Çokgenin hangi şekillere bölündüğünü düşünün. düzgün çokgen

poligon nedir? Çokgen türleri. POLİGON, üç veya daha fazla kenarı üç veya daha fazla noktada (köşeler) kesişen düz geometrik bir şekil. Tanım. Bir çokgen, üç veya daha fazla parçadan (bağlantılardan) oluşan, her tarafı kapalı bir kesik çizgiyle sınırlanan geometrik bir şekildir. Üçgen kesinlikle çokgendir. Çokgen, beş veya daha fazla köşesi olan bir şekildir.

Tanım. Dörtgen, dört noktadan (dörtgenin köşeleri) ve bunları seri olarak birbirine bağlayan dört parçadan (dördgenin kenarları) oluşan düz bir geometrik şekildir.

Dikdörtgen, tüm açıları dik olan bir dörtgendir. Kenar veya köşe sayısına göre isimlendirilirler: ÜÇGEN (üç kenarlı); DÖRTGEN (dört taraflı); PENTAGON (beş taraflı), vb. Temel geometride M., kenar adı verilen düz çizgilerle sınırlanmış bir şekildir. Kenarların kesiştiği noktalara köşeler denir. Bir çokgenin üçten fazla köşesi vardır. Yani kabul edildi veya kabul edildi.

Üçgen bir üçgendir. Ve bir dörtgen de bir çokgen değildir ve dörtgen olarak da adlandırılmaz - ya kare, ya eşkenar dörtgen ya da yamuktur. Üç kenarı ve üç köşesi olan bir çokgenin kendi adının "üçgen" olması, onu çokgen statüsünden yoksun bırakmaz.

Diğer sözlüklerde "POLYGON" un ne olduğunu görün:

Bu rakamın, sırayla basit, kapalı olabilen kapalı bir kesik çizgi ile sınırlandığını öğreniyoruz. Çokgenlerin düz, düzgün, dışbükey olduğu gerçeğinden bahsedelim. Gemilerin ve uçakların iz bırakmadan kaybolduğu gizemli Bermuda Şeytan Üçgeni'ni kim duymamıştır? Ancak bize çocukluktan tanıdık gelen üçgen, birçok ilginç ve gizemli şeyle doludur.

Tabii ki, üç açıdan oluşan bir şekil de bir çokgen olarak kabul edilebilir.

Ancak bu rakamı karakterize etmek için yeterli değil. Kesik bir çizgi A1A2…An, A1,A2,…An noktalarından ve bunları birleştiren A1A2, A2A3,… segmentlerinden oluşan bir şekildir. Bitişik bağlantıları aynı düz çizgi üzerinde yer almıyorsa, basit bir kapalı kesik çizgiye çokgen denir (Şekil 5). “Çok” kelimesi yerine “çokgen” kelimesini belirli bir sayı ile değiştirin, örneğin 3. Bir üçgen elde edeceksiniz. Kenar sayısı kadar açı olduğuna dikkat edin, bu nedenle bu şekiller çok taraflı olarak adlandırılabilir.

А1А2…А n verilen bir dışbükey çokgen ve n>3 olsun. İçinde (bir tepe noktasından) köşegenler çizin

Her üçgenin açılarının toplamı 1800'dür ve bu üçgenlerin sayısı n - 2'dir. Bu nedenle, bir dışbükey n - açı A1A2 ... A n'nin açılarının toplamı 1800 * (n - 2)'dir. Teorem kanıtlanmıştır. Bir dışbükey çokgenin belirli bir tepe noktasındaki dış açısı, çokgenin o tepe noktasındaki iç açısına komşu olan açıdır.

Bir dörtgende, onu üç üçgene bölecek şekilde bir çizgi çizin

Bir dörtgenin asla aynı doğru üzerinde üç köşesi olmaz. "Çokgen" kelimesi, bu ailenin tüm figürlerinin "birçok köşesi" olduğunu gösterir. Kesik çizgi, kendi kendine kesişme noktası yoksa basit olarak adlandırılır (Şekil 2,3).

