Hogyan rajzoljunk merőleges felezőt egy háromszögbe. A háromszög négy csodálatos pontja

Egy háromszögben van úgynevezett négy csodálatos pontok: a mediánok metszéspontja. A felezők metszéspontja, a magasságok metszéspontja és a merőleges felezők metszéspontja. Tekintsük mindegyiket.

A háromszög mediánjainak metszéspontja

1. tétel

Egy háromszög mediánjainak metszéspontján: A háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást, és a metszéspontot a csúcsból kiindulva $2:1$ arányban osztják el.

Bizonyíték.

Tekintsük az $ABC$ háromszöget, ahol $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ a mediánja. Mivel a mediánok kettéosztják az oldalakat. Tekintsük a $A_1B_1$ középső vonalat (1. ábra).

1. ábra Háromszög mediánjai

Az 1. Tétel szerint $AB||A_1B_1$ és $AB=2A_1B_1$, tehát $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Ezért az $ABM$ és $A_1B_1M$ háromszögek hasonlóak az első háromszög hasonlósági kritériuma szerint. Akkor

Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy

A tétel bizonyítást nyert.

Egy háromszög felezőjének metszéspontja

2. tétel

Egy háromszög felezőinek metszéspontján: A háromszög felezői egy pontban metszik egymást.

Bizonyíték.

Tekintsük az $ABC$ háromszöget, ahol $AM,\ BP,\ CK$ a felezők. Legyen a $O$ pont a $AM\ és\ BP$ felezők metszéspontja. Ebből a pontból rajzoljunk merőlegesen a háromszög oldalaira (2. ábra).

2. ábra Háromszög felezőpontjai

3. tétel

A ki nem tágított szög felezőjének minden pontja egyenlő távolságra van az oldalaitól.

A 3. tétel alapján: $OX=OZ,\ OX=OY$. Ezért $OY=OZ$. Ezért a $O$ pont egyenlő távolságra van az $ACB$ szög oldalaitól, ezért a $CK$ felezőpontján fekszik.

A tétel bizonyítást nyert.

A háromszög merőleges felezőinek metszéspontja

4. tétel

A háromszög oldalainak merőleges felezői egy pontban metszik egymást.

Bizonyíték.

Legyen adott egy $ABC$ háromszög, $n,\ m,\ p$ merőleges felezői. Legyen a $O$ pont a $n\ és\ m$ merőleges felezők metszéspontja (3. ábra).

3. ábra Háromszög merőleges felezőszögei

A bizonyításhoz a következő tételre van szükségünk.

5. tétel

A szakaszra merőleges felezőpont minden pontja egyenlő távolságra van az adott szakasz végeitől.

A 3. tétel alapján: $OB=OC,\ OB=OA$. Ezért $OA=OC$. Ez azt jelenti, hogy a $O$ pont egyenlő távolságra van a $AC$ szakasz végeitől, és ezért a $p$ felező merőlegesen fekszik.

A tétel bizonyítást nyert.

A háromszög magasságainak metszéspontja

6. tétel

Egy háromszög magassága vagy kiterjesztéseik egy pontban metszik egymást.

Bizonyíték.

Tekintsük az $ABC$ háromszöget, ahol $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ a magassága. Húzzon egy vonalat a háromszög minden csúcsán, amely párhuzamos a csúcsgal szemközti oldallal. Új háromszöget kapunk $A_2B_2C_2$ (4. ábra).

4. ábra Háromszög magasságai

Mivel a $AC_2BC$ és a $B_2ABC$ paralelogrammák közös oldallal, ezért $AC_2=AB_2$, azaz a $A$ pont a $C_2B_2$ oldal felezőpontja. Hasonlóképpen azt kapjuk, hogy a $B$ pont a $C_2A_2$ oldal felezőpontja, a $C$ pont pedig a $A_2B_2$ oldal felezőpontja. A konstrukcióból azt kaptuk, hogy $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Ezért a $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ a $A_2B_2C_2$ háromszög felező merőlegesei. Ekkor a 4. Tétel szerint a $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ magasságok egy pontban metszik egymást.

