Comment tracer une bissectrice perpendiculaire dans un triangle. Quatre merveilleux points du triangle

Dans un triangle, il y a ce qu'on appelle quatre points merveilleux: point d'intersection des médianes. Le point d'intersection des bissectrices, le point d'intersection des hauteurs et le point d'intersection des bissectrices perpendiculaires. Considérons chacun d'eux.

Point d'intersection des médianes d'un triangle

Théorème 1

A l'intersection des médianes d'un triangle: Les médianes d'un triangle se coupent en un point et divisent le point d'intersection dans un rapport $2:1$ à partir du sommet.

Preuve.

Considérons le triangle $ABC$, où $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ est sa médiane. Puisque les médianes divisent les côtés en deux. Considérez la ligne médiane $A_1B_1$ (Fig. 1).

Figure 1. Médianes d'un triangle

D'après le théorème 1, $AB||A_1B_1$ et $AB=2A_1B_1$, donc $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Ainsi les triangles $ABM$ et $A_1B_1M$ sont similaires selon le premier critère de similarité des triangles. Alors

De même, il est prouvé que

Le théorème a été prouvé.

Point d'intersection des bissectrices d'un triangle

Théorème 2

A l'intersection des bissectrices d'un triangle: Les bissectrices d'un triangle se coupent en un point.

Preuve.

Considérons le triangle $ABC$, où $AM,\ BP,\ CK$ sont ses bissectrices. Soit le point $O$ le point d'intersection des bissectrices $AM\ et\ BP$. Dessinez à partir de ce point perpendiculairement aux côtés du triangle (Fig. 2).

Figure 2. Bissectrices d'un triangle

Théorème 3

Chaque point de la bissectrice d'un angle non élargi est équidistant de ses côtés.

D'après le théorème 3, on a : $OX=OZ,\ OX=OY$. Donc $OY=OZ$. Le point $O$ est donc équidistant des côtés de l'angle $ACB$ et se trouve donc sur sa bissectrice $CK$.

Le théorème a été prouvé.

Point d'intersection des bissectrices perpendiculaires d'un triangle

Théorème 4

Les bissectrices perpendiculaires des côtés d'un triangle se coupent en un point.

Preuve.

Soit un triangle $ABC$ donné, $n,\ m,\ p$ ses bissectrices perpendiculaires. Soit le point $O$ le point d'intersection des bissectrices perpendiculaires $n\ et\ m$ (Fig. 3).

Figure 3. Bissectrices perpendiculaires d'un triangle

Pour la démonstration nous avons besoin du théorème suivant.

Théorème 5

Chaque point de la bissectrice perpendiculaire à un segment est équidistant des extrémités du segment donné.

D'après le théorème 3, on a : $OB=OC,\ OB=OA$. Donc $OA=OC$. Cela signifie que le point $O$ est équidistant des extrémités du segment $AC$ et, par conséquent, se trouve sur sa bissectrice perpendiculaire $p$.

Le théorème a été prouvé.

Le point d'intersection des hauteurs du triangle

Théorème 6

Les hauteurs d'un triangle ou leurs extensions se coupent en un point.

Preuve.

Considérons le triangle $ABC$, où $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ est sa hauteur. Tracez une ligne à travers chaque sommet du triangle parallèle au côté opposé au sommet. Nous obtenons un nouveau triangle $A_2B_2C_2$ (Fig. 4).

Figure 4. Hauteurs d'un triangle

Puisque $AC_2BC$ et $B_2ABC$ sont des parallélogrammes avec un côté commun, alors $AC_2=AB_2$, c'est-à-dire que le point $A$ est le milieu du côté $C_2B_2$. De même, on obtient que le point $B$ est le milieu du côté $C_2A_2$, et le point $C$ est le milieu du côté $A_2B_2$. De la construction, nous avons ce $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Donc $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sont les bissectrices perpendiculaires du triangle $A_2B_2C_2$. Alors, par le théorème 4, on a que les hauteurs $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ se coupent en un point.

Mi-perpendiculaire (perpendiculaire médiane ou médiatrice) est une droite perpendiculaire au segment donné et passant par son milieu.