Kesik bir çizginin uzunluğu, bağlantılarının uzunluklarının toplamıdır (Şekil 4). n=3 durumunda teorem doğrudur. Böylece kare farklı olarak adlandırılabilir - normal bir dörtgen. Bu tür figürler, binaları süsleyen ustaların uzun zamandır ilgisini çekmiştir.

Köşe sayısı kenar sayısına eşittir. Kesik bir çizgi, uçları çakışırsa kapalı olarak adlandırılır. Onlardan elde edildi güzel desenlerörneğin parke üzerinde. Beş köşeli yıldızımız düzenli bir beşgen yıldızdır.

Ancak tüm normal çokgenler parke oluşturmak için kullanılamaz. İki tür çokgene daha yakından bakalım: üçgen ve dörtgen. Bütün iç açıları birbirine eşit olan çokgene düzgün çokgen denir. Çokgenler kenar veya köşe sayısına göre isimlendirilir.

Bu derste yeni bir konu başlatacağız ve bizim için yeni bir kavram tanıtacağız - "çokgen". Çokgenlerle ilgili temel kavramlara bakacağız: kenarlar, köşeler, köşeler, dışbükeylik ve dışbükey olmama. O zaman kanıtlayacağız önemli gerçeklerçokgen iç açı toplamı teoremi, çokgen dış açı toplamı teoremi gibi. Sonuç olarak, ilerideki derslerde ele alacağımız çokgenlerin özel durumlarını incelemeye yakın olacağız.

Tema: Dörtgenler

Ders: Çokgenler

Geometri sırasında, geometrik şekillerin özelliklerini inceliyoruz ve bunların en basitini zaten düşündük: üçgenler ve daireler. Aynı zamanda, bu şekillerin dik açılı, ikizkenar ve düzgün üçgenler gibi belirli özel durumlarını da tartıştık. Şimdi daha genel ve karmaşık şekillerden bahsetmenin zamanı geldi - çokgenler.

Özel bir durum ile çokgenler zaten aşinayız - bu bir üçgen (bkz. Şekil 1).

Pirinç. 1. Üçgen

Adın kendisi, bunun üç köşeli bir figür olduğunu zaten vurguluyor. Bu nedenle, çokgen birçoğu olabilir, yani. üçten fazla. Örneğin, bir beşgen çizelim (bkz. Şekil 2), yani. beş köşeli şekil.

Pirinç. 2. Pentagon. Dışbükey Poligon

Tanım.Çokgen- birkaç noktadan (ikiden fazla) ve bunları seri olarak birbirine bağlayan karşılık gelen sayıda parçadan oluşan bir rakam. Bu noktalara denir zirvelerçokgen ve segmentler - partiler. Bu durumda, hiçbir iki bitişik kenar aynı düz çizgi üzerinde bulunmaz ve bitişik olmayan iki kenar kesişmez.

Tanım.düzgün çokgen tüm kenarları ve açıları birbirine eşit olan dışbükey çokgendir.

Hiç çokgen düzlemi iki bölgeye ayırır: iç ve dış. İç mekan olarak da adlandırılır çokgen.

Yani örneğin bir beşgenden bahsettiklerinde onun hem iç bölgesini hem de sınırını kastediyorlar. Ve iç alan da çokgenin içinde kalan tüm noktaları içerir, yani. nokta da beşgene aittir (bkz. Şekil 2).

Çokgenler bazen bilinmeyen sayıda köşeye (n adet) sahip olma genel durumunun dikkate alındığını vurgulamak için n-gonlar olarak da adlandırılır.

Tanım. Çokgen Çevreçokgenin kenar uzunluklarının toplamıdır.

Şimdi çokgen türlerini tanımamız gerekiyor. ayrılırlar dışbükey ve dışbükey olmayan. Örneğin, Şekil 2'de gösterilen çokgen. 2 dışbükeydir ve Şek. 3 dışbükey olmayan.