Középmerőleges (medián merőleges vagy közvetítő nő) az adott szakaszra merőleges és annak felezőpontján átmenő egyenes.

Tulajdonságok

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2), ahol az alsó index azt az oldalt jelöli, amelyre a merőleges húzva van, S a háromszög területe, és azt is feltételezzük, hogy az oldalakat egyenlőtlenségek kapcsolják össze a \geqslant b \geqslant c. p_a\geq p_bés p_c\geq p_b. Más szavakkal, egy háromszög esetében a legkisebb merőleges felező a középső szakaszra vonatkozik.

Írjon véleményt a "Középső merőleges" cikkről

Megjegyzések

A merőleges felezőt jellemző kivonat

Kutuzov megállt rágni, és meglepetten meredt Wolzogenre, mintha nem értené, mit mondanak neki. Wolzogen észrevette des alten Herrn, [az öregúr (német)] izgatottságát, mosolyogva így szólt:
- Nem tartottam jogosnak, hogy eltitkoljam uraságod elől, amit láttam... A csapatok teljesen rendetlenek...
- Láttad? Láttad? .. - kiáltotta Kutuzov összevont szemöldökkel, gyorsan felállt, és előrenyomult Wolzogen felé. „Hogy merészeled… hogy merészeled…!” – kiáltotta, fenyegető mozdulatokkal remegő kézzel és fuldokolva. - Hogy merészelte ezt, kedves uram, ezt nekem mondani. Nem tudsz semmit. Mondja meg tőlem Barclay tábornoknak, hogy az információi tévesek, és a csata valódi lefolyását én, a főparancsnok jobban ismerem, mint ő.
Wolzogen tiltakozni akart valamit, de Kutuzov félbeszakította.
- Az ellenséget a bal oldalon visszaverik, a jobb szárnyon pedig legyőzik. Ha nem látta jól, kedves uram, ne engedje meg magának, hogy azt mondja, amit nem tud. Kérem, menjen Barclay tábornokhoz, és adja át neki azt a nélkülözhetetlen szándékomat, hogy holnap megtámadja az ellenséget – mondta Kutuzov szigorúan. Mindenki elhallgatott, és hallani lehetett a kifulladt öreg tábornok nehéz lélegzetét. - Mindenhol visszaverték, amiért hálát adok Istennek és bátor seregünknek. Az ellenséget legyőzték, és holnap kiűzzük a szent orosz földről - mondta Kutuzov keresztet vetve; és hirtelen sírva fakadt. Wolzogen vállat vonva és ajkát csavarva némán félrelépett, és az uber diese Eingenommenheit des alten Herrn-en töprengett. [az öregúr ezen zsarnokságáról. (Német)]
„Igen, itt van, hősöm” – mondta Kutuzov a gömbölyded, jóképű fekete hajú tábornoknak, aki ekkor belépett a halomba. Raevszkij volt az, aki az egész napot a Borodino-mező fő pontján töltötte.
Raevszkij arról számolt be, hogy a csapatok szilárdan a helyükön vannak, és a franciák nem mertek többé támadni. Miután meghallgatta, Kutuzov franciául így szólt:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous nyugdíjas? [Tehát nem gondolja, mint a többiek, hogy nekünk vissza kellene vonulnunk?] A háromszögre körülírt kör tulajdonságaira vonatkozó tételek bizonyítása

A szakaszra középen merőlegesen

1. definíció. A szakaszra középen merőlegesen erre a szakaszra merőleges és annak közepén áthaladó egyenest nevezzük (1. ábra).

1. tétel. A szakaszra merőleges felező minden egyes pontja ugyanolyan távolságra a végektől ezt a szegmenst.

Bizonyíték . Tekintsünk egy tetszőleges D pontot, amely az AB szakaszra merőleges felezővonalon fekszik (2. ábra), és bizonyítsuk be, hogy az ADC és a BDC háromszögek egyenlőek.

