Építs 4 csodálatos háromszög pontot. Kutatómunka „A háromszög figyelemre méltó pontjai
Az első két tételt jól ismeri, a másik kettőt be fogjuk bizonyítani.
1. tétel
Egy háromszög három felezőpontja metszik egy pontban, ami van a beírt kör középpontja.
Bizonyíték
azon alapul, hogy egy szög felezője a szög oldalaitól egyenlő távolságra lévő pontok helye.
2. tétel
A háromszög oldalaira merőleges három felező egy pontban metszi egymást, amely a körülírt kör középpontja.
Bizonyíték
azon alapul, hogy egy szakasz merőleges felezőpontja a szakasz végeitől egyenlő távolságra lévő pontok helye.
3. tétel
Három magasság vagy három egyenes, amelyen a háromszög magasságai egy pontban metszik egymást. Ezt a pontot hívják ortocentrum háromszög.
Bizonyíték
Az ABC háromszög csúcsain keresztül a szemközti oldalakkal párhuzamos egyeneseket húzunk.
A metszéspontban egy `A_1 B_1 C_1` háromszög jön létre.
Szerkezetileg az "ABA_1C" paralelogramma, tehát "BA_1 = AC". Hasonlóképpen megállapítható, hogy `C_1B = AC`, ezért `C_1B = AC`, a `B` pont a `C_1A_1` szegmens közepe.
Ugyanígy látható, hogy a „C” a „B_1A_1” közepe, az „A” pedig a „B_1 C_1” közepe.
Legyen "BN" az "ABC" háromszög magassága, majd az "A_1 C_1" szakasznál a "BN" egyenes a merőleges felezőszög. Ebből következik, hogy az a három egyenes, amelyen az "ABC" háromszög magassága fekszik, az "A_1B_1C_1" háromszög három oldalának felező merőlegese; és az ilyen merőlegesek egy pontban metszik egymást (2. tétel).
Ha a háromszög hegyesszögű, akkor a magasságok mindegyike egy szakasz, amely összeköti a csúcsot és az ellenkező oldalon lévő pontot. Ebben az esetben a "B" és "N" pontok az "AM" egyenes által alkotott különböző félsíkban helyezkednek el, ami azt jelenti, hogy a "BN" szakasz metszi az "AM" egyenest, a metszéspont pedig a "BN" magasságban van. , azaz a háromszög belsejében fekszik.
Egy derékszögű háromszögben a magasságok metszéspontja a derékszög csúcsa.
4. tétel
Egy háromszög három mediánja egy pontban metszik egymást, és a csúcstól számítva 2:1 arányban osztják el a metszésponttal. Ezt a pontot a háromszög súlypontjának (vagy tömegközéppontjának) nevezzük.
Ennek a tételnek különféle bizonyításai vannak. Mutassunk be egyet, amely Thalész tételén alapul.
Bizonyíték
Legyen „E”, „D” és „F” az „ABC” háromszög „AB”, „BC” és „AC” oldalainak felezőpontja.
Rajzoljuk meg az „AD” mediánt az „E” és „F” pontokon keresztül párhuzamos egyenes vonalai vannak "EK" és "FL". Thalész tétele szerint `BK = KD` `(/_ABC`, E K ‖ A D) EK\|AD) és `DL = LC` `(/_ACB`, A D ‖ F L) AD\| FL). De "BD = DC = a//2", tehát "BK = KD = DL = LC = a//4". Ugyanezzel a tétellel `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, N K ‖ M D ‖ F L) NK\| MD\| FL) , tehát "BM = 2MF".
Ez azt jelenti, hogy az AD mediánnal való metszéspont 'M' pontjában a BF mediánt a csúcstól számítva 2:1 arányban osztották fel.
Bizonyítsuk be, hogy a medián `AD` az `M` pontban azonos arányban oszlik meg. Az indoklás hasonló.
Ha figyelembe vesszük a "BF" és "CE" mediánokat, akkor azt is megmutathatjuk, hogy metszik egymást azon a ponton, ahol a "BF" medián 2:1 arányban van osztva, azaz ugyanabban az "M" pontban. És ezen a ponton a CE medián is fel lesz osztva a 2:1 arányban, a csúcstól számítva.