Pirinç. 3. Dışbükey olmayan çokgen

Tanım 1. Çokgen aranan dışbükey, herhangi bir kenarından düz bir çizgi çizerken, tüm çokgen bu çizginin sadece bir tarafında yer alır. dışbükey olmayan geri kalan her şey çokgenler.

Şekil 5'teki beşgenin herhangi bir tarafını uzatırken bunu hayal etmek kolaydır. 2 hepsi bu düz çizginin bir tarafında olacak, yani. o dışbükey. Ancak Şekil 1'deki dörtgen boyunca düz bir çizgi çizerken. 3 zaten ikiye böldüğünü görüyoruz, yani. o dışbükey değildir.

Ancak bir çokgenin dışbükeyliğinin başka bir tanımı daha vardır.

Tanım 2. Çokgen aranan dışbükey iç noktalarından herhangi ikisini seçip bunları bir doğru parçasına bağlarken, doğru parçasının tüm noktaları aynı zamanda çokgenin iç noktalarıdır.

Bu tanımın kullanımının bir gösterimi, Şekil 2'deki segment oluşturma örneğinde görülebilir. 2 ve 3.

Tanım. Diyagonal Bir çokgen, bitişik olmayan iki köşeyi birbirine bağlayan herhangi bir segmenttir.

Çokgenlerin özelliklerini açıklamak için açılarıyla ilgili en önemli iki teorem vardır: dışbükey çokgen iç açı toplamı teoremi ve dışbükey çokgen dış açı toplamı teoremi. Onları düşünelim.

Teorem. Bir dışbükey çokgenin iç açıları toplamı üzerinde (n-gon).

Açılarının (kenarların) sayısı nerede.

Kanıt 1. Şekilde gösterelim. 4 dışbükey n-gon.

Pirinç. 4. Dışbükey n-gon

Tüm olası köşegenleri tepe noktasından çizin. n-gon'u üçgenlere bölerler, çünkü köşeye bitişik kenarlar hariç, çokgenin her bir kenarı bir üçgen oluşturur. Şekilden, tüm bu üçgenlerin açılarının toplamının, n-genin iç açılarının toplamına eşit olacağını görmek kolaydır. Herhangi bir üçgenin iç açılarının toplamı , olduğu için, bir n-genin iç açılarının toplamı:

Q.E.D.

İspat 2. Bu teoremin bir başka ispatı da mümkündür. Şekilde benzer bir n-gon çizelim. 5 ve iç noktalarından herhangi birini tüm köşelere bağlayın.

Pirinç. 5.

Bir n-gon'u n üçgene böldük (kaç kenar, çok üçgen). Tüm açılarının toplamı, çokgenin iç açılarının toplamına ve iç açılarının toplamına eşittir ve bu açıdır. Sahibiz:

Q.E.D.

Kanıtlanmış.

Kanıtlanmış teoreme göre, bir n-gonun açılarının toplamının kenar sayısına (n'ye) bağlı olduğu görülebilir. Örneğin, bir üçgende ve açıların toplamı . Bir dörtgende ve açıların toplamı - vb.

Teorem. Bir dışbükey çokgenin dış açıları toplamı üzerinde (n-gon).

Köşelerinin (kenarlarının) sayısı nerede ve ..., dış köşelerdir.

Kanıt. Şekilde dışbükey bir n-gon çizelim. 6 ve iç ve dış açılarını gösterir.

Pirinç. 6. İşaretli dış köşelere sahip dışbükey n-gon

Çünkü dış köşe iç köşeye bitişik olarak bağlanır, ardından ve benzer şekilde diğer dış köşeler için. O zamanlar:

Dönüşümler sırasında, bir n-gonun iç açılarının toplamında zaten kanıtlanmış teoremi kullandık.

Kanıtlanmış.

