Kako sabirati obične razlomke sa sličnim nazivnicima. Sabiranje razlomaka s cijelim brojevima i različitim nazivnicima
Radnje sa razlomcima.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Dakle, šta su razlomci, vrste razlomaka, transformacije - sjetili smo se. Hajdemo na glavno pitanje.
Šta možete učiniti sa razlomcima? Da, sve je isto kao i sa običnim brojevima. Dodajte, oduzmite, množite, podijelite.
Sve ove radnje sa decimalni rad sa razlomcima se ne razlikuje od rada sa celim brojevima. Zapravo, to je ono što je dobro kod njih, decimalnih. Jedina stvar je da morate ispravno staviti zarez.
Mješoviti brojevi, kao što sam već rekao, od male su koristi za većinu radnji. Još ih je potrebno pretvoriti u obične razlomke.
Ali akcije sa obične frakcije biće lukaviji. I mnogo važnije! da vas podsjetim: sve radnje s razlomcima sa slovima, sinusima, nepoznatima i tako dalje i tako dalje se ne razlikuju od radnji s običnim razlomcima! Operacije sa običnim razlomcima su osnova za svu algebru. Iz tog razloga ćemo ovdje detaljno analizirati svu ovu aritmetiku.
Sabiranje i oduzimanje razlomaka.
Svako može sabirati (oduzeti) razlomke sa istim nazivnicima (stvarno se nadam!). Pa, da podsjetim one koji su potpuno zaboravni: pri sabiranju (oduzimanju) imenilac se ne mijenja. Brojioci se zbrajaju (oduzimaju) da bi se dobio brojilac rezultata. Vrsta:
Ukratko, generalno:
Šta ako su imenioci različiti? Zatim, koristeći osnovnu osobinu razlomka (ovdje nam opet dobro dođe!), činimo nazivnike istim! Na primjer:
Ovdje smo morali napraviti razlomak 4/10 od razlomka 2/5. Jedinu svrhu da imenioci budu isti. Da napomenem, za svaki slučaj, da su 2/5 i 4/10 isti razlomak! Samo 2/5 nam je neprijatno, a 4/10 je zaista u redu.
Inače, ovo je suština rješavanja bilo kojeg matematičkog problema. Kada smo iz neugodno radimo izraze ista stvar, ali pogodnija za rješavanje.
Drugi primjer:
Situacija je slična. Ovdje pravimo 48 od 16. Jednostavnim množenjem sa 3. Ovo je sve jasno. Ali naišli smo na nešto poput:
Kako biti?! Teško je napraviti devetku od sedam! Ali mi smo pametni, znamo pravila! Hajde da se transformišemo svaki razlomak tako da su imenioci isti. Ovo se zove "svedi na zajednički imenilac":
Vau! Kako sam znao za 63? Veoma jednostavno! 63 je broj koji je istovremeno djeljiv sa 7 i 9. Takav broj se uvijek može dobiti množenjem nazivnika. Ako pomnožimo broj sa 7, na primjer, onda će rezultat sigurno biti djeljiv sa 7!
Ako trebate sabrati (oduzeti) nekoliko razlomaka, nema potrebe da to radite u parovima, korak po korak. Vi samo trebate pronaći nazivnik zajednički za sve razlomke i svesti svaki razlomak na isti nazivnik. Na primjer:
A šta će biti zajednički imenitelj? Možete, naravno, pomnožiti 2, 4, 8 i 16. Dobijamo 1024. Noćna mora. Lakše je procijeniti da je broj 16 savršeno djeljiv sa 2, 4 i 8. Stoga je od ovih brojeva lako dobiti 16. Ovaj broj će biti zajednički nazivnik. Pretvorimo 1/2 u 8/16, 3/4 u 12/16, i tako dalje.
Usput, ako uzmete 1024 kao zajednički imenitelj, sve će uspjeti, na kraju će se sve smanjiti. Ali neće svi doći do ovog kraja, zbog kalkulacija...
Sami dopunite primjer. Ne neka vrsta logaritma... Trebalo bi da bude 29/16.
Dakle, sabiranje (oduzimanje) razlomaka je jasno, nadam se? Naravno, lakše je raditi u skraćenoj verziji, uz dodatne množitelje. Ali ovo zadovoljstvo je dostupno onima koji su pošteno radili u nižim razredima... I ništa nisu zaboravili.
