Comment déterminer l'ensemble des valeurs de fonction. La gamme de fonctions dans les problèmes USE
La dépendance d'une variable par rapport à une autre est appelée dépendance fonctionnelle. Variable de dépendance ouià partir d'une variable X appelé fonction, si chaque valeur X correspond à une seule valeur oui.
Désignation:
Variable X appelée variable indépendante ou argument, et la variable oui- dépendant. Ils disent ça oui est une fonction de X. Signification oui, correspondant à la valeur spécifiée X, appelé valeur de la fonction.
Toutes les valeurs qu'il accepte X, formulaire domaine d'une fonction; toutes les valeurs qu'il faut oui, formulaire ensemble de valeurs de fonction.
Désignations : 
D(f)- les valeurs des arguments. E(f)- les valeurs des fonctions. Si une fonction est donnée par une formule, alors le domaine de définition est considéré comme constitué de toutes les valeurs de la variable pour lesquelles cette formule a un sens.
Graphique de fonction est l'ensemble de tous les points du plan de coordonnées dont les abscisses sont égales aux valeurs de l'argument, et dont les ordonnées sont égales aux valeurs correspondantes de la fonction. Si une certaine valeur x=x0 correspond à plusieurs valeurs (pas une seule) oui, alors une telle correspondance n'est pas une fonction. Pour qu'un ensemble de points sur un plan de coordonnées soit un graphique d'une certaine fonction, il est nécessaire et suffisant que toute ligne droite parallèle à l'axe Oy coupe le graphique en un point au maximum.
Méthodes de spécification d'une fonction
1) La fonction peut être définie analytiquement sous forme de formule. Par exemple, 
2) La fonction peut être spécifiée par un tableau de plusieurs paires (x; y).
3) La fonction peut être spécifiée graphiquement. Paires de valeurs (x; y) sont représentés sur le plan de coordonnées.
Monotonie de la fonction
Fonction f(x) appelé en augmentant sur un intervalle numérique donné, si une plus grande valeur de l'argument correspond à une plus grande valeur de la fonction. Imaginez qu'un certain point se déplace le long du graphique de gauche à droite. Le point semblera alors « grimper » sur le graphique.
Fonction f(x) appelé décroissant sur un intervalle numérique donné, si une plus grande valeur de l'argument correspond à une plus petite valeur de la fonction. Imaginez qu'un certain point se déplace le long du graphique de gauche à droite. Ensuite, le point semblera « rouler » vers le bas du graphique.
Une fonction qui ne fait qu'augmenter ou diminuer que sur un intervalle numérique donné est appelée monotone sur cet intervalle.
Zéros de la fonction et intervalles de signe constant
Valeurs X, auquel y=0, appelé fonction zéros. Ce sont les abscisses des points d'intersection du graphe de fonctions avec l'axe Ox.
De telles plages de valeurs X, sur lequel la fonction valeurs oui soit seuls les positifs, soit uniquement les négatifs sont appelés intervalles de signe constant de la fonction.
Fonctions paires et impaires
Même fonction
1) Le domaine de définition est symétrique par rapport au point (0 ; 0), c'est-à-dire si le point un appartient au domaine de la définition, alors le point -un appartient également au domaine de la définition.
2) Pour n'importe quelle valeur X f(-x)=f(x)
3) Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe Oy.
Fonction étrange a les propriétés suivantes :
1) Le domaine de définition est symétrique par rapport au point (0 ; 0).
2) pour n'importe quelle valeur X, appartenant au domaine de définition, l'égalité f(-x)=-f(x)
3) Le graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine (0 ; 0).
Toutes les fonctions ne sont pas paires ou impaires. Les fonctions vue générale ne sont ni pairs ni impairs.
Fonctions périodiques
Fonction F est appelé périodique s'il existe un nombre tel que pour tout X du domaine de la définition l'égalité f(x)=f(x-T)=f(x+T). T est la période de la fonction.
Chaque fonction périodique a un nombre infini de périodes. En pratique, on considère généralement la plus petite période positive.
Les valeurs d'une fonction périodique se répètent après un intervalle égal à la période. Ceci est utilisé lors de la construction de graphiques.
Souvent, dans le cadre de la résolution de problèmes, nous devons rechercher de nombreuses valeurs d'une fonction sur un domaine de définition ou un segment. Par exemple, cela devrait être fait lors de la résolution différents types inégalités, évaluations des expressions, etc.
Dans le cadre de ce matériel, nous vous indiquerons quelle est la plage de valeurs d'une fonction, donnerons les principales méthodes par lesquelles elle peut être calculée et analyserons les problèmes divers degrés des difficultés. Pour plus de clarté, les dispositions individuelles sont illustrées par des graphiques. Après avoir lu cet article, vous aurez une compréhension globale de l’étendue d’une fonction.
Commençons par les définitions de base.
Définition 1
L'ensemble des valeurs d'une fonction y = f (x) sur un certain intervalle x est l'ensemble de toutes les valeurs que cette fonction prend lors d'une itération sur toutes les valeurs x ∈ X.
Définition 2
La plage de valeurs d'une fonction y = f (x) est l'ensemble de toutes ses valeurs qu'elle peut prendre lors de la recherche parmi les valeurs de x dans la plage x ∈ (f).
La plage de valeurs d'une certaine fonction est généralement désignée par E (f).
Attention, la notion d'ensemble de valeurs d'une fonction n'est pas toujours identique à sa plage de valeurs. Ces concepts ne seront équivalents que si l'intervalle de valeurs de x lors de la recherche d'un ensemble de valeurs coïncide avec le domaine de définition de la fonction.