Kanıtlanmış teoremden aşağıdaki ilginç gerçek bir dışbükey n-genin dış açılarının toplamı açılarının sayısı (kenarlar). Bu arada, iç açıların toplamından farklı olarak.

bibliyografya

1. Aleksandrov A.D. vb. Geometri, 8. sınıf. - E.: Eğitim, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, 8. sınıf. - E.: Eğitim, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, 8. sınıf. - E.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com().

Ev ödevi

§ 1 Üçgen kavramı

Bu derste üçgen ve çokgen gibi şekillerle tanışacaksınız.

Aynı doğru üzerinde olmayan üç nokta parçalarla birleştirilirse üçgen elde edilir. Bir üçgenin üç köşesi ve üç kenarı vardır.

Siz bir ABC üçgeni olmadan önce, üç köşesi (A noktası, B noktası ve C noktası) ve üç kenarı (AB, AC ve CB) vardır.

Bu arada, aynı taraflar farklı şekilde çağrılabilir:

AB=BA, AC=CA, CB=BC.

Bir üçgenin kenarları, üçgenin köşelerinde üç açı oluşturur. Resimde A açısını, B açısını, C açısını görüyorsunuz.

Dolayısıyla üçgen, tek bir doğru üzerinde yer almayan üç noktayı birleştiren üç parçanın oluşturduğu geometrik bir şekildir.

§ 2 Çokgen kavramı ve türleri

Üçgenlere ek olarak, dörtgenler, beşgenler, altıgenler vb. Bir kelimeyle, çokgenler olarak adlandırılabilirler.

Resimde DMKE dörtgenini görüyorsunuz.

D, M, K ve E noktaları dörtgenin köşeleridir.

DM, MK, KE, ED segmentleri bu dörtgenin kenarlarıdır. Tıpkı bir üçgen durumunda olduğu gibi, dörtgenin kenarları köşelerde dört köşe oluşturur, tahmin ettiniz, dolayısıyla adı - dörtgen. Bu dörtgen için, şekilde D açısını, M açısını, K açısını ve E açısını görüyorsunuz.

Hangi dörtgenleri zaten biliyorsun?

Kare ve Dikdörtgen! Her birinin dört köşesi ve dört kenarı vardır.

Başka bir çokgen türü beşgendir.

O, P, X, Y, T noktaları beşgenin köşeleridir ve TO, OP, PX, XY, YT parçaları bu beşgenin kenarlarıdır. Bir beşgenin sırasıyla beş köşesi ve beş kenarı vardır.

Sizce bir altıgenin kaç köşesi ve kaç kenarı vardır? Bu doğru, altı! Benzer şekilde tartışarak, belirli bir çokgenin kaç kenarı, köşesi veya açısı olduğunu söyleyebiliriz. Ve bir üçgenin aynı zamanda tam olarak üç açısı, üç kenarı ve üç köşesi olan bir çokgen olduğu sonucuna varabiliriz.

Böylece, bu derste üçgen ve çokgen gibi kavramlarla tanıştınız. Üçgenin 3 köşesi, 3 kenarı ve 3 açısı, dörtgenin 4 köşesi, 4 kenarı ve 4 açısı, beşgenin sırasıyla 5 kenarı, 5 köşesi, 5 açısı vb. olduğunu öğrendik.

Kullanılan literatür listesi:

1. Matematik 5. sınıf. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. ve diğerleri. 31. baskı, ster. - E: 2013.
2. 5. sınıf matematikte didaktik materyaller. Yazar - Popov M.A. - 2013 yılı
3. Hatasız hesaplıyoruz. 5-6. sınıflarda matematik kendi kendine muayene ile çalışın. Yazar - Minaeva S.S. - yıl 2014
4. 5. sınıf matematikte didaktik materyaller. Yazarlar: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. Matematikte kontrol ve bağımsız çalışma 5. Sınıf. Yazarlar - Popov M.A. - yıl2012
6. Matematik. 5. sınıf: ders kitabı. genel eğitim öğrencileri için. kurumlar / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. baskı, Sr. - E.: Mnemosyne, 2009

Düzlemin kapalı bir kesik çizgi ile sınırlanan kısmına çokgen denir.

