Preučevanje funkcije in izris grafa s podrobno rešitvijo. Popoln pregled funkcije in izris grafa
Če želite v celoti preučiti funkcijo in izdelati njen graf, je priporočljivo uporabiti naslednjo shemo:
1) poiščite domeno definicije funkcije;
2) poiščite diskontinuitetne točke funkcije in navpične asimptote (če obstajajo);
3) raziskati obnašanje funkcije v neskončnosti, poiskati horizontalne in poševne asimptote;
4) preučiti funkcijo za parnost (neparnost) in periodičnost (za trigonometrične funkcije);
5) najti ekstreme in intervale monotonosti funkcije;
6) določite intervale konveksnosti in prevojne točke;
7) poiščite točke presečišča s koordinatnimi osemi in, če je mogoče, nekaj dodatnih točk, ki pojasnjujejo graf.
Študija funkcije se izvaja hkrati z gradnjo njenega grafa.
Primer 9 Raziščite funkcijo in zgradite graf.
1. Obseg opredelitve: ;
2. Funkcija trpi diskontinuiteto v točkah 
,
;
Funkcijo preučimo glede prisotnosti navpičnih asimptot.
;
,
─ navpična asimptota.
;
,
─ navpična asimptota.
3. Funkcijo preverimo glede prisotnosti poševnih in vodoravnih asimptot.
Naravnost 
─ poševna asimptota, če 
,
.
,
.
Naravnost 
─ horizontalna asimptota.
4. Funkcija je enakomerna, ker 
. Pariteta funkcije označuje simetrijo grafa glede na ordinatno os.
5. Poiščite intervale monotonosti in ekstreme funkcije.
Poiščimo kritične točke, tj. točke, pri katerih je odvod 0 ali ne obstaja: 
;
. Imamo tri točke 
;
. Te točke delijo celotno realno os na štiri intervale. Določimo znake 
na vsakem od njih.
Na intervalih (-∞; -1) in (-1; 0) funkcija narašča, na intervalih (0; 1) in (1; +∞) ─ pada. Pri prehodu skozi točko 
odvod spremeni predznak iz plusa v minus, zato ima na tej točki funkcija maksimum 
.
6. Poiščite intervale konveksnosti in prevojnih točk.
Poiščimo točke, na katerih 
je 0 ali ne obstaja.
nima pravih korenin. 
,
,
Točke 
in 
realno os razdeli na tri intervale. Določimo znak 
v vsakem intervalu.
Tako je krivulja na intervalih 
in 
konveksno navzdol, na intervalu (-1;1) konveksno navzgor; prevojnih točk ni, ker je funkcija v točkah 
in 
ni določeno.
7. Poiščite presečišča z osemi.
Z osjo 
graf funkcije seka v točki (0; -1) in z osjo 
graf ne seka, saj števec te funkcije nima pravih korenin.
Graf dane funkcije je prikazan na sliki 1.
Slika 1 ─ graf funkcije 
Uporaba koncepta derivata v ekonomiji. Funkcija elastičnosti
Za preučevanje ekonomskih procesov in reševanje drugih uporabnih problemov se pogosto uporablja koncept elastičnosti funkcije.
Opredelitev. Funkcija elastičnosti 
se imenuje meja razmerja relativnega prirastka funkcije 
na relativni prirastek spremenljivke 
pri 
, . (VII)
Elastičnost funkcije približno pove, za koliko odstotkov se bo funkcija spremenila 
ko se spremeni neodvisna spremenljivka 
za 1 %.
Funkcija elastičnosti se uporablja pri analizi povpraševanja in potrošnje. Če je elastičnost povpraševanja (v absolutni vrednosti) 
, potem se povpraševanje šteje za elastično, če 
─ nevtralen če 
─ neelastično glede na ceno (ali dohodek).
Primer 10 Izračunajte elastičnost funkcije 
in poiščite vrednost indeksa elastičnosti za 
= 3.
Rešitev: po formuli (VII) je elastičnost funkcije:
Naj bo torej x=3 
.To pomeni, da če se neodvisna spremenljivka poveča za 1%, se bo vrednost odvisne spremenljivke povečala za 1,42%.
Primer 11 Naj povpraševanje deluje 
glede cene 
izgleda kot 
, Kje 
─ konstantni koeficient. Poiščite vrednost indikatorja elastičnosti funkcije povpraševanja pri ceni x = 3 den. enote
Rešitev: izračunajte elastičnost funkcije povpraševanja z uporabo formule (VII)
Verjeti 
denarne enote, dobimo 
. To pomeni, da po ceni 
denarne enote 1-odstotno zvišanje cene bo povzročilo 6-odstotno zmanjšanje povpraševanja, tj. povpraševanje je elastično.
Danes vas vabimo, da z nami raziščete in zgradite graf funkcije. Po natančnem preučevanju tega članka se vam ne bo treba dolgo potiti, da bi dokončali to vrsto naloge. Preučiti in zgraditi graf funkcije ni enostavno, to je obsežno delo, ki zahteva največjo pozornost in natančnost izračunov. Za lažje razumevanje gradiva bomo korak za korakom preučili isto funkcijo in razložili vsa naša dejanja in izračune. Dobrodošli v osupljivem in fascinantnem svetu matematike! Pojdi!
Domena
Če želite raziskati in prikazati graf funkcije, morate poznati več definicij. Funkcija je eden glavnih (osnovnih) pojmov v matematiki. Odraža odvisnost med več spremenljivkami (dvema, tremi ali več) med spremembami. Funkcija prikazuje tudi odvisnost množic.
