Inverzne trigonometrijske funkcije i njihovi grafovi. Šta je arksinus, arkosinus? Šta je arktangens, arkkotangens? Članak inverzne trigonometrijske funkcije

U nizu zadataka iz matematike i njene primjene, potrebno je koristiti poznatu vrijednost trigonometrijske funkcije da se pronađe odgovarajuća vrijednost ugla, izražena u stepenima ili radijanima. Poznato je da beskonačan broj uglova odgovara istoj vrijednosti sinusa, na primjer, ako je $\sin α=1/2,$ onda ugao $α$ može biti jednak $30°$ i $150°,$ ili u radijanskoj mjeri $π /6$ i $5π/6,$ i bilo koji od uglova koji se iz njih dobije dodavanjem člana u obliku $360°⋅k,$ ili, respektivno, $2πk,$ gdje je $k $ je bilo koji cijeli broj. Ovo postaje jasno ispitivanjem grafika funkcije $y=\sin x$ na cijeloj brojevnoj pravoj (vidi sliku $1$): ako na osi $Oy$ nacrtamo segment dužine $1/2$ i nacrtamo prava linija paralelna sa $Ox osom, $ tada će preseći sinusoidu u beskonačnom broju tačaka. Kako bi se izbjegla moguća raznolikost odgovora, uvode se inverzne trigonometrijske funkcije, inače zvane kružne ili lučne funkcije (od latinske riječi arcus - „luk“).

Glavne četiri trigonometrijske funkcije $\sin x,$ $\cos x,$ $\mathrm(tg)\,x$ i $\mathrm(ctg)\,x$ odgovaraju četiri lučne funkcije $\arcsin x,$ $ \arccos x ,$ $\mathrm(arctg)\,x$ i $\mathrm(arcctg)\,x$ (čitaj: arksinus, arkosinus, arktangens, arkkotangens). Razmotrimo funkcije \arcsin x i \mathrm(arctg)\,x, pošto su druge dvije izražene kroz njih pomoću formula:

$\arccos x = \frac(π)(2) − \arcsin x,$ $\mathrm(arcctg)\,x = \frac(π)(2) − \mathrm(arctg)\,x.$

Jednakost $y = \arcsin x$ po definiciji znači ugao $y,$ izražen u radijanskoj mjeri i sadržan u rasponu od $−\frac(π)(2)$ do $\frac(π)(2), $sinus koji je jednak $x,$ tj. $\sin y = x.$ Funkcija $\arcsin x$ je funkcija inverzna funkcija$\sin x,$ razmatra na intervalu $\left[−\frac(π)(2),+\frac(π)(2)\right],$ gde se ova funkcija monotono povećava i preuzima sve vrednosti iz $−1 $ do $+1.$ Očigledno, argument $y$ funkcije $\arcsin x$ može uzeti vrijednosti samo iz intervala $\left[−1,+1\right].$ Dakle, funkcija $y=\arcsin x$ je definisana na intervalu $\left[−1,+1\right],$ monotono raste, a njene vrijednosti ispunjavaju interval $\left[−\frac(π) (2),+\frac(π)(2)\ desno].$ Grafikon funkcije je prikazan na Sl. $2.$

Pod uslovom $−1 ≤ a ≤ 1$, sva rješenja jednačine $\sin x = a$ možemo predstaviti u obliku $x=(−1)^n \arcsin a + πn,$ $n=0 ,±1,± 2, ….$ Na primjer, ako

$\sin x = \frac(\sqrt(2))(2)$ tada je $x = (−1)^n \frac(π)(4)+πn,$ $n = 0, ±1, ±2 ,….$

Relacija $y=\mathrm(arcctg)\,x$ je definirana za sve vrijednosti $x$ i po definiciji znači da se ugao $y,$ izražen u radijanskoj mjeri nalazi unutar

$−\frac(π)(2)

a tangenta ovog ugla je jednaka x, tj. $\mathrm(tg)\,y = x.$ Funkcija $\mathrm(arctg)\,x$ je definirana na cijeloj brojevnoj pravoj i inverzna je funkcija od funkcija $\mathrm(tg)\,x$, koja se razmatra samo na intervalu

$−\frac(π)(2)

Funkcija $y = \mathrm(arctg)\,x$ monotono raste, njen graf je prikazan na Sl. $3.$

