Geometriai alakzatok, amelyek nem sokszögek. szabályos sokszög

A geometria során a geo-met-ri-che-sky figurák tulajdonságait tanulmányozzuk, és már megnéztük a legegyszerűbbet: a háromszög-ni-ki és a környezet. Ugyanakkor megvitatjuk, hogy ezeknek a figuráknak milyen konkrét esetei vannak, mint például a téglalap, az egyenlő-szegény-ren és a derékszögű háromszög-no-ki. Itt az ideje, hogy általánosabb és összetettebb fi-gu-rah-ról beszéljünk - sok-szén-nem-kah.

Magántokkal sok-szén-ni-kov már tudjuk – ez egy háromszög (lásd 1. ábra).

Rizs. 1. Háromszög-bevágás

Magában a névben már benne van az under-cher-ki-va-et-sya, hogy fi-gu-ra, valakinek három sarka van. Mellette-va-tel-de, be sok szenet sok lehet belőlük, pl. több mint három. Például egy ötszenes nick képe (lásd 2. ábra), i.e. fi-gu-ru öt szöggel-la-mi.

Rizs. 2. Öt szén-nick. Te-messze-hazug-többszenes-becenév

Meghatározás.Poligon- fi-gu-ra, amely több pontból áll (több mint kettő), és megfelel a th kov-ra adott válasznak, valaki-rozs után-to-va-tel-de kombinál-ed-nya-yut. Ezek a pontok on-zy-va-yut-sya top-shi-on-mi sok szén-nem-ka, de a vágásból - százro-on-mi. Ugyanakkor nincs két szomszédos oldal ugyanazon az egyenes vonalon, és nincs két nem szomszédos oldal sem, amely ne re-se-ka-yut-sya .

Meghatározás.Jobbra előre több szén-becenév- ez egy domború poly-coal-nick, valaki-ro-go számára minden oldal és szög egyenlő.

Bármi poligon de-la-et a síkot két régióra: belső és külső. Az inner-ren-ny terület is from-but-syat to sok szenet.

Más szavakkal, amikor például öt-szén-ni-ke-ről beszélnek, mind a teljes belső régióját, mind a határ menti tsu-t értik. A no-syat-sya-tól és minden ponttól származó régió belső ren-itjéhez pedig néhány rozs egy sok szén-nincs-ka belsejében fekszik, azaz. a lényeg is a-but-sit-Xia-tól öt-szén-no-ku-ig (lásd 2. ábra).

A sok szén-nem-ki-t még mindig n-coal-no-ka-mi-nek nevezik, annak hangsúlyozása érdekében, hogy gyakori eset, hogy egy-egy ismeretlen-valamiről teázik. -sarkok száma (n darab).

Meghatározás. Pe-ri-méter sok-szén-no-ka- egy multi-coal-no-ka oldalhosszának összege.

Most tudnia kell a sok-szén-no-kov nézeteivel. De-lyat-xia tovább te-terjedelmesés nem terjedelmes. Például egy poliszén-bevágás, amelyet az 1. ábra ábrázol. 2, is-la-et-sya you-bump-ly, és a 2. ábrán. 3 nem csomó-lym.

Rizs. 3. Nem domború poli-szén-bevágás

2. Konvex és nem konvex sokszögek

A les 1 meghatározása. Poligon na-zy-va-et-sya te fingsz, ha amikor pro-ve-de-nii közvetlenül bármelyik oldalán keresztül, az egész poligon csak százro-kútnyira fekszik ettől az egyenestől. Nevy-puk-ly-mi yav-la-yut-sya a többit sok szenet.

Könnyen elképzelhető, hogy az 5. ábrán látható öt-szén-no-ka bármely oldalának kiterjesztésekor. 2 ő mind ok-zhet-sya száz-ro-kút ebből az egyenes bányából, i.e. ő kidudorodik. De amikor a pro-ve-de-nii egyenesen átmegy a négy-you-rech-coal-no-ke képen. 3, már látjuk, hogy két részre osztja, azaz. ő nem terjedelmes.

De van egy másik def-de-le-nie you-pump-lo-sti a sok-szenet-no-ka.

