İkinci dereceden eşitsizlik çevrimiçi hesap makinesini çözün. Üstel eşitsizlikleri çözme

Eşitsizlikleri çevrimiçi çözme

Eşitsizlikleri çözmeden önce denklemlerin nasıl çözüldüğünü iyi anlamak gerekir.

Eşitsizliğin katı () veya katı olmayan (≤, ≥) olması fark etmez, ilk adım eşitsizlik işaretini eşitlik (=) ile değiştirerek denklemi çözmektir.

Bir eşitsizliği çözmenin ne anlama geldiğini açıklar mısınız?

Denklemleri çalıştıktan sonra öğrencinin kafasında aşağıdaki resim vardır: denklemin her iki bölümünün de aynı değerleri aldığı değişkenin bu tür değerlerini bulmanız gerekir. Başka bir deyişle, eşitliğin geçerli olduğu tüm noktaları bulun. Her şey doğru!

Eşitsizliklerden bahsederken, eşitsizliğin üzerinde bulunduğu aralıkları (segmentleri) bulmak kastedilmektedir. Eşitsizlikte iki değişken varsa, o zaman çözüm artık aralıklar değil, düzlemdeki bazı alanlar olacaktır. Bilin bakalım üç değişkenli eşitsizliğin çözümü ne olacak?

Eşitsizlikler nasıl çözülür?

Aralıklar yöntemi (aka aralıklar yöntemi), verilen eşitsizliğin yerine getirileceği tüm aralıkların belirlenmesinden oluşan eşitsizlikleri çözmenin evrensel bir yolu olarak kabul edilir.

Eşitsizliğin türüne girmeden, bu durumda öz değil, karşılık gelen denklemi çözmek ve köklerini belirlemek, ardından bu çözümlerin sayısal eksende gösterilmesi gerekir.

Bir eşitsizliğin çözümünü yazmanın doğru yolu nedir?

Eşitsizliği çözmek için aralıkları belirlediğinizde, çözümün kendisini doğru bir şekilde yazmanız gerekir. Önemli bir nüans var - çözüme dahil edilen aralıkların sınırları mı?

Burada her şey basit. Denklemin çözümü ODZ'yi sağlıyorsa ve eşitsizlik katı değilse, aralığın sınırı eşitsizliğin çözümüne dahil edilir. Aksi halde hayır.

Her bir aralık göz önüne alındığında, eşitsizliğin çözümü, aralığın kendisi veya bir yarım aralık (sınırlarından biri eşitsizliği sağladığında) veya bir segment - sınırlarıyla birlikte bir aralık olabilir.

Önemli nokta

Bir eşitsizliğin çözümü sadece aralıklar, yarım aralıklar ve segmentler olabilir diye düşünmeyin. Hayır, bireysel noktalar da çözüme dahil edilebilir.

Örneğin, |x|≤0 eşitsizliğinin yalnızca bir çözümü vardır - 0 noktası.

ve eşitsizliği |x|

Eşitsizlik hesaplayıcı ne işe yarar?

Eşitsizlik hesaplayıcı doğru nihai cevabı verir. Bu durumda, çoğu durumda, sayısal eksen veya düzlemin bir gösterimi verilir. Aralıkların sınırlarının çözüme dahil olup olmadığını görebilirsiniz - noktalar doldurulmuş veya delinmiş olarak görüntülenir.

Sayesinde cevrimici hesap makinesi eşitsizlikler için, denklemin köklerini doğru bulup bulmadığınızı, gerçek eksende işaretleyip işaretlemediğinizi ve aralıklarda (ve sınırlarda) eşitsizlik koşulunun sağlanıp sağlanmadığını kontrol edebilirsiniz.

Cevabınız hesap makinesinin cevabından farklıysa, kesinlikle çözümünüzü tekrar kontrol etmeniz ve yapılan hatayı belirlemeniz gerekir.

Eşitsizlik simgeleri hakkında bilmeniz gerekenler? Simge eşitsizlikleri daha fazla (> ), veya daha küçük (< ) arandı sıkı. simgelerle daha fazla veya eşit (≥ ), daha az veya eşit (≤ ) arandı katı olmayan. Simge eşit değildir (≠ ) tek başına durur, ancak her zaman böyle bir simgeyle örnekleri de çözmeniz gerekir. Ve yapacağız.)

Simgenin kendisinin çözüm süreci üzerinde fazla bir etkisi yoktur. Ancak çözümün sonunda, son cevabı seçerken, simgenin anlamı tam olarak ortaya çıkıyor! Aşağıda göreceğimiz gibi, örneklerde. Şakalar var...

Eşitsizlikler, tıpkı eşitlikler gibi sadık ve inançsız. Burada her şey basit, hileler olmadan. 5 diyelim > 2 doğru eşitsizliktir. 5 < 2 yanlış.

Bu tür hazırlık eşitsizlikler için çalışır herhangi bir tür ve korku için basit.) Sadece iki (sadece iki!) temel eylemi doğru bir şekilde gerçekleştirmeniz gerekiyor. Bu eylemler herkese tanıdık geliyor. Ama tipik olan, bu eylemlerdeki pervazlar eşitsizlikleri çözmedeki ana hatadır, evet ... Bu nedenle, bu eylemler tekrarlanmalıdır. Bu eylemler şöyle adlandırılır:

Eşitsizliklerin kimlik dönüşümleri.

