Aynı paydalara sahip ortak kesirler nasıl eklenir. Tam sayılar ve farklı paydalar içeren kesirlerin toplanması
Kesirli işlemler.
Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Şiddetle "pek değil..." diyenler için
Ve "çok fazla..." olanlar için)
Öyleyse, kesirler nelerdir, kesir türleri, dönüşümler - hatırladık. Ana soruyu çözelim.
Kesirlerle ne yapabilirsiniz? Evet, her şey sıradan sayılarla aynıdır. Toplama, çıkarma, çarpma, bölme.
Tüm bu eylemlerle ondalık kesirli işlemlerin tamsayılı işlemlerden farkı yoktur. Aslında, bunun için iyiler, ondalık. Tek şey, virgülü doğru koymanız gerektiğidir.
karışık sayılar, dediğim gibi, çoğu eylem için çok az kullanışlıdır. Hala sıradan kesirlere dönüştürülmeleri gerekiyor.
Ve işte eylemler sıradan kesirler daha akıllı olacak. Ve çok daha önemli! Hatırlatmama izin ver: Harfler, sinüsler, bilinmeyenler vb. ile kesirli ifadelere sahip tüm eylemler, sıradan kesirli eylemlerden farklı değildir.! Sıradan kesirli işlemler tüm cebirin temelidir. Bu nedenle, tüm bu aritmetiği burada ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.
Kesirlerde toplama ve çıkarma.
Herkes aynı paydalara sahip kesirler ekleyebilir (çıkarabilir) (umarım gerçekten!). Peki, tamamen unutkan olduğumu hatırlatmama izin verin: eklerken (çıkarırken) payda değişmez. Sonucun payını vermek için paylar eklenir (çıkarılır). Tip:
Kısacası, genel anlamda:
Paydalar farklıysa ne olur? Ardından, kesrin ana özelliğini kullanarak (burada yine işe yaradı!), Paydaları aynı yapıyoruz! Örneğin:
Burada 2/5 oranından 4/10 kesri yapmak zorunda kaldık. Sadece paydaları aynı kılmak amacıyla. Her ihtimale karşı 2/5 ve 4/10 olduğunu not ediyorum. aynı kesir! Sadece 2/5 bizim için rahatsız edici, 4/10 ise hiçbir şey değil.
Bu arada, matematikteki herhangi bir görevi çözmenin özü budur. dışarı çıktığımızda rahatsız ifadeler yapar aynı, ancak çözmesi daha uygun.
Başka bir örnek:
Durum benzer. Burada 16'nın 48'ini yapıyoruz. 3 ile basit bir çarpma ile. Her şey açık. Ama burada şöyle bir şeyle karşılaşıyoruz:
Nasıl olunur?! Yedide dokuz yapmak zor! Ama biz akıllıyız, kuralları biliyoruz! hadi dönüştürelim her paydaları aynı olacak şekilde kesir. Buna "ortak bir paydaya indirgeme" denir:
Nasıl! 63'ü nasıl bildim? Çok basit! 63, 7 ve 9 ile aynı anda bölünebilen bir sayıdır. Böyle bir sayı her zaman paydaları çarparak elde edilebilir. Örneğin bir sayıyı 7 ile çarparsak, sonuç kesinlikle 7'ye bölünecektir!
Birkaç kesir eklemeniz (çıkarmanız) gerekiyorsa, bunu adım adım çiftler halinde yapmanıza gerek yoktur. Tüm kesirlerde ortak olan paydayı bulmanız ve her kesri aynı paydaya getirmeniz yeterlidir. Örneğin:
Ve ortak payda ne olacak? Elbette 2, 4, 8 ve 16'yı çarpabilirsiniz. 1024'ü elde ederiz. Kabus. 16 sayısının 2, 4 ve 8 ile tam bölünebildiğini tahmin etmek daha kolaydır. Bu nedenle bu sayılardan 16 almak kolaydır.Bu sayı ortak payda olacaktır. 1/2'yi 8/16'ya, 3/4'ü 12/16'ya vb. çevirelim.
Bu arada, 1024'ü ortak payda olarak alırsak, her şey de yoluna girecek, sonunda her şey azalacak. Hesaplamalar nedeniyle sadece herkes bu amaca ulaşamayacak ...
Örneği kendiniz çözün. Logaritma değil... 29/16 olmalı.
Yani, kesirlerin eklenmesi (çıkarma) ile açıktır, umarım? Elbette, ek çarpanlarla kısaltılmış bir versiyonda çalışmak daha kolaydır. Ancak bu zevk, alt sınıflarda dürüstçe çalışanlar için geçerlidir ... Ve hiçbir şeyi unutmadı.
