Fonctions trigonométriques inverses et leurs graphiques. Qu'est-ce que l'arc sinus, l'arc cosinus ? Qu'est-ce que l'arctangente, l'arccotangente ? Article fonctions trigonométriques inverses

Dans un certain nombre de problèmes mathématiques et leurs applications, il est nécessaire d'utiliser une valeur connue d'une fonction trigonométrique pour trouver la valeur correspondante d'un angle, exprimée en degrés ou en radians. On sait qu'à une même valeur du sinus correspondent une infinité d'angles, par exemple, si $\sin α=1/2,$ alors l'angle $α$ peut être égal à $30°$ et $150°,$ ou en radian mesure $π /6$ et $5π/6,$ et l'un des angles obtenus à partir de ceux-ci en ajoutant un terme de la forme $360°⋅k,$ ou, respectivement, $2πk,$ où $k $ est n'importe quel entier. Cela devient clair en examinant le graphique de la fonction $y=\sin x$ sur toute la droite numérique (voir Fig. $1$) : si sur l'axe $Oy$ nous traçons un segment de longueur $1/2$ et dessinons un droite parallèle à l'axe $Ox, $ alors elle coupera la sinusoïde en un nombre infini de points. Pour éviter une éventuelle diversité de réponses, des fonctions trigonométriques inverses sont introduites, autrement appelées fonctions circulaires ou arc (du mot latin arcus - « arc »).

Les quatre principales fonctions trigonométriques $\sin x,$ $\cos x,$ $\mathrm(tg)\,x$ et $\mathrm(ctg)\,x$ correspondent à quatre fonctions d'arc $\arcsin x,$ $ \arccos x ,$ $\mathrm(arctg)\,x$ et $\mathrm(arcctg)\,x$ (lire : arc sinus, arccosinus, arctangente, arccotangente). Considérons les fonctions \arcsin x et \mathrm(arctg)\,x, puisque les deux autres sont exprimées à travers elles à l'aide des formules :

$\arccos x = \frac(π)(2) − \arcsin x,$ $\mathrm(arcctg)\,x = \frac(π)(2) − \mathrm(arctg)\,x.$

L'égalité $y = \arcsin x$ signifie par définition l'angle $y,$ exprimé en mesure de radian et contenu dans l'intervalle de $−\frac(π)(2)$ à $\frac(π)(2), $ sinus qui est égal à $x,$ c'est-à-dire $\sin y = x.$ La fonction $\arcsin x$ est la fonction fonction inverse$\sin x,$ considéré sur l'intervalle $\left[−\frac(π)(2),+\frac(π)(2)\right],$ où cette fonction augmente de façon monotone et prend toutes les valeurs de $−1 $ à $+1.$ Évidemment, l'argument $y$ de la fonction $\arcsin x$ ne peut prendre que des valeurs de l'intervalle $\left[−1,+1\right].$ Donc, la fonction $y=\arcsin x$ est définie sur l'intervalle $\left[−1,+1\right],$ est croissante de façon monotone, et ses valeurs remplissent l'intervalle $\left[−\frac(π) (2),+\frac(π)(2)\ right].$ Le graphique de la fonction est présenté sur la Fig. 2$.$

Sous la condition $−1 ≤ a ≤ 1$, on peut représenter toutes les solutions de l'équation $\sin x = a$ sous la forme $x=(−1)^n \arcsin a + πn,$ $n=0 ,±1,± 2, ….$ Par exemple, si

$\sin x = \frac(\sqrt(2))(2)$ alors $x = (−1)^n \frac(π)(4)+πn,$ $n = 0, ±1, ±2 ,….$

La relation $y=\mathrm(arcctg)\,x$ est définie pour toutes les valeurs de $x$ et signifie par définition que l'angle $y,$ exprimé en mesure radian, est contenu dans

$−\frac(π)(2)

et la tangente de cet angle est égale à x, soit $\mathrm(tg)\,y = x.$ La fonction $\mathrm(arctg)\,x$ est définie sur toute la droite numérique et est la fonction inverse de la fonction $\mathrm( tg)\,x$, qui est considérée uniquement sur l'intervalle

$−\frac(π)(2)

La fonction $y = \mathrm(arctg)\,x$ est croissante de manière monotone, son graphique est représenté sur la Fig. 3 $.$

Toutes les solutions de l'équation $\mathrm(tg)\,x = a$ peuvent s'écrire sous la forme $x=\mathrm(arctg)\,a+πn,$ $n=0,±1,±2,… .$

Notez que les fonctions trigonométriques inverses sont largement utilisées en analyse mathématique. Par exemple, une des premières fonctions pour lesquelles une représentation par une série entière infinie a été obtenue fut la fonction $\mathrm(arctg)\,x.$ De cette série, G. Leibniz, avec une valeur fixe de l'argument $x =1$, obtenu la fameuse représentation d'un nombre à l'infini proche

Les problèmes liés aux fonctions trigonométriques inverses sont souvent proposés lors des examens finaux d'école et lors des examens d'entrée dans certaines universités. Une étude détaillée de ce sujet ne peut être réalisée que dans le cadre de cours au choix ou de cours au choix. Le cours proposé est conçu pour développer le plus pleinement possible les capacités de chaque étudiant et améliorer sa préparation mathématique.

