Résoudre des problèmes du livre de problèmes Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Schwarzburd pour la 6e année en mathématiques sur le sujet :

Chapitre I Fractions communes.
§ 4. Relations et proportions :
22. Proportions directes et inverses

1 Pour 3,2 kg de marchandises, ils ont payé 115,2 roubles. Combien dois-je payer pour 1,5 kg de cet article ?
LA SOLUTION

2 Deux rectangles ont la même aire. La longueur du premier rectangle est de 3,6 m et la largeur est de 2,4 m. La longueur du second est de 4,8 m. Trouvez sa largeur.
LA SOLUTION

782 Déterminez si la relation entre les valeurs suivantes est directe, inverse ou non proportionnelle : le chemin parcouru par une voiture à vitesse constante et le temps de son déplacement ; le coût des biens achetés à un prix, et sa quantité ; l'aire du carré et la longueur de son côté; la masse de la barre d'acier et son volume ; le nombre de travailleurs effectuant un travail avec la même productivité du travail et le moment de l'achèvement ; le coût des marchandises et leur quantité, achetées pour une certaine somme d'argent ; l'âge de la personne et la pointure de ses chaussures; le volume du cube et la longueur de son arête ; le périmètre du carré et la longueur de son côté; une fraction et son dénominateur si le numérateur ne change pas ; fraction et son numérateur si le dénominateur ne change pas.
LA SOLUTION

783 Une bille d'acier d'un volume de 6 cm3 a une masse de 46,8 g Quelle est la masse d'une bille du même acier si son volume est de 2,5 cm3 ?
LA SOLUTION

784 5,1 kg d'huile ont été obtenus à partir de 21 kg de graines de coton. Quelle quantité d'huile sera obtenue à partir de 7 kg de graines de coton ?
LA SOLUTION

785 Pour la construction du stade, 5 bulldozers ont déblayé le site en 210 minutes. Combien de temps faudra-t-il à 7 bulldozers pour nettoyer ce site ?
LA SOLUTION

786 Il a fallu 24 camions d'une capacité de charge de 7,5 tonnes pour transporter la cargaison. Combien de camions d'une capacité de charge de 4,5 tonnes sont nécessaires pour transporter la même cargaison ?
LA SOLUTION

787 Pour déterminer la germination des graines, des pois ont été semés. Sur les 200 pois semés, 170 ont germé. Quel pourcentage de pois a germé (germination) ?
LA SOLUTION

788 tilleuls ont été plantés dans la rue ce dimanche dimanche pour planter de la verdure dans la ville. 95% de tous les tilleuls plantés ont été acceptés. Combien ont été plantés si 57 tilleuls ont été plantés ?
LA SOLUTION

789 La section ski compte 80 élèves. Parmi eux, 32 filles. Quel pourcentage des participants à la section sont des filles et des garçons ?
LA SOLUTION

790 L'usine était censée fondre 980 tonnes d'acier par mois selon le plan. Mais le plan a été réalisé à 115%. Combien de tonnes d'acier l'usine a-t-elle fondue ?
LA SOLUTION

791 En 8 mois, le travailleur a réalisé 96 % du plan annuel. Quel pourcentage du plan annuel le travailleur remplira-t-il en 12 mois s'il travaille avec la même productivité ?
LA SOLUTION

792 En trois jours, 16,5 % de toutes les betteraves ont été récoltées. Combien de jours faudra-t-il pour récolter 60,5% des betteraves si vous travaillez avec la même productivité ?
LA SOLUTION

793 B minerai de fer 7 parties de fer représentent 3 parties d'impuretés. Combien y a-t-il de tonnes d'impuretés dans un minerai qui contient 73,5 tonnes de fer ?
LA SOLUTION

794 Pour préparer le bortsch, pour 100 g de viande, il faut prendre 60 g de betteraves. Combien faut-il prendre de betteraves pour 650 g de viande ?
LA SOLUTION

796 Exprimer comme la somme de deux fractions avec un numérateur de 1 chacune des fractions suivantes.
LA SOLUTION

797 A partir des nombres 3, 7, 9 et 21 faites deux proportions correctes.
LA SOLUTION

798 Termes moyens de proportion 6 et 10. Que peuvent être des termes extrêmes ? Donne des exemples.
LA SOLUTION

799 À quelle valeur de x la proportion est-elle correcte.
LA SOLUTION

800 Trouver le rapport de 2 min à 10 s ; 0,3 m2 à 0,1 dm2 ; 0,1 kg à 0,1 g ; 4 heures à 1 jour ; 3 dm3 à 0,6 m3
LA SOLUTION