Il est également important de faire la distinction entre la plage de valeurs et la plage de valeurs acceptables de la variable x pour l'expression du côté droit y = f (x). La plage de valeurs admissibles x pour l'expression f (x) sera le domaine de définition de cette fonction.
Vous trouverez ci-dessous une illustration montrant quelques exemples. Les lignes bleues sont des graphiques de fonctions, les lignes rouges sont des asymptotes, les points rouges et les lignes sur l'axe des ordonnées sont des plages de fonctions.
Évidemment, la plage de valeurs d'une fonction peut être obtenue en projetant le graphique de la fonction sur l'axe O y. De plus, il peut représenter soit un nombre unique, soit un ensemble de nombres, un segment, un intervalle, un rayon ouvert, une union d'intervalles numériques, etc.
Examinons les principales façons de trouver la plage de valeurs d'une fonction.
Commençons par définir l'ensemble des valeurs de la fonction continue y = f (x) sur un certain segment noté [ a ; b ] . Nous savons qu'une fonction continue sur un certain segment y atteint son minimum et son maximum, c'est-à-dire le plus grand m a x x ∈ a ; b f (x) et la plus petite valeur m i n x ∈ a ; bf (x) . Cela signifie que nous obtenons un segment m i n x ∈ a ; bf(x); m une x x ∈ une ; b f (x) , qui contiendra les ensembles de valeurs de la fonction d'origine. Il ne nous reste plus qu'à trouver les points minimum et maximum indiqués sur ce segment.
Prenons un problème dans lequel nous devons déterminer la plage des valeurs de l'arc sinus.
Exemple 1
Condition: trouver la plage de valeurs y = a r c sin x .
Solution
Dans le cas général, le domaine de définition de l'arc sinus se situe sur le segment [ - 1 ; 1 ] . Nous devons déterminer la valeur la plus grande et la plus petite de la fonction spécifiée.
y " = a r c péché x " = 1 1 - x 2
On sait que la dérivée de la fonction sera positive pour toutes les valeurs de x situées dans l'intervalle [ - 1 ; 1 ], c'est-à-dire que dans tout le domaine de définition, la fonction arc sinus va augmenter. Cela signifie qu'il prendra la plus petite valeur lorsque x est égal à - 1, et la plus grande valeur lorsque x est égal à 1.
m je n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c péché x = a r c péché 1 = π 2
Ainsi, la plage de valeurs de la fonction arc sinus sera égale à E (a r c sin x) = - π 2 ; π2.
Répondre: E (arc sin x) = - π 2 ; π 2
Exemple 2
Condition: calculer la plage de valeurs y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 sur l'intervalle donné [ 1 ; 4 ] .
Solution
Tout ce que nous avons à faire est de calculer la plus grande et la plus petite valeur de la fonction dans un intervalle donné.
Pour déterminer les points extrêmes, les calculs suivants doivent être effectués :
y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1 ; 4 et l et 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ; 4 ; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2 , 59 ∈ 1 ; 4
Trouvons maintenant les valeurs de la fonction donnée aux extrémités du segment et des points x 2 = 15 - 33 8 ; x 3 = 15 + 33 8 :
y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2. 08 ans 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 ans (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32
Cela signifie que l'ensemble des valeurs de fonction sera déterminé par le segment 117 - 165 33 512 ; 32.
Répondre: 117 - 165 33 512 ; 32 .
Passons à la recherche de l'ensemble des valeurs de la fonction continue y = f (x) dans les intervalles (a ; b), et a ; + ∞ , - ∞ ; b , - ∞ ; + ∞ .
Commençons par déterminer les points les plus grands et les plus petits, ainsi que les intervalles d'augmentation et de diminution sur un intervalle donné. Après cela, nous devrons calculer des limites unilatérales aux extrémités de l’intervalle et/ou des limites à l’infini. En d’autres termes, nous devons déterminer le comportement de la fonction dans des conditions données. Nous disposons de toutes les données nécessaires pour cela.
Exemple 3
Condition: calculer l'étendue de la fonction y = 1 x 2 - 4 sur l'intervalle (- 2 ; 2) .
Solution
Déterminer la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction sur un segment donné
y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)
Nous avons une valeur maximale égale à 0, puisque c'est à ce moment que le signe de la fonction change et que le graphique commence à diminuer. Voir l'illustration :
Autrement dit, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 sera valeurs maximales les fonctions.
Déterminons maintenant le comportement de la fonction pour un x qui tend vers - 2 du côté droit et + 2 du côté gauche. En d’autres termes, nous trouvons des limites unilatérales :
lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞
Il s'avère que les valeurs de la fonction augmenteront de moins l'infini à - 1 4 lorsque l'argument passe de - 2 à 0. Et lorsque l'argument passe de 0 à 2, les valeurs de la fonction diminuent vers moins l'infini. Par conséquent, l'ensemble des valeurs d'une fonction donnée sur l'intervalle dont nous avons besoin sera (- ∞ ; - 1 4 ] .
Répondre: (- ∞ ; - 1 4 ] .
Exemple 4
Condition: indique l'ensemble des valeurs y = t g x sur un intervalle donné - π 2 ; π2.
Solution
On sait que dans le cas général la dérivée de la tangente est - π 2 ; π 2 sera positif, c'est-à-dire que la fonction augmentera. Déterminons maintenant comment la fonction se comporte dans les limites données :
lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞
Nous avons obtenu une augmentation des valeurs de la fonction de moins l'infini à plus l'infini lorsque l'argument passe de - π 2 à π 2, et on peut dire que l'ensemble des solutions de cette fonction sera l'ensemble de tous les nombres réels .
Répondre: - ∞ ; + ∞ .
Exemple 5
Condition: déterminer l'étendue de la fonction logarithme népérien y = ln x.
