Što je granica definicije funkcije. Limit funkcije – definicije, teoremi i svojstva
Ograničenja svim studentima matematike zadaju mnogo problema. Da biste riješili ograničenje, ponekad morate upotrijebiti mnogo trikova i odabrati iz niza metoda rješenja upravo onu koja je prikladna za određeni primjer.
U ovom članku nećemo vam pomoći da shvatite granice svojih mogućnosti ili shvatite granice kontrole, već ćemo pokušati odgovoriti na pitanje: kako razumjeti granice u višoj matematici? Razumijevanje dolazi s iskustvom, pa ćemo ujedno dati nekoliko detaljnih primjera rješavanja granica s objašnjenjima.
Pojam limita u matematici
Prvo pitanje je: koja je to granica i granica čega? Možemo govoriti o granicama numeričkih nizova i funkcija. Zanima nas pojam limesa funkcije jer se s njim učenici najčešće susreću. Ali prvo, najopćenitija definicija ograničenja:
Recimo da postoji neka promjenjiva vrijednost. Ako se ta vrijednost u procesu promjene neograničeno približava određenom broju a , To a – granica ove vrijednosti.
Za funkciju definiranu u određenom intervalu f(x)=y takav se broj naziva limitom A , kojoj funkcija teži kada x , težeći određenoj točki A . Točka A pripada intervalu na kojem je funkcija definirana.
Zvuči glomazno, ali je napisano vrlo jednostavno:
Lim- s engleskog ograničiti- granica.
Postoji i geometrijsko objašnjenje za određivanje granice, ali ovdje nećemo ulaziti u teoriju, jer nas više zanima praktična nego teorijska strana problema. Kad to kažemo x teži nekoj vrijednosti, to znači da varijabla ne poprima vrijednost broja, već mu se približava beskonačno blizu.
Navedimo konkretan primjer. Zadatak je pronaći granicu.
Da bismo riješili ovaj primjer, zamijenit ćemo vrijednost x=3 u funkciju. Dobivamo:
Usput, ako vas zanimaju osnovne operacije na matricama, pročitajte poseban članak o ovoj temi.
U primjerima x može težiti bilo kojoj vrijednosti. To može biti bilo koji broj ili beskonačnost. Evo primjera kada x teži beskonačnosti:
Intuitivno, što je veći broj u nazivniku, to će funkcija imati manju vrijednost. Dakle, s neograničenim rastom x značenje 1/x smanjit će se i približiti nuli.
Kao što vidite, da biste riješili granicu, samo trebate zamijeniti vrijednost kojoj želite težiti u funkciju x . Međutim, ovo je najjednostavniji slučaj. Pronalaženje granice često nije tako očito. Unutar granica postoje neizvjesnosti tipa 0/0 ili beskonačnosti/beskonačnosti . Što učiniti u takvim slučajevima? Pribjegavajte trikovima!
Neizvjesnosti unutar
Neodređenost oblika beskonačnost/beskonačnost
Neka postoji granica:
Pokušamo li u funkciju zamijeniti beskonačnost, dobit ćemo beskonačnost i u brojniku i u nazivniku. Općenito, vrijedi reći da postoji određeni element umjetnosti u rješavanju takvih nesigurnosti: morate primijetiti kako možete transformirati funkciju na takav način da nesigurnost nestane. U našem slučaju, brojnik i nazivnik dijelimo s x u višem stupnju. Što će se dogoditi?
Iz primjera o kojem smo već raspravljali, znamo da će članovi koji sadrže x u nazivniku težiti nuli. Tada je rješenje granice:
Za rješavanje nesigurnosti tipa beskonačnosti/beskonačnosti podijeliti brojnik i nazivnik sa x do najvišeg stupnja.
Usput! Za naše čitatelje sada postoji popust od 10% na bilo koju vrstu posla
Druga vrsta nesigurnosti: 0/0
Kao i uvijek, zamjena vrijednosti u funkciju x=-1 daje 0 u brojniku i nazivniku. Pogledajte malo pažljivije i primijetit ćete da imamo kvadratnu jednadžbu u brojniku. Pronađimo korijene i napišimo:
Smanjimo i dobijemo:
Dakle, ako ste suočeni s nesigurnošću tipa 0/0 – rastavljaju brojnik i nazivnik.
Kako bismo vam olakšali rješavanje primjera, donosimo tablicu s ograničenjima nekih funkcija:
L'Hopitalova vladavina unutar
Još jedan moćan način za uklanjanje obje vrste neizvjesnosti. Što je bit metode?
Ako postoji nesigurnost u granici, uzimajte derivaciju brojnika i nazivnika dok nesigurnost ne nestane.
L'Hopitalovo pravilo izgleda ovako:
Važna točka : granica u kojoj umjesto brojnika i nazivnika moraju postojati izvedenice brojnika i nazivnika.
