Gradele sunt aceleași, dar bazele sunt diferite. Regula pentru împărțirea puterilor

Fiecare operație aritmetică devine uneori prea greoaie pentru a fi scrisă și încearcă să o simplifice. Acesta a fost cândva cazul cu operația de adăugare. Oamenii trebuiau să efectueze adăugarea repetată de același tip, de exemplu, pentru a calcula costul a o sută de covoare persane, al căror cost este de 3 monede de aur pentru fiecare. 3+3+3+…+3 = 300. Datorită naturii sale greoaie, sa decis să se scurteze notația la 3 * 100 = 300. De fapt, notația „de trei ori o sută” înseamnă că trebuie să luați una sute trei și adună-le împreună. Înmulțirea a prins și a câștigat popularitate generală. Dar lumea nu stă pe loc, iar în Evul Mediu a apărut nevoia de a efectua înmulțiri repetate de același tip. Îmi amintesc o veche ghicitoare indiană despre un înțelept care a cerut boabe de grâu în următoarele cantități ca recompensă pentru munca depusă: pentru primul pătrat al tablei de șah a cerut un bob, pentru al doilea - două, pentru al treilea - patru, pentru al cincilea - opt și așa mai departe. Așa a apărut prima înmulțire a puterilor, deoarece numărul de boabe era egal cu doi cu puterea numărului celulei. De exemplu, pe ultima celulă ar fi 2*2*2*...*2 = 2^63 de boabe, care este egal cu un număr de 18 caractere, care, de fapt, este sensul ghicitorii.

Operația de exponențiere a prins destul de repede și a apărut rapid și nevoia de a efectua adunarea, scăderea, împărțirea și înmulțirea puterilor. Acesta din urmă merită luat în considerare mai detaliat. Formulele de adăugare a puterilor sunt simple și ușor de reținut. În plus, este foarte ușor de înțeles de unde provin ele dacă operația de putere este înlocuită cu înmulțire. Dar mai întâi trebuie să înțelegeți o terminologie de bază. Expresia a^b (a se citi „a la puterea lui b”) înseamnă că numărul a trebuie înmulțit cu el însuși de b ori, „a” fiind numit baza puterii, iar „b” exponentul puterii. Dacă bazele gradelor sunt aceleași, atunci formulele sunt derivate destul de simplu. Exemplu specific: găsiți valoarea expresiei 2^3 * 2^4. Pentru a ști ce ar trebui să se întâmple, ar trebui să aflați răspunsul pe computer înainte de a începe soluția. Introducând această expresie în orice calculator online, motor de căutare, tastând „înmulțirea puterilor cu baze diferite și aceleași” sau într-un pachet matematic, rezultatul va fi 128. Acum să scriem această expresie: 2^3 = 2*2*2, și 2^4 = 2 *2*2*2. Rezultă că 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Rezultă că produsul puterilor cu aceeași bază este egal cu baza ridicată la o putere egală cu suma celor două puteri anterioare.

Ai putea crede că acesta este un accident, dar nu: orice alt exemplu nu poate decât să confirme această regulă. Astfel, în general, formula arată astfel: a^n * a^m = a^(n+m) . Există, de asemenea, o regulă că orice număr la puterea zero este egal cu unu. Aici ar trebui să ne amintim regula puterilor negative: a^(-n) = 1 / a^n. Adică, dacă 2^3 = 8, atunci 2^(-3) = 1/8. Folosind această regulă, puteți demonstra validitatea egalității a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) poate fi redus și unul rămâne. De aici se deduce regula că câtul puterilor cu aceleași baze este egal cu această bază într-un grad egal cu câtul dintre dividend și divizor: a^n: a^m = a^(n-m) . Exemplu: simplificați expresia 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Înmulțirea este o operație comutativă, prin urmare, trebuie să adăugați mai întâi exponenții de înmulțire: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. În continuare, trebuie să te ocupi de diviziunea cu o putere negativă. Este necesar să se scadă exponentul divizorului din exponentul dividendului: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Rezultă că operația de împărțire a gradului la negativ este identică cu operația de înmulțire cu un exponent pozitiv similar. Deci răspunsul final este 8.

