Kako odrediti skup vrijednosti funkcije. Raspon funkcija u problemima USE
Zavisnost jedne varijable od druge se naziva funkcionalna zavisnost. Varijabla zavisnosti y iz varijable x pozvao funkcija, ako je svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y.
Oznaka:
Varijabilna x naziva se nezavisna varijabla ili argument, i varijabla y- zavisna. Kažu to y je funkcija od x. Značenje y, što odgovara navedenoj vrijednosti x, zvao vrijednost funkcije.
Sve vrednosti koje prihvata x, obrazac domenu funkcije; sve vrednosti koje uzima y, obrazac skup vrijednosti funkcije.
Oznake: 
D(f)- vrijednosti argumenata. E(f)- vrijednosti funkcije. Ako je funkcija data formulom, onda se smatra da se domen definicije sastoji od svih vrijednosti varijable za koje ova formula ima smisla.
Funkcijski graf je skup svih tačaka na koordinatnoj ravni čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a čije su ordinate jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije. Ako neka vrijednost x=x 0 odgovara više vrijednosti (ne samo jednoj) y, onda takva korespondencija nije funkcija. Da bi skup tačaka na koordinatnoj ravni bio grafik određene funkcije, potrebno je i dovoljno da se svaka prava linija paralelna sa Oy osi siječe sa grafikom u najviše jednoj tački.
Metode za određivanje funkcije
1) Funkcija se može podesiti analitički u obliku formule. Na primjer, 
2) Funkcija se može specificirati pomoću tabele sa više parova (x; y).
3) Funkcija se može specificirati grafički. Parovi vrijednosti (x; y) su prikazani na koordinatnoj ravni.
Monotonost funkcije
Funkcija f(x) pozvao povećanje na datom numeričkom intervalu, ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije. Zamislite da se određena tačka kreće duž grafika s lijeva na desno. Tada će se činiti da se tačka "penje" na grafikonu.
Funkcija f(x) pozvao opadajući na datom numeričkom intervalu, ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije. Zamislite da se određena tačka kreće duž grafika s lijeva na desno. Tada će se činiti da se tačka "kotrlja" niz grafikon.
Poziva se funkcija koja se samo povećava ili smanjuje u datom numeričkom intervalu monotono na ovom intervalu.
Nule funkcije i intervali predznaka konstante
Vrijednosti X, pri čemu y=0, zvao nule funkcije. Ovo su apscise tačaka preseka grafa funkcije sa Ox osom.
Takvi rasponi vrijednosti x, na kojem se vrijednost funkcije y nazivaju se samo pozitivni ili samo negativni intervali konstantnog predznaka funkcije.
Parne i neparne funkcije
Ravnomjerna funkcija
1) Domen definicije je simetričan u odnosu na tačku (0; 0), odnosno ako je tačka a pripada domenu definicije, zatim tačka -a takođe pripada domenu definicije.
2) Za bilo koju vrijednost x f(-x)=f(x)
3) Grafikon parne funkcije je simetričan oko ose Oy.
Neparna funkcija ima sljedeća svojstva:
1) Područje definicije je simetrično u odnosu na tačku (0; 0).
2) za bilo koju vrijednost x, koji pripada domenu definicije, jednakosti f(-x)=-f(x)
3) Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (0; 0).
Nije svaka funkcija parna ili neparna. Funkcije opšti pogled nisu ni parni ni neparni.
Periodične funkcije
Funkcija f se naziva periodičnim ako postoji broj takav da za bilo koji x iz domena definicije jednakost f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je period funkcije.
Svaka periodična funkcija ima beskonačan broj perioda. U praksi se obično uzima u obzir najmanji pozitivni period.
Vrijednosti periodične funkcije se ponavljaju nakon intervala jednakog periodu. Ovo se koristi prilikom konstruisanja grafova.
Često, kao dio rješavanja problema, moramo tražiti mnoge vrijednosti funkcije u domeni definicije ili segmentu. Na primjer, to treba učiniti prilikom rješavanja različite vrste nejednakosti, evaluacije izraza itd.
Kao dio ovog materijala, reći ćemo vam koji je raspon vrijednosti funkcije, dati glavne metode pomoću kojih se može izračunati i analizirati probleme različitim stepenima teškoće. Radi jasnoće, pojedinačne odredbe su ilustrovane grafikonima. Nakon čitanja ovog članka, dobit ćete sveobuhvatno razumijevanje raspona funkcije.
Počnimo s osnovnim definicijama.
Definicija 1
Skup vrijednosti funkcije y = f (x) na određenom intervalu x je skup svih vrijednosti koje ova funkcija preuzima prilikom iteracije preko svih vrijednosti x ∈ X.
Definicija 2
Raspon vrijednosti funkcije y = f (x) je skup svih njenih vrijednosti koje ona može uzeti kada pretražuje vrijednosti x iz raspona x ∈ (f).
Raspon vrijednosti određene funkcije obično se označava sa E (f).
Imajte na umu da koncept skupa vrijednosti funkcije nije uvijek identičan njenom rasponu vrijednosti. Ovi koncepti će biti ekvivalentni samo ako se interval vrijednosti x pri pronalaženju skupa vrijednosti poklapa s domenom definicije funkcije.
Također je važno napraviti razliku između raspona vrijednosti i raspona prihvatljivih vrijednosti varijable x za izraz na desnoj strani y = f (x). Raspon dozvoljenih vrijednosti x za izraz f (x) bit će domen definicije ove funkcije.
