Les plans perpendiculaires indiquent la perpendiculaire de deux plans. Stéréométrie
Définition. Un angle dièdre est une figure formée par une droite a et deux demi-plans ayant une limite commune a, et n'appartenant pas au même plan.
Définition. La mesure en degrés d’un angle dièdre est la mesure en degrés de n’importe lequel de ses angles linéaires.
Définition. Deux plans sécants sont dits perpendiculaires si l'angle entre eux est de 90°.
Un signe de perpendiculaire de deux plans.
Propriétés.
- Dans un cuboïde, les six faces sont des rectangles.
- Tous les angles dièdres d'un cuboïde sont des angles droits
- Le carré de la diagonale d'un parallélépipède rectangle est égal à la somme des carrés de ses trois dimensions.
Problèmes et tests sur le thème « Thème 7. « Angle dièdre. Perpendularité des plans."
- Angle dièdre. Perpendiculaire des plans
- Perpendiculaire d'une droite et d'un plan - Perpendiculaire des lignes et des plans, niveau 10
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Le matériel sur le sujet résume et systématise les informations que vous connaissez grâce à la planimétrie sur la perpendiculaire des lignes droites. Il convient de combiner l'étude des théorèmes sur la relation entre parallélisme et perpendiculaire des droites et des plans dans l'espace, ainsi que de la matière sur les perpendiculaires et les inclinés, avec une répétition systématique de la matière correspondante issue de la planimétrie.
Les solutions à presque tous les problèmes de calcul se résument à l'application du théorème de Pythagore et à ses conséquences. Dans de nombreux problèmes, la possibilité d'utiliser le théorème de Pythagore ou ses corollaires est justifiée par le théorème des trois perpendiculaires ou les propriétés de parallélisme et de perpendiculaire des plans.
Cette leçon aidera ceux qui souhaitent comprendre le sujet « Le signe de la perpendiculaire de deux plans ». Au début, nous répéterons la définition des angles dièdres et linéaires. Ensuite, nous considérerons quels plans sont appelés perpendiculaires et prouverons le signe de perpendiculaire de deux plans.
Sujet : Perpendiculaire des lignes et des plans
Leçon : Signe de perpendiculaire de deux plans
Définition. Un angle dièdre est une figure formée de deux demi-plans n'appartenant pas au même plan et de leur droite commune a (a est une arête).
Riz. 1
Considérons deux demi-plans α et β (Fig. 1). Leur frontière commune est l. Cette figure est appelée angle dièdre. Deux plans sécants forment quatre angles dièdres avec une arête commune.
Un angle dièdre est mesuré par son angle linéaire. On choisit un point arbitraire sur l'arête commune l de l'angle dièdre. Dans les demi-plans α et β, à partir de ce point on trace les perpendiculaires a et b à la droite l et on obtient l'angle linéaire de l'angle dièdre.
Les droites a et b forment quatre angles égaux à φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Rappelons que l'angle entre les droites est le plus petit de ces angles.
Définition. L'angle entre plans est le plus petit des angles dièdres formés par ces plans. φ est l'angle entre les plans α et β, si
Définition. Deux plans qui se croisent sont dits perpendiculaires ( mutuellement perpendiculaires ) si l'angle entre eux est de 90°.
Riz. 2
Un point arbitraire M est sélectionné sur le bord l (Fig. 2). Traçons deux droites perpendiculaires MA = a et MB = b au bord l dans le plan α et dans le plan β, respectivement. Nous avons l'angle AMB. L'angle AMB est l'angle linéaire d'un angle dièdre. Si l'angle AMB est de 90°, alors les plans α et β sont dits perpendiculaires.
La ligne b est perpendiculaire à la ligne l par construction. La droite b est perpendiculaire à la droite a, puisque l’angle entre les plans α et β est de 90°. Nous constatons que la droite b est perpendiculaire à deux droites sécantes a et l à partir du plan α. Cela signifie que la droite b est perpendiculaire au plan α.
De même, on peut prouver que la droite a est perpendiculaire au plan β. La ligne a est perpendiculaire à la ligne l par construction. La droite a est perpendiculaire à la droite b, puisque l’angle entre les plans α et β est de 90°. Nous constatons que la droite a est perpendiculaire à deux droites sécantes b et l à partir du plan β. Cela signifie que la droite a est perpendiculaire au plan β.
