 . Yani, aralıktaki orijinal işlevin değer kümesi tek bir öğeden oluşur.
İşlev, argümanın tüm geçerli değerleri için tanımlanır. Fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını bulunuz.
Türev, x=-1 ve x=3'te kaybolur. Bu noktaları reel eksen üzerinde işaretliyoruz ve elde edilen aralıklarda türevin işaretlerini belirliyoruz. 
fonksiyon azalır 
, [-1 artar; 3] , x=-1 minimum nokta, x=3 maksimum nokta.
İlgili minimum ve maksimum fonksiyonları hesaplıyoruz: 
Sonsuzda fonksiyonun davranışını kontrol edelim: 
İkinci sınır ise 'den hesaplanmıştır.
Şematik bir çizim yapalım.
Argüman eksi sonsuzdan -1'e değiştiğinde, fonksiyon değerleri artı sonsuzdan -2e'ye düşer, argüman -1'den 3'e değiştiğinde, fonksiyon değerleri -2e'den , argüman değiştiğinde fonksiyon değerleri artar 3'ten artı sonsuza, fonksiyon değerleri sıfıra düşer, ancak sıfıra ulaşmazlar.
Fonksiyon en önemli matematiksel kavramlardan biridir.
Tanım: Bir x kümesindeki her sayıya tek bir y sayısı atanırsa, y(x) fonksiyonunun bu kümede verildiğini söyleriz. Bu durumda, x bağımsız değişken veya bağımsız değişken olarak adlandırılır ve y, bağımlı değişken veya işlev değeri veya yalnızca bir işlev olarak adlandırılır.
Ayrıca y değişkeninin x değişkeninin bir fonksiyonu olduğu söylenir.
Eşleşmeyi bir harfle belirtmek için, örneğin f, yazmak uygundur: y=f (x), yani, y değeri, f eşleşmesi kullanılarak x argümanından elde edilir. (Okuyun: y, x'ten f'ye eşittir.) f (x) sembolü, x'e eşit argümanın değerine karşılık gelen fonksiyonun değerini gösterir.
Örnek 1 Fonksiyon y=2x 2 –6 formülüyle verilsin. O zaman f(x)=2x 2 –6 yazabiliriz. Örneğin 1'e eşit olan x değerleri için fonksiyon değerlerini bulalım; 2.5;–3; yani, f(1), f(2,5), f(–3)'ü bulun:
f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2.5)=2 2.5 2 –6=6.5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.
y=f (x) formunun gösteriminde f:g, vb. yerine başka harflerin kullanıldığına dikkat edin.
Tanım: Bir fonksiyonun etki alanı, fonksiyonun var olduğu tüm x değerleridir.
Bir işlev bir formül tarafından verilirse ve etki alanı belirtilmemişse, işlevin etki alanının, formülün anlamlı olduğu argümanın tüm değerlerinden oluştuğu kabul edilir.
Başka bir deyişle, bir formül tarafından verilen bir işlevin kapsamı, gerçekleştiremeyeceğimiz eylemlere yol açanlar dışında, argümanın tüm değerleridir. Üzerinde şu an bu tür sadece iki eylem biliyoruz. Sıfıra bölemeyiz ve negatif bir sayının karekökünü alamayız.
Tanım: Bağımlı değişkenin aldığı tüm değerler fonksiyonun kapsamını oluşturur.
Gerçek süreci tanımlayan fonksiyonun tanım alanı, oluşumunun özel koşullarına bağlıdır. Örneğin, bir demir çubuğun uzunluğunun l'nin ısıtma sıcaklığına t bağımlılığı, l 0'ın çubuğun ilk uzunluğu ve doğrusal genleşme katsayısı olduğu formülle ifade edilir. Bu formül, herhangi bir t değeri için anlamlıdır. Bununla birlikte, l=g(t) fonksiyonunun tanım alanı, lineer genişleme yasasının geçerli olduğu birkaç on derecelik bir aralıktır.
Örnek vermek.
İşlev Aralığını Belirtin y=arksinx.
Çözüm.
Arksin tanımının alanı segmenttir. [-1; 1]
. Bu segmentteki fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulun.
Türev herkes için pozitiftir x aralıktan (-1; 1)
, yani arksinüs fonksiyonu tüm tanım alanı boyunca artar. Bu nedenle en küçük değeri alır. x=-1, ve en büyük x=1.