Există exemple în care are loc multiplicarea necanonică a puterilor. Înmulțirea puterilor cu baze diferite este adesea mult mai dificilă și uneori chiar imposibilă. Ar trebui date câteva exemple de diferite tehnici posibile. Exemplu: simplificați expresia 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Evident, există o înmulțire a puterilor cu baze diferite. Dar trebuie remarcat faptul că toate bazele sunt puteri diferite de trei. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Folosind regula (a^n) ^m = a^(n*m) , ar trebui să rescrieți expresia într-o formă mai convenabilă: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7) -4+12 -10+6) = 3^(11) . Răspuns: 3^11. În cazurile în care există baze diferite, regula a^n * b^n = (a*b) ^n funcționează pentru indicatori egali. De exemplu, 3^3 * 7^3 = 21^3. În caz contrar, atunci când bazele și exponenții sunt diferiți, înmulțirea completă nu poate fi efectuată. Uneori puteți simplifica parțial sau puteți recurge la ajutorul tehnologiei informatice.

Cum să înmulțim puterile? Ce puteri pot fi multiplicate și care nu? Cum se înmulțește un număr cu o putere?

În algebră, puteți găsi un produs al puterilor în două cazuri:

1) dacă gradele au aceleași baze;

2) dacă gradele au aceiași indicatori.

La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, baza trebuie lăsată aceeași, iar exponenții trebuie adăugați:

Când înmulțiți grade cu aceiași indicatori, indicatorul general poate fi scos din paranteze:

Să ne uităm la cum să înmulțim puteri folosind exemple specifice.

Unitatea nu este scrisă în exponent, dar la înmulțirea puterilor, acestea iau în considerare:

La înmulțire, poate exista orice număr de puteri. Trebuie reținut că nu trebuie să scrieți semnul de înmulțire înaintea literei:

În expresii, exponențiarea se face mai întâi.

Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu o putere, trebuie mai întâi să efectuați exponențiarea și numai apoi înmulțirea:

www.algebraclass.ru

Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea puterilor

Adunarea și scăderea puterilor

Este evident că numerele cu puteri pot fi adăugate ca și alte cantități , prin adăugarea lor una după alta cu semnele lor.

Deci, suma a 3 și b 2 este a 3 + b 2.
Suma a 3 - b n și h 5 - d 4 este a 3 - b n + h 5 - d 4.

Cote puteri egale ale variabilelor identice poate fi adunat sau scazut.

Deci, suma lui 2a 2 și 3a 2 este egală cu 5a 2.

De asemenea, este evident că dacă luați două pătrate a, sau trei pătrate a sau cinci pătrate a.

Dar grade variabile variateȘi diverse grade variabile identice, trebuie compuse prin adăugarea lor cu semnele lor.

Deci, suma a 2 și a 3 este suma a 2 + a 3.

Este evident că pătratul lui a și cubul lui a nu este egal cu dublul pătratului lui a, ci cu dublul cubului lui a.

Suma a 3 b n și 3a 5 b 6 este a 3 b n + 3a 5 b 6.

Scădere puterile se desfășoară în același mod ca și adunarea, cu excepția faptului că semnele subtraendelor trebuie schimbate în mod corespunzător.

Sau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Înmulțirea puterilor

Numerele cu puteri pot fi înmulțite, ca și alte mărimi, scriindu-le una după alta, cu sau fără semn de înmulțire între ele.

Astfel, rezultatul înmulțirii a 3 cu b 2 este a 3 b 2 sau aaabb.

Sau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultatul din ultimul exemplu poate fi ordonat prin adăugarea de variabile identice.
Expresia va lua forma: a 5 b 5 y 3.

Comparând mai multe numere (variabile) cu puteri, putem vedea că dacă oricare două dintre ele sunt înmulțite, atunci rezultatul este un număr (variabilă) cu o putere egală cu Cantitate grade de termeni.

Deci, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aici 5 este puterea rezultatului înmulțirii, care este egală cu 2 + 3, suma puterilor termenilor.

Deci, a n .a m = a m+n .

