Šta znači višestruke vrijednosti funkcija? Raspon funkcija (skup vrijednosti funkcije)

y = x 3

y =| x|

y =

E( y) = [- 1, 1]

E( y) = (– ∞, + ∞)

E( y) = (– ∞, + ∞)

E( y) = (– ∞, + ∞)

E( y) = (0, + ∞)

Uvođenje algoritma za rješavanje problema nalaženja skupa vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Pogledajmo kako možemo primijeniti naše postojeće iskustvo na različite zadatke uključene u opcije objedinjenog ispita.

1. Pronalaženje vrijednosti funkcija za datu vrijednost argumenta.

Primjer. Pronađite vrijednost funkcije y = 2 cos(π/2+ π/4 ) – 1, Ako x = -π/2.

Rješenje.

= –
– 1.

2. Pronalaženje raspona vrijednosti trigonometrijskih funkcija


Rješenje.

1≤ grijehX≤ 1

2 ≤ 2 grijehX≤ 2

9 ≤ 11+2grijehX≤ 13

3 ≤
+2∙ grijeh x ≤
, tj. E (y) = .

Zapišimo cjelobrojne vrijednosti funkcije na intervalu. Ovo je broj 3.

Odgovor: 3.

• 
  Pronađite skup vrijednosti funkcije at= greh 2 X+6sin X + 10.

• 
  Pronađite skup vrijednosti funkcije: at = grijeh 2 X - 6 grijeh x + 8 . (na svoju ruku)

at= grijeh 2 X- 2 3 grijehx + 3 2 - 3 2 + 8,

at= (grijehX- 3) 2 -1.

E ( grijehX) = [-1;1];

E ( grijehX -3) = [-4;-2];

E ( grijehX -3) 2 = ;

E ( at) = .

Odgovor: .

• 
  Pronađite najmanju vrijednost funkcije at= cos 2 x+ 2sin x – 2.

Možemo li pronaći skup vrijednosti ove funkcije? (ne)

Šta treba učiniti? (Smanjenje na jednu funkciju.)

Kako uraditi? (Koristite formulu cos 2 x= 1-greh 2 x.)

dakle, at= 1-greh 2 x+ 2sin x –2,

y= -sin 2 x+ 2sin x –1,

at= -(grijeh x –1) 2 .

Pa, sada možemo pronaći skup vrijednosti i odabrati najmanji.

1 ≤ sin x ≤ 1,

2 ≤ sin x – 1 ≤ 0,

0 ≤ (greh x – 1) 2 ≤ 4,

4 ≤ -(sin x -1) 2 ≤ 0.

To znači da je najmanja vrijednost funkcije at ime= –4. Odgovor: -4.

• 
  Pronađite proizvod najveće i najmanje vrijednosti funkcije

Rješenje.

at= 1-cos 2 x+cos x + 1,5,

at= -cos 2 x+ 2∙0,5∙cos x - 0,25 + 2,75,

at= -(cos x- 0,5) 2 + 2,75.

E(cos x) = [-1;1],

E(cos x – 0,5) = [-1,5;0,5],

E(cos x – 0,5) 2 = ,

E(-(cos x-0,5) 2) = [-2,25;0],

E( at) = .

Najveća vrijednost funkcije at naib= 2,75; najmanju vrijednost at ime= 0,5. Nađimo proizvod najveće i najmanje vrijednosti funkcije:

at naib ∙at ime = 0,5∙2,75 = 1,375.

Odgovor: 1.375.

Prepišimo funkciju u formu at =,

at =
,

Nađimo sada skup vrijednosti funkcije.

E(greh x) = [-1, 1],

E(6sin x) = [-6, 6],

E(6sin x + 1) = [-5, 7],

E((6sin x + 1) 2) = ,

E(– (6sin x + 1) 2) = [-49, 0],

E(– (6sin x + 1) 2 + 64) = ,

E( y) = [
, 8].

Nađimo zbroj cjelobrojnih vrijednosti funkcije: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30.

Odgovor: 30.

1)
to je X pripada prvom kvartalu.

2)

Stoga 2 X pripadaju drugoj četvrtini.