Si l’un des deux plans passe par une ligne perpendiculaire à l’autre plan, alors ces plans sont perpendiculaires.
Prouver:
Riz. 3
Preuve:
Laissez les plans α et β se couper le long de la droite AC (Fig. 3). Pour prouver que les plans sont perpendiculaires entre eux, il faut construire un angle linéaire entre eux et montrer que cet angle est de 90°.
La droite AB est perpendiculaire au plan β, et donc à la droite AC située dans le plan β.
Traçons une droite AD perpendiculaire à une droite AC dans le plan β. Alors BAD est l’angle linéaire de l’angle dièdre.
La droite AB est perpendiculaire au plan β, et donc à la droite AD située dans le plan β. Cela signifie que l'angle linéaire BAD est de 90°. Cela signifie que les plans α et β sont perpendiculaires, ce qu’il fallait prouver.
Le plan perpendiculaire à la ligne le long de laquelle deux plans donnés se coupent est perpendiculaire à chacun de ces plans (Fig. 4).
Prouver:
Riz. 4
Preuve:
La droite l est perpendiculaire au plan γ et le plan α passe par la droite l. Cela signifie que selon la perpendiculaire des plans, les plans α et γ sont perpendiculaires.
La droite l est perpendiculaire au plan γ et le plan β passe par la droite l. Cela signifie que selon la perpendiculaire des plans, les plans β et γ sont perpendiculaires.
TRANSCRIPTION TEXTE DE LA LEÇON :
L'idée d'un plan dans l'espace permet d'obtenir, par exemple, la surface d'une table ou d'un mur. Cependant, une table ou un mur a des dimensions finies et le plan s'étend au-delà de ses limites jusqu'à l'infini.
Considérons deux plans qui se croisent. Lorsqu'ils se croisent, ils forment quatre angles dièdres avec une arête commune.
Rappelons ce qu'est un angle dièdre.
En réalité, on rencontre des objets qui ont la forme d'un angle dièdre : par exemple, une porte entrouverte ou un dossier entrouvert.
Lorsque deux plans alpha et bêta se croisent, on obtient quatre angles dièdres. Soit l'un des angles dièdres égal à (phi), alors le deuxième est égal à (1800 -), le troisième, le quatrième (1800 -).
Prenons le cas où l'un des angles dièdres est de 900.
Alors, tous les angles dièdres dans ce cas sont égaux à 900.
Introduisons la définition des plans perpendiculaires :
Deux plans sont dits perpendiculaires si l’angle dièdre entre eux est de 90°.
L'angle entre les plans sigma et epsilon est de 90 degrés, ce qui signifie que les plans sont perpendiculaires.
Donnons des exemples de plans perpendiculaires.
Mur et plafond.
Paroi latérale et plateau de table.
Formulons un signe de perpendiculaire de deux plans :
THÉORÈME : Si l’un des deux plans passe par une droite perpendiculaire à l’autre plan, alors ces plans sont perpendiculaires.
Prouvons ce signe.
Par condition, on sait que la droite AM est dans le plan α, la droite AM est perpendiculaire au plan β,
Prouver : les plans α et β sont perpendiculaires.
Preuve:
1) Les plans α et β se coupent le long de la droite AR, tandis que AM est AR, puisque AM est β par condition, c'est-à-dire que AM est perpendiculaire à toute droite située dans le plan β.
2) Traçons une droite AT perpendiculaire à AP dans le plan β.
Nous obtenons l'angle TAM - l'angle linéaire de l'angle dièdre. Mais l'angle TAM = 90°, puisque MA est β. Donc αβ.
Q.E.D.
Du signe de perpendiculaire de deux plans on a un corollaire important :
COROLLAIRE : Un plan perpendiculaire à une droite le long de laquelle deux plans se coupent est perpendiculaire à chacun de ces plans.
Autrement dit : si α∩β=с et γ с, alors γ α et γ β.