Pentru a n, a este luat ca factor de atâtea ori cât puterea lui n;

Și a m este luat ca factor de câte ori este egal cu gradul m;

De aceea, puterile cu aceleași baze pot fi înmulțite prin adăugarea exponenților puterilor.

Deci, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Și x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Sau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Înmulțiți (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Răspuns: x 4 - y 4.
Înmulțiți (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Această regulă este valabilă și pentru numerele ai căror exponenți sunt negativ.

1. Deci, a -2 .a -3 = a -5 . Aceasta poate fi scrisă ca (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Dacă a + b sunt înmulțiți cu a - b, rezultatul va fi a 2 - b 2: adică

Rezultatul înmulțirii sumei sau diferenței a două numere este egal cu suma sau diferența pătratelor lor.

Dacă înmulțiți suma și diferența a două numere ridicate la pătrat, rezultatul va fi egal cu suma sau diferența acestor numere în Al patrulea grade.

Deci, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Împărțirea gradelor

Numerele cu puteri pot fi împărțite ca și alte numere, prin scăderea din dividend sau prin plasarea lor sub formă de fracție.

Astfel, a 3 b 2 împărțit la b 2 este egal cu a 3.

Scrierea unui 5 împărțit la 3 arată ca $\frac $. Dar acesta este egal cu un 2. Într-o serie de numere
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
orice număr poate fi împărțit la altul, iar exponentul va fi egal cu diferență indicatori ai numerelor divizibile.

La împărțirea gradelor cu aceeași bază, exponenții acestora sunt scăzuți..

Deci, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Adică $\frac = y$.

Și a n+1:a = a n+1-1 = a n . Adică $\frac = a^n$.

Sau:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Regula este valabilă și pentru numerele cu negativ valori ale gradelor.
Rezultatul împărțirii a -5 la a -3 este un -2.
De asemenea, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 sau $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Este necesar să stăpânești foarte bine înmulțirea și împărțirea puterilor, deoarece astfel de operații sunt foarte utilizate în algebră.

Exemple de rezolvare a exemplelor cu fracții care conțin numere cu puteri

1. Scădeți exponenții cu $\frac $ Răspuns: $\frac $.

2. Scădeți exponenții cu $\frac$. Răspuns: $\frac$ sau 2x.

3. Reduceți exponenții a 2 /a 3 și a -3 /a -4 și aduceți la un numitor comun.
a 2 .a -4 este a -2 primul numărător.
a 3 .a -3 este a 0 = 1, al doilea numărător.
a 3 .a -4 este a -1 , numărătorul comun.
După simplificare: a -2 /a -1 și 1/a -1 .

4. Reduceți exponenții 2a 4 /5a 3 și 2 /a 4 și aduceți la un numitor comun.
Răspuns: 2a 3 /5a 7 și 5a 5 /5a 7 sau 2a 3 /5a 2 și 5/5a 2.

5. Înmulțiți (a 3 + b)/b 4 cu (a - b)/3.

6. Înmulțiți (a 5 + 1)/x 2 cu (b 2 - 1)/(x + a).

7. Înmulțiți b 4 /a -2 cu h -3 /x și a n /y -3 .

8. Împărțiți un 4 /y 3 la un 3 /y 2 . Raspuns: a/a.

Proprietăți ale gradului

Vă reamintim că în această lecție vom înțelege proprietăți ale gradelor cu indicatori naturali si zero. Puterile cu exponenți raționali și proprietățile lor vor fi discutate în lecțiile pentru clasa a VIII-a.

O putere cu exponent natural are câteva proprietăți importante care ne permit să simplificăm calculele în exemple cu puteri.

Proprietatea nr. 1
Produsul puterilor

La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții puterilor.

a m · a n = a m + n, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Această proprietate a puterilor se aplică și produsului a trei sau mai multe puteri.

Simplificați expresia.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Prezintă-l ca o diplomă.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Prezintă-l ca o diplomă.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Vă rugăm să rețineți că în proprietatea specificată vorbeam doar despre înmulțirea puterilor cu aceleași baze. Nu se aplică la adăugarea lor.