Eşitsizliklerin özdeşlik dönüşümleri, denklemlerin özdeşlik dönüşümlerine çok benzer. Aslında asıl sorun bu. Farklılıklar kafayı sıyırıp geçer ve ... geldi.) Bu nedenle, bu farklılıkları özellikle vurgulayacağım. Yani, eşitsizliklerin ilk özdeş dönüşümü:

1. Eşitsizliğin her iki kısmına da aynı sayı veya ifade eklenebilir (çıkarılabilir). Hiç. Eşitsizlik işareti değişmeyecektir.

Pratikte bu kural, eşitsizliğin sol tarafından sağ tarafa (ve tam tersi) bir işaret değişikliği ile terim transferi olarak uygulanır. Eşitsizliğin değil, terimin işaretinin değişmesiyle! Bire bir kural, denklemler kuralıyla aynıdır. Ancak eşitsizliklerdeki aşağıdaki özdeş dönüşümler, denklemlerdekilerden önemli ölçüde farklıdır. Bu yüzden onları kırmızıyla vurguluyorum:

2. Eşitsizliğin her iki kısmı da aynı sayı ile çarpılabilir (bölünebilir).pozitifsayı. Herhangipozitif Değişmeyecek.

3. Eşitsizliğin her iki kısmı da aynı sayı ile çarpılabilir (bölünebilir).olumsuz sayı. Herhangiolumsuzsayı. Bundan eşitsizlik işaretitersine değişecektir.

Bir denklemin herhangi bir şeyle çarpılabileceğini/bölünebileceğini hatırlarsınız (umarsınız...). Ve herhangi bir sayı için ve x'li bir ifade için. Sıfır olmadığı sürece. O, denklem, bundan ne sıcak ne de soğuktur.) Değişmez. Ancak eşitsizlikler çarpma/bölmeye daha duyarlıdır.

Uzun bir hafıza için iyi bir örnek. Şüpheye neden olmayan bir eşitsizlik yazıyoruz:

5 > 2

Her iki tarafı da çarpın +3, elde ederiz:

15 > 6

Herhangi bir itiraz var mı? İtiraz yok.) Ve orijinal eşitsizliğin her iki bölümünü de şu ile çarparsak: -3, elde ederiz:

15 > -6

Ve bu apaçık bir yalandır.) Tam bir yalan! İnsanları kandırmak! Ancak eşitsizlik işareti tersine çevrilir çevrilmez her şey yerli yerine oturur:

15 < -6

Yalanlar ve aldatma hakkında - sadece yemin etmiyorum.) "Eşitsizlik işaretini değiştirmeyi unuttum..."- Bu ev eşitsizlikleri çözme hatası Bu önemsiz ve karmaşık olmayan kural pek çok insanı incitmiştir! Kim unuttu ...) Yemin ederim. Belki hatırlar...)

Özellikle dikkatli olanlar, eşitsizliğin x'li bir ifadeyle çarpılamayacağını fark edeceklerdir. Özenli saygı!) Ve neden olmasın? Cevap basit. Bu ifadenin x ile işaretini bilmiyoruz. Olumlu, olumsuz olabilir... Bu nedenle çarpma işleminden sonra hangi eşitsizliğin işaretini koyacağımızı bilmiyoruz. Değiştir ya da değiştirme? Bilinmeyen. Elbette bu sınırlama (bir eşitsizliği x ile çarpma/bölme yasağı) atlanabilir. Gerçekten ihtiyacın varsa. Ama bu diğer derslerin konusu.

Eşitsizliklerin tüm özdeş dönüşümleri bunlar. için çalıştıklarını tekrar hatırlatmama izin verin. hiç eşitsizlikler Ve şimdi belirli türlere geçebilirsiniz.

Doğrusal eşitsizlikler. Çözüm, örnekler.

Doğrusal eşitsizliklere, x'in birinci dereceden olduğu ve x'e bölümün olmadığı eşitsizlikler denir. Tip:

x+3 > 5x-5

Bu eşitsizlikler nasıl çözülür? Çözmeleri çok kolay! Yani: yardımla en karışık doğrusal eşitsizliği azaltıyoruz doğrudan cevaba. Bütün çözüm bu. Çözümün ana noktalarını vurgulayacağım. Aptalca hatalardan kaçınmak için.)

Bu eşitsizliği çözeriz:

x+3 > 5x-5

Doğrusal bir denklemle aynı şekilde çözüyoruz. Tek farkla:

Eşitsizlik işaretine çok dikkat edin!

İlk adım en yaygın olanıdır. X ile - sola, x olmadan - sağa ... Bu ilk özdeş dönüşüm, basit ve sorunsuz.) Sadece transfer edilen üyelerin işaretlerini değiştirmeyi unutmayın.

Eşitsizlik işareti korunur:

x-5x > -5-3

Benzerlerini sunuyoruz.

Eşitsizlik işareti korunur:

4x > -8

Son özdeş dönüşümü uygulamak için kalır: her iki parçayı da -4'e bölün.

Bölünür olumsuz sayı.

Eşitsizlik işareti tersine çevrilir:

X < 2

Cevap bu.

Tüm lineer eşitsizlikler bu şekilde çözülür.

Dikkat! 2. nokta beyaz çizilir, yani. boyasız. İçi boş. Bu, cevaba dahil olmadığı anlamına gelir! Onu bilerek çok sağlıklı çizdim. Matematikte böyle bir noktaya (boş, sağlıklı değil!) denir. delinmiş nokta.