Ispod je ilustracija koja prikazuje neke primjere. Plave linije su funkcionalni grafovi, crvene linije su asimptote, crvene tačke i linije na osi ordinata su rasponi funkcija.
Očigledno, raspon vrijednosti funkcije može se dobiti projektiranjem grafa funkcije na O y os. Štaviše, može predstavljati ili jedan broj ili skup brojeva, segment, interval, otvoreni zrak, uniju numeričkih intervala, itd.
Pogledajmo glavne načine za pronalaženje raspona vrijednosti funkcije.
Počnimo s definiranjem skupa vrijednosti kontinuirane funkcije y = f (x) na određenom segmentu označenom s [ a ; b ] . Znamo da funkcija koja je kontinuirana na određenom segmentu dostiže svoj minimum i maksimum na njemu, odnosno najveći m a x x ∈ a ; b f (x) i najmanju vrijednost m i n x ∈ a ; b f (x) . To znači da dobijamo segment m i n x ∈ a ; bf(x); m a x x ∈ a ; b f (x) , koji će sadržavati skupove vrijednosti originalne funkcije. Zatim sve što treba da uradimo je da pronađemo naznačene minimalne i maksimalne tačke na ovom segmentu.
Uzmimo problem u kojem trebamo odrediti raspon arcsinusnih vrijednosti.
Primjer 1
Stanje: pronađite raspon vrijednosti y = a r c sin x .
Rješenje
U opštem slučaju, domen definicije arksinusa nalazi se na segmentu [ - 1 ; 1 ] . Moramo odrediti najveću i najmanju vrijednost navedene funkcije na njoj.
y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2
Znamo da će izvod funkcije biti pozitivan za sve vrijednosti x koje se nalaze u intervalu [-1; 1 ], odnosno, u cijelom domenu definicije, funkcija arcsinusa će se povećavati. To znači da će imati najmanju vrijednost kada je x jednako - 1, a najveća vrijednost kada je x jednako 1.
m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2
Dakle, raspon vrijednosti funkcije arcsinusa bit će jednak E (a r c sin x) = - π 2; π 2.
odgovor: E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2
Primjer 2
Stanje: izračunajte raspon vrijednosti y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 na datom intervalu [ 1 ; 4 ] .
Rješenje
Sve što treba da uradimo je da izračunamo najveću i najmanju vrednost funkcije u datom intervalu.
Da bi se odredile tačke ekstrema, potrebno je izvršiti sljedeće proračune:
y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 i l i 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ; 4 x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2. 59 ∈ 1 ; 4
Sada pronađimo vrijednosti date funkcije na krajevima segmenta i tačkama x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:
y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 ≈ 512 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32
To znači da će skup vrijednosti funkcije biti određen segmentom 117 - 165 33 512; 32.
odgovor: 117 - 165 33 512 ; 32 .
Pređimo na pronalaženje skupa vrijednosti kontinuirane funkcije y = f (x) u intervalima (a ; b) i a ; + ∞ , - ∞ ; b , - ∞ ; + ∞ .
Počnimo određivanjem najveće i najmanje tačke, kao i intervala povećanja i smanjenja na datom intervalu. Nakon toga, morat ćemo izračunati jednostrane granice na krajevima intervala i/ili granice na beskonačnosti. Drugim riječima, potrebno je odrediti ponašanje funkcije pod datim uvjetima. Za to imamo sve potrebne podatke.
Primjer 3
Stanje: izračunajte opseg funkcije y = 1 x 2 - 4 na intervalu (- 2 ; 2) .
Rješenje
Odredite najveću i najmanju vrijednost funkcije na datom segmentu
y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)
Dobili smo maksimalnu vrijednost jednaku 0, jer se u tom trenutku mijenja predznak funkcije i graf počinje opadati. Pogledajte ilustraciju:
To jest, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 će biti maksimalne vrijednosti funkcije.
Sada odredimo ponašanje funkcije za x koji teži - 2 na desnoj strani i + 2 na lijevoj strani. Drugim riječima, nalazimo jednostrane granice:
lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞
Ispada da će se vrijednosti funkcije povećati sa minus beskonačnosti na - 1 4 kada se argument promijeni sa - 2 na 0. A kada se argument promijeni sa 0 na 2, vrijednosti funkcije se smanjuju prema minus beskonačnosti. Shodno tome, skup vrijednosti date funkcije na intervalu koji nam je potreban bit će (- ∞ ; - 1 4 ] .
odgovor: (- ∞ ; - 1 4 ] .
Primjer 4
Stanje: označava skup vrijednosti y = t g x na datom intervalu - π 2; π 2.
Rješenje
Znamo da je u opštem slučaju derivacija tangente - π 2; π 2 će biti pozitivan, odnosno funkcija će se povećati. Sada odredimo kako se funkcija ponaša unutar datih granica:
lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞
Dobili smo povećanje vrijednosti funkcije od minus beskonačno do plus beskonačno kada se argument promijeni sa - π 2 na π 2, i možemo reći da će skup rješenja ove funkcije biti skup svih realnih brojeva .
odgovor: - ∞ ; + ∞ .
Primjer 5
Stanje: odrediti opseg funkcije prirodnog logaritma y = ln x.
