Construisez 4 points de triangle merveilleux. Travail de recherche "Points remarquables d'un triangle

Les deux premiers théorèmes vous sont bien connus, nous allons prouver les deux autres.

Théorème 1

Trois bissectrices d'un triangle se coupent en un point, c'est-à-dire centre du cercle inscrit.

Preuve

repose sur le fait que la bissectrice d'un angle est le lieu des points équidistants des côtés de l'angle.

Théorème 2

Les trois bissectrices perpendiculaires aux côtés du triangle se coupent en un point, qui est le centre du cercle circonscrit.

Preuve

repose sur le fait que la médiatrice d'un segment est le lieu des points équidistants des extrémités de ce segment.

Théorème 3

Trois hauteurs ou trois droites, sur lequel se trouvent les hauteurs du triangle, se coupent en un point. Ce point est appelé orthocentre Triangle.

Preuve

A travers les sommets du triangle `ABC` nous traçons des lignes droites parallèles aux côtés opposés.

A l'intersection, un triangle 'A_1 B_1 C_1' est formé.

Par construction, 'ABA_1C' est un parallélogramme, donc 'BA_1 = AC'. On établit de même que 'C_1B = AC', donc 'C_1B = AC', le point 'B' est le milieu du segment 'C_1A_1'.
De la même manière, 'C' est le milieu de 'B_1A_1' et 'A' est le milieu de 'B_1 C_1'.
Soit 'BN' la hauteur du triangle 'ABC', alors pour le segment 'A_1 C_1' la ligne 'BN' est la médiatrice. D'où il suit que les trois droites sur lesquelles se situent les hauteurs du triangle 'ABC' sont les bissectrices perpendiculaires des trois côtés du triangle 'A_1B_1C_1' ; et ces perpendiculaires se coupent en un point (Théorème 2).
Si le triangle est à angle aigu, chacune des altitudes est un segment reliant le sommet et un point du côté opposé. Dans ce cas, les points 'B' et 'N' se trouvent dans des demi-plans différents formés par la ligne 'AM', ce qui signifie que le segment 'BN' coupe la ligne 'AM', le point d'intersection se situe à la hauteur ' BN`, c'est-à-dire se trouve à l'intérieur du triangle .
Dans un triangle rectangle, le point d'intersection des hauteurs est le sommet de l'angle droit.

Théorème 4

Trois médianes d'un triangle se croisent en un point et partagent le point d'intersection dans un rapport "2:1", en partant du haut. Ce point est appelé centre de gravité (ou centre de masse) du triangle.
Il existe diverses preuves de ce théorème. En voici une qui est basée sur le théorème de Thales.

Preuve

Soient `E`, `D` et `F` les milieux des côtés `AB`, `BC` et `AC` du triangle `ABC`.

Dessinez la médiane `AD` et à travers les points `E` et `F` parallèle son direct 'EK' et 'FL'. Par le théorème de Thales, `BK = KD` `(/_ABC`, E K ‖ A D) EK\|AD) et `DL = LC` `(/_ACB`, A D ‖ F L) AD\| FL). Mais `BD = DC = a//2`, donc `BK = KD = DL = LC = a//4`. Par le même théorème `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, N K ‖ M D ‖ F L) NK\| MD\| FL) , donc `BM = 2MF`.

Cela signifie que la médiane « BF » au point « M » d'intersection avec la médiane « AD » se divise dans un rapport de « 2: 1 » en partant du haut.

Montrons que la médiane 'AD' au point 'M' est divisée dans le même rapport. Le raisonnement est similaire.

Si nous considérons les médianes 'BF' et 'CE', nous pouvons également montrer qu'elles se coupent au point où la médiane 'BF' se divise dans le rapport '2:1', c'est-à-dire au même point 'M'. Et à ce stade, la médiane « CE » sera également divisée dans le rapport « 2: 1 », en partant du haut.