Sva rješenja jednadžbe $\mathrm(tg)\,x = a$ mogu se napisati u obliku $x=\mathrm(arctg)\,a+πn,$ $n=0,±1,±2,… .$

Imajte na umu da se inverzne trigonometrijske funkcije široko koriste u matematičkoj analizi. Na primjer, jedna od prvih funkcija za koju je dobivena reprezentacija beskonačnim nizom stepena bila je funkcija $\mathrm(arctg)\,x.$ Iz ove serije, G. Leibniz, sa fiksnom vrijednošću argumenta $x =1$, dobio poznatu reprezentaciju broja beskonačno blizu

Problemi vezani za inverzne trigonometrijske funkcije često se nude na školskim završnim ispitima i na prijemnim ispitima na nekim univerzitetima. Detaljno proučavanje ove teme može se postići samo u izbornoj nastavi ili izbornim predmetima. Predloženi kurs je osmišljen tako da što potpunije razvije sposobnosti svakog učenika i unapredi njegovu matematičku pripremu.

Kurs traje 10 sati:

1.Funkcije arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 sata).

2.Operacije na inverznim trigonometrijskim funkcijama (4 sata).

3. Inverzne trigonometrijske operacije nad trigonometrijskim funkcijama (2 sata).

Lekcija 1 (2 sata) Tema: Funkcije y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

Cilj: potpuna pokrivenost ovog pitanja.

1.Funkcija y = arcsin x.

a) Za funkciju y = sin x na segmentu postoji inverzna (jednoznačna) funkcija, koju smo dogovorili nazvati arcsinus i označiti je na sljedeći način: y = arcsin x. Grafikon inverzne funkcije je simetričan sa grafikom glavne funkcije u odnosu na simetralu I - III koordinatnih uglova.

Svojstva funkcije y = arcsin x.

1) Domen definicije: segment [-1; 1];

2) Područje promjene: segment;

3) Funkcija y = arcsin x neparan: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Funkcija y = arcsin x je monotono rastuća;

5) Grafikon siječe ose Ox, Oy u početku.

Primjer 1. Pronađite a = arcsin. Ovaj primjer se može detaljno formulirati na sljedeći način: pronađite argument a, koji leži u rasponu od do, čiji je sinus jednak.

Rješenje. Postoji bezbroj argumenata čiji je sinus jednak , na primjer: itd. Ali nas zanima samo argument koji je u segmentu. Ovo bi bio argument. Dakle, .

Primjer 2. Pronađite .Rješenje. Argumentirajući na isti način kao u primjeru 1, dobijamo .

b) oralne vježbe. Pronađite: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Primjer odgovora: , jer . Da li izrazi imaju smisla: ; arcsin 1.5; ?

c) Rasporedite u rastućem redosledu: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Funkcije y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (slično).

Lekcija 2 (2 sata) Tema: Inverzne trigonometrijske funkcije, njihovi grafovi.

Svrha: u ovoj lekciji potrebno je razviti vještine određivanja vrijednosti trigonometrijske funkcije, u konstruisanju grafova inverznih trigonometrijskih funkcija koristeći D (y), E (y) i potrebne transformacije.

U ovoj lekciji kompletne vježbe koje uključuju pronalaženje domena definicije, domena vrijednosti funkcija tipa: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.

Trebalo bi da konstruišete grafove funkcija: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y = arcsin;

d) y = arcsin; e) y = arcsin; e) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Primjer. Nacrtajmo y = arccos

U svoj domaći zadatak možete uključiti sljedeće vježbe: izgraditi grafove funkcija: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Grafovi inverznih funkcija

Lekcija br. 3 (2 sata) Tema:

Operacije nad inverznim trigonometrijskim funkcijama.

Cilj: proširiti matematičko znanje (ovo je važno za one koji ulaze na specijalnosti sa povećanim zahtjevima za matematičkom obukom) uvođenjem osnovnih relacija za inverzne trigonometrijske funkcije.

Materijal za lekciju.

Neke jednostavne trigonometrijske operacije nad inverznim trigonometrijskim funkcijama: sin (arcsin x) = x , i xi ? 1; cos (arscos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Vježbe.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

b) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Neka je arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;

cos (arcsin x) = ; sin (arccos x) = .

Napomena: uzimamo znak “+” ispred korijena jer a = arcsin x zadovoljava .

c) sin (1,5 + arcsin).

d) ctg ( + arctg 3).

e) tg ( – arcctg 4) Odgovor: .

e) cos (0,5 + arccos). Odgovor: .