Nu puteți înlocui suma (3 3 + 3 2) cu 3 5. Acest lucru este de înțeles dacă
calculați (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 și 3 5 = 243

Proprietatea nr. 2
Grade parțiale

La împărțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne neschimbată, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.

Scrieți coeficientul ca putere
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Calculati.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Exemplu. Rezolvați ecuația. Folosim proprietatea puterilor coeficiente.
3 8: t = 3 4

Răspuns: t = 3 4 = 81

Folosind proprietățile nr. 1 și nr. 2, puteți simplifica cu ușurință expresiile și efectuați calcule.

Exemplu. Simplificați expresia.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Exemplu. Găsiți valoarea unei expresii folosind proprietățile exponenților.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Vă rugăm să rețineți că în Proprietatea 2 vorbeam doar despre împărțirea puterilor cu aceleași baze.

Nu puteți înlocui diferența (4 3 −4 2) cu 4 1. Acest lucru este de înțeles dacă calculezi (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 și 4 1 = 4

Proprietatea nr. 3
Ridicarea unui grad la putere

La ridicarea unui grad la o putere, baza gradului rămâne neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți.

(a n) m = a n · m, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Vă rugăm să rețineți că proprietatea nr. 4, ca și alte proprietăți ale gradelor, se aplică și în ordine inversă.

(a n · b n)= (a · b) n

Adică, pentru a înmulți puteri cu aceiași exponenți, poți înmulți bazele, dar lasă exponentul neschimbat.

Exemplu. Calculati.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

Exemplu. Calculati.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

În exemple mai complexe, pot exista cazuri în care înmulțirea și împărțirea trebuie efectuate pe puteri cu baze diferite și exponenți diferiți. În acest caz, vă sfătuim să faceți următoarele.

De exemplu, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Un exemplu de ridicare a unei zecimale la o putere.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Proprietăți 5
Puterea unui coeficient (fracție)

Pentru a crește un coeficient la o putere, puteți crește dividendul și divizorul separat la această putere și puteți împărți primul rezultat la al doilea.

(a: b) n = a n: b n, unde „a”, „b” sunt orice numere raționale, b ≠ 0, n - orice număr natural.

Exemplu. Prezentați expresia ca un coeficient de puteri.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Vă reamintim că un coeficient poate fi reprezentat ca o fracție. Prin urmare, ne vom opri asupra subiectului ridicării unei fracții la o putere mai detaliat pe pagina următoare.

Puteri și rădăcini

Operații cu puteri și rădăcini. Gradul cu negativ ,

zero și fracțional indicator. Despre expresii care nu au sens.

Operații cu grade.

1. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, se adaugă exponenții acestora:

a m · a n = a m + n .

2. La împărțirea gradelor cu aceeași bază, exponenții acestora sunt deduse .

3. Gradul produsului a doi sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori.

4. Gradul unui raport (fracție) este egal cu raportul dintre gradele dividendului (numărătorul) și divizorului (numitorului):

(a/b) n = un n / b n .

5. Când ridicați o putere la o putere, exponenții acestora sunt înmulțiți:

Toate formulele de mai sus sunt citite și executate în ambele direcții de la stânga la dreapta și invers.

EXEMPLU (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operații cu rădăcini. În toate formulele de mai jos, simbolul înseamnă rădăcină aritmetică(expresia radicală este pozitivă).

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina unui raport este egală cu raportul dintre rădăcinile dividendului și divizorul:

3. Când ridici o rădăcină la o putere, este suficient să ridici la această putere numarul radical:

4. Dacă creșteți gradul rădăcinii de m ori și, în același timp, ridicați numărul radicalului la puterea mth, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă reduceți gradul rădăcinii de m ori și extrageți simultan rădăcina a m-a a numărului radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica:

Extinderea conceptului de grad. Până acum am considerat grade doar cu exponenți naturali; dar operaţiile cu puteri şi rădăcini pot duce şi la negativ, zeroȘi fracționat indicatori. Toți acești exponenți necesită o definiție suplimentară.

Un grad cu un exponent negativ. Puterea unui anumit număr cu un exponent negativ (întreg) este definită ca fiind una împărțită la puterea aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului negativ:

Acum formula a m : un n = a m - n poate fi folosit nu numai pentru m, mai mult decât n, dar și cu m, mai puțin decât n .

