Izgradnja Mercator projekcije. Mercator Map Mystery

U planinarenju i biciklizmu topografska je karta neizostavan pratilac istraživača. Jedan od zadataka kartografija(jedna od disciplina takve znanosti kao što je geodezija) je slika krivuljaste površine Zemlje (lik Zemlje) na ravnoj karti. Da biste riješili ovaj problem, morate odabrati elipsoidni- oblik trodimenzionalnog tijela, približno odgovara Zemljina površina, podatak- početna točka koordinatnog sustava (središte elipsoida) i početni meridijan (eng. nulti meridijan) i projekcija- način predstavljanja površine ovog tijela na ravnini.

Elipsoidi i datumi

U različito vrijeme za izradu karata korištene su različite mogućnosti predstavljanja Zemljine površine u obliku kugle ili elipsoida. .

Predstavljanje Zemlje kao kugle polumjera 6378137 metara (ili 6367600 metara) omogućuje vam da odredite koordinate bilo koje točke na zemljinoj površini u obliku dva broja - zemljopisne širine $\phi$ i zemljopisne dužine $\lambda$:

Za zemaljski elipsoid kao (geografska) širina koristi se pojam geodetska širina(Engleski) geodetska širina) φ je kut koji čine normala na površinu zemljinog elipsoida u danoj točki i ravnina njegova ekvatora , i normala ne prolazi središtem elipsoida osim za ekvator i polove:

Vrijednost zemljopisne dužine duljina) λ ovisi o izboru početnog (nultog) meridijana za elipsoid.
Kao parametri elipsoida obično se koristi polumjer glavne (ekvatorijalne) poluosi a i kompresije f .
Kontrakcija $f = ((a-b) \preko a)$ određuje sputanost elipsoida na polovima.

Jedan od prvih elipsoida bio je besselov elipsoid(Besselov elipsoid, Bessel 1841), utvrđen mjerenjima Friedricha Bessela 1841. ( Friedrich Wilhelm Bessel), s duljinom glavne poluosi a= 6377397,155 m i kompresije f = 1:299,152815 . Trenutno se koristi u Njemačkoj, Austriji, Češkoj te nekim azijskim i europskim zemljama.

podatak Potsdam (PD)

Prethodno, za izgradnju karata u projekciji UTM korišteni međunarodni elipsoid (Međunarodni elipsoid 1924, Hayfordov elipsoid) s duljinom glavne (ekvatorijalne) poluosi a= 6378388 m i kompresije f = 1:297,00 , koji je predložio američki geodet John Fillmore Hayford ( godine 1910.

John Fillmore Hayford

podatak ED50 (Europski datum 1950)

• elipsoid - Međunarodni elipsoid 1924
• Prvi meridijan Greenwicha)

Za obavljanje poslova u cijelom SSSR-u od 1946. (Uredba Vijeća ministara SSSR-a od 7. travnja 1946. br. 760) korišten je geodetski koordinatni sustav SK-42 (Pulkovo 1942.) na temelju elipsoid Krasovskog s duljinom velike (ekvatorijalne) poluosi a= 6378245 m i kompresije f= 1:298,3 . Ovaj referentni elipsoid nazvan je po sovjetskom astronomu-geodetu Feodosiju Nikolajeviču Krasovskom. Središte ovog elipsoida pomaknuto je u odnosu na središte mase Zemlje za oko 100 metara kako bi maksimalno odgovaralo Zemljinoj površini na europskom teritoriju SSSR-a.

podatak Pulkovo-1942. (Pulkovo 1942.)

• elipsoid - Krasovski ( Krasowsky 1940)
• nulti meridijan - Greenwich meridijan ( Prvi meridijan Greenwicha)

Trenutno (uključujući u sustavu GPS) je široko korišten elipsoid WGS84 (Svjetski geodetski sustav 1984.) s duljinom velike poluose a= 6378137 m, kompresija f = 1:298,257223563 i ekscentričnost e = 0,081819191 . Središte ovog elipsoida podudara se sa centrom mase Zemlje.

podatak WGS84 (EPSG:4326)

• elipsoid - WGS84
• Nulti meridijan - referentni meridijan (IERS referentni meridijan (međunarodni referentni meridijan)), prolazi 5,31″ istočno od Greenwichskog meridijana. Od tog meridijana u sustavu se mjeri zemljopisna dužina GPS(Engleski) GPS dužina)
  

Centar koordinatnog sustava WGS84 poklapa se sa centrom mase Zemlje, osi Z koordinatni sustav je usmjeren na referentni pol (Engleski) Referentno polje IERS-a (IRP)) a poklapa se s osi rotacije elipsoida, osi x prolazi duž linije presjeka nultog meridijana i ravnine koja prolazi kroz točku ishodišta i okomita na os Z, os Y os okomita x.

Alternativa elipsoidu WGS84 je elipsoid PZ-90 koristi u sustavu GLONASS, s duljinom glavne poluosi a= 6378136 m i kompresije f = 1:298,25784 .

Datumske transformacije

Uz najjednostavniju verziju prijelaza između datuma Pulkovo-1942 i WGS84 potrebno je uzeti u obzir samo pomak središta elipsoida Krasovskog u odnosu na središte elipsoida WGS84:
preporučuje se u GOST 51794-2001 —
dX= +00023,92 m; dY= -00141,27 m; dZ= -00080,91 m;
preporučuje se u Svjetski geodetski sustav 1984. NIMA, 2000 —
dX= +00028 m; dY= –00130 m; dZ= -00095 m.
Valja napomenuti da su gore navedene prosječne vrijednosti koeficijenata, koje je, radi preciznije pretvorbe, potrebno izračunati za svaku točku na zemljinoj površini pojedinačno. Na primjer, za Poljsku, susjednu Bjelorusiju, ovi parametri su sljedeći:
dX= +00023 m; dY= -00124 m; dZ= –00082 m (prema )
Takva transformacija se zove troparametarski.
Uz precizniju transformaciju ( transformacija Molodenskog) potrebno je uzeti u obzir razliku između oblika elipsoida, koju određuju dva parametra:
da- razlika između duljina glavnih poluosi, df je razlika između omjera kompresije (razlika u spljoštenju). Njihove vrijednosti su iste za GOST i NIMA:
da= – 00108 m; df= + 0,00480795 ⋅ 10 -4 m.

