Arcsin sinx graf. Inverzne trigonometrijske funkcije, njihovi grafovi i formule

Inverzne trigonometrijske funkcije(kružne funkcije, lučne funkcije) - matematičke funkcije koje su inverzne trigonometrijskim funkcijama.

arcsine(označeno kao arcsin x; arcsin x- ovo je ugao grijeh njemu ravni x).

arcsine (y = arcsin x) - inverzna trigonometrijska funkcija prema grijeh (x = sin y), koji ima domenu i skup vrijednosti . Drugim riječima, vraća ugao po njegovoj vrijednosti grijeh.

Funkcija y=sin x je kontinuirana i ograničena duž cijele svoje brojevne prave. Funkcija y=arcsin x- striktno povećava.

Svojstva arcsin funkcije.

Arcsine plot.

Dobivanje funkcije arcsin.

Postoji funkcija y = sinx. U cijelom svom domenu definicije ona je po komadima monotona, dakle inverzna korespondencija y = arcsin x nije funkcija. Stoga razmatramo segment na kojem se samo povećava i uzima svaku vrijednost raspona vrijednosti - . Jer za funkciju y = sinx na intervalu se sve vrijednosti funkcije dobijaju sa samo jednom vrijednošću argumenta, što znači da na ovom intervalu postoji inverzna funkcija y = arcsin x, čiji je graf simetričan grafu funkcije y = sinx na relativno ravnom segmentu y = x.

Problemi vezani za inverzne trigonometrijske funkcije često se nude na školskim završnim ispitima i na prijemnim ispitima na nekim univerzitetima. Detaljno proučavanje ove teme može se postići samo u izbornoj nastavi ili izbornim predmetima. Predloženi kurs je osmišljen tako da što potpunije razvije sposobnosti svakog učenika i unapredi njegovu matematičku pripremu.

Kurs traje 10 sati:

1.Funkcije arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 sata).

2.Operacije na inverznim trigonometrijskim funkcijama (4 sata).

3. Inverzne trigonometrijske operacije nad trigonometrijskim funkcijama (2 sata).

Lekcija 1 (2 sata) Tema: Funkcije y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

Cilj: potpuna pokrivenost ovog pitanja.

1.Funkcija y = arcsin x.

a) Za funkciju y = sin x na segmentu postoji inverzna (jednoznačna) funkcija, koju smo dogovorili nazvati arcsinus i označiti je na sljedeći način: y = arcsin x. Graf inverzne funkcije je simetričan sa grafikom glavne funkcije u odnosu na simetralu I - III koordinatnih uglova.

Svojstva funkcije y = arcsin x.

1) Domen definicije: segment [-1; 1];

2) Područje promjene: segment;

3) Funkcija y = arcsin x neparan: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Funkcija y = arcsin x je monotono rastuća;

5) Grafikon siječe ose Ox, Oy u početku.

Primjer 1. Pronađite a = arcsin. Ovaj primjer se može detaljno formulirati na sljedeći način: pronađite argument a, koji leži u rasponu od do, čiji je sinus jednak.

Rješenje. Postoji bezbroj argumenata čiji je sinus jednak , na primjer: itd. Ali nas zanima samo argument koji je u segmentu. Ovo bi bio argument. Dakle, .

Primjer 2. Pronađite .Rješenje. Argumentirajući na isti način kao u primjeru 1, dobijamo .

b) oralne vježbe. Pronađite: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Primjer odgovora: , jer . Da li izrazi imaju smisla: ; arcsin 1.5; ?

c) Rasporedite u rastućem redosledu: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Funkcije y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (slično).

Lekcija 2 (2 sata) Tema: Inverzne trigonometrijske funkcije, njihovi grafovi.

Svrha: u ovoj lekciji potrebno je razviti vještine određivanja vrijednosti trigonometrijske funkcije, u konstruisanju grafova inverznih trigonometrijskih funkcija koristeći D (y), E (y) i potrebne transformacije.

U ovoj lekciji kompletne vježbe koje uključuju pronalaženje domene definicije, domena vrijednosti funkcija tipa: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.

Trebalo bi da konstruišete grafove funkcija: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y = arcsin;

d) y = arcsin; e) y = arcsin; e) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Primjer. Nacrtajmo y = arccos

U svoj domaći zadatak možete uključiti sljedeće vježbe: izgraditi grafove funkcija: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Grafovi inverznih funkcija

Lekcija br. 3 (2 sata) Tema:

Operacije nad inverznim trigonometrijskim funkcijama.