Le cours dure 10 heures :

1.Fonctions arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 heures).

2.Opérations sur les fonctions trigonométriques inverses (4 heures).

3. Opérations trigonométriques inverses sur les fonctions trigonométriques (2 heures).

Leçon 1 (2 heures) Sujet : Fonctions y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

Objectif : couvrir complètement cette problématique.

1.Fonction y = arcsin x.

a) Pour la fonction y = sin x sur le segment, il existe une fonction inverse (à valeur unique), que nous avons convenu d'appeler arcsinus et de la noter comme suit : y = arcsin x. Le graphique de la fonction inverse est symétrique au graphique de la fonction principale par rapport à la bissectrice des angles de coordonnées I - III.

Propriétés de la fonction y = arcsin x.

1) Domaine de définition : segment [-1 ; 1];

2)Zone de changement : segment ;

3)Fonction y = arcsin x impair : arcsin (-x) = - arcsin x ;

4)La fonction y = arcsin x est croissante de manière monotone ;

5) Le graphique coupe les axes Ox, Oy à l'origine.

Exemple 1. Trouvez a = arcsin. Cet exemple peut être formulé en détail comme suit : trouver un argument a, compris entre et, dont le sinus est égal à.

Solution. Il existe d'innombrables arguments dont le sinus est égal à , par exemple : etc. Mais nous ne nous intéressons qu'à l'argumentation qui porte sur le segment. Tel serait l'argument. Donc, .

Exemple 2. Rechercher .Solution. En argumentant de la même manière que dans l’exemple 1, on obtient .

b) exercices oraux. Rechercher : arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Exemple de réponse : , parce que . Les expressions ont-elles un sens : ; arcsin 1,5 ; ?

c) Classer par ordre croissant : arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Fonctions y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (similaire).

Leçon 2 (2 heures) Sujet : Fonctions trigonométriques inverses, leurs graphiques.

Objectif : dans cette leçon, il est nécessaire de développer des compétences pour déterminer les valeurs fonctions trigonométriques, dans la construction de graphiques de fonctions trigonométriques inverses en utilisant D (y), E (y) et les transformations nécessaires.

Dans cette leçon, effectuez des exercices qui incluent la recherche du domaine de définition, le domaine de valeur des fonctions du type : y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.

Vous devez construire des graphiques des fonctions : a) y = arcsin 2x ; b) y = 2 arcsin 2x ; c) y = arcsin ;

d) y = arcsin ; e) y = arcsin ; e) y = arcsin ; g) y = | arcsin | .

Exemple. Traçons y = arccos

Vous pouvez inclure les exercices suivants dans vos devoirs : construire des graphiques de fonctions : y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | X | .

Graphiques de fonctions inverses

Leçon n°3 (2 heures) Sujet :

Opérations sur les fonctions trigonométriques inverses.

Objectif : élargir les connaissances mathématiques (ceci est important pour ceux qui entrent dans des spécialités avec des exigences accrues en matière de formation mathématique) en introduisant des relations de base pour les fonctions trigonométriques inverses.

Matériel pour la leçon.

Quelques opérations trigonométriques simples sur les fonctions trigonométriques inverses : sin (arcsin x) = x , je xi ? 1; cos (arсcos x) = x, je xi ? 1; tg (arctg x)= x , x I R ; CTG (arcctg x) = x , x I R.

Des exercices.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctgx) = .

b) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Soit arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6 ;

cos (arc sinus x) = ; péché (arccos x) = .

Remarque : on prend le signe « + » devant la racine car a = arcsin x satisfait .

c) sin (1,5 + arcsin) Réponse : ;

d) ctg ( + arctg 3).Réponse : ;

e) tg ( – arcctg 4) Réponse : .

e) cos (0,5 + arccos). Répondre: .

Calculer:

a) péché (2 arctan 5) .

Soit arctan 5 = a, alors sin 2 a = ou péché (2 arctan 5) = ;

b) cos ( + 2 arcsin 0,8) Réponse : 0,28.

c) arctg + arctg.