Prilikom kretanja između datuma ED50 i WGS84 opcije konverzije su:
da= – 00251 m; df= - 0,14192702 ⋅ 10 -4 m;
za Europu dX= -87 m; dY= -96 m; dZ= –120 m (prema Korisnički priručnik o datumskim transformacijama koje uključuju WGS-84, 3. izdanje, 2003. ).

Skup od navedenih pet parametara ( dX, dY, dZ, da, df) može se unijeti u navigator ili navigacijski program kao karakteristika datuma korisnika.

projekcije

Način prikazivanja trodimenzionalne zemljine površine na dvodimenzionalnoj karti određuje se odabranim projekcija karte.
Najpopularniji ( normalan) Cilindrična Mercatorova projekcija i takva raznolikost kao poprečna cilindrična Mercatorova projekcija (Poprečni Mercator).

Za razliku od normalne Mercatorove projekcije poznate stoljećima, koja je posebno dobra za prikaz ekvatorijalnih područja, poprečna projekcija razlikuje se po tome što je cilindar na koji se projicira površina planeta zakrenut za 90°:

Cilindrična Mercatorova projekcija

Sferna Mercatorova projekcija

Za sfernu projekciju primjenjuju se sljedeće formule za pretvaranje zemljopisne širine $\phi$ i zemljopisne dužine $\lambda$ točke na površini Zemljine sfere (u radijanima) u pravokutne koordinate $x$ i $y$ na karti (u metrima):
$x = (\lambda - (\lambda)_0) \cdot R$ ;
$y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot R =\ln ((\tan(((\phi \over 2) + (\pi \over 4) )) )) \cdot R$
(logaritamska tangentna formula) ,
gdje je $R$ polumjer kugle, $(\lambda)_0$ je geografska dužina početnog meridijana.
Faktor razmjera $k$ je omjer udaljenosti duž mreže karte (eng. rastojanje mreže) do lokalne (geodetske) udaljenosti (eng. geodetska udaljenost):
$k = (1 \preko (\cos \phi))$.
Obrnuti prijevod se provodi pomoću sljedećih formula:
$\lambda = (x \preko R) + (\lambda)_0 $ ;
$ \phi = (\pi \over 2) - 2 \arctan(e^(-y \over R)) $ .
Važna značajka Mercator projekcije za navigaciju je da rumba linija(Engleski) linije rumba) ili loxodrome (eng. loksodrom) prikazan je kao ravna linija.
Loksodrom je luk koji siječe meridijane pod istim kutom, t.j. put s konstantom ( loksodromski) kut kolosijeka.
Kut tla, PU(Engleski) naslov) je kut između sjevernog smjera meridijana na mjestu mjerenja i smjera staze, mjeren u smjeru kazaljke na satu od smjera geografskog sjevera (0° se koristi za označavanje smjera kretanja prema sjeveru, 90° prema istoku ).
Loksodromi su spirale koje čine neograničen broj zavoja, približavajući se polovima.

Valja napomenuti da loksodrom nije najkraći put između dvije točke − veliki krug, luk veliki krug povezujući ove točke .

Web Mercator

Varijantu Mercatorove sferne projekcije koriste mnoge kartografske usluge, npr. OpenStreetMap, Google Maps, Bing Maps.

NA OpenStreetMap karta svijeta je kvadrat s koordinatama točaka duž osi x i y koja leži između -20 037 508,34 i 20 037 508,34 m. Kao rezultat toga, takva karta ne prikazuje područja koja leže sjeverno od 85,051129 ° sjeverne geografske širine i južno od 85,051129 ° južne geografske širine. Ova zemljopisna širina $\phi_(max)$ rješenje je jednadžbe:
$\phi_(max) = 2\arctan(e^\pi) — (\pi\over 2) $ .
Kao i svaka karta sastavljena u Mercatorovoj projekciji, nju karakteriziraju izobličenja područja, koja su najizraženija pri usporedbi Grenlanda i Australije prikazanih na karti:

Prilikom crtanja karte OpenStreetMap koordinate (širina i dužina) na elipsoidu u sustavu WGS84 projiciraju se na ravninu karte kao da su te koordinate definirane na sferi polumjera R = a= 6 378 137 m(reprojekcija) - sferni prikaz elipsoidnih koordinata (" sferni razvoj elipsoidnih koordinata"). Ova projekcija, tzv Web Mercator) odgovara EPSG (European Petroleum Survey Group) kod 3857 (" WGS 84 / Pseudo-Mercator«).
Reprojekcija iz EPSG: 4326 u EPSG: 3857($\phi ,\lambda \rightarrow x,y $) se implementira korištenjem gornjih formula za uobičajenu sfernu Mercatorovu projekciju.
Na takvoj karti smjer prema sjeveru uvijek odgovara smjeru na gornju stranu karte, meridijani su okomite linije međusobno jednako razmaknute.
Ali takva projekcija, za razliku od sferne ili eliptične Mercatorove projekcije, nije p pod pravim kutom ( konforman), linije rumba u njemu nisu ravne. Rumba linija (loksodrom) je linija koja prelazi meridijane pod stalnim kutom.
Prednost razmatrane projekcije je jednostavnost izračuna.