Solution
On sait que cette fonction est définie pour des valeurs positives de l'argument D (y) = 0 ; + ∞ . La dérivée sur un intervalle donné sera positive : y " = ln x " = 1 x . Cela signifie que la fonction augmente. Ensuite, nous devons définir une limite unilatérale pour le cas où l'argument tend vers 0 (du côté droit) et où x tend vers l'infini :
lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞
Nous avons constaté que les valeurs de la fonction augmenteront de moins l'infini à plus l'infini à mesure que les valeurs de x changent de zéro à plus l'infini. Cela signifie que l'ensemble de tous les nombres réels est la plage de valeurs de la fonction logarithme népérien.
Répondre: l'ensemble de tous les nombres réels est la plage de valeurs de la fonction logarithme népérien.
Exemple 6
Condition: déterminer l'étendue de la fonction y = 9 x 2 + 1 .
Solution
Cette fonction est définie à condition que x soit un nombre réel. Calculons les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction, ainsi que les intervalles de son augmentation et de sa diminution :
y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
En conséquence, nous avons déterminé que cette fonction diminuerait si x ≥ 0 ; augmenter si x ≤ 0 ; il a un point maximum y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 avec une variable égale à 0.
Voyons comment la fonction se comporte à l'infini :
lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0
Il ressort clairement du dossier que les valeurs de la fonction dans ce cas se rapprocheront asymptotiquement de 0.
Pour résumer : lorsque l'argument passe de moins l'infini à zéro, les valeurs de la fonction augmentent de 0 à 9. Lorsque les valeurs des arguments passent de 0 à plus l'infini, les valeurs de la fonction correspondante diminuent de 9 à 0. Nous l'avons montré sur la figure :
Il montre que la plage de valeurs de la fonction sera l'intervalle E (y) = (0 ; 9 ]
Répondre: E (y) = (0 ; 9 ]
Si nous devons déterminer l'ensemble des valeurs de la fonction y = f (x) sur les intervalles [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , alors nous devrons réaliser exactement les mêmes études. Nous n'analyserons pas ces cas pour l'instant : nous les rencontrerons plus tard dans problèmes.
Mais que se passe-t-il si le domaine de définition d'une certaine fonction est une union de plusieurs intervalles ? Ensuite, nous devons calculer les ensembles de valeurs sur chacun de ces intervalles et les combiner.
Exemple 7
Condition: déterminer quelle sera la plage de valeurs y = x x - 2 .
Solution
Puisque le dénominateur de la fonction ne doit pas être transformé en 0, alors D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; + ∞ .
Commençons par définir l'ensemble des valeurs de fonction sur le premier segment - ∞ ; 2, qui est une poutre ouverte. Nous savons que la fonction sur celle-ci diminuera, c'est-à-dire que la dérivée de cette fonction sera négative.
lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0
Ensuite, dans les cas où l'argument évolue vers moins l'infini, les valeurs de la fonction se rapprocheront asymptotiquement de 1. Si les valeurs de x changent de moins l'infini à 2, alors les valeurs diminueront de 1 à moins l'infini, c'est-à-dire la fonction sur ce segment prendra les valeurs de l'intervalle - ∞ ; 1 . Nous excluons l'unité de nos considérations, puisque les valeurs de la fonction ne l'atteignent pas, mais s'en approchent seulement asymptotiquement.
Pour faisceau ouvert 2 ; + ∞ nous effectuons exactement les mêmes actions. La fonction dessus diminue également :
lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0
Les valeurs de la fonction sur un segment donné sont déterminées par l'ensemble 1 ; + ∞ . Cela signifie que la plage de valeurs dont nous avons besoin pour la fonction spécifiée dans la condition sera l'union des ensembles - ∞ ; 1 et 1 ; + ∞ .
Répondre: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .
Cela peut être vu sur le graphique :
Un cas particulier est celui des fonctions périodiques. Leur plage de valeurs coïncide avec l'ensemble des valeurs sur l'intervalle qui correspond à la période de cette fonction.
Exemple 8
Condition: déterminer la plage de valeurs du sinus y = sin x.
Solution
Le sinus est une fonction périodique et sa période est de 2 pi. Prenez le segment 0 ; 2 π et voyez quel sera l'ensemble de valeurs dessus.
y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z
Dans les 0 ; 2 π la fonction aura des points extremum π 2 et x = 3 π 2 . Calculons à quoi seront égales les valeurs de la fonction, ainsi que sur les limites du segment, puis choisissons la valeur la plus grande et la plus petite.
y (0) = péché 0 = 0 y π 2 = péché π 2 = 1 y 3 π 2 = péché 3 π 2 = - 1 y (2 π) = péché (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0 ; 2 π péché x = péché π 2 = 1
Répondre: E (péché x) = - 1 ; 1 .
Si vous avez besoin de connaître les plages de fonctions telles que puissance, exponentielle, logarithmique, trigonométrique, trigonométrique inverse, alors nous vous conseillons de relire l'article sur les fonctions élémentaires de base. La théorie que nous présentons ici permet de vérifier les valeurs qui y sont indiquées. Il est conseillé de les apprendre car ils sont souvent nécessaires pour résoudre des problèmes. Si vous connaissez les plages de fonctions de base, vous pouvez facilement trouver les plages de fonctions obtenues à partir de fonctions élémentaires à l'aide d'une transformation géométrique.
Exemple 9
Condition: déterminer la plage de valeurs y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .
Solution
Nous savons que le segment de 0 à pi est la plage de l’arc cosinus. En d’autres termes, E (arc cos x) = 0 ; π ou 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Nous pouvons obtenir la fonction a r c cos x 3 + 5 π 7 à partir de l'arc cosinus en le déplaçant et en l'étirant le long de l'axe O x, mais de telles transformations ne nous donneront rien. Cela signifie 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .
La fonction 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 peut être obtenue à partir de l'arc cosinus a r c cos x 3 + 5 π 7 en étirant le long de l'axe des ordonnées, c'est-à-dire 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . La transformation finale est un décalage le long de l'axe O y de 4 valeurs. En conséquence, nous obtenons une double inégalité :
0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4
Nous avons constaté que la plage de valeurs dont nous avons besoin sera égale à E (y) = - 4 ; 3 π - 4 .
Répondre: E (y) = - 4 ; 3 π - 4 .
Nous allons écrire un autre exemple sans explication, car il est complètement similaire au précédent.
Exemple 10
Condition: calculez quelle sera l'étendue de la fonction y = 2 2 x - 1 + 3.
Solution
Réécrivons la fonction spécifiée dans la condition comme y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3. Pour une fonction puissance y = x - 1 2 la plage de valeurs sera définie sur l'intervalle 0 ; + ∞, c'est-à-dire x-1 2 > 0 . Dans ce cas:
2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3
Donc E(y) = 3 ; + ∞ .
Répondre: E(y) = 3; + ∞ .
Voyons maintenant comment trouver la plage de valeurs d'une fonction qui n'est pas continue. Pour ce faire, nous devons diviser la zone entière en intervalles et trouver des ensembles de valeurs dans chacun d'eux, puis combiner ce que nous obtenons. Pour mieux comprendre cela, nous vous conseillons de revoir les principaux types de points d’arrêt de fonctions.
Exemple 11
Condition:étant donné la fonction y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Calculez sa plage de valeurs.
Solution
Cette fonction est définie pour toutes les valeurs de x. Analysons-le pour la continuité avec des valeurs de l'argument égales à - 3 et 3 :
lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)
On a une discontinuité inamovible de première espèce lorsque la valeur de l'argument est - 3. À mesure qu'on s'en approche, les valeurs de la fonction tendent vers - 2 sin 3 2 - 4 , et comme x tend vers - 3 du côté droit, les valeurs tendront vers - 1 .
lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞
Nous avons une discontinuité inamovible du deuxième type au point 3. Lorsqu'une fonction tend vers elle, ses valeurs se rapprochent - 1, lorsqu'elle tend vers le même point à droite - de moins l'infini.
Cela signifie que tout le domaine de définition de cette fonction est divisé en 3 intervalles (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).
Dans le premier d'entre eux, nous avons la fonction y = 2 sin x 2 - 4. Puisque - 1 ≤ sin x ≤ 1, on obtient :
1 ≤ péché x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2
Cela signifie que sur un intervalle donné (- ∞ ; - 3 ] l'ensemble des valeurs de la fonction est [ - 6 ; 2 ] .
Sur le demi-intervalle (- 3; 3 ], le résultat est une fonction constante y = - 1. Par conséquent, l'ensemble de ses valeurs dans ce cas sera réduit à un nombre - 1.
Au deuxième intervalle 3 ; + ∞ on a la fonction y = 1 x - 3 . Il est décroissant car y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:
lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0
Cela signifie que l'ensemble des valeurs de la fonction d'origine pour x > 3 est l'ensemble 0 ; + ∞ . Combinons maintenant les résultats : E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .
Répondre: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .
La solution est présentée dans le graphique :
Exemple 12
Condition : il existe une fonction y = x 2 - 3 e x. Déterminez l’ensemble de ses valeurs.
Solution
Il est défini pour toutes les valeurs d'argument qui sont des nombres réels. Déterminons dans quels intervalles cette fonction augmentera et dans lesquels elle diminuera :
y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x
On sait que la dérivée deviendra 0 si x = - 1 et x = 3. Plaçons ces deux points sur l'axe et découvrons quels signes la dérivée aura sur les intervalles résultants.
La fonction diminuera de (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) et augmentera de [ - 1 ; 3]. Le point minimum sera de - 1, le maximum - 3.
Trouvons maintenant les valeurs de fonction correspondantes :
y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3
Regardons le comportement de la fonction à l'infini :
lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 ex = 2 1 + ∞ = + 0
La règle de L'Hôpital a été utilisée pour calculer la deuxième limite. Représentons la progression de notre solution sur un graphique.
Il montre que les valeurs de la fonction diminueront de plus l'infini à - 2 e lorsque l'argument passe de moins l'infini à - 1. S'il passe de 3 à plus l'infini, alors les valeurs diminueront de 6 e - 3 à 0, mais 0 ne sera pas atteint.
Ainsi, E(y) = [ - 2 e ; + ∞) .
Répondre: E(y) = [ - 2 e ; + ∞)
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De nombreux problèmes nous amènent à rechercher un ensemble de valeurs de fonction sur un certain segment ou dans tout le domaine de définition. Ces tâches comprennent diverses évaluations d'expressions et la résolution d'inégalités.
Dans cet article, nous définirons la plage de valeurs d'une fonction, examinerons les méthodes pour la trouver et analyserons en détail la solution d'exemples du simple au plus complexe. Tout le matériel sera fourni avec des illustrations graphiques pour plus de clarté. Cet article est donc une réponse détaillée à la question de savoir comment trouver l’étendue d’une fonction.
Définition.
L'ensemble des valeurs de la fonction y = f(x) sur l'intervalle X est l'ensemble de toutes les valeurs d'une fonction qu'elle prend lors d'une itération sur tout .
Définition.
Plage de fonctions y = f(x) est l'ensemble de toutes les valeurs d'une fonction qu'elle prend lors d'une itération sur tous les x du domaine de définition.