Cilj: proširiti matematičko znanje (ovo je važno za one koji ulaze na specijalnosti sa povećanim zahtjevima za matematičkom obukom) uvođenjem osnovnih relacija za inverzne trigonometrijske funkcije.

Materijal za lekciju.

Neke jednostavne trigonometrijske operacije nad inverznim trigonometrijskim funkcijama: sin (arcsin x) = x , i xi ? 1; cos (arscos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Vježbe.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

b) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Neka je arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;

cos (arcsin x) = ; sin (arccos x) = .

Napomena: uzimamo znak “+” ispred korijena jer a = arcsin x zadovoljava .

c) sin (1,5 + arcsin) Odgovor: ;

d) ctg ( + arctg 3) Odgovor: ;

e) tg ( – arcctg 4) Odgovor: .

e) cos (0,5 + arccos). Odgovor: .

Izračunati:

a) sin (2 arktan 5) .

Neka je arctan 5 = a, zatim sin 2 a = ili sin (2 arktan 5) = ;

b) cos ( + 2 arcsin 0,8) Odgovor: 0,28.

c) arctg + arctg.

Neka je a = arctg, b = arctg,

onda je tg(a + b) = .

d) sin (arcsin + arcsin).

e) Dokazati da je za sve x I [-1; 1] true arcsin x + arccos x = .

dokaz:

arcsin x = – arccos x

sin (arcsin x) = sin ( – arccos x)

x = cos (arccos x)

Da to sami riješite: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Za kućno rešenje: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 – arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.

Lekcija br. 4 (2 sata) Tema: Operacije nad inverznim trigonometrijskim funkcijama.

Cilj: U ovoj lekciji demonstrirati upotrebu omjera u transformaciji složenijih izraza.

Materijal za lekciju.

USMENI:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (arcctg 5), ctg (arctg 5);

c) sin (arctg -3), cos (arcctg());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

PISMENO:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg ( - arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Samostalni rad će pomoći da se utvrdi nivo savladavanja materijala.

1) tg (arctg 2 – arctg) 2) cos( - arctan2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) sin (1,5 - arktan 3) 3) arcctg3 – arctg 2

Za zadaća možemo predložiti:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) sin(2 arktan); 5) tg ( (arcsin))

Lekcija br. 5 (2 sata) Tema: Inverzne trigonometrijske operacije nad trigonometrijskim funkcijama.

Cilj: formirati razumijevanje učenika o inverznim trigonometrijskim operacijama nad trigonometrijskim funkcijama, fokusirajući se na povećanje razumijevanja teorije koja se proučava.

Prilikom proučavanja ove teme, pretpostavlja se da je obim teorijskog materijala koji se pamti ograničen.

Materijal za lekciju:

Možete započeti učenje novog materijala proučavanjem funkcije y = arcsin (sin x) i crtanjem njenog grafa.

3. Svaki x I R je povezan sa y I, tj.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Funkcija je neparna: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Grafikon y = arcsin (sin x) na:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin ( – x) = sin x , 0<= - x <= .

dakle,

Nakon što smo konstruisali y = arcsin (sin x) na , nastavljamo simetrično oko početka na [- ; 0], s obzirom na neparnost ove funkcije. Koristeći periodičnost, nastavljamo duž cijele brojevne prave.

Zatim zapišite neke odnose: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos a ) = a ako je 0<= a <= ; arctg (tg a) = a if< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

I uradite sljedeće vježbe: a) arccos(sin 2). Odgovor: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6) Odgovor: - 0,1; c) arctg (tg 2) Odgovor: 2 - ;

d) arcctg(tg 0,6). Odgovor: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)) Odgovor: 2 - ; e) arcsin (sin (-0,6)). Odgovor: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Odgovor: 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Odgovor: - 0,6; - arktan x; e) arccos + arccos

Funkcije sin, cos, tg i ctg su uvijek praćene arksinusom, arkosinusom, arktangensom i arkkotangensom. Jedno je posljedica drugog, a parovi funkcija su podjednako važni za rad s trigonometrijskim izrazima.

Razmotrite crtež jediničnog kruga, koji grafički prikazuje vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Ako izračunamo lukove OA, arcos OC, arctg DE i arcctg MK, tada će svi biti jednaki vrijednosti ugla α. Formule u nastavku odražavaju odnos između osnovnih trigonometrijskih funkcija i njihovih odgovarajućih lukova.

