Construisez 4 merveilleux points triangulaires. Travail de recherche « Points remarquables du triangle

Les deux premiers théorèmes vous sont bien connus, les deux autres seront démontrés.

Théorème 1

Trois bissectrices d'un triangle se croisent en un point, ce qui est centre du cercle inscrit.

Preuve

basé sur le fait que la bissectrice d’un angle est le lieu des points équidistants des côtés de l’angle.

Théorème 2

Les trois bissectrices perpendiculaires aux côtés du triangle se coupent en un point, qui est le centre du cercle circonscrit.

Preuve

basé sur le fait que la médiatrice d'un segment est le lieu des points équidistants des extrémités de ce segment.

Théorème 3

Trois hauteurs ou trois droites, sur lequel se trouvent les altitudes du triangle, se coupent en un point. Ce point est appelé orthocentre Triangle.

Preuve

Passant par les sommets du triangle « ABC », nous traçons des lignes droites parallèles aux côtés opposés.

A l'intersection, un triangle 'A_1 B_1 C_1' se forme.

Par construction, `ABA_1C` est un parallélogramme, donc `BA_1 = AC`. De même, il est établi que `C_1B = AC`, donc `C_1B = AC`, le point `B` est le milieu du segment `C_1A_1`.
Exactement de la même manière, il est montré que `C` est le milieu de `B_1A_1` et `A` est le milieu de `B_1 C_1`.
Soit `BN` la hauteur du triangle `ABC`, puis pour le segment `A_1 C_1` la droite `BN` est la médiatrice. D'où il s'ensuit que les trois droites sur lesquelles se situent les hauteurs du triangle 'ABC' sont les médiatrices des trois côtés du triangle 'A_1B_1C_1' ; et ces perpendiculaires se coupent en un point (théorème 2).
Si le triangle est aigu, alors chacune des hauteurs est un segment reliant le sommet et un point du côté opposé. Dans ce cas, les points « B » et « N » se trouvent dans des demi-plans différents formés par la ligne « AM », ce qui signifie que le segment « BN » coupe la ligne « AM », le point d'intersection se trouve à la hauteur « BN ». , c'est-à-dire se trouve à l'intérieur du triangle .
Dans un triangle rectangle, le point d'intersection des altitudes est le sommet de l'angle droit.

Théorème 4

Trois médianes d'un triangle se croisent en un point et sont divisés par le point d'intersection dans le rapport « 2 : 1 », en comptant à partir du sommet. Ce point est appelé centre de gravité (ou centre de masse) du triangle.
Il existe diverses preuves de ce théorème. Présentons-en une basée sur le théorème de Thales.

Preuve

Soient `E`, `D` et `F` les milieux des côtés `AB`, `BC` et `AC` du triangle `ABC`.

Traçons la médiane `AD` passant par les points `E` et `F` parallèle il a des lignes droites `EK` et `FL`. D'après le théorème de Thales `BK = KD` `(/_ABC`, E K ‖ A D) EK\|AD) et `DL = LC` `(/_ACB`, A D ‖ F L) AD\| FL). Mais `BD = DC = a//2`, donc `BK = KD = DL = LC = a//4`. Par le même théorème `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, N K ‖ M D ‖ F L) NK\| MD\| FL), donc `BM = 2MF`.

Cela signifie que la médiane « BF » au point « M » d'intersection avec la médiane « AD » a été divisée dans le rapport « 2 : 1 » à partir du sommet.

Montrons que la médiane `AD` au point `M` est divisée dans le même rapport. Le raisonnement est similaire.

Si nous considérons les médianes « BF » et « CE », nous pouvons également montrer qu'elles se coupent au point où la médiane « BF » est divisée dans le rapport « 2 : 1 », c'est-à-dire au même point « M ». Et à ce stade, la médiane « CE » sera également divisée dans le rapport « 2 : 1 », en partant du sommet.