Valójában ezek a háromszögek derékszögű háromszögek, amelyek AC és BC szárai egyenlőek, míg a DC szárak közösek. Az ADC és BDC háromszögek egyenlőségéből az AD és DB szakaszok egyenlősége következik. Az 1. tétel bizonyítást nyer.

2. tétel (fordítva az 1. tételhez). Ha egy pont azonos távolságra van egy szakasz végeitől, akkor a szakaszra merőleges felezőn fekszik.

Bizonyíték . Bizonyítsuk be a 2. tételt „ellentmondásos” módszerrel. Ebből a célból tegyük fel, hogy egy E pont azonos távolságra van a szakasz végeitől, de nem a szakaszra merőleges felezőn fekszik. Hozzuk ezt a feltevést ellentmondásba. Tekintsük először azt az esetet, amikor az E és A pontok a merőleges felezőszög ellentétes oldalán helyezkednek el (3. ábra). Ebben az esetben az EA szakasz egy ponton metszi a merőleges felezőt, amit D betűvel fogunk jelölni.

Bizonyítsuk be, hogy az AE szakasz hosszabb, mint az EB szakasz. Igazán,

Így abban az esetben, ha az E és A pontok a merőleges felezőszög ellentétes oldalán helyezkednek el, akkor ellentmondást kaptunk.

Tekintsük most azt az esetet, amikor az E és A pontok a merőleges felezőszög ugyanazon az oldalán helyezkednek el (4. ábra). Bizonyítsuk be, hogy az EB szakasz hosszabb, mint az AE szakasz. Igazán,

A kapott ellentmondás teszi teljessé a 2. Tétel bizonyítását

Háromszöget körülíró kör

2. definíció. Háromszöget körülvevő kör, nevezzük a háromszög mindhárom csúcsán áthaladó kört (5. ábra). Ebben az esetben a háromszöget nevezzük egy körbe írt háromszög vagy beírt háromszög.

A háromszög körül körülírt kör tulajdonságai. Szinusztétel

ÁbraKépIngatlan
Középmerőlegesek
a háromszög oldalaihoz		 egy pontban metszik egymást .

Központ egy kör hegyesszögű háromszögére körülírvaKözpont leírása kb hegyesszögű belül háromszög.
Központ derékszögű háromszög körül körülírt körKözéppontja a leírt kb négyszögletes a hipotenusz felezőpontja .
Központ egy kör tompa háromszögére körülírvaKözpont leírása kb tompa kör háromszög fekszik kívül háromszög.

,
Négyzet háromszög

S= 2R 2 bűn A bűn B bűn C ,
A körülírt kör sugara

Bármely háromszögre igaz az egyenlőség:
Egy háromszög oldalaira merőleges középső

Minden merőleges felező egy tetszőleges háromszög oldalaira rajzolva, egy pontban metszik egymást .
Háromszöget körülíró kör

Bármely háromszög körülírható körrel. . A háromszögre körülírt kör középpontja az a pont, ahol a háromszög oldalaira húzott összes merőleges felező metszéspontja metszi egymást.
Egy hegyesszögű háromszög körül körülírt kör középpontja

Központ leírása kb hegyesszögű kör háromszög fekszik belül háromszög.
Derékszögű háromszög körül körülírt kör középpontja

Középpontja a leírt kb négyszögletes kör háromszög az a hipotenusz felezőpontja .
Egy tompa háromszög körül körülírt kör középpontja

Központ leírása kb tompa kör háromszög fekszik kívül háromszög.

Bármely háromszögre érvényesek az egyenlőségek (szinusztétel):

,

ahol a, b, c a háromszög oldalai, A, B, C a háromszög szögei, R a körülírt kör sugara.
Egy háromszög területe

Bármely háromszögre igaz az egyenlőség:

S= 2R 2 bűn A bűn B bűn C ,

ahol A, B, C a háromszög szögei, S a háromszög területe, R a körülírt kör sugara.
A körülírt kör sugara

Bármely háromszögre igaz az egyenlőség:

ahol a, b, c a háromszög oldalai, S a háromszög területe, R a körülírt kör sugara.