801 Où sur le rayon de coordonnées doit se trouver le nombre c pour que la proportion soit correcte.
LA SOLUTION

802 Couvrez la table avec une feuille de papier. Ouvrez la première ligne pendant quelques secondes puis, en la fermant, essayez de répéter ou d'écrire les trois chiffres de cette ligne. Si vous avez correctement reproduit tous les chiffres, passez à la deuxième ligne du tableau. Si une erreur est commise sur une ligne, écrivez vous-même plusieurs ensembles du même nombre de nombres à deux chiffres et entraînez-vous à la mémorisation. Si vous pouvez reproduire au moins cinq nombres à deux chiffres sans erreur, vous avez une bonne mémoire.
LA SOLUTION

804 Est-il possible de faire la proportion correcte des nombres suivants.
LA SOLUTION

805 De l'égalité des produits 3 · 24 = 8 · 9 faire trois proportions correctes.
LA SOLUTION

806 La longueur du segment AB est de 8 dm et la longueur du segment CD est de 2 cm. Trouvez le rapport des longueurs de AB et de CD. Quelle partie de AB est la longueur de CD ?
LA SOLUTION

807 Un bon pour un sanatorium coûte 460 roubles. Le syndicat paie 70 % du prix du billet. Combien un vacancier paiera-t-il pour un billet?
LA SOLUTION

808 Trouver la valeur de l'expression.
LA SOLUTION

809 1) Lors du traitement d'une pièce d'un moulage pesant 40 kg, 3,2 kg sont perdus. Quel pourcentage représente la masse de la pièce issue du moulage ? 2) Lors du tri du grain sur 1750 kg, 105 kg ont été gaspillés. Quel pourcentage de céréales reste-t-il ?

Les mathématiques sont la base et la reine de toutes les sciences, Et je vous conseille de vous en lier d'amitié, mon ami. Si vous suivez ses sages lois, Vous augmenterez vos connaissances, Vous commencerez à les appliquer. Pouvez-vous nager dans la mer, Pouvez-vous voler dans l'espace. Vous pouvez construire une maison pour les gens : elle durera cent ans. Ne soyez pas paresseux, travaillez, essayez, Connaissant le sel des sciences. Essayez de tout prouver, mais sans relâche.

3 Choix d'une réponse avec la lettre correspondante du mot caché : 17-c ; 7-l; 0,1-i ; 14-s ; 0,2-a; 25-k. Trouvez les nombres manquants et trouvez le mot : 3+37:5 3. 0.3 +4.1 : .45 : .7 5.6:0.7:2 0 +4.8:26 word.9 50.050.1 0.050.337 80,45,20 ,2 sila Ce mot est pouvoir. La devise de la leçon : Le pouvoir est dans la connaissance ! Je cherche donc j'apprends !

Une relation proportionnelle directe est une telle dépendance de quantités dans lesquelles ... Une relation proportionnelle inverse est une telle dépendance de quantités dans lesquelles ... Pour trouver le membre extrême inconnu de la proportion ... Le membre médian de la proportion est . .. La proportion est vraie si ...

C) ... lorsqu'une valeur augmente plusieurs fois, l'autre diminue du même montant. X) ... le produit des termes extrêmes est égal au produit des termes moyens de la proportion. A) ... lorsqu'une valeur est augmentée plusieurs fois, l'autre augmente du même montant. P) ... vous devez diviser le produit des membres intermédiaires de la proportion par le membre extrême connu. Y) ... lorsqu'une valeur est augmentée plusieurs fois, l'autre augmente du même montant. E) ... le rapport du produit des termes extrêmes à la moyenne connue

4. La vitesse de la voiture et le temps de son déplacement sont inversement proportionnels. 5. La vitesse de la voiture et sa distance parcourue sont inversement proportionnelles. 6. Deux quantités sont dites inversement proportionnelles si, lorsque l'une d'elles est doublée, l'autre est divisée par deux.

Vérifions les réponses :

La solution. Nombre de bulldozers. 150 min. = 2,5 heures Réponse : 2,5 heures
Algorithme de résolution de problèmes de proportionnalité directe et inverse : Un nombre inconnu est désigné par la lettre x. La condition est écrite sous forme de tableau. Le type de dépendance entre grandeurs est établi. La dépendance directement proportionnelle est indiquée par des flèches de même direction, et la dépendance inversement proportionnelle est indiquée par des flèches de direction opposée. La proportion est enregistrée. Un membre inconnu est localisé.