Le point d'intersection des médianes d'un triangle Le point d'intersection des médiatrices d'un triangle Le point d'intersection des altitudes d'un triangle Le point d'intersection des médiatrices d'un triangle

La médiane (BD) d'un triangle est le segment qui relie le sommet du triangle au milieu du côté opposé. A B C D Médiane

Les médianes d'un triangle se coupent en un point (le centre de gravité du triangle) et sont divisées par ce point dans un rapport de 2 : 1, à partir du sommet. AM : MA 1 = VM : MV 1 = SM: MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1

La bissectrice (A D) d'un triangle est le segment bissecteur de l'angle intérieur du triangle.

Chaque point de la bissectrice d'un angle non développé est équidistant de ses côtés. Inversement : tout point situé à l’intérieur d’un angle et équidistant des côtés de l’angle se trouve sur sa bissectrice. A M B C

Toutes les bissectrices d'un triangle se coupent en un point - le centre du cercle inscrit dans le triangle. C B 1 M A V A 1 C 1 O Le rayon d'un cercle (OM) est une perpendiculaire tombant du centre (TO) vers le côté du triangle

HAUTEUR L'altitude (C D) d'un triangle est le segment perpendiculaire tracé du sommet du triangle à la droite contenant le côté opposé. A B C D

Les altitudes d'un triangle (ou leurs extensions) se coupent en un point. A A 1 B B 1 C C 1

MOYENNEPERPENDICULAIRE La médiatrice (DF) est la ligne perpendiculaire au côté du triangle et le divisant en deux. A D F B C

A M B m O Chaque point de la médiatrice (m) d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment. Inversement : tout point équidistant des extrémités d’un segment se trouve sur la médiatrice qui lui est perpendiculaire.

Toutes les bissectrices perpendiculaires des côtés du triangle se coupent en un point - le centre du cercle circonscrit au triangle. A B C O Le rayon du cercle circonscrit est la distance entre le centre du cercle et n'importe quel sommet du triangle (OA). mnp

Tâches pour les élèves Construire un cercle inscrit dans un triangle obtus à l'aide d'un compas et d'une règle. Pour ce faire : Construisez des bissectrices dans un triangle obtus à l’aide d’un compas et d’une règle. Le point d'intersection des bissectrices est le centre du cercle. Construisez le rayon du cercle : une perpendiculaire du centre du cercle au côté du triangle. Construisez un cercle inscrit dans le triangle.

2. À l’aide d’un compas et d’une règle, construisez un cercle circonscrit à un triangle obtus. Pour ce faire : Construisez des médiatrices perpendiculaires aux côtés du triangle obtus. Le point d'intersection de ces perpendiculaires est le centre du cercle circonscrit. Le rayon d'un cercle est la distance entre le centre et n'importe quel sommet du triangle. Construisez un cercle autour du triangle.

Ministère de l'enseignement général et professionnel de la région de Sverdlovsk.

Établissement d'enseignement municipal d'Ekaterinbourg.

Établissement d'enseignement – MOUSOSH n° 212 « Lycée culturel d'Ekaterinbourg »

Domaine éducatif – mathématiques.

Sujet - géométrie.

Points remarquables du triangle

Référent: élève de 8ème

Selitsky Dmitri Konstantinovitch.

Conseiller scientifique:

Rabkanov Sergueï Petrovitch.

Ekaterinbourg, 2001

Introduction 3

Partie descriptive :

Orthocentre 4

Centre 5

Centre de gravité 7

Circoncentre 8

Ligne d'Euler 9

Partie pratique :

Triangle orthocentrique 10

Conclusion 11

Références 11

Introduction.

La géométrie commence par un triangle. Depuis deux millénaires et demi, le triangle est un symbole de géométrie. Ses nouvelles propriétés sont constamment découvertes. Parler de toutes les propriétés connues d’un triangle prendra beaucoup de temps. J'étais intéressé par ce qu'on appelle " Points merveilleux Triangle." Un exemple de tels points est le point d’intersection des bissectrices. Ce qui est remarquable, c'est que si vous prenez trois points arbitraires dans l'espace, construisez un triangle à partir d'eux et tracez des bissectrices, alors ils (les bissectrices) se couperont en un point ! Il semblerait que cela ne soit pas possible, car nous avons pris des points arbitraires, mais cette règle s'applique toujours. D’autres « points remarquables » ont des propriétés similaires.

