Considérez le polygone en quelles formes il est divisé. Polygone régulier

Comment s’appelle un polygone ? Types de polygones. POLYGONE, une figure géométrique plate avec trois côtés ou plus se coupant en trois points ou plus (sommets). Définition. Un polygone est une figure géométrique délimitée de tous côtés par une ligne brisée fermée, composée de trois segments ou plus (liens). Un triangle est définitivement un polygone. Un polygone est une figure qui a cinq angles ou plus.

Définition. Un quadrilatère est une figure géométrique plate constituée de quatre points (les sommets du quadrilatère) et de quatre segments consécutifs les reliant (les côtés du quadrilatère).

Un rectangle est un quadrilatère ayant tous des angles droits. Ils sont nommés selon le nombre de côtés ou de sommets : TRIANGLE (à trois côtés) ; QUADAGON (à quatre côtés); PENTAGONE (à cinq côtés), etc. En géométrie élémentaire, une figure est appelée figure délimitée par des lignes droites appelées côtés. Les points d'intersection des côtés sont appelés sommets. Un polygone a plus de trois angles. Ceci est accepté ou convenu.

Un triangle est un triangle. Et un quadrilatère n'est pas non plus un polygone, et n'est pas appelé un quadrilatère - c'est soit un carré, soit un losange, soit un trapèze. Le fait qu'un polygone à trois côtés et trois angles porte son propre nom « triangle » ne le prive pas de son statut de polygone.

Voyez ce qu'est « POLYGONE » dans d'autres dictionnaires :

On apprend que ce chiffre est limité par une ligne brisée fermée, qui à son tour peut être simple, fermée. Parlons du fait que les polygones peuvent être plats, réguliers ou convexes. Qui n'a pas entendu parler du mystérieux Triangle des Bermudes, dans lequel navires et avions disparaissent sans laisser de trace ? Mais le triangle, qui nous est familier depuis l'enfance, regorge de choses intéressantes et mystérieuses.

Bien entendu, une figure composée de trois angles peut également être considérée comme un polygone.

Mais cela ne suffit pas à caractériser le chiffre. Une ligne brisée A1A2...An est une figure composée des points A1,A2,...An et des segments A1A2, A2A3,... qui les relient. Une simple ligne brisée fermée est appelée polygone si ses liens voisins ne se trouvent pas sur la même ligne droite (Fig. 5). Remplacez la partie « plusieurs » par un nombre spécifique, par exemple 3, dans le mot « polygone ». Vous obtiendrez un triangle. Notez que, autant qu’il y a d’angles, il y a autant de côtés, donc ces figures pourraient bien être appelées polylatérales.

Soit A1A2...A n un polygone convexe donné et n>3. Dessinons-y des diagonales (à partir d'un sommet)

La somme des angles de chaque triangle est 1800 et le nombre de ces triangles n est 2. Par conséquent, la somme des angles du triangle convexe n - A1A2...A n est 1800* (n - 2). Le théorème a été prouvé. L'angle extérieur d'un polygone convexe en un sommet donné est l'angle adjacent à l'angle intérieur du polygone en ce sommet.

Dans un quadrilatère, tracez une ligne droite pour qu'elle le divise en trois triangles

Un quadrilatère n’a jamais trois sommets sur une même ligne. Le mot « polygone » indique que toutes les figures de cette famille ont « de nombreux angles ». Une ligne brisée est dite simple si elle n'a pas d'auto-intersections (Fig. 2, 3).

La longueur d'une ligne brisée est la somme des longueurs de ses maillons (Fig. 4). Dans le cas n=3 le théorème est valable. Le carré peut donc être appelé différemment : un quadrilatère régulier. De telles figures intéressent depuis longtemps les artisans qui décoraient les bâtiments.

Le nombre de sommets est égal au nombre de côtés. Une polyligne est dite fermée si ses extrémités coïncident. Ils ont fabriqué beaux motifs, par exemple sur du parquet. Notre étoile à cinq branches est une étoile pentagonale régulière.

Mais tous les polygones réguliers ne peuvent pas être utilisés pour fabriquer du parquet. Examinons de plus près deux types de polygones : le triangle et le quadrilatère. Un polygone dans lequel tous les angles intérieurs sont égaux est appelé régulier. Les polygones sont nommés en fonction du nombre de côtés ou de sommets.