Opré-de-les-nie 2. Poligon na-zy-va-et-sya te fingsz, ha bármelyik két belső pontját kiválasztva és bevágásból összekötve, a vágás minden pontja belső is -no-mi point-ka-mi much-coal-no-ka.

A de-le-ció ezen definíciójának használatának demonstrációja a vágásokból történő építkezés példáján látható a 1. ábrán. 2. és 3.

Meghatározás. Dia-go-na-lew many-coal-no-ka-za-va-et-sya any from-re-zok, ami összeköt kettőt, nem köti össze a tetejét.

3. Tétel egy konvex n-szög belső szögeinek összegéről

A sokszögek tulajdonságainak leírására két fontos elmélet létezik a szögeikről: theo-re-ma a you-bunch-lo-go-sok-szén-no-ka belső szögeinek összegérőlés theo-re-ma a külső szögek összegéről. Nézzük meg őket.

Tétel. A you-beam-lo-go-sok-szén-no-ka belső szögeinek összegéről (n-szén-no-ka).

Hol van a sarkainak (oldalainak) száma.

Do-for-tel-stvo 1. Kép-ra-tél az ábrán. 4 konvex n-szögű becenév.

Rizs. 4. You-bump-ly n-angle-nick

Felülről támogatjuk az összes lehetséges dia-go-on-ether. Az n-angle-nick-et háromszög-no-ka-ra osztják, mert mindegyik oldala több szén-nem-ka-ra-zu-et háromszög-bevágás, kivéve a gumiabroncs tetejével szomszédos oldalakat. A ri-sun-ku-ból könnyen belátható, hogy ezen háromszögek szögeinek összege pontosan egyenlő lesz az n-angle-ni-ka belső szögeinek összegével. Mivel bármely háromszög-no-ka - szögeinek összege, akkor az n-angle-no-ka belső szögeinek összege:

Do-ka-for-tel-stvo 2. Lehetséges és egy másik do-ka-for-tel-stvo a theo-re-we. ábra egy analóg n-szög képe. 5 és csatlakoztassa bármely belső pontját az összes csúcshoz.

We-be-chi-függetlenül attól, hogy raz-bi-e-ne n-angle-no-ka az n háromszög-ni-kov-on (hány oldal, annyi háromszög-ni-kov ). Az összes szögük összege egyenlő a multi-coal-none belső szögeinek összegével és a belső pontban lévő szögek összegével, és ez a szög. Nekünk van:

Q.E.D.

Előtte-for-de.

A do-ka-zan-noy theo-re-me szerint világos, hogy az n-coal-no-ka szögek összege az oldalainak számától függ (n-től). Például egy háromszögben-ne-ke, és a szögek összege. A four-you-reh-coal-ni-ke-ben, és a szögek összege - stb.

4. Tétel egy konvex n-szög külső szögeinek összegéről

Tétel. A you-beam-lo-go-sok-szén-no-ka külső szögeinek összegéről (n-szén-no-ka).

Hol van a szögeinek (oldalainak) száma és, ..., a külső szögek.

Bizonyíték. Kép-ra-zim konvex n-szögű bemetszés az ábrán. 6, és jelölje belső és külső szögeit.

Rizs. 6. Ön egy domború n-szén-bevágás a külső-ni-sarkok-la-mi megjelöléssel

Mert a külső sarok szomszédosként csatlakozik a belső sarokhoz, majd és hasonlóképpen a többi külső sarok esetében is. Akkor:

A pre-ob-ra-zo-va-niy során felhasználtuk-zo-va-hazudtunk már a ka-zan-my theo-re-mine belső szögek összegéről n-angle-no-ka .

Előtte-for-de.

A pre-ka-zan-noy theo-re-ből azt az in-te-res-ny tényt követjük, hogy a konvex-lo-edik n-szög külső szögeinek összege egyenlő sarkai (oldalai) számától. Egyébként a belső szögek összegétől függően.

Továbbá töredékesebben fogunk dolgozni egy konkrét esettel, amikor sok szén-no-kov - che-you-rekh-coal-no-ka-mi. A következő leckében egy olyan fi-gu-rajt fogunk megismerni, mint a par-ral-le-lo-gram, és megbeszéljük a tulajdonságait.

FORRÁS

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-class

https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144

Tantárgy, tanulók életkora: geometria, 9. évfolyam

Az óra célja: sokszögtípusok tanulmányozása.