Ve şimdi aynı eylemleri yapacağız, ancak kesirlerle değil, kesirli ifadeler. Burada yeni tırmıklar bulunacak, evet ...
Bu nedenle, iki kesirli ifade eklememiz gerekiyor:
Paydaları aynı yapmamız gerekiyor. Ve sadece yardımla çarpma işlemi! Yani kesrin ana özelliği diyor. Bu nedenle, paydadaki ilk kesirde x'e bir ekleyemiyorum. (Ama bu güzel olurdu!). Ama paydaları çarparsan, görüyorsun, her şey birlikte büyüyecek! Yani kesrin doğrusunu yazıyoruz, üstte bir boşluk bırakıyoruz, sonra ekliyoruz ve unutmamak için paydaların çarpımını aşağıya yazıyoruz:
Ve elbette sağ tarafta hiçbir şeyi çarpmıyoruz, parantez açmıyoruz! Ve şimdi sağ tarafın ortak paydasına bakarak şunu düşünüyoruz: birinci kesirde x (x + 1) paydasını elde etmek için, bu kesrin payını ve paydasını (x + 1) ile çarpmamız gerekiyor. . Ve ikinci kesirde - x. Bunu aldın:
Not! Parantezler burada! Bu, birçoğunun üzerine bastığı tırmık. Tabii ki parantez değil, onların yokluğu. Parantezler çarptığımız için görünür bütün pay ve bütün payda! Ve bireysel parçaları değil ...
Sağ tarafın payında payların toplamını yazıyoruz, her şey sayısal kesirlerdeki gibi, sonra sağ tarafın payında parantezleri açıyoruz, yani. her şeyi çarpın ve beğenin. Paydalarda parantez açmanıza gerek yok, bir şey çarpmanıza gerek yok! Genel olarak, paydalarda (herhangi bir) ürün her zaman daha hoştur! Alırız:
İşte cevabı aldık. Süreç uzun ve zor görünüyor, ancak uygulamaya bağlı. Örnekleri çözün, alışın, her şey basitleşecek. Verilen sürede kesirlere hakim olanlar, tüm bu işlemleri tek elle, makinede yapıyor!
Ve bir not daha. Birçoğu ünlü olarak kesirlerle ilgilenir, ancak örneklere devam edin tüm sayılar. Tip: 2 + 1/2 + 3/4= ? İkili nereye sabitlenir? Herhangi bir yere tutturmanıza gerek yok, bir ikiliden bir kesir yapmanız gerekiyor. Kolay değil, çok basit! 2=2/1. Bunun gibi. Herhangi bir tam sayı kesir olarak yazılabilir. Pay sayının kendisidir, payda birdir. 7 7/1'dir, 3 3/1'dir vb. Harflerle aynı. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1, vb. Ve sonra bu kesirler ile tüm kurallara göre çalışıyoruz.
Peki, toplama - kesirlerin çıkarılmasında bilgi yenilendi. Kesirlerin bir türden diğerine dönüşümleri - tekrarlanır. Ayrıca kontrol edebilirsiniz. Biraz anlaşalım mı?)
Hesaplamak:
Cevaplar (kargaşa içinde):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Kesirlerin çarpması / bölünmesi - sonraki derste. Kesirli tüm eylemler için de görevler vardır.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)
fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Kesirlerle çeşitli işlemler yapabilirsiniz, örneğin kesir ekleme. Kesirlerin eklenmesi birkaç türe ayrılabilir. Her kesir toplama türünün kendi kuralları ve eylem algoritması vardır. Her bir ekleme türüne daha yakından bakalım.
Aynı paydalara sahip kesirler ekleme.
Örneğin, ortak paydalı kesirlerin nasıl ekleneceğini görelim.
Yürüyüşçüler A noktasından E noktasına yürüyüşe çıktılar. İlk gün A noktasından B noktasına veya \(\frac(1)(5)\) tüm yolu yürüdüler. İkinci gün B noktasından D noktasına veya tüm yolu \(\frac(2)(5)\)'e gittiler. Yolculuğun başlangıcından D noktasına kadar ne kadar yol kat ettiler?
A noktasından D noktasına olan mesafeyi bulmak için, \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\) kesirlerini toplayın.
Aynı paydalara sahip kesirler eklemek, bu kesirlerin paylarını toplamanız gerektiğidir ve payda aynı kalacaktır.
\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)
Gerçek formda, aynı paydalara sahip kesirlerin toplamı şöyle görünecektir:
\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)
Cevap: Turistler \(\frac(3)(5)\) tüm yolu katettiler.