Rješenje
Znamo da je ova funkcija definirana za pozitivne vrijednosti argumenta D (y) = 0; + ∞ . Izvod na datom intervalu će biti pozitivan: y " = ln x " = 1 x . To znači da se funkcija na njemu povećava. Zatim moramo definirati jednostrano ograničenje za slučaj kada argument teži 0 (na desnoj strani) i kada x ide u beskonačnost:
lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞
Otkrili smo da će se vrijednosti funkcije povećati od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti kako se vrijednosti x mijenjaju od nule do plus beskonačnosti. To znači da je skup svih realnih brojeva raspon vrijednosti funkcije prirodnog logaritma.
odgovor: skup svih realnih brojeva je raspon vrijednosti funkcije prirodnog logaritma.
Primjer 6
Stanje: odrediti opseg funkcije y = 9 x 2 + 1 .
Rješenje
Ova funkcija je definirana pod uvjetom da je x realan broj. Izračunajmo najveću i najmanju vrijednost funkcije, kao i intervale njenog povećanja i smanjenja:
y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
Kao rezultat, utvrdili smo da će se ova funkcija smanjiti ako je x ≥ 0; povećati ako je x ≤ 0 ; ima maksimalnu tačku y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 sa promenljivom jednakom 0.
Pogledajmo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti:
lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0
Iz zapisa je jasno da će se vrijednosti funkcije u ovom slučaju asimptotski približiti 0.
Da rezimiramo: kada se argument promijeni sa minus beskonačnosti na nulu, vrijednosti funkcije se povećavaju od 0 do 9. Kada se vrijednosti argumenata promijene od 0 do plus beskonačnost, odgovarajuće vrijednosti funkcije će se smanjiti sa 9 na 0. To smo pokazali na slici:
Pokazuje da će raspon vrijednosti funkcije biti interval E (y) = (0 ; 9 ]
odgovor: E (y) = (0 ; 9 ]
Ako trebamo odrediti skup vrijednosti funkcije y = f (x) na intervalima [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , tada ćemo morati provesti potpuno ista istraživanja. Za sada nećemo analizirati ove slučajeve: naići ćemo na njih kasnije u probleme.
Ali šta ako je domen definicije određene funkcije unija nekoliko intervala? Zatim moramo izračunati skupove vrijednosti na svakom od ovih intervala i kombinirati ih.
Primjer 7
Stanje: odrediti koji će raspon vrijednosti biti y = x x - 2.
Rješenje
Pošto nazivnik funkcije ne treba okrenuti na 0, onda je D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + ∞ .
Počnimo s definiranjem skupa vrijednosti funkcije na prvom segmentu - ∞; 2, koja je otvorena greda. Znamo da će se funkcija na njemu smanjiti, odnosno da će derivacija ove funkcije biti negativna.
lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0
Zatim, u slučajevima kada se argument mijenja prema minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije će se asimptotski približiti 1. Ako se vrijednosti x promijene sa minus beskonačnost na 2, tada će se vrijednosti smanjiti sa 1 na minus beskonačnost, tj. funkcija na ovom segmentu će uzeti vrijednosti iz intervala - ∞; 1 . Jedinstvo isključujemo iz naših razmatranja, budući da joj vrijednosti funkcije ne dosežu, već joj se samo asimptotski približavaju.
Za otvorenu gredu 2; + ∞ izvodimo potpuno iste radnje. Funkcija na njemu se također smanjuje:
lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0
Vrijednosti funkcije na datom segmentu određene su skupom 1; + ∞ . To znači da će raspon vrijednosti koje nam treba za funkciju navedenu u uvjetu biti unija skupova - ∞ ; 1 i 1; + ∞ .
odgovor: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .
To se može vidjeti na grafikonu:
Poseban slučaj su periodične funkcije. Njihov raspon vrijednosti poklapa se sa skupom vrijednosti na intervalu koji odgovara periodu ove funkcije.
Primjer 8
Stanje: odrediti raspon vrijednosti sinusa y = sin x.
Rješenje
Sinus je periodična funkcija i njen period je 2 pi. Uzmite segment 0; 2 π i pogledajte kakav će biti skup vrijednosti na njemu.
y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z
Unutar 0 ; 2 π funkcija će imati tačke ekstrema π 2 i x = 3 π 2 . Izračunajmo koliko će biti jednake vrijednosti funkcije u njima, kao i na granicama segmenta, a zatim odaberite najveću i najmanju vrijednost.
y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sin x = sin π 2 = 1
odgovor: E (sin x) = - 1 ; 1 .
Ako trebate znati opsege funkcija kao što su snaga, eksponencijalna, logaritamska, trigonometrijska, inverzna trigonometrijska, savjetujemo vam da ponovo pročitate članak o osnovnim elementarnim funkcijama. Teorija koju ovdje predstavljamo omogućava nam da provjerimo vrijednosti koje su tamo navedene. Preporučljivo ih je naučiti jer su često potrebni prilikom rješavanja problema. Ako poznajete opsege osnovnih funkcija, lako možete pronaći opsege funkcija koji se dobijaju iz elementarnih pomoću geometrijske transformacije.
Primjer 9
Stanje: odrediti raspon vrijednosti y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .
Rješenje
Znamo da je segment od 0 do pi arc kosinus raspon. Drugim riječima, E (a r c cos x) = 0; π ili 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Funkciju a r c cos x 3 + 5 π 7 možemo dobiti iz arc kosinusa pomicanjem i rastezanjem duž ose O x, ali takve transformacije nam neće dati ništa. To znači 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .
Funkcija 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 se može dobiti iz arc kosinusa a r c cos x 3 + 5 π 7 rastezanjem duž ordinatne ose, tj. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Konačna transformacija je pomak duž ose O y za 4 vrijednosti. Kao rezultat, dobijamo dvostruku nejednakost:
0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4
Otkrili smo da će raspon vrijednosti koje su nam potrebne biti jednak E (y) = - 4; 3 π - 4 .
odgovor: E (y) = - 4 ; 3 π - 4 .
Zapisaćemo još jedan primjer bez objašnjenja, jer potpuno je sličan prethodnom.
Primjer 10
Stanje: izračunaj koliki će biti opseg funkcije y = 2 2 x - 1 + 3.
Rješenje
Prepišimo funkciju specificiranu u uvjetu kao y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3. Za funkciju stepena y = x - 1 2 raspon vrijednosti će biti definiran na intervalu 0; + ∞, tj. x - 1 2 > 0 . U ovom slučaju:
2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3
Dakle, E(y) = 3; + ∞ .
odgovor: E(y) = 3; + ∞ .
Pogledajmo sada kako pronaći raspon vrijednosti funkcije koja nije kontinuirana. Da bismo to učinili, moramo podijeliti cijelo područje na intervale i pronaći skupove vrijednosti u svakom od njih, a zatim kombinirati ono što dobijemo. Da biste ovo bolje razumjeli, savjetujemo vam da pregledate glavne tipove prijelomnih tačaka funkcija.
Primjer 11
Stanje: s obzirom na funkciju y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Izračunajte njegov raspon vrijednosti.
Rješenje
Ova funkcija je definirana za sve vrijednosti x. Analizirajmo ga za kontinuitet sa vrijednostima argumenta jednakim - 3 i 3:
lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)
Imamo neuklonjivi diskontinuitet prve vrste kada je vrijednost argumenta - 3. Kako joj se približavamo, vrijednosti funkcije teže - 2 sin 3 2 - 4, a kako x teži - 3 na desnoj strani, vrijednosti će težiti - 1.
lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞
Imamo neuklonjivi diskontinuitet druge vrste u tački 3. Kada funkcija teži njoj, njene vrijednosti se približavaju - 1, kada teži istoj tački desno - minus beskonačnosti.
To znači da je cijeli domen definicije ove funkcije podijeljen na 3 intervala (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).
U prvom od njih dobili smo funkciju y = 2 sin x 2 - 4. Kako je - 1 ≤ sin x ≤ 1, dobijamo:
1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2
To znači da je na datom intervalu (- ∞ ; - 3 ] skup vrijednosti funkcije [- 6 ; 2 ] .
Na poluintervalu (- 3; 3 ], rezultat je konstantna funkcija y = - 1. Posljedično, cijeli skup njenih vrijednosti u ovom slučaju će se svesti na jedan broj - 1.
U drugom intervalu 3 ; + ∞ imamo funkciju y = 1 x - 3 . Opada jer je y" = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:
lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0
To znači da je skup vrijednosti originalne funkcije za x > 3 skup 0; + ∞ . Sada kombinujmo rezultate: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .
odgovor: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .
Rješenje je prikazano na grafikonu:
Primjer 12
Uslov: postoji funkcija y = x 2 - 3 e x. Odredite skup njegovih vrijednosti.
Rješenje
Definiran je za sve vrijednosti argumenata koji su realni brojevi. Odredimo u kojim intervalima će se ova funkcija povećavati, a u kojima će se smanjivati:
y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x
Znamo da će derivacija postati 0 ako je x = - 1 i x = 3. Postavimo ove dvije tačke na osu i saznamo koji će predznak imati derivacija na rezultujućim intervalima.
Funkcija će se smanjiti za (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) i povećati za [ - 1 ; 3]. Minimalni bod će biti - 1, maksimalni - 3.
Sada pronađimo odgovarajuće vrijednosti funkcije:
y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3
Pogledajmo ponašanje funkcije u beskonačnosti:
lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0
Za izračunavanje druge granice korišteno je L'Hopitalovo pravilo. Opišimo napredak našeg rješenja na grafu.
Pokazuje da će se vrijednosti funkcije smanjiti sa plus beskonačnosti na - 2 e kada se argument promijeni sa minus beskonačnosti na - 1. Ako se promijeni sa 3 na plus beskonačno, tada će se vrijednosti smanjiti sa 6 e - 3 na 0, ali 0 neće biti dostignuta.
Dakle, E(y) = [ - 2 e ; + ∞) .
odgovor: E(y) = [ - 2 e ; + ∞)
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Mnogi problemi dovode nas do traženja skupa vrijednosti funkcije na određenom segmentu ili u cijeloj domeni definicije. Takvi zadaci uključuju različite evaluacije izraza i rješavanje nejednačina.
U ovom članku ćemo definirati raspon vrijednosti funkcije, razmotriti metode za njegovo pronalaženje i detaljno analizirati rješenje primjera od jednostavnih do složenijih. Sav materijal će biti opremljen grafičkim ilustracijama radi jasnoće. Dakle, ovaj članak je detaljan odgovor na pitanje kako pronaći opseg funkcije.
Definicija.
Skup vrijednosti funkcije y = f(x) na intervalu X je skup svih vrijednosti funkcije koje preuzima kada se ponavlja preko svih .
Definicija.
Raspon funkcije y = f(x) je skup svih vrijednosti funkcije koje preuzima kada se ponavlja preko svih x iz domene definicije.
Opseg funkcije je označen kao E(f) .