Point d'intersection des médianes du triangle Point d'intersection des bissectrices du triangle Point d'intersection des hauteurs du triangle Point d'intersection des bissectrices perpendiculaires d'un triangle

La médiane (BD) d'un triangle est le segment de droite qui relie le sommet du triangle au milieu du côté opposé. A B C D Médiane

Les médianes d'un triangle se coupent en un point (le centre de gravité du triangle) et sont divisées par ce point dans un rapport de 2 : 1, en partant du haut. AM:MA 1 = VM:MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. UNE 1 BB 1 M C C 1

La bissectrice (A D) d'un triangle est le segment de la bissectrice de l'angle intérieur du triangle.

Chaque point de la bissectrice d'un angle déplié est équidistant de ses côtés. Inversement, tout point situé à l'intérieur d'un angle et équidistant des côtés de l'angle repose sur sa bissectrice. A M B C

Toutes les bissectrices d'un triangle se coupent en un point - le centre du cercle inscrit dans le triangle. C B 1 M A B A 1 C 1 O Le rayon du cercle (OM) est une perpendiculaire tombant du centre (t.O) au côté du triangle

HAUTEUR La hauteur (C D) d'un triangle est le segment de la perpendiculaire descendant du sommet du triangle à la ligne contenant le côté opposé. A B C D

Les hauteurs d'un triangle (ou leurs extensions) se coupent en un point. UNE 1 BB 1 C C 1

MILIEU PERPENDICULAIRE La bissectrice perpendiculaire (DF) est une ligne perpendiculaire à un côté d'un triangle et le divisant en deux. A D F B C

A M B m O Chaque point de la bissectrice perpendiculaire (m) à un segment est équidistant des extrémités de ce segment. Inversement, chaque point équidistant des extrémités du segment se trouve sur la bissectrice perpendiculaire à celui-ci.

Toutes les bissectrices perpendiculaires des côtés d'un triangle se coupent en un point - le centre du cercle circonscrit au triangle. A B C O Le rayon du cercle circonscrit est la distance entre le centre du cercle et tout sommet du triangle (OA). m n p

Tâches de l'élève Utiliser un compas et une règle pour construire un cercle inscrit dans un triangle obtus. Pour cela : Construire les bissectrices d'un triangle obtus à l'aide d'un compas et d'une règle. Le point d'intersection des bissectrices est le centre du cercle. Construire le rayon du cercle : la perpendiculaire du centre du cercle au côté du triangle. Construire un cercle inscrit dans un triangle.

2. À l'aide d'un compas et d'une règle, tracez un cercle circonscrit à un triangle obtus. Pour cela : Construire les bissectrices perpendiculaires aux côtés d'un triangle obtus. Le point d'intersection de ces perpendiculaires est le centre du cercle circonscrit. Le rayon d'un cercle est la distance entre le centre et n'importe quel sommet du triangle. Construire un cercle circonscrit à un triangle.

Ministère de l'enseignement général et professionnel de la région de Sverdlovsk.

MOUO Ekaterinbourg.

Établissement d'enseignement - MOUSOSH n ° 212 "Lycée culturel d'Ekaterinbourg"

Domaine éducatif - mathématiques.

Le sujet est la géométrie.

Points remarquables du triangle

Référent: élève de 8ème

Selitsky Dmitry Konstantinovich.

Conseiller scientifique:

Rabkanov Sergueï Petrovitch.

Ekaterinbourg, 2001

Introduction 3

Partie descriptive :

Orthocentre 4

Icentre 5

Centre de gravité 7

Centre du cercle circonscrit 8

Ligne Euler 9

Partie pratique :

Triangle orthocentrique 10

conclusion 11

Références 11

Introduction.

La géométrie commence par un triangle. Depuis deux millénaires et demi, le triangle est un symbole de la géométrie. De nouvelles fonctionnalités sont constamment découvertes. Pour parler de toutes les propriétés connues du triangle, cela prendra beaucoup de temps. Je m'intéressais au soi-disant points merveilleux Triangle." Un exemple de tels points est le point d'intersection des bissectrices. Il est remarquable que si nous prenons trois points arbitraires dans l'espace, construisons un triangle à partir d'eux et dessinons des bissectrices, alors elles (les bissectrices) se croiseront en un point ! Il semblerait que ce ne soit pas possible, car nous avons pris des points arbitraires, mais cette règle fonctionne toujours. D'autres "points merveilleux" ont des propriétés similaires.