Soit a = arctg, b = arctg,

alors tg(a + b) = .

d) péché (arcsin + arcsin).

e) Montrer que pour tout x I [-1; 1] vrai arcsin x + arccos x = .

Preuve:

arcsin x = – arccos x

péché (arcsin x) = péché ( – arccos x)

x = cos (arccos x)

Pour le résoudre vous-même : sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Pour une solution maison : 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0) ; 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) péché (1,5 – arcsin 0,8) ; 6) arctg 0,5 – arctg3.

Leçon n°4 (2 heures) Sujet : Opérations sur les fonctions trigonométriques inverses.

Objectif : Dans cette leçon, démontrer l'utilisation de ratios pour transformer des expressions plus complexes.

Matériel pour la leçon.

ORALEMENT:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8) ;

b) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5) ;

c) sin (arctg -3), cos (arcсtg());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

PAR ÉCRIT:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arccos 5–arccos 0,8) = cos (arccos 5) cos (arccos 0,8) + sin (arccos 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg ( - arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Un travail indépendant permettra d'identifier le niveau de maîtrise de la matière.

1) tg (arctg 2 – arctg) 2) cos( - arctan2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) péché (1,5 - arctan 3) 3) arcctg3 – arctg2

Pour devoirs nous pouvons proposer :

1) ctg (arctg + arctg + arctg) ; 2) péché 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) péché (2 arctg + bronzage ( arcsin )); 4) sin(2 arctg); 5) tg ( (arcsin))

Leçon n°5 (2 heures) Sujet : Opérations trigonométriques inverses sur les fonctions trigonométriques.

Objectif : former les étudiants à la compréhension des opérations trigonométriques inverses sur les fonctions trigonométriques, en se concentrant sur l'amélioration de la compréhension de la théorie étudiée.

Lors de l'étude de ce sujet, on suppose que la quantité de matériel théorique à mémoriser est limitée.

Matériel de cours :

Vous pouvez commencer à apprendre du nouveau matériel en étudiant la fonction y = arcsin (sin x) et en traçant son graphique.

3. Chaque x I R est associé à y I, c'est-à-dire<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. La fonction est impaire : sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sinx).

6. Graphique y = arcsin (sin x) sur :

une) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

péché y = péché ( – x) = péché x , 0<= - x <= .

Donc,

Après avoir construit y = arcsin (sin x) sur , on continue symétriquement autour de l'origine sur [- ; 0], étant donné l’étrangeté de cette fonction. En utilisant la périodicité, nous continuons tout au long de la droite numérique.

Écrivez ensuite quelques relations : arcsin (sin a) = a si<= a <= ; arccos (cos un ) = a si 0<= a <= ; arctg (tg a) = a si< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

Et faites les exercices suivants :a) arccos(sin 2).Réponse : 2 - ; b) arcsin (cos 0,6) Réponse : - 0,1 ; c) arctg (tg 2) Réponse : 2 - ;

d) arcctg(tg 0,6).Réponse : 0,9 ; e) arccos (cos ( - 2)).Réponse : 2 - ; e) arcsin (sin ( - 0,6)). Réponse : - 0,6 ; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Réponse : 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Réponse : - 0,6 ; - arctan x; e) arccos + arccos

Qu'est-ce que l'arc sinus, l'arc cosinus ? Qu'est-ce que l'arctangente, l'arccotangente ?

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans Article spécial 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Aux concepts arc sinus, arc cosinus, arc tangente, arc cotangente La population étudiante se méfie. Il ne comprend pas ces termes et ne fait donc pas confiance à cette gentille famille.) Mais en vain. Ce sont des concepts très simples. Ce qui facilite d’ailleurs énormément la vie d’une personne bien informée lorsqu’elle décide équations trigonométriques !

Des doutes sur la simplicité ? En vain.) Ici et maintenant, vous verrez cela.

Bien sûr, pour comprendre, ce serait bien de savoir Que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente ? Oui eux valeurs du tableau sous certains angles... Au moins dans les termes les plus généraux. Alors il n'y aura aucun problème ici non plus.

Nous sommes donc surpris, mais rappelez-vous : l'arc sinus, l'arc cosinus, l'arc tangente et l'arc cotangente ne sont que quelques angles. Ni plus ni moins. Il y a un angle, disons 30°. Et il y a un coin arcsin0.4. Ou arctg(-1.3). Il existe toutes sortes d’angles.) Vous pouvez simplement écrire les angles de différentes manières. Vous pouvez écrire l'angle en termes de degrés ou radians. Ou vous pouvez - à travers son sinus, son cosinus, sa tangente et sa cotangente...