Opseg funkcije i skup vrijednosti funkcije nisu ista stvar. Smatrat ćemo ove koncepte ekvivalentnim ako se interval X pri pronalaženju skupa vrijednosti funkcije y = f(x) poklapa s domenom definicije funkcije.
Takođe, nemojte brkati opseg funkcije sa promenljivom x za izraz na desnoj strani jednakosti y=f(x) . Opseg dozvoljenih vrijednosti varijable x za izraz f(x) je domen definicije funkcije y=f(x).
Na slici je prikazano nekoliko primjera.
Grafovi funkcija su prikazani debelim plavim linijama, tanke crvene linije su asimptote, crvene tačke i linije na Oy osi pokazuju raspon vrijednosti odgovarajuće funkcije.
Kao što vidite, raspon vrijednosti funkcije dobiva se projektiranjem grafa funkcije na y-os. To može biti jedan pojedinačni broj (prvi slučaj), skup brojeva (drugi slučaj), segment (treći slučaj), interval (četvrti slučaj), otvoreni zrak (peti slučaj), unija (šesti slučaj) itd. .
Dakle, što trebate učiniti da biste pronašli raspon vrijednosti funkcije?
Počnimo s najjednostavnijim slučajem: pokazat ćemo kako odrediti skup vrijednosti neprekidne funkcije y = f(x) na segmentu.
Poznato je da funkcija kontinuirana na intervalu dostiže svoju maksimalnu i minimalnu vrijednost na njemu. Dakle, skup vrijednosti originalne funkcije na segmentu će biti segment 
. Posljedično, naš zadatak se svodi na pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na segmentu.
Na primjer, pronađimo raspon vrijednosti funkcije arcsinusa.
Primjer.
Navedite raspon funkcije y = arcsinx.
Rješenje.
Područje definicije arksinusa je segment [-1; 1] . Nađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije na ovom segmentu. 
Izvod je pozitivan za sve x iz intervala (-1; 1), odnosno arksinusna funkcija raste u cijelom domenu definicije. Prema tome, najmanju vrijednost uzima pri x = -1, a najveću pri x = 1. 
Dobili smo raspon arcsinusne funkcije 
.
Primjer.
Pronađite skup vrijednosti funkcije 
na segmentu.
Rješenje.
Nađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije na datom segmentu.
Odredimo tačke ekstrema koje pripadaju segmentu: 
Izračunavamo vrijednosti originalne funkcije na krajevima segmenta i u tačkama 
:
Dakle, skup vrijednosti funkcije na intervalu je interval 
.
Sada ćemo pokazati kako pronaći skup vrijednosti neprekidne funkcije y = f(x) u intervalima (a; b), .
Prvo određujemo tačke ekstrema, ekstreme funkcije, intervale povećanja i smanjenja funkcije na datom intervalu. Zatim izračunavamo na krajevima intervala i (ili) granice na beskonačnosti (to jest, proučavamo ponašanje funkcije na granicama intervala ili na beskonačnosti). Ova informacija je dovoljna za pronalaženje skupa vrijednosti funkcije na takvim intervalima.
Primjer.
Definirajte skup vrijednosti funkcije na intervalu (-2; 2).
Rješenje.
Nađimo tačke ekstrema funkcije koje padaju na interval (-2; 2): 
Dot x = 0 je maksimalna tačka, jer derivacija menja predznak sa plus na minus kada prolazi kroz nju, a grafik funkcije ide od rastućeg ka opadajućem. 
postoji odgovarajući maksimum funkcije.
Otkrijmo ponašanje funkcije kako x teži -2 desno, a x teži 2 lijevo, odnosno nalazimo jednostrane granice: 
Šta smo dobili: kada se argument promijeni sa -2 na nulu, vrijednosti funkcije se povećavaju sa minus beskonačnosti na minus jednu četvrtinu (maksimum funkcije pri x = 0), kada se argument promijeni sa nule na 2, vrijednosti funkcije se smanjuju na minus beskonačnost. Dakle, skup vrijednosti funkcije na intervalu (-2; 2) je .
Primjer.
Navedite skup vrijednosti tangentne funkcije y = tgx na intervalu.
Rješenje.
Izvod tangentne funkcije na intervalu je pozitivan 
, što ukazuje na povećanje funkcije. Proučimo ponašanje funkcije na granicama intervala: 
Dakle, kada se argument promijeni od do, vrijednosti funkcije se povećavaju od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti, odnosno skup vrijednosti tangente na ovom intervalu je skup svih realnih brojeva.
Primjer.
Naći opseg funkcije prirodnog logaritma y = lnx.
Rješenje.
Funkcija prirodnog logaritma je definirana za pozitivne vrijednosti argument 
. Na ovom intervalu izvod je pozitivan 
, to ukazuje na povećanje funkcije na njemu. Nađimo jednostrano ograničenje funkcije jer argument teži nuli na desnoj strani, a ograničenje kao x teži plus beskonačnosti: 
Vidimo da kako se x mijenja od nule do plus beskonačnosti, vrijednosti funkcije rastu od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti. Stoga je raspon funkcije prirodnog logaritma cijeli skup realnih brojeva.
Primjer.
Rješenje.
Ova funkcija je definirana za svakoga stvarne vrednosti x. Odredimo tačke ekstrema, kao i intervale povećanja i smanjenja funkcije. 
Prema tome, funkcija opada na , raste na , x = 0 je maksimalna točka, 
odgovarajući maksimum funkcije.