Après avoir lu la littérature sur ce sujet, je me suis fixé les définitions et les propriétés de cinq points merveilleux et d'un triangle. Mais mon travail ne s'est pas arrêté là, j'ai voulu explorer ces points moi-même.

C'est pourquoi objectif de ce travail est l'étude de quelques propriétés remarquables d'un triangle, et l'étude d'un triangle orthocentrique. Dans le processus de réalisation de cet objectif, les étapes suivantes peuvent être distinguées:

Sélection de littérature, avec l'aide d'un enseignant

Apprendre les propriétés de base des points et droites remarquables d'un triangle

Généralisation de ces propriétés

Élaboration et résolution d'un problème lié à un triangle orthocentrique

J'ai présenté les résultats obtenus dans ce travail de recherche. J'ai réalisé tous les dessins à l'aide d'infographie (éditeur de graphiques vectoriels CorelDRAW).

Orthocentre. (Point d'intersection des hauteurs)

Montrons que les hauteurs se coupent en un point. Passons par les sommets MAIS, À et DE Triangle abc droites parallèles aux côtés opposés. Ces lignes forment un triangle MAIS 1 À 1 DE 1 . hauteur du triangle abc sont les bissectrices perpendiculaires des côtés du triangle MAIS 1 À 1 DE 1 . par conséquent, ils se coupent en un point - le centre du cercle circonscrit du triangle MAIS 1 À 1 DE 1 . Le point d'intersection des hauteurs du triangle est appelé l'orthocentre ( H).

Le centre est le centre d'un cercle inscrit.

(Point d'intersection des bissectrices)

Montrons que les bissectrices des angles d'un triangle abc se croisent en un point. Considérez un point O intersections des bissectrices d'angle MAIS et À. tout point de la bissectrice de l'angle A est équidistant des droites UN B et CA, et tout point de la bissectrice de l'angle Àà égale distance des lignes droites UN B et Soleil, donc le point Oà égale distance des lignes droites CA et Soleil, c'est à dire. il se trouve sur la bissectrice de l'angle DE. point Oà égale distance des lignes droites UN B, Soleil et SA, donc il y a un cercle de centre O tangent à ces lignes, et les points de contact se trouvent sur les côtés eux-mêmes, et non sur leurs extensions. En effet, les angles aux sommets MAIS et À Triangle AOB projection nette donc ponctuelle O directement UN B se trouve à l'intérieur du segment UN B.

Pour les fêtes Soleil et SA la preuve est similaire.

Le centre dispose de trois propriétés :

Si la continuation de la bissectrice DE coupe le cercle circonscrit du triangle abcà ce point M, alors MA=MV=MO.

Si un UN B- la base d'un triangle isocèle abc, puis le cercle tangent aux côtés de l'angle DIA aux points MAIS et À, passe par le point O.

Si une droite passant par un point O parallèle au côté UN B, coupe les côtés Soleil et SA aux points MAIS 1 et À 1 , alors MAIS 1 À 1 =MAIS 1 À+UN B 1 .

Centre de gravité. (Point d'intersection des médianes)

Montrons que les médianes d'un triangle se coupent en un point. Pour cela, considérons le point M où les médianes se croisent AA 1 et BB 1 . faisons-le en triangle BB 1 DE ligne médiane MAIS 1 MAIS 2 , parallèle BB 1 . alors MAIS 1 M:AM=À 1 MAIS 2 :UN B 1 =À 1 MAIS 2 :À 1 DE=Virginie 1 :Soleil=1:2, c'est-à-dire point médian BB 1 et AA 1 divise la médiane AA 1 dans le rapport 1:2. De même, le point d'intersection des médianes SS 1 et AA 1 divise la médiane AA 1 dans le rapport 1:2. Par conséquent, le point d'intersection des médianes AA 1 et BB 1 coïncide avec le point d'intersection des médianes AA 1 et SS 1 .