A sada ćemo učiniti iste radnje, ali ne sa razlomcima, već sa frakcioni izrazi. Novi rake će biti otkriven ovdje, da...
Dakle, moramo dodati dva frakciona izraza:
Moramo da imenioci budu isti. I to samo uz pomoć množenje! To nalaže glavno svojstvo razlomka. Stoga, ne mogu dodati jedan na X u prvom razlomku u nazivniku. (to bi bilo lijepo!). Ali ako pomnožite nazivnike, vidite, sve raste zajedno! Dakle, zapišemo liniju razlomka, ostavimo prazan prostor na vrhu, zatim ga dodamo i upišemo proizvod nazivnika ispod, da ne zaboravimo:
I, naravno, ne množimo ništa na desnoj strani, ne otvaramo zagrade! A sada, gledajući zajednički imenilac na desnoj strani, shvatamo: da biste dobili imenilac x(x+1) u prvom razlomku, morate pomnožiti brojilac i imenilac ovog razlomka sa (x+1) . A u drugom razlomku - na x. Evo šta dobijate:
Bilješka! Evo zagrada! Ovo su grablje na koje mnogi ljudi gaze. Ne zagrade, naravno, već njihovo odsustvo. Zagrade se pojavljuju jer se množimo sve brojilac i sve imenilac! A ne njihovi pojedinačni komadi...
U brojiocu desne strane upisujemo zbir brojilaca, sve je kao u brojevnim razlomcima, zatim otvaramo zagrade u brojiocu desne strane, tj. Sve množimo i dajemo slične. Nema potrebe otvarati zagrade u nazivnicima niti bilo šta množiti! Općenito, u nazivnicima (bilo koji) proizvod je uvijek ugodniji! Dobijamo:
Tako da smo dobili odgovor. Proces se čini dugim i teškim, ali ovisi o praksi. Kada riješite primjere, naviknete se, sve će postati jednostavno. Oni koji su svojevremeno savladali razlomke sve ove operacije rade jednom lijevom rukom, automatski!
I još jedna napomena. Mnogi se pametno bave razlomcima, ali zaglave na primjerima cijeli brojevi. Kao: 2 + 1/2 + 3/4= ? Gdje pričvrstiti dvodijelni? Ne morate ga nigdje pričvrstiti, morate napraviti razlomak od dva. Nije lako, ali veoma jednostavno! 2=2/1. Volim ovo. Bilo koji cijeli broj može se napisati kao razlomak. Brojilac je sam broj, nazivnik je jedan. 7 je 7/1, 3 je 3/1 i tako dalje. Isto je i sa slovima. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, itd. I onda radimo s tim razlomcima prema svim pravilima.
Pa, osvježeno je znanje o sabiranju i oduzimanju razlomaka. Ponavljalo se pretvaranje razlomaka iz jedne vrste u drugu. Također se možete provjeriti. Hoćemo li to malo riješiti?)
Izračunati:
Odgovori (u neredu):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Množenje/dijeljenje razlomaka - u sljedećoj lekciji. Tu su i zadaci za sve operacije sa razlomcima.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Možete izvoditi razne operacije s razlomcima, na primjer, zbrajanje razlomaka. Sabiranje razlomaka može se podijeliti na nekoliko tipova. Svaka vrsta sabiranja razlomaka ima svoja pravila i algoritam radnji. Pogledajmo svaku vrstu dodatka detaljno.
Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima.
Pogledajmo primjer kako sabirati razlomke sa zajedničkim nazivnikom.
Turisti su išli na pješačenje od tačke A do tačke E. Prvog dana hodali su od tačke A do B ili \(\frac(1)(5)\) cijele staze. Drugog dana hodali su od tačke B do D ili \(\frac(2)(5)\) cijelim putem. Koliko su putovali od početka putovanja do tačke D?
Da biste pronašli udaljenost od tačke A do tačke D, potrebno je da saberete razlomke \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).
Zbrajanje razlomaka sa sličnim nazivnicima znači da morate sabrati brojioce ovih razlomaka, ali nazivnik će ostati isti.
\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)
U doslovnom obliku, zbir razlomaka sa istim nazivnicima će izgledati ovako:
\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)
Odgovor: turisti su cijelim putem hodali \(\frac(3)(5)\).
Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima.