U navedenoj projekciji karta se može nacrtati s pravokutnom mrežom koordinata (prema vrijednostima zemljopisne dužine i širine).
Vezivanje karte (usporedba pravokutnih koordinata na karti i geografskih koordinata na tlu) može se izvesti pomoću $N$ točaka s poznatim koordinatama. Za to je potrebno riješiti sustav od $2 N$ jednadžbi oblika
$X = \rho_(\lambda) \lambda - X_0$ , $Y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot \rho_(\phi) - Y_0 $.
Za rješavanje sustava jednadžbi i određivanje vrijednosti parametara $X_0$, $Y_0$, $\rho_(\lambda)$, $\rho_(\phi)$, na primjer, možete koristiti matematički paket Mathcad.
Da biste provjerili ispravnost povezivanja karte, možete odrediti omjer duljina stranica pravokutnika izgrađene mreže. Ako vodoravna i okomita strana pravokutnika odgovaraju istoj kutnoj duljini u zemljopisnoj dužini i širini, tada je omjer duljine vodoravne stranice (luka paralele - malog kruga) i duljine okomite stranice ( luk meridijana - veliki krug) trebao bi biti jednak $\cos \phi$ , gdje je $ \phi$ - geografska širina mjesta.

Eliptična Mercatorova projekcija

Eliptična Mercatorova projekcija ( EPSG: 3395 — WGS 84/Svjetski Mercator) koriste, na primjer, usluge Yandex karte,Svemirske slike.
Za eliptičnu projekciju primjenjuju se sljedeće formule za pretvaranje zemljopisne širine $\phi$ i zemljopisne dužine $\lambda$ točke na površini Zemljine sfere (u radijanima) u pravokutne koordinate $x$ i $y$ na karti (u metrima):
$x = (\lambda - (\lambda)_0) \cdot a$ ;
$y = a \ln (\tan ((\pi \preko 4) + (\phi \preko 2)) (((1 - e \sin (\phi)) \over (1 + e \sin (\phi) ))))^(e \preko 2)) $ ,
gdje je $a$ duljina glavne poluosi elipsoida, $e$ je ekscentricitet elipsoida, $(\lambda)_0$ je geografska dužina početnog meridijana.
Faktor skale $k$ je dan kao:
$k = ((\sqrt ((1 - (e^2) (((\sin \phi))^2)))) \over (\cos \phi)) $ .
Obrnuti prijevod se provodi pomoću sljedećih formula:
$\lambda = (x \preko a) + (\lambda)_0 $ ;
$ \phi = (\pi \over 2) - 2 \arctan(e^(-y \over a) (((1 - e \sin (\phi)) \over (1 + e \sin (\phi) )))^(e \preko 2)) $ .
Geografska širina se izračunava iterativnom formulom, a kao prvu aproksimaciju treba koristiti vrijednost zemljopisne širine izračunatu pomoću formule za sfernu Mercatorovu projekciju.

Poprečni cilindrični Mercator

Najčešće korištene dvije varijante poprečne cilindrične Mercatorove projekcije su Gauss-Krugerova projekcija (eng. Gauss-Kruger) (rasprostranjena na području bivšeg SSSR-a) i univerzalna poprečna Mercatorova projekcija (eng. Univerzalni poprečni Mercator (UTM)).
Za obje projekcije, cilindar na kojem se projekcija odvija zatvara zemaljski elipsoid duž meridijana tzv. središnji (aksijalni) meridijan ( Engleski središnji meridijan, ishodište zemljopisne dužine) zonama. Zona(Engleski) zona) je dio zemljine površine omeđen dvama meridijanima s razlikom u dužini od 6°. Ukupno ima 60 zona. Zone u potpunosti pokrivaju površinu Zemlje između geografskih širina 80°S i 84°N.
Razlika između dvije projekcije je u tome što je Gauss-Krugerova projekcija projekcija na tangentni cilindar, a univerzalna poprečna Mercatorova projekcija je projekcija na sekantni cilindar (kako bi se izbjegla izobličenja na krajnjim meridijanima):

Gauss-Krugerova projekcija

Gauss-Krugerovu projekciju razvili su njemački znanstvenici Carl Gauss i Louis Kruger.
U ovoj projekciji zone su numerirane od zapada prema istoku, počevši od meridijana 0°. Na primjer, zona 1 proteže se od meridijana 0° do meridijana 6°, njen središnji meridijan je 3°.
U sovjetskom sustavu rasporeda i nomenklature topografskih karata, zone se nazivaju stupcima i numeriraju se od zapada prema istoku, počevši od meridijana 180 °.
Na primjer, Gomel i njegova okolica pripadaju zoni 6 (stupac 36 ) sa središnjim meridijanom od 33°.
Zone / stupci podijeljeni su paralelama u retke (kroz 4 °), koji su označeni velikim slovima latiničnim slovima iz ALI prije V počevši od ekvatora do polova.
Na primjer, Gomel i njegova okolica pripadaju seriji N. Dakle, puni naziv lista karte u mjerilu 1:1 000 000 (10 km u 1 cm), koji prikazuje Gomel, izgleda kao N-36. Ovaj list je podijeljen na listove karata većeg razmjera:


Za Bjelorusiju i susjedne zemlje raspored je sljedeći:

Za određivanje položaja točke na topografskoj karti, na kartu se primjenjuje mreža pravokutnih koordinata x i Y izraženo u kilometrima. Formira ga sustav linija paralelnih sa slikom aksijalnog meridijana zone (okomite linije mreže, osi x) i okomito na njega (horizontalne linije mreže, osi Y).
Na karti razmjera 1:200 000, udaljenost između linija mreže je 4 km; na karti mjerila 1:100 000 - 2 km.
Koordinirati x je potpisan na okomitim rubovima lista karte i izražava udaljenost do ekvatora i koordinata Y je potpisan na vodoravnim rubovima lista karte i sastoji se od broja zone (prva jedna ili dvije znamenke vrijednosti) i položaja točke u odnosu na središnji meridijan zone (zadnje tri znamenke vrijednosti, pri čemu je središnjem meridijanu zone dodijeljena vrijednost od 500 km).


ulomak lista N36-123 sovjetskog topografska karta mjerilo 1:100 000

Na primjer, na ulomku karte iznad, natpis 6366 blizu okomite linije mreže znači: 6 - 6. zona, 366 - udaljenost u kilometrima od aksijalnog meridijana, uvjetno pomaknuta prema zapadu za 500 km, i natpis 5804 blizu vodoravne linije mreže znači udaljenost od ekvatora u kilometrima.