Dans cette leçon, nous commencerons un nouveau sujet et nous présenterons un nouveau concept : « polygone ». Nous examinerons les concepts de base associés aux polygones : côtés, angles des sommets, convexité et non-convexité. Nous prouverons alors les faits les plus importants, comme le théorème sur la somme des angles internes d'un polygone, le théorème sur la somme des angles externes d'un polygone. En conséquence, nous serons sur le point d'étudier des cas particuliers de polygones, qui seront abordés dans les leçons ultérieures.

Sujet : Quadrilatères

Leçon : Polygones

Dans le cours de géométrie, nous étudions les propriétés des figures géométriques et avons déjà examiné les plus simples d'entre elles : les triangles et les cercles. Dans le même temps, nous avons également discuté de cas particuliers spécifiques de ces figures, tels que les triangles rectangles, isocèles et réguliers. Il est maintenant temps de parler de chiffres plus généraux et plus complexes - polygones.

Avec un cas particulier polygones nous le savons déjà - il s'agit d'un triangle (voir Fig. 1).

Riz. 1.Triangle

Le nom lui-même souligne déjà qu’il s’agit d’une figure à trois angles. Par conséquent, dans polygone il peut y en avoir plusieurs, c'est-à-dire plus de trois. Par exemple, dessinons un pentagone (voir Fig. 2), c'est-à-dire figure à cinq coins.

Riz. 2. Pentagone. Polygone convexe

Définition.Polygone- une figure composée de plusieurs points (plus de deux) et d'un nombre correspondant de segments qui les relient séquentiellement. Ces points sont appelés pics polygone, et les segments sont des soirées. Dans ce cas, aucun côté adjacent ne se trouve sur la même ligne droite et aucun côté non adjacent ne se coupe.

Définition.Polygone régulier est un polygone convexe dans lequel tous les côtés et angles sont égaux.

N'importe lequel polygone divise le plan en deux zones : interne et externe. La zone interne est également appelée polygone.

En d’autres termes, lorsqu’ils parlent par exemple d’un pentagone, ils désignent à la fois toute sa région interne et sa frontière. Et la région interne comprend tous les points qui se trouvent à l'intérieur du polygone, c'est-à-dire le point fait également référence au pentagone (voir Fig. 2).

Les polygones sont aussi parfois appelés n-gones pour souligner que le cas général de la présence d'un nombre inconnu d'angles (n pièces) est considéré.

Définition. Périmètre du polygone- la somme des longueurs des côtés du polygone.

Nous devons maintenant nous familiariser avec les types de polygones. Ils sont divisés en convexe Et non convexe. Par exemple, le polygone montré sur la Fig. 2 est convexe, et sur la Fig. 3 non convexes.

Riz. 3. Polygone non convexe

Définition 1. Polygone appelé convexe, si en traçant une ligne droite passant par l'un de ses côtés, l'ensemble polygone ne se trouve que d’un côté de cette ligne droite. Non convexe sont tous les autres polygones.

Il est facile d’imaginer qu’en prolongeant n’importe quel côté du pentagone de la Fig. 2, tout sera d'un côté de cette ligne droite, c'est-à-dire il est convexe. Mais lorsque l’on trace une ligne droite passant par un quadrilatère sur la Fig. 3, nous voyons déjà qu'il le divise en deux parties, c'est-à-dire il n'est pas convexe.

Mais il existe une autre définition de la convexité d'un polygone.

Définition 2. Polygone appelé convexe, si lors du choix de deux de ses points intérieurs et de leur connexion avec un segment, tous les points du segment sont également des points intérieurs du polygone.

Une démonstration de l’utilisation de cette définition peut être vue dans l’exemple de construction de segments sur la Fig. 2 et 3.

Définition. Diagonale d'un polygone est tout segment reliant deux sommets non adjacents.

Pour décrire les propriétés des polygones, il existe deux théorèmes les plus importants concernant leurs angles : théorème sur la somme des angles intérieurs d'un polygone convexe Et théorème sur la somme des angles extérieurs d'un polygone convexe. Regardons-les.