Pogledajmo primjer:
Trebate dodati dva razlomka \(\frac(3)(4)\) i \(\frac(2)(7)\).
Da biste sabrali razlomke s različitim nazivnicima, prvo morate pronaći, a zatim koristite pravilo za sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima.
Za nazivnike 4 i 7, zajednički imenilac će biti broj 28. Prvi razlomak \(\frac(3)(4)\) se mora pomnožiti sa 7. Drugi razlomak \(\frac(2)(7)\ ) mora se pomnožiti sa 4.
\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \puta \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ puta \color(red) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)
U doslovnom obliku dobijamo sljedeću formulu:
\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \puta d + c \puta b)(b \puta d)\)
Zbrajanje mješovitih brojeva ili mješovitih razlomaka.
Do sabiranja dolazi po zakonu sabiranja.
Za miješane frakcije dodajemo cijele dijelove s cijelim dijelovima i razlomke s razlomcima.
Ako razlomci mješovitih brojeva imaju iste imenioce, tada zbrajamo brojioce, ali imenilac ostaje isti.
Dodajmo mješovite brojeve \(3\frac(6)(11)\) i \(1\frac(3)(11)\).
\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(red) (3) + \color(blue) (\frac(6)(11))) + ( \color(crvena) (1) + \color(plava) (\frac(3)(11))) = (\color(red) (3) + \color(red) (1)) + (\color( plava) (\frac(6)(11)) + \color(plava) (\frac(3)(11))) = \color(red)(4) + (\color(blue) (\frac(6) + 3)(11))) = \color(red)(4) + \color(blue) (\frac(9)(11)) = \color(red)(4) \color(blue) (\frac (9)(11))\)
Ako razlomci mješovitih brojeva imaju različite nazivnike, tada nalazimo zajednički imenilac.
Izvršimo sabiranje mješovitih brojeva \(7\frac(1)(8)\) i \(2\frac(1)(6)\).
Imenilac je drugačiji, pa moramo pronaći zajednički imenilac, jednak je 24. Pomnožite prvi razlomak \(7\frac(1)(8)\) dodatnim faktorom 3, a drugi razlomak \( 2\frac(1)(6)\) sa 4.
\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \puta \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1\puta \color(red) (4))(6\times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)
Povezana pitanja:
Kako sabirati razlomke?
Odgovor: prvo morate odlučiti o kakvoj se vrsti izraza radi: razlomci imaju iste nazivnike, različite nazivnike ili mješovite razlomke. Ovisno o vrsti izraza, prelazimo na algoritam rješenja.
Kako riješiti razlomke sa različitim nazivnicima?
Odgovor: potrebno je pronaći zajednički imenilac, a zatim slijediti pravilo sabiranja razlomaka sa istim nazivnicima.
Kako riješiti miješane razlomke?
Odgovor: zbrajamo cijele dijelove sa cijelim brojevima i razlomke s razlomcima.
Primjer #1:
Može li zbir dva rezultirati pravim razlomkom? Nepravilan razlomak? Navedite primjere.
\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)
Razlomak \(\frac(5)(7)\) je pravi razlomak, on je rezultat zbira dvaju pravih razlomaka \(\frac(2)(7)\) i \(\frac(3) (7)\).
\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)
Razlomak \(\frac(58)(45)\) je nepravilan razlomak, on je rezultat zbira pravih razlomaka \(\frac(2)(5)\) i \(\frac(8) (9)\).
Odgovor: Odgovor na oba pitanja je da.
Primjer #2:
Dodajte razlomke: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .
a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)
b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \puta \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)
Primjer #3:
Zapišite mješoviti razlomak kao zbir prirodnog broja i pravilnog razlomka: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)
a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)
b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)
Primjer #4:
Izračunajte zbir: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)
a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)
b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13) \)
c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\puts 3)(5\puts 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)
Zadatak #1:
Za ručkom smo jeli \(\frac(8)(11)\) od kolača, a navečer za večerom \(\frac(3)(11)\). Mislite li da je torta u potpunosti pojedena ili nije?
Rješenje:
Imenitelj razlomka je 11, on označava na koliko je dijelova podijeljen kolač. Za ručkom smo pojeli 8 komada torte od 11. Na večeri smo pojeli 3 komada torte od 11. Dodajmo 8 + 3 = 11, pojeli smo komade torte od 11, odnosno cijelu tortu.
\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)
Odgovor: cijela torta je pojedena.