EXEMPLU A 4: A 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Dacă vrem formula a m : un n = a m — n a fost corect când m = n, avem nevoie de o definiție a gradului zero.

Un grad cu un indice zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este 1.

EXEMPLE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Gradul cu exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real a la puterea m / n, trebuie să extrageți rădăcina a n-a a puterii a m a acestui număr a:

Despre expresii care nu au sens. Există mai multe astfel de expresii.

Unde A ≠ 0 , nu exista.

De fapt, dacă presupunem că X este un anumit număr, atunci în conformitate cu definiția operației de împărțire avem: A = 0· X, adică A= 0, ceea ce contrazice condiția: A ≠ 0

— orice număr.

De fapt, dacă presupunem că această expresie este egală cu un anumit număr X, atunci conform definiției operației de împărțire avem: 0 = 0 · X. Dar această egalitate apare atunci când orice număr x, ceea ce trebuia dovedit.

0 0 — orice număr.

Soluție. Să luăm în considerare trei cazuri principale:

1) X = 0 – această valoare nu satisface această ecuație

2) când X> 0 obținem: x/x= 1, adică 1 = 1, ceea ce înseamnă

Ce X- orice număr; dar ținând cont că în

în cazul nostru X> 0, răspunsul este X > 0 ;

Reguli pentru înmulțirea puterilor cu baze diferite

GRAD CU INDICATOR RAȚIONAL,

FUNCȚIA DE PUTERE IV

§ 69. Înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceleași baze

Teorema 1. Pentru a multiplica puteri cu aceleași baze, este suficient să adăugați exponenții și să lăsați baza aceeași, adică

Dovada. Prin definiția gradului

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Ne-am uitat la produsul a două puteri. De fapt, proprietatea dovedită este adevărată pentru orice număr de puteri cu aceleași baze.

Teorema 2. Pentru a împărți puteri cu aceleași baze, când indicele dividendului este mai mare decât indicele divizorului, este suficient să scădem indicele divizorului din indicele dividendului și să lăsați baza aceeași, adică la t > p

(A =/= 0)

Dovada. Amintiți-vă că câtul împărțirii unui număr la altul este numărul care, înmulțit cu divizorul, dă dividendul. Prin urmare, demonstrați formula unde A =/= 0, este același lucru cu demonstrarea formulei

Dacă t > p , apoi numărul t - p va fi natural; prin urmare, prin teorema 1

Teorema 2 este demonstrată.

Trebuie remarcat faptul că formula

am dovedit-o numai în ipoteza că t > p . Prin urmare, din ceea ce s-a dovedit, nu este încă posibil să se tragă, de exemplu, următoarele concluzii:

În plus, nu am luat în considerare încă grade cu exponenți negativi și nu știm încă ce semnificație i se poate da expresiei 3 - 2 .

Teorema 3. Pentru a ridica un grad la o putere, este suficient să înmulțiți exponenții, lăsând baza gradului aceeași, acesta este

Dovada. Folosind definiția gradului și teorema 1 din această secțiune, obținem:

Q.E.D.

De exemplu, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Oral) Determinați X din ecuatii:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 X ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 X ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 X ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 X .

519. (Setul nr.) Simplificați:

520. (Setul nr.) Simplificați:

521. Prezentați aceste expresii sub formă de grade cu aceleași baze:

1) 32 și 64; 3) 8 5 și 16 3; 5) 4 100 și 32 50;

2) -1000 și 100; 4) -27 și -243; 6) 81 75 8 200 și 3 600 4 150.

Vă reamintim că în această lecție vom înțelege proprietăți ale gradelor cu indicatori naturali si zero. Puterile cu exponenți raționali și proprietățile lor vor fi discutate în lecțiile pentru clasa a VIII-a.

O putere cu exponent natural are câteva proprietăți importante care ne permit să simplificăm calculele în exemple cu puteri.

Proprietatea nr. 1
Produsul puterilor

Tine minte!