Izračunati:

a) sin (2 arktan 5) .

Neka je arctan 5 = a, zatim sin 2 a = ili sin (2 arktan 5) = ;

b) cos (+ 2 arcsin 0,8) Odgovor: 0,28.

c) arctg + arctg.

Neka je a = arctg, b = arctg,

onda je tg(a + b) = .

d) sin(arcsin + arcsin).

e) Dokazati da je za sve x I [-1; 1] true arcsin x + arccos x = .

dokaz:

arcsin x = – arccos x

sin (arcsin x) = sin ( – arccos x)

x = cos (arccos x)

Da to riješite sami: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Za kućno rešenje: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 – arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.

Lekcija br. 4 (2 sata) Tema: Operacije nad inverznim trigonometrijskim funkcijama.

Cilj: U ovoj lekciji demonstrirati upotrebu omjera u transformaciji složenijih izraza.

Materijal za lekciju.

USMENI:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (arcctg 5), ctg (arctg 5);

c) sin (arctg -3), cos (arcctg());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

PISMENO:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg ( - arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Samostalni rad će pomoći da se utvrdi nivo savladavanja materijala.

1) tg (arctg 2 – arctg) 2) cos( - arctan2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) sin (1,5 - arktan 3) 3) arcctg3 – arctg 2

Za zadaća možemo predložiti:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) sin(2 arktan); 5) tg ( (arcsin))

Lekcija br. 5 (2 sata) Tema: Inverzne trigonometrijske operacije nad trigonometrijskim funkcijama.

Cilj: formirati razumijevanje učenika o inverznim trigonometrijskim operacijama nad trigonometrijskim funkcijama, fokusirajući se na povećanje razumijevanja teorije koja se proučava.

Prilikom proučavanja ove teme, pretpostavlja se da je obim teorijskog materijala koji se pamti ograničen.

Materijal za lekciju:

Možete započeti učenje novog materijala proučavanjem funkcije y = arcsin (sin x) i crtanjem njenog grafa.

3. Svaki x I R je povezan sa y I, tj.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Funkcija je neparna: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Grafikon y = arcsin (sin x) na:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin ( – x) = sin x , 0<= - x <= .

dakle,

Nakon što smo konstruisali y = arcsin (sin x) na , nastavljamo simetrično oko ishodišta na [- ; 0], s obzirom na neparnost ove funkcije. Koristeći periodičnost, nastavljamo duž cijele brojevne prave.

Zatim zapišite neke odnose: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos a ) = a ako je 0<= a <= ; arctg (tg a) = a if< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

I uradite sljedeće vježbe: a) arccos(sin 2). Odgovor: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6 odgovor: - 0,1); c) arctg (tg 2) Odgovor: 2 - ;

d) arcctg(tg 0,6). Odgovor: 0,9; e) arccos (cos ( - 2) ) ; e) arcsin (sin (-0,6)). Odgovor: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Odgovor: 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Odgovor: - 0,6; - arktan x; e) arccos + arccos

Šta je arksinus, arkosinus? Šta je arktangens, arkkotangens?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u Posebni dio 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Za koncepte arksinus, arkosinus, arktangens, arkotangens Studentska populacija je oprezna. On ne razumije ove pojmove i stoga ne vjeruje ovoj lijepoj porodici.) Ali uzalud. Ovo su vrlo jednostavni koncepti. Što, inače, značajno olakšava život upućenoj osobi pri odlučivanju trigonometrijske jednačine!

Sumnje u jednostavnost? Uzalud.) Upravo ovdje i sada ćete vidjeti ovo.

Naravno, za razumijevanje, bilo bi lijepo znati Šta su sinus, kosinus, tangent i kotangens? Da ih tablične vrijednosti za neke uglove... Bar u najopštijem smislu. Onda ni ovdje neće biti problema.

Dakle, iznenađeni smo, ali zapamtite: arksinus, arkosinus, arktangens i arkkotangens su samo neki uglovi. Ni više, ni manje. Postoji ugao, recimo 30°. I tu je kutak arcsin0.4. Or arctg(-1.3). Ima raznih uglova.) Možete jednostavno zapisati uglove na različite načine. Možete napisati ugao u terminima stepeni ili radijani. Ili možete - kroz njegov sinus, kosinus, tangent i kotangens...