Montrons ce corollaire : si le plan gamma est perpendiculaire à la droite c, alors, d'après le parallélisme des deux plans, gamma est perpendiculaire à alpha. De même, le gamma est perpendiculaire au bêta
Reformulons ce corollaire pour un angle dièdre :
Le plan passant par l'angle linéaire d'un angle dièdre est perpendiculaire à l'arête et aux faces de cet angle dièdre. En d'autres termes, si l'on a construit un angle linéaire d'un angle dièdre, alors le plan qui le traverse est perpendiculaire à l'arête et aux faces de cet angle dièdre.
Soit : ΔABC, C = 90°, AC se trouve dans le plan α, l'angle entre les plans α et ABC = 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.
Trouver : la distance du point B au plan α.
1) Construisons VC α. Alors KS est la projection du soleil sur ce plan.
2) BC AC (par condition), ce qui signifie, selon le théorème des trois perpendiculaires (TPP), KS AC. Par conséquent, VSK est l'angle linéaire de l'angle dièdre entre le plan α et le plan du triangle ABC. Autrement dit, VSK = 60°.
3) De ΔBCA selon le théorème de Pythagore :
La réponse VK est égale à 6 racines de trois cm
Utilisation pratique (caractère appliqué) de la perpendiculaire de deux plans.
La perpendiculaire dans l’espace peut avoir :
1. Deux lignes droites
3. Deux avions
Regardons ces trois cas tour à tour : toutes les définitions et énoncés des théorèmes qui s'y rapportent. Et puis nous discuterons du théorème très important sur les trois perpendiculaires.
Perpendiculaire de deux lignes.
Définition:
On peut dire : ils ont découvert l’Amérique aussi pour moi ! Mais rappelez-vous que dans l’espace, tout n’est pas tout à fait pareil que dans un avion.
Sur un plan, seules les droites suivantes (se coupant) peuvent être perpendiculaires :
Mais deux droites peuvent être perpendiculaires dans l’espace même si elles ne se coupent pas. Regarder:
une ligne droite est perpendiculaire à une ligne droite, même si elle ne la coupe pas. Comment ça? Rappelons la définition de l'angle entre droites : pour trouver l'angle entre droites qui se croisent et, il faut tracer une droite passant par un point arbitraire de la droite a. Et puis l’angle entre et (par définition !) sera égal à l’angle entre et.
Vous souvenez-vous? Eh bien, dans notre cas, si les lignes droites et s'avèrent perpendiculaires, alors nous devons considérer les lignes droites et perpendiculaires.
Pour plus de clarté, regardons exemple. Qu'il y ait un cube. Et il vous est demandé de trouver l'angle entre les lignes et. Ces lignes ne se coupent pas – elles se coupent. Pour trouver l'angle entre et, dessinons.
Du fait qu'il s'agit d'un parallélogramme (et même d'un rectangle !), il s'avère que c'est le cas. Et comme il s’agit d’un carré, il s’avère que c’est le cas. Eh bien, ça veut dire.
Perpendiculaire d'une droite et d'un plan.
Définition:
Voici une photo :
une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à toutes, toutes les droites de ce plan : et, et, et, et pair ! Et un milliard d’autres directs !
Oui, mais comment alors vérifier de manière générale la perpendiculaire dans une ligne droite et dans un plan ? Alors la vie ne suffit pas ! Mais heureusement pour nous, les mathématiciens nous ont sauvés du cauchemar de l'infini en inventant signe de perpendiculaire d'une droite et d'un plan.
Formulons :
Évaluez à quel point c'est génial :
s'il n'y a que deux droites (et) dans le plan auquel la droite est perpendiculaire, alors cette droite se révélera immédiatement perpendiculaire au plan, c'est-à-dire à toutes les droites de ce plan (y compris certaines droites ligne debout sur le côté). Il s’agit d’un théorème très important, nous allons donc également en tracer la signification sous forme de diagramme.
Et regardons encore exemple.
Donnons-nous un tétraèdre régulier.
Tâche : prouver cela. Vous direz : ce sont deux lignes droites ! Qu’est-ce que la perpendiculaire d’une droite et d’un plan a à voir là-dedans ?!
Mais regarde:
marquons le milieu du bord et dessinons et. Ce sont les médianes dans et. Les triangles sont réguliers et...
Voilà, un miracle : il s'avère que, depuis et. Et plus loin, à toutes les lignes droites du plan, ce qui signifie et. Ils l'ont prouvé. Et le point le plus important était justement l’utilisation du signe de perpendiculaire d’une droite et d’un plan.