La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții puterilor.

a m · a n = a m + n, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Această proprietate a puterilor se aplică și produsului a trei sau mai multe puteri.

• Simplificați expresia.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Prezintă-l ca o diplomă.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Prezintă-l ca o diplomă.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Important!

Vă rugăm să rețineți că în proprietatea indicată vorbeam doar de înmulțirea puterilor cu pe aceleași temeiuri . Nu se aplică la adăugarea lor.

Nu puteți înlocui suma (3 3 + 3 2) cu 3 5. Acest lucru este de înțeles dacă
calculați (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 și 3 5 = 243

Proprietatea nr. 2
Grade parțiale

Tine minte!

La împărțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne neschimbată, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Exemplu. Rezolvați ecuația. Folosim proprietatea puterilor coeficiente.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Răspuns: t = 3 4 = 81

Folosind proprietățile nr. 1 și nr. 2, puteți simplifica cu ușurință expresiile și efectuați calcule.

• Exemplu. Simplificați expresia.
  4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Exemplu. Găsiți valoarea unei expresii folosind proprietățile exponenților.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Important!

  Vă rugăm să rețineți că în Proprietatea 2 vorbeam doar despre împărțirea puterilor cu aceleași baze.

  Nu puteți înlocui diferența (4 3 −4 2) cu 4 1. Acest lucru este de înțeles dacă numărați (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 și 4 1 = 4

  Atenție!

  Proprietatea nr. 3
  Ridicarea unui grad la putere

  Tine minte!

  La ridicarea unui grad la o putere, baza gradului rămâne neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți.

  (a n) m = a n · m, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

  
  

  Proprietăți 4
  Puterea produsului

  Tine minte!

  Când ridicați un produs la o putere, fiecare dintre factori este ridicat la o putere. Rezultatele obţinute sunt apoi multiplicate.

  (a b) n = a n b n, unde „a”, „b” sunt orice numere raționale; „n” este orice număr natural.

  • Exemplul 1.
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
    
  • Exemplul 2.
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Important!

  Vă rugăm să rețineți că proprietatea nr. 4, ca și alte proprietăți ale gradelor, se aplică și în ordine inversă.

  (a n · b n)= (a · b) n

  Adică, pentru a înmulți puteri cu aceiași exponenți, poți înmulți bazele, dar lasă exponentul neschimbat.

  • Exemplu. Calculati.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
  • Exemplu. Calculati.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  În exemple mai complexe, pot exista cazuri în care înmulțirea și împărțirea trebuie efectuate pe puteri cu baze diferite și exponenți diferiți. În acest caz, vă sfătuim să faceți următoarele.

  De exemplu, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Un exemplu de ridicare a unei zecimale la o putere.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Proprietăți 5
  Puterea unui coeficient (fracție)

  Tine minte!

  Pentru a crește un coeficient la o putere, puteți crește dividendul și divizorul separat la această putere și puteți împărți primul rezultat la al doilea.

  (a: b) n = a n: b n, unde „a”, „b” sunt orice numere raționale, b ≠ 0, n este orice număr natural.

  • Exemplu. Prezentați expresia ca un coeficient de puteri.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Vă reamintim că un coeficient poate fi reprezentat ca o fracție. Prin urmare, ne vom opri asupra subiectului ridicării unei fracții la o putere mai detaliat pe pagina următoare.

În ultima lecție video, am învățat că gradul unei anumite baze este o expresie care reprezintă produsul bazei în sine, luat într-o cantitate egală cu exponentul. Să studiem acum unele dintre cele mai importante proprietăți și operații ale puterilor.

De exemplu, să înmulțim două puteri diferite cu aceeași bază:

Să prezentăm această lucrare în întregime:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

După ce am calculat valoarea acestei expresii, obținem numărul 32. Pe de altă parte, după cum se poate observa din același exemplu, 32 poate fi reprezentat ca produsul aceleiași baze (două), luat de 5 ori. Și într-adevăr, dacă îl socotiți, atunci:

Astfel, putem concluziona cu încredere că:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Această regulă funcționează cu succes pentru orice indicator și orice motiv. Această proprietate a înmulțirii puterii decurge din regula că sensul expresiilor este păstrat în timpul transformărilor într-un produs. Pentru orice bază a, produsul a două expresii (a)x și (a)y este egal cu a(x + y). Cu alte cuvinte, atunci când sunt produse orice expresii cu aceeași bază, monomiul rezultat are un grad total format prin adăugarea gradelor primei și celei de-a doua expresii.