Vérifiez vous-même : quelles quantités sont appelées directement proportionnelles ? Donner des exemples de grandeurs directement proportionnelles. Quelles quantités sont dites inversement proportionnelles ? Donner des exemples de grandeurs inversement proportionnelles. Donner des exemples de grandeurs dont la dépendance n'est ni directement ni inversement proportionnelle.

Devoirs. P; 811 ; 812.

Classer: 6

Dans mon travail, j'utilise différentes formes et les méthodes d'enseignement, j'essaie d'utiliser une variété de techniques d'organisation activités d'apprentissage pour garder les élèves intéressés à apprendre. Seulement dans ce cas, l'activité cognitive des étudiants augmente, la pensée commence à fonctionner de manière plus productive et créative. L'un des moyens d'accroître l'intérêt pour le sujet est l'utilisation des technologies de l'information.

L'utilisation de l'informatique en classe vous permet de changer continuellement les formes de travail, d'alterner constamment des exercices oraux et écrits, de mettre en œuvre différentes approches pour résoudre des problèmes mathématiques, ce qui crée et maintient constamment la tension intellectuelle des élèves, forme leur intérêt constant pour étudier ce sujet.

Le travail de groupe en classe stimule l'activité cognitive des élèves, favorise leur implication dans les activités créatives et la communication. Dans le processus de travail individuel, les étudiants s'efforcent eux-mêmes de résoudre des problèmes, l'éducation se transforme en auto-éducation.

L'exécution de tâches créatives contribue à l'application des connaissances scolaires dans des situations réelles.

Type de leçon : leçon combinée

Objectifs de la leçon:

• cognitif:
  • assurer l'assimilation consciente par les élèves du concept de proportionnalité directe et inverse dans la résolution de problèmes;
  • vérifier le niveau de connaissance sur un sujet donné à travers diverses formes de travail.
• Éducatif:
  • activer l'activité mentale des étudiants à travers la participation de chacun d'eux au processus de travail;
  • développer l'attention, la mémoire, les capacités intellectuelles et créatives;
  • développer la sphère émotionnelle des étudiants dans le processus d'apprentissage;
  • développer le contrôle et la maîtrise de soi.
• Éducatif:
  • former un sentiment de coopération, d'entraide;
  • former des compétences pratiques;
  • susciter l'intérêt pour le sujet étudié.

Plan de cours:

1. Moment d'organisation (2 min.)
2. Récit mental (4 min.)
3. Analyse des problèmes résolus par les élèves (5 min.)
4. Education physique (2 min.)
5. Consolidation de la matière étudiée, travail de groupe (16 min.)
6. Travail indépendant (13 min.)
7. Résumé de la leçon (2 min.)
8. Devoirs (1 min.)

PENDANT LES COURS

1. Moment organisationnel

Salutation mutuelle, enregistrement du sujet de la leçon. Organisation du travail avec des cartes d'autocontrôle.

2. Répétition du matériel

a) La solution par deux élèves du tableau de problèmes de proportionnalité directe et inverse
b) les autres répètent verbalement les concepts de base :

• comment s'appellent les nombres x et y dans la proportion x : a = b : y ?
• l'égalité de deux relations s'appelle ...
• Qu'est-ce qu'une relation proportionnelle directe ?
• quel type de relation est inversement proportionnel?
• un centième d'un nombre est...

Travailler avec des cartes de maîtrise de soi (nombre maximum de points - 1).

3. Compte mental

1. Le jeu "Silencieux"

a) Laquelle des égalités peut être appelée proportion ?

Si la proportion est correcte, alors les élèves lèvent les cartes vertes, sinon, alors les rouges.

b) Les relations suivantes sont-elles directement ou inversement proportionnelles ?

1) le nombre de lecteurs par rapport au nombre de livres dans la bibliothèque ;
2) le chemin parcouru par la voiture à une vitesse et un temps de déplacement constants ;
3) l'âge de la personne et la pointure de ses souliers;
4) le périmètre du carré et la longueur de ses côtés ;
5) vitesse et temps lors du passage d'une même section du chemin.

Si l'énoncé est vrai, alors les élèves lèvent les cartes vertes, sinon, alors les rouges.

Travailler avec des cartes de maîtrise de soi (score maximum pour le score oral 2).