Univerzalni poprečni Mercator

Univerzalni poprečni Mercator ( UTM) razvio je američki inženjerski zbor ( Inženjerski zbor američke vojske) 1940-ih godina.

Za izradu karata u projekciji UTM prethodno korišteni elipsoid Međunarodna 1924. - neto UTM (međunarodni), a trenutno je elipsoid WGS84- neto UTM (WGS84).
U ovoj projekciji zone su numerirane od zapada prema istoku, počevši od meridijana od 180°.
Ovaj sustav koriste američka vojska i NATO. Oružane snage Sjedinjenih Država i NATO-a):

Svaka zona je podijeljena na vodoravne trake na svakih 8° zemljopisne širine. Ove trake su označene slovima, od juga prema sjeveru, počevši od slova C za zemljopisnu širinu 80° S i završava slovom x za zemljopisnu širinu 84° N. pisma ja i O izostavljen kako bi se izbjegla zabuna s brojevima 1 i 0. Traka označena slovom x, zauzima 12 ° geografske širine.
Zona u ovoj projekciji označena je brojem (eng. zonu geografske dužine) i slovo (kanal zemljopisne širine, eng. geografska zona):


Ova slika prikazuje dvije nestandardne zone zemljopisne dužine - zonu 32V proširen da pokrije cijelu južnu Norvešku i 31V skraćen da pokrije samo vode.
Za Gomel i okolicu zona je označena kao 36U sa središnjim meridijanom 33°:

Zona je prekrivena pravokutnom (kilometarskom) mrežom (mreža na univerzalnoj poprečnoj Mercatorovoj projekciji, SUPM):


Duljina stranice kvadrata mreže u gornjem fragmentu karte je 10 km.

Točka ishodišta koordinatnog sustava za svaku zonu određena je presjekom ekvatora i središnjeg meridijana zone.
Koordinirati E (Plovidba na istok) na takvoj mreži predstavlja udaljenost na karti od središnjeg meridijana u metrima (prema istoku - pozitivno, prema zapadu - negativno), čemu se dodaje + 500.000 metara (eng. lažni istok
Koordinirati N (Sjevernjavanje) na takvoj mreži predstavlja udaljenost na karti od ekvatora u metrima (na sjever - pozitivno, prema jugu - negativno), a u Južna polutka ova se udaljenost oduzima od 10.000.000 metara (eng. Lažna sjevernjača) kako bi se izbjegle negativne vrijednosti.
Na primjer, za donji lijevi kut kvadrata mreže na gornjoj karti koordinate su zapisane kao
36U(ili 36+ ) 380000 5810000 ,
gdje 36 — zonu geografske dužine, U — geografska zona, 380000 — plovidba na istok, 5810000 — sjevernjaci.

Pretvorite zemljopisnu širinu i dužinu u koordinate UTM objašnjeno na slici:

P- razmatrana točka
F- točka presjeka okomice, spuštena na središnji meridijan od točke P, sa središnjim meridijanom (točka na središnjem meridijanu s istim sjevernjaci, što je razmatrana točka P) . Geografska širina točke F(Engleski) zemljopisna širina) označava se kao $\phi ‘ $.
O- ekvator
oz- središnji meridijan
LP- paralelna točka P
ZP- meridijan točke P
OL = k 0 S- luk meridijana od ekvatora
OD = N — sjevernjaci
FP = E — plovidba na istok
GN— smjer prema sjeveru mreže karte (eng. mreža sjever)
C- kut konvergencije meridijana konvergencija meridijana) je kut između smjera pravog sjevera (eng. pravi sjever) i sjeverno od mreže karte

Prilikom transformacije pravokutnih koordinata ( x, Y) za Gauss-Krugerovu projekciju na elipsoid WGS84 u pravokutne koordinate ( N, E) za univerzalni transverzalni Mercator na istom elipsoidu WGS84 mora se uzeti u obzir faktor skaliranja. faktor skale) $k_0 = 0,9996 $:
$N = X \cdot k_0 $;
$ E = Y_0 + Y \cdot k_0 $ ,
gdje je $Y_0 = $500.000 metara.

Navedeni faktor skale $k_0 = 0,9996 $ vrijedi samo za središnji meridijan zone. Kako se udaljavate od aksijalnog meridijana, faktor skale se mijenja.

Bilješka. Pogreška čitanja koordinata s karte ( točnost georeferenciranja) obično se pretpostavlja da je ±0,2 mm. Upravo tu točnost imaju uređaji koji se koriste za izradu analogne karte.

geoid

Treba napomenuti da je točnija aproksimacija površine našeg planeta geoid(Engleski) geoid) je ekvipotencijalna površina zemljinog gravitacijskog polja, tj. površina geoida je svuda okomita na visak. Ali sila gravitacije određena je vektorskim zbrojem gravitacijske sile sa strane Zemlje i centrifugalne sile povezane s rotacijom Zemlje, tako da se potencijal gravitacije ne podudara s isključivo gravitacijskim potencijalom.
Geoid se poklapa s prosječnom razinom Svjetskog oceana, u odnosu na koju se upućuje visine iznad razine mora.
Geoid ima složen oblik, koji odražava raspodjelu masa unutar Zemlje, pa se za rješavanje geodetskih problema geoid zamjenjuje elipsoidom okretanja. Najsuvremeniji matematički model geoida je EGM2008, koji je zamijenio popularni model EGM96.