Arcsine fonksiyonunun aralığını aldık 
.
İşlev değerleri kümesini bulun 
segmentte
.
Çözüm.
Verilen segmentte fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulun.
Segmente ait ekstremum noktalarını belirleyelim.
:
D(f)- argümanın alabileceği değerler, yani. fonksiyon kapsamı.
E(f)- fonksiyonun alabileceği değerler, yani. fonksiyon değerleri seti.
Fonksiyon aralıklarını bulma yöntemleri.
ardışık değer bulma karmaşık argümanlar fonksiyonlar;
puanlama/sınır yöntemi;
bir fonksiyonun süreklilik ve monotonluk özelliklerinin kullanımı;
türev kullanımı;
fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini kullanarak;
grafik yöntemi;
parametre giriş yöntemi;
ters fonksiyon yöntemi.
Bunlardan bazılarını ele alalım.
türevi kullanma
Genel yaklaşım sürekli bir f(x) fonksiyonunun değer kümesini bulmak, f(x) fonksiyonunun kendi tanım kümesindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulmaktır (veya bunlardan birinin veya her ikisinin olmadığını ispat etmektir) .
Bir fonksiyonun değer kümesini bulmanız gerekiyorsa segmentte:
verilen f "(x) fonksiyonunun türevini bulun;
f(x) fonksiyonunun kritik noktalarını bulun ve verilen doğru parçasına ait olanları seçin;
segmentin uçlarında ve seçilen kritik noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayın;
bulunan değerler arasından en küçük ve en büyük değerleri seçin;
Bu değerler arasında fonksiyon değerleri kümesi sonuçlandırılır.
Fonksiyonun kapsamı ise Aralık, daha sonra aynı şema kullanılır, ancak uçlardaki değerler yerine, argüman aralığın sonlarına doğru eğilim gösterdiğinde işlevin sınırları kullanılır. Değer setine gelen sınır değerler dahil değildir.
Sınır/puan yöntemi
İşlev değerleri kümesini bulmak için önce bağımsız değişken değerleri kümesini bulun ve ardından işlev işlevinin karşılık gelen minimum ve maksimum değerlerini bulun. Eşitsizlikleri kullanma - sınırları belirleyin.
Mesele sürekli fonksiyonu aşağıdan ve yukarıdan tahmin etmek ve fonksiyonun tahminlerin alt ve üst sınırlarına ulaştığını ispatlamaktır. Bu durumda, fonksiyonun değer kümesinin, tahminin alt sınırından üst sınıra kadar olan aralıkla çakışması, fonksiyonun sürekliliği ve bunun için başka değerlerin olmaması ile belirlenir.
Sürekli bir fonksiyonun özellikleri
Başka bir seçenek, fonksiyonu sürekli monotonik bir fonksiyona dönüştürmek, ardından eşitsizliklerin özelliklerini kullanarak yeni elde edilen fonksiyonun değer kümesini tahmin etmektir.
Karmaşık Fonksiyon Argümanlarının Sıralı Değerlerini Bulma
Fonksiyonu oluşturan bir dizi ara fonksiyon değeri için sıralı aramaya dayanarak
Temel temel işlevlerin aralıkları
| İşlev | Birçok değer |
|---|---|
| $y = kx+ b$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = x^(2n)$ | E(y) = |
| $y = \cos(x)$ | E(y) = [-1;1] |
| $y = (\rmtg)\, x$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = (\rm ctg)\, x$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = \arcsin(x)$ | E(y) = [-π/2; π/2] |
| $y = \arccos(x)$ | E(y) = |
| $y = (\rm yay)\, x$ | E(y) = (-π/2; π/2) |
| $y = (\rm arcctg)\, x$ | E(y) = (0; π) |
Örnekler
İşlev değerleri kümesini bulun:
türevi kullanma
Tanım alanını bulun: D(f)=[-3;3], çünkü $9-x^(2)\geq 0$
Türevini bulun: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$
x = 0 ise f"(x) = 0. $\sqrt(9-x^(2))=0$ ise f"(x) yoktur, yani x = ±3 için. Üç kritik nokta elde ederiz: ikisi segmentin uçlarıyla çakışan x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 3. Şunu hesaplayalım: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Böylece, f(x)'in en küçük değeri 0, en büyük değeri 3'tür.