2. Analyse des problèmes résolus par les élèves au tableau.

a) Une hirondelle a parcouru une certaine distance en 0,5 heure à une vitesse de 50 km/h. En combien de minutes un martinet parcourra-t-il la même distance si sa vitesse est de 100 km/h ?

La solution:

Soit x heures le temps de vol du martinet.

50 km/h - 0,5 h 100 km/h - X h

0,25h = 25/100 = 1/4h = 15min.

Réponse: 15 minutes.

b) Les betteraves ont été amenées à la sucrerie, d'où sont extraits 12% de sucre. Combien de sucre sera obtenu à partir de 30 tonnes de betteraves de cette variété ?

La solution:

Laissez sortir x tonnes de sucre.

Réponse: 3,6 tonnes

4. Education physique

5. Travail de groupe

Vous avez cartes sur les tables. Ils ont 4 tâches. Les groupes 1, 3, 5 décident en commençant par #1. Les groupes 2, 4, 6 décident en commençant par #4 (dans l'ordre inverse).

1) 80 kg de pommes de terre contiennent 14 kg d'amidon. Trouvez le pourcentage d'amidon dans une telle pomme de terre.

La solution:

Soit x% d'amidon dans les pommes de terre.

17,5% est de l'amidon.

Réponse: 17, 5 %

2) Vous pouvez nager d'un village à l'autre le long de la rivière en 1h30. Combien de temps faudra-t-il à un bateau à moteur pour faire ce trajet si la vitesse du bateau est de 3 km/h et la vitesse du bateau est de 13,5 km /h?

La solution:

Soit x heures le temps du bateau

	3km/h 13,5 km/h	– 1h30 – Xh

Réponse: 20 minutes

3) Lors du nettoyage des graines de tournesol, 28% est l'enveloppe. Quelle quantité de grain pur sera obtenue à partir de 150 tonnes de graines de tournesol ?

La solution:

Soit x t grains.

150 - 42 = 108 (t)

108 tonnes de céréales.

Réponse: 108 tonnes

4) Il a fallu 48 wagons d'une capacité de charge de 7,5 tonnes pour transporter une cargaison. Combien de wagons d'une capacité de charge de 4,5 tonnes sont nécessaires pour transporter la même cargaison ?

La solution:

Soit x wagons d'une capacité de charge de 4,5 tonnes.

Réponse : 80 voitures.

Vérification de la solution des problèmes au tableau.

Travailler avec des cartes de maîtrise de soi (nombre maximum de points - 8 ; chaque tâche 2 points)

5. Travail indépendant individuel 4 options.

j'option

1) Papa a payé 48 roubles pour 4 boîtes de crayons identiques. Combien coûtent 7 de ces boîtes de crayons ?

2) Trois étudiants ont désherbé le jardin en 4 heures. Combien d'heures faudra-t-il à 2 élèves pour effectuer la même tâche ?

Option II

1) Lors de la cuisson de la viande, il reste 65% de la masse. Quelle quantité de viande bouillie sera obtenue à partir de 2 kg de viande crue ?

2) Quatre maçons peuvent terminer le travail en 15 jours. En combien de jours trois maçons peuvent-ils terminer ce travail ?

Option III

1) La fleur de tilleul perd 74 % de son poids. Combien de tilleul sec peut-on obtenir à partir de 300 kg de frais ?

2) Un motocycliste a parcouru 3 heures à une vitesse de 60 km/h. Combien d'heures lui faudra-t-il pour parcourir la même distance à une vitesse de 45 km/h ?

Option IV

1) Des agriculteurs cubains nous offrent de la canne à sucre pour produire du sucre. La canne à sucre, lorsqu'elle est transformée en sucre, perd 91 % de sa masse d'origine. Combien faut-il de canne à sucre pour obtenir 900 kg de sucre ?

2) Par une chaude journée, 6 tondeuses ont bu un baril de kvas en 1h30. Combien de tondeuses boiront le même baril en 3 heures ?

7. Résumer la leçon

Quels types de problèmes avons-nous résolus en classe ?

Les élèves résument la leçon sur des cartes de maîtrise de soi et donnent des notes

16-17 points - "5"
13-15 points - "4"
9-12 points - "3"

– Les objectifs de la leçon ont été atteints, et surtout, le travail s'est déroulé dans une ambiance créative.

8. Devoirs

Répétez les étapes 13 à 18.

Tâche de manuel : N° 817, N° 812, N° 818 différencié.

