Grafikon kvadratne funkcije y ax2 bx c. Određivanje vrijednosti koeficijenata kvadratne funkcije iz grafa
Lekcija: Kako konstruirati parabolu ili kvadratnu funkciju?
TEORIJSKI DIO
Parabola je graf funkcije opisane formulom ax 2 +bx+c=0.
Da biste napravili parabolu morate slijediti jednostavan algoritam:
1) Formula parabole y=ax 2 +bx+c,
Ako a>0 tada su grane parabole usmjerene gore,
inače su grane parabole usmjerene dole.
Besplatan član c ova tačka seče parabolu sa OY osom;
2), nalazi se pomoću formule x=(-b)/2a, zamjenjujemo pronađeni x u jednadžbu parabole i nalazimo y;
3)Funkcija nule ili, drugim rečima, tačke preseka parabole sa OX osom, nazivaju se i korenima jednačine. Da bismo pronašli korijene, izjednačavamo jednačinu sa 0 ax 2 +bx+c=0;
Vrste jednadžbi:
a) Potpuna kvadratna jednačina ima oblik ax 2 +bx+c=0 a rješava ga diskriminant;
b) Nepotpuna kvadratna jednačina oblika ax 2 +bx=0. Da biste to riješili, trebate uzeti x iz zagrada, a zatim izjednačiti svaki faktor sa 0:
ax 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 i ax+b=0;
c) Nepotpuna kvadratna jednačina oblika ax 2 +c=0. Da biste ga riješili, potrebno je pomjeriti nepoznate na jednu stranu, a poznate na drugu. x =±√(c/a);
4) Pronađite nekoliko dodatnih točaka za konstruiranje funkcije.
PRAKTIČNI DIO
I tako ćemo sada, koristeći primjer, analizirati sve korak po korak:
Primjer #1:
y=x 2 +4x+3
c=3 znači da parabola seče OY u tački x=0 y=3. Grane parabole gledaju prema gore budući da je a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 vrh je u tački (-2;-1)
Nađimo korijene jednačine x 2 +4x+3=0
Koristeći diskriminant, nalazimo korijene
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3
Uzmimo nekoliko proizvoljnih tačaka koje se nalaze u blizini temena x = -2
x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3
Zamijenite umjesto x u jednačinu y=x 2 +4x+3 vrijednosti
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Iz vrijednosti funkcije može se vidjeti da je parabola simetrična u odnosu na pravu liniju x = -2
Primjer #2:
y=-x 2 +4x
c=0 znači da parabola seče OY u tački x=0 y=0. Grane parabole gledaju prema dolje jer a=-1 -1 Nađimo korijene jednadžbe -x 2 +4x=0
Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 +bx=0. Da biste to riješili, trebate izvaditi x iz zagrada, a zatim svaki faktor izjednačiti sa 0.
x(-x+4)=0, x=0 i x=4.
Uzmimo nekoliko proizvoljnih tačaka koje se nalaze u blizini temena x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Zamijenite umjesto x u jednačinu y=-x 2 +4x vrijednosti
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Iz vrijednosti funkcije može se vidjeti da je parabola simetrična u odnosu na pravu x = 2
Primjer br. 3
y=x 2 -4
c=4 znači da parabola seče OY u tački x=0 y=4. Grane parabole gledaju prema gore budući da je a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 vrh je u tački (0;- 4)
Nađimo korijene jednačine x 2 -4=0
Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 +c=0. Da biste ga riješili, potrebno je pomjeriti nepoznate na jednu stranu, a poznate na drugu. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2
Uzmimo nekoliko proizvoljnih tačaka koje se nalaze u blizini temena x=0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Zamijenite umjesto x u jednačinu y= x 2 -4 vrijednosti
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Iz vrijednosti funkcije može se vidjeti da je parabola simetrična u odnosu na pravu x = 0
Pretplatite se na kanal na YOUTUBE-u da budete u toku sa svim novim proizvodima i pripremite se sa nama za ispite.
Bilješke sa časa algebre za 8. razred srednje škole
Tema lekcije: Funkcija
Cilj lekcije:
· edukativni: definirati pojam kvadratne funkcije oblika (uporediti grafove funkcija i ), pokazati formulu za pronalaženje koordinata vrha parabole (naučiti kako primijeniti ovu formulu u praksi); razviti sposobnost određivanja svojstava kvadratne funkcije iz grafa (nalaženje ose simetrije, koordinate vrha parabole, koordinate tačaka preseka grafa sa koordinatnim osama).