La plage de la fonction est notée E(f) .
L'étendue d'une fonction et l'ensemble des valeurs d'une fonction ne sont pas la même chose. Nous considérerons ces concepts comme équivalents si l'intervalle X lors de la recherche de l'ensemble des valeurs de la fonction y = f(x) coïncide avec le domaine de définition de la fonction.
Ne confondez pas non plus la plage de la fonction avec la variable x pour l'expression à droite de l'égalité y=f(x) . La plage des valeurs admissibles de la variable x pour l'expression f(x) est le domaine de définition de la fonction y=f(x) .
La figure montre plusieurs exemples.
Les graphiques des fonctions sont représentés par des lignes bleues épaisses, les lignes rouges fines sont des asymptotes, les points rouges et les lignes sur l'axe Oy montrent la plage de valeurs de la fonction correspondante.
Comme vous pouvez le constater, la plage de valeurs d'une fonction est obtenue en projetant le graphique de la fonction sur l'axe des y. Il peut s'agir d'un seul nombre (premier cas), d'un ensemble de nombres (deuxième cas), d'un segment (troisième cas), d'un intervalle (quatrième cas), d'un rayon ouvert (cinquième cas), d'une union (sixième cas), etc. .
Alors que faut-il faire pour trouver la plage de valeurs d'une fonction ?
Commençons par le cas le plus simple : nous allons montrer comment déterminer l'ensemble des valeurs d'une fonction continue y = f(x) sur le segment.
On sait qu'une fonction continue sur un intervalle atteint sur celui-ci ses valeurs maximale et minimale. Ainsi, l'ensemble des valeurs de la fonction d'origine sur le segment sera le segment 
. Par conséquent, notre tâche consiste à trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction sur le segment.
Par exemple, trouvons la plage de valeurs de la fonction arc sinus.
Exemple.
Spécifiez la plage de la fonction y = arcsinx .
Solution.
L'aire de définition de l'arc sinus est le segment [-1 ; 1] . Trouvons la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur ce segment. 
La dérivée est positive pour tout x à partir de l'intervalle (-1 ; 1), c'est-à-dire que la fonction arc sinus augmente sur tout le domaine de définition. Par conséquent, il prend la plus petite valeur à x = -1 et la plus grande à x = 1. 
Nous avons obtenu la plage de la fonction arc sinus 
.
Exemple.
Trouver l'ensemble des valeurs de fonction 
sur le segment.
Solution.
Trouvons la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur un segment donné.
Déterminons les points extremum appartenant au segment : 
Nous calculons les valeurs de la fonction d'origine aux extrémités du segment et aux points 
:
Par conséquent, l'ensemble des valeurs d'une fonction sur un intervalle est l'intervalle 
.
Nous allons maintenant montrer comment trouver l'ensemble des valeurs d'une fonction continue y = f(x) dans les intervalles (a; b) , .
Dans un premier temps, on détermine les points extremum, extremum de la fonction, intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction sur un intervalle donné. Ensuite, nous calculons les extrémités de l'intervalle et (ou) les limites à l'infini (c'est-à-dire que nous étudions le comportement de la fonction aux limites de l'intervalle ou à l'infini). Ces informations sont suffisantes pour trouver l'ensemble des valeurs de fonction sur de tels intervalles.
Exemple.
Définir l'ensemble des valeurs de fonction sur l'intervalle (-2; 2) .
Solution.
Trouvons les points extremum de la fonction tombant sur l'intervalle (-2 ; 2) : 
Point x = 0 est un point maximum, puisque la dérivée change de signe de plus à moins en le traversant, et le graphique de la fonction passe de croissant à décroissant. 
il y a un maximum correspondant de la fonction.
Découvrons le comportement de la fonction lorsque x tend vers -2 à droite et lorsque x tend vers 2 à gauche, c'est-à-dire que nous trouvons des limites unilatérales : 
Ce que nous avons obtenu : lorsque l'argument passe de -2 à zéro, les valeurs de la fonction augmentent de moins l'infini à moins un quart (le maximum de la fonction à x = 0), lorsque l'argument passe de zéro à 2, le les valeurs de la fonction diminuent jusqu'à moins l'infini. Ainsi, l'ensemble des valeurs de fonction sur l'intervalle (-2 ; 2) est .
Exemple.
Spécifiez l'ensemble des valeurs de la fonction tangente y = tgx sur l'intervalle.
Solution.
La dérivée de la fonction tangente sur l'intervalle est positive 
, ce qui indique une augmentation de la fonction. Etudions le comportement de la fonction aux limites de l'intervalle : 
Ainsi, lorsque l'argument passe de à, les valeurs de la fonction augmentent de moins l'infini à plus l'infini, c'est-à-dire que l'ensemble des valeurs tangentes sur cet intervalle est l'ensemble de tous les nombres réels.
Exemple.
Trouvez l'étendue de la fonction logarithme népérien y = lnx.
Solution.
La fonction logarithme népérien est définie pour valeurs positives argument 
. Sur cet intervalle la dérivée est positive 
, cela indique une augmentation de la fonction dessus. Trouvons la limite unilatérale de la fonction lorsque l'argument tend vers zéro à droite, et la limite lorsque x tend vers plus l'infini : 
Nous voyons que lorsque x passe de zéro à plus l'infini, les valeurs de la fonction augmentent de moins l'infini à plus l'infini. Par conséquent, la plage de la fonction logarithme népérien correspond à l’ensemble des nombres réels.
Exemple.
Solution.
Cette fonction est définie pour tout le monde de vraies valeurs X. Déterminons les points extremum, ainsi que les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction. 