A sada - pravi primjer:
Postoji tipična neizvjesnost 0/0 . Uzmimo izvodnice brojnika i nazivnika:
Voila, neizvjesnost se rješava brzo i elegantno.
Nadamo se da ćete ove informacije moći korisno primijeniti u praksi i pronaći odgovor na pitanje “kako riješiti granice u višoj matematici”. Ukoliko trebate izračunati limes niza ili limes funkcije u točki, a nemate baš vremena za taj posao, obratite se stručnoj studentskoj službi za brzo i detaljno rješenje.
Razmotrite funkciju %%f(x)%% definiranu barem u nekom probušenom susjedstvu %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% točke %%a \in \overline( \ mathbb(R))%% prošireni brojevni pravac.
Pojam Cauchyjeve granice
Poziva se broj %%A \in \mathbb(R)%%. granica funkcije%%f(x)%% u točki %%a \in \mathbb(R)%% (ili na %%x%% teži prema %%a \in \mathbb(R)%%), ako, što Bez obzira na pozitivan broj %%\varepsilon%%, postoji pozitivan broj %%\delta%% takav da za sve točke u probušenom %%\delta%% susjedstvu točke %%a%% vrijednosti funkcije pripadaju %%\varepsilon %%-okolici točke %%A%%, odn
$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (U))_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text(U)_\varepsilon (A) \big) $$
Ova se definicija naziva %%\varepsilon%% i %%\delta%% definicija, koju je predložio francuski matematičar Augustin Cauchy i koristila se od početka 19. stoljeća do danas jer ima potrebnu matematičku strogost i točnost.
Kombiniranje različitih susjedstava točke %%a%% oblika %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \ tekst(U) _\delta (-\infty), \tekst(U)_\delta (+\infty), \tekst(U)_\delta^+ (a), \tekst(U)_\delta^ - (a) %% s okolinom %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \ text(U) _\varepsilon (-\infty)%%, dobivamo 24 definicije Cauchyjeve granice.
Geometrijsko značenje
Geometrijsko značenje limesa funkcije
Otkrijmo što je geometrijsko značenje limita funkcije u točki. Izgradimo graf funkcije %%y = f(x)%% i na njemu označimo točke %%x = a%% i %%y = A%%.
Limit funkcije %%y = f(x)%% u točki %%x \to a%% postoji i jednak je A ako za bilo koju %%\varepsilon%% okolinu točke %%A%% može se specificirati takvo %%\ delta%%-susjedstvo točke %%a%%, tako da za bilo koji %%x%% iz ovog %%\delta%%-susjedstva vrijednost %%f(x)% % bit će u %%\varepsilon%%-točkama susjedstva %%A%%.
Imajte na umu da prema definiciji limita funkcije prema Cauchyju, za postojanje limita na %%x \to a%%, nije važno koju vrijednost funkcija poprima u točki %%a%%. Mogu se dati primjeri kada funkcija nije definirana kada je %%x = a%% ili uzima vrijednost koja nije %%A%%. Međutim, ograničenje može biti %%A%%.
Određivanje Heineove granice
Element %%A \in \overline(\mathbb(R))%% naziva se granica funkcije %%f(x)%% na %% x \to a, a \in \overline(\mathbb( R))%% , ako je za bilo koji niz %%\(x_n\) \to a%% iz domene definicije, niz odgovarajućih vrijednosti %%\big\(f(x_n)\big\)% % teži %%A%%.
Definicija limita prema Heineu zgodna je za korištenje kada se pojave sumnje o postojanju limita funkcije u danoj točki. Ako je moguće konstruirati barem jedan niz %%\(x_n\)%% s limitom u točki %%a%% tako da niz %%\big\(f(x_n)\big\)%% nema granice, onda možemo zaključiti da funkcija %%f(x)%% nema granice u ovoj točki. Ako za dvoje razne nizovi %%\(x"_n\)%% i %%\(x""_n\)%% koji imaju isti ograničenje %%a%%, nizovi %%\big\(f(x"_n)\big\)%% i %%\big\(f(x""_n)\big\)%% imaju razne granice, onda u ovom slučaju također nema limita funkcije %%f(x)%%.
Primjer
Neka je %%f(x) = \sin(1/x)%%. Provjerimo postoji li limit ove funkcije u točki %%a = 0%%.
Odaberimo prvo niz $$ \(x_n\) = \lijevo\(\frac((-1)^n)(n\pi)\desno\) koji konvergira ovoj točki. $$
Jasno je da je %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% i %%\lim (x_n) = 0%%. Tada je %%f(x_n) = \sin(\lijevo((-1)^n n\pi\desno)) \ekviv 0%% i %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%.
