Razmotrite poligon na koje oblike je podijeljen. Regularni poligon

Kako se zove poligon? Vrste poligona. POLIGON, ravna geometrijska figura sa tri ili više strana koje se seku u tri ili više tačaka (vrhova). Definicija. Poligon je geometrijska figura omeđena sa svih strana zatvorenom isprekidanom linijom, koja se sastoji od tri ili više segmenata (linka). Trougao je definitivno mnogougao. Poligon je figura koja ima pet ili više uglova.

Definicija. Četvorougao je ravna geometrijska figura koja se sastoji od četiri tačke (vrhova četvorougla) i četiri uzastopna segmenta koji ih povezuju (stranice četvorougla).

Pravougaonik je četvorougao sa svim pravim uglovima. Nazivaju se prema broju stranica ili vrhova: TROUGAO (trostrani); KVADAGON (četvorostrani); PENTAGON (petostrani) itd. U elementarnoj geometriji figurom se naziva figura omeđena ravnim linijama koje se nazivaju strane. Tačke u kojima se stranice sijeku nazivaju se vrhovi. Poligon ima više od tri ugla. Ovo je prihvaćeno ili dogovoreno.

Trougao je trougao. A četverokut također nije mnogokut i ne zove se četverokut - to je ili kvadrat, romb ili trapez. Činjenica da poligon sa tri strane i tri ugla ima svoj naziv "trougao" ne lišava ga statusa poligona.

Pogledajte šta je "POLIGON" u drugim rječnicima:

Saznajemo da je ova figura ograničena zatvorenom izlomljenom linijom, koja zauzvrat može biti jednostavna, zatvorena. Razgovarajmo o činjenici da poligoni mogu biti ravni, pravilni ili konveksni. Ko nije čuo za misteriozni Bermudski trougao, u kojem brodovi i avioni nestaju bez traga? Ali trokut, poznat nam iz djetinjstva, prepun je mnogo zanimljivih i tajanstvenih stvari.

Iako se, naravno, figura koja se sastoji od tri ugla također može smatrati poligonom

Ali to nije dovoljno za karakterizaciju figure. Izlomljena linija A1A2...An je figura koja se sastoji od tačaka A1,A2,...An i odsječaka A1A2, A2A3,... koji ih spajaju. Prosta zatvorena izlomljena linija naziva se poligon ako njene susjedne veze ne leže na istoj pravoj liniji (slika 5). Zamijenite određeni broj, na primjer 3, u riječ “poligon” umjesto dijela “mnogo” Dobićete trougao. Imajte na umu da, koliko god uglova ima, toliko je i stranica, pa bi se ove figure mogle nazvati polilateralima.

Neka je A1A2...A n dati konveksni poligon i n>3. Nacrtajmo dijagonale u njemu (iz jednog vrha)

Zbir uglova svakog trougla je 1800, a broj ovih trouglova n je 2. Dakle, zbir uglova konveksnog n - trougla A1A2...A n je 1800* (n - 2). Teorema je dokazana. Vanjski ugao konveksnog poligona u datom vrhu je ugao koji graniči sa unutrašnjim uglom poligona u ovom vrhu.

U četverokutu nacrtajte pravu liniju tako da je dijeli na tri trokuta

Četvorougao nikada nema tri vrha na istoj pravoj. Riječ "poligon" označava da sve figure u ovoj porodici imaju "mnogo uglova". Izlomljena linija se naziva jednostavnom ako nema samopresecanja (sl. 2, 3).

Dužina izlomljene linije je zbir dužina njenih karika (slika 4). U slučaju n=3 teorema je važeća. Dakle, kvadrat se može nazvati drugačije - pravilan četverougao. Takve figure već dugo zanimaju majstore koji su ukrašavali zgrade.

Broj vrhova jednak je broju strana. Polilinija se naziva zatvorenom ako joj se krajevi poklapaju. Oni prave predivni uzorci, na primjer na parketu. Naša petokraka zvijezda je pravilna petougaona zvijezda.

Ali ne mogu se svi pravilni poligoni koristiti za izradu parketa. Pogledajmo bliže dvije vrste poligona: trokut i četverokut. Poligon u kojem su svi unutrašnji uglovi jednaki naziva se pravilan. Poligoni se imenuju prema broju stranica ili vrhova.