Pogledajmo ponašanje funkcije u beskonačnosti: 
Dakle, na beskonačnosti vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju nuli.
Otkrili smo da kada se argument promijeni sa minus beskonačnosti na nulu (maksimalna tačka), vrijednosti funkcije se povećavaju sa nule na devet (do maksimuma funkcije), a kada se x promijeni sa nule na plus beskonačnost, vrijednosti funkcije smanjiti sa devet na nulu.
Pogledajte šematski crtež.
Sada je jasno vidljivo da je raspon vrijednosti funkcije .
Pronalaženje skupa vrijednosti funkcije y = f(x) na intervalima zahtijeva slična istraživanja. Nećemo se sada detaljnije zadržavati na ovim slučajevima. Ponovo ćemo ih sresti u primjerima u nastavku.
Neka je domen definicije funkcije y = f(x) unija nekoliko intervala. Prilikom pronalaženja raspona vrijednosti takve funkcije, određuju se skupovi vrijednosti na svakom intervalu i uzima se njihova unija.
Primjer.
Pronađite opseg funkcije.
Rješenje.
Nazivnik naše funkcije ne bi trebao ići na nulu, odnosno, .
Prvo, pronađimo skup vrijednosti funkcije na otvorenom zraku.
Derivat funkcije 
je negativna na ovom intervalu, odnosno funkcija opada na njemu. 
Otkrili smo da kako argument teži minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju jedinici. Kada se x promijeni sa minus beskonačnosti na dva, vrijednosti funkcije se smanjuju sa jedan na minus beskonačnost, odnosno na intervalu koji se razmatra, funkcija poprima skup vrijednosti. Jedinstvo ne uključujemo, jer vrijednosti funkcije je ne dostižu, već joj samo asimptotički teže na minus beskonačnosti.
Slično postupamo i za otvorenu gredu.
U ovom intervalu funkcija se također smanjuje. 
Skup vrijednosti funkcije na ovom intervalu je skup .
Dakle, željeni raspon vrijednosti funkcije je unija skupova i .
Grafička ilustracija.
Posebnu pažnju treba obratiti na periodične funkcije. Raspon vrijednosti periodičnih funkcija poklapa se sa skupom vrijednosti na intervalu koji odgovara periodu ove funkcije.
Primjer.
Pronađite opseg sinusne funkcije y = sinx.
Rješenje.
Ova funkcija je periodična s periodom od dva pi. Uzmimo segment i definiramo skup vrijednosti na njemu. 
Segment sadrži dvije točke ekstrema i .
Izračunavamo vrijednosti funkcije u ovim točkama i na granicama segmenta odabiremo najmanju i najveću vrijednost: 
dakle, 
.
Primjer.
Pronađite opseg funkcije 
.
Rješenje.
Znamo da je raspon arc kosinusa segment od nule do pi, tj. 
ili u drugom postu. Funkcija 
može se dobiti iz arccosx pomicanjem i rastezanjem duž ose apscise. Takve transformacije ne utječu na raspon vrijednosti, dakle, 
. Funkcija 
dobijeno od istezanje tri puta duž ose Oy, tj. 
. I posljednja faza transformacije je pomak za četiri jedinice prema dolje duž ordinate. To nas dovodi do dvostruke nejednakosti 
Dakle, traženi raspon vrijednosti je 
.
Navedimo rješenje na drugom primjeru, ali bez objašnjenja (nisu potrebna, jer su potpuno slični).
Primjer.
Definirajte raspon funkcija 
.
Rješenje.
Zapišimo originalnu funkciju u formu 
. Raspon vrijednosti funkcije snage je interval. To je, . Onda 
dakle, 
.
Da bismo upotpunili sliku, trebali bismo razgovarati o pronalaženju raspona vrijednosti funkcije koja nije kontinuirana u domeni definicije. U ovom slučaju, dijelimo domenu definicije na intervale po tačkama prekida i na svakoj od njih nalazimo skupove vrijednosti. Kombinacijom rezultirajućih skupova vrijednosti dobijamo raspon vrijednosti originalne funkcije. Preporučujemo da zapamtite 3 na lijevoj strani, vrijednosti funkcije teže minus jedan, a kako x teži 3 na desnoj strani, vrijednosti funkcije teže plus beskonačnosti.
Dakle, dijelimo domenu definicije funkcije na tri intervala.
Na intervalu imamo funkciju 
. Od tada 
Dakle, skup vrijednosti originalne funkcije na intervalu je [-6;2] .
Na poluintervalu imamo konstantnu funkciju y = -1. To jest, skup vrijednosti originalne funkcije na intervalu sastoji se od jednog elementa.
Funkcija je definirana za sve važeće vrijednosti argumenata. Pronađimo intervale povećanja i smanjenja funkcije.
Izvod nestaje na x=-1 i x=3. Označimo ove tačke na brojevnoj pravoj i odredimo predznake izvoda na rezultujućim intervalima. 
Funkcija se smanjuje za 
, povećava se za [-1; 3] , x=-1 minimalni bod, x=3 maksimalni bod.
Izračunajmo odgovarajući minimum i maksimum funkcije: 
Provjerimo ponašanje funkcije u beskonačnosti: 
Druga granica je izračunata pomoću .
Napravimo šematski crtež.