Si le point d'intersection des médianes d'un triangle est relié aux sommets, alors les triangles seront divisés en trois triangles d'aire égale. En effet, il suffit de prouver que si R- tout point de la médiane AA 1 dans un triangle abc, puis les aires des triangles RAV et ACP sont égaux. Après tout, les médianes AA 1 et AR 1 en triangle abc et RVS coupez-les en triangles de même aire.

L'énoncé inverse est également vrai : si pour un certain point R, situé à l'intérieur du triangle abc, aires de triangles RAV, MERCREDI et DAS sont égaux, alors R est le point d'intersection des médianes.

Le point d'intersection a une autre propriété: si vous coupez un triangle dans n'importe quel matériau, dessinez des médianes dessus, fixez un ascenseur au point d'intersection des médianes et fixez la suspension sur un trépied, alors le modèle (triangle) sera dans un état d'équilibre, par conséquent, le point d'intersection n'est rien de plus que le centre de gravité du triangle.

Le centre du cercle circonscrit.

Montrons qu'il existe un point équidistant des sommets du triangle, ou, en d'autres termes, qu'il existe un cercle passant par trois sommets du triangle. Le lieu des points équidistants des points MAIS et À, est perpendiculaire au segment UN B passant par son milieu (bissectrice perpendiculaire au segment UN B). Considérez un point O où les bissectrices perpendiculaires des segments se coupent UN B et Soleil. Point Oà égale distance des points MAIS et À, ainsi que des points À et DE. il est donc équidistant des points MAIS et DE, c'est à dire. il se trouve également sur la bissectrice perpendiculaire du segment CA.

Centre O le cercle circonscrit est à l'intérieur du triangle seulement si le triangle est aigu. Si le triangle est un triangle rectangle, alors le point O coïncide avec le milieu de l'hypoténuse, et si l'angle au sommet DEémoussé puis droit UN B sépare les points O et DE.

En mathématiques, il arrive souvent que des objets définis de manières très différentes se révèlent être les mêmes. Montrons cela avec un exemple.

Laisser MAIS 1 , À 1 ,DE 1 - les milieux des côtés Soleil,SA et AV. On peut prouver que des cercles circonscrits à des triangles UN B 1 DE, MAIS 1 Soleil 1 et MAIS 1 À 1 DE 1 se coupent en un point, et ce point est le centre du cercle circonscrit du triangle abc. Donc, nous avons deux points apparemment complètement différents : le point d'intersection des perpendiculaires médianes aux côtés du triangle abc et le point d'intersection des cercles circonscrits des triangles UN B 1 DE 1 , MAIS 1 Soleil et MAIS 1 À 1 DE 1 . mais il s'avère que ces deux points coïncident.

droite d'Euler.

La propriété la plus étonnante des merveilleux points d'un triangle est que certains d'entre eux sont liés les uns aux autres par certaines relations. Par exemple, le centre de gravité M, orthocentre H et le centre du cercle circonscrit O se trouvent sur une droite, et le point M divise le segment OH de sorte que la relation OM : MN=1:2. Ce théorème a été prouvé en 1765 par le scientifique suisse Leonardo Euler.

triangle orthocentrique.

triangle orthocentrique(orthotriangle) est un triangle ( MNÀ), dont les sommets sont les bases des altitudes du triangle donné ( abc). Ce triangle possède de nombreuses propriétés intéressantes. Prenons l'un d'eux.

Propriété.

Prouver:

Triangles AKM, MCN et BKN semblable à un triangle abc;

Angles d'un orthotriangle MNK sommes: L KNM = π - 2 L UN,LKMN = π-2 L B, L MNK = π - - 2 L C.

Preuve:

Nous avons UN B parce que UN, AK parce que UN. Par conséquent, UN M/UN B = AK/CA.