· Razvojni: razvoj matematičkog govora, sposobnost pravilnog, dosljednog i racionalnog izražavanja misli; razvijanje vještine pravilnog pisanja matematičkog teksta korištenjem simbola i oznaka; razvoj analitičkog mišljenja; razvoj kognitivna aktivnost učenika kroz sposobnost analize, sistematizacije i generalizacije gradiva.
· Obrazovni: negovanje samostalnosti, sposobnost slušanja drugih, razvijanje tačnosti i pažnje u pismenom matematičkom govoru.
Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.
Nastavne metode:
generalizovana reproduktivna, induktivna heuristika.
Uslovi za znanje i vještine učenika
znati šta je kvadratna funkcija forme, formula za pronalaženje koordinata vrha parabole; biti u stanju pronaći koordinate vrha parabole, koordinate tačaka presjeka grafa funkcije sa koordinatnim osa i koristiti graf funkcije za određivanje svojstava kvadratne funkcije.
Oprema:
Plan lekcije
I. Organizacioni trenutak (1-2 min)
II. Ažuriranje znanja (10 min)
III. Prezentacija novog materijala (15 min)
IV. Konsolidacija novog materijala (12 min)
V. Sumiranje (3 min)
VI. Domaći zadatak (2 min)
Napredak lekcije
I. Organizacioni momenat
Pozdravljanje, provjeravanje odsutnih, prikupljanje bilježnica.
II. Ažuriranje znanja
Učitelju: U današnjoj lekciji ćemo proučavati novu temu: "Funkcija". Ali prvo, hajde da ponovimo prethodno proučeni materijal.
Frontalna anketa:
1) Šta se zove kvadratna funkcija? (Funkcija u kojoj su dati realni brojevi, , realna varijabla, naziva se kvadratna funkcija.)
2) Šta je graf kvadratne funkcije? (Graf kvadratne funkcije je parabola.)
3) Koje su nule kvadratne funkcije? (Nule kvadratne funkcije su vrijednosti pri kojima ona postaje nula.)
4) Navedite svojstva funkcije. (Vrijednosti funkcije su pozitivne na i jednake nuli u; graf funkcije je simetričan u odnosu na ordinatne osi; at - funkcija raste, at - opada.)
5) Navedite svojstva funkcije. (Ako , tada funkcija uzima pozitivne vrijednosti na , ako , tada funkcija uzima negativne vrijednosti na , vrijednost funkcije je samo 0; parabola je simetrična oko ordinatne ose; ako , onda funkcija raste na i smanjuje na , ako , tada funkcija raste na , smanjuje se na .)
III. Prezentacija novog materijala
Učitelju: Počnimo sa učenjem novog gradiva. Otvorite sveske, zapišite datum i temu lekcije. Obratite pažnju na ploču.
Pisanje na tabli: Broj.
Funkcija.
Učitelju: Na tabli vidite dva grafikona funkcija. Prvi grafikon, a drugi. Pokušajmo ih uporediti.
Znate svojstva funkcije. Na osnovu njih, i upoređujući naše grafove, možemo istaknuti svojstva funkcije.
Dakle, šta mislite da će odrediti smjer grana parabole?
studenti: Smjer grana obje parabole ovisit će o koeficijentu.
Učitelj: Apsolutno u pravu. Također možete primijetiti da obje parabole imaju os simetrije. Koja je os simetrije u prvom grafikonu funkcije?
studenti: Za parabolu, os simetrije je ordinatna osa.
Učitelj: U redu. Kolika je osa simetrije parabole?
studenti: Osa simetrije parabole je prava koja prolazi kroz vrh parabole, paralelna sa ordinatnom osom.
Učitelju: Tačno. Dakle, osa simetrije grafa funkcije nazvat ćemo ravna linija koja prolazi kroz vrh parabole, paralelna s ordinatnom osom.
A vrh parabole je tačka sa koordinatama. Oni se određuju formulom:
Zapišite formulu u svoju bilježnicu i zaokružite je u okviru.
Pisanje na tabli i u sveske
Koordinate vrha parabole.
Učitelju: Sada, da bude jasnije, pogledajmo primjer.
Primjer 1: Pronađite koordinate vrha parabole.
Rješenje: Prema formuli
Učitelju: Kao što smo već primijetili, osa simetrije prolazi kroz vrh parabole. Pogledaj ploču. Nacrtaj ovu sliku u svoju svesku.
Zapišite na tabli i u sveske:
Učitelj: Na crtežu: - jednačina ose simetrije parabole sa vrhom u tački gde je apscisa vrh parabole.