Bu kesik çizginin bölümlerine denir. partilerçokgen. AB, BC, CD, DE, EA (Şekil 1) - ABCDE poligonunun kenarları. Bir çokgenin tüm kenarlarının toplamına denir. çevre.

çokgen denir dışbükey yanlarından herhangi birinin bir tarafında bulunuyorsa, her iki köşenin de ötesine süresiz olarak uzatılır.

MNPKO poligonu (Şekil 1), KP düz çizgisinin birden fazla tarafında yer aldığından dışbükey olmayacaktır.

Sadece dışbükey çokgenleri ele alacağız.

Bir çokgenin bitişik iki kenarının oluşturduğu açılara o çokgenin açısı denir. dahili köşeler ve üstleri - çokgen köşeleri.

Bir çokgenin bitişik olmayan iki köşesini birleştiren doğru parçasına çokgenin köşegeni denir.

AC, AD - çokgenin köşegenleri (Şekil 2).

Çokgenin iç köşelerine bitişik olan köşelere çokgenin dış köşeleri denir (Şekil 3).

Açıların (kenarların) sayısına bağlı olarak, bir çokgene üçgen, dörtgen, beşgen vb.

Üst üste bindirilebilirlerse iki çokgenin eşit olduğu söylenir.

Yazılı ve sınırlı çokgenler

Bir çokgenin tüm köşeleri bir daire üzerinde bulunuyorsa bu çokgene denir. yazılı bir daireye ve daireye tarifçokgenin yakınında (şek.).

Bir çokgenin tüm kenarları bir daireye teğet ise bu çokgen denir. tarif dairenin etrafında ve daire denir yazılı bir çokgen haline getirin (şek.).

çokgenlerin benzerliği

Aynı isimli iki çokgene, birinin açıları sırasıyla diğerinin açılarına eşit ve benzer kenarları orantılı ise benzer denir.

Kenar sayıları (açıları) aynı olan çokgenlere aynı adı taşıyan çokgenler denir.

Benzer çokgenlerin kenarları, karşılık gelen eşit açıların köşelerini birleştiriyorlarsa benzer olarak adlandırılır (Şek.).

Örneğin, ABCDE poligonunun A'B'C'D'E' poligonuna benzer olması için, E = ∠E' ve ayrıca AB / A'B' = BC / olması gerekir. B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Benzer çokgenlerin çevre oranı

İlk olarak, bir dizi eşit oranın özelliğini düşünün. Örneğin, bağıntıları alalım: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Bu bağıntıların önceki üyelerinin toplamını bulalım, o zaman - sonraki üyelerinin toplamını ve alınan toplamların oranını bulalım, şunu elde ederiz:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Birkaç başka bağıntı alırsak da aynısını elde ederiz, örneğin: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 ve sonra bu toplamların oranını buluruz. , şunu elde ederiz:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

Her iki durumda da, bir eşit ilişkiler dizisinin önceki üyelerinin toplamı, aynı dizinin sonraki üyelerinin toplamı ile ilişkilidir, çünkü bu ilişkilerden herhangi birinin önceki üyesi bir sonrakiyle ilişkilidir.

Bu özelliği bir dizi sayısal örneği dikkate alarak çıkardık. Kesin olarak ve genel biçimde çıkarılabilir.

Şimdi benzer çokgenlerin çevrelerinin oranını düşünün.

ABCDE poligonu A'B'C'D'E' poligonuna benzer olsun (şekil).

Bu çokgenlerin benzerliğinden şu sonuç çıkar:

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Elde ettiğimiz bir dizi eşit ilişkinin özelliğine dayanarak şunu yazabiliriz:

Aldığımız bağıntıların önceki terimlerinin toplamı birinci çokgenin (P) çevresidir ve bu ilişkilerin sonraki terimlerinin toplamı ikinci çokgenin (P') çevresidir, yani P/P' = AB / A'B'.