Cevap: E(f) = .
türev KULLANMAYIN
Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun:
$ beri
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , sonra:
tüm x için $f(x)\leq \frac(3)(4)$;
$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ tüm x için(çünkü $|\cos (x)|\leq 1$);
$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;
$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;
Cevap: $\frac(3)(4)$ ve $-\frac(3)(2)$
Bu sorunu türevler yardımıyla çözerseniz, f (x) fonksiyonunun bir segmentte değil, tüm gerçek çizgide tanımlandığı gerçeğiyle ilgili engellerin üstesinden gelmeniz gerekecektir.
Sınırlar/tahminler yöntemini kullanma
Sinüs tanımından $-1\leq\sin(x)\leq 1$ çıkar. Daha sonra sayısal eşitsizliklerin özelliklerini kullanırız.
$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (çift eşitsizliğin üç bölümünü de -4 ile çarpın);
$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (çift eşitsizliğin 5 üç kısmına eklenir);
Bu fonksiyon tüm tanım alanı boyunca sürekli olduğundan, değerlerinin kümesi, varsa tüm tanım alanı üzerindeki en küçük ve en büyük değeri arasında bulunur.
Bu durumda $y = 5 - 4\sin(x)$ fonksiyonunun değerler kümesi kümedir.
$$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ eşitsizliklerinden $$\\ -6\leq y\ tahminini elde ederiz leq 6$ $
x = p ve x = 0 için fonksiyon -6 ve 6 değerlerini alır, yani. alt ve üst sınırlara ulaşır. cos(7x) ve cos(x) sürekli fonksiyonlarının doğrusal bir kombinasyonu olarak, y fonksiyonu tüm sayı ekseni boyunca süreklidir, bu nedenle sürekli bir fonksiyonun özelliği ile -6'dan 6'ya kadar tüm değerleri alır ve sadece onlar, çünkü $- 6\leq y\leq 6$ eşitsizlikleri nedeniyle diğer değerler onun için imkansız.
Bu nedenle, E(y) = [-6;6].
$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Cevap: E(f) = .
$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].
$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .
$$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ifadesini dönüştürelim ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \sağ)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)( 2)) \sağ) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac( \pi) (4)) $$.
Kosinüs tanımı $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$
Bu fonksiyon tüm tanım alanında sürekli olduğundan, değerlerinin kümesi, varsa, en küçük ve en büyük değeri, $y =\sqrt(2)\ fonksiyonunun değer kümesi arasına alınır. cos((x +\frac(\pi)(4 )))$, $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$ kümesidir.
$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$
$t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$'ı belirtin, burada -∞≤t≤4. Böylece problem, $y = \log_(0,5)(t)$ fonksiyonunun ışın (-∞;4) üzerindeki değer kümesini bulmaya indirgenir. $y = \log_(0,5)(t)$ işlevi yalnızca t > 0 için tanımlandığından, ışın (-∞;4) üzerindeki değerler kümesi, (0;4) aralığındaki fonksiyon, ışının (-∞;4) logaritmik fonksiyonun tanım alanı (0;+∞) ile kesişimidir. (0;4) aralığında bu fonksiyon sürekli ve azalan bir fonksiyondur. t > 0 için +∞ eğilimi gösterir ve t = 4 için -2 değerini alır, yani E(y) = (-2, +∞).
Bir fonksiyonun grafik temsiline dayalı bir teknik kullanıyoruz.
Fonksiyonun dönüşümlerinden sonra elimizde: y 2 + x 2 = 25 ve y ≥ 0, |x| ≤ 5.
$x^(2)+y^(2)=r^(2)$'ın r yarıçaplı bir dairenin denklemi olduğu hatırlanmalıdır.
Bu kısıtlamalar altında, bu denklemin grafiği, orijinde ortalanmış üst yarım dairedir ve yarıçapı 5'e eşittir. E(y) = olduğu açıktır.
Cevap: E(y) = .
Referanslar
Birleşik Devlet Sınavı, Minyuk Irina Borisovna'nın görevlerindeki işlevlerin kapsamı
İşlev değerleri kümesini bulmak için ipuçları, Belyaeva I., Fedorova S.
İşlev değerleri kümesini bulma
Giriş sınavlarında matematikte problemler nasıl çözülür, I.I. Melnikov, I.N. Sergeev