Par conséquent, la fonction diminue en , augmente en , x = 0 est le point maximum, 
le maximum correspondant de la fonction.
Regardons le comportement de la fonction à l'infini : 
Ainsi, à l'infini les valeurs de la fonction se rapprochent asymptotiquement de zéro.
Nous avons découvert que lorsque l'argument passe de moins l'infini à zéro (le point maximum), les valeurs de la fonction augmentent de zéro à neuf (jusqu'au maximum de la fonction), et lorsque x passe de zéro à plus l'infini, la fonction les valeurs diminuent de neuf à zéro.
Regardez le dessin schématique.
Il est maintenant clairement visible que la plage de valeurs de la fonction est .
Trouver l'ensemble des valeurs de la fonction y = f(x) sur des intervalles nécessite des recherches similaires. Nous ne nous attarderons pas maintenant sur ces cas en détail. Nous les retrouverons dans les exemples ci-dessous.
Soit le domaine de définition de la fonction y = f(x) l'union de plusieurs intervalles. Lors de la recherche de la plage de valeurs d'une telle fonction, les ensembles de valeurs sur chaque intervalle sont déterminés et leur union est prise.
Exemple.
Trouvez la plage de la fonction.
Solution.
Le dénominateur de notre fonction ne doit pas aller vers zéro, c'est-à-dire .
Tout d'abord, trouvons l'ensemble des valeurs de fonction sur le rayon ouvert.
Dérivée d'une fonction 
est négatif sur cet intervalle, c'est-à-dire que la fonction y diminue. 
Nous avons constaté que lorsque l'argument tend vers moins l'infini, les valeurs de la fonction se rapprochent asymptotiquement de l'unité. Lorsque x passe de moins l'infini à deux, les valeurs de la fonction diminuent de un à moins l'infini, c'est-à-dire que sur l'intervalle considéré, la fonction prend un ensemble de valeurs. Nous n'incluons pas l'unité, puisque les valeurs de la fonction ne l'atteignent pas, mais tendent seulement asymptotiquement vers elle à moins l'infini.
On procède de la même manière pour la poutre ouverte.
Sur cet intervalle la fonction diminue également. 
L'ensemble des valeurs de fonction sur cet intervalle est l'ensemble .
Ainsi, la plage de valeurs souhaitée de la fonction est l'union des ensembles et .
Illustration graphique.
Une attention particulière doit être accordée aux fonctions périodiques. La plage de valeurs des fonctions périodiques coïncide avec l'ensemble des valeurs sur l'intervalle correspondant à la période de cette fonction.
Exemple.
Trouvez l'étendue de la fonction sinusoïdale y = sinx.
Solution.
Cette fonction est périodique avec une période de deux pi. Prenons un segment et définissons l'ensemble des valeurssur celui-ci. 
Le segment contient deux points extremum et .
Nous calculons les valeurs de la fonction en ces points et sur les limites du segment, sélectionnons les valeurs les plus petites et les plus grandes : 
Ainsi, 
.
Exemple.
Trouver la plage d'une fonction 
.
Solution.
Nous savons que la plage de l'arc cosinus est le segment de zéro à pi, c'est-à-dire 
ou dans un autre post. Fonction 
peut être obtenu à partir de arccosx en décalant et en étirant le long de l'axe des abscisses. De telles transformations n'affectent pas la plage de valeurs, par conséquent, 
. Fonction 
obtenu à partir de s'étendant trois fois le long de l'axe Oy, c'est-à-dire 
. Et la dernière étape de la transformation est un déplacement de quatre unités vers le bas le long de l'ordonnée. Cela nous amène à une double inégalité 
Ainsi, la plage de valeurs requise est 
.
Donnons la solution à un autre exemple, mais sans explications (elles ne sont pas obligatoires, car elles sont complètement similaires).
Exemple.
Définir la plage de fonctions 
.
Solution.
Écrivons la fonction originale sous la forme 
. La plage de valeurs de la fonction puissance est l'intervalle. C'est, . Alors 
Ainsi, 
.
Pour compléter le tableau, il faudrait parler de trouver la plage de valeurs d'une fonction qui n'est pas continue sur le domaine de définition. Dans ce cas, nous divisons le domaine de définition en intervalles par points d'arrêt, et trouvons des ensembles de valeurs sur chacun d'eux. En combinant les ensembles de valeurs résultants, nous obtenons la plage de valeurs de la fonction d'origine. Nous recommandons de retenir 3 à gauche, les valeurs de la fonction tendent vers moins un, et comme x tend vers 3 à droite, les valeurs de la fonction tendent vers plus l'infini.
Ainsi, nous divisons le domaine de définition de la fonction en trois intervalles.
Sur l'intervalle on a la fonction 
. Depuis lors 
Ainsi, l'ensemble des valeurs de la fonction d'origine sur l'intervalle est [-6;2] .
Sur le demi-intervalle on a une fonction constante y = -1. Autrement dit, l'ensemble des valeurs de la fonction d'origine sur l'intervalle est constitué d'un seul élément .
La fonction est définie pour toutes les valeurs d'argument valides. Découvrons les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction.
La dérivée disparaît à x=-1 et x=3. Marquons ces points sur la droite numérique et déterminons les signes de la dérivée sur les intervalles résultants. 
La fonction diminue de 
, augmente de [-1 ; 3] , x=-1 point minimum, x=3 point maximum.
Calculons le minimum et le maximum correspondants de la fonction : 
Vérifions le comportement de la fonction à l'infini : 
La deuxième limite a été calculée à l'aide de .
Faisons un dessin schématique.