Propriétés

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; a^2-b^2+c^2),$ où l'indice désigne le côté auquel la perpendiculaire est tracée, $S$ est l'aire du triangle, et on suppose également que les côtés sont liés par des inégalités $une\; \backslash geqslant\; b\; \backslash geqslant\; c.$ $p\_a\backslash geq\; p\_b$ et $p\_c\backslash geq\; p\_b.$ En d'autres termes, pour un triangle, la plus petite perpendiculaire médiane fait référence au segment médian.

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Remarques

Un extrait caractérisant la bissectrice perpendiculaire

Kutuzov, s'arrêtant pour mâcher, regarda Wolzogen avec surprise, comme s'il ne comprenait pas ce qu'on lui disait. Wolzogen, remarquant l'excitation de des alten Herrn, [le vieux monsieur (allemand)], dit avec un sourire :
- Je ne me considérais pas en droit de cacher à Votre Seigneurie ce que j'ai vu... Les troupes sont dans un désordre complet...
- Avez-vous vu? Avez-vous vu? .. - Kutuzov a crié avec un froncement de sourcils, se levant rapidement et avançant sur Wolzogen. « Comment oses-tu… comment oses-tu… ! » cria-t-il, faisant des gestes menaçants en serrant les mains et en s'étouffant. - Comment osez-vous, mon cher monsieur, me dire cela. Vous ne savez rien. Dites de ma part au général Barclay que ses informations sont erronées et que le véritable déroulement de la bataille est connu de moi, le commandant en chef, mieux que de lui.
Wolzogen voulait objecter quelque chose, mais Kutuzov l'a interrompu.
- L'ennemi est repoussé sur la gauche et vaincu sur le flanc droit. Si vous n'avez pas bien vu, cher monsieur, alors ne vous permettez pas de dire ce que vous ne savez pas. S'il vous plaît, allez voir le général Barclay et transmettez-lui mon intention indispensable d'attaquer l'ennemi demain », a déclaré sévèrement Kutuzov. Tout le monde était silencieux, et on pouvait entendre une respiration lourde du vieux général essoufflé. - Partout repoussée, ce dont je remercie Dieu et notre brave armée. L'ennemi est vaincu, et demain nous le chasserons de la terre russe sacrée, - a déclaré Kutuzov en se signant; et éclata soudain en sanglots. Wolzogen, haussant les épaules et tordant les lèvres, s'écarta silencieusement, s'interrogeant sur uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [sur cette tyrannie du vieux monsieur. (Allemand)]
"Oui, le voici, mon héros", a déclaré Kutuzov au beau général dodu et aux cheveux noirs, qui à ce moment-là entrait dans le monticule. C'était Raevsky, qui avait passé toute la journée au point principal du champ de Borodino.
Raevsky a rapporté que les troupes étaient fermement à leur place et que les Français n'osaient plus attaquer. Après l'avoir écouté, Koutouzov dit en français :
– Vous ne pensez donc pas comme les autres que nous sommes obligés de nous retirer ? [Alors tu ne penses pas, comme les autres, que nous devrions battre en retraite ?] Preuves de théorèmes sur les propriétés d'un cercle circonscrit à un triangle

Mi-perpendiculaire au segment

Définition 1 . Mi-perpendiculaire au segment est appelée droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu (Fig. 1).

Théorème 1. Chaque point de la bissectrice perpendiculaire au segment est à la même distance des extrémités ce segment.

Preuve . Considérez un point arbitraire D , situé sur la bissectrice perpendiculaire au segment AB (Fig. 2), et prouvez que les triangles ADC et BDC sont égaux.

En effet, ces triangles sont des triangles rectangles dont les branches AC et BC sont égales, tandis que les branches DC sont communes. L'égalité des triangles ADC et BDC implique l'égalité des segments AD et DB. Le théorème 1 est prouvé.

Théorème 2 (inverse du théorème 1). Si un point est à la même distance des extrémités d'un segment, alors il se trouve sur la bissectrice perpendiculaire de ce segment.

Preuve . Démontrons le théorème 2 par la méthode "par contradiction". À cette fin, supposons qu'un certain point E soit à la même distance des extrémités du segment, mais ne se trouve pas sur la bissectrice perpendiculaire à ce segment. Réduisons cette hypothèse à une contradiction. Considérons d'abord le cas où les points E et A se trouvent sur les côtés opposés de la bissectrice perpendiculaire (Fig. 3). Dans ce cas, le segment EA coupe la médiatrice en un point, que nous désignerons par la lettre D.