Farklı paydalara sahip kesirler ekleme.
Bir örnek düşünün:
İki kesir \(\frac(3)(4)\) ve \(\frac(2)(7)\) ekleyin.
Farklı paydalara sahip kesirler eklemek için önce bulmalısınız. ve ardından aynı paydalara sahip kesirler eklemek için kuralı kullanın.
Payda 4 ve 7 için ortak payda 28'dir. İlk kesir \(\frac(3)(4)\) 7 ile çarpılmalıdır. İkinci kesir \(\frac(2)(7)\) olmalıdır. 4 ile çarpılır.
\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(kırmızı) (7) + 2 \times \color(kırmızı) (4))(4 \ çarpı \renk(kırmızı) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)
Kelimenin tam anlamıyla, aşağıdaki formülü elde ederiz:
\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)
Karışık sayıların veya karışık kesirlerin eklenmesi.
Toplama, toplama yasasına göre gerçekleşir.
Karışık kesirler için, tamsayı kısımlarını tamsayı kısımlarına ve kesirli kısımları kesirli kısımlara ekleyin.
Karışık sayıların kesirli kısımlarının paydaları aynıysa, payları toplayın, payda aynı kalır.
Karışık sayılar \(3\frac(6)(11)\) ve \(1\frac(3)(11)\) ekleyin.
\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(red) (3) + \color(mavi) (\frac(6)(11))) + ( \color(red) (1) + \color(blue) (\frac(3)(11))) = (\color(red) (3) + \color(red) (1)) + (\color( mavi) (\frac(6)(11)) + \color(mavi) (\frac(3)(11))) = \color(kırmızı)(4) + (\color(mavi) (\frac(6) + 3)(11))) = \color(kırmızı)(4) + \color(mavi) (\frac(9)(11)) = \color(kırmızı)(4) \color(mavi) (\frac (9)(11))\)
Karışık sayıların kesirli kısımlarının farklı paydaları varsa, ortak bir payda buluruz.
\(7\frac(1)(8)\) ve \(2\frac(1)(6)\) karışık sayıları ekleyelim.
Payda farklıdır, bu yüzden ortak bir payda bulmanız gerekir, bu 24'e eşittir. İlk kesri \(7\frac(1)(8)\) ek bir 3 faktörü ile ve ikinci kesri \( 2\frac(1)(6)\) üzerinde 4.
\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(kırmızı) (3))(8 \times \color(kırmızı) (3) ) = 2\frac(1 \times \color(red) (4))(6 \times \color(kırmızı) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)
İlgili sorular:
Kesirler nasıl eklenir?
Cevap: İlk önce ifadenin hangi türe ait olduğuna karar vermelisiniz: kesirler aynı paydalara, farklı paydalara veya karışık kesirlere sahiptir. İfade türüne bağlı olarak çözüm algoritmasına geçiyoruz.
Farklı paydalara sahip kesirler nasıl çözülür?
Cevap: Ortak bir payda bulmanız ve ardından aynı paydalarla kesirler ekleme kuralına uymanız gerekir.
Karışık kesirler nasıl çözülür?
Cevap: Tamsayılı kısımlara tamsayı kısımları ve kesirli kısımlara kesirli kısımlar ekleyin.
Örnek 1:
İkisinin toplamı uygun bir kesir verebilir mi? Yanlış fraksiyon mu? Örnekler ver.
\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)
\(\frac(5)(7)\) kesri uygun bir kesirdir, iki uygun kesrin \(\frac(2)(7)\) ve \(\frac(3) toplamının sonucudur. (7)\).
\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)
Kesir \(\frac(58)(45)\) uygunsuz bir kesirdir, uygun kesirlerin toplamının sonucudur \(\frac(2)(5)\) ve \(\frac(8) (9)\).
Cevap: Her iki sorunun cevabı da evet.
Örnek #2:
Kesirleri ekleyin: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\).
a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)
b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(kırmızı) (3))(3 \times \color(kırmızı) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)
Örnek #3:
Karışık kesri bir doğal sayı ile uygun bir kesrin toplamı olarak yazın: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)
a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)
b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)
Örnek 4:
Toplamı hesaplayın: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)
a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)
b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13) \)
c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2 \times 3)(5 \times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frak(10)(15) = 10\frak(2)(3)\)
Görev 1:
Akşam yemeğinde pastadan \(\frac(8)(11)\) yediler ve akşam yemeğinde \(\frac(3)(11)\) yediler. Sizce pasta tamamen yenmiş mi yenmemiş mi?