A háromszögre körülírt kör tulajdonságaira vonatkozó tételek bizonyítása

3. tétel. Egy tetszőleges háromszög oldalaira húzott összes középső merőleges egy pontban metszi egymást.

Bizonyíték . Tekintsünk két merőleges felezőt az ABC háromszög AC és AB oldalaira, és jelöljük az O betűvel való metszéspontjukat (6. ábra).

Mivel az O pont az AC szakaszra merőleges felezőn fekszik, az 1. Tétel értelmében az egyenlőség teljesül.

  • Adjon ötletet a problémák egy új osztályáról - az építésről geometriai formák iránytű és vonalzó használata skálaosztás nélkül.
  • Mutassa be a GMT fogalmát.
  • Adja meg a merőleges felező definícióját, tanítsa meg felépítését, és bizonyítsa be a merőleges felezőre vonatkozó tagot, valamint annak inverzét.
  • A Compass-3D számítógépes rajzrendszerrel geometriai konstrukciókat végezzen, melyeket geometria tanfolyamon javasolt iránytű és vonalzó segítségével elvégezni.

    • Kiosztó (1. sz. melléklet)

    Az iránytűvel és osztás nélküli vonalzóval történő építkezés problémáit leggyakrabban egy bizonyos séma szerint oldják meg:

    ÉN. Elemzés: Rajzolja meg sematikusan a kívánt ábrát, és hozzon létre kapcsolatokat a problémaadatok és a kívánt elemek között.

    II. Épület: A terv szerint iránytűvel és vonalzóval építkeznek.

    III. Bizonyíték: Bizonyítsuk be, hogy a megszerkesztett ábra kielégíti a feladat feltételeit.

    IV. Tanulmány: Végezzen vizsgálatot bármilyen adatra vonatkozóan, hogy a problémának van-e megoldása, és ha igen, hány megoldást (ne végezzen el minden feladatban).

    Íme néhány példa az alapvető építési feladatokra, amelyeket figyelembe veszünk:

    1. Tegyen félre egy ezzel megegyező szegmenst (korábban tanulmányozva).

    2. A szakaszra merőleges felező szerkesztése:

    • megszerkeszteni az adott szakasz felezőpontját;
    • egy adott ponton átmenő és egy adott egyenesre merőleges egyenest szerkeszteni (egy pont lehet vagy nem egy adott egyenesen).

    3. A szögfelező felépítése.

    4. Adott szög szerkesztése.

    A szegmensre merőleges medián.

    Definíció: Egy szakasz merőleges felezőpontja a szakasz felezőpontján átmenő és arra merőleges egyenes.

    Feladat: "Készítse meg a szakaszra merőleges felezőt." Bemutatás

    O - AB közepe

    Építési leírás ( 4. számú dia):

    Gerenda a; A - a sugár kezdete

    Kerület (A; r = m)

    a kör = B; AB = m

    1. kör (A; r 1 > m/2)

    2. kör (B; r 1)

    1. kör 2. kör =

    MN ; MN AB =0, (MN = L)

    ahol MN AB, O az AB felezőpontja

    III. Bizonyíték(5., 6. diaszám)

    1. Tekintsük az AMN-t és a BNM-et:

    AM = MB=BN=AN=r 2 , ezért AM = BN , AN = BM MN a közös oldal

    (3. ábra)

    Ezért AMN = BNM (3 oldalon),

    Következésképpen

    1 = 2 (definíció szerint egyenlő)

    3 = 4 (definíció szerint egyenlő)

    2. Az MAN és az NBM egyenlő szárú (definíció szerint) ->

    1 \u003d 4 és 3 \u003d 2 (az egyenlő szárú tulajdonság alapján)

    3. 1. és 2. pontból -> 1 = 3, ezért MO az AMB egyenlőszárú felezőpontja

    4. Ezzel bebizonyítottuk, hogy MN az AB szakaszra merőleges felezőszög

    IV. Tanulmány

    Ennek a problémának egyedi megoldása van, mert Bármely szakasznak csak egy felezőpontja van, és egy adott ponton keresztül egyetlen, arra merőleges egyenest lehet húzni.