Da bismo razumjeli više o svojstvima arcsinusa, potrebno je razmotriti njegovu funkciju. Raspored ima oblik asimetrične krive koja prolazi kroz koordinatni centar.

Svojstva arcsinusa:

Ako uporedimo grafikone grijeh I arcsin, dvije trigonometrijske funkcije mogu imati zajedničke obrasce.

arc kosinus

Arccos broja je vrijednost ugla α čiji je kosinus jednak a.

Curve y = arcos x odražava arcsin x graf, sa jedinom razlikom što prolazi kroz tačku π/2 na osi OY.

Pogledajmo detaljnije funkciju arc kosinusa:

1. Funkcija je definirana na intervalu [-1; 1].
2. ODZ za arccos - .
3. Graf se u potpunosti nalazi u prvom i drugom kvartalu, a sama funkcija nije ni parna ni neparna.
4. Y = 0 na x = 1.
5. Kriva se smanjuje cijelom dužinom. Neka svojstva arc kosinusa poklapaju se sa kosinusnom funkcijom.

Neka svojstva arc kosinusa poklapaju se sa kosinusnom funkcijom.

Možda će školarci smatrati da je tako "detaljno" proučavanje "lukova" nepotrebno. Međutim, u suprotnom, neki osnovni ispitni zadaci mogu studente dovesti u ćorsokak.

Vježba 1. Označite funkcije prikazane na slici.

odgovor: pirinač. 1 – 4, sl. 2 – 1.

U ovom primjeru, naglasak je na malim stvarima. Studenti su tipično vrlo nepažljivi prema konstrukciji grafova i izgledu funkcija. Zaista, zašto pamtiti tip krive ako se uvijek može nacrtati pomoću izračunatih tačaka. Ne zaboravite da će u uvjetima testiranja vrijeme utrošeno na crtanje za jednostavan zadatak biti potrebno za rješavanje složenijih zadataka.

Arktangent

Arctg brojevi a su vrijednost ugla α tako da je njegov tangent jednak a.

Ako uzmemo u obzir graf arktangensa, možemo istaknuti sljedeća svojstva:

1. Graf je beskonačan i definiran na intervalu (- ∞; + ∞).
2. Arktangens je neparna funkcija, dakle, arktang (- x) = - arktang x.
3. Y = 0 na x = 0.
4. Kriva se povećava u cijeloj regiji definicije.

Izložimo kratku komparativnu analizu tg x i arctg x u obliku tabele.

Arkotangenta

Arcctg broja - uzima vrijednost α iz intervala (0; π) tako da je njegov kotangens jednak a.

Svojstva kotangensne funkcije luka:

1. Interval definicije funkcije je beskonačan.
2. Raspon prihvatljivih vrijednosti je interval (0; π).
3. F(x) nije ni paran ni neparan.
4. Cijelom svojom dužinom grafik funkcije opada.

Vrlo je jednostavno uporediti ctg x i arctg x; samo trebate napraviti dva crteža i opisati ponašanje krivulja.

Zadatak 2. Uskladite graf i oblik zapisa funkcije.

Ako razmišljamo logično, iz grafikona je jasno da se obje funkcije povećavaju. Stoga obje slike prikazuju određenu funkciju arktana. Iz svojstava arktangenta je poznato da je y=0 pri x = 0,

odgovor: pirinač. 1 – 1, sl. 2 – 4.

Trigonometrijski identiteti arcsin, arcos, arctg i arcctg

Prethodno smo već identifikovali odnos između lukova i osnovnih funkcija trigonometrije. Ova zavisnost se može izraziti brojnim formulama koje omogućavaju da se izrazi, na primer, sinus argumenta kroz njegov arksinus, arkosinus ili obrnuto. Poznavanje takvih identiteta može biti korisno pri rješavanju konkretnih primjera.

Postoje i odnosi za arctg i arcctg:

Još jedan koristan par formula postavlja vrijednost za zbir arcsin i arcos, kao i arcctg i arcctg istog ugla.

Primjeri rješavanja problema

Trigonometrijski zadaci se mogu podijeliti u četiri grupe: izračunati numeričku vrijednost određenog izraza, konstruirati graf zadane funkcije, pronaći njenu domenu definicije ili ODZ i izvršiti analitičke transformacije za rješavanje primjera.

Prilikom rješavanja prve vrste problema morate se pridržavati sljedećeg akcionog plana:

Prilikom rada sa grafovima funkcija najvažnije je poznavanje njihovih svojstava i izgleda krivulje. Za rješavanje trigonometrijskih jednačina i nejednačina potrebne su tablice identiteta. Što više formula učenik zapamti, lakše je pronaći odgovor na zadatak.