Ova lekcija će pokriti sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa različitim nazivnicima. Već znamo kako sabirati i oduzimati obične razlomke s različitim nazivnicima. Da biste to učinili, razlomci se moraju svesti na zajednički nazivnik. Ispostavilo se da algebarski razlomci slijede ista pravila. U isto vrijeme, već znamo kako svesti algebarske razlomke na zajednički nazivnik. Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima jedna je od najvažnijih i najtežih tema u 8. razredu. Štaviše, ova tema će se pojaviti u mnogim temama u kursu algebre koje ćete učiti u budućnosti. U sklopu lekcije proučavat ćemo pravila za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima, a također ćemo analizirati niz tipičnih primjera.
Pogledajmo najjednostavniji primjer običnih razlomaka.
Primjer 1. Dodaj razlomke: .
Rješenje:
Prisjetimo se pravila za sabiranje razlomaka. Za početak, razlomci se moraju svesti na zajednički nazivnik. Zajednički nazivnik za obične razlomke je najmanji zajednički višekratnik(LCM) originalnih nazivnika.
Definicija
Najmanje prirodni broj, koji je istovremeno djeljiv brojevima i .
Da biste pronašli LCM, potrebno je da faktore delite na proste faktore, a zatim da odaberete sve proste faktore koji su uključeni u proširenje oba nazivnika.
; . Tada LCM brojeva mora uključivati dvije dvojke i dvije trojke: .
Nakon što pronađete zajednički imenilac, morate pronaći dodatni faktor za svaki razlomak (zapravo, podijelite zajednički imenilac sa imeniocem odgovarajućeg razlomka).
Svaki razlomak se zatim množi sa rezultujućim dodatnim faktorom. Dobijamo razlomke sa istim nazivnicima, koje smo naučili sabirati i oduzimati u prethodnim lekcijama.
Dobijamo: 
.
odgovor:.
Razmotrimo sada sabiranje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima. Prvo, pogledajmo razlomke čiji su imenioci brojevi.
Primjer 2. Dodaj razlomke: .
Rješenje:
Algoritam rješenja je apsolutno sličan prethodnom primjeru. Lako je pronaći zajednički imenitelj ovih razlomaka: i dodatne faktore za svaki od njih.
.
odgovor:.
Dakle, hajde da formulišemo algoritam za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa različitim nazivnicima:
1. Pronađite najmanji zajednički imenilac razlomaka.
2. Pronađite dodatne faktore za svaki od razlomaka (dijeleći zajednički imenilac sa imeniocem datog razlomka).
3. Pomnožite brojioce odgovarajućim dodatnim faktorima.
4. Dodajte ili oduzmite razlomke koristeći pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima.
Razmotrimo sada primjer s razlomcima čiji nazivnik sadrži slovne izraze.
Primjer 3. Dodaj razlomke: .
Rješenje:
Budući da su slovni izrazi u oba nazivnika isti, trebali biste pronaći zajednički nazivnik za brojeve. Konačni zajednički imenilac će izgledati ovako: . Dakle, rješenje ovog primjera izgleda ovako:.
odgovor:.
Primjer 4. Oduzmite razlomke: .
Rješenje:
Ako ne možete "prevariti" pri odabiru zajedničkog nazivnika (ne možete ga rastaviti na faktore ili koristiti skraćene formule za množenje), tada morate uzeti umnožak nazivnika oba razlomka kao zajednički nazivnik.
odgovor:.
Općenito, pri rješavanju ovakvih primjera najteži je zadatak pronaći zajednički nazivnik.
Pogledajmo složeniji primjer.
Primjer 5. Pojednostavite: .
Rješenje:
Prilikom pronalaženja zajedničkog nazivnika, prvo morate pokušati rastaviti nazivnike originalnih razlomaka (da biste pojednostavili zajednički imenilac).
U ovom konkretnom slučaju:
Tada je lako odrediti zajednički imenilac: 
.
Određujemo dodatne faktore i rješavamo ovaj primjer:
odgovor:.
Sada uspostavimo pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.
Primjer 6. Pojednostavite: .
Rješenje:
odgovor:.
Primjer 7. Pojednostavite: .
Rješenje:
.
odgovor:.
Razmotrimo sada primjer u kojem se zbrajaju ne dva, već tri razlomka (na kraju krajeva, pravila sabiranja i oduzimanja za veći broj razlomaka ostaju ista).