Quand les plans sont perpendiculaires
Définition:
C'est-à-dire (pour plus de détails, voir le sujet « angle dièdre ») deux plans (et) sont perpendiculaires s'il s'avère que l'angle entre les deux perpendiculaires (et) à la ligne d'intersection de ces plans est égal. Et il existe un théorème qui relie le concept de plans perpendiculaires au concept de perpendiculaire dans l'espace d'une ligne et d'un plan.
Ce théorème s'appelle
Critère de perpendiculaire des plans.
Formulons :
Comme toujours, le décodage des mots « alors et seulement alors » ressemble à ceci :
- Si, alors passe par la perpendiculaire à.
- S'il passe par la perpendiculaire à, alors.
(naturellement, nous sommes ici des avions).
Ce théorème est l’un des plus importants en stéréométrie, mais malheureusement aussi l’un des plus difficiles à appliquer.
Il faut donc être très prudent !
Ainsi, la formulation :
Et encore une fois, déchiffrer les mots « alors et alors seulement ». Le théorème énonce deux choses à la fois (regardez l'image) :
essayons d'appliquer ce théorème pour résoudre le problème.
Tâche: une pyramide hexagonale régulière est donnée. Trouvez l'angle entre les lignes et.
Solution:
Du fait que dans une pyramide régulière, le sommet, lorsqu'il est projeté, tombe au centre de la base, il s'avère que la ligne droite est une projection de la ligne droite.
Mais on sait que c'est dans un hexagone régulier. On applique le théorème des trois perpendiculaires :
Et nous écrivons la réponse : .
PERPENDICULARITÉ DES LIGNES DROITES DANS L'ESPACE. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES
Perpendiculaire de deux lignes.
Deux droites dans l’espace sont perpendiculaires s’il existe un angle entre elles.
Perpendiculaire d'une droite et d'un plan.
Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à toutes les droites de ce plan.
Perpendiculaire des plans.
Les plans sont perpendiculaires si l'angle dièdre entre eux est égal.
Critère de perpendiculaire des plans.
Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si l’un d’eux passe par la perpendiculaire à l’autre plan.
Théorème des trois perpendiculaires :
Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.
Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !
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Si l'un des deux plans passe par une ligne perpendiculaire à l'autre plan, alors les plans donnés sont perpendiculaires () (Fig. 28)
α – plan, V– une droite qui lui est perpendiculaire, β – un plan passant par la droite V, Et Avec– la droite le long de laquelle les plans α et β se coupent.
Conséquence. Si un plan est perpendiculaire à la ligne d’intersection de deux plans donnés, alors il est perpendiculaire à chacun de ces plans.
Problème 1. Montrer qu'à travers n'importe quel point d'une droite dans l'espace, deux droites différentes perpendiculaires peuvent être tracées.
Preuve:
D'après l'axiome je il y a un point qui n'est pas sur la ligne UN. D'après le théorème 2.1, par le point DANS et direct UN on peut dessiner le plan α. (Fig. 29) D'après le théorème 2.3 passant par le point UN dans le plan α on peut tracer une droite UN. D'après l'axiome C 1, il y a un point AVEC, n'appartenant pas à α. Par le théorème 15.1 par le point AVEC et direct UN on peut dessiner le plan β. Dans le plan β, d’après le théorème 2.3, passant par le point a on peut tracer une droite avec UN. Par construction, les droites b et c n'ont qu'un seul point commun UN et les deux sont perpendiculaires
Tâche 2. Les extrémités supérieures de deux piliers verticaux, séparés d'une distance de 3,4 m, sont reliées par une barre transversale. La hauteur d'un poteau est de 5,8 m et l'autre de 3,9 m. Trouvez la longueur de la barre transversale.
CA= 5,8m, ВD= 3,9 m, UN B- ? (Fig. 30)
AE = AC – CE = AC – BD= 5,8 – 3,9 = 1,9 (m)
Par le théorème de Pythagore de ∆ AEV on a:
AB 2 = AE 2 + EB 2 = AE 2 + CD 2 = ( 1,9) 2 + (3,4) 2 = 15,17 (m2)
UN B= = 3,9 (m)
Tâches
Cible. Apprendre à analyser dans les cas les plus simples arrangement mutuel objets dans l'espace, utiliser des faits et des méthodes planimétriques pour résoudre des problèmes stéréométriques.