Eksen üzerinde kalan sayılar işaretlenebilir, ancak gerekli değildir. Eşitsizliğimizle ilgisi olmayan yabancı sayılar kafa karıştırıcı olabilir evet... Sayılardaki artışın ok yönünde gittiğini unutmamanız yeterli yani. sayılar 3, 4, 5 vb. vardır Sağa ikiler ve sayılar 1, 0, -1, vb. - Sola.

eşitsizlik x < 2 - sıkı. X kesinlikle ikiden küçüktür. Şüphe duyduğunuzda, kontrol basittir. Eşitsizliğin yerine şüpheli bir sayı koyuyoruz ve "İki ikiden az mı? Elbette hayır!" diye düşünüyoruz. Aynen öyle. eşitsizlik 2 < 2 yanlış.İkili bir cevap için iyi değil.

Bir tek yeterince iyi mi? Kesinlikle. Daha az ... Ve sıfır iyidir ve -17 ve 0.34 ... Evet, ikiden küçük tüm sayılar iyidir! Ve hatta 1.9999 .... En azından biraz, ama daha az!

Böylece tüm bu sayıları sayı ekseninde işaretliyoruz. Nasıl? Burada seçenekler var. İlk seçenek kuluçka. Fareyi resmin üzerine getiriyoruz (veya tabletteki resme dokunuyoruz) ve x koşuluyla eşleşen x'lerin alanının gölgeli olduğunu görüyoruz. < 2 . Bu kadar.

İkinci örnekteki ikinci seçeneği ele alalım:

X ≥ -0,5

Bir eksen çizin, -0.5 sayısını işaretleyin. Bunun gibi:

Farkı fark ettiniz mi?) Evet, fark etmemek çok zor... Bu nokta siyah! Üzeri boyandı. Bu, -0.5 olduğu anlamına gelir cevaba dahildir. Burada, bu arada, birini kontrol etmek ve şaşırtmak. yerine koyuyoruz:

-0,5 ≥ -0,5

Nasıl yani? -0.5, -0.5'ten başka bir şey değildir! Daha fazla simge var...

Önemli değil. Kesin olmayan bir eşitsizlikte, simgeye uyan her şey uygundur. Ve eşittir uygun ve daha fazla iyi. Bu nedenle, yanıta -0.5 dahildir.

Böylece eksende -0.5 işaretledik, -0.5'ten büyük tüm sayıları işaretlemek için kalır. Bu sefer uygun x değerleri aralığını işaretliyorum kelepçe(sözden yay) kuluçka yerine. Resmin üzerine gelin ve bu yayı görün.

Kuluçka ve kemerler arasında özel bir fark yoktur. Öğretmenin dediği gibi yapın. Öğretmen yoksa, kolları çizin. Daha karmaşık görevlerde, tarama daha az belirgindir. Kafan karışabilir.

Doğrusal eşitsizlikler bu şekilde eksen üzerinde çizilir. Bir sonraki eşitsizlik tekilliğine geçiyoruz.

Eşitsizlikler için bir cevap yazın.

Denklemlerde iyiydi.) x'i bulduk ve cevabı yazdık, örneğin: x \u003d 3. Eşitsizliklerde, cevap yazmanın iki biçimi vardır. Bir - nihai eşitsizlik şeklinde. Basit durumlar için iyi. Örneğin:

X< 2.

Bu tam bir cevap.

Bazen aynı şeyi, ancak farklı bir biçimde, sayısal boşluklar yoluyla yazmak gerekir. Sonra giriş çok bilimsel görünmeye başlar):

x ∈ (-∞; 2)

simgenin altında ∈ kelimeyi gizleme "ait".

Giriş şöyle: x, eksi sonsuzdan ikiye kadar olan aralığa aittir içermiyor. Oldukça mantıklı. X, eksi sonsuzdan ikiye kadar tüm olası sayılardan herhangi bir sayı olabilir. Double X olamaz, kelimenin bize söylediği bu "içermiyor".

cevabın neresinde "içermiyor"? Bu gerçek cevapta belirtilmiştir. yuvarlak ikiden hemen sonra parantez. İkili dahil edilmiş olsaydı, parantez Meydan.İşte burada: ]. Aşağıdaki örnekte böyle bir parantez kullanılmıştır.

Cevabı yazalım: x ≥ -0,5 aralıklarla:

x ∈ [-0.5; +∞)

okur: x, eksi 0,5 aralığına aittir, dahil olmak üzere, artı sonsuza kadar.

Sonsuzluk asla açılamaz. Bu bir sayı değil, bir sembol. Bu nedenle, bu tür girişlerde sonsuzluk her zaman bir parantez ile birlikte bulunur.

Bu kayıt şekli, birkaç boşluktan oluşan karmaşık cevaplar için uygundur. Ama - sadece son cevaplar için. Daha ileri bir çözümün beklendiği ara sonuçlarda, basit bir eşitsizlik biçimindeki olağan biçimi kullanmak daha iyidir. Bunu ilgili başlıklarda ele alacağız.

Eşitsizlikleri olan popüler görevler.

Doğrusal eşitsizliklerin kendileri basittir. Bu nedenle, görevler genellikle daha zor hale gelir. Yani, gerekli olduğunu düşünmek. Bu, eğer alışkanlık dışıysa pek hoş değil.) Ama faydalıdır. Bu tür görevlere örnekler göstereceğim. Bunları öğrenmen için değil, gereksiz. Ve benzer örneklerle karşılaştığınızda korkmamak için. Biraz düşünce - ve her şey basit!)

1. 3x - 3 eşitsizliğinin herhangi iki çözümünü bulun< 0

Ne yapacağınız çok net değilse, matematiğin ana kuralını hatırlayın:

Ne yapacağınızı bilmiyorsanız, elinizden geleni yapın!