Que signifie l'expression

arcsin 0.4 ?

C'est un angle dont le sinus est de 0,4! Oui oui. C'est la signification de l'arc sinus. Je le répète spécifiquement : arcsin 0,4 est un angle dont le sinus est égal à 0,4.

C'est tout.

Pour garder longtemps cette simple pensée en tête, je vais même détailler ce terme terrible - arc sinus :

arc péché 0,4
coin, dont le sinus égal à 0,4

Tel qu'il est écrit, tel qu'il s'entend.) Presque. Console arc moyens arc(mot cambre tu sais ?), parce que les anciens utilisaient des arcs au lieu d'angles, mais cela ne change pas l'essence du problème. Souvenez-vous de ce décodage élémentaire d'un terme mathématique ! De plus, pour arccosinus, arctangente et arccotangente, le décodage ne diffère que par le nom de la fonction.

Qu'est-ce qu'arccos 0.8 ?
Il s'agit d'un angle dont le cosinus est de 0,8.

Qu'est-ce que arctg(-1,3) ?
Il s'agit d'un angle dont la tangente est -1,3.

Qu’est-ce que l’arcctg 12 ?
C'est un angle dont la cotangente est 12.

Un tel décodage élémentaire permet d'ailleurs d'éviter des erreurs épiques.) Par exemple, l'expression arccos1,8 semble assez solide. Commençons le décodage : arccos1.8 est un angle dont le cosinus est égal à 1,8... Sauter-sauter !? 1.8 !? Le cosinus ne peut pas être supérieur à un !!!

Droite. L'expression arccos1,8 n'a pas de sens. Et écrire une telle expression dans une réponse amusera grandement l'inspecteur.)

Élémentaire, comme vous pouvez le voir.) Chaque angle a son propre sinus et cosinus personnels. Et presque tout le monde a sa propre tangente et cotangente. Par conséquent, connaissant la fonction trigonométrique, nous pouvons écrire l’angle lui-même. C'est à cela que sont destinés les arcs sinus, arccosinus, arctangentes et arccotangentes. A partir de maintenant, j'appellerai toute cette famille par un nom diminutif - des arches. Pour taper moins.)

Attention! Élémentaire verbal et conscient le déchiffrement des arches vous permet de résoudre une variété de tâches avec calme et confiance. Et en inhabituel Seulement, elle enregistre les tâches.

Est-il possible de passer des arcs aux degrés ou radians ordinaires ?- J'entends une question prudente.)

Pourquoi pas!? Facilement. Vous pouvez y aller et revenir. De plus, cela doit parfois être fait. Les arches sont une chose simple, mais c'est en quelque sorte plus calme sans elles, n'est-ce pas ?)

Par exemple : qu’est-ce que arcsin 0,5 ?

Rappelons le décodage : arcsin 0,5 est l'angle dont le sinus est 0,5. Maintenant, allumez votre tête (ou Google)) et rappelez-vous quel angle a un sinus de 0,5 ? Le sinus est égal à 0,5 y angle de 30 degrés. C'est ça: arcsin 0,5 est un angle de 30°. Vous pouvez écrire en toute sécurité :

arc sinus 0,5 = 30°

Ou, plus formellement, en termes de radians :

Voilà, vous pouvez oublier l'arc sinus et continuer à travailler avec les degrés ou radians habituels.

Si tu avais réalisé qu'est-ce que l'arc sinus, l'arc cosinus... Qu'est-ce que l'arc tangente, l'arc cotangente... Vous pouvez facilement faire face, par exemple, à un tel monstre.)

Une personne ignorante reculera d'horreur, oui...) Mais une personne informée rappelez-vous le décodage : l'arc sinus est l'angle dont le sinus... Et ainsi de suite. Si une personne bien informée sait également table des sinus... table des cosinus. Tableau des tangentes et cotangentes, alors il n'y a aucun problème !

Il suffit de se rendre compte que :

Je vais le déchiffrer, c'est-à-dire Permettez-moi de traduire la formule en mots : angle dont la tangente est 1 (arctg1)- c'est un angle de 45°. Ou, ce qui revient au même, Pi/4. De même:

et c'est tout... On remplace toutes les arches par des valeurs en radians, tout est réduit, il ne reste plus qu'à calculer combien font 1+1. Ce sera 2.) Quelle est la bonne réponse.

C'est ainsi que vous pouvez (et devez) passer des arcs sinus, arccosinus, arctangentes et arccotangentes aux degrés et radians ordinaires. Cela simplifie grandement les exemples effrayants !

