رسم بياني للدالة التربيعية y ax2 bx c. تحديد قيم معاملات الدالة التربيعية من الرسم البياني

الدرس: كيفية بناء دالة القطع المكافئ أو التربيعية؟

الجزء النظري

القطع المكافئ هو رسم بياني للدالة الموصوفة بالصيغة ax 2 +bx+c=0.
لبناء القطع المكافئ عليك اتباع خوارزمية بسيطة:

1) صيغة القطع المكافئ y=ax 2 +bx+c,
لو أ>0ثم يتم توجيه فروع القطع المكافئ أعلى,
وإلا يتم توجيه فروع القطع المكافئ تحت.
عضو مجاني جتتقاطع هذه النقطة مع القطع المكافئ مع محور OY؛

2) وجدت باستخدام الصيغة س=(-ب)/2أ، نعوض بـ x الموجود في معادلة القطع المكافئ ونجده ذ;

3)وظيفة الأصفارأو بمعنى آخر، نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محور OX، تسمى أيضًا جذور المعادلة. للعثور على الجذور، نعادل المعادلة بـ 0 الفأس 2 +بx+ج=0;

أنواع المعادلات:

أ) المعادلة التربيعية الكاملة لها الشكل الفأس 2 +بx+ج=0ويحل بالمميز؛
ب) معادلة تربيعية غير كاملة من النموذج الفأس 2 +بx=0.لحلها، عليك إخراج x من الأقواس، ثم مساواة كل عامل بـ 0:
الفأس 2 +بكس=0,
س(الفأس+ب)=0,
س=0 و الفأس+ب=0;
ج) معادلة تربيعية غير كاملة من النموذج الفأس 2 +ج=0.لحلها، عليك نقل المجهول إلى جانب، والمعروف إلى الجانب الآخر. س =±√(ج/أ);

4) ابحث عن عدة نقاط إضافية لبناء الوظيفة.

الجزء العملي

والآن، باستخدام مثال، سنقوم بتحليل كل شيء خطوة بخطوة:
مثال 1:
ص=س 2 +4س+3
c=3 يعني أن القطع المكافئ يتقاطع مع OY عند النقطة x=0 y=3. فروع القطع المكافئ تبدو للأعلى حيث أن a=1 1>0.
أ=1 ب=4 ج=3 س=(-ب)/2أ=(-4)/(2*1)=-2 ص= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 الرأس عند النقطة (-2;-1)
لنجد جذور المعادلة x 2 +4x+3=0
باستخدام المميز نجد الجذور
أ=1 ب=4 ج=3
د=ب 2 -4أ=16-12=4
س=(-ب±√(د))/2أ
× 1 =(-4+2)/2=-1
× 2 =(-4-2)/2=-3

لنأخذ عدة نقاط عشوائية تقع بالقرب من الرأس x = -2

س -4 -3 -1 0
ص 3 0 0 3

عوّض بدلاً من x في المعادلة y=x 2 +4x+3
ص=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
ص=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
ص=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
ص=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
يتبين من قيم الدالة أن القطع المكافئ متماثل بالنسبة للخط المستقيم x = -2

المثال رقم 2:
ص=-س 2 +4x
c=0 يعني أن القطع المكافئ يتقاطع مع OY عند النقطة x=0 y=0. فروع القطع المكافئ تنظر للأسفل بما أن a=-1 -1 فلنجد جذور المعادلة -x 2 +4x=0
معادلة تربيعية غير كاملة بالصيغة ax 2 +bx=0. لحلها، عليك إخراج x من الأقواس، ثم مساواة كل عامل بـ 0.
س(-س+4)=0، س=0 و س=4.