X < 1

Ne olmuş? Özel birşey yok. Bize ne soruluyor? Eşitsizliğin çözümü olan iki özel sayı bulmamız isteniyor. Onlar. cevaba uygun. İki hiç sayılar. Aslında bu utanç verici.) Bir çift 0 ve 0,5 uygundur. Bir çift -3 ve -8. Evet, bu çiftlerden sonsuz sayıda var! Doğru cevap nedir?!

Cevap veriyorum: her şey! Her biri birden küçük olan herhangi bir sayı çifti, doğru cevap olurdu. Ne istediğini yaz. Daha ileri gidelim.

2. Eşitsizliği çözün:

4x - 3 ≠ 0

Bunun gibi işler nadirdir. Ancak yardımcı eşitsizlikler olarak örneğin ODZ bulunurken veya bir fonksiyonun tanım kümesini bulurken her zaman karşılaşılır. Böyle bir doğrusal eşitsizlik, sıradan bir doğrusal denklem olarak çözülebilir. "=" işareti dışında yalnızca her yerde ( eşittir) işaretini koy" ≠ " (eşit değildir). Yani bir eşitsizlik işaretiyle cevaba geleceksiniz:

X ≠ 0,75

Daha fazlası zor örnekler başka şekilde yapmak daha iyi. Eşitsizliği eşitleyin. Bunun gibi:

4x - 3 = 0

Sakince öğretildiği gibi çözün ve cevabı alın:

x = 0.75

En sonunda, nihai cevabı yazarken ana şey, x'i bulduğumuzu unutmamaktır, bu da eşitlik. Ve ihtiyacımız var - eşitsizlik. Bu nedenle, sadece bu X'e ihtiyacımız yok.) Ve onu doğru simgeyle yazmamız gerekiyor:

X ≠ 0,75

Bu yaklaşım daha az hatayla sonuçlanır. Denklemleri makinede çözenler. Ve denklemleri çözmeyenler için, aslında eşitsizlikler işe yaramaz ...) Popüler bir göreve başka bir örnek:

3. Eşitsizliğin en küçük tamsayı çözümünü bulun:

3(x - 1) < 5x + 9

İlk olarak, eşitsizliği basitçe çözeriz. Parantezleri açıyoruz, aktarıyoruz, benzerlerini veriyoruz ...

X > - 6

Olmadı mı!? İşaretleri takip ettin mi? Ve üyelerin işaretlerinin arkasında ve eşitsizlik işaretinin arkasında ...

Tekrar hayal edelim. Hem cevap hem de koşulla eşleşen belirli bir sayı bulmamız gerekiyor. "en küçük tam sayı". Hemen aklınıza gelmezse, herhangi bir sayıyı alıp çözebilirsiniz. İki, eksi altıdan büyük mü? Kesinlikle! Daha küçük uygun bir sayı var mı? Elbette. Örneğin, sıfır -6'dan büyüktür. Ve daha da az? Mümkün olan en küçüğüne ihtiyacımız var! Eksi üç, eksi altıdan fazladır! Deseni zaten yakalayabilir ve aptalca sayıları sıralamayı bırakabilirsiniz, değil mi?)

-6'ya daha yakın bir sayı alıyoruz. Örneğin, -5. Yanıt uygulandı, -5 > - 6. -5'ten küçük, -6'dan büyük başka bir sayı bulabilir misiniz? Örneğin, -5.5 ... Dur! bize söylendi tüm karar! -5.5 yuvarlanmaz! Peki ya eksi altı? Eee! Eşitsizlik katı, eksi 6, eksi 6'dan az değil!

Yani doğru cevap -5'tir.

Umarım genel çözümden değer seçimi ile her şey açıktır. Başka bir örnek:

4. Eşitsizliği çözün:

7 < 3x+1 < 13

Nasıl! Böyle bir ifade denir üçlü eşitsizlik Açıkçası, bu eşitsizlikler sisteminin kısaltılmış bir gösterimidir. Ama yine de bazı görevlerde böyle üçlü eşitsizlikleri çözmeniz gerekiyor... Herhangi bir sistem olmadan çözülüyor. Aynı özdeş dönüşümlerle.

Bu eşitsizliği sadeleştirmek, saf bir X'e getirmek gerekiyor. Ama... Neyi nereye aktarmalı!? Burada sola-sağa kaymanın ne olduğunu hatırlamanın zamanı geldi. kısaltılmış form ilk özdeş dönüşüm.

Ve tam form şöyle görünür: Denklemin her iki kısmına da (eşitsizlik) herhangi bir sayı veya ifade ekleyebilir/çıkartabilirsiniz.

Burada üç bölüm var. Bu yüzden üç parçaya da aynı dönüşümleri uygulayacağız!

O halde eşitsizliğin ortasındaki birinden kurtulalım. Tüm orta kısımdan bir çıkarın. Eşitsizliğin değişmemesi için kalan iki kısımdan bir çıkarıyoruz. Bunun gibi:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Zaten daha iyi, değil mi?) Üç parçayı da üçe bölmek kalıyor:

2 < X < 4

Bu kadar. Cevap bu. X, ikiden (dahil değil) dörde (dahil değil) kadar herhangi bir sayı olabilir. Bu cevap da aralıklarla yazılır, bu tür girdiler kare eşitsizlikleri içinde olacaktır. Orada en yaygın olanı var.

Dersin sonunda en önemli şeyi tekrarlayacağım. Doğrusal eşitsizlikleri çözmedeki başarı, doğrusal denklemleri dönüştürme ve basitleştirme yeteneğine bağlıdır. eğer aynı anda eşitsizlik işaretini takip et, hiçbir sorun olmayacak. Sana ne diliyorum. sorun değil.)