Çözüm:
Kesirin paydası 11'dir, pastanın kaç parçaya bölündüğünü gösterir. Öğle yemeğinde 11'den 8 parça kek yedik. Akşam yemeğinde 11'den 3'er kek yedik. 8 + 3 = 11'i ekleyelim, 11'den birer kek yedik yani bütün keki.
\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)
Cevap: Bütün pastayı yediler.
Bu dersimizde farklı paydalara sahip cebirsel kesirlerin toplama ve çıkarma işlemlerini ele alacağız. Farklı paydalara sahip ortak kesirleri nasıl toplayıp çıkaracağımızı zaten biliyoruz. Bunu yapmak için, kesirler ortak bir paydaya indirgenmelidir. Cebirsel kesirlerin aynı kurallara uyduğu ortaya çıktı. Aynı zamanda, cebirsel kesirleri ortak bir paydaya nasıl indireceğimizi zaten biliyoruz. Farklı paydalarla kesirleri toplama ve çıkarma 8. sınıf dersinin en önemli ve zor konularından biridir. Ayrıca bu konu ileride okuyacağınız cebir dersinin birçok başlığında yer alacaktır. Dersin bir parçası olarak, farklı paydalara sahip cebirsel kesirleri toplama ve çıkarma kurallarını inceleyeceğiz ve bir dizi tipik örneği analiz edeceğiz.
Sıradan kesirler için en basit örneği düşünün.
örnek 1 Kesirler ekle: .
Çözüm:
Kesirleri ekleme kuralını hatırlayın. Başlangıç olarak, kesirler ortak bir paydaya indirgenmelidir. Adi kesirlerin ortak paydası en küçük ortak Kat(LCM) orijinal paydalar.
Tanım
En az doğal sayı sayılarla aynı anda bölünebilen ve .
LCM'yi bulmak için, paydaları asal faktörlere ayırmak ve ardından her iki paydanın açılımında yer alan tüm asal faktörleri seçmek gerekir.
; . O zaman sayıların LCM'si iki 2 ve iki 3'ü içermelidir: .
Ortak paydayı bulduktan sonra, kesirlerin her birinin ek bir faktör bulması gerekir (aslında ortak paydayı karşılık gelen kesrin paydasına bölün).
Daha sonra her kesir, elde edilen ek faktör ile çarpılır. Önceki derslerde toplamayı ve çıkarmayı öğrendiğimiz paydaları aynı olan kesirler alıyoruz.
Alırız: 
.
Cevap:.
Şimdi farklı paydalara sahip cebirsel kesirlerin eklenmesini düşünün. Önce paydaları sayı olan kesirleri ele alalım.
Örnek 2 Kesirler ekle: .
Çözüm:
Çözüm algoritması kesinlikle önceki örneğe benzer. Bu kesirler için ortak bir payda ve bunların her biri için ek faktörler bulmak kolaydır.
.
Cevap:.
Öyleyse formüle edelim farklı paydalara sahip cebirsel kesirleri toplama ve çıkarma algoritması:
1. Kesirlerin en küçük ortak paydasını bulun.
2. Kesirlerin her biri için ek çarpanlar bulun (ortak paydayı bu kesrin paydasına bölerek).
3. Payları uygun ek faktörlerle çarpın.
4. Aynı paydalara sahip kesirleri toplama ve çıkarma kurallarını kullanarak kesirleri toplama veya çıkarma.
Şimdi paydasında gerçek ifadelerin bulunduğu kesirli bir örnek düşünün.
Örnek 3 Kesirler ekle: .
Çözüm:
Her iki paydadaki değişmez ifadeler aynı olduğundan, sayılar için ortak bir payda bulmalısınız. Son ortak payda şöyle görünecektir: . Yani bu örneğin çözümü:
Cevap:.
Örnek 4 Kesirleri çıkarın: .
Çözüm:
Ortak bir payda seçerken “hile yapamıyorsanız” (bunu çarpanlara ayıramaz veya kısaltılmış çarpma formüllerini kullanamazsınız), o zaman her iki kesrin paydalarının çarpımını ortak payda olarak almanız gerekir.
Cevap:.
Genel olarak, bu tür örnekleri çözerken en zor iş ortak bir payda bulmaktır.
Daha karmaşık bir örneğe bakalım.
Örnek 5 Basitleştirin: .
Çözüm:
Ortak bir payda bulurken, önce orijinal kesirlerin paydalarını çarpanlara ayırmaya çalışmalısınız (ortak paydayı basitleştirmek için).
Bu özel durumda:
O zaman ortak paydayı belirlemek kolaydır: 
.
Ek faktörleri belirliyoruz ve bu örneği çözüyoruz:
Cevap:.