© Kugusheva Natalya Lvovna, 2009 Geometria, 8. osztály, HÁROMSZÖG NÉGY FIGYELMEZTETŐ PONT
A háromszög mediánjainak metszéspontja A háromszög felezőinek metszéspontja A háromszög magasságainak metszéspontja A háromszög merőleges felezőinek metszéspontja
A háromszög mediánja (BD) az a szakasz, amely összeköti a háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával. A B C D Medián
A háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást (a háromszög súlypontja), és ezzel a ponttal osztják el 2:1 arányban, a csúcstól számítva. AM: MA 1 = VM: MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1
A háromszög felezője (A D) a háromszög belső szögének felező szakasza.
Egy kidolgozatlan szög felezőjének minden pontja egyenlő távolságra van az oldalaitól. Megfordítva: minden olyan pont, amely egy szögön belül helyezkedik el, és egyenlő távolságra van a szög oldalaitól, a szögfelezőjén fekszik. A M B C
A háromszög minden felezőpontja egy pontban metszi egymást - a háromszögbe írt kör középpontjában. C B 1 M A V A 1 C 1 O A kör sugara (OM) a középpontból (TO) a háromszög oldalára ejtett merőleges
MAGASSÁG A háromszög magassága (C D) a háromszög csúcsából a szemközti oldalt tartalmazó egyenesre húzott merőleges szakasz. A B C D
A háromszög magasságai (vagy kiterjesztéseik) egy pontban metszik egymást. A A 1 B B 1 C C 1
KÖZÉPSŐ MÉRŐ A felező merőleges (DF) a háromszög oldalára merőleges és azt felező egyenes. A D F B C
A M B m O A szakaszra merőleges felező (m) minden pontja egyenlő távolságra van ennek a szakasznak a végeitől. Megfordítva: egy szakasz végeitől egyenlő távolságra lévő minden pont a rá merőleges felezőn fekszik.
A háromszög oldalainak összes merőleges felezője egy pontban metszi egymást - a háromszögre körülírt kör középpontjában. A B C O A körülírt kör sugara a kör középpontja és a háromszög bármely csúcsa közötti távolság (OA). m n p
Tanulói feladatok Készítsen körző és vonalzó segítségével egy tompa háromszögbe írt kört. Ehhez: Szerkesszünk felezőket egy tompa háromszögben körző és vonalzó segítségével. A felezők metszéspontja a kör középpontja. Szerkesszük meg a kör sugarát: a kör középpontjából merőleges a háromszög oldalára. Szerkesszünk egy kört a háromszögbe írva!
2. Iránytű és vonalzó segítségével alkoss egy tompa háromszöget körülvevő kört! Ehhez: Szerkesszünk merőleges felezőket a tompa háromszög oldalaira. Ezeknek a merőlegeseknek a metszéspontja a körülírt kör középpontja. A kör sugara a középpont és a háromszög bármely csúcsa közötti távolság. Szerkesszünk kört a háromszög köré.
A Szverdlovszki Régió Általános és Szakmai Oktatási Minisztériuma.
Jekatyerinburg Városi Oktatási Intézménye.
Oktatási intézmény – MOUSOSH 212. sz. „Jekatyerinburgi Kulturális Líceum”
Oktatási terület – matematika.
Tárgy - geometria.
A háromszög figyelemre méltó pontjai
Referencia: 8. osztályos tanuló
Szelickij Dmitrij Konstantinovics.
Tudományos tanácsadó:
Rabkanov Szergej Petrovics.
Jekatyerinburg, 2001
Bevezetés 3
Leíró rész:
Orthocenter 4
Icenter 5
Súlypont 7
Circumcenter 8
Euler vonal 9
Gyakorlati rész:
Ortocentrikus háromszög 10
11. következtetés
Hivatkozások 11
Bevezetés.
A geometria egy háromszöggel kezdődik. A háromszög két és fél évezred óta a geometria szimbóluma. Új tulajdonságait folyamatosan fedezik fel. A háromszög összes ismert tulajdonságáról beszélni sok időt vesz igénybe. Érdekelt az ún. Csodálatos pontok háromszög." Ilyen pontokra példa a felezők metszéspontja. Az a figyelemre méltó, hogy ha veszünk három tetszőleges pontot a térben, háromszöget alkotunk belőlük és felezőket rajzolunk, akkor ezek (a felezők) egy pontban metszik egymást! Úgy tűnik, ez nem lehetséges, mert tetszőleges pontokat vettünk, de ez a szabály mindig érvényes. Más „figyelemre méltó pontok” hasonló tulajdonságokkal rendelkeznek.