    Definíció: A pontok geometriai halmaza (GMT) olyan pontok halmaza, amelyek rendelkeznek valamilyen tulajdonsággal. (2. sz. melléklet)

    Számodra ismert GMT:

    1. A szakasz felező merőlegese a szakasz végétől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza.
    2. Szögfelező - a szög oldalaitól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza

    Tehát bizonyítsuk be a tételt:

    Tétel: "A szakaszra merőleges felezőpont minden pontja egyenlő távolságra van ennek a szakasznak a végeitől."

    (4. ábra)

    Adott: AB; MO - merőleges felező

    Bizonyítsuk be: AM = VM

    Bizonyíték:

    1. MO - merőleges felezőszög (feltétel szerint) -> O - AB szakasz felezőpontja, MOAB

    2. Tekintsük az AMO-t és a WMO-t - téglalap alakú

    MO - közös láb

    		 AO \u003d VO (O - AB közepe) -\u003e AMO \u003d BMO (2 lábon) -\u003e AM \u003d VM (egyenlő háromszögek definíciója szerint, megfelelő oldalakként)

    Q.E.D

    Házi feladat: „Bizonyítsa be az adott tétel inverzét”

    Tétel: "Egy szakasz végeitől egyenlő távolságra lévő pontok a szakaszra merőleges felezővonalon helyezkednek el."

    (5. ábra)

    Adott: AB; MA=MV

    Bizonyít: Az M pont a felező merőlegesen fekszik

    Bizonyíték:

    Hogy. MO - merőleges felező, amely a szakasz végeitől egyenlő távolságra lévő összes pontot tartalmazza.

    A háromszög oldalaira merőleges felezők tulajdonságai

    Egy pontban metszik egymást, és ez a pont a háromszög körüli kör középpontja, nyolcadik osztályban fogunk tanulni.

    Műhely

    Anyagi és technikai felszereltség:

    Eloszlás: 29 574 KB

    OS: Windows 9x/2000/XP

    Weboldal: http://www.ascon.ru

    Most átvisszük a konstrukciót a számítógép grafikus környezetébe (7. dia)

    A korábban megszerzett ismereteket és készségeket alkalmazni kell konkrét feladat. Látni fogja, hogy az építkezés nem fog több időt igénybe venni, mint a jegyzetfüzetben való építés. Többek között érdekes látni, hogy a számítógépes környezet hogyan hajtja végre az emberi parancsokat síkfigurák felépítéséhez. Ön előtt van a 3. számú melléklet, amelyben részletesen le van írva az építési lépések. Töltse be a programot és nyisson meg egy új rajzot ( 8. diaszám, 9).

    Rajzoljon geometriai objektumokat a problémafeltételben: sugár a ponttól kezdve DEés a szegmens egyenlő m– tetszőleges hosszúság ( 10. diaszám).

    Adja meg a gerenda, szegmens, gerenda kezdetét a rajzban a fül segítségével "Eszközök"szöveg.

    Szerkesszünk egy kört, amelynek sugara megegyezik a szakasszal m egy adott pont által a csúcsra középre állítva DE (11. diaszám).

    m középpontja az adott A pontban ( dia №12, 13).

    Szerkesszünk meg egy kört, amelynek sugara egyenlő 1/2-nél nagyobb szegmenssel m Ehhez válassza ki a „ 2 pont között” (№14, 15, 16 dia).

    A körök metszéspontjain keresztül M és N húzz egy vonalat ( dia №17,18).