U ovoj lekciji ćemo započeti novu temu i uvesti novi koncept za nas: „poligon“. Pogledat ćemo osnovne koncepte povezane s poligonima: stranice, uglovi vrhova, konveksnost i nekonveksnost. Onda ćemo dokazati najvažnije činjenice, kao što je teorema o zbiru unutrašnjih uglova poligona, teorema o zbiru vanjskih uglova poligona. Kao rezultat toga, približit ćemo se proučavanju posebnih slučajeva poligona, koji će biti razmatrani u daljnjim lekcijama.

Tema: Četvorouglovi

Lekcija: Poligoni

Na kursu geometrije proučavamo svojstva geometrijskih figura i već smo ispitali najjednostavnije od njih: trokute i krugove. Istovremeno, raspravljali smo i o specifičnim specijalnim slučajevima ovih figura, kao što su pravi, jednakokraki i pravilni trouglovi. Sada je vrijeme da razgovaramo o opštijim i složenijim brojkama - poligoni.

Sa posebnim slučajem poligoni već smo upoznati - ovo je trougao (vidi sliku 1).

Rice. 1. Trougao

Već sam naziv naglašava da se radi o figuri sa tri ugla. Stoga, u poligon može ih biti mnogo, tj. više od tri. Na primjer, nacrtajmo pentagon (vidi sliku 2), tj. figura sa pet uglova.

Rice. 2. Pentagon. Konveksni poligon

Definicija.Poligon- figura koja se sastoji od nekoliko tačaka (više od dvije) i odgovarajućeg broja segmenata koji ih uzastopno povezuju. Ove tačke se nazivaju vrhovi poligon, a segmenti su stranke. U ovom slučaju, dvije susjedne stranice ne leže na istoj pravoj liniji niti se dvije nesusjedne stranice ne seku.

Definicija.Regularni poligon je konveksan poligon u kojem su sve strane i uglovi jednaki.

Bilo koji poligon deli ravan na dve oblasti: unutrašnje i spoljašnje. Unutrašnja oblast se takođe naziva poligon.

Drugim riječima, na primjer, kada se govori o pentagonu, misli se i na čitavo njegovo unutrašnje područje i na njegovu granicu. A unutrašnja regija uključuje sve tačke koje leže unutar poligona, tj. tačka se takođe odnosi na petougao (vidi sliku 2).

Poligoni se ponekad nazivaju i n-uglovi kako bi se naglasilo da se razmatra opći slučaj prisustva nekog nepoznatog broja uglova (n komada).

Definicija. Perimetar poligona- zbir dužina stranica poligona.

Sada se trebamo upoznati sa vrstama poligona. Podijeljeni su na konveksan I nekonveksan. Na primjer, poligon prikazan na sl. 2 je konveksan, a na Sl. 3 nekonveksna.

Rice. 3. Nekonveksni poligon

Definicija 1. Poligon pozvao konveksan, ako se pri crtanju prave linije kroz bilo koju od njenih strana, cijeli poligon leži samo na jednoj strani ove prave linije. Nekonveksan su svi ostali poligoni.

Lako je zamisliti da kada produžite bilo koju stranu pentagona na Sl. 2 sve će biti na jednoj strani ove prave linije, tj. konveksan je. Ali kada crtate pravu liniju kroz četvorougao na sl. 3 već vidimo da ga dijeli na dva dijela, tj. nije konveksan.

Ali postoji još jedna definicija konveksnosti poligona.

Definicija 2. Poligon pozvao konveksan, ako pri odabiru bilo koje dvije njegove unutrašnje tačke i povezivanju sa segmentom, sve tačke segmenta su i unutrašnje tačke poligona.

Demonstracija upotrebe ove definicije može se vidjeti na primjeru konstruisanja segmenata na Sl. 2 i 3.

Definicija. Dijagonala poligona je svaki segment koji povezuje dva nesusedna vrha.

Da bismo opisali svojstva poligona, postoje dvije najvažnije teoreme o njihovim uglovima: teorema o zbiru unutrašnjih uglova konveksnog poligona I teorema o zbiru vanjskih uglova konveksnog poligona. Pogledajmo ih.