Montrons que le segment AE est plus long que le segment EB . Vraiment,

Ainsi, dans le cas où les points E et A se trouvent sur des côtés opposés de la bissectrice perpendiculaire, nous avons obtenu une contradiction.

Considérons maintenant le cas où les points E et A se trouvent du même côté de la bissectrice perpendiculaire (Fig. 4). Montrons que le segment EB est plus long que le segment AE . Vraiment,

La contradiction qui en résulte achève la preuve du théorème 2

Cercle circonscrit à un triangle

Définition 2 . Un cercle circonscrit à un triangle, appelons le cercle passant par les trois sommets du triangle (Fig. 5). Dans ce cas, le triangle s'appelle un triangle inscrit dans un cercle ou triangle inscrit.

Propriétés d'un cercle circonscrit à un triangle. Théorème des sinus

Chiffre	Image	Propriété
Médias perpendiculaires aux côtés du triangle		se croisent en un point .
Centre circonscrit à un triangle aigu d'un cercle		Le centre de la description de à angle aigu à l'intérieur Triangle.
Centre cercle circonscrit à un triangle rectangle		Le centre de la description de rectangulaire milieu de l'hypoténuse .
Centre circonscrit à un triangle obtus d'un cercle		Le centre de la description de obtus cercle triangle mensonges à l'extérieur Triangle.
		,
Carré Triangle		S= 2R 2 péché UN péché B péché C ,
Rayon du cercle circonscrit		Pour tout triangle, l'égalité est vraie :

Médias perpendiculaires aux côtés d'un triangle

Toutes les bissectrices perpendiculaires dessiné sur les côtés d'un triangle arbitraire, se croisent en un point .

Cercle circonscrit à un triangle

Tout triangle peut être circonscrit par un cercle. . Le centre du cercle circonscrit au triangle est le point où se coupent toutes les bissectrices perpendiculaires tracées aux côtés du triangle.

Centre d'un cercle circonscrit à un triangle aigu

Le centre de la description de à angle aigu cercle triangle mensonges à l'intérieur Triangle.

Centre d'un cercle circonscrit à un triangle rectangle

Le centre de la description de rectangulaire cercle triangle est milieu de l'hypoténuse .

Centre d'un cercle circonscrit à un triangle obtus

Le centre de la description de obtus cercle triangle mensonges à l'extérieur Triangle.

Pour tout triangle, les égalités sont valables (théorème des sinus) : , où a, b, c sont les côtés du triangle, A, B, C sont les angles du triangle, R est le rayon du cercle circonscrit.

Aire d'un triangle

Pour tout triangle, l'égalité est vraie : S= 2R 2 péché UN péché B péché C , où A, B, C sont les angles du triangle, S est l'aire du triangle, R est le rayon du cercle circonscrit.

Rayon du cercle circonscrit

Pour tout triangle, l'égalité est vraie : où a, b, c sont les côtés du triangle, S est l'aire du triangle, R est le rayon du cercle circonscrit.

Preuves de théorèmes sur les propriétés d'un cercle circonscrit à un triangle

Théorème 3. Toutes les perpendiculaires médianes tracées sur les côtés d'un triangle arbitraire se coupent en un point.

Preuve . Considérons deux bissectrices perpendiculaires tracées sur les côtés AC et AB du triangle ABC et notons le point de leur intersection par la lettre O (Fig. 6).

Puisque le point O se trouve sur la bissectrice perpendiculaire au segment AC , alors en vertu du théorème 1 l'égalité est vérifiée.

Donner une idée d'une nouvelle classe de problèmes - construction formes géométriquesà l'aide d'un compas et d'une règle sans divisions d'échelle.

Présentez le concept de GMT.

Donner une définition de la bissectrice perpendiculaire, apprendre à la construire et prouver le terme relatif à la bissectrice perpendiculaire, ainsi que son inverse.

À l'aide du système de dessin informatique Compass-3D, effectuez des constructions géométriques, qu'il est recommandé de réaliser dans un cours de géométrie à l'aide d'un compas et d'une règle.

Polycopié (Annexe n° 1)

Les problèmes de construction avec un compas et une règle sans divisions sont le plus souvent résolus selon un certain schéma:

JE. Une analyse: Dessinez schématiquement la figure souhaitée et établissez des liens entre les données du problème et les éléments souhaités.

