Az y másodfokú függvény grafikonja ax2 bx c. Másodfokú függvény együtthatók értékeinek meghatározása grafikonból
Lecke: Hogyan készítsünk parabolát vagy másodfokú függvényt?
ELMÉLETI RÉSZ
A parabola az ax 2 +bx+c=0 képlettel leírt függvény grafikonja.
A parabola felépítéséhez egy egyszerű algoritmust kell követnie:
1) Parabola képlet y=ax 2 +bx+c,
Ha a>0 akkor a parabola ágai irányulnak fel,
egyébként a parabola ágai irányítottak le-.
Ingyenes tag c ez a pont metszi a parabolát az OY tengellyel;
2), a képlet segítségével találjuk meg x=(-b)/2a, behelyettesítjük a talált x-et a parabola egyenletbe, és megtaláljuk y;
3)Funkció nullák vagy más szóval a parabola OX tengellyel való metszéspontjai, ezeket az egyenlet gyökeinek is nevezik. A gyökök megtalálásához az egyenletet 0-val egyenlővé tesszük ax 2 +bx+c=0;
Az egyenletek típusai:
a) A teljes másodfokú egyenlet alakja ax 2 +bx+c=0és a diszkrimináns oldja meg;
b) A forma hiányos másodfokú egyenlete ax 2 +bx=0. A megoldáshoz ki kell venni x-et a zárójelekből, majd minden tényezőt 0-val egyenlővé kell tenni:
ax 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 és ax+b=0;
c) A forma hiányos másodfokú egyenlete ax 2 +c=0. A megoldáshoz az ismeretleneket az egyik oldalra, az ismerteket a másik oldalra kell mozgatni. x =±√(c/a);
4) Keressen néhány további pontot a függvény összeállításához.
GYAKORLATI RÉSZ
És most egy példa segítségével mindent lépésről lépésre elemzünk:
1. példa:
y=x 2 +4x+3
c=3 azt jelenti, hogy a parabola OY-t az x=0 y=3 pontban metszi. A parabola ágai felfelé néznek, mivel a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 csúcs a (-2;-1) pontban van
Keressük meg az x 2 +4x+3=0 egyenlet gyökereit
A diszkrimináns segítségével megtaláljuk a gyökereket
a=1 b=4 c=3
D=b 2-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3
Vegyünk több tetszőleges pontot, amelyek az x = -2 csúcs közelében találhatók
x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3
Helyettesítsen be x helyett az y=x 2 +4x+3 egyenletet
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
A függvényértékekből látható, hogy a parabola szimmetrikus az x = -2 egyenesre
2. példa:
y=-x 2 +4x
c=0 azt jelenti, hogy a parabola OY-t az x=0 y=0 pontban metszi. A parabola ágai lefelé néznek, mivel a=-1 -1 Keressük meg a -x 2 +4x=0 egyenlet gyökereit
Hiányos másodfokú egyenlet ax 2 +bx=0 alakú. A megoldáshoz ki kell venni x-et a zárójelekből, majd minden tényezőt 0-val egyenlővé kell tenni.
x(-x+4)=0, x=0 és x=4.
Vegyünk néhány tetszőleges pontot, amelyek az x=2 csúcs közelében találhatók
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Helyettesíts be x helyett az y=-x egyenletbe 2 +4x értékeket
y=0 2 +4*0=0
y=-(1)2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
A függvényértékekből látható, hogy a parabola szimmetrikus az x = 2 egyenesre
3. példa
y=x 2-4
c=4 azt jelenti, hogy a parabola OY-t az x=0 y=4 pontban metszi. A parabola ágai felfelé néznek, mivel a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 a csúcs a (0) pontban van;- 4 )
Keressük meg az x 2 -4=0 egyenlet gyökereit
Hiányos másodfokú egyenlet ax 2 +c=0 alakú. A megoldáshoz az ismeretleneket az egyik oldalra, az ismerteket a másik oldalra kell mozgatni. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2
Vegyünk néhány tetszőleges pontot, amelyek az x=0 csúcs közelében találhatók
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Helyettesítse be x helyett az y= x egyenletet 2 -4 értékkel
y=(-2) 2-4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=12-4=1-4=-3
y=2 2-4=4-4=0
A függvényértékekből látható, hogy a parabola szimmetrikus az x = 0 egyenesre
Iratkozz fel a YOUTUBE csatornájára hogy lépést tartson az összes új termékkel, és velünk készüljön a vizsgákra.
Algebra órajegyzetek a 8. osztályos középiskola számára
Óra témája: Funkció
Az óra célja:
· Nevelési: definiálja az alak másodfokú függvényének fogalmát (hasonlítsa össze a függvénygráfokat és ), mutassa meg a képletet a parabola csúcsának koordinátáinak megtalálásához (tanítsa meg ennek a képletnek a gyakorlati alkalmazását); másodfokú függvény tulajdonságainak gráfból történő meghatározásának képességének fejlesztése (szimmetriatengely, parabola csúcsának koordinátái, a gráf koordinátatengelyekkel való metszéspontjainak koordinátái).