Teorema. O zbiru unutrašnjih uglova konveksnog mnogougla (n-gon).

Gdje je broj njegovih uglova (strana).

Dokaz 1. Predstavimo na Sl. 4 konveksan n-ugao.

Rice. 4. Konveksni n-ugao

Iz vrha povlačimo sve moguće dijagonale. Oni dijele n-ugao na trouglove, jer svaka strana poligona formira trougao, osim stranica koje se nalaze uz vrh. Sa slike je lako vidjeti da će zbir uglova svih ovih trouglova biti tačno jednak zbiru unutrašnjih uglova n-ugla. Budući da je zbir uglova bilo kojeg trokuta , tada je zbir unutrašnjih uglova n-ugla:

Q.E.D.

Dokaz 2. Moguć je još jedan dokaz ove teoreme. Nacrtajmo sličan n-ugao na Sl. 5 i povežite bilo koju njegovu unutrašnju tačku sa svim vrhovima.

Rice. 5.

Dobili smo podelu n-ugla na n trouglova (koliko je strana koliko trouglova). Zbir svih njihovih uglova jednak je zbiru unutrašnjih uglova poligona i zbiru uglova u unutrašnjoj tački, a to je ugao. Imamo:

Q.E.D.

Dokazan.

Prema dokazanoj teoremi, jasno je da zbir uglova n-ugla zavisi od broja njegovih stranica (na n). Na primjer, u trokutu, a zbroj uglova je . U četvorouglu, a zbir uglova je, itd.

Teorema. O zbiru vanjskih uglova konveksnog poligona (n-gon).

Gdje je broj njegovih uglova (strana), a , ..., su vanjski uglovi.

Dokaz. Predstavimo konveksni n-ugao na Sl. 6 i označiti njegove unutrašnje i vanjske uglove.

Rice. 6. Konveksni n-ugao sa naznačenim spoljnim uglovima

Jer Spoljašnji ugao je spojen sa unutrašnjim kao susjedni, dakle i slično za preostale vanjske uglove. onda:

Prilikom transformacija koristili smo već dokazanu teoremu o zbiru unutrašnjih uglova n-ugla.

Dokazan.

Iz dokazane teoreme slijedi zanimljiva činjenica, da je zbir vanjskih uglova konveksnog n-ugla jednak na broj njegovih uglova (strana). Usput, za razliku od zbira unutrašnjih uglova.

Bibliografija

1. Aleksandrov A.D. i dr. Geometrija, 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolov V.V. Geometrija, 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrija, 8. razred. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Zadaća

§ 1 Pojam trougla

U ovoj lekciji ćete se upoznati sa oblicima kao što su trokuti i poligoni.

Ako se tri tačke koje ne leže na istoj pravoj spoje segmentima, dobićete trougao. Trougao ima tri vrha i tri stranice.

Pred vama je trougao ABC, koji ima tri vrha (tačka A, tačka B i tačka C) i tri stranice (AB, AC i CB).

Usput, ove iste strane mogu se nazvati drugačije:

AB=BA, AC=SA, CB=BC.

Stranice trougla formiraju tri ugla u vrhovima trougla. Na slici vidite ugao A, ugao B, ugao C.

Dakle, trokut je geometrijska figura koju čine tri segmenta koji spajaju tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji.

§ 2 Pojam poligona i njegove vrste

Pored trouglova, postoje četvorouglovi, petouglovi, šestouglovi i tako dalje. Jednom riječju, mogu se nazvati poligonima.

Na slici vidite četverougao DMKE.

Tačke D, M, K i E su vrhovi četvorougla.

Segmenti DM, MK, KE, ED su stranice ovog četvorougla. Baš kao i u slučaju trougla, stranice četvorougla formiraju četiri ugla u vrhovima, kao što ste pogodili, otuda i naziv - četvorougao. Za ovaj četvorougao na slici vidite ugao D, ugao M, ugao K i ugao E.

Koje četvorouglove već znate?

Kvadrat i pravougaonik! Svaki od njih ima četiri ugla i četiri strane.

Druga vrsta poligona je pentagon.