Tanulási feladat: a tanulók sokszögekkel kapcsolatos ismereteinek frissítése, bővítése, általánosítása; elképzelést alkotnak egy sokszög „összetevőiről”; tanulmányozza a szabályos sokszögek alkotóelemeinek számát (háromszögtől n-szögig);

Fejlesztő feladat: az elemzési, összehasonlítási, következtetési képesség fejlesztése, a számítási készség, a szóbeli és írásbeli matematikai beszéd, a memória fejlesztése, valamint a gondolkodási és tanulási tevékenységben való önállóság, a páros és csoportos munkavégzés képessége; kutatási és oktatási tevékenységek fejlesztése;

Nevelési feladat: az önállóság, az aktivitás, a rábízott feladat iránti felelősség, a cél elérésében való kitartás ápolása.

Az órák alatt: egy idézet van felírva a táblára

"A természet a matematika nyelvén beszél, ennek a nyelvnek a betűi... matematikai figurák." G. Gallilei

Az óra elején az osztály munkacsoportokra oszlik (esetünkben 4 fős csoportokra oszlik - a csoporttagok száma megegyezik a kérdéscsoportok számával).

1. Hívás szakasz-

Célok:

a) a tanulók ismereteinek frissítése a témában;

b) az érdeklődés felkeltése a vizsgált téma iránt, az egyes tanulók motivációja a tanulási tevékenységek iránt.

Recepció: A "Hiszed, hogy ..." játék, szöveges munka megszervezése.

Munkaformák: frontális, csoportos.

– Elhiszed, hogy…

1. ... a "sokszög" szó azt jelzi, hogy ennek a családnak minden alakjának "sok sarka" van?

2. … a háromszög sokszögek nagy családjába tartozik, amelyek a síkon sok különböző geometriai alakzat között különböznek egymástól?

3. …egy négyzet szabályos nyolcszög (négy oldal + négy sarok)?

Ma a leckében a sokszögekről fogunk beszélni. Megtudjuk, hogy ezt az ábrát egy zárt szaggatott vonal határolja, ami viszont lehet egyszerű, zárt. Beszéljünk arról, hogy a sokszögek laposak, szabályosak, konvexek. Az egyik lapos sokszög egy olyan háromszög, amelyet régóta ismersz (sokszögeket, szaggatott vonalat ábrázoló posztereket mutathatsz a tanulóknak, mutasd meg különböző fajták, használhatja a TSO-t is).

2. A megértés szakasza

Cél: szerzés új információ, annak megértése, kiválasztása.

Fogadás: cikcakk.

Munkaformák: egyéni->pár->csoportos.

Minden csoport kap egy szöveget az óra témájában, és a szöveget úgy alakítjuk ki, hogy a tanulók számára már ismert és teljesen új információkat egyaránt tartalmazzon. A szöveggel együtt kérdéseket kapnak a tanulók, amelyekre a válaszokat ebben a szövegben kell megtalálni.

Sokszögek. A sokszögek típusai.

Ki ne hallott volna a titokzatos Bermuda-háromszögről, ahol hajók és repülők tűnnek el nyomtalanul? De a gyermekkorunkból ismerős háromszög sok érdekes és titokzatos dologgal van tele.

Az általunk már ismert, oldalakkal (skálás, egyenlő szárú, egyenlő oldalú) és szögekkel (hegyesszögű, tompaszögű, derékszögű) tagolt háromszögtípusok mellett a háromszög a sokszögek nagy családjába tartozik, amelyek sokszögből különböznek. különböző geometriai formák a síkon.

A "sokszög" szó azt jelzi, hogy ennek a családnak minden figurájának "sok sarka" van. De ez nem elég az alak jellemzéséhez.

Az A 1 A 2 ... A n szaggatott vonal A 1, A 2, ... A n pontokból és az ezeket összekötő A 1 A 2, A 2 A 3, ... szakaszokból áll. A pontokat a vonallánc csúcsainak, a szakaszokat pedig a vonallánc hivatkozásainak nevezzük. (1. ábra)

A szaggatott vonalat egyszerűnek nevezzük, ha nincsenek önmetszéspontjai (2,3. ábra).