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Değişkenli eşitsizlikler hakkında ilk bilgileri aldıktan sonra, çözümü sorusuna dönüyoruz. Tek değişkenli lineer eşitsizliklerin çözümünü ve bunların çözümü için tüm yöntemleri algoritma ve örneklerle inceleyelim. Yalnızca tek değişkenli doğrusal denklemler dikkate alınacaktır.

Doğrusal eşitsizlik nedir?

İlk olarak, doğrusal bir denklem tanımlamanız ve bunun standart biçimini ve diğerlerinden nasıl farklı olacağını bulmanız gerekir. Okul kursundan, eşitsizliklerin temel bir farkı olmadığını gördük, bu nedenle birkaç tanım kullanılmalıdır.

tanım 1

Tek değişkenli doğrusal eşitsizlik x, > yerine herhangi bir eşitsizlik işareti kullanıldığında a x + b > 0 biçiminde bir eşitsizliktir.< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

tanım 2

eşitsizlikler a x< c или a · x >c , x bir değişken ve a ve c bazı sayılar olmak üzere, denir tek değişkenli doğrusal eşitsizlikler.

Katsayının 0'a eşit olup olmayacağı hakkında hiçbir şey söylenmediği için, 0 x > c ve 0 x biçiminde katı bir eşitsizlik söz konusudur.< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Farklılıkları şunlardır:

• a · x + b > 0 gösterimi birincide ve a · x > c – ikincisinde;
• sıfır katsayısının kabul edilebilirliği a , a ≠ 0 - ilkinde ve a = 0 - ikincisinde.

a x + b > 0 ve a x > c eşitsizliklerinin, terimin bir parçadan diğerine aktarılmasıyla elde edildikleri için eşdeğer olduğuna inanılmaktadır. 0 · x + 5 > 0 eşitsizliğinin çözülmesi, çözülmesi gerektiği gerçeğine yol açacaktır ve a = 0 durumu çalışmayacaktır.

tanım 3

Bir x değişkenindeki doğrusal eşitsizliklerin, formun eşitsizlikleri olduğu kabul edilir. bir x + b< 0 , a · x + b >0 , bir x + b ≤ 0 ve bir x + b ≥ 0, burada a ve b gerçek sayılardır. x yerine sıradan bir sayı olabilir.

Kurala göre 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 lineer olarak adlandırılır.

Doğrusal eşitsizlik nasıl çözülür

Bu tür eşitsizlikleri çözmenin ana yolu, temel eşitsizlikleri bulmak için eşdeğer dönüşümleri kullanmaktır x< p (≤ , >, ≥) , p bir sayıdır, a ≠ 0 için ve a biçimindedir< p (≤ , >, ≥) için a = 0 .

Tek değişkenli bir eşitsizliği çözmek için interval yöntemini uygulayabilir veya grafiksel olarak gösterebilirsiniz. Bunlardan herhangi biri izole olarak kullanılabilir.

Eşdeğer dönüşümleri kullanma

a x + b biçimindeki doğrusal eşitsizliği çözmek için< 0 (≤ , >, ≥) , eşitsizliğin eşdeğer dönüşümlerini uygulamak gerekir. Katsayı sıfır olabilir veya olmayabilir. Her iki durumu da ele alalım. Açıklığa kavuşturmak için 3 noktadan oluşan bir şemaya uymak gerekir: sürecin özü, algoritma, çözümün kendisi.

tanım 4

Doğrusal eşitsizliği çözmek için algoritma bir x + b< 0 (≤ , >, ≥) için ≠ 0

• b sayısı, karşıt işaretli eşitsizliğin sağ tarafına aktarılacak, bu da eşdeğer a x'e gelmemizi sağlayacaktır.< − b (≤ , > , ≥) ;
• eşitsizliğin her iki kısmı da 0'a eşit olmayan bir sayıya bölünecektir. Ayrıca a pozitif olduğunda işaret kalır, a negatif olduğunda tersi değişir.

Örnekleri çözmek için bu algoritmanın uygulamasını düşünün.

örnek 1

3 · x + 12 ≤ 0 biçiminde bir eşitsizliği çözün.

Karar

Bu lineer eşitsizlik a = 3 ve b = 12'ye sahiptir. Bu nedenle, x'in a katsayısı sıfıra eşit değildir. Yukarıdaki algoritmaları uygulayalım ve çözelim.

12 terimini önünde bir işaret değişikliği ile eşitsizliğin başka bir bölümüne aktarmak gerekir. Sonra 3 · x ≤ − 12 biçiminde bir eşitsizlik elde ederiz. Her iki parçayı da 3'e bölmek gerekir. 3 pozitif bir sayı olduğu için işaret değişmeyecektir. Bunu (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 elde ederiz, bu da x ≤ − 4 sonucunu verecektir.

x ≤ − 4 biçimindeki bir eşitsizlik eşdeğerdir. Yani, 3 x + 12 ≤ 0 için çözüm, 4'ten küçük veya ona eşit herhangi bir gerçek sayıdır. Cevap bir x ≤ − 4 eşitsizliği veya (− ∞ , − 4 ] biçiminde bir sayısal aralık olarak yazılır.

Yukarıda açıklanan algoritmanın tamamı aşağıdaki gibi yazılmıştır:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Cevap: x ≤ − 4 veya (− ∞ , − 4 ] .

Örnek 2

− 2 , 7 · z > 0 eşitsizliğinin mevcut tüm çözümlerini belirtin .

Karar

Koşuldan, z'deki a katsayısının - 2, 7'ye eşit olduğunu ve b'nin açıkça yok veya sıfıra eşit olduğunu görüyoruz. Algoritmanın ilk adımını kullanamazsınız, ancak hemen ikincisine gidebilirsiniz.