3) U drugom tromjesečju, sinusna funkcija opada i kontinuirana je. To znači da je ova funkcija
preuzima sve vrijednosti iz
prije

4) Izračunajmo ove vrijednosti:

Odgovori :
.

1) Pošto sinus uzima vrijednosti od -1 do 1, onda je skup vrijednosti razlike
. Kada se pomnoži sa
ovaj segment će ući u segment
.

2) Ark kosinus je monotono opadajuća i kontinuirana funkcija. To znači da je skup vrijednosti izraza segment
.

3) Prilikom množenja ovog segmenta sa dobijamo
.

odgovor:
.

Pošto je arktangens rastuća funkcija, onda
.

2) Prilikom povećanja X od
prije argument 2 X povećava od
prije . Budući da se sinus povećava u takvom intervalu, funkcija
preuzima vrijednosti iz
do 1.

3) Prilikom povećanja od prije
argument 2 X povećava od prije
. Budući da se sinus smanjuje na takvom intervalu, funkcija
preuzima vrijednosti iz
do 1.

4) Koristeći formulu koja izražava sinus kroz tangentu pola ugla, nalazimo da

.

To znači da je željeni skup vrijednosti unija segmenata
I
, odnosno segment
.

odgovor:
.
Ova tehnika (Uvođenje pomoćnog ugla) koristi se za pronalaženje skupa vrijednosti funkcija oblika

at= a sin x + b cos x ili at= grijeh (Rx) + b cos (Rx).

• 
  Pronađite skup vrijednosti funkcije

Rješenje.

Hajde da nađemo vrednost
=
= 25.

Hajde da transformišemo izraz

15 sin 2x + 20 cos 2x = 25 (
) = 25 () =

25 sin (2x + ), gdje je cos = , sin =.

Skup vrijednosti funkcije y = sin (2x + ): -1 sin (2x + ) 1.

Tada je skup vrijednosti originalne funkcije -25 25 sin (2x + ) 25.

Odgovori: [-25; 25].
3. Zadaci nalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije na intervalu.

• 
  Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije at= stg X na segmentu [π/4; π/2].

Funkcija at= stg X opada na intervalu [π/4; π/2], dakle, funkcija će uzeti najmanju vrijednost kada x =π/2, tj at(π/2) = stg π/2 = 0; a najveća vrijednost je na x=π/4, tj at(π/4) = stg π/4 = 1.

Odgovor: 1, 0.

Odaberimo u jednakosti
cijeli dio: .

Iz toga slijedi da je graf funkcije f(x) ili hiperbola (a≠ 0) ili prava linija bez tačke.

Štaviše, ako a; 2a) i (2a;
) i, ako je a > 0, monotono raste na ovim zracima.

Ako je a = 0, onda je f(x) = -2 u cijelom domenu definicije x ≠ 0. Stoga je očigledno da tražene vrijednosti parametra nisu jednake nuli.

Pošto nas zanimaju vrijednosti funkcije samo na intervalu [-1; 1], onda je klasifikacija situacija određena činjenicom da se asimptota x = 2a hiperbole (a≠0) nalazi u odnosu na ovaj segment.

Slučaj 1. Sve tačke u intervalu [-1; 1] su desno od vertikalne asimptote x = 2a, odnosno kada je 2a

Slučaj 2. Vertikalna asimptota prelazi interval [-1; 1], a funkcija se smanjuje (kao u slučaju 1), odnosno kada

Slučaj 3. Vertikalna asimptota prelazi interval [-1; 1] i funkcija raste, odnosno -1

.

Slučaj 4. Sve tačke u intervalu [-1; 1] su lijevo od vertikalne asimptote, odnosno 1 a > . i drugo
Tehnika 4 . Izražavanje x kroz y. (Traženje domene inverzne funkcije)

Prijem 5. Pojednostavljenje formule za definiranje frakciono-racionalne funkcije

Prijem 6. Pronalaženje više vrijednosti kvadratne funkcije(nalaženjem vrha parabole i utvrđivanjem ponašanja njenih grana).

Prijem 7. Uvođenje pomoćnog kuta za pronalaženje skupa vrijednosti nekih trigonometrijskih funkcija.