· Fejlődési: a matematikai beszéd fejlesztése, a gondolatok helyes, következetes és racionális kifejezésének képessége; a matematikai szöveg helyes írásának képességének fejlesztése szimbólumok és jelölések segítségével; az elemző gondolkodás fejlesztése; fejlesztés kognitív tevékenység a tanulók az anyagelemzés, rendszerezés és általánosítás képességén keresztül.
· Nevelési: az önállóság, a mások meghallgatásának képességének elősegítése, a pontosság és a figyelem fejlesztése az írott matematikai beszédben.
Az óra típusa: új anyagok tanulása.
Tanítási módok:
generalizált reproduktív, induktív heurisztika.
A tanulók tudásával és készségeivel szemben támasztott követelmények
tudja, mi az alak másodfokú függvénye, a képlet a parabola csúcsának koordinátáinak megtalálásához; tudja megkeresni a parabola csúcsának koordinátáit, egy függvény grafikonja és a koordinátatengelyek metszéspontjainak koordinátáit, és használja a függvény grafikonját a másodfokú függvény tulajdonságainak meghatározására.
Felszerelés:
Tanterv
I. Szervezési pillanat (1-2 perc)
II. Tudásfrissítés (10 perc)
III. Új anyag bemutatása (15 perc)
IV. Új anyag tömörítése (12 perc)
V. Összegzés (3 perc)
VI. Házi feladat (2 perc)
Az órák alatt
I. Szervezési mozzanat
Köszöntés, távollévők ellenőrzése, füzetgyűjtés.
II. Az ismeretek frissítése
Tanár: A mai leckében egy új témát fogunk tanulmányozni: "Funkció". De először ismételjük meg a korábban tanulmányozott anyagot.
Frontális felmérés:
1) Mit nevezünk másodfokú függvénynek? (Azt a függvényt, ahol adott valós számok, , valós változók, másodfokú függvénynek nevezzük.)
2) Mi a másodfokú függvény grafikonja? (Egy másodfokú függvény grafikonja egy parabola.)
3) Melyek a másodfokú függvény nullái? (Egy másodfokú függvény nullái azok az értékek, amelyeknél nullává válik.)
4) Sorolja fel a függvény tulajdonságait! (A függvény értékei pozitívak és egyenlőek nullával; a függvény grafikonja szimmetrikus az ordináta tengelyekre; at - a függvény növekszik, at - csökken.)
5) Sorolja fel a függvény tulajdonságait! (Ha , akkor a függvény veszi pozitív értékeket at , ha , akkor a függvény negatív értékeket vesz fel -nél, a függvény értéke csak 0; a parabola szimmetrikus az ordinátatengelyre; ha, akkor a függvény növekszik és csökken, ha, akkor a függvény növekszik -nál, csökken -nél.)
III. Új anyag bemutatása
Tanár: Kezdjük el az új anyagok tanulását. Nyisd ki a füzeteidet, írd le az óra dátumát és témáját. Ügyeljen a táblára.
Írás a táblára: Szám.
Funkció.
Tanár: A táblán két függvénygrafikon látható. Az első grafikon és a második. Próbáljuk meg összehasonlítani őket.
Ismeri a függvény tulajdonságait. Ezek alapján és grafikonjainkat összevetve kiemelhetjük a függvény tulajdonságait.
Tehát szerinted mi határozza meg a parabola ágainak irányát?
Diákok: Mindkét parabola ágainak iránya az együtthatótól függ.
Tanár: Teljesen igaza van. Azt is észreveheti, hogy mindkét parabolának van szimmetriatengelye. A függvény első grafikonján mi a szimmetriatengely?
Diákok: Parabola esetén a szimmetriatengely az ordinátatengely.
Tanár: Jobb. Mi a parabola szimmetriatengelye?
Diákok: A parabola szimmetriatengelye az az egyenes, amely átmegy a parabola csúcsán, párhuzamosan az ordinátatengellyel.
Tanár: Jobb. Tehát egy függvény grafikonjának szimmetriatengelyét a parabola csúcsán áthaladó, az ordinátatengellyel párhuzamos egyenesnek nevezzük.
A parabola csúcsa pedig egy koordinátákkal rendelkező pont. Ezeket a következő képlet határozza meg:
Írd be a képletet a füzetedbe, és karikázd be egy keretbe!
Írás a táblára és a füzetekbe
A parabola csúcsának koordinátái.
Tanár: Most, hogy világosabb legyen, nézzünk egy példát.
1. példa: Keresse meg a parabola csúcsának koordinátáit.
Megoldás: A képlet szerint
Tanár: Mint már megjegyeztük, a szimmetriatengely a parabola csúcsán halad át. Nézd meg a táblát. Rajzold le ezt a képet a füzetedbe.
