Graphique Arcsin sinx. Fonctions trigonométriques inverses, leurs graphiques et formules

Fonctions trigonométriques inverses(fonctions circulaires, fonctions d'arc) - fonctions mathématiques inverses des fonctions trigonométriques.

arc sinus(noté comme arcsin x; arcsin x- c'est l'angle péché ses égaux X).

arc sinus (y = arc sinus x) - fonction trigonométrique inverse à péché (x = péché y), qui a un domaine et un ensemble de valeurs . En d'autres termes, renvoie l'angle par sa valeur péché.

Fonction y = péché x est continue et délimitée sur toute sa droite numérique. Fonction y = arc sinus x- augmente strictement.

Propriétés de la fonction arcsin.

Terrain arcsinus.

Obtenir la fonction arcsin.

Il y a une fonction y = sinx. Dans tout son domaine de définition, il est monotone par morceaux, d'où la correspondance inverse y = arc sinus x n'est pas une fonction. Par conséquent, nous considérons le segment sur lequel il ne fait qu'augmenter et prenons chaque valeur de la plage de valeurs - . Parce que pour la fonction y = sinx sur l'intervalle, toutes les valeurs de la fonction sont obtenues avec une seule valeur de l'argument, ce qui signifie que sur cet intervalle il y a une fonction inverse y = arc sinus x, dont le graphe est symétrique au graphe de la fonction y = sinx sur un segment relativement droit y = x.

Les problèmes liés aux fonctions trigonométriques inverses sont souvent proposés lors des examens finaux d'école et lors des examens d'entrée dans certaines universités. Une étude détaillée de ce sujet ne peut être réalisée que dans le cadre de cours au choix ou de cours au choix. Le cours proposé est conçu pour développer le plus pleinement possible les capacités de chaque étudiant et améliorer sa préparation mathématique.

Le cours dure 10 heures :

1.Fonctions arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 heures).

2.Opérations sur les fonctions trigonométriques inverses (4 heures).

3. Opérations trigonométriques inverses sur les fonctions trigonométriques (2 heures).

Leçon 1 (2 heures) Sujet : Fonctions y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

Objectif : couvrir complètement cette problématique.

1.Fonction y = arcsin x.

a) Pour la fonction y = sin x sur le segment, il existe une fonction inverse (à valeur unique), que nous avons convenu d'appeler arcsinus et de la noter comme suit : y = arcsin x. Le graphique de la fonction inverse est symétrique au graphique de la fonction principale par rapport à la bissectrice des angles de coordonnées I - III.

Propriétés de la fonction y = arcsin x.

1) Domaine de définition : segment [-1 ; 1];

2)Zone de changement : segment ;

3)Fonction y = arcsin x impair : arcsin (-x) = - arcsin x ;

4)La fonction y = arcsin x est croissante de manière monotone ;

5) Le graphique coupe les axes Ox, Oy à l'origine.

Exemple 1. Trouvez a = arcsin. Cet exemple peut être formulé en détail comme suit : trouver un argument a, compris entre et, dont le sinus est égal à.

Solution. Il existe d'innombrables arguments dont le sinus est égal à , par exemple : etc. Mais nous ne nous intéressons qu'à l'argumentation qui porte sur le segment. Tel serait l'argument. Donc, .

Exemple 2. Rechercher .Solution. En argumentant de la même manière que dans l’exemple 1, on obtient .

b) exercices oraux. Rechercher : arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Exemple de réponse : , parce que . Les expressions ont-elles un sens : ; arcsin 1,5 ; ?

c) Classer par ordre croissant : arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Fonctions y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (similaire).

Leçon 2 (2 heures) Sujet : Fonctions trigonométriques inverses, leurs graphiques.

Objectif : dans cette leçon, il est nécessaire de développer des compétences pour déterminer les valeurs fonctions trigonométriques, dans la construction de graphiques de fonctions trigonométriques inverses en utilisant D (y), E (y) et les transformations nécessaires.

Dans cette leçon, effectuez des exercices qui incluent la recherche du domaine de définition, le domaine de valeur des fonctions du type : y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.

Vous devez construire des graphiques des fonctions : a) y = arcsin 2x ; b) y = 2 arcsin 2x ; c) y = arcsin ;

d) y = arcsin ; e) y = arcsin ; e) y = arcsin ; g) y = | arcsin | .

Exemple. Traçons y = arccos

Vous pouvez inclure les exercices suivants dans vos devoirs : construire des graphiques de fonctions : y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | X | .

Graphiques de fonctions inverses

Leçon n°3 (2 heures) Sujet :

Opérations sur les fonctions trigonométriques inverses.