Zatim uzmite niz koji konvergira u istu točku $$ x"_n = \lijevo\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \desno\), $$
za koje je %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \ekviv 1%% i %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%%. Slično za niz $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1 ) \pi) \desno\), $$
također konvergirajući do točke %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%%.
Sve tri sekvence dale su različite rezultate, što je u suprotnosti s Heineovim uvjetom definicije, tj. ova funkcija nema ograničenje u točki %%x = 0%%.
Teorema
Cauchyjeva i Heineova definicija granice su ekvivalentne.
Dana je formulacija glavnih teorema i svojstava limita funkcije. Dane su definicije konačnih i beskonačnih limita u konačnim točkama i u beskonačnosti (dvostrano i jednostrano) prema Cauchyju i Heineu. Razmatraju se aritmetička svojstva; teoremi vezani uz nejednakosti; Cauchyjev kriterij konvergencije; limit složene funkcije; svojstva infinitezimalnih, beskonačno velikih i monotonih funkcija. Dana je definicija funkcije.
SadržajDruga definicija prema Cauchyju
Limit funkcije (prema Cauchyju) dok njen argument x teži k x 0 je konačan broj ili točka u beskonačnosti a za koju su ispunjeni sljedeći uvjeti:1) postoji takva punktirana okolina točke x 0 , na kojoj je funkcija f (x) odlučan;
2) za svaku okolinu točke a koja pripada , postoji takva punktirana okolina točke x 0 , na kojoj vrijednosti funkcije pripadaju odabranoj okolini točke a:
u .
Ovdje a i x 0
također mogu biti ili konačni brojevi ili točke u beskonačnosti. Koristeći se logičkim simbolima postojanja i univerzalnosti, ova se definicija može napisati na sljedeći način:
.
Ako uzmemo lijevo ili desno susjedstvo krajnje točke kao skup, dobivamo definiciju Cauchyjeve granice lijevo ili desno.
Teorema
Cauchyjeva i Heineova definicija limita funkcije su ekvivalentne.
Dokaz
Primjenjive okoline točaka
Tada, zapravo, Cauchyjeva definicija znači sljedeće.
Za sve pozitivne brojeve postoje brojevi, tako da za sve x koji pripadaju izbušenoj okolici točke : vrijednosti funkcije pripadaju okolici točke a: ,
Gdje , .
Ova definicija nije baš zgodna za rad, jer su susjedstva definirana pomoću četiri broja. Ali može se pojednostaviti uvođenjem susjedstva s jednako udaljenim krajevima. Odnosno, možete staviti , . Tada ćemo dobiti definiciju koju je lakše koristiti pri dokazivanju teorema. Štoviše, to je ekvivalentno definiciji u kojoj se koriste proizvoljna susjedstva. Dokaz ove činjenice dan je u poglavlju “Ekvivalencija Cauchyjevih definicija limita funkcije”.
Tada možemo dati jedinstvenu definiciju limita funkcije u konačnim i beskonačno udaljenim točkama:
.
Ovdje za krajnje točke
;
;
.
Svako susjedstvo točaka u beskonačnosti je probušeno:
;
;
.
Konačne granice funkcije na krajnjim točkama
Broj a nazivamo limesom funkcije f (x) u točki x 0 , Ako1) funkcija je definirana na nekoj punktiranoj okolini krajnje točke;
2) za bilo koji postoji takav da ovisi o , tako da za sve x za koje vrijedi nejednakost
.
Koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti, definicija limita funkcije može se napisati na sljedeći način:
.
Jednostrana ograničenja.
Lijeva granica u točki (lijeva granica):
.
Desna granica u točki (desna granica):
.
Lijeva i desna granica često se označavaju na sljedeći način:
;
.
Konačni limiti funkcije u točkama u beskonačnosti
Granice u točkama u beskonačnosti određuju se na sličan način.
.
.
.
Beskonačna ograničenja funkcija
Također možete uvesti definicije beskonačnih granica određenih znakova jednakih i :
.
.
Svojstva i teoremi limita funkcije
Nadalje pretpostavljamo da su razmatrane funkcije definirane u odgovarajućoj punktiranoj okolini točke , koja je konačan broj ili jedan od simbola: . Može biti i jednostrana granična točka, odnosno imati oblik ili . Susjedstvo je dvostrano za dvostrano ograničenje i jednostrano za jednostrano ograničenje.
Osnovna svojstva
Ako su vrijednosti funkcije f (x) promijeniti (ili učiniti nedefiniranim) konačan broj točaka x 1, x 2, x 3, ... x n, tada ova promjena neće utjecati na postojanje i vrijednost limita funkcije u proizvoljnoj točki x 0 .
Ako postoji konačna granica, tada postoji probušena okolina točke x 0
, na kojoj je funkcija f (x) ograničeno:
.
Neka funkcija ima u točki x 0
konačna granica različita od nule:
.