Car Triangles abc et AKM coin MAIS est commun, alors ils sont semblables, d'où l'on conclut que l'angle L AKM = L C. C'est pourquoi L BKM = L C. Ensuite nous avons L MKC= π/2 - L C, L NKC= π/2 – - - L C, c'est à dire. CS- bissectrice MNK. Alors, L MNK= π - 2 L C. Les égalités restantes se prouvent de la même manière.

Conclusion.

Au terme de ce travail de recherche, les conclusions suivantes peuvent être tirées :

Les points et droites remarquables du triangle sont :

orthocentre le triangle est le point d'intersection de ses hauteurs ;

icentre triangle est le point d'intersection des bissectrices ;

centre de gravité triangle est le point d'intersection de ses médianes ;

centre du cercle circonscrit est le point d'intersection des bissectrices perpendiculaires ;

Ligne d'Euler est une droite sur laquelle se trouvent le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit.

Un triangle orthocentrique divise un triangle donné en trois triangles semblables.

Ayant fait ce travail, j'ai beaucoup appris sur les propriétés d'un triangle. Ce travail a été pertinent pour moi en termes de développement de mes connaissances dans le domaine des mathématiques. À l'avenir, j'ai l'intention de développer ce sujet des plus intéressants.

Bibliographie.

Kiselev A.P. Géométrie élémentaire. – M. : Lumières, 1980.

Kokseter G.S., Greitzer S.L. Nouvelles rencontres avec la géométrie. – M. : Nauka, 1978.

Prasolov V.V. Problèmes de planimétrie. - M. : Nauka, 1986. - Partie 1.

Sharygin I.F. Problèmes de géométrie : Planimétrie. – M. : Nauka, 1986.

Scanavi MI Mathématiques. Problèmes avec des solutions. - Rostov-sur-le-Don : Phoenix, 1998.

Berger M. Géométrie en deux tomes - M : Mir, 1984.

QUATRE GRANDS POINTS

TRIANGLE

Géométrie

8e année

Sakharova Natalia Ivanovna

École secondaire MBOU n ° 28 de Simferopol

Point d'intersection des médianes d'un triangle
Point d'intersection des bissectrices d'un triangle
Le point d'intersection des hauteurs du triangle
Point d'intersection des perpendiculaires médianes d'un triangle

Médian

Médiane (BD) Un triangle est un segment de droite qui relie le sommet du triangle au milieu du côté opposé.

médianes les triangles se croisent à un moment donné (centre de gravité triangle) et divisez ce point dans un rapport de 2: 1, en partant du haut.

BISSECTEUR

Bissectrice (AD) triangle est appelé le segment de la bissectrice de l'angle intérieur du triangle. ∟ MAUVAIS = ∟CAD.

Chaque point bissectrices d'un angle non développé est équidistant de ses côtés.

Retour: tout point à l'intérieur d'un angle et équidistant des côtés de l'angle repose sur son bissecteur.

Toutes les bissectrices les triangles se coupent en un point centre inscrit en triangle cercles.

Le rayon du cercle (OM) est une perpendiculaire tombant du centre (T.O) au côté du triangle

LA TAILLE

Hauteur (CD) Un triangle est un segment d'une perpendiculaire tombant du sommet du triangle à la ligne contenant le côté opposé.

hauteurs les triangles (ou leurs prolongements) se coupent une indiquer.

MILIEU PERPENDICULAIRE

La médiatrice (DF) s'appelle une ligne perpendiculaire au côté du triangle et le divisant en deux.

Chaque point médio-perpendiculaire(m) à un segment est équidistant des extrémités de ce segment.

Retour: chaque point équidistant des extrémités du segment se situe au milieu perpendiculaireà lui.

Toutes les bissectrices perpendiculaires des côtés d'un triangle se coupent en un point - centre de la description près du triangle cercles .

Le rayon du cercle circonscrit est la distance entre le centre du cercle et n'importe quel sommet du triangle (OA).

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Devoirs

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