Pogledajmo primjer.
Primjer 2: Koristeći graf funkcije odredite jednadžbu za os simetrije parabole.
Jednadžba za os simetrije ima oblik: , što znači da je jednadžba za os simetrije ove parabole .
Odgovor: - jednačina ose simetrije.
IV. Konsolidacija novog materijala
Učitelju: Na tabli su ispisani zadaci koje treba riješiti na času.
Pisanje na tabli: № 609(3), 612(1), 613(3)
Učitelj: Ali prvo, riješimo primjer koji nije iz udžbenika. Odlučićemo na odboru.
Primjer 1: Pronađite koordinate vrha parabole
Rješenje: Prema formuli
Odgovor: koordinate vrha parabole.
Primjer 2: Pronađite koordinate presječnih tačaka parabole 
sa koordinatnim osama.
Rješenje: 1) Sa osom:
One. 
Prema Vietovoj teoremi:
Točke sjecišta sa x-osom su (1;0) i (2;0).
2) Sa osovinom:
Točka presjeka s ordinatnom osom (0;2).
Odgovor: (1;0), (2;0), (0;2) – koordinate tačaka preseka sa koordinatnim osama.
br. 609(3). Pronađite koordinate vrha parabole
Određivanje vrijednosti koeficijenata kvadratne funkcije iz grafa.
Metodološki razvoj Sagnaeva A.M.
MBOU srednja škola br. 44, Surgut, Hanti-Mansijski autonomni okrug-Jugra .
Ι. Pronalaženje koeficijenta A
- Koristeći graf parabole, određujemo koordinate vrha (m,n)
2. Koristeći graf parabole, određujemo koordinate bilo koje tačke A (X 1 ;y 1 )
3. Zamijenite ove vrijednosti u formulu kvadratne funkcije navedene u drugom obliku:
y=a(x-m)2+n
4. riješiti rezultirajuću jednačinu.
Oh 1 ;y 1 )
parabola
ΙΙ. Pronalaženje koeficijenta b
1. Prvo pronalazimo vrijednost koeficijenta a
2. U formuli za apscisu parabole m= -b/2a zamijenite vrijednosti m I a
3. Izračunajte vrijednost koeficijenta b .
Oh 1 ;y 1 )
parabola
ΙΙΙ. Pronalaženje koeficijenta c
1. Nalazimo ordinatu tačke preseka grafa parabole sa Oy osom, ova vrednost je jednaka koeficijentu With, tj. dot (0;s)-tačka preseka grafa parabole sa Oy osom.
2. Ako je nemoguće pronaći točku presjeka parabole sa Oy osom iz grafa, tada nalazimo koeficijente a,b
(vidi korake Ι, ΙΙ)
3. Zamijenite pronađene vrijednosti a, b ,A(x 1; at 1 ) u jednačinu
y=ax 2 +bx+c i nalazimo With.
Oh 1 ;y 1 )
parabola
Zadaci
trag
Ιx 2 Ι , a x 1 0, jer a Ordinata tačke preseka parabole sa OY osom je koeficijent c Odgovor: 5 c x 1 x 2 "width="640" - Grane parabole su usmjerene prema dolje,
- Koreni imaju različiti znakovi,Ι x 1 ΙΙh 2 Ι , i x 1 0, jer a
- Ordinata tačke preseka parabole sa osom OY je koeficijent With
X 1
X 2
P Clue
0 x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0. Odgovor: 5 "width="640" 1. Grane parabole su usmjerene prema dolje, što znači a
- x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0.
0 jer grane parabole su usmjerene prema gore; 2. c=y(0)3. Tem parabole ima pozitivnu apscisu: u ovom slučaju a je 0, dakle b4. D0, jer parabola seče osu OX u dve različite tačke. "width="640" Na slici je prikazan graf funkcije y=ax 2 +bx+c. Navedite znakove koeficijenti a,b,c i diskriminant D.
Rješenje:
1. a0, jer grane parabole su usmjerene prema gore;
3. Tem parabole ima pozitivnu apscisu:
u ovom slučaju a 0, dakle b
4. D0, jer parabola seče osu OX u dve različite tačke.
Na slici je prikazana parabola
Navedite vrijednosti k I t .
Pronađite koordinate vrha parabole i napišite funkciju čiji je graf prikazan na slici.
Pronađite gdje su apscise tačaka sjecišta
parabole i horizontalne prave linije (vidi sliku).