Primjer 8. Pojednostavite: .
Razmotrimo razlomak $\frac63$. Njegova vrijednost je 2, budući da je $\frac63 =6:3 = 2$. Šta se dešava ako se brojilac i imenilac pomnože sa 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Očigledno, vrijednost razlomka se nije promijenila, tako da je $\frac(12)(6)$ kao y također jednako 2. Možete množi brojilac i imenilac za 3 i dobijete $\frac(18)(9)$, ili za 27 i dobijete $\frac(162)(81)$, ili za 101 i dobijete $\frac(606)(303)$. U svakom od ovih slučajeva, vrijednost razlomka koju dobijemo dijeljenjem brojioca sa imeniocem je 2. To znači da se nije promijenila.
Isti obrazac se opaža iu slučaju drugih frakcija. Ako se brojilac i nazivnik razlomka $\frac(120)(60)$ (jednako 2) podijele sa 2 (rezultat je $\frac(60)(30)$), ili sa 3 (rezultat je $\frac(40)(20) $), ili za 4 (rezultat $\frac(30)(15)$) i tako dalje, tada u svakom slučaju vrijednost razlomka ostaje nepromijenjena i jednaka 2.
Ovo pravilo vrijedi i za razlomke koji nisu jednaki cijeli broj.
Ako se brojnik i imenilac razlomka $\frac(1)(3)$ pomnoži sa 2, dobijamo $\frac(2)(6)$, odnosno vrijednost razlomka se nije promijenila. A zapravo, ako podijelite pitu na 3 dijela i uzmete jedan od njih, ili podijelite na 6 dijelova i uzmete 2 dijela, dobit ćete istu količinu pite u oba slučaja. Dakle, brojevi $\frac(1)(3)$ i $\frac(2)(6)$ su identični. Hajde da formulišemo opšte pravilo.
Brojnik i nazivnik bilo kojeg razlomka mogu se pomnožiti ili podijeliti istim brojem bez promjene vrijednosti razlomka.
Ispostavilo se da je ovo pravilo vrlo korisno. Na primjer, dozvoljava u nekim slučajevima, ali ne uvijek, izbjegavanje operacija s velikim brojevima.
Na primjer, brojilac i nazivnik razlomka $\frac(126)(189)$ možemo podijeliti sa 63 i dobiti razlomak $\frac(2)(3)$, s kojim je mnogo lakše izračunati. Još jedan primjer. Možemo podijeliti brojilac i imenilac razlomka $\frac(155)(31)$ sa 31 i dobiti razlomak $\frac(5)(1)$ ili 5, pošto je 5:1=5.
U ovom primjeru smo se prvi put susreli razlomak čiji je imenilac 1. Takvi razlomci igraju važnu ulogu u proračunima. Treba imati na umu da se bilo koji broj može podijeliti sa 1 i njegova vrijednost se neće promijeniti. To jest, $\frac(273)(1)$ je jednako 273; $\frac(509993)(1)$ je jednako 509993 i tako dalje. Dakle, ne moramo dijeliti brojeve sa , budući da se svaki cijeli broj može predstaviti kao razlomak s nazivnikom 1.
Sa takvim razlomcima, čiji je nazivnik 1, možete izvesti iste aritmetičke operacije kao i sa svim drugim razlomcima: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1 ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.
Možete pitati kakva je korist ako cijeli broj predstavimo kao razlomak s jedinicom ispod linije, jer je zgodnije raditi s cijelim brojem. Ali poenta je da nam predstavljanje cijelog broja kao razlomka daje priliku da efikasnije izvodimo različite operacije kada imamo posla i sa cijelim brojevima i s razlomcima u isto vrijeme. Na primjer, naučiti zbrajati razlomke sa različitim nazivnicima. Pretpostavimo da trebamo dodati $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(5)$.
Znamo da možemo sabirati samo razlomke čiji su imenioci jednaki. To znači da moramo naučiti kako razlomke svesti na oblik u kojem su im imenioci jednaki. U ovom slučaju, opet će nam trebati činjenica da možemo pomnožiti brojilac i nazivnik razlomka sa istim brojem bez promjene njegove vrijednosti.