A szaggatott vonalat zártnak nevezzük, ha végei egybeesnek. A szaggatott vonal hossza a láncszemei ​​hosszának összege (4. ábra).

Egy egyszerű zárt szaggatott vonalat sokszögnek nevezünk, ha szomszédos láncszemei ​​nem ugyanazon az egyenesen fekszenek (5. ábra).

A „sokszög” szóban a „sok” rész helyett írjon be egy adott számot, például 3. Egy háromszöget kap. Vagy 5. Aztán - egy ötszög. Vegyük észre, hogy annyi szög van, ahány oldal, ezért ezeket az ábrákat többoldalúnak is nevezhetjük.

A vonallánc csúcsait a sokszög csúcsainak, a vonallánc linkjeit pedig a sokszög oldalainak nevezzük.

A sokszög két részre osztja a síkot: belső és külső (6. ábra).

A sík sokszög vagy sokszögterület egy sík véges része, amelyet egy sokszög határol.

Egy sokszög két csúcsát, amelyek ugyanazon oldal végei, szomszédoknak nevezzük. Azok a csúcsok, amelyek nem az egyik oldal végei, nem szomszédosak.

Az n csúcsú és ezért n oldalú sokszöget n-szögnek nevezzük.

Bár egy sokszögnek a legkisebb oldalszáma 3. De az egymással összekapcsolódó háromszögek más alakzatokat is alkothatnak, amelyek viszont szintén sokszögek.

A sokszög nem szomszédos csúcsait összekötő szakaszokat átlóknak nevezzük.

Egy sokszöget konvexnek nevezünk, ha az oldalát tartalmazó bármely egyeneshez képest egy félsíkban fekszik. Ebben az esetben magát az egyenest a félsíkhoz tartozónak tekintjük.

Egy konvex sokszög adott csúcson belüli szöge az a szög, amelyet az adott csúcsban összefutó oldalai alkotnak.

Bizonyítsuk be a tételt (konvex n-szög szögösszegére): Egy konvex n-szög szögeinek összege 180 0 *(n - 2).

Bizonyíték. n=3 esetben a tétel igaz. Legyen А 1 А 2 …А n egy adott konvex sokszög és n>3. Rajzoljunk bele (egy csúcsból) átlókat. Mivel a sokszög konvex, ezek az átlók n - 2 háromszögre osztják. A sokszög szögeinek összege megegyezik ezen háromszögek szögeinek összegével. Minden háromszög szögeinek összege 180 0, és ezeknek a háromszögeknek a száma n - 2. Ezért egy konvex n - A 1 A 2 ... A n szögek összege 180 0 * ( n-2). A tétel bizonyítást nyert.

Egy konvex sokszög külső szöge egy adott csúcsban az a szög, amely szomszédos a sokszögnek az adott csúcsban lévő belső szögével.

Egy konvex sokszöget szabályosnak nevezünk, ha minden oldala egyenlő és minden szög egyenlő.

Tehát a négyzetet másképp nevezhetjük - szabályos négyszögnek. Az egyenlő oldalú háromszögek is szabályosak. Az ilyen figurák régóta érdekelték az épületeket díszítő mestereket. Gyönyörű mintákat készítettek például a parkettára. De nem minden szabályos sokszög használható parketta kialakítására. Parketta nem alakítható szabályos nyolcszögből. A helyzet az, hogy mindegyik szögük 135 0. És ha bármelyik pont két ilyen nyolcszög csúcsa, akkor 270 0 lesz, és a harmadik nyolcszögnek nincs hova illeszkednie: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. De négyzetre elég. Ezért lehetséges a parkettát szabályos nyolcszögekből és négyzetekből hajtogatni.

A csillagoknak igazuk van. Ötágú csillagunk szabályos ötszögletű csillag. És ha a négyzetet a középpont körül 45 0-val elforgatod, egy szabályos nyolcszögletű csillagot kapsz.

1 csoport

Mi az a szaggatott vonal? Magyarázza el, melyek a vonallánc csúcsai és linkjei!

Melyik szaggatott vonalat nevezzük egyszerűnek?

Melyik szaggatott vonalat nevezzük zártnak?

Mi az a sokszög? Hogyan nevezzük egy sokszög csúcsait? Melyek a sokszög oldalai?