II. Imeuble: Selon le plan, ils construisent avec un compas et une règle.

III. Preuve: Démontrer que la figure construite satisfait les conditions du problème.

IV. Étude: Rechercher si pour toutes les données le problème a une solution et si oui, combien de solutions (ne pas effectuer dans tous les problèmes).

Voici quelques exemples de tâches de construction élémentaires que nous considérerons :

1. Réserver un segment égal à celui-ci (étudié précédemment).

2. Construction de la bissectrice perpendiculaire au segment :

• construire le milieu du segment donné ;
• construire une droite passant par un point donné et perpendiculaire à une droite donnée (un point peut ou non se trouver sur une droite donnée).

3. Construction de la bissectrice de l'angle.

4. Construction d'un angle égal à un donné.

La médiane perpendiculaire au segment.

Définition : La médiatrice d'un segment est une droite passant par le milieu du segment et perpendiculaire à celui-ci.

Tâche : "Construire une bissectrice perpendiculaire à un segment." Présentation

O - le milieu de AB

Descriptif de fabrication ( diapositive numéro 4):

Faisceau un; A - le début du faisceau

Circonférence (A; r =m)

Cercle a = B ; AB = m

Cercle 1 (A ; r 1 > m/2)

Cercle 2 (B; r 1)

Cercle 1 Cercle 2 =

MN ; MN AB =0, (MN = L)

où MN AB, O est le milieu de AB

III. Preuve(diapositive numéro 5, 6)

1. Considérez AMN et BNM :

AM = MB=BN=AN=r 2 , donc AM = BN , AN = BM MN est le côté commun

(Figure 3)

Donc AMN = BNM (sur 3 côtés),

Par conséquent

1= 2 (par définition égal)

3= 4 (par définition égal)

2. MAN et NBM sont isocèles (par définition) ->

1 \u003d 4 et 3 \u003d 2 (par la propriété isocèle)

3. A partir des points 1 et 2 -> 1 = 3 donc MO est la bissectrice de l'AMB isocèle

4. Ainsi nous avons prouvé que MN est la bissectrice perpendiculaire au segment AB

IV. Étude

Ce problème a une solution unique, car Tout segment de ligne n'a qu'un seul point médian, et à travers un point donné, on peut tracer une seule ligne perpendiculaire à celle donnée.

Définition : Un ensemble géométrique de points (GMT) est un ensemble de points qui ont une propriété. (Annexe n° 2)

Connu de vous GMT :

1. La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment.
2. Bissectrice d'un angle - un ensemble de points équidistants des côtés de l'angle

Démontrons donc le théorème :

Théorème : "Chaque point de la bissectrice perpendiculaire à un segment est équidistant des extrémités de ce segment."

(Figure 4)

Donné : AB ; MO - bissectrice perpendiculaire

Prouver : AM = VM

Preuve: 1. MO - médiatrice (par condition) -> O - milieu du segment AB, MOAB 2. Considérez AMO et WMO - rectangulaire MO - jambe commune

AO \u003d VO (O - le milieu de AB) -\u003e AMO \u003d BMO (sur 2 jambes) -\u003e AM \u003d VM (par définition des triangles égaux, comme côtés correspondants) Q.E.D

Devoir : « Démontrer le théorème inverse de celui donné »

Théorème : "Chaque point équidistant des extrémités d'un segment se trouve sur la bissectrice perpendiculaire à ce segment."

(Figure 5)

Donné : AB ; MA=MV

Prouver: Le point M est sur la bissectrice perpendiculaire

Preuve:

Ce. MO - bissectrice perpendiculaire contenant tous les points équidistants des extrémités du segment.

Propriété des bissectrices perpendiculaires aux côtés d'un triangle

Ils se croisent en un point et ce point est le centre du cercle circonscrit autour du triangle, nous étudierons en huitième année.

Atelier

Equipement matériel et technique :

Diffusion : 29 574 Ko

Système d'exploitation : Windows 9x/2000/XP

Site Web : http://www.ascon.ru

Nous allons maintenant transférer la construction dans l'environnement graphique de l'ordinateur (diapositive numéro 7)

Les connaissances et les compétences acquises antérieurement doivent être appliquées pour tâche spécifique. Vous verrez que la construction ne vous prendra pas plus de temps que la construction dans un cahier. Entre autres choses, il est intéressant de voir comment l'environnement informatique exécute des commandes humaines pour construire des figures planes. Devant vous se trouve l'annexe n°3, dans laquelle vos étapes de construction sont décrites en détail. Chargez le programme et ouvrez un nouveau dessin ( diapositive numéro 8, 9).