A témával kapcsolatos szakirodalom elolvasása után rögzítettem magamnak öt csodálatos pont és egy háromszög definícióit és tulajdonságait. De a munkám ezzel nem ért véget; magam akartam felfedezni ezeket a pontokat.
Ezért cél Ez a munka a háromszög néhány figyelemre méltó tulajdonságának tanulmányozása, valamint egy ortocentrikus háromszög tanulmányozása. E cél elérése során a következő szakaszok különböztethetők meg:
Irodalom válogatás, tanári segítséggel
A háromszög figyelemreméltó pontjainak és egyeneseinek alapvető tulajdonságainak tanulmányozása
Ezen tulajdonságok általánosítása
Ortocentrikus háromszöggel kapcsolatos feladat felvázolása és megoldása
A kutatási munkában elért eredményeket bemutattam. Az összes rajzot számítógépes grafikával (CorelDRAW vektorgrafikus szerkesztő) készítettem.
Orthocenter. (Magasságok metszéspontja)
Bizonyítsuk be, hogy a magasságok egy pontban metszik egymást. Vigyük át a csúcsokon A, BAN BENÉs VAL VEL háromszög ABC az ellenkező oldalakkal párhuzamos egyenesek. Ezek a vonalak háromszöget alkotnak A 1 BAN BEN 1 VAL VEL 1 . a háromszög magassága ABC a háromszög oldalaira merőleges felezők A 1 BAN BEN 1 VAL VEL 1 . ezért egy pontban metszik egymást - a háromszög körülírt körének középpontjában A 1 BAN BEN 1 VAL VEL 1 . A háromszög magasságainak metszéspontját ortocentrumnak nevezzük ( H).
Az Icentre a beírt kör középpontja.
(A felezők metszéspontja)
Bizonyítsuk be, hogy egy háromszög szögfelezői ABC egy pontban metszik egymást. Fontolja meg a lényeget RÓL RŐL szögfelező metszéspontjai AÉs BAN BEN. Az A szög felezőjének bármely pontja egyenlő távolságra van az egyenesektől ABÉs AC, és a szögfelező bármely pontja BAN BEN egyenlő távolságra az egyenesektől ABÉs Nap, szóval pont RÓL RŐL egyenlő távolságra az egyenesektől ACÉs Nap, azaz a szögfelezőn fekszik VAL VEL. pont RÓL RŐL egyenlő távolságra az egyenesektől AB, NapÉs SA, ami azt jelenti, hogy van egy kör középpontjával RÓL RŐL, érinti ezeket a vonalakat, és az érintési pontok magukon az oldalakon fekszenek, nem pedig a meghosszabbításukon. Valójában a csúcsok szögei AÉs BAN BEN háromszög AOBéles ezért vetítési pont RÓL RŐL közvetlenül AB a szegmensen belül fekszik AB.
A bulikra NapÉs SA a bizonyíték hasonló.
A központnak három tulajdonsága van:
Ha a szögfelező folytatása VAL VEL metszi egy háromszög körülírt körét ABC azon a ponton M, Azt MA=MV=MO.
Ha AB- egyenlő szárú háromszög alapja ABC, majd a szög oldalait érintő kör DIA pontokon AÉs BAN BEN, áthalad a ponton RÓL RŐL.
Ha egy ponton átmenő egyenes RÓL RŐL oldalával párhuzamosan AB, keresztezi az oldalakat NapÉs SA pontokon A 1 És BAN BEN 1 , Azt A 1 BAN BEN 1 =A 1 BAN BEN+AB 1 .
Gravitáció középpontja. (A mediánok metszéspontja)
Bizonyítsuk be, hogy a háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást. Ehhez vegye figyelembe a lényeget M, ahol a mediánok metszik egymást AA 1 És BB 1 . rajzoljunk háromszöget BB 1 VAL VEL középvonal A 1 A 2 , párhuzamos BB 1 . Akkor A 1 M: AM=BAN BEN 1 A 2 :AB 1 =BAN BEN 1 A 2 :BAN BEN 1 VAL VEL=VA 1 :NAP=1:2, azaz medián metszéspont BB 1 És AA 1 osztja a mediánt AA 1 1:2 arányban. Hasonlóképpen a mediánok metszéspontja SS 1 És AA 1 osztja a mediánt AA 1 1:2 arányban. Ezért a mediánok metszéspontja AA 1 És BB 1 egybeesik a mediánok metszéspontjával AA 1 És SS 1 .