Après avoir lu la littérature sur ce sujet, j'ai fixé moi-même les définitions et propriétés de cinq points merveilleux et d'un triangle. Mais mon travail ne s’est pas arrêté là : j’ai voulu explorer ces points moi-même.

C'est pourquoi cible Ce travail est une étude de quelques propriétés remarquables d'un triangle, et une étude d'un triangle orthocentrique. Dans le processus pour atteindre cet objectif, les étapes suivantes peuvent être distinguées :

Sélection de littérature, avec l'aide d'un professeur

Étudier les propriétés fondamentales des points et des lignes remarquables d'un triangle

Généralisation de ces propriétés

Élaboration et résolution d'un problème impliquant un triangle orthocentrique

J'ai présenté les résultats obtenus dans ce travail de recherche. J'ai réalisé tous les dessins en infographie (éditeur de graphiques vectoriels CorelDRAW).

Orthocentre. (Point d'intersection des hauteurs)

Montrons que les hauteurs se coupent en un point. Laissez-vous guider à travers les sommets UN, DANS Et AVEC Triangle abc lignes droites parallèles aux côtés opposés. Ces lignes forment un triangle UN 1 DANS 1 AVEC 1 . hauteur du triangle abc sont les médiatrices des côtés du triangle UN 1 DANS 1 AVEC 1 . par conséquent, ils se coupent en un point - le centre du cercle circonscrit du triangle UN 1 DANS 1 AVEC 1 . Le point d'intersection des altitudes d'un triangle est appelé orthocentre ( H).

Icentre est le centre du cercle inscrit.

(Point d'intersection des bissectrices)

Montrons que les bissectrices des angles d'un triangle abc se croisent en un point. Considérez le point À PROPOS intersections de la bissectrice UN Et DANS. tous les points de la bissectrice de l'angle A sont équidistants des droites UN B Et CA, et n'importe quel point de la bissectrice DANSà égale distance des lignes droites UN B Et Soleil, alors pointez À PROPOSà égale distance des lignes droites CA Et Soleil, c'est à dire. il se trouve sur la bissectrice de l'angle AVEC. point À PROPOSà égale distance des lignes droites UN B, Soleil Et SA, ce qui signifie qu'il y a un cercle de centre À PROPOS, tangentes à ces lignes, et les points de tangence se trouvent sur les côtés eux-mêmes, et non sur leurs prolongements. En fait, les angles aux sommets UN Et DANS Triangle AOB pointu donc point de projection À PROPOS directement UN B se trouve à l'intérieur du segment UN B.

Pour les fêtes Soleil Et SA la preuve est similaire.

L'icenter a trois propriétés :

Si la continuation de la bissectrice AVEC coupe le cercle circonscrit d'un triangle abcà ce point M, Que MA=VM=MO.

Si UN B- base d'un triangle isocèle abc, puis le cercle tangent aux côtés de l'angle DIA aux points UN Et DANS, passe par le point À PROPOS.

Si une droite passant par un point À PROPOS parallèle au côté UN B, traverse les côtés Soleil Et SA aux points UN 1 Et DANS 1 , Que UN 1 DANS 1 =UN 1 DANS+UN B 1 .

Centre de gravité. (Point d'intersection des terre-pleins)

Montrons que les médianes d'un triangle se coupent en un point. Pour cela, considérons le point M, auquel les médianes se croisent AA 1 Et BB 1 . dessinons un triangle BB 1 AVEC ligne médiane UN 1 UN 2 , parallèle BB 1 . Alors UN 1 M : AM=DANS 1 UN 2 :UN B 1 =DANS 1 UN 2 :DANS 1 AVEC=Virginie 1 :SOLEIL=1:2, c'est-à-dire point d'intersection médian BB 1 Et AA 1 divise la médiane AA 1 dans un rapport de 1:2. De même, le point d'intersection des médianes SS 1 Et AA 1 divise la médiane AA 1 dans un rapport de 1:2. Donc le point d’intersection des médianes AA 1 Et BB 1 coïncide avec le point d'intersection des médianes AA 1 Et SS 1 .