Tada za bilo koji broj c iz intervala postoji takva probušena okolina točke x 0
, za što ,
, Ako ;
, Ako .
Ako je, na nekoj probušenoj okolini točke, , konstanta, tada je .
Ako postoje konačne granice i i na nekoj punktiranoj okolini točke x 0
,
taj .
Ako je , i na nekoj okolini točke
,
taj .
Konkretno, ako je u nekoj blizini točke
,
onda ako , onda i ;
ako , onda i .
Ako na nekoj punktiranoj okolini točke x 0
:
,
i postoje konačne (ili beskonačne određenog predznaka) jednake granice:
, To
.
Dokazi glavnih svojstava navedeni su na stranici
"Osnovna svojstva limita funkcije."
Neka su funkcije i definirane u nekoj punktiranoj okolini točke . I neka postoje konačne granice:
i .
I neka je C konstanta, odnosno zadani broj. Zatim
;
;
;
, Ako .
Ako tada.
Dokazi aritmetičkih svojstava dati su na stranici
“Aritmetička svojstva limesa funkcije”.
Cauchyjev kriterij postojanja limita funkcije
Teorema
Kako bi funkcija definirana na nekoj probušenoj okolini konačne ili beskonačne točke x 0
, imao konačnu granicu u ovoj točki, potrebno je i dovoljno da za bilo koji ε > 0
postojala je takva punktirana okolina točke x 0
, da za bilo koje točke i iz ove okoline vrijedi nejednakost:
.
Limit složene funkcije
Teorem o limitu kompleksne funkcije
Neka funkcija ima granicu i preslikaj probušenu okolinu točke na probušenu okolinu točke. Neka je funkcija definirana na ovoj okolini i ima limit na njoj.
Evo krajnjih ili beskonačno udaljenih točaka: . Susjedstva i njihova odgovarajuća ograničenja mogu biti dvostrani ili jednostrani.
Tada postoji limes složene funkcije i on je jednak:
.
Limitni teorem složene funkcije primjenjuje se kada funkcija nije definirana u točki ili ima vrijednost različitu od limita. Da bismo primijenili ovaj teorem, mora postojati probušeno susjedstvo točke u kojoj skup vrijednosti funkcije ne sadrži točku:
.
Ako je funkcija kontinuirana u točki , tada se znak granice može primijeniti na argument kontinuirane funkcije:
.
Slijedi teorem koji odgovara ovom slučaju.
Teorem o limitu kontinuirane funkcije funkcije
Neka postoji limes funkcije g (x) kao x → x 0
, a jednak je t 0
:
.
Ovdje je točka x 0
mogu biti konačno ili beskonačno udaljeni: .
I neka funkcija f (t) kontinuirano u točki t 0
.
Tada postoji limit kompleksne funkcije f (g(x)), a jednak je f (t 0):
.
Dokazi teorema dati su na stranici
"Limit i kontinuitet složene funkcije".
Infinitezimalne i beskonačno velike funkcije
Infinitezimalne funkcije
Definicija
Za funkciju se kaže da je infinitezimalna ako
.
Zbroj, razlika i umnožak konačnog broja infinitezimalnih funkcija na je infinitezimalna funkcija na .
Umnožak ograničene funkcije na nekoj probušenoj okolini točke, na infinitezimalnu at je infinitezimalna funkcija na.
Da bi funkcija imala konačan limit potrebno je i dovoljno da
,
gdje je infinitezimalna funkcija na .
"Svojstva infinitezimalnih funkcija".
Beskonačno velike funkcije
Definicija
Za funkciju se kaže da je beskonačno velika ako
.
Zbroj ili razlika ograničene funkcije, na nekom probušenom susjedstvu točke , i beskonačno velike funkcije na je beskonačno velika funkcija na .
Ako je funkcija beskonačno velika za , a funkcija je ograničena na neku probušenu okolinu točke , tada
.
Ako funkcija , na nekoj punktiranoj okolini točke , zadovoljava nejednakost:
,
a funkcija je infinitezimalna na:
, i (na nekom punktiranom susjedstvu točke), zatim
.
Dokazi svojstava prikazani su u odjeljku
"Svojstva beskonačno velikih funkcija".
Odnos između beskonačno velikih i infinitezimalnih funkcija
Iz prethodna dva svojstva slijedi povezanost beskonačno velikih i infinitezimalnih funkcija.
Ako je funkcija beskonačno velika na , tada je funkcija infinitezimalna na .
Ako je funkcija infinitezimalna za , i , tada je funkcija beskonačno velika za .
Odnos između infinitezimalne i beskonačno velike funkcije može se izraziti simbolički:
,
.
Ako infinitezimalna funkcija ima određeni predznak na , to jest, pozitivna je (ili negativna) na nekoj probušenoj okolini točke , tada se ta činjenica može izraziti na sljedeći način:
.