Denklemin her iki bölümünü de - 2, 7 sayısına böleriz. Sayı negatif olduğu için eşitsizlik işaretinin tersini değiştirmek gerekir. Yani, şunu elde ederiz (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Tüm algoritmayı yazıyoruz kısa form:

− 2 , 7 z > 0 ; z< 0 .

Cevap: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Örnek 3

- 5 · x - 15 22 ≤ 0 eşitsizliğini çözün.

Karar

Koşullara göre, - 5'e eşit olan x değişkeni için a katsayısı ile eşitsizliğin - 15 22 fraksiyonuna karşılık gelen b katsayısı ile çözülmesi gerektiğini görüyoruz. Algoritmayı izleyerek eşitsizliği çözmek gerekir, yani: - 15 22'yi zıt işaretli başka bir parçaya aktarın, her iki parçayı - 5'e bölün, eşitsizlik işaretini değiştirin:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Sağ taraf için son geçişte, sayıyı bölme kuralı farklı işaretler 15 22: - 5 = - 15 22: 5 , ardından bölme işlemini gerçekleştiriyoruz. ortak kesir doğal bir sayıya - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 \u003d - 3 22.

Cevap: x ≥ - 3 22 ve [ - 3 22 + ∞) .

a = 0 olduğu durumu düşünün. a x + b formunun doğrusal ifadesi< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Her şey eşitsizliğin çözümünün tanımına dayanmaktadır. Herhangi bir x değeri için, b biçiminde sayısal bir eşitsizlik elde ederiz.< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Tüm yargıları, 0 x + b doğrusal eşitsizlikleri çözmek için bir algoritma şeklinde ele alıyoruz.< 0 (≤ , > , ≥) :

tanım 5

b formunun sayısal eşitsizliği< 0 (≤ , >, ≥) true ise, orijinal eşitsizliğin herhangi bir değer için bir çözümü vardır ve orijinal eşitsizliğin çözümü olmadığında false olur.

Örnek 4

0 · x + 7 > 0 eşitsizliğini çözün.

Karar

Bu doğrusal eşitsizlik 0 · x + 7 > 0 herhangi bir x değerini alabilir. Sonra 7 > 0 biçiminde bir eşitsizlik elde ederiz. Son eşitsizlik doğru kabul edilir, bu nedenle herhangi bir sayı çözümü olabilir.

Cevap: aralık (− ∞ , + ∞) .

Örnek 5

0 · x − 12 , 7 ≥ 0 eşitsizliğine bir çözüm bulun.

Karar

Herhangi bir sayının yerine x değişkenini koyduğumuzda, eşitsizliğin − 12 , 7 ≥ 0 biçimini alacağını elde ederiz. Bu yanlış. Yani 0 · x − 12 , 7 ≥ 0'ın çözümü yoktur.

Cevap:çözümler yok.

Her iki katsayının da sıfıra eşit olduğu doğrusal eşitsizliklerin çözümünü düşünün.

Örnek 6

0 · x + 0 > 0 ve 0 · x + 0 ≥ 0 arasında çözülemez bir eşitsizlik belirleyin.

Karar

x yerine herhangi bir sayı koyarken, 0 > 0 ve 0 ≥ 0 şeklinde iki eşitsizlik elde ederiz. Birincisi yanlış. Bu, 0 x + 0 > 0'ın çözümü olmadığı ve 0 x + 0 ≥ 0'ın sonsuz sayıda, yani herhangi bir sayıda çözümü olduğu anlamına gelir.

Cevap: 0 x + 0 > 0 eşitsizliğinin çözümü yoktur ve 0 x + 0 ≥ 0'ın çözümü vardır.

Bu yöntem okul matematik dersinde dikkate alınır. Aralık yöntemi çözme yeteneğine sahiptir Farklı çeşit eşitsizlikler de doğrusaldır.

Aralık yöntemi, x katsayısının değeri 0'a eşit olmadığında doğrusal eşitsizlikler için kullanılır. Aksi takdirde, başka bir yöntem kullanarak hesaplamanız gerekecektir.

tanım 6

Aralık yöntemi:

• y = a x + b fonksiyonunun tanıtımı;
• tanım alanını aralıklara bölmek için sıfırları arayın;
• bunların kavramına ait işaretlerin aralıklarla belirlenmesi.

a x + b doğrusal denklemlerini çözmek için bir algoritma oluşturalım< 0 (≤ , >, ≥) aralık yöntemini kullanarak ≠ 0 için:

• a · x + b = 0 biçimindeki bir denklemi çözmek için y = a · x + b fonksiyonunun sıfırlarını bulma. Eğer a ≠ 0 ise, o zaman çözüm, x 0 atamasını alacak tek kök olacaktır;
• x 0 koordinatına sahip, katı eşitsizliğe sahip bir noktanın görüntüsü ile bir koordinat çizgisinin oluşturulması, nokta, kesin olmayan bir eşitsizlik ile delinmiş bir şekilde gösterilir, gölgelenir;
• aralıklarda y = a x + b fonksiyonunun işaretlerinin belirlenmesi, bunun için aralıktaki noktalarda fonksiyonun değerlerini bulmak gerekir;
• Koordinat doğrusu üzerinde > veya ≥ işaretleri ile eşitsizliğin çözümü, pozitif boşluğun üzerine tarama eklenir,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Aralık yöntemini kullanarak doğrusal bir eşitsizliği çözmenin birkaç örneğini düşünün.

Örnek 6

− 3 · x + 12 > 0 eşitsizliğini çözün.