Şimdi farklı paydalara sahip kesirleri toplama ve çıkarma kurallarını düzelteceğiz.
Örnek 6 Basitleştirin: .
Çözüm:
Cevap:.
Örnek 7 Basitleştirin: .
Çözüm:
.
Cevap:.
Şimdi, iki değil, üç kesrin eklendiği bir örnek düşünün (sonuçta, daha fazla kesir için toplama ve çıkarma kuralları aynı kalır).
Örnek 8 Basitleştirin: .
$\frac63$ kesirini düşünün. $\frac63 =6:3 = 2$ olduğundan değeri 2'dir. Pay ve payda 2 ile çarpılırsa ne olur? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Açıkçası, kesrin değeri değişmedi, dolayısıyla $\frac(12)(6)$ da y olarak 2'ye eşittir. pay ve paydayı çarp 3'e kadar ve $\frac(18)(9)$'a veya 27'ye kadar ve $\frac(162)(81)$'a veya 101'e kadar ve $\frac(606)(303)$'a ulaşın. Bu durumların her birinde, payı paydaya bölerek elde ettiğimiz kesrin değeri 2'dir. Bu, değişmediği anlamına gelir.
Diğer kesirlerde de aynı model görülmektedir. $\frac(120)(60)$ (2'ye eşit) kesrinin payı ve paydası 2'ye ($\frac(60)(30)$'ın sonucu) veya 3'e ($\ sonucu) bölünürse frac(40)(20) $), veya 4 ile ($\frac(30)(15)$'ın sonucu) vb., sonra her durumda kesrin değeri değişmeden kalır ve 2'ye eşit olur.
Bu kural, eşit olmayan kesirler için de geçerlidir. bütün sayı.
$\frac(1)(3)$ kesrinin pay ve paydası 2 ile çarpılırsa, $\frac(2)(6)$ elde ederiz, yani kesrin değeri değişmemiştir. Ve aslında pastayı 3 parçaya bölüp birini ya da 6 parçaya bölüp 2 parça alırsanız, her iki durumda da aynı miktarda pasta alırsınız. Bu nedenle, $\frac(1)(3)$ ve $\frac(2)(6)$ sayıları aynıdır. Genel bir kural oluşturalım.
Herhangi bir kesrin payı ve paydası aynı sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir ve kesrin değeri değişmez.
Bu kural çok kullanışlıdır. Örneğin, her zaman olmasa da bazı durumlarda büyük sayılarla yapılan işlemlerden kaçınmaya izin verir.
Örneğin, $\frac(126)(189)$ fraksiyonunun payını ve paydasını 63'e bölebilir ve hesaplaması çok daha kolay olan $\frac(2)(3)$ fraksiyonunu elde edebiliriz. Bir örnek daha. $\frac(155)(31)$ fraksiyonunun payını ve paydasını 31'e bölebilir ve 5:1=5 olduğundan $\frac(5)(1)$ veya 5 fraksiyonunu alabiliriz.
Bu örnekte ilk karşılaştığımız paydası 1 olan kesir. Bu tür kesirler hesaplamalarda önemli bir rol oynar. Herhangi bir sayının 1'e bölünebileceği ve değerinin değişmeyeceği unutulmamalıdır. Yani, $\frac(273)(1)$, 273'e eşittir; $\frac(509993)(1)$ eşittir 509993 vb. Bu nedenle, her tam sayı paydası 1 olan bir kesir olarak gösterilebileceğinden sayıları ile bölmemiz gerekmez.
Paydası 1 olan bu tür kesirler ile, diğer tüm kesirler ile aynı aritmetik işlemleri gerçekleştirebilirsiniz: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.
Bir tamsayıyı, bir tamsayı ile çalışmak daha uygun olduğu için, satırın altında bir birimi olacak bir kesir olarak temsil etmenin ne faydası olduğunu sorabilirsiniz. Ancak gerçek şu ki, bir tamsayının kesir olarak temsili, aynı anda hem tamsayılar hem de kesirli sayılarla uğraşırken bize çeşitli eylemleri daha verimli gerçekleştirme fırsatı verir. Örneğin, öğrenmek farklı paydalara sahip kesirler ekleyin. $\frac(1)(3)$ ve $\frac(1)(5)$ eklememiz gerektiğini varsayalım.
Yalnızca paydaları eşit olan kesirleri ekleyebileceğinizi biliyoruz. Öyleyse, paydaları eşit olduğunda kesirleri böyle bir forma nasıl getireceğimizi öğrenmemiz gerekiyor. Bu durumda, yine bir kesrin payını ve paydasını, değerini değiştirmeden aynı sayı ile çarpabileceğiniz gerçeğine ihtiyacımız var.