Théorème. Sur la somme des angles intérieurs d'un polygone convexe (n-gon).

Où est le nombre de ses angles (côtés).

Preuve 1. Représentons sur la Fig. 4 n-gones convexes.

Riz. 4. N-gon convexe

A partir du sommet, nous dessinons toutes les diagonales possibles. Ils divisent le n-gon en triangles, car chacun des côtés du polygone forme un triangle, à l'exception des côtés adjacents au sommet. Il est facile de voir sur la figure que la somme des angles de tous ces triangles sera exactement égale à la somme des angles internes du n-gone. Puisque la somme des angles de tout triangle est , alors la somme des angles internes d'un n-gone est :

Q.E.D.

Preuve 2. Une autre preuve de ce théorème est possible. Dessinons un n-gon similaire sur la Fig. 5 et reliez n’importe lequel de ses points intérieurs à tous les sommets.

Riz. 5.

Nous avons obtenu une partition du n-gon en n triangles (autant de côtés qu'il y a de triangles). La somme de tous leurs angles est égale à la somme des angles intérieurs du polygone et à la somme des angles au point intérieur, et c'est l'angle. Nous avons:

Q.E.D.

Éprouvé.

D'après le théorème éprouvé, il est clair que la somme des angles d'un n-gone dépend du nombre de ses côtés (sur n). Par exemple, dans un triangle, la somme des angles est . Dans un quadrilatère, et la somme des angles est, etc.

Théorème. Sur la somme des angles externes d'un polygone convexe (n-gon).

Où est le nombre de ses angles (côtés), et , …, sont les angles externes.

Preuve. Représentons un n-gon convexe sur la Fig. 6 et désigner ses angles internes et externes.

Riz. 6. N-gon convexe avec angles externes désignés

Parce que Le coin extérieur est relié au coin intérieur comme adjacent, puis et de même pour les coins extérieurs restants. Alors:

Lors des transformations, nous avons utilisé le théorème déjà prouvé sur la somme des angles internes d'un n-gone.

Éprouvé.

Du théorème prouvé il découle fait intéressant, que la somme des angles externes d'un n-gone convexe est égale à sur le nombre de ses angles (côtés). D'ailleurs, contrairement à la somme des angles internes.

Bibliographie

1. Alexandrov A.D. et autres Géométrie, 8e année. - M. : Éducation, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Géométrie, 8e année. - M. : Éducation, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Géométrie, 8e année. - M. : VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Devoirs

§ 1 La notion de triangle

Dans cette leçon, vous vous familiariserez avec des formes telles que les triangles et les polygones.

Si trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne sont reliés par des segments, vous obtenez un triangle. Un triangle a trois sommets et trois côtés.

Devant vous se trouve un triangle ABC, il a trois sommets (le point A, le point B et le point C) et trois côtés (AB, AC et CB).

D'ailleurs, ces mêmes côtés peuvent être appelés différemment :

AB=BA, AC=SA, CB=BC.

Les côtés du triangle forment trois angles aux sommets du triangle. Sur la figure, vous voyez l'angle A, l'angle B, l'angle C.

Ainsi, un triangle est une figure géométrique formée de trois segments qui relient trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite.

§ 2 La notion de polygone et ses types

En plus des triangles, il existe des quadrangles, des pentagones, des hexagones, etc. En un mot, on peut les appeler des polygones.

Sur l'image vous voyez le quadrilatère DMKE.

Les points D, M, K et E sont les sommets du quadrilatère.

Les segments DM, MK, KE, ED sont les côtés de ce quadrilatère. Tout comme dans le cas d'un triangle, les côtés d'un quadrilatère forment quatre angles aux sommets, comme vous l'aurez deviné, d'où le nom de quadrilatère. Pour ce quadrilatère vous voyez sur la figure l'angle D, l'angle M, l'angle K et l'angle E.

Quels quadrilatères connaissez-vous déjà ?

Carré et rectangle ! Chacun d'eux a quatre coins et quatre côtés.

Un autre type de polygone est le pentagone.

Les points O, P, X, Y, T sont les sommets du pentagone, et les segments TO, OP, PX, XY, YT sont les côtés de ce pentagone. Un pentagone a respectivement cinq angles et cinq côtés.