Na isti način, ako beskonačno velika funkcija ima određeni predznak na , tada se piše:
.
Tada se simbolička veza između beskonačno male i beskonačno velike funkcije može nadopuniti sljedećim relacijama:
,
,
,
.
Dodatne formule koje se odnose na simbole beskonačnosti mogu se pronaći na stranici
"Točke u beskonačnosti i njihova svojstva."
Granice monotonih funkcija
Definicija
Poziva se funkcija definirana na nekom skupu realnih brojeva X strogo rastući, ako za sve takve vrijedi sljedeća nejednakost:
.
Sukladno tome, za strogo opadajući funkcija vrijedi sljedeća nejednakost:
.
Za neopadajući:
.
Za nerastući:
.
Slijedi da je strogo rastuća funkcija također neopadajuća. Strogo padajuća funkcija također je nerastuća.
Funkcija se zove monoton, ako je neopadajuća ili nerastuća.
Teorema
Neka funkcija ne opada na intervalu gdje je .
Ako je odozgo omeđen brojem M: tada postoji konačna granica. Ako nije ograničeno odozgo, tada .
Ako je ograničena odozdo brojem m: tada postoji konačna granica. Ako nije ograničeno odozdo, tada .
Ako su točke a i b u beskonačnosti, onda u izrazima granični znakovi znače da .
Ovaj se teorem može formulirati i kompaktnije.
Neka funkcija ne opada na intervalu gdje je . Zatim postoje jednostrane granice u točkama a i b:
;
.
Sličan teorem za nerastuću funkciju.
Neka funkcija ne raste na intervalu gdje je . Zatim postoje jednostrana ograničenja:
;
.
Dokaz teorema je prikazan na stranici
"Granice monotonih funkcija".
Definicija funkcije
Funkcija y = f (x) je zakon (pravilo) prema kojem je svakom elementu x skupa X pridružen jedan i samo jedan element y skupa Y.
Element x ∈ X nazvao argument funkcije ili neovisna varijabla.
Element y ∈ Y nazvao vrijednost funkcije ili zavisna varijabla.
Skup X naziva se domena funkcije.
Skup elemenata y ∈ Y, koje imaju praslike u skupu X, nazivamo područje ili skup vrijednosti funkcije.
Poziva se stvarna funkcija ograničeno odozgo (odozdo), ako postoji broj M takav da nejednakost vrijedi za sve:
.
Poziva se funkcija broja ograničeno, ako postoji broj M takav da za sve:
.
Gornji rub ili točna gornja granica Prava funkcija naziva se najmanji broj koji ograničava svoj raspon vrijednosti odozgo. To jest, ovo je broj s za koji, za svakoga i za bilo kojeg, postoji argument čija vrijednost funkcije prelazi s′: .
Gornja granica funkcije može se označiti na sljedeći način:
.
Odnosno donji rub ili točna donja granica Realna funkcija naziva se najvećim brojem koji ograničava njezin raspon vrijednosti odozdo. To jest, ovo je broj i za koji, za sve i za bilo koje, postoji argument čija je vrijednost funkcije manja od i′: .
Infimum funkcije može se označiti na sljedeći način:
.
Reference:
L.D. Kudrjavcev. Tečaj matematičke analize. Svezak 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolskog. Tečaj matematičke analize. Svezak 1. Moskva, 1983.
U ovom članku ćemo vam reći što je granica funkcije. Najprije ćemo objasniti općenite točke koje su vrlo važne za razumijevanje suštine ovog fenomena.
Koncept granice
U matematici je koncept beskonačnosti, označen simbolom ∞, temeljno važan. Treba ga shvatiti kao beskonačno veliki + ∞ ili infinitezimalni - ∞ broj. Kada govorimo o beskonačnosti, često mislimo na oba ova značenja odjednom, ali zapis oblika + ∞ ili - ∞ ne treba jednostavno zamijeniti s ∞.
Limit funkcije se piše kao lim x → x 0 f (x) . Na dnu pišemo glavni argument x, a uz pomoć strelice označavamo kojoj će vrijednosti x0 težiti. Ako je vrijednost x 0 konkretan realan broj, tada se radi o limitu funkcije u točki. Ako vrijednost x 0 teži beskonačnosti (nije bitno da li je ∞, + ∞ ili - ∞), tada treba govoriti o limitu funkcije u beskonačnosti.
Granica može biti konačna ili beskonačna. Ako je jednak određenom realnom broju, tj. lim x → x 0 f (x) = A, tada se naziva konačna granica, ali ako je lim x → x 0 f (x) = ∞, lim x → x 0 f (x) = + ∞ ili lim x → x 0 f (x) = - ∞ , tada beskonačno.