Souvent, dans de tels exemples, à l'intérieur des arches, il y a négatif significations. Comme arctg(-1.3) ou, par exemple, arccos(-0.8)... Ce n'est pas un problème. Voici des formules simples pour passer de valeurs négatives à positives :

Vous devez, par exemple, déterminer la valeur de l'expression :

Cela peut être résolu en utilisant le cercle trigonométrique, mais vous ne voulez pas le dessiner. Bien, OK. Nous passons de négatif valeurs à l'intérieur de l'arc cosinus de k positif selon la deuxième formule :

À l’intérieur de l’arc cosinus à droite se trouve déjà positif signification. Quoi

vous devez simplement savoir. Il ne reste plus qu'à remplacer les radians par l'arc cosinus et à calculer la réponse :

C'est tout.

Restrictions sur l'arc sinus, l'arc cosinus, l'arc tangente, l'arc cotangente.

Y a-t-il un problème avec les exemples 7 à 9 ? Eh bien, oui, il y a une astuce là-dedans.)

Tous ces exemples, de 1 à 9, sont soigneusement triés en détail dans Article 555. Quoi, comment et pourquoi. Avec tous les pièges et astuces secrets. Plus des moyens de simplifier considérablement la solution. D'ailleurs, cette section contient de nombreuses informations utiles et conseils pratiques sur la trigonométrie en général. Et pas seulement en trigonométrie. Aide beaucoup.

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Fonctions trigonométriques inverses(fonctions circulaires, fonctions d'arc) - fonctions mathématiques inverses des fonctions trigonométriques.

Ceux-ci comprennent généralement 6 fonctions :

• arc sinus(désignation: arcsin x; arcsin x- c'est l'angle péché qui est égal à X),
• arc cosinus(désignation: arccos x; arccos x est l'angle dont le cosinus est égal à X et ainsi de suite),
• arctangente(désignation: arctan x ou arctan x),
• arccotangente(désignation: arcctg x ou arccot ​​​​x ou arccotan x),
• arc sécant(désignation: arcsec x),
• arccosécant(désignation: arccosec x ou arccsc x).

arc sinus (y = arc sinus x) - fonction inverse de péché (x = péché y . En d'autres termes, renvoie l'angle par sa valeur péché.

arc cosinus (y = arccos x) - fonction inverse de parce que (x = cos y parce que.

Arctangente (y = arctan x) - fonction inverse de tg (x = bronzage y), qui a un domaine et un ensemble de valeurs . En d'autres termes, renvoie l'angle par sa valeur tg.

Arccotangente (y = arcctg x) - fonction inverse de CTG (x = lit y), qui possède un domaine de définition et un ensemble de valeurs. En d'autres termes, renvoie l'angle par sa valeur CTG.

arcsec- arcsecant, renvoie l'angle en fonction de la valeur de sa sécante.

arccosec- arccosécante, renvoie un angle basé sur la valeur de sa cosécante.

Lorsque la fonction trigonométrique inverse n'est pas définie en un point spécifié, alors sa valeur n'apparaîtra pas dans le tableau final. Les fonctions arcsec Et arccosec ne sont pas déterminés sur le segment (-1,1), mais arcsin Et arccos sont déterminés uniquement sur l'intervalle [-1,1].

Le nom de la fonction trigonométrique inverse est formé à partir du nom de la fonction trigonométrique correspondante en ajoutant le préfixe « arc- » (de Lat. arc nous- arc). Cela est dû au fait que géométriquement, la valeur de la fonction trigonométrique inverse est associée à la longueur de l'arc de cercle unité (ou à l'angle qui sous-tend cet arc), qui correspond à l'un ou l'autre segment.

Parfois, dans la littérature étrangère, ainsi que dans les calculatrices scientifiques/techniques, ils utilisent des notations comme péché−1, cos−1 pour l'arc sinus, l'arc cosinus et autres, cela n'est pas considéré comme tout à fait exact, car il est probable qu'il y ait une confusion avec l'élévation d'une fonction à un pouvoir −1 (« −1 » (moins la première puissance) définit la fonction x = f-1 (y), l'inverse de la fonction y = f(x)).

Relations de base des fonctions trigonométriques inverses.

Ici, il est important de faire attention aux intervalles pour lesquels les formules sont valables.

Formules reliant les fonctions trigonométriques inverses.

Notons n'importe laquelle des valeurs des fonctions trigonométriques inverses par Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot ​​​​x et gardez la notation : arcsin x, arcos x, arctan x, arccot ​​​​x pour leurs valeurs principales, alors le lien entre eux s'exprime par de telles relations.