Tačke O, P, X, Y, T su vrhovi petougla, a segmenti TO, OP, PX, XY, YT su stranice ovog pentagona. Pentagon ima pet uglova i pet stranica.

Šta mislite koliko uglova i koliko stranica ima šestougao? Tako je, šest! Rezonirajući na sličan način, možemo reći koliko strana, vrhova ili uglova ima određeni poligon. I možemo zaključiti da je i trougao mnogougao, koji ima tačno tri ugla, tri stranice i tri vrha.

Dakle, u ovoj lekciji ste se upoznali sa konceptima kao što su trokut i mnogokut. Saznali smo da trougao ima 3 vrha, 3 stranice i 3 ugla, četvorougao ima 4 temena, 4 stranice i 4 ugla, petougao ima 5 stranica, 5 vrhova, 5 uglova i tako dalje.

Spisak korišćene literature:

1. Matematika 5. razred. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. i dr. 31. izdanje, izbrisano. - M: 2013.
2. Didaktički materijali za matematiku 5. razred. Autor - Popov M.A. - 2013. godina
3. Računamo bez grešaka. Rad sa samotestiranjem iz matematike 5-6 razreda. Autor - Minaeva S.S. - 2014. godina
4. Didaktički materijali za matematiku 5. razred. Autori: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. Testovi i samostalni rad iz matematike 5. razred. Autori - Popov M.A. - 2012. godina
6. Matematika. 5. razred: obrazovni. za učenike opšteg obrazovanja. institucije / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009

Dio ravnine omeđen zatvorenom izlomljenom linijom naziva se poligon.

Segmenti ove izlomljene linije se nazivaju stranke poligon. AB, BC, CD, DE, EA (slika 1) su stranice mnogougla ABCDE. Zbir svih strana poligona naziva se njegovim perimetar.

Poligon se zove konveksan, ako se nalazi na jednoj strani bilo koje svoje strane, neograničeno produženo izvan oba vrha.

Poligon MNPKO (slika 1) neće biti konveksan, jer se nalazi na više od jedne strane prave KR.

Razmotrićemo samo konveksne poligone.

Uglovi koje formiraju dvije susjedne stranice poligona nazivaju se njegovim interni uglovi, a njihovi vrhovi su vrhovima poligona.

Pravi segment koji povezuje dva nesusedna vrha poligona naziva se dijagonala poligona.

AC, AD - dijagonale poligona (slika 2).

Uglovi susedni unutrašnjim uglovima poligona nazivaju se spoljašnji uglovi poligona (slika 3).

U zavisnosti od broja uglova (strana), poligon se naziva trougao, četvorougao, petougao itd.

Za dva poligona se kaže da su kongruentna ako se mogu spojiti preklapanjem.

Upisani i opisani poligoni

Ako svi vrhovi poligona leže na kružnici, tada se poligon naziva upisano u krug, a krug - opisano blizu poligona (sl.).

Ako su sve strane poligona tangente na kružnicu, tada se poligon naziva opisano o krugu, a krug se zove upisano u poligon (sl.).

Sličnost poligona

Dva poligona istog imena nazivaju se sličnima ako su uglovi jednog od njih jednaki uglovima drugog, a slične stranice poligona su proporcionalne.

Poligoni sa istim brojem strana (uglova) nazivaju se istoimeni poligoni.

Stranice sličnih poligona koje spajaju vrhove odgovarajućih jednakih uglova nazivaju se sličnim (sl.).

Dakle, na primjer, da bi poligon ABCDE bio sličan poligonu A'B'C'D'E', potrebno je da: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' i, pored toga, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Omjer perimetara sličnih poligona

Prvo, razmotrite svojstvo niza jednakih omjera. Neka, na primjer, imamo sljedeće omjere: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Nađimo zbir prethodnih članova ovih relacija, zatim zbir njihovih narednih članova i nađemo omjer rezultirajućih suma, dobićemo:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Dobićemo istu stvar ako uzmemo niz nekih drugih relacija, na primjer: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Nađimo zbir prethodnih članova ovih relacija i zbroja narednih, a zatim pronađemo omjer ovih suma, dobijamo:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

U oba slučaja, zbir prethodnih članova niza jednakih relacija odnosi se na zbir narednih članova istog niza, kao što se prethodni član bilo kojeg od ovih odnosa odnosi na njegov sljedeći.