Nastavit će se.

Pogledaj ovu kartu i reci mi koje je područje veće: Grenland označen bijelom ili Australija narančastom bojom? Čini se da je Grenland barem tri puta veći od Australije.

No, gledajući u imenik, iznenadit ćemo se kad pročitamo da je područje Australije 7,7 milijuna km 2, a područje Grenlanda samo 2,1 milijun km 2. Dakle, Grenland se čini tako velikim samo na našoj karti, ali u stvarnosti jest manji od Australije otprilike tri i pol puta. Uspoređujući ovu kartu s globusom, možete vidjeti da što je teritorij udaljeniji od ekvatora, to je više rastegnut.

Karta koju razmatramo napravljena je pomoću projekcije karte, koju je u 16. stoljeću izumio flamanski znanstvenik Gerard Mercator. Živio je u doba kada su se preko oceana polagali novi trgovački putovi. Kolumbo je otkrio Ameriku 1492. i prvi plovidba pod vodstvom Magellana dogodio se 1519-1522 - kada je Mercator imao 10 godina. Otvorene zemlje su se morale kartirati, a za to je bilo potrebno naučiti kako prikazati okruglu Zemlju na ravnoj karti. A karte su morale biti izrađene na način da ih kapetani mogu koristiti.

A kako kapetan koristi kartu? Zacrta joj kurs. Navigatori 13.-16. stoljeća koristili su portolane - karte koje su prikazivale bazen Sredozemno more, kao i obale Europe i Afrike koje leže iza Gibraltara. Takve su karte bile označene mrežom rumba - linija stalnog smjera. Neka kapetan treba ploviti na otvorenom moru s jednog otoka na drugi. On nanosi ravnalo na kartu, određuje kurs (na primjer, "jug-jugoistok") i daje naredbu kormilaru da drži ovaj kurs prema kompasu.

Mercatorova ideja bila je zadržati princip iscrtavanja kursa na ravnalu i na karti svijeta. Odnosno, ako držite stalan smjer na kompasu, tada će put na karti biti ravan. Ali kako to učiniti? Tu u pomoć priskače matematika. Mentalno izrežite globus u uske trake duž meridijana, kao što je prikazano na slici. Svaka takva traka može se postaviti na ravninu bez puno izobličenja, nakon čega će se pretvoriti u trokutastu figuru - "klin" sa zakrivljenim stranama.

Međutim, globus u ovom slučaju ispada da je raščlanjen, a karta bi trebala biti čvrsta, bez rezova. Da bismo to postigli, svaki klin podijelimo na "gotovo kvadrate". Da bismo to učinili, od donje lijeve točke klina, nacrtamo segment pod kutom od 45 ° na desnu stranu klina, odatle nacrtamo vodoravni rez na lijevu stranu klina - odsiječemo prvi kvadrat. Od točke gdje rez završava, ponovno crtamo segment pod kutom od 45 ° na desnu stranu, zatim vodoravni ulijevo, odsijecajući sljedeći "gotovo kvadrat" i tako dalje. Ako je izvorni klin bio vrlo uzak, "bliski kvadrati" će se malo razlikovati od pravih kvadrata, jer će im stranice biti gotovo okomite.

Napravimo posljednje korake. Ispravimo "gotovo kvadrate" na sadašnjost kvadratni oblik. Kao što smo razumjeli, izobličenja se mogu učiniti proizvoljno malima smanjenjem širine klinova na koje smo izrezali globus. Postavit ćemo kvadrate uz ekvator na globusu u nizu. Na njih poredamo sve ostale kvadrate, rastegnuvši ih prije toga do veličine ekvatorijalnih kvadrata. Dobijte mrežu kvadrata iste veličine. Istina, u ovom slučaju paralele jednako udaljene na karti više neće biti jednako udaljene na globusu. Uostalom, što je izvorni kvadrat na globusu bio udaljeniji od ekvatora, to je bio veći porast kada se prenio na kartu.

No, kutovi između smjerova s ​​takvom konstrukcijom ostat će neiskrivljeni, jer se svaki kvadrat praktički mijenjao samo u mjerilu, a pravci se ne mijenjaju jednostavnim povećanjem slike. A upravo je to želio Mercator kad je osmislio svoju projekciju! Kapetan može iscrtati svoj kurs na karti duž ravnala i voditi svoj brod tim kursom. U tom slučaju, brod će ploviti duž linije koja ide pod istim kutom prema svim meridijanima. Ova linija se zove loksodromija .

Loksodromsko plivanje je vrlo prikladno jer ne zahtijeva nikakve posebne izračune. Istina, loksodrom nije najkraća crta između dvije točke na zemljinoj površini. Takva najkraća crta može se odrediti povlačenjem niti na globusu između ovih točaka.

Umjetnik Evgeny Panenko

Mercatorova projekcija

Konformnu cilindričnu projekciju prvi je predložio i primijenio nizozemski kartograf Mercator 1569. godine.

Da bismo izveli formule za ovu projekciju, prvo odredimo razmjer duž paralela u najjednostavnijoj od cilindričnih projekcija u tzv. kvadratnoj projekciji. U ovoj projekciji meridijani i paralele povučeni kroz isti broj stupnjeva u zemljopisnoj dužini i širini čine mrežu kvadrata na karti, a duljine duž svih meridijana i ekvatora su sačuvane (ekvidistantna projekcija).