Stranica 1

Zavisnost jedne varijable od druge se naziva funkcionalna zavisnost. Varijabla zavisnosti y iz varijable x pozvao funkcija, ako je svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y.

Oznaka:

Varijabilna x naziva se nezavisna varijabla ili argument, i varijabla y- zavisna. Kažu to y je funkcija od x. Značenje y, što odgovara navedenoj vrijednosti x, zvao vrijednost funkcije.

Sve vrednosti koje prihvata x, obrazac domenu funkcije; sve vrednosti koje uzima y, obrazac skup vrijednosti funkcije.

Oznake:

D(f)- vrijednosti argumenata. E(f)- vrijednosti funkcije. Ako je funkcija data formulom, onda se smatra da se domen definicije sastoji od svih vrijednosti varijable za koje ova formula ima smisla.

Funkcijski graf je skup svih tačaka na koordinatnoj ravni čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a čije su ordinate jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije. Ako neka vrijednost x=x 0 odgovara više vrijednosti (ne samo jednoj) y, onda takva korespondencija nije funkcija. Da bi skup tačaka na koordinatnoj ravni bio graf određene funkcije, potrebno je i dovoljno da se svaka prava linija paralelna sa Oy osi siječe sa grafikom u najviše jednoj tački.

Metode za određivanje funkcije

1) Funkcija se može podesiti analitički u obliku formule. Na primjer,

2) Funkcija se može specificirati pomoću tabele sa više parova (x; y).

3) Funkcija se može specificirati grafički. Parovi vrijednosti (x; y) su prikazani na koordinatnoj ravni.

Monotonost funkcije

Funkcija f(x) pozvao povećanje na datom numeričkom intervalu, ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije. Zamislite da se određena tačka kreće duž grafika s lijeva na desno. Tada će se činiti da se tačka "penje" na grafikonu.

Funkcija f(x) pozvao opadajući na datom numeričkom intervalu, ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije. Zamislite da se određena tačka kreće duž grafika s lijeva na desno. Tada će se činiti da se tačka "kotrlja" niz grafikon.

Poziva se funkcija koja se samo povećava ili smanjuje u datom numeričkom intervalu monotono na ovom intervalu.

Nule funkcije i intervali predznaka konstante

Vrijednosti X, pri čemu y=0, zvao nule funkcije. Ovo su apscise tačaka preseka grafa funkcije sa Ox osom.

Takvi rasponi vrijednosti x, na kojem se vrijednost funkcije y nazivaju se samo pozitivni ili samo negativni intervali konstantnog predznaka funkcije.

Parne i neparne funkcije

Ravnomjerna funkcija
1) Domen definicije je simetričan u odnosu na tačku (0; 0), odnosno ako je tačka a pripada domenu definicije, zatim tačka -a takođe pripada domenu definicije.
2) Za bilo koju vrijednost x f(-x)=f(x)
3) Grafikon parne funkcije je simetričan oko ose Oy.

Neparna funkcija ima sljedeća svojstva:
1) Područje definicije je simetrično u odnosu na tačku (0; 0).
2) za bilo koju vrijednost x, koji pripada domenu definicije, jednakosti f(-x)=-f(x)
3) Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (0; 0).

Nije svaka funkcija parna ili neparna. Funkcije opšti pogled nisu ni parni ni neparni.

Periodične funkcije

Funkcija f se naziva periodičnim ako postoji broj takav da za bilo koji x iz domena definicije jednakost f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je period funkcije.

Svaka periodična funkcija ima beskonačan broj perioda. U praksi se obično uzima u obzir najmanji pozitivni period.

Vrijednosti periodične funkcije se ponavljaju nakon intervala jednakog periodu. Ovo se koristi prilikom konstruisanja grafova.

D(f)- one vrijednosti koje argument može poprimiti, tj. domenu funkcije.

E(f)- one vrijednosti koje funkcija može poprimiti, tj. skup vrijednosti funkcije.

Metode za pronalaženje opsega funkcija.

sekvencijalno pronalaženje vrijednosti složenih argumenata funkcije;

procjena/granična metoda;

korištenje svojstava kontinuiteta i monotonosti funkcije;

upotreba derivata;

korištenje najveće i najmanje vrijednosti funkcije;

grafička metoda;

metoda unosa parametara;

metoda inverzne funkcije.