Prvo, pomnožite brojilac i nazivnik razlomka $\frac(1)(3)$ sa 5. Dobijamo $\frac(5)(15)$, vrijednost razlomka se nije promijenila. Zatim pomnožimo brojilac i nazivnik razlomka $\frac(1)(5)$ sa 3. Dobijamo $\frac(3)(15)$, opet vrijednost razlomka se nije promijenila. Dakle, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
Pokušajmo sada primijeniti ovaj sistem na sabiranje brojeva koji sadrže i cijele i razlomke.
Moramo dodati $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Prvo, pretvorimo sve pojmove u razlomke i dobijemo: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Sada moramo sve razlomke dovesti u zajednički nazivnik, za to pomnožimo brojilac i imenilac prvog razlomka sa 12, drugog sa 4, a trećeg sa 3. Kao rezultat, dobijamo $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, što je jednako $\frac(55)(12)$. Ako želite da se rešite nepravilan razlomak, može se pretvoriti u broj koji se sastoji od cijelog broja i razlomka: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ ili $4\frac(7 )( 12)$.
Sva pravila koja dozvoljavaju operacije sa razlomcima, koje smo upravo proučavali, vrijede i u slučaju negativnih brojeva. Dakle, -1:3 se može napisati kao $\frac(-1)(3)$, a 1: (-3) kao $\frac(1)(-3)$.
Budući da i dijeljenje negativnog broja pozitivnim brojem i dijeljenje pozitivnog broja negativnim rezultiraju negativnim brojevima, u oba slučaja odgovor će biti negativan broj. To je
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ ili $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. Znak minus kada se napiše na ovaj način odnosi se na cijeli razlomak, a ne zasebno na brojnik ili nazivnik.
S druge strane, (-1) : (-3) se može napisati kao $\frac(-1)(-3)$, a pošto dijeljenje negativnog broja negativnim brojem daje pozitivan broj, onda $\frac (-1 )(-3)$ se može napisati kao $+\frac(1)(3)$.
Sabiranje i oduzimanje negativnih razlomaka vrši se po istoj shemi kao sabiranje i oduzimanje pozitivnih razlomaka. Na primjer, šta je $1- 1\frac13$? Hajde da predstavimo oba broja kao razlomke i dobijemo $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Dovedemo razlomke na zajednički nazivnik i dobićemo $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, odnosno $\frac(3)(3)-\ frac(4) (3)$, ili $-\frac(1)(3)$.
U petom veku pre nove ere, starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulisao je svoje čuvene aporije, od kojih je najpoznatija aporija „Ahilej i kornjača“. Evo kako to zvuči:Recimo, Ahil trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči ovu udaljenost, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača puzi još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti do beskonačnosti, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.
Ovo razmišljanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju do danas; naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao opšteprihvaćeno rešenje problema..."[Vikipedija, "Zenonova aporija". Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu se sastoji obmana.
Sa matematičke tačke gledišta, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa kvantiteta na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto stalnih. Koliko sam shvatio, matematički aparat za korištenje varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročnu vrijednost. Sa fizičke tačke gledišta, ovo izgleda kao da se vrijeme usporava dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može pobjeći od kornjače.
Ako okrenemo svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskonačno brzo sustići kornjaču“.
Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:
Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahil osam stotina koraka ispred kornjače.
Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali nije kompletno rješenje Problemi. Ajnštajnova izjava o neodoljivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji „Ahilej i kornjača“. Ostaje nam da proučimo, preispitamo i riješimo ovaj problem. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.
Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:
Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.
U ovoj aporiji logički paradoks je prevaziđen vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama u prostoru, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili da li se automobil kreće, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali ne možete odrediti udaljenost od njih. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u prostoru u jednom trenutku, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, trigonometrija će vam pomoći ). Ono na šta želim da skrenem posebnu pažnju je da su dve tačke u vremenu i dve tačke u prostoru različite stvari koje ne treba mešati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Srijeda, 04.07.2018
Razlike između skupa i multiseta su vrlo dobro opisane na Wikipediji. da vidimo.
Kao što vidite, "ne mogu postojati dva identična elementa u skupu", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće razumjeti takvu apsurdnu logiku. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, koji nemaju inteligenciju od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.
Nekada su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta dok su testirali most. Ako se most sruši, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.
Bez obzira na to koliko se matematičari kriju iza fraze „pamet, ja sam u kući“, odnosno „matematika proučava apstraktne pojmove“, postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.
Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo na kasi i izdajemo plate. Dakle, matematičar dolazi kod nas po svoj novac. Odbrojavamo mu cijeli iznos i slažemo ga na našem stolu u različite hrpe, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim uzimamo po jedan račun sa svake gomile i dajemo matematičaru njegov „matematički skup plaće“. Objasnimo matematičaru da će preostale račune dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.
Prije svega, funkcionirat će logika poslanika: „Ovo se može primijeniti na druge, ali ne i na mene!“ Tada će nas početi uvjeravati da novčanice istog apoena imaju različite brojeve novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, računajmo plate u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će matematičar početi mahnito da se prisjeća fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma je jedinstven za svaki novčić...
A sada imam najviše interes Pitajte: gdje je linija iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovdje nije ni blizu da leži.
Pogledati ovdje. Odabiremo fudbalske stadione sa istom površinom terena. Površine polja su iste - što znači da imamo višestruki skup. Ali ako pogledamo imena tih istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup. Šta je tačno? I ovdje matematičar-šaman-oštrica izvlači keca aduta iz rukava i počinje nam pričati ili o setu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.
Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazaću vam, bez ikakvog "zamislivog kao nijedna celina" ili "nezamislivog kao jedinstvene celine".
Nedjelja, 18.03.2018
Zbir cifara broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na časovima matematike nas uče da pronađemo zbir cifara broja i da ga koristimo, ali zato su oni šamani, da svoje potomke uče svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.
Treba li vam dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj cifara broja." Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula koja se može koristiti za pronalaženje zbira cifara bilo kojeg broja. Na kraju krajeva, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a na jeziku matematike zadatak zvuči ovako: „Pronađi zbir grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj. Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu lako.
Hajde da shvatimo šta i kako radimo da bismo pronašli zbir cifara datog broja. I tako, neka nam je broj 12345. Šta treba uraditi da bi se našao zbir cifara ovog broja? Razmotrimo redom sve korake.
1. Zapišite broj na komad papira. Šta smo uradili? Broj smo pretvorili u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.
2. Jednu rezultirajuću sliku izrežemo na nekoliko slika koje sadrže pojedinačne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.
3. Pretvorite pojedinačne grafičke simbole u brojeve. Ovo nije matematička operacija.
4. Dodajte dobijene brojeve. Ovo je sada matematika.
Zbir cifara broja 12345 je 15. Ovo su „tečajevi krojenja i šivanja“ koje podučavaju šamani koje koriste matematičari. Ali to nije sve.
Sa matematičke tačke gledišta, nije bitno u kom sistemu brojeva zapisujemo broj. Dakle, u različitim brojevnim sistemima zbir cifara istog broja će biti različit. U matematici, sistem brojeva je označen kao indeks desno od broja. Sa velikim brojem 12345, ne želim da se zavaravam, razmislimo o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu. Nećemo svaki korak posmatrati pod mikroskopom; to smo već uradili. Pogledajmo rezultat.
Kao što vidite, u različitim brojevnim sistemima zbir cifara istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze sa matematikom. To je isto kao da odredite površinu pravokutnika u metrima i centimetrima, dobili biste potpuno drugačije rezultate.
Nula izgleda isto u svim brojevnim sistemima i nema zbir cifara. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da. Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava nešto što nije broj? Šta, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Mogu to dozvoliti za šamane, ali ne i za naučnike. Realnost nije samo u brojevima.
Dobijeni rezultat treba smatrati dokazom da su sistemi brojeva mjerne jedinice za brojeve. Uostalom, ne možemo porediti brojeve sa različitim mernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različitih rezultata nakon poređenja, onda to nema nikakve veze s matematikom.
Šta je prava matematika? To je kada rezultat matematičke operacije ne ovisi o veličini broja, korištenoj mjernoj jedinici i o tome ko izvodi ovu radnju.
Oh! Nije li ovo ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorija za proučavanje nedefilske svetosti duša tokom njihovog uspona na nebo! Halo na vrhu i strelica gore. Koji drugi toalet?
Žensko... Oreol na vrhu i strelica dole su muški.
Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,
Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:
Lično se trudim da vidim minus četiri stepena kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stepeni). I ne mislim da je ova devojka budala koja ne zna fiziku. Ona samo ima jak stereotip o percepciji grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.
1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom zapisu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sistemu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.