لنأخذ عدة نقاط عشوائية تقع بالقرب من الرأس x=2
× 0 1 3 4
ص 0 3 3 0
عوّض بدلًا من x في المعادلة y=-x 2 +4x
ص=0 2 +4*0=0
ص=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
ص=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
ص=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
يمكن أن نرى من قيم الدالة أن القطع المكافئ متماثل حول الخط المستقيم x = 2

المثال رقم 3
ص=س 2 -4
c=4 يعني أن القطع المكافئ يتقاطع مع OY عند النقطة x=0 y=4. فروع القطع المكافئ تبدو للأعلى حيث أن a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 الرأس عند النقطة (0;- 4 )
لنجد جذور المعادلة x 2 -4=0
معادلة تربيعية غير كاملة على الشكل 2 +c=0. لحلها، عليك نقل المجهول إلى جانب، والمعروف إلى الجانب الآخر. س =±√(ج/أ)
× 2 = 4
× 1 = 2
× 2 = -2

لنأخذ عدة نقاط عشوائية تقع بالقرب من الرأس x=0
س -2 -1 1 2
ص 0 -3 -3 0
عوّض بدلاً من x في المعادلة y= x 2 -4 القيم
ص=(-2) 2 -4=4-4=0
ص=(-1) 2 -4=1-4=-3
ص=1 2 -4=1-4=-3
ص=2 2 -4=4-4=0
يمكن أن نرى من قيم الدالة أن القطع المكافئ متماثل حول الخط المستقيم x = 0

يشترك الى القناة على اليوتيوبلمواكبة جميع المنتجات الجديدة والاستعداد معنا للامتحانات.

مذكرة الجبر للصف الثامن الثانوي

موضوع الدرس: وظيفة

الغرض من الدرس:

· التعليمية:تحديد مفهوم الدالة التربيعية للنموذج (مقارنة الرسوم البيانية للوظائف و )، وإظهار صيغة العثور على إحداثيات قمة القطع المكافئ (تعليم كيفية تطبيق هذه الصيغة عمليًا)؛ تطوير القدرة على تحديد خصائص الدالة التربيعية من الرسم البياني (العثور على محور التماثل، إحداثيات قمة القطع المكافئ، إحداثيات نقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات).

· التنموية: تطوير الكلام الرياضي، والقدرة على التعبير عن أفكارهم بشكل صحيح ومتسق وعقلاني؛ تطوير مهارة كتابة النص الرياضي بشكل صحيح باستخدام الرموز والرموز؛ تطوير التفكير التحليلي. تطوير النشاط المعرفيالطلاب من خلال القدرة على تحليل وتنظيم وتعميم المواد.

· التعليمية: تعزيز الاستقلالية، والقدرة على الاستماع للآخرين، وتنمية الدقة والانتباه في الكلام الرياضي المكتوب.

نوع الدرس: تعلم مواد جديدة.

طرق التدريس:

الإنجابية المعممة، الارشادي الاستقرائي.

متطلبات المعرفة والمهارات لدى الطلاب

معرفة ما هي الدالة التربيعية للنموذج، وصيغة إيجاد إحداثيات رأس القطع المكافئ؛ تكون قادرًا على العثور على إحداثيات رأس القطع المكافئ، وإحداثيات نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محاور الإحداثيات، واستخدام الرسم البياني للدالة لتحديد خصائص الدالة التربيعية.

معدات:

خطة الدرس

I. اللحظة التنظيمية (1-2 دقيقة)

ثانيا. تحديث المعرفة (10 دقائق)

ثالثا. عرض مادة جديدة (15 دقيقة)

رابعا. دمج المواد الجديدة (١٢ دقيقة)

خامساً: التلخيص (3 دقائق)

السادس. الواجب المنزلي (2 دقيقة)

خلال الفصول الدراسية

I. اللحظة التنظيمية

التحية، التحقق من الغائبين، جمع الدفاتر.

ثانيا. تحديث المعرفة

مدرس: في درس اليوم سندرس موضوعا جديدا وهو "الوظيفة". لكن أولاً دعونا نكرر المادة التي تمت دراستها مسبقًا.

المسح الأمامي:

1) ما يسمى الدالة التربيعية؟ (الدالة التي تكون فيها الأعداد الحقيقية متغيرًا حقيقيًا تسمى دالة تربيعية.)

2) ما هو الرسم البياني للدالة التربيعية؟ (الرسم البياني للدالة التربيعية هو القطع المكافئ.)

3) ما هي أصفار الدالة التربيعية؟ (أصفار الدالة التربيعية هي القيم التي تصبح عندها صفراً).