Pogledajmo neke od njih.

Korištenje derivata

Opšti pristup pronalaženje skupa vrijednosti neprekidne funkcije f(x) sastoji se od pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije f(x) u njenoj domeni (ili dokazivanja da jedna ili obje ne postoje).

U slučaju da trebate pronaći skupove vrijednosti funkcije na segmentu:

naći derivaciju date funkcije f "(x);

pronaći kritične tačke funkcije f(x) i odabrati one koje pripadaju ovom segmentu;

izračunati vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i na odabranim kritičnim tačkama;

među pronađenim vrijednostima odaberite najmanju i najveću vrijednost;

Skup vrijednosti funkcije je zatvoren između ovih vrijednosti.

Ako je domena funkcije interval, tada se koristi ista shema, ali umjesto vrijednosti na krajevima, koriste se granice funkcije jer argument teži krajevima intervala. Granične vrijednosti od nisu uključene u skup vrijednosti.

Metoda granica/rezultata

Da biste pronašli skup vrijednosti funkcije, prvo pronađite skup vrijednosti argumenata, a zatim pronađite odgovarajuću najmanju i najveću vrijednost funkcije funkcije. Koristeći nejednakosti, određuju se granice.

Suština je procijeniti kontinuiranu funkciju odozdo i odozgo i dokazati da funkcija doseže donju i gornju granicu procjena. U ovom slučaju, podudarnost skupa vrijednosti funkcije s intervalom od donje granice procjene do gornje određena je kontinuitetom funkcije i odsustvom drugih vrijednosti za nju.

Svojstva kontinuirane funkcije

Druga opcija je transformacija funkcije u kontinuiranu monotonu, a zatim se pomoću svojstava nejednakosti procjenjuje skup vrijednosti novodobivene funkcije.

Sekvencionalno pronalaženje vrijednosti složenih argumenata funkcije

Zasnovano na sekvencijalnom traženju skupa vrijednosti međufunkcija od kojih je funkcija sastavljena

Rasponi vrijednosti osnovnih elementarnih funkcija

Primjeri

Pronađite skup vrijednosti funkcije:

Korištenje derivata

Nalazimo domen definicije: D(f)=[-3;3], jer $9-x^(2)\geq 0$

Pronađite izvod: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$

f"(x) = 0 ako je x = 0. f"(x) ne postoji ako je $\sqrt(9-x^(2))=0$, odnosno za x = ±3. Dobijamo tri kritične tačke: x 1 = –3, x 2 = 0, x 3 = 3, od kojih se dvije poklapaju sa krajevima segmenta. Izračunajmo: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Dakle, najmanja vrijednost f(x) je 0, najveća vrijednost je 3.

Odgovor: E(f) = .

NE koristim derivat

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije:

Od $
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , tada:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ za sve x;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ za sve x(od $|\cos (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Odgovor: $\frac(3)(4)$ i $-\frac(3)(2)$

Ako ovaj problem riješite pomoću izvoda, morat ćete savladati prepreke vezane za činjenicu da funkcija f(x) nije definirana na segmentu, već na cijeloj brojevnoj pravoj.

Korištenje metode granica/procjena

Iz definicije sinusa slijedi, $-1\leq\sin(x)\leq 1$. Zatim ćemo koristiti svojstva numeričkih nejednačina.

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (pomnožiti sva tri dijela dvostruke nejednakosti sa -4);

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (dodato na tri dijela dvostruke nejednakosti 5);

Budući da je ova funkcija kontinuirana u cijeloj domeni definicije, skup njenih vrijednosti je sadržan između njene najmanje i najveće vrijednosti u cijeloj domeni definicije, ako postoji.

U ovom slučaju, skup vrijednosti funkcije $y = 5 - 4\sin(x)$ je skup .