Šta izraz znači

arcsin 0.4 ?

Ovo je ugao čiji je sinus 0,4! Da da. Ovo je značenje arcsinusa. Posebno ću ponoviti: arcsin 0,4 je ugao čiji je sinus jednak 0,4.

To je sve.

Da biste dugo zadržali ovu jednostavnu misao u vašoj glavi, dat ću čak i pregled ovog strašnog pojma - arcsin:

arc grijeh 0,4
kutak, čiji sinus jednako 0,4

Kako se piše, tako se i čuje.) Skoro. Konzola arc znači arc(reč arh da li znate?), jer stari ljudi su koristili lukove umjesto uglova, ali to ne mijenja suštinu stvari. Zapamtite ovo elementarno dekodiranje matematičkog pojma! Štoviše, za arkosinus, arktangens i arkkotangens, dekodiranje se razlikuje samo u nazivu funkcije.

Šta je arccos 0.8?
Ovo je ugao čiji je kosinus 0,8.

Šta je arctg(-1,3)?
Ovo je ugao čiji je tangent -1,3.

Šta je arcctg 12?
Ovo je ugao čiji je kotangens 12.

Takvo elementarno dekodiranje omogućava, inače, izbjegavanje epskih grešaka.) Na primjer, izraz arccos1,8 izgleda prilično respektabilno. Počnimo s dekodiranjem: arccos1.8 je ugao čiji je kosinus jednak 1.8... Skok-skok!? 1.8!? Kosinus ne može biti veći od jedan!!!

U redu. Izraz arccos1,8 nema smisla. A pisanje takvog izraza u nekom odgovoru će jako zabaviti inspektora.)

Elementarno, kao što vidite.) Svaki ugao ima svoj lični sinus i kosinus. I skoro svako ima svoju tangentu i kotangens. Stoga, poznavajući trigonometrijsku funkciju, možemo zapisati sam ugao. Tome su namijenjeni arksinusi, arkosinusi, arktangente i arkkotangente. Od sada ću cijelu ovu porodicu zvati umanjenim imenom - lukovi Da manje kucate.)

Pažnja! Elementarni verbalni i svjesni dešifriranje lukova omogućava vam da mirno i samouvjereno rješavate različite zadatke. I unutra neobično Samo ona čuva zadatke.

Da li je moguće preći sa luka na obične stepene ili radijane?- Čujem oprezno pitanje.)

Zašto ne!? Lako. Možete ići tamo i nazad. Štaviše, ponekad se to mora učiniti. Lukovi su jednostavna stvar, ali je nekako mirnije bez njih, zar ne?)

Na primjer: šta je arcsin 0,5?

Prisjetimo se dekodiranja: arcsin 0,5 je ugao čiji je sinus 0,5. Sada okrenite glavu (ili Google)) i zapamtite koji ugao ima sinus 0,5? Sinus je 0,5 y Ugao od 30 stepeni. To je to: arcsin 0,5 je ugao od 30°. Možete sa sigurnošću napisati:

arcsin 0,5 = 30°

Ili, formalnije, u smislu radijana:

To je to, možete zaboraviti na arcsin i nastaviti raditi s uobičajenim stepenima ili radijanima.

Ako ste shvatili šta je arksinus, arkosinus... Šta je arktangens, arkkotangens... Lako se možete nositi s, na primjer, takvim čudovištem.)

Neznalica će ustuknuti od užasa, da...) Ali upućena osoba zapamtite dekodiranje: arksinus je ugao čiji sinus... I tako dalje. Ako i upućena osoba zna tabela sinusa... tabela kosinusa. Tabela tangenta i kotangensa, onda nema nikakvih problema!

Dovoljno je shvatiti da:

Ja ću to dešifrovati, tj. Dozvolite mi da prevedem formulu u riječi: ugao čija je tangenta 1 (arctg1)- ovo je ugao od 45°. Ili, što je isto, Pi/4. Isto tako:

i to je to... Sve lukove zamjenjujemo vrijednostima u radijanima, sve se smanjuje, ostaje samo izračunati koliko je 1+1. Biće 2.) Što je tačan odgovor.

Ovo je način na koji možete (i trebate) preći od arksinusa, arkkosinusa, arktangensa i arkkotangensa do običnih stupnjeva i radijana. Ovo uvelike pojednostavljuje zastrašujuće primjere!