Lorsque l'argument passe de moins l'infini à -1, les valeurs de la fonction diminuent de plus l'infini à -2e, lorsque l'argument passe de -1 à 3, les valeurs de la fonction augmentent de -2e à, lorsque l'argument passe de 3 à plus l'infini, les valeurs de la fonction diminuent de à zéro, mais elles n'atteignent pas zéro.
La fonction est l'un des concepts mathématiques les plus importants.
Définition : Si chaque nombre d'un certain ensemble x est associé à un seul nombre y, alors on dit qu'une fonction y(x) est définie sur cet ensemble. Dans ce cas, x est appelé variable indépendante ou argument, et y est appelé variable dépendante ou valeur d'une fonction ou simplement une fonction.
On dit aussi que la variable y est fonction de la variable x.
Après avoir noté une correspondance avec une lettre, par exemple f, il convient d'écrire : y=f (x), c'est-à-dire que la valeur y est obtenue à partir de l'argument x en utilisant la correspondance f. (Lire : y est égal à f de x.) Le symbole f (x) désigne la valeur de la fonction correspondant à la valeur de l'argument égal à x.
Exemple 1 Soit la fonction donnée par la formule y=2x 2 –6. On peut alors écrire que f(x)=2x 2 –6. Trouvons les valeurs de la fonction pour des valeurs de x égales, par exemple, à 1 ; 2,5 ;–3 ; c'est-à-dire que nous trouvons f(1), f(2.5), f(–3) :
f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 –6=6,5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.
A noter que dans la notation de la forme y=f (x) d'autres lettres sont utilisées à la place de f : g, etc.
Définition : Le domaine d'une fonction est constitué de l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles la fonction existe.
Si une fonction est spécifiée par une formule et que son domaine de définition n'est pas spécifié, alors le domaine de définition de la fonction est considéré comme constitué de toutes les valeurs de l'argument pour lequel la formule a un sens.
En d'autres termes, le domaine d'une fonction donné par une formule est constitué de toutes les valeurs de l'argument à l'exception de celles qui aboutissent à des actions que nous ne pouvons pas effectuer. Sur ce moment nous ne connaissons que deux de ces actions. Nous ne pouvons pas diviser par zéro et nous ne pouvons pas prendre la racine carrée d’un nombre négatif.
Définition : Toutes les valeurs que prend la variable dépendante forment la plage de la fonction.
Le domaine de définition d'une fonction décrivant un processus réel dépend des conditions spécifiques de son apparition. Par exemple, la dépendance de la longueur l d'une tige de fer sur la température de chauffage t est exprimée par la formule, où l 0 est la longueur initiale de la tige et est le coefficient de dilatation linéaire. Cette formule a du sens pour toutes les valeurs de t. Or, le domaine de définition de la fonction l=g(t) est un intervalle de plusieurs dizaines de degrés, pour lequel la loi du développement linéaire est valable.
Exemple.
Spécifier la plage de fonctions y = arc sinx.
Solution.
Le domaine de définition de l'arc sinus est le segment [-1; 1]
. Trouvons la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur ce segment.
La dérivée est positive pour tout le monde X de l'intervalle (-1; 1)
, c'est-à-dire que la fonction arc sinus augmente sur tout le domaine de définition. Par conséquent, il prend la plus petite valeur lorsque x = -1, et le meilleur à x = 1.
Nous avons obtenu la plage de la fonction arc sinus 
.
Trouver l'ensemble des valeurs de fonction 
sur le segment
.
Solution.
Trouvons la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur un segment donné.
Déterminons les points extremum appartenant au segment
:
D(f)- les valeurs que l'argument peut prendre, c'est-à-dire domaine d'une fonction.
E(f)- les valeurs que la fonction peut prendre, c'est-à-dire ensemble de valeurs de fonction.
Méthodes pour trouver les plages de fonctions.
trouver séquentiellement des valeurs arguments complexes les fonctions;
méthode d’estimation/limite ;
utiliser les propriétés de continuité et de monotonie d'une fonction ;
utilisation de dérivé ;
utiliser les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction ;
méthode graphique;
méthode de saisie des paramètres ;
méthode de fonction inverse.
Examinons quelques-uns d'entre eux.
Utiliser un dérivé
Approche générale Trouver l'ensemble des valeurs d'une fonction continue f(x) consiste à trouver la plus grande et la plus petite valeur de la fonction f(x) dans son domaine (ou à prouver que l'une ou les deux n'existent pas).
Au cas où vous auriez besoin de trouver des ensembles de valeurs de fonction sur le segment:
trouver la dérivée de la fonction donnée f "(x);
trouver les points critiques de la fonction f(x) et sélectionner ceux qui appartiennent à ce segment ;
calculer les valeurs de fonction aux extrémités du segment et aux points critiques sélectionnés ;
parmi les valeurs trouvées, sélectionnez les valeurs les plus petites et les plus grandes ;
L'ensemble des valeurs de fonction est enfermé entre ces valeurs.
Si le domaine d'une fonction est intervalle, alors le même schéma est utilisé, mais au lieu des valeurs aux extrémités, les limites de la fonction sont utilisées car l'argument tend vers les extrémités de l'intervalle. Les valeurs limites de ne sont pas incluses dans le jeu de valeurs.
Méthode Limites/Scores
Pour trouver l'ensemble des valeurs de fonction, recherchez d'abord l'ensemble des valeurs d'argument, puis recherchez les valeurs les plus petites et les plus grandes correspondantes de la fonction. À l'aide d'inégalités, des limites sont déterminées.
L’essentiel est d’estimer une fonction continue par le bas et par le haut et de prouver que la fonction atteint les limites inférieure et supérieure des estimations. Dans ce cas, la coïncidence de l'ensemble des valeurs de fonction avec l'intervalle allant de la limite inférieure de l'estimation à la limite supérieure est déterminée par la continuité de la fonction et l'absence d'autres valeurs pour celle-ci.