2 csoport

Mi az a lapos sokszög? Mondjon példákat sokszögekre!

Mi az n-gon?

Magyarázza meg, hogy a sokszög mely csúcsai szomszédosak és melyek nem!

Mekkora egy sokszög átlója?

3 csoport

Mi az a konvex sokszög?

Magyarázza meg, hogy a sokszög mely sarkai külsőek és melyek belsőek?

Mi az a szabályos sokszög? Mondjon példákat szabályos sokszögekre!

4 csoport

Mennyi egy konvex n-szög szögeinek összege? Bizonyítsd be.

A tanulók dolgoznak a szöveggel, választ keresnek a feltett kérdésekre, majd szakértői csoportokat alakítanak ki, amelyekben ugyanazon a kérdéseken dolgoznak: a hallgatók kiemelik a lényeget, összeállítanak egy alátámasztó absztraktot, bemutatják az információkat az egyikben. grafikus formák. A munka végén a tanulók visszatérnek munkacsoportjukba.

3. Reflexiós szakasz -

a) tudásuk felmérése, kihívás a tudás következő fokára;

b) a kapott információ megértése és felhasználása.

Fogadás: kutatómunka.

Munkaformák: egyéni->pár->csoportos.

A munkacsoportok a javasolt kérdések egyes szakaszaira adott válaszok szakértői.

A munkacsoportra visszatérve a szakértő bemutatja a csoport többi tagját a kérdéseikre adott válaszokkal. A csoportban a munkacsoport minden tagja információcserét folytat. Így minden munkacsoportban a szakértők munkájának köszönhetően általános elképzelés alakul ki a vizsgált témáról.

Diákok kutatómunkája - táblázat kitöltése.

Szabályos sokszögek	Rajz	Oldalak száma	A csúcsok száma	Az összes belső szög összege	Fokozat mértéke int. sarok	A külső szög fokmértéke	Az átlók száma
A) háromszög
B) négyszög
B) ötfalas
D) hatszög
E) n-gon

Érdekes feladatok megoldása az óra témájában.

• A négyszögbe húzz egy vonalat úgy, hogy az három háromszögre osztja.
• Hány oldala van egy szabályos sokszögnek, amelynek minden belső szöge 135 0 ?
• Egy bizonyos sokszögben minden belső szög egyenlő egymással. Lehet-e ennek a sokszögnek a belső szögeinek összege: 360 0 , 380 0 ?

Összegezve a tanulságot. Házi feladat rögzítése.

Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok az azonosításra használható adatokra vonatkoznak bizonyos személy vagy a vele való kapcsolat.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk Önt egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és üzenetek küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha részt vesz egy nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló ösztönzőben, felhasználhatjuk az Ön által megadott információkat az ilyen programok lebonyolítására.

Feltárás harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági végzésnek megfelelően, bírósági eljárásban és/vagy nyilvános megkeresések, illetve kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen közzététel biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű okokból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk az érintett harmadik fél jogutódjának.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

Személyes adatainak megőrzése vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági gyakorlatokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Ebben a leckében egy új témát indítunk, és egy új fogalmat vezetünk be számunkra - egy "sokszöget". Megnézzük a sokszögekhez kapcsolódó alapfogalmakat: oldalak, csúcsok, sarkok, konvexitás és nem-konvexitás. Aztán bebizonyítjuk legfontosabb tényeket mint például a sokszög belső szögösszeg tétele, sokszög külső szögösszeg tétele. Ennek eredményeként közel kerülünk a sokszögek speciális eseteinek tanulmányozásához, amelyekre a jövőbeni leckéken is szó lesz.

Téma: Négyszögek

Tanulság: Sokszögek

A geometria során a geometriai formák tulajdonságait tanulmányozzuk, és már figyelembe vettük a legegyszerűbbeket: a háromszögeket és a köröket. Ugyanakkor tárgyaltuk ezen alakzatok speciális speciális eseteit is, például derékszögű, egyenlő szárú és szabályos háromszögeket. Itt az ideje, hogy általánosabb és összetettebb formákról beszéljünk - sokszögek.

Különleges tokkal sokszögek már ismerjük – ez egy háromszög (lásd 1. ábra).