Si le point d'intersection des médianes d'un triangle est relié aux sommets, alors les triangles seront divisés en trois triangles d'aire égale. En effet, il suffit de prouver que si R.– n’importe quel point de la médiane AA 1 dans un triangle abc, alors les aires des triangles AVR Et RSA sont égaux. Après tout, les médianes AA 1 Et RA 1 en triangle abc Et RVS coupez-les en triangles d'aire égale.

L'affirmation inverse est également vraie : si pour un certain point R., situé à l'intérieur du triangle abc, aire des triangles AVR, MERCREDI Et DAS sont égaux, alors R.– point d'intersection des médianes.

Le point d'intersection a une propriété supplémentaire : si vous découpez un triangle dans n'importe quel matériau, dessinez des médianes dessus, fixez une tige au point d'intersection des médianes et fixez la suspension sur un trépied, alors le modèle (triangle) sera en un état d'équilibre, donc le point d'intersection n'est rien de plus que le centre de gravité du triangle.

Centre du cercle circonscrit.

Montrons qu'il existe un point équidistant des sommets du triangle, ou, en d'autres termes, qu'il existe un cercle passant par les trois sommets du triangle. Le lieu des points équidistants des points UN Et DANS, est perpendiculaire au segment UN B, passant par son milieu (la médiatrice perpendiculaire au segment UN B). Considérez le point À PROPOS, dans lequel les bissectrices des perpendiculaires aux segments se coupent UN B Et Soleil. Point À PROPOSà égale distance des points UN Et DANS, ainsi qu'à partir de points DANS Et AVEC. il est donc à égale distance des points UN Et AVEC, c'est à dire. il se trouve également sur la médiatrice perpendiculaire au segment CA.

Centre À PROPOS le cercle circonscrit se trouve à l’intérieur d’un triangle seulement si le triangle est aigu. Si le triangle est rectangle, alors le point À PROPOS coïncide avec le milieu de l'hypoténuse, et si l'angle au sommet AVEC brutal puis droit UN B sépare les points À PROPOS Et AVEC.

En mathématiques, il arrive souvent que des objets définis de manières complètement différentes se révèlent être les mêmes. Montrons cela avec un exemple.

Laisser UN 1 , DANS 1 ,AVEC 1 – les milieux des côtés Soleil,SA et AB. On peut prouver que les cercles circonscrits de triangles UN B 1 AVEC, UN 1 Soleil 1 Et UN 1 DANS 1 AVEC 1 se croisent en un point, et ce point est le centre circonscrit du triangle abc. Nous avons donc deux points apparemment complètement différents : le point d'intersection des médiatrices avec les côtés du triangle abc et le point d'intersection des cercles circonscrits des triangles UN B 1 AVEC 1 , UN 1 Soleil Et UN 1 DANS 1 AVEC 1 . mais il s'avère que ces deux points coïncident.

La droite d'Euler.

La propriété la plus étonnante des points remarquables d’un triangle est que certains d’entre eux sont reliés les uns aux autres par certaines relations. Par exemple, le centre de gravité M, orthocentre N et le centre du cercle circonscrit À PROPOS se trouvent sur la même droite, et le point M divise le segment OH pour que la relation soit valide OM:MN=1:2. Ce théorème a été prouvé en 1765 par le scientifique suisse Leonardo Euler.

Triangle orthocentrique.

Triangle orthocentrique(orthotriangle) est un triangle ( MNÀ), dont les sommets sont les bases des altitudes de ce triangle ( abc). Ce triangle possède de nombreuses propriétés intéressantes. Donnons-en un.

Propriété.