Regula prezentată funcționează excelent și atunci când înmulțiți mai multe expresii. Condiția principală este ca toată lumea să aibă aceleași baze. De exemplu:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Este imposibil să adăugați grade și, într-adevăr, să desfășurați acțiuni comune bazate pe putere cu două elemente ale unei expresii dacă bazele lor sunt diferite.
După cum arată videoclipul nostru, datorită asemănării proceselor de înmulțire și împărțire, regulile de adăugare a puterilor într-un produs sunt perfect transferate în procedura de împărțire. Luați în considerare acest exemplu:

Să transformăm expresia termen cu termen în forma sa completă și să reducem aceleași elemente în dividend și divizor:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Rezultatul final al acestui exemplu nu este atât de interesant, deoarece deja în procesul de rezolvare este clar că valoarea expresiei este egală cu pătratul a doi. Și este doi care se obține prin scăderea gradului celei de-a doua expresii din gradul primei.

Pentru a determina gradul coeficientului, este necesar să se scadă gradul divizorului din gradul dividendului. Regula funcționează cu aceeași bază pentru toate valorile sale și pentru toate puterile naturale. Sub formă de abstractizare avem:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Din regula împărțirii bazelor identice cu grade, urmează definiția pentru gradul zero. Evident, următoarea expresie arată astfel:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Pe de altă parte, dacă facem împărțirea într-un mod mai vizual, obținem:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

La reducerea tuturor elementelor vizibile ale unei fracții, se obține întotdeauna expresia 1/1, adică unul. Prin urmare, este în general acceptat că orice bază ridicată la puterea zero este egală cu unu:

Indiferent de valoarea a.

Cu toate acestea, ar fi absurd dacă 0 (care încă dă 0 pentru orice înmulțire) este într-un fel egal cu unu, așa că o expresie de forma (0) 0 (zero la puterea zero) pur și simplu nu are sens, iar formula ( a) 0 = 1 adăugați o condiție: „dacă a nu este egal cu 0”.

Să rezolvăm exercițiul. Să găsim sensul expresiei:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Deoarece baza este aceeași peste tot și egală cu 34, valoarea finală va avea aceeași bază cu un grad (conform regulilor de mai sus):

Cu alte cuvinte:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Răspuns: expresia este egală cu unu.

Dacă se înmulțesc (sau se împart două puteri), care au baze diferite, dar aceiași exponenți, atunci bazele lor pot fi înmulțite (sau împărțite), iar exponentul rezultatului poate fi lăsat același cu cel al factorilor (sau al dividendului). și divizor).

În general, în limbajul matematic, aceste reguli sunt scrise după cum urmează:
a m × b m = (ab) m
a m ÷ b m = (a/b) m

La împărțire, b nu poate fi egal cu 0, adică a doua regulă trebuie completată cu condiția b ≠ 0.

Exemple:
2 3 × 3 3 = (2 × 3) 3 = 63 = 36 × 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32

Acum, folosind aceste exemple specifice, vom demonstra că regulile-proprietăți ale gradelor cu aceiași exponenți sunt corecte. Să rezolvăm aceste exemple ca și cum nu am ști despre proprietățile puterilor:
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

După cum vedem, răspunsurile au coincis cu cele obținute atunci când s-au folosit regulile. Cunoașterea acestor reguli vă permite să simplificați calculele.

Rețineți că expresia 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 poate fi scrisă după cum urmează:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).

Această expresie la rândul ei este altceva decât (2 × 3) 3. adică 6 3.

Proprietățile considerate ale gradelor cu aceiași indicatori pot fi utilizate în direcția opusă. De exemplu, ce este 18 2?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324

Proprietățile puterilor sunt, de asemenea, folosite la rezolvarea exemplelor:
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 ( 100 + 8) = 10800 + 864 = 11664