Neka su PC0A0 i PD0B0 (slika 1) meridijani na globusu polumjera R s beskonačno malom zemljopisnom razlikom, a ravne linije neka

Riža. 1. Dva meridijana i dvije paralele na globusu i na karti u cilindričnoj projekciji

SA i DB - odgovarajući meridijani na karti u kvadratnoj projekciji.

Tada će beskonačno mali segment C0D0 proizvoljne paralele sa zemljopisnom širinom i polumjerom r na globusu odgovarati beskonačno malom segmentu CD na karti, a mjerilo duž paralele

CD = AB = A0 B0 ,

Gdje je A0B0 luk ekvatora.

Budući da je omjer lukova kružnica jednak omjeru njihovih polumjera, onda

Iz OS 0S", gdje OS 0S"= Imamo

Stoga,

Iz formule se može vidjeti da skala duž paralele u kvadratnoj projekciji varira od jedinice do beskonačnosti, te je jednaka jedinici na ekvatoru (at = 0°), a beskonačnosti u točki pola (at = 90° ). Pol u kvadratnoj projekciji bit će prikazan kao ravni segment jednake duljine s ekvatorom.

Sada, da bi ljestvica duž meridijana bila jednaka mjerilu uz paralele (m=n), tj. da bismo prešli s kvadratne projekcije na konformnu (od elipse distorzije u kružnice), potrebno je rastegnuti meridijani kvadratne projekcije u svakoj točki onoliko puta koliko se puta paralele ove projekcije povećavaju u odnosu na odgovarajuće paralele globusa, tj. u vremenima. Stoga, da bi se u prvoj aproksimaciji kvadratna kartografska mreža transformirala u kartografsku mrežu konformne projekcije, potrebno je pomnožiti segmente meridijana OA, AB, BC, itd. (slika 2) redom

Riža. 2. Pretvaranje kvadratne projekcije u konformnu cilindričnu

prema 1, 2, 3, itd., gdje su 1, 2, 3, redom, geografske širine središta ovih segmenata. Tada će meridijanski segment OS1 u konformnoj projekciji, koji odgovara segmentu OS u kvadratnoj projekciji, biti predstavljen izrazom

OS1 = OA1 + A1 B1, + B1C1 \u003d OA 1 + AB 2 + PRIJE KRISTA 3 ,

A budući da segmenti

OA = AB = BC,

OS 1 = OA (1 +2 +3).

Meridijanski segment OS 1 će se točnije odrediti, što se uzimaju manji segmenti koji ga čine, budući da rastezanje meridijana mora biti kontinuirano od ekvatora do ove paralele.

Najtočniji rezultat će se dobiti kada će se meridijanski segment D u Mercatorovoj projekciji sastojati od zbroja beskonačno veliki broj infinitezimima

,

Gdje Dx- beskonačno mali segment meridijana u kvadratnoj projekciji,

dd- infinitezimalni segment meridijana koji mu odgovara u konformnoj Mercatorovoj projekciji. Ali zbog postojanosti mjerila duž meridijana u kvadratnoj projekciji, segment

Zbroj beskonačno malih veličina u višoj matematici naziva se integral. Uzeti integral oba dijela jednakosti znači uzeti zbroj beskonačno malih vrijednosti tih dijelova jednakosti unutar određenih granica.

Integral izraza unutar vrijednosti zemljopisne širine od 0 do Zapišimo ovako

Kao rezultat integracije na lijevoj strani jednakosti, dobivamo meridijanski segment D; desna strana jednakosti je tablični integral jednak

Dakle, meridijanski segment

,

gdje je C konstanta integracije.

Vrijednost C mora biti konstantna za sve zemljopisne širine, pa se lako može odrediti uzimanjem = 0°. Na = 0°, paralela odgovara ekvatoru, za koji je D = 0, tj.

Stoga,

Prijelazom s prirodnog logaritma na decimalni logaritam i izražavanjem D u mjerilu glavne karte iu centimetrima, dobit ćemo konačnu radnu formulu za izračunavanje meridijanskog segmenta D u konformnoj cilindričnoj projekciji za loptu

(29)

Gdje Mod=0,4343.

Formula pokazuje da je meridijanski segment D za pol (= 90°) jednak beskonačnosti, tj. pol nije prikazan na karti u ovoj projekciji.

Uzimajući Zemlju kao elipsoid, imat ćemo formulu

(30)

gdje je a polumjer ekvatora zemljinog elipsoida (izražen u metrima),

U je ista vrijednost kao u formuli (22) konformne konusne projekcije.

Udaljenosti između meridijana u konformnoj projekciji, kao i u kvadratnoj projekciji, određuju se formulom

Gdje je izraženo u radijanskoj mjeri. Uzimajući Zemlju kao elipsoid i izražavajući je na glavnoj skali karte iu centimetrima, imat ćemo

Ova formula se često piše kao

(31)

Gdje Na- udaljenost od srednjeg meridijana karte do utvrđenog,

° je razlika između dužine srednjeg i definiranog meridijana, izražena u stupnjevima, °=57°.3.

Očito je da će se izobličenja u konformnoj cilindričnoj projekciji na tangentni cilindar izraziti formulama

(32)

Za izračunavanje meridijanskih segmenata D, ordinata y i mjerila u konformnoj cilindričnoj projekciji na sekantni cilindar, radne formule će izgledati ovako

(34)

(35)

(37)

gdje je r0 polumjer presjeka paralelnog sa zemljopisnom širinom 0 na zemljinom elipsoidu,

r-radijus paralele sa zemljopisnom širinom na zemljinom elipsoidu, koji se koristi za određivanje mjerila,

mjerilo glavne karte,

° - razlika između dužine srednjeg i utvrđenog meridijana, izražena u stupnjevima.