Kada se argument promijeni sa minus beskonačnosti na -1, vrijednosti funkcije se smanjuju sa plus beskonačnosti na -2e, kada se argument promijeni sa -1 na 3, vrijednosti funkcije se povećavaju sa -2e na, kada se argument promijeni iz 3 do plus beskonačnost, vrijednosti funkcije se smanjuju od nule, ali ne dostižu nulu.
Funkcija je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova.
Definicija: Ako je svaki broj iz određenog skupa x povezan s jednim brojem y, onda kažu da je funkcija y(x) definirana na ovom skupu. U ovom slučaju, x se naziva nezavisna varijabla ili argument, a y se naziva zavisna varijabla ili vrijednost funkcije ili jednostavno funkcija.
Za varijablu y se također kaže da je funkcija varijable x.
Nakon što smo označili podudaranje slovom, na primjer f, zgodno je napisati: y=f (x), odnosno vrijednost y se dobija iz argumenta x pomoću podudaranja f. (Pročitajte: y je jednako f od x.) Simbol f (x) označava vrijednost funkcije koja odgovara vrijednosti argumenta jednakom x.
Primjer 1 Neka je funkcija data formulom y=2x 2 –6. Tada možemo napisati da je f(x)=2x 2 –6. Nađimo vrijednosti funkcije za vrijednosti x jednake, na primjer, 1; 2,5;–3; tj. nalazimo f(1), f(2.5), f(–3):
f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 –6=6,5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.
Imajte na umu da se u zapisu oblika y=f (x) koriste druga slova umjesto f: g, itd.
Definicija: Domen funkcije su sve vrijednosti x za koje funkcija postoji.
Ako je funkcija specificirana formulom, a njezin domen definicije nije specificiran, tada se smatra da se domena definicije funkcije sastoji od svih vrijednosti argumenta za koje formula ima smisla.
Drugim riječima, domen funkcije date formulom su sve vrijednosti argumenta osim onih koje rezultiraju radnjama koje ne možemo izvršiti. On ovog trenutka znamo samo dvije takve akcije. Ne možemo dijeliti sa nulom i ne možemo uzeti kvadratni korijen negativnog broja.
Definicija: Sve vrijednosti koje zavisna varijabla preuzima formiraju raspon funkcije.
Domen definicije funkcije koja opisuje stvarni proces zavisi od specifičnih uslova njenog nastanka. Na primjer, ovisnost dužine l željezne šipke o temperaturi grijanja t izražava se formulom, gdje je l 0 početna dužina šipke, a koeficijent linearne ekspanzije. Ova formula ima smisla za sve vrijednosti t. Međutim, domen definicije funkcije l=g(t) je interval od nekoliko desetina stepeni, za koji važi zakon linearne ekspanzije.
Primjer.
Odredite opseg funkcije y = arcsinx.
Rješenje.
Domen definicije arcsinusa je segment [-1; 1]
. Nađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije na ovom segmentu.
Izvod je pozitivan za sve x iz intervala (-1; 1)
, odnosno, arcsinusna funkcija raste u cijelom domenu definicije. Stoga, uzima najmanju vrijednost kada x = -1, a najveći u x = 1.
Dobili smo raspon arcsinusne funkcije 
.
Pronađite skup vrijednosti funkcije 
na segmentu
.
Rješenje.
Nađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije na datom segmentu.
Odredimo tačke ekstrema koje pripadaju segmentu
:
D(f)- one vrijednosti koje argument može poprimiti, tj. domenu funkcije.
E(f)- one vrijednosti koje funkcija može poprimiti, tj. skup vrijednosti funkcije.
Metode za pronalaženje opsega funkcija.
sekvencijalno pronalaženje vrijednosti složeni argumenti funkcije;
metoda procjene/granične;
korištenje svojstava kontinuiteta i monotonosti funkcije;
upotreba derivata;
korištenje najveće i najmanje vrijednosti funkcije;
grafička metoda;
metoda unosa parametara;
metoda inverzne funkcije.
Pogledajmo neke od njih.
Korištenje derivata
Opšti pristup pronalaženje skupa vrijednosti neprekidne funkcije f(x) sastoji se od pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije f(x) u njenoj domeni (ili dokazivanja da jedna ili obje ne postoje).
U slučaju da trebate pronaći skupove vrijednosti funkcije na segmentu:
naći derivaciju date funkcije f "(x);
pronaći kritične tačke funkcije f(x) i odabrati one koje pripadaju ovom segmentu;
izračunati vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i na odabranim kritičnim tačkama;
među pronađenim vrijednostima odaberite najmanju i najveću vrijednost;
Skup vrijednosti funkcije je zatvoren između ovih vrijednosti.
Ako je domena funkcije interval, tada se koristi ista shema, ali umjesto vrijednosti na krajevima, koriste se granice funkcije jer argument teži krajevima intervala. Granične vrijednosti od nisu uključene u skup vrijednosti.
Metoda granica/rezultata
Da biste pronašli skup vrijednosti funkcije, prvo pronađite skup vrijednosti argumenata, a zatim pronađite odgovarajuću najmanju i najveću vrijednost funkcije funkcije. Pomoću nejednakosti određuju se granice.
Suština je procijeniti kontinuiranu funkciju odozdo i odozgo i dokazati da funkcija doseže donju i gornju granicu procjena. U ovom slučaju, podudarnost skupa vrijednosti funkcije s intervalom od donje granice procjene do gornje određena je kontinuitetom funkcije i odsustvom drugih vrijednosti za nju.