Írd fel a táblára és a füzetekbe:
Tanár: A rajzon: - egy parabola szimmetriatengelyének egyenlete annak a pontnak a csúcsával, ahol az abszcissza a parabola csúcsa.
Nézzünk egy példát.
2. példa: A függvény grafikonja segítségével határozza meg a parabola szimmetriatengelyének egyenletét!
A szimmetriatengely egyenlete a következő: , ami azt jelenti, hogy ennek a parabolának a szimmetriatengelyének egyenlete: .
Válasz: - a szimmetriatengely egyenlete.
IV. Új anyag konszolidációja
Tanár: A tanórán megoldandó feladatokat felírjuk a táblára.
Írás a táblára: № 609(3), 612(1), 613(3)
Tanár: De előbb oldjunk meg egy példát, nem a tankönyvből. A testületben döntünk.
1. példa: Keresse meg egy parabola csúcsának koordinátáit
Megoldás: A képlet szerint
Válasz: a parabola csúcsának koordinátái.
2. példa: Keresse meg a parabola metszéspontjainak koordinátáit 
koordináta tengelyekkel.
Megoldás: 1) Tengellyel:
Azok. 
Vieta tétele szerint:
Az x tengellyel való metszéspontok (1;0) és (2;0).
2) Tengellyel:
A metszéspont az ordináta tengellyel (0;2).
Válasz: (1;0), (2;0), (0;2) – a koordinátatengelyekkel való metszéspontok koordinátái.
609. (3) bek. Határozzuk meg a parabola csúcsának koordinátáit!
Másodfokú függvény együtthatók értékeinek meghatározása grafikonból.
Módszertani fejlesztés: Sagnaeva A.M.
MBOU 44. számú középiskola, Surgut, Hanti-Mansi Autonóm Okrug-Yugra .
Ι. Az együttható megtalálása A
- Egy parabola grafikonjával meghatározzuk a csúcs koordinátáit (m,n)
2. Egy parabola grafikonjával meghatározzuk bármely A pont koordinátáit (X 1 ;y 1 )
3. Ezeket az értékeket behelyettesítjük egy más formában megadott másodfokú függvény képletébe:
y=a(x-m)2+n
4. oldja meg a kapott egyenletet.
Ó 1 ;y 1 )
parabola
ΙΙ. Az együttható megtalálása b
1. Először megtaláljuk az együttható értékét a
2. A parabola abszcisszájának képletében m= -b/2a cserélje ki az értékeket mÉs a
3. Számítsa ki az együttható értékét! b .
Ó 1 ;y 1 )
parabola
ΙΙΙ. Az együttható megtalálása c
1. Megtaláljuk a parabola gráf Oy tengellyel való metszéspontjának ordinátáját, ez az érték egyenlő az együtthatóval Val vel, azaz pont (0;s)-a parabola gráf és az Oy tengellyel való metszéspontja.
2. Ha a gráfból lehetetlen megtalálni a parabola metszéspontját az Oy tengellyel, akkor megtaláljuk az együtthatókat a,b
(lásd az Ι, ΙΙ lépéseket)
3. Cserélje be a talált értékeket! a, b ,A(x 1; nál nél 1 ) az egyenletbe
y=ax 2 +bx+cés megtaláljuk Val vel.
Ó 1 ;y 1 )
parabola
Feladatok
nyom
Ιx 2 Ι, és x 1 0, mert a A parabola OY tengellyel való metszéspontjának ordinátája a c együttható. Válasz: 5 c x 1 x 2 "width="640" - A parabola ágai lefelé irányulnak,
- A gyökereknek van különböző jelek,Ι x 1 ΙΙх 2 Ι és x 1 0, mert a
- A parabola OY tengellyel való metszéspontjának ordinátája az együttható Val vel
x 1
x 2
P Nyom
0 x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0. Válasz: 5 "width="640" 1.A parabola ágai lefelé irányulnak, ami azt jelenti, hogy a
- x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0.
0 mert a parabola ágai felfelé irányulnak; 2. c=y(0)3. A parabola csúcsának pozitív abszcissza van: ebben az esetben a 0, ezért b4. D0, mert a parabola két különböző pontban metszi az OX tengelyt. "width="640" Az ábra az y=ax függvény grafikonját mutatja 2 +bx+c. Jelölje meg a jeleket együtthatók a,b,cés diszkriminatív D.
Megoldás:
1. a0, mert a parabola ágai felfelé irányulnak;
3. A parabola csúcsának pozitív abszcissza van:
ebben az esetben a 0, tehát b
4. D0, mert A parabola két különböző pontban metszi az OX tengelyt.
A képen egy parabola látható
Adja meg az értékeket kÉs t .
Keresse meg a parabola csúcsának koordinátáit, és írja fel azt a függvényt, amelynek grafikonja az ábrán látható!
Keresse meg, hol vannak a metszéspontok abszcisszái
parabolák és vízszintes egyenesek (lásd az ábrát).