Objectif : élargir les connaissances mathématiques (ceci est important pour ceux qui entrent dans des spécialités avec des exigences accrues en matière de formation mathématique) en introduisant des relations de base pour les fonctions trigonométriques inverses.

Matériel pour la leçon.

Quelques opérations trigonométriques simples sur les fonctions trigonométriques inverses : sin (arcsin x) = x , je xi ? 1; cos (arсcos x) = x, je xi ? 1; tg (arctg x)= x , x I R ; CTG (arcctg x) = x , x I R.

Des exercices.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctgx) = .

b) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Soit arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6 ;

cos (arc sinus x) = ; péché (arccos x) = .

Remarque : on prend le signe « + » devant la racine car a = arcsin x satisfait .

c) sin (1,5 + arcsin) Réponse : ;

d) ctg ( + arctg 3).Réponse : ;

e) tg ( – arcctg 4) Réponse : .

e) cos (0,5 + arccos). Répondre: .

Calculer:

a) péché (2 arctan 5) .

Soit arctan 5 = a, alors sin 2 a = ou péché (2 arctan 5) = ;

b) cos ( + 2 arcsin 0,8) Réponse : 0,28.

c) arctg + arctg.

Soit a = arctg, b = arctg,

alors tg(a + b) = .

d) péché (arcsin + arcsin).

e) Montrer que pour tout x I [-1; 1] vrai arcsin x + arccos x = .

Preuve:

arcsin x = – arccos x

péché (arcsin x) = péché ( – arccos x)

x = cos (arccos x)

Pour le résoudre vous-même : sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Pour une solution maison : 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0) ; 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) péché (1,5 – arcsin 0,8) ; 6) arctg 0,5 – arctg3.

Leçon n°4 (2 heures) Sujet : Opérations sur les fonctions trigonométriques inverses.

Objectif : Dans cette leçon, démontrer l'utilisation de ratios pour transformer des expressions plus complexes.

Matériel pour la leçon.

ORALEMENT:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8) ;

b) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5) ;

c) sin (arctg -3), cos (arcсtg());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

PAR ÉCRIT:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arccos 5–arccos 0,8) = cos (arccos 5) cos (arccos 0,8) + sin (arccos 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg ( - arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Un travail indépendant permettra d'identifier le niveau de maîtrise de la matière.

1) tg (arctg 2 – arctg) 2) cos( - arctan2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) péché (1,5 - arctan 3) 3) arcctg3 – arctg2

Pour devoirs nous pouvons proposer :

1) ctg (arctg + arctg + arctg) ; 2) péché 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) péché (2 arctg + bronzage ( arcsin )); 4) sin(2 arctg); 5) tg ( (arcsin))

Leçon n°5 (2 heures) Sujet : Opérations trigonométriques inverses sur les fonctions trigonométriques.

Objectif : former les étudiants à la compréhension des opérations trigonométriques inverses sur les fonctions trigonométriques, en se concentrant sur l'amélioration de la compréhension de la théorie étudiée.

Lors de l'étude de ce sujet, on suppose que la quantité de matériel théorique à mémoriser est limitée.

Matériel de cours :

Vous pouvez commencer à apprendre du nouveau matériel en étudiant la fonction y = arcsin (sin x) et en traçant son graphique.

3. Chaque x I R est associé à y I, c'est-à-dire<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. La fonction est impaire : sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sinx).

6. Graphique y = arcsin (sin x) sur :

une) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

péché y = péché ( – x) = péché x , 0<= - x <= .

Donc,

Après avoir construit y = arcsin (sin x) sur , on continue symétriquement autour de l'origine sur [- ; 0], étant donné l’étrangeté de cette fonction. En utilisant la périodicité, nous continuons tout au long de la droite numérique.

Écrivez ensuite quelques relations : arcsin (sin a) = a si<= a <= ; arccos (cos un ) = a si 0<= a <= ; arctg (tg a) = a si< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

Et faites les exercices suivants :a) arccos(sin 2).Réponse : 2 - ; b) arcsin (cos 0,6) Réponse : - 0,1 ; c) arctg (tg 2) Réponse : 2 - ;

d) arcctg(tg 0,6).Réponse : 0,9 ; e) arccos (cos ( - 2)).Réponse : 2 - ; e) arcsin (sin ( - 0,6)). Réponse : - 0,6 ; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Réponse : 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Réponse : - 0,6 ; - arctan x; e) arccos + arccos

Les fonctions sin, cos, tg et ctg sont toujours accompagnées de arc sinus, arc cosinus, arc tangente et arc cotangente. L’une est une conséquence de l’autre, et les paires de fonctions sont tout aussi importantes pour travailler avec des expressions trigonométriques.