À votre avis, combien d’angles et combien de côtés possède un hexagone ? C'est vrai, six ! En raisonnant de la même manière, nous pouvons dire combien de côtés, de sommets ou d’angles possède un polygone particulier. Et nous pouvons conclure qu’un triangle est aussi un polygone, qui a exactement trois angles, trois côtés et trois sommets.

Ainsi, dans cette leçon, vous vous êtes familiarisé avec des concepts tels que le triangle et le polygone. Nous avons appris qu'un triangle a 3 sommets, 3 côtés et 3 angles, un quadrilatère a 4 sommets, 4 côtés et 4 angles, un pentagone a 5 côtés, 5 sommets, 5 angles, et ainsi de suite.

Liste de la littérature utilisée :

1. Mathématiques 5ème année. Vilenkin N.Ya., Jokhov V.I. et autres, 31e éd., effacé. - M : 2013.
2. Matériel didactique pour les mathématiques de 5e année. Auteur - Popov M.A. - année 2013
3. Nous calculons sans erreurs. Travaillez avec l'autotest dans les classes de mathématiques 5-6. Auteur - Minaeva S.S. - année 2014
4. Matériel didactique pour les mathématiques de 5e année. Auteurs : Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. Tests et travaux indépendants en mathématiques 5e année. Auteurs - Popov M.A. - année 2012
6. Mathématiques. 5e année : pédagogique. pour les étudiants de l'enseignement général. institutions / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9e éd., effacé. - M. : Mnémosyne, 2009

La partie du plan délimitée par une ligne brisée fermée est appelée un polygone.

Les segments de cette ligne brisée sont appelés des soirées polygone. AB, BC, CD, DE, EA (Fig. 1) sont les côtés du polygone ABCDE. La somme de tous les côtés d’un polygone s’appelle son périmètre.

Le polygone s'appelle convexe, s'il est situé d'un côté de l'un de ses côtés, s'étendant indéfiniment au-delà des deux sommets.

Le polygone MNPKO (Fig. 1) ne sera pas convexe, puisqu'il est situé sur plus d'un côté de la droite KR.

Nous ne considérerons que les polygones convexes.

Les angles formés par deux côtés adjacents d'un polygone sont appelés ses interne coins, et leurs sommets sont sommets du polygone.

Un segment de droite reliant deux sommets non adjacents d’un polygone est appelé la diagonale du polygone.

AC, AD - diagonales du polygone (Fig. 2).

Les angles adjacents aux angles intérieurs d'un polygone sont appelés angles extérieurs du polygone (Fig. 3).

Selon le nombre d'angles (côtés), le polygone est appelé triangle, quadrilatère, pentagone, etc.

Deux polygones sont dits congruents s’ils peuvent être rapprochés par chevauchement.

Polygones inscrits et circonscrits

Si tous les sommets d'un polygone se trouvent sur un cercle, alors le polygone s'appelle inscrit en cercle, et le cercle - décrit près du polygone (fig).

Si tous les côtés d'un polygone sont tangents à un cercle, alors le polygone est appelé décrit autour d'un cercle, et le cercle s'appelle inscrit en un polygone (Fig.).

Similitude des polygones

Deux polygones du même nom sont dits similaires si les angles de l'un d'eux sont respectivement égaux aux angles de l'autre et que les côtés similaires des polygones sont proportionnels.

Les polygones ayant le même nombre de côtés (angles) sont appelés polygones du même nom.

Les côtés de polygones similaires reliant les sommets d'angles respectivement égaux sont appelés similaires (Fig).

Ainsi, par exemple, pour que le polygone ABCDE soit semblable au polygone A'B'C'D'E', il faut que : ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' et, en plus, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Rapport des périmètres de polygones similaires

Considérons d’abord la propriété d’une série de rapports égaux. Disons par exemple les rapports suivants : 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Trouvons la somme des termes précédents de ces relations, puis la somme de leurs termes suivants et trouvons le rapport des sommes résultantes, on obtient :

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

On obtient la même chose si l'on prend une série d'autres relations, par exemple : 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Trouvons la somme des termes précédents de ces relations et la somme des suivantes, puis trouver le rapport de ces sommes, on obtient :

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

Dans les deux cas, la somme des membres précédents d'une série de relations égales se rapporte à la somme des membres ultérieurs de la même série, tout comme le membre précédent de l'une de ces relations se rapporte au suivant.