Mreža karte u Mercatorovoj projekciji

Za izgradnju kartografske mreže u Mercatorovoj projekciji i iscrtavanje kontrolnih točaka na karti koja se sastavlja potrebno je poznavati pravokutne koordinate (odsječak meridijana D i ordinata y) točaka presjeka meridijana te paralela i kontrolnih točaka.

Vrijednost D u odnosu na argument zemljopisne širine, prosjek se bira iz posebnih tablica koje je sastavio Hidrografski odjel Mornarice, a vrijednost y izračunava se po formuli (35).

Za ishodište koordinata na morskim kartama uzima se točka presjeka srednjeg meridijana i glavne paralele morskog bazena za koju se sastavljaju karte. Ova paralela je paralela presjeka, a ljestvica duž nje jednaka je jedan.

Poznavajući pravokutne koordinate vrhova uglova okvira lista karte, dimenzije stranica ovog okvira nalaze se kao razlika između meridijanskih segmenata D za južnu i sjevernu paralelu i razlika između vrijednosti od y za zapadne i istočne meridijane. Prema pronađenim dimenzijama stranica gradi se pravokutnik (unutarnji okvir lista) koji će biti osnova za konstruiranje međumeridijana i paralela karte, kao i za crtanje uporišta.

Meridijani i paralele u Mercatorovoj projekciji prikazani su kao paralelne i međusobno okomite linije, stoga je za njihovu konstrukciju dovoljno odrediti meridijanske segmente D. Za točke presjeka paralela karte s osi X i y -ordinate za točke presjeka meridijana karte s osom Y. Kada se pronađu ove vrijednosti, odredite razlike D - Dyu i y - y3 za naznačene točke. Ovdje je Dyu meridijanski segment južne paralele, a uz je ordinata zapadnog meridijana. Te se razlike talože s vrha jugozapadnog kuta okvira duž zapadne i južne strane, a linije se povlače kroz točke taloženja, paralelne s južnom, odnosno bočnom stranom, što će biti paralele i meridijani karta.

Slika 3 Kartografska mreža u konformnoj cilindričnoj projekciji (Mercator)

Na sl. 3 prikazuje kartografsku mrežu u konformnoj cilindričnoj projekciji (na tangentnom cilindru) za sliku globus. Vrijednosti skale u ovoj projekciji date su u tablici 4.

Tablica 4

Skala u konformnoj cilindričnoj Mercatorovoj projekciji.

Zbog činjenice da je Mercatorova projekcija konformna, a meridijani su u njoj prikazani kao paralelne linije, ona ima jednu izvanredno svojstvo: pravac koja siječe sve meridijane pod istim kutom nacrtana je u ovoj projekciji kao ravna crta. Ova linija se zove loksodrom. Plovilo u pokretu, ako uz pomoć kompasa drži isti kurs, zapravo se kreće duž loksodroma. Ovo svojstvo Mercatorove projekcije dovelo je do njegove široke upotrebe za nautičke karte.

Riža. 4. Ortodromija i loksodrom na karti u Mercatorovoj projekciji

Ortodromija i loksodromija

Na karti ucrtanoj u Mercatorovoj projekciji lako je i jednostavno označiti putanju plovila i odrediti njegov stalan hod, odnosno smjer u kojem se mora kretati da bi došlo s jedne točke na drugu. Stalni kurs broda određuje se mjerenjem kutomjera kuta između ravne linije koja povezuje ove točke na karti i jednog od meridijana.

Međutim, treba napomenuti da s velikom razmakom između točaka A i B (slika 4), loksodrom na kugli značajno odstupa od ortodroma (najkraća udaljenost između ovih točaka), što u projekciji

Riža. 5. Ortodromija i loksodrom između New Yorka i Moskve na karti u projekciji Mercatora.

Mercator je predstavljen zakrivljenom linijom. U tom slučaju navigator upravlja brodom ne jednim kursom, već nekoliko, mijenjajući smjer kretanja u određenim točkama (a i b). U tom slučaju, put broda bit će prikazan na karti u obliku isprekidanih linija tetiva upisanih u veliki krug. U odnosu na sliku, brod od točke A do točke ALI ići će ispod azimuta od točke ALI do točke b - ispod azimuta, od točke b do krajnje točke B - ispod azimuta.

Radi jasnoće, može se naznačiti (slika 5) da je između New Yorka i Moskve duljina ortodroma 7507 km, a loksodroma 8371 km, tj. razlika između njihovih duljina je 864 km. Najveća udaljenost loksodromskih točaka od ortodroma ovdje doseže 1650 km.

Druga pogodnost Mercatorove projekcije u njezinoj primjeni za nautičke karte je to što vam omogućuje da jednostavno, s dovoljnom točnošću za vježbanje, odredite udaljenosti u nautičkim miljama na karti bez pribjegavanja izradi posebnih mjerila, već koristeći samo podjele (u stupnjevima ili minuta) otisnute na bočnim stranama okvira kartice. Nautička milja je 1852 m, što je približno jednako prosječnoj duljini meridijanskog luka od jedne minute.

Ako je, na primjer, na karti potrebno odrediti udaljenost AB u nautičkim miljama (slika 42), tada, nakon uklanjanja segmenta AB otopinom kompasa, nanesite kompas na najbližu bočnu stranu okvira karte tako da da je sredina segmenta - točka C - na prosječnoj širini točaka A i B (u točki C1). Broj meridijanskih minuta izračunat unutar ovog segmenta izrazit će udaljenost AB u nautičkim miljama (na slici 6 segment AB = 215 milja).

Zaključno, treba napomenuti da se pri sastavljanju topografskih i geodetskih topografskih karata različitih mjerila kao kartografski materijal naširoko koriste razne morske karte sastavljene u konformnoj cilindričnoj projekciji. Stoga je poznavanje značajki ove projekcije od velike praktične važnosti.