Dessine les objets géométriques spécifiés dans la condition du problème : rayon un commençant au point MAIS et le segment est égal m– longueur arbitraire ( diapositive numéro 10).

Entrez la désignation de la poutre, du segment, du début de la poutre dans le dessin à l'aide de l'onglet "Outils" texte.

Construire un cercle de rayon égal au segment m centré au sommet par un point donné MAIS (diapositive numéro 11).

m centré au sommet donné au point A ( diapositive №12, 13).

Construire un cercle de rayon égal à un segment supérieur à 1/2 m Pour ce faire, sélectionnez l'élément " Entre 2 points » (diapositive №14, 15, 16).

Par les points d'intersection des cercles M et N tracer une ligne ( diapositive №17,18).

Livres d'occasion :

1. Ugrinovich N.D. "Informatique. Cours de base » 7e année. - M. : BINOM - 2008 - 175 p.
2. Ugrinovich N.D. "Atelier sur l'informatique et informatique". Didacticiel. - M. : BINOM, 2004-2006. -
3. Ugrinovich N.D. « Enseignement du cours « Informatique et TIC » dans les écoles primaires et secondaires de la 8e à la 11e année : BINOM Knowledge Laboratory, 2008. - 180 p.
4. Ugrinovich ND Atelier informatique sur CD-ROM. - M. : BINOM, 2004-2006.
5. Boguslavsky A.A., Tretyak T.M. Farafonov A.A. "Compass - 3D v 5.11-8.0 Atelier pour débutants" - M.: SOLON - PRESS, 2006 - 272 p.
6. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., et al « Géométrie 7-9. Manuel pour les écoles secondaires "- M: Education 2006 - 384 p.
7. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., et al. "L'étude de la géométrie de la 7e à la 9e année. Lignes directrices pour le manuel "- M: Education 1997 - 255 p.
8. Afanas'eva T.L., Tapilina L.A. "Plans de cours pour le manuel de 8e année d'Atanasyan L.S." - Volgograd "Professeur" 2010, 166 p.

Demande n° 1

Plan pour résoudre des problèmes sur la construction d'une boussole et d'une règle.

1. Une analyse.
2. Construction.
3. Preuve.
4. Étude.

Explication

1. Lors de l'exécution de l'analyse, la figure requise est dessinée schématiquement et une connexion est établie entre les données de la tâche et les éléments requis.
2. Selon le plan, la construction est réalisée avec un compas et une règle.
3. Ils prouvent que la figure construite satisfait les conditions du problème.
4. Mener une étude : pour toutes les données, le problème a-t-il une solution, et si oui, combien de solutions ?

Exemples de tâches de construction élémentaires

1. Mettez de côté un segment égal à celui donné.
2. Construire une bissectrice perpendiculaire à un segment.
3. Construire le milieu du segment.
4. Construire une ligne passant par le point donné, perpendiculaire à la ligne donnée (le point peut ou non se trouver sur la ligne donnée).
5. Construire une bissectrice d'angle.
6. Construire un angle égal à celui donné.

Demande №2

Le lieu des points (GMT) est un ensemble de points qui ont une certaine propriété.

Exemples de GMT :

1. La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment.
2. Un cercle est un ensemble de points équidistants d'un point donné - le centre du cercle.
3. La bissectrice d'un angle est l'ensemble des points équidistants des côtés de l'angle.

Chaque point de la bissectrice perpendiculaire à un segment est équidistant des extrémités de ce segment.

Dans la leçon précédente, nous avons considéré les propriétés de la bissectrice d'un angle, à la fois enfermée dans un triangle et libre. Le triangle comprend trois angles, et pour chacun d'eux les propriétés considérées de la bissectrice sont conservées.

Théorème:

Les bissectrices AA 1, BB 1, CC 1 du triangle se coupent en un point O (Fig. 1).

Riz. 1. Illustration du théorème

Preuve:

Considérons les deux premières bissectrices BB 1 et СС 1 . Ils se coupent, le point d'intersection O existe. Pour le prouver, supposons le contraire : que les bissectrices données ne se coupent pas, auquel cas elles sont parallèles. Alors la droite BC est une sécante et la somme des angles , cela contredit le fait que dans tout le triangle la somme des angles est .