Considérons un dessin d'un cercle unité, qui affiche graphiquement les valeurs des fonctions trigonométriques.

Si l'on calcule les arcs OA, arcos OC, arctg DE et arcctg MK, alors ils seront tous égaux à la valeur de l'angle α. Les formules ci-dessous reflètent la relation entre les fonctions trigonométriques de base et leurs arcs correspondants.

Pour mieux comprendre les propriétés de l’arc sinus, il est nécessaire de considérer sa fonction. Calendrier a la forme d'une courbe asymétrique passant par le centre de coordonnées.

Propriétés de l'arc sinus :

Si l'on compare les graphiques péché Et arcsin, deux fonctions trigonométriques peuvent avoir des modèles communs.

arc cosinus

L'arccos d'un nombre est la valeur de l'angle α dont le cosinus est égal à a.

Courbe y = arcos x reflète le graphique arcsin x, la seule différence étant qu'il passe par le point π/2 sur l'axe OY.

Examinons plus en détail la fonction arc cosinus :

1. La fonction est définie sur l'intervalle [-1; 1].
2. ODZ pour arccos - .
3. Le graphique est entièrement situé dans les premier et deuxième trimestres, et la fonction elle-même n'est ni paire ni impaire.
4. Y = 0 à x = 1.
5. La courbe diminue sur toute sa longueur. Certaines propriétés de l'arc cosinus coïncident avec la fonction cosinus.

Certaines propriétés de l'arc cosinus coïncident avec la fonction cosinus.

Peut-être que les écoliers trouveront inutile une étude aussi « détaillée » des « arches ». Cependant, sinon, certaines tâches d'examen standard élémentaires peuvent conduire les étudiants dans une impasse.

Exercice 1. Indiquez les fonctions illustrées sur la figure.

Répondre: riz. 1 – 4, fig. 2 – 1.

Dans cet exemple, l'accent est mis sur les petites choses. En règle générale, les étudiants sont très inattentifs à la construction de graphiques et à l'apparence des fonctions. En effet, pourquoi retenir le type de courbe si elle peut toujours être tracée à partir de points calculés. N'oubliez pas que dans des conditions de test, le temps consacré au dessin pour une tâche simple sera nécessaire pour résoudre des tâches plus complexes.

Arctangente

Arctg les nombres a sont la valeur de l'angle α telle que sa tangente soit égale à a.

Si l’on considère le graphe arctangent, on peut mettre en évidence les propriétés suivantes :

1. Le graphique est infini et défini sur l'intervalle (- ∞ ; + ∞).
2. L'arctangente est une fonction étrange, donc arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 à x = 0.
4. La courbe augmente sur toute la plage de définition.

Présentons une brève analyse comparative de tg x et arctg x sous forme de tableau.

Arccotangente

Arcctg d'un nombre - prend une valeur α de l'intervalle (0; π) telle que sa cotangente soit égale à a.

Propriétés de la fonction arc cotangente :

1. L'intervalle de définition de la fonction est l'infini.
2. La plage de valeurs acceptables est l'intervalle (0 ; π).
3. F(x) n’est ni pair ni impair.
4. Sur toute sa longueur, le graphique de la fonction diminue.

La comparaison de ctg x et arctg x est très simple : il suffit de faire deux dessins et de décrire le comportement des courbes.

Tâche 2. Faites correspondre le graphique et la forme de notation de la fonction.

Si nous réfléchissons logiquement, il ressort clairement des graphiques que les deux fonctions augmentent. Par conséquent, les deux figures affichent une certaine fonction arctan. D'après les propriétés de l'arctangente, on sait que y=0 à x = 0,

Répondre: riz. 1 – 1, fig. 2 – 4.

Identités trigonométriques arcsin, arcos, arctg et arcctg

Nous avons déjà identifié la relation entre les arcs et les fonctions de base de la trigonométrie. Cette dépendance peut être exprimée par un certain nombre de formules qui permettent d'exprimer, par exemple, le sinus d'un argument par son arc sinus, son arc cosinus ou vice versa. La connaissance de telles identités peut être utile pour résoudre des exemples spécifiques.

Il existe également des relations pour arctg et arcctg :

Une autre paire de formules utiles définit la valeur de la somme de arcsin et arcos, ainsi que arcctg et arcctg du même angle.

Exemples de résolution de problèmes

Les tâches de trigonométrie peuvent être divisées en quatre groupes : calculer la valeur numérique d'une expression spécifique, construire un graphique d'une fonction donnée, trouver son domaine de définition ou ODZ et effectuer des transformations analytiques pour résoudre l'exemple.