Recimo da na Jedinstvenom državnom ispitu morate pronaći odgovor za jednačinu kao što je:

Ako pravilno transformirate izraz i dovedete ga u željeni oblik, tada je njegovo rješavanje vrlo jednostavno i brzo. Prvo, pomjerimo arcsin x na desnu stranu jednakosti.

Ako se sjećate formule arcsin (sin α) = α, onda možemo svesti potragu za odgovorima na rješavanje sistema od dvije jednačine:

Ograničenje modela x je proizašlo, opet iz svojstava arcsin: ODZ za x [-1; 1]. Kada je a ≠0, dio sistema je kvadratna jednadžba s korijenima x1 = 1 i x2 = - 1/a. Kada je a = 0, x će biti jednako 1.

Budući da su trigonometrijske funkcije periodične, njihove inverzne funkcije nisu jedinstvene. Dakle, jednadžba y = sin x, za dati , ima beskonačno mnogo korijena. Zaista, zbog periodičnosti sinusa, ako je x takav korijen, onda je takav x + 2πn(gdje je n cijeli broj) će također biti korijen jednadžbe. dakle, inverzne trigonometrijske funkcije su viševrijedne. Da bismo olakšali rad s njima, uveden je koncept njihovih glavnih značenja. Uzmimo, na primjer, sinus: y = sin x. Ako ograničimo argument x na interval , tada je na njemu funkcija y = sin x monotono raste. Stoga ima jedinstvenu inverznu funkciju, koja se naziva arksinus: x = arcsin y.

Osim ako nije drugačije navedeno, pod inverznim trigonometrijskim funkcijama podrazumijevamo njihove glavne vrijednosti, koje su određene sljedećim definicijama.

arcsinus ( y = arcsin x) je inverzna funkcija sinusa ( x = siny
Arc kosinus ( y = arccos x) je inverzna funkcija kosinusa ( x = cos y), koji imaju domen definicije i skup vrijednosti.
arktangent ( y = arctan x) je inverzna funkcija tangente ( x = tg y), koji imaju domen definicije i skup vrijednosti.
arkkotangens ( y = arcctg x) je inverzna funkcija kotangensa ( x = ctg y), koji imaju domen definicije i skup vrijednosti.

Grafovi inverznih trigonometrijskih funkcija

Grafovi inverznih trigonometrijskih funkcija dobivaju se iz grafova trigonometrijskih funkcija zrcalnim odrazom u odnosu na pravu liniju y = x. Vidi odjeljke Sinus, kosinus, Tangent, kotangens.

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctan x

y = arcctg x

Osnovne formule

Ovdje treba obratiti posebnu pažnju na intervale za koje formule vrijede.

arcsin(sin x) = x at
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x at
cos(arccos x) = x

arktan(tg x) = x at
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x at
ctg(arcctg x) = x

Formule koje se odnose na inverzne trigonometrijske funkcije

Vidi također: Izvođenje formula za inverzne trigonometrijske funkcije

Formule zbira i razlike

na ili

at and

at and

na ili

at and

at and

at

at

at

at

at

at

at

at

at

at

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.

(kružne funkcije, lučne funkcije) - matematičke funkcije koje su inverzne trigonometrijskim funkcijama.

arc kosinus, inverzna funkcija prema cos (x = cos y), y = arccos x je definiran na i ima mnogo vrijednosti. Drugim riječima, vraća ugao po njegovoj vrijednosti cos.

arc kosinus(oznaka: arccos x; arccos x je ugao kojem je kosinus jednak x i tako dalje).

Funkcija y = cos x je kontinuirana i ograničena duž cijele svoje brojevne prave. Funkcija y = arccos x se striktno smanjuje.

Svojstva arcsin funkcije.

Dobivanje funkcije arccos.

Zadata funkcija y = cos x. U cijeloj svojoj domeni definicije, ona je po komadima monotona i, prema tome, inverzna korespondencija y = arccos x nije funkcija. Stoga ćemo razmotriti segment na kojem se strogo smanjuje i uzima sve svoje vrijednosti - . Na ovom segmentu y = cos x opada striktno monotono i uzima sve svoje vrijednosti samo jednom, što znači da na segmentu postoji inverzna funkcija y = arccos x, čiji je graf simetričan grafu y = cos x na relativno ravnom segmentu y = x.