Ha egy háromszög mediánjainak metszéspontja össze van kötve a csúcsokkal, akkor a háromszögeket három egyenlő területű háromszögre osztjuk. Valóban elég bizonyítani, hogy ha R– a medián bármely pontja AA 1 háromszögben ABC, majd a háromszögek területei AVRÉs ACP egyenlőek. Végül is mediánok AA 1 És RA 1 háromszögekben ABCÉs RVS vágjuk őket egyenlő területű háromszögekre.
A fordított állítás is igaz: ha valamikor R, a háromszög belsejében fekszik ABC, háromszögek területe AVR, SZERDÁNÉs SAR akkor egyenlők R– mediánok metszéspontja.
A metszéspontnak van még egy tulajdonsága: ha bármilyen anyagból kivágunk egy háromszöget, mediánokat rajzolunk rá, a mediánok metszéspontjára egy rudat rögzítünk, és a felfüggesztést háromlábú állványra rögzítjük, akkor a modell (háromszög) egyensúlyi állapot, ezért a metszéspont nem más, mint a háromszög súlypontja.
A körülírt kör középpontja.
Bizonyítsuk be, hogy van olyan pont, amely egyenlő távolságra van a háromszög csúcsaitól, vagy más szóval, hogy van egy kör, amely áthalad a háromszög három csúcsán. A pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok helye AÉs BAN BEN, merőleges a szakaszra AB, áthalad a közepén (a szakaszra merőleges felező AB). Fontolja meg a lényeget RÓL RŐL, amelyben a szakaszokra mutató merőlegesek felezőszögei metszik egymást ABÉs Nap. Pont RÓL RŐL pontoktól egyenlő távolságra AÉs BAN BEN, valamint pontokból BAN BENÉs VAL VEL. ezért egyenlő távolságra van a pontoktól AÉs VAL VEL, azaz a szakaszra merőleges felezőn is fekszik AC.
Központ RÓL RŐL a körülírt kör csak akkor van egy háromszögön belül, ha a háromszög hegyes. Ha a háromszög derékszögű, akkor a pont RÓL RŐL egybeesik a hipotenusz közepével, és ha a szög a csúcsban van VAL VEL tompa majd egyenes AB elválasztja a pontokat RÓL RŐLÉs VAL VEL.
A matematikában gyakran megesik, hogy a teljesen eltérő módon meghatározott objektumok azonosak. Mutassuk meg ezt egy példával.
Hadd A 1 , BAN BEN 1 ,VAL VEL 1 – az oldalak felezőpontjai Nap,SAés AB. Bizonyítható, hogy háromszögek körülírt körei AB 1 VAL VEL, A 1 Nap 1 És A 1 BAN BEN 1 VAL VEL 1 egy pontban metszik egymást, és ez a pont a háromszög körbefutó középpontja ABC. Tehát két teljesen különböző pontunk van: a háromszög oldalaira merőleges felezők metszéspontja ABCés a háromszögek körülírt köreinek metszéspontja AB 1 VAL VEL 1 , A 1 NapÉs A 1 BAN BEN 1 VAL VEL 1 . de kiderül, hogy ez a két pont egybeesik.
Euler egyenes.
A háromszög figyelemreméltó pontjainak legcsodálatosabb tulajdonsága, hogy némelyikük bizonyos kapcsolatokon keresztül kapcsolódik egymáshoz. Például a súlypont M, ortocentrum Nés a körülírt kör középpontja RÓL RŐL fekszenek ugyanarra az egyenesre, és az M pont úgy osztja el az OH szakaszt, hogy az összefüggés érvényes legyen OM:MN=1:2. Ezt a tételt Leonardo Euler svájci tudós igazolta 1765-ben.
Ortocentrikus háromszög.
Ortocentrikus háromszög(ortoháromszög) egy háromszög ( MNNAK NEK), amelynek csúcsai ennek a háromszögnek a magassági alapjai ( ABC). Ennek a háromszögnek számos érdekes tulajdonsága van. Adjunk egyet közülük.
Ingatlan.
Bizonyít:
Háromszögek AKM, CMNÉs FELSZAKADOZOTT FELHŐZET háromszöghöz hasonló ABC;
Egy merőleges háromszög szögei MNK vannak: L KNM = π - 2 L A,LKMN = π – 2 L B, L MNK = π - - 2 L C.