    Használt könyvek:

    1. Ugrinovich N. D. „Informatika. Alaptanfolyam” 7. évfolyam. - M.: BINOM - 2008 - 175 p.
    2. Ugrinovich N.D. „Műhely az informatikai és információs technológia". oktatóanyag. - M.: BINOM, 2004-2006. -
    3. Ugrinovich N.D. „Az „Informatika és IKT” ​​kurzus tanítása általános és középiskolai 8-11. osztályban M.: BINOM Tudáslaboratórium, 2008. - 180 p.
    4. Ugrinovich ND Számítógépes műhely CD-ROM-on. - M.: BINOM, 2004-2006.
    5. Boguslavsky A.A., Tretyak T.M. Farafonov A.A. "Irtű - 3D v 5.11-8.0 Workshop kezdőknek" - M .: SOLON - PRESS, 2006 - 272 p.
    6. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. és munkatársai „Geometry 7-9. Tankönyv középiskolák számára "- M: Oktatás 2006 - 384 p.
    7. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et al „Study of Geometry grades 7-9. Útmutató a tankönyvhöz "- M: Oktatás 1997 - 255 p.
    8. Afanas'eva T.L., Tapilina L.A. "Óratervek Atanasyan L.S. 8. osztályos tankönyvéhez." - Volgograd "Tanár" 2010, 166 p.

    1. számú pályázat

    Tervezze meg az iránytű és egy vonalzó felépítésével kapcsolatos problémák megoldását.

    1. Elemzés.
    2. Építkezés.
    3. Bizonyíték.
    4. Tanulmány.

    Magyarázat

    1. Az elemzés elvégzésekor sematikusan megrajzoljuk a szükséges ábrát, és kapcsolatot létesítünk a feladatadatok és a szükséges elemek között.
    2. A terv szerint az építkezés iránytűvel és vonalzóval történik.
    3. Bizonyítják, hogy a megszerkesztett ábra kielégíti a feladat feltételeit.
    4. Végezzen vizsgálatot: bármilyen adatra van-e megoldás a problémára, és ha igen, hány megoldása van?

    Példák elemi építési feladatokra

    1. Tegyünk félre egy szegmenst, amely megegyezik a megadottal.
    2. Szerkesszünk merőleges felezőmetszetet egy szakaszra.
    3. Szerkessze meg a szakasz felezőpontját.
    4. Szerkesszünk az adott ponton átmenő egyenest az adott egyenesre merőlegesen (A pont az adott egyenesen lehet, de lehet, hogy nem).
    5. Szerkesszünk szögfelezőt.
    6. Szerkesszünk egy szöget, amely megegyezik az adott szöggel.

    Pályázat №2

    A pontok helye (GMT) olyan pontok halmaza, amelyek rendelkeznek valamilyen tulajdonsággal.

    Példák a GMT-re:

    1. A szakasz felező merőlegese a szakasz végétől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza.
    2. A kör egy adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza - a kör középpontjától.
    3. A szögfelező a szög oldalaitól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza.

    A szakaszra merőleges felezőszög minden pontja egyenlő távolságra van ennek a szakasznak a végeitől.

    Az előző leckében egy háromszögbe zárt és szabad szög felezőjének tulajdonságait vettük figyelembe. A háromszög három szöget tartalmaz, és mindegyiknél megmaradnak a szögfelező figyelembe vett tulajdonságai.

    Tétel:

    A háromszög AA 1, BB 1, CC 1 felezői egy O pontban metszik egymást (1. ábra).

    Rizs. 1. A tétel illusztrációja

    Bizonyíték:

    Tekintsük az első két felezőt BB 1 és СС 1 . Metszik egymást, létezik az O metszéspont. Ennek bizonyítására tegyük fel az ellenkezőjét: az adott felezők ne metsszék egymást, ebben az esetben párhuzamosak. Ekkor a BC egyenes egy szekáns és a szögek összege , ez ellentmond annak, hogy az egész háromszögben a szögek összege .

    Tehát létezik két felezőszög metszéspontjának O pontja. Vegye figyelembe a tulajdonságait:

    Az O pont a szögfelezőn fekszik, ami azt jelenti, hogy egyenlő távolságra van a BA és BC oldalaitól. Ha OK merőleges BC-re, OL merőleges BA-ra, akkor ezeknek a merőlegeseknek a hossza egyenlő -vel. Ezenkívül az O pont a szög felezőjén fekszik, és egyenlő távolságra van a CB és CA oldalaitól, az OM és az OK merőlegesek egyenlőek.