Ako ne možemo odrediti niti konačnu niti beskonačnu vrijednost, to znači da takva granica ne postoji. Primjer ovog slučaja bila bi granica sinusa u beskonačnosti.
U ovom odlomku ćemo objasniti kako pronaći vrijednost limita funkcije u točki iu beskonačnosti. Da bismo to učinili, moramo uvesti osnovne definicije i zapamtiti što su brojčani nizovi, kao i njihovu konvergenciju i divergenciju.
Definicija 1
Broj A je granica funkcije f (x) kao x → ∞ ako niz njegovih vrijednosti konvergira u A za bilo koji beskonačno veliki niz argumenata (negativan ili pozitivan).
Zapisivanje limita funkcije izgleda ovako: lim x → ∞ f (x) = A.
Definicija 2
Kako je x → ∞, granica funkcije f(x) je beskonačna ako je niz vrijednosti za bilo koji beskonačno veliki niz argumenata također beskonačno velik (pozitivan ili negativan).
Unos izgleda kao lim x → ∞ f (x) = ∞ .
Primjer 1
Dokažite jednakost lim x → ∞ 1 x 2 = 0 koristeći osnovnu definiciju limita za x → ∞.
Riješenje
Započnimo pisanjem niza vrijednosti funkcije 1 x 2 za beskonačno veliki pozitivni niz vrijednosti argumenta x = 1, 2, 3, . . . , n , . . . .
1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .
Vidimo da će se vrijednosti postupno smanjivati, težeći 0. Pogledajte na slici:
x = - 1, - 2, - 3, . . . , - n , . . .
1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 - n 2 > . . .
Ovdje također možemo vidjeti monotoni pad prema nuli, što potvrđuje valjanost ovoga u uvjetu jednakosti:
Odgovor: Točnost ovoga u uvjetu jednakosti je potvrđena.
Primjer 2
Izračunajte granicu lim x → ∞ e 1 10 x .
Riješenje
Počnimo, kao i prije, zapisujući nizove vrijednosti f (x) = e 1 10 x za beskonačno veliki pozitivni niz argumenata. Na primjer, x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → + ∞ .
e 1 10; e 4 10; e 9 10; e 16 10; e 25 10; . . . ; e 100 10; . . . = = 1, 10; 1, 49; 2, 45; 4, 95; 12, 18; . . . ; 22026, 46; . . .
Vidimo da je ovaj niz beskonačno pozitivan, što znači f (x) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞
Prijeđimo na pisanje vrijednosti beskonačno velikog negativnog niza, na primjer, x = - 1, - 4, - 9, - 16, - 25, . . . , - 10 2 , . . . → - ∞ .
e - 1 10 ; e - 4 10; e - 9 10 ; e - 16 10 ; e - 25 10 ; . . . ; e - 100 10; . . . = = 0,90; 0,67; 0,40; 0, 20; 0, 08; . . . ; 0,000045; . . . x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → ∞
Budući da i ona teži nuli, tada je f (x) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 .
Rješenje problema jasno je prikazano na ilustraciji. Plave točke označavaju niz pozitivnih vrijednosti, zelene točke označavaju niz negativnih vrijednosti.
Odgovor: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , pr i x → + ∞ 0 , pr i x → - ∞ .
Prijeđimo na metodu računanja limita funkcije u točki. Da bismo to učinili, moramo znati kako ispravno definirati jednostranu granicu. Ovo će nam također biti od koristi kako bismo pronašli vertikalne asimptote grafa funkcije.
Definicija 3
Broj B je granica funkcije f (x) s lijeve strane kao x → a u slučaju kada slijed njegovih vrijednosti konvergira na zadani broj za bilo koji niz argumenata funkcije x n koji konvergira na a, ako njegove vrijednosti ostaju manje od a (x n< a).
Takva granica se pismeno označava kao lim x → a - 0 f (x) = B.
Sada formulirajmo što je granica funkcije s desne strane.
Definicija 4
Broj B je granica funkcije f (x) s desne strane kao x → a u slučaju kada niz njegovih vrijednosti konvergira na zadani broj za bilo koji niz argumenata funkcije x n koji konvergira na a, ako njegove vrijednosti ostaju veće od a (x n > a) .
Ovu granicu zapisujemo kao lim x → a + 0 f (x) = B .
Limes funkcije f (x) možemo pronaći u određenoj točki kada ima jednake limese s lijeve i desne strane, tj. lim x → a f (x) = lim x → a - 0 f (x) = lim x → a + 0 f (x) = B . Ako su oba limita beskonačna, limit funkcije u početnoj točki također će biti beskonačan.
Sada ćemo pojasniti ove definicije zapisujući rješenje određenog problema.
Primjer 3
Dokažite da postoji konačni limit funkcije f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 u točki x 0 = 2 i izračunajte njegovu vrijednost.