Rizs. 1. Háromszög

Már maga a név is hangsúlyozza, hogy ez egy olyan figura, amelynek három sarka van. Ezért be poligon sok lehet belőlük, pl. több mint három. Például rajzoljunk egy ötszöget (lásd 2. ábra), i.e. öt sarkú figura.

Rizs. 2. Pentagon. Konvex sokszög

Meghatározás.Poligon- több pontból (kettőnél több) és az ezeket sorba kötődő szegmensek megfelelő számából álló ábra. Ezeket a pontokat ún csúcsok sokszög és szakaszok - a felek. Ebben az esetben nincs két szomszédos oldal ugyanazon az egyenesen, és nincs két nem szomszédos oldal sem metszi egymást.

Meghatározás.szabályos sokszög egy konvex sokszög, amelyben minden oldal és szög egyenlő.

Bármi poligon két részre osztja a síkot: belső és külső. A belső teret is emlegetik poligon.

Más szavakkal, amikor például egy ötszögről beszélnek, akkor a teljes belső régióját és a határát is jelentik. És a belső területbe beletartozik minden olyan pont is, amely a sokszögön belül fekszik, pl. a pont is az ötszöghöz tartozik (lásd 2. ábra).

A sokszögeket néha n-szögeknek is nevezik, hogy hangsúlyozzák, hogy egy ismeretlen számú sarkuk (n darab) általános esetét vizsgáljuk.

Meghatározás. Sokszög kerülete a sokszög oldalai hosszának összege.

Most meg kell ismerkednünk a sokszögek típusaival. Osztva vannak konvexés nem domború. Például az ábrán látható sokszög. A 2. ábra konvex, és a 2. ábrán látható. 3 nem domború.

Rizs. 3. Nem konvex sokszög

1. definíció. Poligon hívott konvex, ha bármelyik oldalán keresztül egyenes vonal húzásakor a teljes poligon ennek a vonalnak csak az egyik oldalán fekszik. nem domború az összes többi sokszögek.

Könnyen elképzelhető, hogy az ötszög bármely oldalának meghosszabbításakor a 1. ábrán. 2 mindez ennek az egyenesnek az egyik oldalán lesz, azaz. ő domború. Ám amikor egyenes vonalat húzunk a négyszögön keresztül az ábrán. 3 már látjuk, hogy két részre osztja, i.e. ő nem domború.

De van egy másik definíció is a sokszög konvexitásáról.

2. definíció. Poligon hívott konvex ha bármely két belső pontjának kiválasztásakor és egy szakaszhoz való kapcsolásakor a szakasz minden pontja egyben a sokszög belső pontja is.

Ennek a definíciónak a használatának szemléltetése látható a szegmensek felépítésének példáján az ábrán. 2. és 3.

Meghatározás. Átlós A sokszög bármely szakasz, amely két nem szomszédos csúcsot köt össze.

A sokszögek tulajdonságainak leírására két legfontosabb tétel van a szögeikről: konvex sokszög belső szögösszeg tételés konvex sokszög külső szögösszeg tétel. Tekintsük őket.

Tétel. Egy konvex sokszög belső szögeinek összegéről (n-gon).

Hol van a szögeinek (oldalainak) száma.

1. bizonyítás. Ábrázoljuk az ábrán. 4 konvex n-szög.

Rizs. 4. Konvex n-szög

Rajzolja le az összes lehetséges átlót a csúcsból. Az n-szöget háromszögekre osztják, mert a sokszög minden oldala egy háromszöget alkot, kivéve a csúcsgal szomszédos oldalakat. Az ábrán jól látható, hogy ezen háromszögek szögeinek összege éppen egyenlő lesz az n-szög belső szögeinek összegével. Mivel bármely háromszög szögeinek összege , akkor egy n-szög belső szögeinek összege:

Q.E.D.

2. bizonyítás. Ennek a tételnek egy másik bizonyítása is lehetséges. Rajzoljunk egy hasonló n-szöget az ábrán. 5, és csatlakoztassa bármelyik belső pontját az összes csúcshoz.

Rizs. 5.

Egy n-szögű partíciót kaptunk n háromszögre (hány oldal, annyi háromszög). Az összes szögük összege egyenlő a sokszög belső szögeinek összegével és a belső pont szögeinek összegével, és ez a szög. Nekünk van:

Q.E.D.