Iz nejednačina $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ dobijamo procjenu $$\\ -6\leq y\ leq 6$ $

Kod x = p i x = 0, funkcija poprima vrijednosti -6 i 6, tj. dostiže donju i gornju granicu procjene. Kao linearna kombinacija neprekidnih funkcija cos(7x) i cos(x), funkcija y je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, stoga, po svojstvu kontinuirane funkcije, uzima sve vrijednosti od -6 do 6 uključujući , i samo njih, pošto su zbog nejednakosti $- 6\leq y\leq 6$ njegove druge vrijednosti nemoguće.

Dakle, E(y) = [-6;6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Odgovor: E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Transformirajmo izraz $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ( (\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \desno)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2 )) \desno) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\ pi) (4)) $$.

Iz definicije kosinusa slijedi $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Budući da je ova funkcija kontinuirana u cijelom domenu definicije, skup njenih vrijednosti leži između njene najmanje i najveće vrijednosti, ako ih ima, skupa vrijednosti funkcije $y =\sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ je skup $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

Označimo $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, gdje je -∞≤t≤4. Dakle, problem se svodi na pronalaženje skupa vrijednosti funkcije $y = \log_(0,5)(t)$ na zraku (-∞;4). Budući da je funkcija $y = \log_(0,5)(t)$ definirana samo za t > 0, tada se njen skup vrijednosti na zraku (-∞;4) poklapa sa skupom vrijednosti funkcije na intervalu (0;4), predstavlja presek zraka (-∞;4) sa domenom definicije (0;+∞) logaritamske funkcije. Na intervalu (0;4) ova funkcija je kontinuirana i opadajuća. Pri t > 0 teži +∞, a pri t = 4 poprima vrijednost -2, pa je E(y) = (-2, +∞).

Koristimo tehniku ​​zasnovanu na grafičkom prikazu funkcije.

Nakon transformacije funkcije imamo: y 2 + x 2 = 25, i y ≥ 0, |x| ≤ 5.

Treba podsjetiti da je $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ jednadžba kružnice polumjera r.

Pod ovim ograničenjima, grafik ove jednačine je gornji polukrug sa centrom u početnoj fazi i poluprečnikom jednakim 5. Očigledno, E(y) = .

Odgovor: E(y) = .

Reference

Raspon funkcija u Problemi objedinjenog državnog ispita, Minyuk Irina Borisovna

Savjeti za pronalaženje skupa vrijednosti funkcije, Belyaeva I., Fedorova S.

Pronalaženje skupa vrijednosti funkcije

Kako rješavati zadatke iz matematike na prijemnim ispitima, I.I.Melnikov, I.N.Sergeev

Funkcija je model. Definirajmo X kao skup vrijednosti nezavisne varijable // nezavisna znači bilo koja.

Funkcija je pravilo uz pomoć kojeg se za svaku vrijednost nezavisne varijable iz skupa X može pronaći jedinstvena vrijednost zavisne varijable. // tj. za svaki x postoji jedno y.

Iz definicije proizilazi da postoje dva pojma - nezavisna varijabla (koju označavamo sa x i može uzeti bilo koju vrijednost) i zavisna varijabla (koju označavamo sa y ili f (x) i ona se izračunava iz funkcije kada zamjenjujemo x).

NA PRIMJER y=5+x

1. Nezavisno je x, što znači da uzimamo bilo koju vrijednost, neka je x=3

2. Sada izračunajmo y, što znači y=5+x=5+3=8. (y zavisi od x, jer god x da zamenimo, dobijamo isto y)

Kaže se da varijabla y funkcionalno zavisi od varijable x i označava se na sljedeći način: y = f (x).

NA PRIMJER.

1.y=1/x. (nazvana hiperbola)

2. y=x^2. (naziva se parabola)

3.y=3x+7. (naziva se prava linija)

4. y= √ x. (naziva se parabola grana)

Nezavisna varijabla (koju označavamo sa x) naziva se argument funkcije.

Funkcija domena

Skup svih vrijednosti koje argument funkcije uzima naziva se domenom funkcije i označava se D(f) ili D(y).

Uzmimo D(y) za 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) i (0;+∞) //cijeli skup realnih brojeva osim nule.

2. D (y)= (∞; +∞)//svi broj realnih brojeva

3. D (y)= (∞; +∞)//svi broj realnih brojeva

4. D (y)= )