Riješenje
Da bismo riješili problem, moramo se prisjetiti definicije limita funkcije u točki. Najprije dokažimo da izvorna funkcija ima limit na lijevoj strani. Zapišimo niz vrijednosti funkcije koje će konvergirati na x 0 = 2 ako je x n< 2:
f(-2); f (0) ; f (1) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024; . . . = = 8,667; 2, 667; 0,167; - 0,958; - 1, 489; - 1, 747; - 1, 874; . . . ; - 1.998; . . . → - 2
Budući da se gornji niz svodi na - 2, možemo napisati da je lim x → 2 - 0 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2.
6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2
Vrijednosti funkcije u ovom nizu izgledat će ovako:
f (6) ; f (4) ; f (3) ; f 2 1 2 ; f 2 3 4 ; f 2 7 8 ; f 2 15 16 ; . . . ; f 2 1023 1024; . . . = = - 7, 333; - 5, 333; - 3, 833; - 2, 958; - 2, 489; - 2, 247; - 2, 124; . . . , - 2.001, . . . → - 2
Ovaj niz također konvergira na - 2, što znači lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.
Utvrdili smo da će limes na desnoj i lijevoj strani ove funkcije biti jednak, što znači da limes funkcije f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 u točki x 0 = 2 postoji, i lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .
Napredak rješenja možete vidjeti na ilustraciji (zelene točke su niz vrijednosti koji konvergiraju na x n< 2 , синие – к x n > 2).
Odgovor: Limes na desnoj i lijevoj strani ove funkcije bit će jednak, što znači da limes funkcije postoji, te je lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.
Da biste dublje proučili teoriju granica, savjetujemo vam da pročitate članak o kontinuitetu funkcije u točki i glavnim vrstama točaka diskontinuiteta.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Dana je definicija konačnog limita niza. Raspravljaju se srodna svojstva i ekvivalentna definicija. Dana je definicija da točka a nije granica niza. Razmatraju se primjeri u kojima se pomoću definicije dokazuje postojanje limita.
SadržajVidi također: Limit niza – osnovni teoremi i svojstva
Glavne vrste nejednakosti i njihova svojstva
Ovdje ćemo pogledati definiciju konačnog limita niza. Slučaj niza koji konvergira u beskonačnost razmatran je na stranici “Definicija beskonačno velikog niza”.
Limit niza je broj a if, za bilo koji pozitivan broj ε > 0 postoji prirodan broj N ε ovisan o ε takav da za sve prirodne brojeve n > N ε vrijedi nejednakost| x n - a|< ε .
Ovdje je x n element niza s brojem n. Ograničenje niza označeno na sljedeći način:
.
Ili u .
Transformirajmo nejednakost:
;
;
.
Iz definicije slijedi da ako niz ima limit a, tada bez obzira koju ε-okolicu točke a odaberemo, izvan njegovih granica može postojati samo konačan broj elemenata niza ili niti jedan (prazan postaviti). A svaka ε-susjednost sadrži beskonačan broj elemenata. Zapravo, dajući određeni broj ε, time imamo broj . Dakle, svi elementi niza s brojevima , po definiciji, nalaze se u ε - okolici točke a . Prvi elementi mogu se nalaziti bilo gdje. To jest, izvan ε-susjedstva ne može biti više od elemenata - to jest, konačan broj.
Također napominjemo da razlika ne mora cijelo vrijeme monotono težiti nuli, odnosno opadati. Može težiti nuli nemonotono: može se povećavati ili smanjivati, imajući lokalne maksimume. Međutim, ti bi maksimumi, kako n raste, trebali težiti nuli (možda također ne monotono).
Koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti, definicija granice može se napisati na sljedeći način:
(1)
.
Određivanje da a nije granica
Sada razmotrimo obrnutu tvrdnju da broj a nije granica niza.
Broj a nije granica niza, ako postoji takav da za svaki prirodni broj n postoji takav prirodni m > n, Što
.
Napišimo ovu tvrdnju logičkim simbolima.
(2)
.
Izjava koja broj a nije granica niza, znači da
možete odabrati takvu ε - okolinu točke a, izvan koje će biti beskonačan broj elemenata niza.
Pogledajmo primjer. Neka je dan niz sa zajedničkim elementom
(3)
Svaka okolina točke sadrži beskonačan broj elemenata. Međutim, ova točka nije granica niza, budući da svaka okolina točke također sadrži beskonačan broj elemenata. Uzmimo ε - okolinu točke s ε = 1
. Ovo će biti interval (-1, +1)
. Svi elementi osim prvog s parnim n pripadaju ovom intervalu. Ali svi elementi s neparnim n su izvan ovog intervala, jer zadovoljavaju nejednakost x n > 2
. Budući da je broj neparnih elemenata beskonačan, bit će beskonačan broj elemenata izvan odabranog susjedstva. Dakle, točka nije granica niza.