Ovo svojstvo smo izveli razmatranjem brojnih primjera. Može se izvesti strogo i u opštem obliku.

Sada razmotrite omjer perimetara sličnih poligona.

Neka je poligon ABCDE sličan poligonu A’B’C’D’E’ (sl.).

Iz sličnosti ovih poligona slijedi da

AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’ = DE / D’E’ = EA / E’A’

Na osnovu svojstva koje smo izveli za niz jednakih omjera, možemo napisati:

Zbir prethodnih članova relacija koje smo uzeli predstavlja obim prvog poligona (P), a zbir narednih članova ovih relacija predstavlja perimetar drugog poligona (P'), što znači P / P ' = AB / A'B'.

dakle, Perimetri sličnih poligona su povezani sa njihovim sličnim stranicama.

Omjer površina sličnih poligona

Neka su ABCDE i A’B’C’D’E’ slični poligoni (slika).

Poznato je da su ΔAVS ~ ΔA'V'S' ΔACD ~ ΔA'C'D' i ΔADE ~ ΔA'D'E'.

osim toga,

;

Pošto su drugi odnosi ovih proporcija jednaki, što proizilazi iz sličnosti poligona, onda

Koristeći svojstvo niza jednakih omjera dobijamo:

Or

gdje su S i S' površine ovih sličnih poligona.

dakle, Površine sličnih poligona su povezane kao kvadrati sličnih stranica.

Rezultirajuća formula se može pretvoriti u ovaj oblik: S / S’ = (AB / A’B’) 2

Područje proizvoljnog poligona

Neka je potrebno izračunati površinu proizvoljnog četverougla ABC (Sl.).

Nacrtajmo dijagonalu u njemu, na primjer AD. Dobijamo dva trougla ABD i ACD čije površine možemo izračunati. Zatim nalazimo zbir površina ovih trouglova. Dobiveni zbroj će izraziti površinu ovog četverokuta.

Ako trebate izračunati površinu pentagona, onda radimo istu stvar: crtamo dijagonale iz jednog od vrhova. Dobijamo tri trougla čije površine možemo izračunati. To znači da možemo pronaći površinu ovog pentagona. Isto radimo kada izračunavamo površinu bilo kojeg poligona.

Projektovana površina poligona

Podsjetimo da je ugao između prave i ravni ugao između date prave i njene projekcije na ravan (sl.).

Teorema. Površina ortogonalne projekcije poligona na ravan jednaka je površini projektovanog poligona pomnoženoj sa kosinusom ugla koji formiraju ravnina poligona i ravnina projekcije.

Svaki poligon se može podijeliti na trokute čiji je zbir površina jednak površini poligona. Stoga je dovoljno dokazati teoremu za trokut.

Neka se ΔAVS projektuje na ravan R. Razmotrimo dva slučaja:

a) jedna od stranica ΔABC je paralelna sa ravninom R;

b) nijedna od stranica ΔABC nije paralelna R.

Hajde da razmotrimo prvi slučaj: neka [AB] || R.

Nacrtajmo ravan kroz (AB) R 1 || R i projektovati ortogonalno ΔAVS na R 1 i dalje R(pirinač.); dobijamo ΔAVS 1 i ΔA'V'S'.

Po svojstvu projekcije imamo ΔAVS 1 (cong) ΔA'V'S', pa prema tome

S Δ ABC1 = S Δ A’B’C’

Nacrtajmo ⊥ i segment D 1 C 1 . Tada je ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ vrijednost ugla između ravni ΔABC i ravnine R 1 . Zbog toga

S Δ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

i stoga S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.

Idemo dalje na razmatranje drugi slučaj. Hajde da nacrtamo avion R 1 || R kroz taj vrh ΔAVS, udaljenost od koje do ravni R najmanji (neka je ovo vrh A).

Projektujmo ΔAVS na ravan R 1 i R(pirinač.); neka su njegove projekcije ΔAV 1 S 1 i ΔA'V'S', respektivno.

Neka (BC) ∩ str 1 = D. Onda

S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Ostali materijali