İlk olarak, $\frac(1)(3)$ kesrinin payını ve paydasını 5 ile çarpıyoruz. $\frac(5)(15)$ alıyoruz, kesrin değeri değişmedi. Sonra $\frac(1)(5)$ kesrinin payını ve paydasını 3 ile çarpıyoruz. $\frac(3)(15)$ alıyoruz, yine kesrin değeri değişmedi. Bu nedenle, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
Şimdi bu sistemi hem tamsayı hem de kesirli kısımlar içeren sayıların toplanmasına uygulamaya çalışalım.
$3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$ eklememiz gerekiyor. İlk olarak, tüm terimleri kesirlere çeviririz ve şunu elde ederiz: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Şimdi tüm kesirleri ortak bir paydaya getirmemiz gerekiyor, bunun için birinci kesrin pay ve paydasını 12, ikinciyi 4 ve üçüncüyü 3 ile çarpıyoruz. Sonuç olarak, $\frac(36) elde ederiz. )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, bu da $\frac(55)(12)$'a eşittir. kurtulmak istiyorsan uygun olmayan kesir, bir tamsayı ve bir kesirli kısımdan oluşan bir sayıya dönüştürülebilir: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ veya $4\frac( 7)( 12)$.
izin veren tüm kurallar kesirli işlemler az önce incelediğimiz , negatif sayılar için de geçerlidir. Yani, -1: 3 $\frac(-1)(3)$ olarak ve 1: (-3) $\frac(1)(-3)$ olarak yazılabilir.
Hem negatif bir sayıyı pozitif bir sayıya bölmek hem de pozitif bir sayıyı negatif bir sayıya bölmek negatif sayılarla sonuçlandığından, her iki durumda da cevabı negatif bir sayı şeklinde alacağız. Yani
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ veya $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Eksi işareti, bu şekilde yazıldığında, pay veya paydadan ayrı olarak değil, bir bütün olarak kesrin tamamına atıfta bulunur.
Öte yandan, (-1) : (-3) $\frac(-1)(-3)$ olarak yazılabilir ve negatif bir sayıyı negatif bir sayıya bölmek pozitif bir sayı verdiğinden, $\frac (-1 )(-3)$ $+\frac(1)(3)$ olarak yazılabilir.
Negatif kesirlerin toplanması ve çıkarılması, pozitif kesirlerin toplanması ve çıkarılmasıyla aynı şekilde gerçekleştirilir. Örneğin, $1-1\frac13$ nedir? Her iki sayıyı da kesir olarak temsil edelim ve $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$ elde edelim. Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyelim ve $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, yani $\frac(3)(3)-\frac( alalım 4) (3)$ veya $-\frac(1)(3)$.
MÖ beşinci yüzyılda, antik Yunan filozofu Elea Zeno, en ünlüsü "Aşil ve kaplumbağa" aporia olan ünlü aporlarını formüle etti. İşte kulağa nasıl geliyor:Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi koştuğu süre boyunca, kaplumbağa aynı yönde yüz adım sürünür. Akhilleus yüz adım koştuğunda, kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Akhilleus kaplumbağaya asla yetişemeyecek.
Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıklı bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Hepsi bir şekilde Zeno'nun açmazlarını düşündüler. Şok o kadar güçlüydü ki" ... tartışmalar şu anda devam ediyor, bilim dünyası paradoksların özü hakkında henüz ortak bir görüşe varamadı ... matematiksel analiz, küme teorisi, konunun çalışmasına yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar dahil edildi. ; hiçbiri soruna evrensel olarak kabul edilmiş bir çözüm olmadı ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın ne olduğunu anlamıyor.
Matematiğin bakış açısından, Zeno aporia'sında değerden değere geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, sabitler yerine uygulama anlamına gelir. Anladığım kadarıyla, değişken ölçü birimlerini uygulamak için matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun aporia'sına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızın uygulanması bizi bir tuzağa düşürür. Biz, düşünmenin ataleti ile karşılıklı olana sabit zaman birimleri uygularız. Fiziksel bir bakış açısıyla, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda zamanın tamamen durması gibi görünüyor. Zaman durursa, Aşil artık kaplumbağayı geçemez.
Alıştığımız mantığı çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit bir hızla koşar. Yolunun sonraki her bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, üstesinden gelmek için harcanan zaman öncekinden on kat daha azdır. Bu durumda "sonsuzluk" kavramını uygularsak, "Aşil kaplumbağayı sonsuz hızla geçecektir" demek doğru olur.
Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve karşılıklı değerlere geçiş yapmayın. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:
Akhilleus'un bin adım koştuğu süre içinde kaplumbağa aynı yönde yüz adım sürünür. Bir sonraki zaman aralığında, birincisine eşit, Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım sürünecek. Şimdi Aşil, kaplumbağadan sekiz yüz adım önde.
Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmadan gerçekliği yeterince açıklar. Ama öyle değil tam çözüm Sorunlar. Einstein'ın ışık hızının aşılmazlığı hakkındaki ifadesi Zeno'nun "Aşil ve kaplumbağa" açmazına çok benzer. Henüz bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözüm sonsuz sayıda değil, ölçü birimlerinde aranmalıdır.
Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oku anlatır:
Uçan ok hareketsizdir, çünkü zamanın her anında hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan, daima hareketsizdir.
Bu çıkmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - zamanın her anında uçan okun uzayda farklı noktalarda durduğunu ve aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada dikkat edilmesi gereken bir nokta daha var. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından, hareketinin gerçeğini veya ona olan mesafesini belirlemek imkansızdır. Arabanın hareket gerçeğini belirlemek için, aynı noktadan farklı zaman noktalarında çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyaç vardır, ancak bunlar mesafeyi belirlemek için kullanılamaz. Arabaya olan mesafeyi belirlemek için, aynı anda uzayda farklı noktalardan çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız var, ancak onlardan hareket gerçeğini belirleyemezsiniz (doğal olarak, hesaplamalar için hala ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır). Özellikle belirtmek istediğim şey, zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın farklı keşif fırsatları sunduğu için karıştırılmaması gereken iki farklı şey olduğudur.
4 Temmuz 2018 Çarşamba
Çok iyi set ve multiset arasındaki farklar Wikipedia'da açıklanmıştır. Bakıyoruz.
Gördüğünüz gibi, "küme iki özdeş öğeye sahip olamaz", ancak kümede özdeş öğeler varsa, böyle bir kümeye "çoklu küme" denir. Makul varlıklar böyle bir saçmalık mantığını asla anlayamazlar. Bu, zihnin "tamamen" kelimesinden yoksun olduğu konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler, saçma fikirlerini bize vaaz ederek sıradan eğitmenler gibi davranırlar.
Bir zamanlar köprüyü yapan mühendisler, köprünün testleri sırasında köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis yarattığı molozun altında öldü. Köprü yüke dayanabilirse, yetenekli mühendis başka köprüler inşa etti.
Matematikçiler "akıldayım, evdeyim" veya daha doğrusu "matematik soyut kavramları inceler" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansın, onları gerçekliğe ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı vardır. Bu göbek bağı paradır. Matematiksel küme teorisini matematikçilerin kendilerine uygulayalım.
Çok iyi matematik çalıştık ve şimdi kasada oturuyoruz, maaş ödüyoruz. Burada bir matematikçi parası için bize geliyor. Tüm tutarı ona sayarız ve masamıza aynı değerdeki faturaları koyduğumuz farklı yığınlara koyarız. Sonra her yığından bir fatura alıp matematikçiye "matematiksel maaş setini" veriyoruz. Sadece özdeş elemanları olmayan kümenin aynı elemanlara sahip kümeye eşit olmadığını kanıtladığı zaman faturaların geri kalanını alacağının matematiğini açıklıyoruz. eğlence burada başlıyor.
Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: "Başkalarına uygulayabilirsiniz ama bana değil!" Ayrıca, aynı değerdeki banknotların üzerinde farklı banknot numaralarının bulunduğuna dair güvenceler başlayacaktır, bu da bunların özdeş unsurlar olarak kabul edilemeyeceği anlamına gelir. Pekala, maaşı madeni para olarak sayıyoruz - madeni paralarda sayı yok. Burada matematikçi çılgınca fiziği hatırlayacaktır: farklı madeni paraların farklı miktarlarda kirleri vardır, her madeni para için atomların kristal yapısı ve düzeni benzersizdir ...
Ve şimdi en çok sahibim faiz sor: ötesinde bir çoklu kümenin öğelerinin bir kümenin öğelerine dönüştüğü ve bunun tersinin sınırı nerededir? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, buradaki bilim yakın bile değil.
Buraya bak. Aynı saha alanına sahip futbol stadyumları seçiyoruz. Alanların alanı aynıdır, yani bir multisetimiz var. Ama aynı stadyumların isimlerini düşünürsek, çok şey alırız çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi, aynı eleman kümesi aynı anda hem küme hem de çoklu kümedir. Nasıl doğru? Ve burada matematikçi-şaman-shuller kolundan bir koz ası çıkarır ve bize ya bir setten ya da bir multisetten bahsetmeye başlar. Her durumda, bizi haklı olduğuna ikna edecektir.