Propriétés d'une fonction continue
Une autre option consiste à transformer la fonction en une fonction monotone continue, puis à utiliser les propriétés des inégalités pour estimer l'ensemble des valeurs de la fonction nouvellement obtenue.
Trouver séquentiellement les valeurs des arguments de fonctions complexes
Basé sur la recherche séquentielle d'un ensemble de valeurs de fonctions intermédiaires à partir desquelles la fonction est composée
Plages de valeurs des fonctions élémentaires de base
| Fonction | Plusieurs significations |
|---|---|
| $y = kx+ b$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = x^(2n)$ | E(y) = |
| $y = \cos(x)$ | E(y) = [-1;1] |
| $y = (\rm tg)\, x$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = (\rm ctg)\, x$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = \arcsin(x)$ | E(y) = [-π/2; π/2] |
| $y = \arccos(x)$ | E(y) = |
| $y = (\rm arctan)\, x$ | E(y) = (-π/2; π/2) |
| $y = (\rm arcctg)\, x$ | E(y) = (0; π) |
Exemples
Trouvez l'ensemble des valeurs de fonction :
Utiliser un dérivé
On retrouve le domaine de définition : D(f)=[-3;3], car $9-x^(2)\geq 0$
Trouvez la dérivée : $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$
f"(x) = 0 si x = 0. f"(x) n'existe pas si $\sqrt(9-x^(2))=0$ c'est-à-dire pour x = ±3. On obtient trois points critiques : x 1 = –3, x 2 = 0, x 3 = 3, dont deux coïncident avec les extrémités du segment. Calculons : f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Ainsi, la plus petite valeur de f(x) est 0, la plus grande valeur est 3.
Réponse : E(f) = .
NE PAS utiliser de dérivé
Trouvez les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction :
Depuis $
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , alors :
$f(x)\leq \frac(3)(4)$ pour tout x ;
$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ pour tout x(puisque $|\cos (x)|\leq 1$);
$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;
$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;
Réponse : $\frac(3)(4)$ et $-\frac(3)(2)$
Si vous résolvez ce problème en utilisant des dérivées, vous devrez surmonter les obstacles liés au fait que la fonction f(x) est définie non pas sur un segment, mais sur la droite numérique entière.
Utilisation de la méthode des limites/estimations
De la définition du sinus, il résulte : $-1\leq\sin(x)\leq 1$. Ensuite, nous utiliserons les propriétés des inégalités numériques.
$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (multiplié les trois parties de la double inégalité par -4) ;
$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (ajouté aux trois parties de la double inégalité 5) ;
Puisque cette fonction est continue sur tout le domaine de définition, l'ensemble de ses valeurs est contenu entre ses plus petites et plus grandes valeurs sur tout le domaine de définition, s'il en existe.
Dans ce cas, l'ensemble des valeurs de la fonction $y = 5 - 4\sin(x)$ est l'ensemble .
A partir des inégalités $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ on obtient l'estimation $$\\ -6\leq y\ leq 6$ $
A x = p et x = 0, la fonction prend les valeurs -6 et 6, soit atteint les limites inférieure et supérieure de l’estimation. En tant que combinaison linéaire de fonctions continues cos(7x) et cos(x), la fonction y est continue sur toute la droite numérique, donc, par la propriété d'une fonction continue, elle prend toutes les valeurs de -6 à 6 inclus , et seulement eux, puisqu'en raison des inégalités $- 6\leq y\leq 6$ ses autres valeurs sont impossibles.
Par conséquent, E(y) = [-6;6].
$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Réponse : E(f) = .
$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].
$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .
Transformons l'expression $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ( (\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \right)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2 )) \right) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\ pi) (4)) $$.
De la définition du cosinus, il découle $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$
Puisque cette fonction est continue sur tout le domaine de définition, l'ensemble de ses valeurs se situe entre ses valeurs les plus petites et les plus grandes, le cas échéant, l'ensemble des valeurs de la fonction $y =\sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ est l'ensemble $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.
$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$
Notons $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, où -∞≤t≤4. Ainsi, le problème se réduit à trouver l'ensemble des valeurs de la fonction $y = \log_(0,5)(t)$ sur le rayon (-∞;4). Puisque la fonction $y = \log_(0,5)(t)$ n'est définie que pour t > 0, alors son ensemble de valeurs sur le rayon (-∞;4) coïncide avec l'ensemble des valeurs de fonction sur l'intervalle (0;4), représentant est l'intersection du rayon (-∞;4) avec le domaine de définition (0;+∞) de la fonction logarithmique. Sur l'intervalle (0;4) cette fonction est continue et décroissante. À t > 0 il tend vers +∞, et à t = 4 il prend la valeur -2, donc E(y) = (-2, +∞).
Nous utilisons une technique basée sur une représentation graphique d'une fonction.
Après transformation de la fonction, on a : y 2 + x 2 = 25, et y ≥ 0, |x| ≤ 5.
Rappelons que $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ est l'équation d'un cercle de rayon r.
Sous ces restrictions, le graphique de cette équation est le demi-cercle supérieur avec son centre à l'origine et son rayon égal à 5. Évidemment, E(y) = .
Réponse : E(y) = .
Les références
Domaine d'importance des fonctions dans les problèmes de l'examen d'État unifié, Irina Borisovna Minyuk
Conseils pour trouver l'ensemble des valeurs d'une fonction, Belyaeva I., Fedorova S.
Trouver l'ensemble des valeurs de fonction
Comment résoudre des problèmes de mathématiques aux examens d'entrée, I.I.Melnikov, I.N.Sergeev