Lors de la résolution du premier type de problème, vous devez respecter le plan d'action suivant :

Lorsque l'on travaille avec des graphiques de fonctions, l'essentiel est la connaissance de leurs propriétés et de l'apparence de la courbe. La résolution d’équations trigonométriques et d’inégalités nécessite des tables d’identité. Plus un élève mémorise de formules, plus il est facile de trouver la réponse à la tâche.

Disons que lors de l'examen d'État unifié, vous devez trouver la réponse à une équation telle que :

Si vous transformez correctement l'expression et l'amenez à la forme souhaitée, sa résolution est très simple et rapide. Tout d’abord, déplaçons arcsin x vers la droite de l’égalité.

Si tu te souviens de la formule arcsin (sin α) = α, on peut alors réduire la recherche de réponses à la résolution d'un système de deux équations :

La restriction sur le modèle x provenait, encore une fois, des propriétés d'arcsin : ODZ pour x [-1 ; 1]. Lorsque a ≠0, une partie du système est une équation quadratique de racines x1 = 1 et x2 = - 1/a. Lorsque a = 0, x sera égal à 1.

Puisque les fonctions trigonométriques sont périodiques, leurs fonctions inverses ne sont pas uniques. Donc l’équation y = péché x, pour un , a une infinité de racines. En effet, en raison de la périodicité du sinus, si x est une telle racine, alors x + 2πn(où n est un nombre entier) sera également la racine de l'équation. Ainsi, les fonctions trigonométriques inverses sont à plusieurs valeurs. Pour faciliter le travail avec eux, le concept de leurs principales significations est introduit. Considérons, par exemple, sinus : y = péché x. Si nous limitons l'argument x à l'intervalle , alors sur lui la fonction y = péché x augmente de façon monotone. Par conséquent, il a une fonction inverse unique, appelée arc sinus : x = arcsin y.

Sauf indication contraire, par fonctions trigonométriques inverses, nous entendons leurs valeurs principales, qui sont déterminées par les définitions suivantes.

Arc sinus ( y = arcsin x) est la fonction inverse du sinus ( X = sinueux
Arc cosinus ( y = arccos x) est la fonction inverse du cosinus ( X = confortable), ayant un domaine de définition et un ensemble de valeurs.
Arctangente ( y = arctan x) est la fonction inverse de la tangente ( X = tg y), ayant un domaine de définition et un ensemble de valeurs.
arccotangente ( y = arcctg x) est la fonction inverse de la cotangente ( X = ctg y), ayant un domaine de définition et un ensemble de valeurs.

Graphiques de fonctions trigonométriques inverses

Les graphiques de fonctions trigonométriques inverses sont obtenus à partir de graphiques de fonctions trigonométriques par réflexion miroir par rapport à la droite y = x. Voir les sections Sinus, cosinus, Tangente, cotangente.

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctan x

y = arcctg x

Formules de base

Ici, vous devez accorder une attention particulière aux intervalles pour lesquels les formules sont valables.

arc péché (péché x) = xà
péché(arcsinx) = x
arccos(cos x) = xà
cos(arccos x) = x

arctan(tgx) = xà
tg(arctgx) = x
arcctg(ctgx) = xà
ctg(arcctgx) = x

Formules reliant les fonctions trigonométriques inverses

Voir également: Dérivation de formules pour les fonctions trigonométriques inverses

Formules de somme et de différence

à ou

à et

à et

à ou

à et

à et

à

à

à

à

à

à

à

à

à

à

Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.

(fonctions circulaires, fonctions d'arc) - fonctions mathématiques inverses des fonctions trigonométriques.

arc cosinus, fonction inverse de cos (x = cos y), y = arccos X est défini à et a de nombreuses valeurs. En d'autres termes, renvoie l'angle par sa valeur parce que.

arc cosinus(désignation: arccos x; arccos x est l'angle dont le cosinus est égal à X et ainsi de suite).

Fonction y = cos x est continue et délimitée sur toute sa droite numérique. Fonction y = arccos x est strictement décroissante.

Propriétés de la fonction arcsin.

Obtenir la fonction arccos.

Étant donné une fonction y = cos x. Dans tout son domaine de définition, il est monotone par morceaux et, par conséquent, la correspondance inverse y = arccos x n'est pas une fonction. Par conséquent, nous considérerons le segment sur lequel il diminue strictement et prend toutes ses valeurs - . Sur ce segment y = cos x diminue de manière strictement monotone et ne prend toutes ses valeurs qu'une seule fois, ce qui signifie qu'il existe une fonction inverse sur le segment y = arccos x, dont le graphe est symétrique au graphe y = cos x sur un segment relativement droit y = x.