Bizonyíték:
Nekünk van AB kötözősaláta A, A.K. kötözősaláta A. Ennélfogva, A.M./AB = A.K./A.C..
Mert háromszögeknél ABCÉs AKM sarok A– közös, akkor hasonlóak, amiből arra következtetünk, hogy a szög L AKM = L C. Ezért L BKM = L C. Következő nálunk L MKC= π/2 – L C, L NKC= π/2 – – – L C, azaz SK– szögfelező MNK. Így, L MNK= π – 2 L C. A fennmaradó egyenlőségeket hasonlóképpen bizonyítjuk.
Következtetés.
A kutatómunka végén a következő következtetések vonhatók le:
A háromszög nevezetes pontjai és vonalai a következők:
ortocentrum a háromszög magasságainak metszéspontja;
andcentre háromszög a felezők metszéspontja;
gravitáció középpontja egy háromszögnek a mediánjainak metszéspontja;
circumcenter– a felezőmerőlegesek metszéspontja;
Euler egyenes- ez az az egyenes, amelyen a körülírt kör súlypontja, ortocentruma és középpontja fekszik.
Egy ortocentrikus háromszög egy adott háromszöget három hasonlóra oszt.
Miután megtette ez a munka, Sokat tanultam a háromszög tulajdonságairól. Ez a munka a matematikai ismereteim fejlesztése szempontjából volt releváns számomra. A jövőben ezt az érdekes témát kívánom továbbfejleszteni.
Bibliográfia.
Kiszeljov A. P. Elemi geometria. – M.: Nevelés, 1980.
Coxeter G.S., Greitzer S.L. Új találkozások a geometriával. – M.: Nauka, 1978.
Prasolov V.V. Problémák a planimetriában. – M.: Nauka, 1986. – 1. rész.
Sharygin I.F. Geometriai feladatok: Planimetria. – M.: Nauka, 1986.
Scanavi M.I. Matematika. Problémák a megoldásokkal. – Rostov-on-Don: Főnix, 1998.
Berger M. Geometria két kötetben - M: Mir, 1984.
NÉGY ÉRVÉNYES PONT
HÁROMSZÖG
Geometria
8. osztály
Szaharova Natalia Ivanovna
Szimferopol 28. számú MBOU Középiskola
- A háromszög mediánjainak metszéspontja
- A háromszög felezőinek metszéspontja
- A háromszög magasságainak metszéspontja
- A háromszög merőleges mediánjainak metszéspontja
Középső
Medián (BD) A háromszögnek az a szakasza, amely a háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával köti össze.
Mediánok háromszögek metszik egymást egy ponton (gravitáció középpontja háromszög) és ezzel a ponttal osztva 2:1 arányban, a csúcstól számítva.
FELEZŐVONAL
Felező (Kr. u.) egy háromszögnek a háromszög belső szögének felező szakasza. ∟ ROSSZ = ∟CAD.
Minden pont felezők kidolgozatlan szöge egyenlő távolságra van az oldalaitól.
Vissza: minden olyan pont, amely egy szög belsejében fekszik és egyenlő távolságra van a szög oldalaitól, azon fekszik felezővonal.
Minden felező a háromszögek egy pontban metszik egymást - a felírt középpontja háromszögbe körökben.
A kör sugara (OM) egy merőleges, amely a középpontból (TO) a háromszög oldalára ereszkedik
MAGASSÁG
Magasság (CD) A háromszög egy merőleges szakasza, amelyet a háromszög csúcsából húzunk a szemközti oldalt tartalmazó egyenesre.
Magasság háromszögek (vagy kiterjesztéseik) metszik egymást egy pont.
KÖZÉP MÉRGŐS
Merőleges felező (DF) egy háromszög oldalára merőleges és azt kettéosztó egyenest nevezzük.
Minden pont merőleges felező(m) egy szakaszhoz egyenlő távolságra van ennek a szakasznak a végeitől.
Vissza: egy szakasz végétől egyenlő távolságra lévő minden pont a felezőponton fekszik merőleges neki.
A háromszög oldalainak összes merőleges felezője egy pontban metszi egymást - a leírtak közepe a háromszög közelében kör .
A körülírt kör sugara a kör középpontja és a háromszög bármely csúcsa közötti távolság (OA).
oldal 177 No. 675 (rajz)
Házi feladat
173. o. 3. § definíciók és tételek 177. o. 675. sz. (befejezés)