Igazolt.

A bizonyított tétel szerint belátható, hogy egy n-szög szögeinek összege függ oldalainak számától (n-en). Például egy háromszögben, és a szögek összege . Egy négyszögben, és a szögek összege - stb.

Tétel. Egy konvex sokszög külső szögeinek összegéről (n-gon).

Hol van a sarkainak (oldalainak) száma, és a , ... a külső sarkok.

Bizonyíték. Rajzoljunk konvex n-szöget az ábrán. 6, és jelölje belső és külső szögeit.

Rizs. 6. Konvex n-szög jelölt külső sarkokkal

Mert a külső sarok szomszédosként kapcsolódik a belsőhöz, majd és hasonlóan más külső sarkokhoz. Akkor:

A transzformációk során az n-szög belső szögeinek összegére vonatkozó, már bevált tételt alkalmaztuk.

Igazolt.

A bizonyított tételből az következik Érdekes tény hogy egy konvex n-szög külső szögeinek összege az szögeinek (oldalainak) számáról. Egyébként a belső szögek összegével ellentétben.

Bibliográfia

1. Aleksandrov A.D. stb Geometria, 8. évfolyam. - M.: Oktatás, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria, 8. osztály. - M.: Oktatás, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria, 8. osztály. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com().

Házi feladat

A sík zárt szaggatott vonallal határolt részét sokszögnek nevezzük.

Ennek a szaggatott vonalnak a szakaszait ún a felek poligon. AB, BC, CD, DE, EA (1. ábra) - az ABCDE sokszög oldalai. Egy sokszög összes oldalának összegét nevezzük annak kerülete.

A sokszög ún konvex, ha bármelyik oldalának egyik oldalán helyezkedik el, mindkét csúcson túl korlátlanul kiterjesztve.

Az MNPKO sokszög (1. ábra) nem lesz konvex, mivel a KP egyenes több mint egy oldalán található.

Csak a konvex sokszögeket fogjuk figyelembe venni.

A sokszög két szomszédos oldala által alkotott szögeket sokszögének nevezzük belső sarkai és tetejük - sokszög csúcsai.

A sokszög két nem szomszédos csúcsát összekötő szakaszt a sokszög átlójának nevezzük.

AC, AD - a sokszög átlói (2. ábra).

A sokszög belső sarkaival szomszédos sarkokat a sokszög külső sarkainak nevezzük (3. ábra).

A sokszöget a szögek (oldalak) számától függően háromszögnek, négyszögnek, ötszögnek stb.

Két sokszöget egyenlőnek mondunk, ha egymásra rakhatók.

Beírt és körülírt sokszögek

Ha egy sokszög minden csúcsa egy körön fekszik, akkor a sokszöget hívjuk felírva egy körbe, és a körbe leírta a sokszög közelében (ábra).

Ha egy sokszög minden oldala érinti a kört, akkor a sokszöget nevezzük leírta a kör körül, és a kört hívják felírva sokszögbe (ábra).

Sokszögek hasonlósága

Két azonos nevű sokszöget hasonlónak nevezünk, ha az egyik szöge egyenlő a másik szögeivel, és a sokszögek hasonló oldalai arányosak.

Az azonos számú oldallal (szögekkel) rendelkező sokszögeket azonos nevű sokszögeknek nevezzük.

A hasonló sokszögek oldalait hasonlónak nevezzük, ha megfelelően egyenlő szögű csúcsokat kötnek össze (ábra).

Tehát például ahhoz, hogy az ABCDE sokszög hasonló legyen az A'B'C'D'E' sokszöghez, szükséges, hogy: E = ∠E' és ezen felül AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Hasonló sokszögek kerületi aránya

Először is vegyük figyelembe az egyenlő arányok sorozatának tulajdonságát. Legyünk például relációk: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Keressük meg ezeknek a relációknak az előző tagjainak összegét, majd - a következő tagjaik összegét és keressük meg a kapott összegek arányát, kapjuk:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Ugyanezt kapjuk, ha számos más összefüggést veszünk, például: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3, majd megkeressük ezeknek az összegeknek az arányát, kapunk:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

Mindkét esetben egy egyenlő relációsorozat előző tagjainak összege összefügg ugyanazon sorozat következő tagjainak összegével, mivel ezen relációk bármelyikének előző tagja kapcsolódik a következőhöz.