Sonuç olarak, benzer çokgenlerin çevreleri, karşılık gelen kenarlarıyla ilişkilidir.

Benzer çokgenlerin alanlarının oranı

ABCDE ve A'B'C'D'E' benzer çokgenler olsun (şekil).

ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' ve ΔADE ~ ΔA'D'E' olduğu bilinmektedir.

Ayrıca,

;

Çokgenlerin benzerliğinden kaynaklanan bu oranların ikinci oranları eşit olduğundan, o zaman

Bir dizi eşit oranın özelliğini kullanarak şunu elde ederiz:

Veya

burada S ve S' bu benzer çokgenlerin alanlarıdır.

Sonuç olarak, benzer çokgenlerin alanları, benzer kenarların kareleri ile ilişkilidir.

Ortaya çıkan formül şu forma dönüştürülebilir: S / S '= (AB / A'B ') 2

İsteğe bağlı bir çokgenin alanı

Rastgele bir dörtgen ABDC'nin alanını hesaplamak istensin (Şek.).

İçine bir köşegen çizelim, örneğin AD. Alanlarını hesaplayabildiğimiz iki ABD ve ACD üçgeni elde ediyoruz. Sonra bu üçgenlerin alanlarının toplamını buluruz. Ortaya çıkan toplam, verilen dörtgenin alanını ifade edecektir.

Bir beşgenin alanını hesaplamanız gerekiyorsa, aynı şekilde ilerliyoruz: köşelerden birinden köşegenler çiziyoruz. Alanlarını hesaplayabildiğimiz üç üçgen elde ediyoruz. Böylece bu beşgenin alanını bulabiliriz. Herhangi bir çokgenin alanını hesaplarken de aynısını yapıyoruz.

Çokgen projeksiyon alanı

Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açının, verilen bir doğru ile onun düzlem üzerindeki izdüşümü arasındaki açı olduğunu hatırlayın (Şek.).

Teorem. Çokgenin düzleme dik izdüşümü alanı, çokgenin düzlemi ve izdüşüm düzlemi tarafından oluşturulan açının kosinüsü ile çarpılan izdüşüm çokgenin alanına eşittir.

Her çokgen, alanlarının toplamı çokgenin alanına eşit olan üçgenlere bölünebilir. Bu nedenle, bir üçgen için teoremi kanıtlamak yeterlidir.

ΔABC düzleme yansıtılsın R. İki durumu düşünün:

a) ΔABS kenarlarından biri düzleme paraleldir R;

b) ΔABC kenarlarından hiçbiri paralel değildir R.

Düşünmek ilk vaka: izin verin [AB] || R.

(AB) düzlemi boyunca çizin R 1 || R ve ΔABC'yi ortogonal olarak projelendirin R 1 ve üzerinde R(pilav.); ΔABC 1 ve ΔA'B'C' elde ederiz.

İzdüşüm özelliğiyle, ΔABC 1 (cong) ΔA'B'C'ye sahibiz ve bu nedenle

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

⊥ ve D 1 C 1 doğru parçası çizelim. O halde ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ, ΔABC düzlemi ile düzlem arasındaki açıdır R bir . Bu yüzden

S ∆ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD1 | çünkü φ = S ∆ ABC çünkü φ

ve bu nedenle, S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

değerlendirmeye geçelim ikinci vaka. Bir uçak çiz R 1 || R bu tepe noktası boyunca ΔАВС, uçağa olan mesafe R en küçük (köşe A olsun).

ΔABC'yi uçakta tasarlayalım R 1 ve R(pilav.); projeksiyonları sırasıyla ΔAB 1 C 1 ve ΔA'B'C' olsun.

(BC) ∩ olsun p 1 = D. O zaman

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Diğer materyaller