Sada ćemo to pokazati, striktno se pridržavajući tvrdnje (2). Točka nije granica niza (3), jer postoji takva da za svaki prirodni n postoji neparan niz za koji vrijedi nejednakost
.
Također se može pokazati da nijedna točka a ne može biti limit ovog niza. Uvijek možemo odabrati ε - okolinu točke a koja ne sadrži ni točku 0 ni točku 2. I tada će izvan odabrane okoline biti beskonačan broj elemenata niza.
Ekvivalentna definicija granice niza
Ekvivalentnu definiciju limita niza možemo dati ako proširimo pojam ε - susjedstva. Ekvivalentnu definiciju ćemo dobiti ako umjesto ε-okoline sadrži bilo koju okolinu točke a. Okolica točke je svaki otvoreni interval koji sadrži tu točku. Matematički okolina točke definira se na sljedeći način: , gdje je ε 1 i ε 2 - proizvoljni pozitivni brojevi.
Tada je ekvivalentna definicija granice sljedeća.
Limit niza je broj a ako za bilo koju njegovu okolinu postoji prirodan broj N takav da svi elementi niza s brojevima pripadaju toj okolini.
Ova se definicija također može prikazati u proširenom obliku.
Granica niza je broj a ako za bilo koje pozitivne brojeve i postoji prirodan broj N koji ovisi o i takav da nejednakosti vrijede za sve prirodne brojeve
.
Dokaz ekvivalentnosti definicija
Dokažimo da su dvije gore prikazane definicije limita niza ekvivalentne.
Neka je broj a limit niza prema prvoj definiciji. To znači da postoji funkcija, tako da su za bilo koji pozitivan broj ε zadovoljene sljedeće nejednakosti:
(4)
u .
Pokažimo da je broj a limit niza prema drugoj definiciji. To jest, trebamo pokazati da postoji takva funkcija da za sve pozitivne brojeve ε 1
i ε 2
zadovoljene su sljedeće nejednakosti:
(5)
u .
Neka su nam dva pozitivna broja: ε 1
i ε 2
. I neka je ε najmanji od njih: . Zatim ; ; . Iskoristimo ovo u (5):
.
Ali nejednakosti su zadovoljene za . Tada su nejednakosti (5) također zadovoljene za .
To jest, pronašli smo funkciju za koju su nejednakosti (5) zadovoljene za sve pozitivne brojeve ε 1
i ε 2
.
Prvi dio je dokazan.
Neka je sada broj a granica niza prema drugoj definiciji. To znači da postoji funkcija takva da za bilo koje pozitivne brojeve ε 1
i ε 2
zadovoljene su sljedeće nejednakosti:
(5)
u .
Pokažimo da je broj a limit niza prema prvoj definiciji. Da biste to učinili, morate staviti . Tada kada vrijede sljedeće nejednakosti:
.
Ovo odgovara prvoj definiciji s .
Ekvivalentnost definicija je dokazana.
Primjeri
Primjer 1
Dokaži to .
(1)
.
U našem slučaju;
.
.
Iskoristimo svojstva nejednakosti. Onda ako i , Onda
.
.
Zatim
u .
To znači da je broj granica zadanog niza:
.
Primjer 2
Koristeći se definicijom limita niza dokažite to
.
Zapišimo definiciju limita niza:
(1)
.
U našem slučaju, ;
.
Unesite pozitivne brojeve i:
.
Iskoristimo svojstva nejednakosti. Onda ako i , Onda
.
To jest, za bilo koji pozitivan, možemo uzeti bilo koji prirodni broj veći ili jednak:
.
Zatim
u .
.
Primjer 3
.
Uvodimo oznaku , .
Preobrazimo razliku:
.
Za prirodne n = 1, 2, 3, ...
imamo:
.
Zapišimo definiciju limita niza:
(1)
.
Unesite pozitivne brojeve i:
.
Onda ako i , Onda
.
To jest, za bilo koji pozitivan, možemo uzeti bilo koji prirodni broj veći ili jednak:
.
pri čemu
u .
To znači da je broj granica niza:
.
Primjer 4
Koristeći se definicijom limita niza dokažite to
.
Zapišimo definiciju limita niza:
(1)
.
U našem slučaju, ;
.
Unesite pozitivne brojeve i:
.
Onda ako i , Onda
.
To jest, za bilo koji pozitivan, možemo uzeti bilo koji prirodni broj veći ili jednak:
.
Zatim
u .
To znači da je broj granica niza:
.
Reference:
L.D. Kudrjavcev. Tečaj matematičke analize. Svezak 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolskog. Tečaj matematičke analize. Svezak 1. Moskva, 1983.