Karar

Algoritmadan, önce − 3 · x + 12 = 0 denkleminin kökünü bulmanız gerektiğini izler. − 3 · x = − 12 , x = 4 elde ederiz. 4. noktayı işaretlediğimiz koordinat çizgisini tasvir etmek gerekir. Eşitsizlik katı olduğu için delinecek. Aşağıdaki çizimi düşünün.

Aralıklardaki işaretleri belirlemek gerekir. (− ∞ , 4) aralığında belirlemek için, x = 3 için y = − 3 · x + 12 fonksiyonunu hesaplamak gerekir. Buradan − 3 3 + 12 = 3 > 0 elde ederiz. Aralıktaki işaret pozitiftir.

İşareti (4, + ∞) aralığından belirleriz, sonra x \u003d 5 değerini değiştiririz. − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Eşitsizliğin çözümünü > işareti ile yapıyoruz ve tarama işlemi pozitif boşluk üzerinden yapılıyor. Aşağıdaki çizimi düşünün.

İstenilen çözümün (− ∞ , 4) veya x şeklinde olduğu çizimden görülebilir.< 4 .

Cevap: (− ∞ , 4) veya x< 4 .

Grafiksel olarak nasıl temsil edileceğini anlamak için 4 doğrusal eşitsizliği örnek olarak ele almak gerekir: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 ve 0 , 5 x − 1 ≥ 0 . Çözümleri x olacak< 2 , x ≤ 2 , x >2 ve x ≥ 2 . Bunu yapmak için, aşağıda y = 0 , 5 · x − 1 doğrusal fonksiyonunun bir grafiğini çizin.

açık ki

tanım 7

• 0 , 5 x − 1 eşitsizliğinin çözümü< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• 0 , 5 x − 1 ≤ 0 çözümü, y = 0 , 5 x − 1 fonksiyonunun 0 x'in altında olduğu veya çakıştığı aralıktır;
• 0 , 5 x − 1 > 0 çözümü, fonksiyonun O x'in üzerinde bulunduğu aralık olarak kabul edilir;
• 0 , 5 x − 1 ≥ 0 çözümü, grafiğin O x'ten büyük olduğu veya çakıştığı aralıktır.

Eşitsizliklerin grafik çözümünün anlamı, grafikte gösterilmesi gereken boşlukları bulmaktır. Bu durumda, sol tarafın y \u003d a x + b olduğunu ve sağ tarafın y \u003d 0 olduğunu ve yaklaşık x ile çakıştığını anlıyoruz.

Tanım 8

y = a x + b fonksiyonunun çizimi gerçekleştirilir:

• a x + b eşitsizliğini çözerken< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• a x + b ≤ 0 eşitsizliği çözülürken, grafiğin O x ekseninin altında görüntülendiği veya çakıştığı aralık belirlenir;
• a x + b > 0 eşitsizliğini çözerken, grafiğin O x'in üzerinde görüntülendiği aralık belirlenir;
• a x + b ≥ 0 eşitsizliği çözülürken grafiğin O x'in üzerinde olduğu veya çakıştığı aralık belirlenir.

Örnek 7

Grafiği kullanarak - 5 · x - 3 > 0 eşitsizliğini çözün.

Karar

- 5 · x - 3 > 0 doğrusal fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmak gereklidir . Bu doğru azalıyor çünkü x'in katsayısı negatif. O x - 5 · x - 3 > 0 ile kesiştiği noktanın koordinatlarını belirlemek için - 3 5 değerini elde ederiz. Grafiği yapalım.

> işaretiyle eşitsizliğin çözümü, o zaman O x'in üzerindeki aralığa dikkat etmeniz gerekir. Uçağın gerekli kısmını kırmızı ile vurgularız ve bunu elde ederiz.

Gerekli boşluk, kırmızı rengin O x kısmıdır. Dolayısıyla, açık sayı ışını - ∞ , - 3 5 eşitsizliğin çözümü olacaktır. Koşul olarak, katı olmayan bir eşitsizlikleri varsa, o zaman - 3 5 noktasının değeri de eşitsizliğe bir çözüm olacaktır. Ve O x ile çakışır.

Cevap: - ∞ , - 3 5 veya x< - 3 5 .

Grafik çözüm, sol taraf y = 0 x + b işlevine, yani y = b işlevine karşılık geldiğinde kullanılır. O zaman çizgi O x'e paralel olacak veya b \u003d 0'a denk gelecek. Bu durumlar, bir eşitsizliğin çözümü olmayabileceğini veya herhangi bir sayının bir çözüm olabileceğini göstermektedir.

Örnek 8

Eşitsizliklerden belirle 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Karar

y = 0 x + 7 gösterimi y = 7'dir, bu durumda O x'e paralel ve O x'in üzerinde düz bir çizgiye sahip bir koordinat düzlemi verilecektir. Yani 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

y \u003d 0 x + 0 fonksiyonunun grafiği y \u003d 0 olarak kabul edilir, yani çizgi O x ile çakışır. Dolayısıyla 0 · x + 0 ≥ 0 eşitsizliğinin birçok çözümü vardır.

Cevap: ikinci eşitsizliğin herhangi bir x değeri için bir çözümü vardır.

Doğrusal eşitsizlikler

Eşitsizliklerin çözümü, doğrusal eşitsizlikler adı verilen doğrusal bir denklemin çözümüne indirgenebilir.

Bu eşitsizlikler, parantezlerin açılmasına ve benzer terimlerin azaltılmasına yol açan eşitsizlikleri çözmenin özel bir durumu olduğu için okul dersinde dikkate alındı. Örneğin, 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x olduğunu düşünün.