4) اذكر خصائص الوظيفة. (قيم الدالة موجبة عند وتساوي الصفر عند؛ الرسم البياني للدالة متماثل بالنسبة للمحاور الإحداثية؛ عند - تزيد الدالة، عند - تنخفض.)

5) اذكر خصائص الوظيفة. (إذا، فإن الوظيفة تأخذ القيم الإيجابيةعند، إذا كانت الدالة تأخذ قيمًا سالبة عند، تكون قيمة الدالة 0 فقط؛ القطع المكافئ متماثل حول المحور الإحداثي؛ إذا كانت الدالة تزيد عند وتنقص عند إذا كانت الدالة تزيد عند وتتناقص عند.)

ثالثا. تقديم مواد جديدة

مدرس: لنبدأ في تعلم مواد جديدة. افتح دفاتر ملاحظاتك، واكتب تاريخ الدرس وموضوعه. انتبه إلى اللوحة.

الكتابة على لوحة: رقم.

وظيفة.

مدرس: على اللوحة ترى رسمين بيانيين للوظائف. الرسم البياني الأول والثاني. دعونا نحاول مقارنتها.

أنت تعرف خصائص الوظيفة. وبناءً عليها، وبمقارنة الرسوم البيانية، يمكننا تسليط الضوء على خصائص الدالة.

إذًا، ما الذي تعتقد أنه سيحدد اتجاه فروع القطع المكافئ؟

طلاب:سيعتمد اتجاه فروع القطع المكافئة على المعامل.

مدرس:صح تماما. يمكنك أيضًا ملاحظة أن كلا القطع المكافئة لهما محور تماثل. في الرسم البياني الأول للدالة، ما محور التماثل؟

طلاب:بالنسبة للقطع المكافئ، فإن محور التماثل هو المحور الإحداثي.

مدرس:يمين. ما هو محور التماثل للقطع المكافئ؟

طلاب:محور التماثل للقطع المكافئ هو الخط الذي يمر عبر قمة القطع المكافئ، موازيًا للمحور الإحداثي.

مدرس: يمين. لذلك، فإن محور التماثل للرسم البياني للدالة سيسمى خطًا مستقيمًا يمر عبر قمة القطع المكافئ، بالتوازي مع المحور الإحداثي.

ورأس القطع المكافئ هو نقطة ذات إحداثيات. يتم تحديدها بواسطة الصيغة:

اكتب الصيغة في دفترك ودوّنها في إطار.

الكتابة على السبورة وفي دفاتر الملاحظات

إحداثيات قمة القطع المكافئ.

مدرس: الآن، لجعل الأمر أكثر وضوحا، دعونا نلقي نظرة على مثال.

مثال 1: أوجد إحداثيات رأس القطع المكافئ.

الحل: حسب الصيغة

مدرس: كما أشرنا من قبل، فإن محور التماثل يمر برأس القطع المكافئ. أنظر إلى السبورة. ارسم هذه الصورة في دفتر ملاحظاتك.

اكتب على السبورة والدفاتر:

مدرس:في الرسم: - معادلة محور تماثل القطع المكافئ مع قمة الرأس عند النقطة التي يكون فيها الإحداثي الإحداثي هو قمة القطع المكافئ.

لنلقي نظرة على مثال.

مثال 2:باستخدام الرسم البياني للدالة، حدد معادلة محور تماثل القطع المكافئ.

معادلة محور التماثل لها الشكل: ، مما يعني أن معادلة محور التماثل لهذا القطع المكافئ هي .

الجواب: - معادلة محور التماثل.

رابعا: توحيد المواد الجديدة

مدرس: المهام التي يجب حلها في الفصل مكتوبة على السبورة.

الكتابة على لوحة: № 609(3), 612(1), 613(3)

مدرس:ولكن أولا، دعونا نحل مثالا ليس من الكتاب المدرسي. سنقرر في المجلس.

مثال 1: أوجد إحداثيات رأس القطع المكافئ

الحل: حسب الصيغة

الجواب: إحداثيات رأس القطع المكافئ.

مثال 2: أوجد إحداثيات نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محاور الإحداثيات.

الحل: 1) بالمحور:

أولئك.