Nous avons dérivé cette propriété en considérant un certain nombre d'exemples numériques. Il peut être dérivé de manière stricte et sous une forme générale.

Considérons maintenant le rapport des périmètres de polygones similaires.

Soit le polygone ABCDE semblable au polygone A’B’C’D’E’ (Fig).

De la similitude de ces polygones il résulte que

AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’ = DE / D’E’ = EA / E’A’

En nous basant sur la propriété que nous avons dérivée pour une série de rapports égaux, nous pouvons écrire :

La somme des termes précédents des relations que nous avons prises représente le périmètre du premier polygone (P), et la somme des termes suivants de ces relations représente le périmètre du deuxième polygone (P'), ce qui signifie P / P ' = AB / A'B'.

Ainsi, Les périmètres de polygones similaires sont liés à leurs côtés similaires.

Rapport des superficies de polygones similaires

Soit ABCDE et A’B’C’D’E’ des polygones similaires (Fig).

On sait que ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' et ΔADE ~ ΔA'D'E'.

En plus,

;

Puisque les seconds rapports de ces proportions sont égaux, ce qui découle de la similitude des polygones, alors

En utilisant la propriété d'une série de rapports égaux, on obtient :

Ou

où S et S’ sont les aires de ces polygones similaires.

Ainsi, Les aires de polygones similaires sont liées comme les carrés de côtés similaires.

La formule résultante peut être convertie sous cette forme : S / S’ = (AB / A’B’) 2

Aire d'un polygone arbitraire

Supposons qu'il soit nécessaire de calculer l'aire d'un quadrilatère arbitraire ABC (Fig.).

Dessinons-y une diagonale, par exemple AD. On obtient deux triangles ABD et ACD dont on peut calculer les aires. On trouve ensuite la somme des aires de ces triangles. La somme résultante exprimera l'aire de ce quadrilatère.

Si vous devez calculer l'aire d'un pentagone, alors nous faisons la même chose : nous dessinons des diagonales à partir de l'un des sommets. Nous obtenons trois triangles dont nous pouvons calculer les aires. Cela signifie que nous pouvons trouver l’aire de ce pentagone. Nous faisons de même lors du calcul de l'aire de n'importe quel polygone.

Aire projetée d'un polygone

Rappelons que l'angle entre une droite et un plan est l'angle entre une droite donnée et sa projection sur le plan (Fig.).

Théorème. L'aire de la projection orthogonale d'un polygone sur un plan est égale à l'aire du polygone projeté multipliée par le cosinus de l'angle formé par le plan du polygone et le plan de projection.

Chaque polygone peut être divisé en triangles dont la somme des aires est égale à l'aire du polygone. Il suffit donc de prouver le théorème du triangle.

Soit ΔАВС projeté sur l'avion R.. Considérons deux cas :

a) l'un des côtés ΔABC est parallèle au plan R.;

b) aucun des côtés ΔABC n'est parallèle R..

Considérons premier cas: soit [AB] || R..

Traçons un plan passant par (AB) R. 1 || R. et projeter orthogonalement ΔАВС sur R. 1 et plus R.(riz.); nous obtenons ΔАВС 1 et ΔА'В'С'.

Par la propriété de projection on a ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С', et donc

S Δ ABC1 = S Δ A'B'C'

Dessinons ⊥ et le segment D 1 C 1 . Alors ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ est la valeur de l'angle entre le plan ΔABC et le plan R. 1 . C'est pourquoi

SΔ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C1D1 | = 1 / 2 | AB | | CD1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

et donc S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.

Passons à l'examen deuxième cas. Dessinons un avion R. 1 || R. passant par ce sommet ΔАВС, la distance à partir de laquelle jusqu'au plan R. le plus petit (que ce soit le sommet A).

Projetons ΔАВС dans l'avion R. 1 et R.(riz.); que ses projections soient respectivement ΔАВ 1 С 1 et ΔА'В'С'.

Soit (BC) ∩ p 1 = D. Alors

S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

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