Ainsi, le point O d'intersection de deux bissectrices existe. Considérez ses propriétés:

Le point O se trouve sur la bissectrice de l'angle , ce qui signifie qu'il est équidistant de ses côtés BA et BC. Si OK est perpendiculaire à BC, OL est perpendiculaire à BA, alors les longueurs de ces perpendiculaires sont égales à -. De plus, le point O est situé sur la bissectrice de l'angle et est équidistant de ses côtés CB et CA, les perpendiculaires OM et OK sont égales.

On obtient les égalités suivantes :

, c'est-à-dire que les trois perpendiculaires tombées du point O aux côtés du triangle sont égales les unes aux autres.

On s'intéresse à l'égalité des perpendiculaires OL et OM. Cette égalité dit que le point O est équidistant des côtés de l'angle, donc il se trouve sur sa bissectrice AA 1.

Ainsi, nous avons prouvé que les trois bissectrices d'un triangle se coupent en un point.

De plus, le triangle se compose de trois segments, ce qui signifie que nous devons considérer les propriétés d'un seul segment.

Le segment AB est donné. Tout segment a un milieu et une perpendiculaire peut être tracée à travers lui - nous le notons p. Ainsi p est la bissectrice perpendiculaire.

Riz. 2. Illustration du théorème

Tout point situé sur la bissectrice perpendiculaire est équidistant des extrémités du segment.

Prouver cela (Fig. 2).

Preuve:

Considérons les triangles et . Ils sont rectangulaires et égaux, car ils ont une jambe commune OM, et les jambes de AO et OB sont égales par condition, nous avons donc deux triangles rectangles qui sont égaux sur deux jambes. Il s'ensuit que les hypoténuses des triangles sont également égales, c'est-à-dire ce qu'il fallait prouver.

Le théorème inverse est vrai.

Chaque point équidistant des extrémités d'un segment se trouve sur la bissectrice perpendiculaire à ce segment.

Le segment AB est donné, sa bissectrice perpendiculaire est p, le point M est équidistant des extrémités du segment. Prouver que le point M se trouve sur la bissectrice perpendiculaire au segment (Fig. 3).

Riz. 3. Illustration du théorème

Preuve:

Considérons un triangle. Il est isocèle, comme par condition. Considérons la médiane du triangle : le point O est le milieu de la base AB, OM est la médiane. Selon la propriété d'un triangle isocèle, la médiane tracée à sa base est à la fois une hauteur et une bissectrice. Il s'ensuit donc que. Mais la droite p est aussi perpendiculaire à AB. On sait qu'une seule perpendiculaire au segment AB peut être tracée au point O, ce qui signifie que les droites OM et p coïncident, d'où il s'ensuit que le point M appartient à la droite p, ce qu'il fallait prouver.

Les théorèmes direct et inverse peuvent être généralisés.

Un point se trouve sur la médiatrice d'un segment si et seulement s'il est équidistant des extrémités de ce segment.

Donc, nous répétons qu'il y a trois segments dans un triangle et la propriété de la bissectrice perpendiculaire s'applique à chacun d'eux.

Théorème:

Les bissectrices perpendiculaires d'un triangle se coupent en un point.

Un triangle est donné. Perpendiculaire à ses côtés : P 1 au côté BC, P 2 au côté AC, P 3 au côté AB.

Prouver que les perpendiculaires Р 1 , Р 2 et Р 3 se coupent au point O (Fig. 4).

Riz. 4. Illustration du théorème

Preuve:

Considérons deux médiatrices P 2 et P 3 , elles se coupent, le point d'intersection O existe. Prouvons ce fait par contradiction - que les perpendiculaires Р 2 et Р 3 soient parallèles. Alors l'angle est droit, ce qui contredit le fait que la somme des trois angles d'un triangle est . Il existe donc un point O d'intersection de deux des trois bissectrices perpendiculaires. Propriétés du point O : il se trouve sur la bissectrice perpendiculaire au côté AB, ce qui signifie qu'il est équidistant des extrémités du segment AB :. Il se trouve également sur la bissectrice perpendiculaire au côté AC, donc . Nous avons obtenu les égalités suivantes.