Često se u takvim primjerima nalaze unutar lukova negativan značenja. Kao, arctg(-1.3), ili, na primjer, arccos(-0.8)... Ovo nije problem. Evo jednostavnih formula za prelazak s negativnih na pozitivne vrijednosti:

Trebate, recimo, odrediti vrijednost izraza:

Ovo se može riješiti pomoću trigonometrijskog kruga, ali ga ne želite crtati. Pa, ok. Selimo se iz negativan vrijednosti unutar arc kosinusa od k pozitivno prema drugoj formuli:

Unutar arc kosinusa na desnoj strani je već pozitivno značenje. Šta

jednostavno morate znati. Sve što ostaje je zamijeniti radijane umjesto arc kosinusa i izračunati odgovor:

To je sve.

Ograničenja za arksinus, arkosinus, arktangens, arkkotangens.

Postoji li problem sa primjerima 7 - 9? Pa, da, postoji neki trik.)

Svi ovi primjeri, od 1 do 9, pažljivo su razvrstani do detalja Član 555.Šta, kako i zašto. Sa svim tajnim zamkama i trikovima. Plus načini za dramatično pojednostavljenje rješenja. Inače, ovaj odjeljak sadrži puno korisnih informacija i praktičnih savjeta o trigonometriji općenito. I ne samo u trigonometriji. Pomaže puno.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Inverzne trigonometrijske funkcije(kružne funkcije, lučne funkcije) - matematičke funkcije koje su inverzne trigonometrijskim funkcijama.

One obično uključuju 6 ​​funkcija:

• arcsine(oznaka: arcsin x; arcsin x- ovo je ugao grijehšto je jednako x),
• arccosine(oznaka: arccos x; arccos x je ugao kojem je kosinus jednak x i tako dalje),
• arktangent(oznaka: arctan x ili arctan x),
• arkkotangens(oznaka: arcctg x ili arccot ​​x ili arccotan x),
• arcsecant(oznaka: arcsec x),
• arccosecan(oznaka: arccosec x ili arccsc x).

arcsine (y = arcsin x) - inverzna funkcija prema grijeh (x = sin y . Drugim riječima, vraća ugao po njegovoj vrijednosti grijeh.

arc kosinus (y = arccos x) - inverzna funkcija prema cos (x = cos y cos.

Arktangent (y = arktan x) - inverzna funkcija prema tg (x = tan y), koji ima domenu i skup vrijednosti . Drugim riječima, vraća ugao po njegovoj vrijednosti tg.

Arkotangenta (y = arcctg x) - inverzna funkcija prema ctg (x = cotg y), koji ima domenu definicije i skup vrijednosti. Drugim riječima, vraća ugao po njegovoj vrijednosti ctg.

arcsec- arcsecant, vraća ugao prema vrijednosti njegove sekante.

arccosec- arccosecan, vraća ugao na osnovu vrednosti njegovog kosekansa.

Kada inverzna trigonometrijska funkcija nije definirana u određenoj tački, tada se njena vrijednost neće pojaviti u konačnoj tablici. Funkcije arcsec I arccosec nisu određene na segmentu (-1,1), ali arcsin I arccos određuju se samo na intervalu [-1,1].

Naziv inverzne trigonometrijske funkcije formira se od naziva odgovarajuće trigonometrijske funkcije dodavanjem prefiksa "luk-" (iz lat. arc nas- luk). To je zbog činjenice da je geometrijski vrijednost inverzne trigonometrijske funkcije povezana s dužinom luka jediničnog kruga (ili kuta koji podvlači ovaj luk), koji odgovara jednom ili drugom segmentu.

Ponekad se u stranoj literaturi, kao iu naučnim/inženjerskim kalkulatorima, koriste oznake kao sin −1, cos−1 za arcsin, arkosinus i slično, ovo se smatra nepotpuno tačnim, jer vjerovatno će doći do zabune sa podizanjem funkcije na stepen −1 (« −1 » (minus prvi stepen) definira funkciju x = f -1 (y), inverzna funkcija y = f(x)).

Osnovne relacije inverznih trigonometrijskih funkcija.

Ovdje je važno obratiti pažnju na intervale za koje formule vrijede.

Formule koje se odnose na inverzne trigonometrijske funkcije.

Označimo bilo koju od vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija sa Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot ​​x i zadrži notaciju: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot ​​x za njihove glavne vrijednosti, onda se veza između njih izražava takvim odnosima.