Modern şamanların onu gerçeğe bağlayarak küme teorisiyle nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri diğer kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadığını göstereceğim.
18 Mart 2018 Pazar
Bir sayının rakamlarının toplamı, matematikle ilgisi olmayan bir tef ile şamanların dansıdır. Evet, matematik derslerinde bir sayının rakamlarının toplamını bulmamız ve onu kullanmamız öğretilir, ama onlar bunun için şamanlardır, torunlarına becerilerini ve bilgeliklerini öğretmek için, aksi takdirde şamanlar basitçe ölürler.
Kanıta ihtiyacınız var mı? Wikipedia'yı açın ve "Bir Sayının Rakamlarının Toplamı" sayfasını bulmaya çalışın. O yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulabileceğiniz bir formül yoktur. Sonuçta, sayılar sayıları yazdığımız grafik sembollerdir ve matematik dilinde görev şöyle görünür: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun." Matematikçiler bu sorunu çözemezler, ancak şamanlar bunu temel olarak yapabilirler.
Verilen bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne ve nasıl yaptığımızı bulalım. Ve diyelim ki 12345 sayımız var. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapmak gerekiyor? Tüm adımları sırayla ele alalım.
1. Numarayı bir kağıda yazın. Ne yaptık? Sayıyı bir sayı grafik sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değildir.
2. Alınan bir resmi, ayrı sayılar içeren birkaç resme böldük. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.
3. Bireysel grafik karakterlerini sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değildir.
4. Ortaya çıkan sayıları toplayın. Şimdi bu matematik.
12345 sayısının rakamları toplamı 15'tir. Bunlar, matematikçiler tarafından kullanılan şamanlardan gelen "kesme ve dikme kursları"dır. Ama hepsi bu değil.
Matematik açısından, sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımızın bir önemi yoktur. Yani farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi, sayının sağında bir alt simge olarak gösterilir. Çok sayıda 12345 ile kafamı kandırmak istemiyorum, makaledeki 26 sayısını düşünün. Bu sayıyı ikili, sekizli, ondalık ve onaltılık sayı sistemlerinde yazalım. Her adımı mikroskop altında ele almayacağız, bunu zaten yaptık. Sonuca bakalım.
Görüldüğü gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle ilgisi yoktur. Sanki bir dikdörtgenin alanını metre ve santimetre cinsinden bulmak size tamamen farklı sonuçlar verecektir.
Tüm sayı sistemlerinde sıfır aynı görünür ve rakamların toplamı yoktur. Bu, gerçeğin lehinde başka bir argümandır. Matematikçiler için bir soru: Sayı olmayan matematikte nasıl gösterilir? Ne, matematikçiler için sayılardan başka bir şey yok mu? Şamanlar için buna izin verebilirim ama bilim adamları için hayır. Gerçeklik sadece rakamlardan ibaret değildir.
Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayıların ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak kabul edilmelidir. Sonuçta, sayıları farklı ölçü birimleriyle karşılaştıramayız. Aynı niceliğin farklı ölçü birimleriyle aynı eylemler, onları karşılaştırdıktan sonra farklı sonuçlara yol açıyorsa, bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur.
Gerçek matematik nedir? Bu, matematiksel bir eylemin sonucunun sayının değerine, kullanılan ölçü birimine ve bu eylemi kimin gerçekleştirdiğine bağlı olmadığı zamandır.
Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Bu, cennete yükselirken ruhların sınırsız kutsallığını incelemek için bir laboratuvardır! Nimbus üstte ve yukarı ok. Başka ne tuvaleti?
Dişi... Üstte hale ve aşağı ok erkektir.
Günde birkaç kez gözünüzün önünde yanıp sönen böyle bir tasarım sanat eseriniz varsa,
O zaman arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:
Şahsen, kaka yapan bir insanda eksi dört derece görmek için çaba sarf ediyorum (bir resim) (birkaç resmin bileşimi: eksi işareti, dört numara, derece tanımı). Ve ben bu kızı fizik bilmeyen bir aptal olarak görmüyorum. Sadece grafik görüntülerin algılanmasının yay klişesine sahip. Ve matematikçiler bize bunu her zaman öğretirler. İşte bir örnek.
1A, "eksi dört derece" veya "bir a" değildir. Bu, "kaka yapan adam" veya onaltılık sayı sisteminde "yirmi altı" sayısıdır. Bu sayı sisteminde sürekli çalışan kişiler, sayı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembolü olarak algılarlar.