Svojstva kontinuirane funkcije
Druga opcija je transformacija funkcije u kontinuiranu monotonu, a zatim se pomoću svojstava nejednakosti procjenjuje skup vrijednosti novodobivene funkcije.
Sekvencionalno pronalaženje vrijednosti složenih argumenata funkcije
Zasnovano na sekvencijalnom traženju skupa vrijednosti međufunkcija od kojih je funkcija sastavljena
Rasponi vrijednosti osnovnih elementarnih funkcija
| Funkcija | Višestruka značenja |
|---|---|
| $y = kx+ b$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = x^(2n)$ | E(y) = |
| $y = \cos(x)$ | E(y) = [-1;1] |
| $y = (\rm tg)\, x$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = (\rm ctg)\, x$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = \arcsin(x)$ | E(y) = [-π/2; π/2] |
| $y = \arccos(x)$ | E(y) = |
| $y = (\rm arctan)\, x$ | E(y) = (-π/2; π/2) |
| $y = (\rm arcctg)\, x$ | E(y) = (0; π) |
Primjeri
Pronađite skup vrijednosti funkcije:
Korištenje derivata
Nalazimo domen definicije: D(f)=[-3;3], jer $9-x^(2)\geq 0$
Pronađite izvod: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$
f"(x) = 0 ako je x = 0. f"(x) ne postoji ako je $\sqrt(9-x^(2))=0$, odnosno za x = ±3. Dobijamo tri kritične tačke: x 1 = –3, x 2 = 0, x 3 = 3, od kojih se dvije poklapaju sa krajevima segmenta. Izračunajmo: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Dakle, najmanja vrijednost f(x) je 0, najveća vrijednost je 3.
Odgovor: E(f) = .
NE koristim derivat
Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije:
Od $
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , tada:
$f(x)\leq \frac(3)(4)$ za sve x;
$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ za sve x(od $|\cos (x)|\leq 1$);
$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;
$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;
Odgovor: $\frac(3)(4)$ i $-\frac(3)(2)$
Ako ovaj problem riješite pomoću izvoda, morat ćete savladati prepreke vezane za činjenicu da funkcija f(x) nije definirana na segmentu, već na cijeloj brojevnoj pravoj.
Korištenje metode granica/procjena
Iz definicije sinusa slijedi, $-1\leq\sin(x)\leq 1$. Zatim ćemo koristiti svojstva numeričkih nejednačina.
$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (pomnožiti sva tri dijela dvostruke nejednakosti sa -4);
$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (dodato na tri dijela dvostruke nejednakosti 5);
Budući da je ova funkcija kontinuirana u cijeloj domeni definicije, skup njenih vrijednosti je sadržan između njene najmanje i najveće vrijednosti u cijeloj domeni definicije, ako postoji.
U ovom slučaju, skup vrijednosti funkcije $y = 5 - 4\sin(x)$ je skup .
Iz nejednačina $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ dobijamo procjenu $$\\ -6\leq y\ leq 6$ $
Kod x = p i x = 0, funkcija poprima vrijednosti -6 i 6, tj. dostiže donju i gornju granicu procjene. Kao linearna kombinacija neprekidnih funkcija cos(7x) i cos(x), funkcija y je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, stoga, po svojstvu kontinuirane funkcije, uzima sve vrijednosti od -6 do 6 uključujući , i samo njih, pošto su zbog nejednakosti $- 6\leq y\leq 6$ njegove druge vrijednosti nemoguće.
Dakle, E(y) = [-6;6].
$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Odgovor: E(f) = .
$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].
$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .
Transformirajmo izraz $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ( (\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \desno)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2 )) \desno) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\ pi) (4)) $$.
Iz definicije kosinusa slijedi $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$
Budući da je ova funkcija kontinuirana u cijelom domenu definicije, skup njenih vrijednosti leži između njene najmanje i najveće vrijednosti, ako ih ima, skupa vrijednosti funkcije $y =\sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ je skup $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.
$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$
Označimo $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, gdje je -∞≤t≤4. Dakle, problem se svodi na pronalaženje skupa vrijednosti funkcije $y = \log_(0,5)(t)$ na zraku (-∞;4). Budući da je funkcija $y = \log_(0,5)(t)$ definirana samo za t > 0, tada se njen skup vrijednosti na zraku (-∞;4) poklapa sa skupom vrijednosti funkcije na intervalu (0;4), predstavlja presek zraka (-∞;4) sa domenom definicije (0;+∞) logaritamske funkcije. Na intervalu (0;4) ova funkcija je kontinuirana i opadajuća. Pri t > 0 teži +∞, a pri t = 4 poprima vrijednost -2, pa je E(y) = (-2, +∞).
Koristimo tehniku zasnovanu na grafičkom prikazu funkcije.
Nakon transformacije funkcije imamo: y 2 + x 2 = 25, i y ≥ 0, |x| ≤ 5.
Treba podsjetiti da je $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ jednadžba kružnice polumjera r.
Pod ovim ograničenjima, grafik ove jednačine je gornji polukrug sa centrom u početnoj fazi i poluprečnikom jednakim 5. Očigledno, E(y) = .
Odgovor: E(y) = .
Reference
Područje značaja funkcija u problemima Jedinstvenog državnog ispita, Irina Borisovna Minyuk
Savjeti za pronalaženje skupa vrijednosti funkcije, Belyaeva I., Fedorova S.
Pronalaženje skupa vrijednosti funkcije
Kako rješavati zadatke iz matematike na prijemnim ispitima, I.I.Melnikov, I.N.Sergeev