وفقا لنظرية فييتا:

نقاط التقاطع مع المحور السيني هي (1;0) و(2;0).

2) مع المحور:

نقطة التقاطع مع المحور الإحداثي (0;2).

الإجابة: (1;0)، (2;0)، (0;2) – إحداثيات نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات.

رقم 609(3). أوجد إحداثيات رأس القطع المكافئ

تحديد قيم معاملات الدالة التربيعية من الرسم البياني.

التطوير المنهجي بواسطة Sagnaeva A.M.

مدرسة MBOU الثانوية رقم 44، سورجوت، خانتي مانسي ذاتية الحكم أوكروج يوجرا .

أنا. إيجاد المعامل أ

• باستخدام الرسم البياني للقطع المكافئ، نحدد إحداثيات الرأس (م،ن)

2. باستخدام الرسم البياني للقطع المكافئ، نحدد إحداثيات أي نقطة أ (x 1 ;ذ 1 )

3. نعوض بهذه القيم في صيغة الدالة التربيعية المحددة بصيغة مختلفة:

ص=أ(س-م)2+ن

4. حل المعادلة الناتجة.

أوه 1 ;ذ 1 )

القطع المكافئ

أنا. إيجاد المعامل ب

1. أولًا، نوجد قيمة المعامل أ

2. في صيغة القطع المكافئ م= -ب/2أاستبدال القيم مو أ

3. احسب قيمة المعامل ب .

أوه 1 ;ذ 1 )

القطع المكافئ

أنا. إيجاد المعامل ج

1. نجد إحداثية نقطة تقاطع الرسم البياني للقطع المكافئ مع محور أوي، وهذه القيمة تساوي المعامل مع، أي. نقطة (0؛ق)-نقطة تقاطع الرسم البياني للقطع المكافئ مع محور أوي.

2. إذا كان من المستحيل إيجاد نقطة تقاطع القطع المكافئ مع محور Oy من الرسم البياني، فإننا نجد المعاملات أ، ب

(راجع الخطوات Ι، ΙΙ)

3. استبدل القيم الموجودة أ، ب، أ(خ 1; في 1 ) في المعادلة

y=ax 2 +بكس+جونجد مع.

أوه 1 ;ذ 1 )

القطع المكافئ

مهام

فكرة

Ιx 2 Ι، وx 1 0، لأن a إحداثي نقطة تقاطع القطع المكافئ مع محور OY هو المعامل c الإجابة: 5 c x 1 x 2 "width=640"

• يتم توجيه فروع القطع المكافئ إلى الأسفل،

• الجذور لديها علامات مختلفة,Ι x 1 ΙΙh 2 Ι و x 1 0 لأن أ
• إحداثيات نقطة تقاطع القطع المكافئ مع محور OY هو المعامل مع

X 1

X 2

ص فكرة

0 × 1 + × 2 = - ب/أ 0. أ 0. الإجابة: 5 "العرض = "640"

1. فروع القطع المكافئ موجهة نحو الأسفل، مما يعني أ

• س 1 + س 2 = - ب/أ 0. أ 0.

0 بسبب يتم توجيه فروع القطع المكافئ إلى الأعلى. 2.ج=ص(0)3. قمة القطع المكافئ لها حد موجب: في هذه الحالة a هو 0، وبالتالي b4. د0، لأن يتقاطع القطع المكافئ مع محور الثور في نقطتين مختلفتين. "العرض = 640"

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y=ax 2 +بكس+ج. تحديد العلامات المعاملات أ، ب، جو التمييز د.

حل:

1.a0، لأن يتم توجيه فروع القطع المكافئ إلى الأعلى.

3. قمة القطع المكافئ لها حد موجب:

في هذه الحالة 0، وبالتالي ب

4.D0، لأن يتقاطع القطع المكافئ مع محور الثور في نقطتين مختلفتين.

تظهر الصورة القطع المكافئ

تحديد القيم كو ر .

أوجد إحداثيات رأس القطع المكافئ واكتب الدالة التي يظهر تمثيلها البياني في الشكل.

أوجد أين توجد حروف نقاط التقاطع

القطع المكافئ والخطوط الأفقية المستقيمة (انظر الشكل).