    A következő egyenlőségeket kaptuk:

    , vagyis az O pontból a háromszög oldalaira ejtett három merőleges egyenlő egymással.

    Minket az OL és OM merőlegesek egyenlősége érdekel. Ez az egyenlőség azt mondja, hogy az O pont egyenlő távolságra van a szög oldalaitól, ezért az AA 1 felezőjén fekszik.

    Így bebizonyítottuk, hogy a háromszög mindhárom felezőpontja egy pontban metszi egymást.

    Ezenkívül a háromszög három szegmensből áll, ami azt jelenti, hogy egyetlen szegmens tulajdonságait kell figyelembe vennünk.

    Az AB szegmens adott. Bármely szakasznak van közepe, és ezen keresztül merőleges húzható - p-vel jelöljük. Így p a merőleges felező.

    Rizs. 2. A tétel illusztrációja

    A felező merőlegesen fekvő bármely pont egyenlő távolságra van a szakasz végeitől.

    Bizonyítsuk be (2. ábra).

    Bizonyíték:

    Tekintsük háromszögek és . Téglalap alakúak és egyenlőek, mivel közös OM lábuk van, és az AO és OB lábai feltétel szerint egyenlőek, így van két derékszögű háromszögünk, amelyek két szárban egyenlők. Ebből következik, hogy a háromszögek befogói is egyenlők, vagyis amit igazolni kellett.

    A fordított tétel igaz.

    A szakasz végeitől egyenlő távolságra lévő pontok a szakaszra merőleges felezőirányban helyezkednek el.

    Adott az AB szakasz, a rá merőleges felezőpont p, az M pont egyenlő távolságra van a szakasz végeitől. Igazoljuk, hogy az M pont a szakaszra merőleges felezőn fekszik (3. ábra).

    Rizs. 3. A tétel illusztrációja

    Bizonyíték:

    Tekintsünk egy háromszöget. Feltétel szerint egyenlő szárú. Tekintsük a háromszög mediánját: O pont az AB alap felezőpontja, OM a medián. Az egyenlő szárú háromszög tulajdonságai szerint az alapjához húzott medián magasság és felezőszög is egyben. Ebből következik, hogy. De a p egyenes is merőleges az AB-re. Tudjuk, hogy az AB szakaszra egyetlen merőleges húzható az O pontra, ami azt jelenti, hogy az OM és p egyenesek egybeesnek, ebből következik, hogy az M pont a p egyeneshez tartozik, amit bizonyítani kellett.

    A direkt és inverz tételek általánosíthatók.

    Egy pont akkor és csak akkor fekszik a szakasz merőleges felezőjén, ha egyenlő távolságra van ennek a szakasznak a végeitől.

    Tehát megismételjük, hogy egy háromszögben három szakasz van, és mindegyikre érvényes a merőleges felező tulajdonság.

    Tétel:

    A háromszög merőleges felezői egy pontban metszik egymást.

    Adott egy háromszög. Oldalaira merőlegesen: P 1 a BC oldalra, P 2 az AC oldalra, P 3 az AB oldalra.

    Bizonyítsuk be, hogy a Р 1 , Р 2 és Р 3 merőlegesek az O pontban metszik egymást (4. ábra).

    Rizs. 4. A tétel illusztrációja

    Bizonyíték:

    Tekintsünk két P 2 és P 3 középmerőlegest, ezek metszik egymást, létezik az O metszéspont. Bizonyítsuk be ezt a tényt ellentmondással - legyen a P 2 és P 3 merőleges párhuzamos. Ekkor a szög egyenes, ami ellentmond annak, hogy egy háromszög három szögének összege . Tehát van egy O pont, amely a három merőleges felezőszög közül kettőnek metszik. Az O pont tulajdonságai: az AB oldalra merőleges felezőponton fekszik, ami azt jelenti, hogy egyenlő távolságra van az AB szakasz végeitől:. Az AC oldalra merőleges felezőn is fekszik, tehát . A következő egyenlőségeket kaptuk.

    Hasonló hozzászólások