Riža. 6. Određivanje udaljenosti AB u miljama na karti u Mercatorovoj projekciji

Vježba

Izračunajte meridijanski segment D i ordinatu "y" u konformnoj cilindričnoj projekciji na tangentni cilindar za točku c zemljopisne koordinate= 30°, 35° (od srednjeg meridijana uzetog kao os X) na = 1:5000000. Elipsoid Krasovskog.

Konformna cilindrična projekcija - 5.0 od 5 na temelju 1 glasa

Omogućuje vam preklapanje kontura zemalja na drugim područjima, uzimajući u obzir kompenzaciju izobličenja Mercator projekcije. Ova je projekcija nekoć stvorena za navigacijske svrhe – da bi se pružila točna međusobnog dogovora teritorije po osovinama "sjever - jug" i "zapad - istok". Međutim, to ima svoj nedostatak - što je bliže polovima, to je veće izobličenje. Ostale projekcije također imaju ozbiljna izobličenja. Zato je naša percepcija geografska karta također je značajno iskrivljena – recimo, Grenland na projekcijskoj karti Mercatora zauzima površinu tri puta veću od Australije, iako je u stvarnosti 3,5 puta manji (!). I što je bliže ekvatoru, to je relativna veličina zemalja manja.

Općenito, na ovoj stranici možete raditi sve vrste znatiželjnih trikova i gledati metamorfoze različite zemlje u preklapanju. Čak je iznenađujuće da se takva stranica nije pojavila prije - osnovna ideja je tako dobra. Ponekad se postižu nevjerojatni efekti koji razbijaju uobičajene obrasce. Osim toga, zemlja se može rotirati u krug, pri čemu će se u obzir uzeti i kompenzacija projekcije.

Pogledajmo neke od učinaka.
Evo, na primjer, prekrivač na indonezijskim otocima nekih europskih zemalja. Pogledajte kako prilično skromna Francuska izgleda na Kalimantanu (desno). Češka se nalazi iznad južne Malezije i Singapura (u sredini), a na lijevoj strani je Norveška na Sumatri. Vrlo duga u europskim razmjerima, zapravo je tek nešto duža od Sumatre.

2. Kina u istočnoj Euroaziji. Ako to popraviš zapadna granica na liniji Tallinn-Prag, tada će istok (Mandžurija) biti istočno od Novosibirska, a poluotok Liaodong će biti negdje u regiji Astane. Hainan će biti u središnjem Iranu.

3. Australija u istočnoj Euroaziji. Tu se najjasnije vidi kompenzacija Mercatorove projekcije: ona se proteže od Münchena do Čeljabinska, a još više od juga prema sjeveru. Ovdje možete vidjeti kolika su kolosalna pustinjska područja u Australiji - ništa manje od sibirskih hladnih prostranstava, jer su tamo manje-više nastanjeni samo jugoistok i uzak pojas na zapadu.

4. Meksiko o Europi. Od francuskog Bresta gotovo do Nižnjeg Novgoroda. A meksička Kalifornija proteže se od Normandije do Venecije.

5. Indonezija u istočnoj Euroaziji. Duljina otoka jednaka je udaljenosti od Sjeverne Irske do središnjeg Kazahstana, a sam Kalimantan lako pokriva cijeli Baltik s ruskim sjeverozapadom.

6. Sjedinjene Američke Države u istočnoj Euroaziji. Od Tallinna - više nego do Krasnojarska!

7. Kazahstan o Europi. Također, općenito, vrlo solidno: od zapada Francuske gotovo do Harkova. Pokriva veći dio kontinentalne Europe.

8. Iran u sjevernoj Europi: od norveških Lofota do Kazana :)

9. Vijetnam o europskoj Rusiji. Vertikalno, ona je ekvivalentna udaljenosti vlaka br. 7 Lenjingrad - Sevastopolj, ali također ništa horizontalno: od Moskve do Čeljabinska, štoviše, zakrivljena je.

Ostale zanimljive usporedbe.

10. Kamčatka i Velika Britanija. Sasvim mala: od rta Lopatka do Palane.

11. Estonija kao trećina Liberije, koja je u principu mala.

12. Austrija, Mađarska, Belgija na Madagaskaru.

Pogledajmo sada ekvivalente Rusije.

13. Rusija o Australiji. Ako je Perth u regiji Makhachkala, onda je Melbourne negdje blizu Barnaula. Čvrsto. Ali ipak, Rossiyushka se proteže gotovo do Fidžija.

14. Rusija u Africi. Kuban u regiji Južne Afrike (Novorossiysk kao Cape Town) - Kamčatka seže do juga Anadolije, otprilike gdje je Antalya.

15. Rusija na Južna Amerika. Ako je Tierra del Fuego otprilike tamo gdje je Čečenija, onda je Kamčatka u kolumbijskoj regiji, a Čukotka sjeverno od Panamskog kanala. Vidite li koliko je naša zemlja kolosalna? Više od cijelog kontinenta.

16. Rusija na Sjeverna Amerika. San Francisco u regiji Krim - Čukotka je gotovo blizu Irske. Usput, ovdje možete jasno vidjeti veličinu oceanskih prostranstava sjevernog Atlantika.

17. Luksemburg u Sankt Peterburgu. Nije tako malo :)

18. Na ovom teritoriju (Bangladeš, označeno plavom bojom) - živi 168 milijuna ljudi !!! Možete li zamisliti gustoću naseljenosti? I nije ugodno umjerena klima i vlažna tropska džungla i kanali Gangesa i Brahmaputre...

19. I za desert - Čile uz Transsibirsku željeznicu. Kao što vidite, uskom trakom pokriva udaljenost od Moskve do Bajkala.

Evo nekoliko zanimljivih usporedbi :)