1. Prouvez que passant par n’importe quel point d’une droite dans l’espace, vous pouvez tracer une droite perpendiculaire à celui-ci.
2. Les droites AB, AC et AD sont perpendiculaires deux à deux. Recherchez le segment CD si :
1) AB = 3 cm , soleil= 7 cm, ANNONCE= 1,5 cm ;
2) VD= 9 cm, ANNONCE= 5cm, Soleil= 16 cm ;
3) AB = b, BC = a, AD = d ;
4) ВD = с, ВС = а, АD = d
3. Le point A est à distance unà partir des sommets d'un triangle équilatéral de côté UN. Trouvez la distance du point A au plan du triangle.
4. Montrer que si une droite est parallèle à un plan, alors tous ses points sont à la même distance du plan.
5. Un fil téléphonique de 15 m de long est tendu depuis un poteau téléphonique, où il est fixé à une hauteur de 8 m de la surface du sol, jusqu'à une maison, où il est fixé à une hauteur de 20 m. Trouvez la distance entre la maison et le poteau, en supposant que le fil ne s'affaisse pas.
6. Deux pentes inclinées sont tracées d'un point à un plan égal à 10 cm et 17 cm. La différence entre les projections de ces inclinées est de 9 cm. Trouvez les projections des inclinées.
7. Deux inclinés sont dessinés d'un point vers un plan, dont l'un est 26 cm plus grand que l'autre. Les saillies inclinées mesurent 12 cm et 40 cm. Trouvez les inclinées.
8. Deux lignes inclinées sont tracées d'un point à un plan. Trouvez les longueurs des obliques si elles ont un rapport de 1:2 et que les projections des obliques sont de 1 cm et 7 cm.
9. Deux pentes inclinées égales à 23 cm et 33 cm sont tracées d'un point à un plan.
la distance de ce point au plan si les projections inclinées sont dans un rapport de 2:3.
10. Trouvez la distance du milieu du segment AB à un plan qui ne coupe pas ce segment si les distances des points a et B au plan sont : 1) 3,2 cm et 5,3 cm, 7,4 cm et 6,1 cm ; 3) a et c.
11. Résolvez le problème précédent à condition que le segment AB coupe le plan.
12. Un segment de 1 m de long coupe un plan, ses extrémités sont éloignées du plan à une distance de 0,5 m et 0,3 m. Trouvez la longueur de la projection du segment sur le plan..
13. À partir des points A et B, les perpendiculaires sont déposées sur le plan. Trouvez la distance entre les points A et B si les perpendiculaires sont de 3 m et 2 m, la distance entre leurs bases est de 2,4 m et le segment AB ne coupe pas le plan.
14. Des points A et B, situés dans deux plans perpendiculaires, les perpendiculaires AC et BD tombent sur la ligne d'intersection des plans. Trouvez la longueur du segment AB si : 1) AC = 6 m, BD = 7 m, CD = 6 m ; 2) AC = 3 m, ВD = 4 m, CD = 12 m ; 3) AD = 4 m, BC = 7 m, CD = 1 m ; 4) AD = BC = 5 m, CD = 1 m ; 4) AC = a, BD = b, CD = c ; 5) AD = a, BC = b, CD = c.
15. A partir des sommets A et B du triangle équilatéral ABC, les perpendiculaires AA 1 et BB 1 au plan du triangle sont restituées. Trouver la distance du sommet C au milieu du segment A 1 B 1 si AB = 2 m, CA 1 = 3 m, CB 1 = 7 m et le segment A 1 B 1 ne coupe pas le plan du triangle
16. A partir des sommets A et B des angles aigus du triangle rectangle ABC, sont érigées les perpendiculaires AA 1 et BB 1 au plan du triangle. Trouvez la distance du sommet C au milieu du segment A 1 B 1, si A 1 C = 4 m, AA 1 = 3 m, CB 1 = 6 m, BB 1 = 2 m et que le segment A 1 B 1 ne se coupe pas le plan du triangle.