Yukarıda verilen eşitsizlikler her zaman doğrusal bir denklem biçimine indirgenir. Daha sonra parantezler açılır ve benzer terimler verilir, farklı parçalar, işareti tersine çevirerek.

5 − 2 x > 0 eşitsizliğini lineer olana indirgediğimizde, onu − 2 x + 5 > 0 biçiminde temsil ederiz ve ikincisini azaltmak için 7 (x − 1) elde ederiz. ) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Parantezleri açmak, benzer terimleri getirmek, tüm terimleri sola taşımak ve benzer terimleri getirmek gerekir. Şuna benziyor:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Bu, çözümü doğrusal bir eşitsizliğe getirir.

Bu eşitsizlikler, aynı çözüm ilkesine sahip oldukları için lineer olarak kabul edilir, daha sonra bunları temel eşitsizliklere indirgemek mümkündür.

Bu tür bir eşitsizliği çözmek için, onu lineer bir eşitsizliğe indirgemek gerekir. Bu şekilde yapılmalıdır:

Tanım 9

• açık parantez;
• soldaki değişkenleri ve sağdaki sayıları toplayın;
• benzer terimler getirin;
• her iki parçayı da x katsayısına bölün.

Örnek 9

5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 eşitsizliğini çözün.

Karar

Parantezleri genişletiriz, sonra 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 biçiminde bir eşitsizlik elde ederiz. Benzer terimleri azalttıktan sonra, 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17'yi elde ederiz. Terimleri soldan sağa kaydırdıktan sonra, 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 elde ederiz. Dolayısıyla, 0 · x + 32 ≤ 0 hesaplamasında elde edilen sonuçtan 32 ≤ 0 biçiminde bir eşitsizliğe sahiptir. Eşitsizliğin yanlış olduğu görülebilir, bu da koşulun verdiği eşitsizliğin çözümü olmadığı anlamına gelir.

Cevap: çözüm yok.

Yukarıda gösterilen türden bir eşitsizliğe veya doğrusal bir eşitsizliğe indirgenebilecek başka türden birçok eşitsizlik olduğunu belirtmekte fayda var. Örneğin, 5 2 x − 1 ≥ 1 2 · x − 1 ≥ 0 lineer bir çözüme indirgeyen üstel bir denklemdir. Bu tür eşitsizlikler çözülürken bu durumlar dikkate alınacaktır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Şiddetle "pek değil..." diyenler için
Ve "çok fazla..." olanlar için)

Ne "kare eşitsizliği"? Soru değil!) Alırsanız hiç ikinci dereceden denklem ve içindeki işareti değiştirin "=" (eşit) herhangi bir eşitsizlik simgesine ( > ≥ < ≤ ≠ ), ikinci dereceden bir eşitsizlik elde ederiz. Örneğin:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Neyse anladınız...)

Burada denklemleri ve eşitsizlikleri bilerek bağladım. Gerçek şu ki, çözümün ilk adımı hiç kare eşitsizliği - bu eşitsizliğin yapıldığı denklemi çözün. Bu nedenle - ikinci dereceden denklemleri otomatik olarak çözememe, eşitsizliklerde tam bir başarısızlığa yol açar. İpucu açık mı?) Varsa, ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğine bakın. Orada her şey ayrıntılı. Ve bu derste eşitsizliklerle ilgileneceğiz.

Çözüme hazır eşitsizlik şu şekildedir: sol - kare üç terimli balta 2 +bx+c, sağda - sıfır. Eşitsizlik işareti kesinlikle herhangi bir şey olabilir. İlk iki örnek burada bir karara hazırız.Üçüncü örneğin hala hazırlanması gerekiyor.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Makalede ele alacağız eşitsizliklerin çözümü. açık açık konuşalım eşitsizlikler için bir çözüm nasıl oluşturulur net örneklerle!

Eşitsizliklerin çözümünü örneklerle ele almadan önce temel kavramlardan bahsedelim.

eşitsizliklere giriş

eşitsizlik fonksiyonların >, ilişki işaretleri ile bağlandığı bir ifade olarak adlandırılır. Eşitsizlikler hem sayısal hem de alfabetik olabilir.
İki ilişki işaretli eşitsizliklere çift, üçlü üçlü vb. Örneğin:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) > veya veya işaretini içeren eşitsizlikler katı değildir.
eşitsizlik çözümü bu eşitsizliğin doğru olduğu değişkenin herhangi bir değeridir.
"eşitsizliği çöz" tüm çözümlerinin kümesini bulmanız gerektiği anlamına gelir. Çeşitli eşitsizlikleri çözme yöntemleri. İçin eşitsizlik çözümleri sonsuz bir sayı doğrusu kullanın. Örneğin, eşitsizliği çözme x > 3, 3 ile + arasındaki bir aralıktır ve 3 sayısı bu aralığa dahil değildir, dolayısıyla doğru üzerindeki nokta boş bir daire ile gösterilir, çünkü eşitsizlik katıdır.
+
Cevap: x (3; +) olacaktır.
x=3 değeri çözüm kümesine dahil değildir, bu nedenle parantez yuvarlaktır. Sonsuzluk işareti her zaman parantez içine alınır. İşaret "aidiyet" anlamına gelir.
İşaretli başka bir örnek kullanarak eşitsizliklerin nasıl çözüleceğini düşünün:
x2
-+
x=2 değeri çözüm kümesine dahil edilir, bu nedenle köşeli parantez ve doğru üzerindeki nokta içi dolu bir daire ile gösterilir.
Cevap: x )