Prouver:

Triangles AKM, MCN Et BKN semblable à un triangle abc;

Angles d'un orthotriangle MNK sont: L KNM = π - 2 L UN,LKMN = π – 2 L B, L MNK = π - - 2 L C.

Preuve:

Nous avons UN B parce que UN, A.K. parce que UN. Ainsi, SUIS./UN B = A.K./A.C..

Parce que aux triangles abc Et AKM coin UN– communs, alors ils sont similaires, d’où on conclut que l’angle L AKM = L C. C'est pourquoi L BKM = L C. Ensuite nous avons L MKC= π/2 – L C, L CNK= π/2 – - - L C, c'est à dire. Sask.– bissectrice de l'angle MNK. Donc, L MNK= π – 2 L C. Les égalités restantes se prouvent de la même manière.

Conclusion.

Au terme de ce travail de recherche, les conclusions suivantes peuvent être tirées :

Les points et lignes notables du triangle sont :

orthocentre d'un triangle est le point d'intersection de ses hauteurs ;

etcentre le triangle est le point d'intersection des bissectrices ;

centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection de ses médianes ;

circoncentre– est le point d'intersection des perpendiculaires bissectrices ;

La droite d'Euler- c'est la droite sur laquelle se trouvent le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit.

Un triangle orthocentrique divise un triangle donné en trois triangles similaires.

Ayant fait ce travail, j'ai beaucoup appris sur les propriétés d'un triangle. Ce travail était pertinent pour moi du point de vue du développement de mes connaissances dans le domaine des mathématiques. À l’avenir, j’ai l’intention de développer ce sujet intéressant.

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Sharygin I.F. Problèmes de géométrie : Planimétrie. – M. : Nauka, 1986.

Scanavi MI Mathématiques. Problèmes avec des solutions. – Rostov-sur-le-Don : Phoenix, 1998.

Berger M. Géométrie en deux volumes - M : Mir, 1984.

QUATRE POINTS NOTABLES

TRIANGLE

Géométrie

8e année

Sakharova Natalia Ivanovna

Lycée MBOU n°28 de Simferopol

Point d'intersection des médianes du triangle
Point d'intersection des médiatrices du triangle
Point d'intersection des altitudes du triangle
Point d'intersection des médianes perpendiculaires d'un triangle

Médian

Médiane (BD) d'un triangle est le segment qui relie le sommet du triangle au milieu du côté opposé.

Médianes les triangles se croisent à un moment donné (centre de gravité triangle) et sont divisés par ce point dans un rapport de 2 : 1, à partir du sommet.

BISSECTEUR

Bissectrice (AD) d'un triangle est le segment bissecteur de l'angle intérieur du triangle. ∟ MAUVAIS = ∟CAD.

Chaque point bissectrices d'un angle non développé est équidistant de ses côtés.

Dos: tout point situé à l'intérieur d'un angle et équidistant des côtés de l'angle se trouve sur son bissecteur.

Toutes les bissectrices les triangles se coupent en un point - centre de l'inscription dans un triangle cercles.

Le rayon du cercle (OM) est une perpendiculaire descendant du centre (TO) vers le côté du triangle

HAUTEUR

Hauteur (CD) d'un triangle est un segment perpendiculaire tiré d'un sommet du triangle sur une ligne contenant le côté opposé.

hauteurs les triangles (ou leurs extensions) se coupent un indiquer.

PERPENDICULAIRE MILIEU

Bissectrice perpendiculaire (DF) appelée ligne droite perpendiculaire à un côté d’un triangle et le divisant en deux.

Chaque point médiatrice(m) à un segment est équidistant des extrémités de ce segment.

Dos: tout point équidistant des extrémités d'un segment se trouve au milieu perpendiculaireà lui.

Toutes les bissectrices perpendiculaires des côtés d'un triangle se coupent en un point - le centre de la description près du triangle cercle .

Le rayon du cercle circonscrit est la distance entre le centre du cercle et n'importe quel sommet du triangle (OA).

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Devoirs

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