Littérature

1. Manuel de mathématiques pour la 6e année des établissements d'enseignement, auteurs: N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd, Moscou. "Mnémosyne", 2011.
2. Collection de tâches de test pour le contrôle thématique et final Mathématiques 6e année Moscou, "Intellect Center" 2009.
3. A.I. Ershova, V.V. Goloborodko. Mathématiques 6. Indépendant et papiers de test.– M : Ileksa, 2011.

Les deux quantités sont appelées directement proportionnel, si lorsque l'un d'eux est augmenté plusieurs fois, l'autre est augmenté du même montant. En conséquence, lorsque l'un d'eux diminue plusieurs fois, l'autre diminue du même montant.

La relation entre ces quantités est une relation proportionnelle directe. Exemples de relation proportionnelle directe :

1) à vitesse constante, la distance parcourue est directement proportionnelle au temps ;

2) le périmètre d'un carré et son côté sont directement proportionnels ;

3) le coût d'une marchandise achetée à un prix est directement proportionnel à sa quantité.

Pour distinguer une relation proportionnelle directe d'une relation inverse, vous pouvez utiliser le proverbe: "Plus loin dans la forêt, plus il y a de bois de chauffage."

Il est commode de résoudre des problèmes pour des quantités directement proportionnelles en utilisant des proportions.

1) Pour la fabrication de 10 pièces, il faut 3,5 kg de métal. Quelle quantité de métal sera utilisée pour fabriquer 12 de ces pièces ?

(On raisonne ainsi :

1. Dans la colonne complétée, placez la flèche dans le sens du plus grand nombre au plus petit.

2. Plus il y a de pièces, plus il faut de métal pour les fabriquer. C'est donc une relation directement proportionnelle.

Soit x kg de métal pour fabriquer 12 pièces. Nous composons la proportion (dans le sens du début de la flèche à sa fin):

12:10=x:3.5

Pour trouver , il faut diviser le produit des termes extrêmes par le moyen terme connu :

Cela signifie que 4,2 kg de métal seront nécessaires.

Réponse : 4,2 kg.

2) 1680 roubles ont été payés pour 15 mètres de tissu. Combien coûtent 12 mètres d'un tel tissu ?

(1. Dans la colonne complétée, placez la flèche dans le sens allant du plus grand nombre au plus petit.

2. Moins vous achetez de tissu, moins vous devez le payer. C'est donc une relation directement proportionnelle.

3. Par conséquent, la deuxième flèche est dirigée dans le même sens que la première).

Soit x roubles coûtent 12 mètres de tissu. Nous composons la proportion (du début de la flèche à sa fin):

15:12=1680:x

Pour trouver le membre extrême inconnu de la proportion, nous divisons le produit des termes moyens par le membre extrême connu de la proportion :

Ainsi, 12 mètres coûtent 1344 roubles.

Réponse : 1344 roubles.

La façon la plus simple de comprendre une relation directement proportionnelle est d'utiliser l'exemple d'une machine qui fabrique des pièces à une vitesse constante. Si en deux heures il fait 25 pièces, alors en 4 heures il en fera deux fois plus - 50. Combien de fois plus de temps il travaillera, autant de fois plus de détails qu'il produira.

Mathématiquement ça ressemble à ça :

4: 2 = 50: 25 ou comme ceci : 2:4 = 25:50

Les grandeurs directement proportionnelles sont ici le temps de fonctionnement de la machine et le nombre de pièces fabriquées.

Ils disent : Le nombre de pièces est directement proportionnel au temps de fonctionnement de la machine.

Si deux quantités sont directement proportionnelles, alors les rapports des quantités correspondantes sont égaux. (Dans notre exemple, c'est le rapport du temps 1 au temps 2 = le rapport du nombre de pièces dans le temps 1à nombre de pièces dans le temps 2)

Proportionnalité inverse

Une relation inversement proportionnelle se retrouve souvent dans les problèmes de vitesse. La vitesse et le temps sont inversement proportionnels. En effet, plus un objet se déplace rapidement, moins il mettra de temps à se déplacer.

Par exemple:

Si les quantités sont inversement proportionnelles, alors le rapport des valeurs d'une quantité (la vitesse dans notre exemple) est égal au rapport inverse de l'autre quantité (le temps dans notre exemple). (Dans notre exemple, le rapport de la première vitesse à la deuxième vitesse est égal au rapport de la deuxième fois à la première fois.

Exemples de tâches

Tache 1:

La solution:

Écrivons une brève condition du problème :

Tâche 2 :

La solution:

Brève entrée :

Si les jeux ou les simulateurs ne s'ouvrent pas pour vous, lisez.