Ezt a tulajdonságot számos numerikus példa figyelembevételével következtettük. Szigorúan és általános formában levezethető.

Most vegyük figyelembe a hasonló sokszögek kerületének arányát.

Legyen az ABCDE sokszög hasonló az A'B'C'D'E' sokszöghez (ábra).

E sokszögek hasonlóságából következik, hogy

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Az általunk levezetett egyenlő relációk sorozatának tulajdonsága alapján felírhatjuk:

Az általunk felvett összefüggések előző tagjainak összege az első sokszög kerülete (P), és ezen relációk következő tagjainak összege a második sokszög kerülete (P '), tehát P / P ' = AB / A'B'.

Következésképpen, a hasonló sokszögek kerületei a megfelelő oldalaikként kapcsolódnak egymáshoz.

Hasonló sokszögek területének aránya

Legyenek ABCDE és A'B'C'D'E' hasonló sokszögek (ábra).

Ismeretes, hogy ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' és ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Kívül,

;

Mivel ezeknek az arányoknak a második arányai egyenlőek, ami a sokszögek hasonlóságából következik, akkor

Az egyenlő arányok sorozatának tulajdonságát felhasználva a következőket kapjuk:

Vagy

ahol S és S' ezeknek a hasonló sokszögeknek a területei.

Következésképpen, a hasonló sokszögek területei a hasonló oldalak négyzeteihez kapcsolódnak.

A kapott képlet a következő alakra konvertálható: S / S '= (AB / A'B') 2

Egy tetszőleges sokszög területe

Legyen szükséges egy tetszőleges ABDC négyszög területének kiszámítása (ábra).

Rajzoljunk bele egy átlót, például AD. Két ABD és ACD háromszöget kapunk, amelyek területeit ki tudjuk számítani. Ezután megtaláljuk e háromszögek területének összegét. A kapott összeg kifejezi az adott négyszög területét.

Ha ki kell számítania egy ötszög területét, akkor ugyanúgy járunk el: átlókat rajzolunk az egyik csúcsból. Három háromszöget kapunk, amelyek területét ki tudjuk számítani. Így megtalálhatjuk ennek az ötszögnek a területét. Ugyanezt tesszük bármely sokszög területének kiszámításakor.

Sokszög vetítési terület

Emlékezzünk vissza, hogy az egyenes és a sík közötti szög az adott egyenes és a síkra való vetülete közötti szög (ábra).

Tétel. A sokszög síkra merőleges vetületének területe egyenlő a kivetített sokszög területével, megszorozva a sokszög síkja és a vetítési sík által alkotott szög koszinuszával.

Minden sokszög háromszögekre osztható, amelyek területeinek összege megegyezik a sokszög területével. Ezért elegendő a háromszög tételének bizonyítása.

Legyen ΔABC vetítve a síkra R. Vegyünk két esetet:

a) az egyik ΔABS oldal párhuzamos a síkkal R;

b) egyik ΔABC oldal sem párhuzamos R.

Fontolgat első eset: legyen [AB] || R.

Rajzoljon át az (AB) síkon R 1 || Rés merőlegesen ΔABC-t vetítenek rá R 1 és tovább R(rizs.); ΔABC 1-et és ΔA’B’C’-t kapunk.

A vetületi tulajdonság alapján ΔABC 1 (cong) ΔA’B’C’, ezért

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

Rajzoljuk ⊥ és a D 1 C 1 szakaszt. Ekkor ⊥, a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ az ΔABC sík és a sík közötti szög R egy . Ezért

S ∆ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ

és ezért S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

Térjünk át a mérlegelésre második eset. Rajzolj egy síkot R 1 || R azon a ΔАВС csúcson keresztül, amely távolság a síktól R a legkisebb (legyen az A csúcs).

Tervezzük meg az ΔABC-t a síkon R 1 és R(rizs.); vetületei legyenek rendre ΔAB 1 C 1 és ΔA’B’C’.

Legyen (BC) ∩ p 1 = D. Akkor

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Más anyagok