Predstavljajte si, da imamo dve spremenljivki, ki imata določen razpon sprememb. Torej je y funkcija x, pod pogojem, da vsaka vrednost druge spremenljivke ustreza eni vrednosti druge. V tem primeru je spremenljivka y odvisna in se imenuje funkcija. Običajno je reči, da sta spremenljivki x in y v Za večjo jasnost te odvisnosti je zgrajen graf funkcije. Kaj je graf funkcije? To je niz točk na koordinatni ravnini, kjer vsaka vrednost x ustreza eni vrednosti y. Grafi so lahko različni - ravna črta, hiperbola, parabola, sinusni val itd.
Nemogoče je prikazati graf funkcije brez raziskave. Danes se bomo naučili izvajati raziskave in zgraditi graf funkcije. Zelo pomembno je, da si med študijem delate zapiske. Tako bo naloga veliko lažja. Najprimernejši raziskovalni načrt:
- Domena.
- Kontinuiteta.
- Sodo ali liho.
- Periodičnost.
- Asimptote.
- ničle.
- Konstantnost znaka.
- Povečevanje in zmanjševanje.
- Ekstremi.
- Konveksnost in konkavnost.
Začnimo s prvo točko. Poiščimo domeno definicije, to je, na katerih intervalih obstaja naša funkcija: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). V našem primeru funkcija obstaja za vse vrednosti x, to je, da je domena definicije enaka R. To lahko zapišemo kot sledi xÎR.
Kontinuiteta
Zdaj bomo preučili funkcijo diskontinuitete. V matematiki se je izraz "kontinuiteta" pojavil kot rezultat preučevanja zakonov gibanja. Kaj je neskončno? Prostor, čas, nekatere odvisnosti (primer je odvisnost spremenljivk S in t pri gibalnih problemih), temperatura segretega predmeta (voda, ponev, termometer itd.), neprekinjena črta (torej tista, ki lahko narišete, ne da bi ga dvignili s svinčnika).
Graf velja za zveznega, če se na neki točki ne zlomi. Eden najbolj očitnih primerov takšnega grafa je sinusoida, ki jo lahko vidite na sliki v tem razdelku. Funkcija je zvezna v neki točki x0, če je izpolnjenih več pogojev:
- funkcija je definirana v dani točki;
- desna in leva meja v točki sta enaki;
- limita je enaka vrednosti funkcije v točki x0.
Če vsaj en pogoj ni izpolnjen, se reče, da funkcija ne uspe. In točke, na katerih se funkcija prekine, se običajno imenujejo prelomne točke. Primer funkcije, ki bo "pokvarila", ko bo prikazana grafično, je: y=(x+4)/(x-3). Poleg tega y ne obstaja v točki x = 3 (ker ga ni mogoče deliti z nič).
V funkciji, ki jo preučujemo (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) se je vse izkazalo za preprosto, saj bo graf zvezen.
Sodo liho
Zdaj preglejte funkcijo za pariteto. Najprej malo teorije. Soda funkcija je tista, ki za poljubno vrednost spremenljivke x (iz območja vrednosti) izpolnjuje pogoj f(-x)=f(x). Primeri vključujejo:
- modul x (graf izgleda kot črtka, simetrala prve in druge četrtine grafa);
- x na kvadrat (parabola);
- kosinus x (kosinus).
Upoštevajte, da so vsi ti grafi simetrični, če jih gledamo glede na y-os (to je y-os).
Kaj potem imenujemo liha funkcija? To so tiste funkcije, ki za poljubno vrednost spremenljivke x izpolnjujejo pogoj: f(-x)=-f(x). Primeri:
- hiperbola;
- kubična parabola;
- sinusoid;
- tangenta in tako naprej.
Upoštevajte, da so te funkcije simetrične glede na točko (0:0), to je izvor. Glede na to, kar je bilo povedano v tem delu članka, morata soda in liha funkcija imeti lastnost: x pripada definicijski množici in tudi -x.
Preglejmo funkcijo za pariteto. Vidimo, da ne ustreza nobenemu opisu. Zato naša funkcija ni niti soda niti liha.
Asimptote
Začnimo z definicijo. Asimptota je krivulja, ki je čim bližje grafu, to pomeni, da se razdalja od določene točke nagiba k ničli. Skupaj obstajajo tri vrste asimptot:
- navpično, to je vzporedno z osjo y;
- vodoravno, to je vzporedno z osjo x;
- nagnjen.
Kar zadeva prvo vrsto, je treba te vrstice iskati na nekaterih točkah:
- vrzel;
- konci domene definicije.
V našem primeru je funkcija zvezna, definicijsko področje pa je enako R. Posledično ni vertikalnih asimptot.
Graf funkcije ima horizontalno asimptoto, ki izpolnjuje naslednjo zahtevo: če x teži k neskončnosti ali minus neskončnosti, meja pa je enaka določenemu številu (na primer a). V tem primeru je y=a vodoravna asimptota. V funkciji, ki jo preučujemo, ni horizontalnih asimptot.
Poševna asimptota obstaja le, če sta izpolnjena dva pogoja:
- lim(f(x))/x=k;
- lim f(x)-kx=b.
Nato ga je mogoče najti s formulo: y=kx+b. Tudi v našem primeru ni poševnih asimptot.
Funkcijske ničle
Naslednji korak je pregled grafa funkcije za ničle. Zelo pomembno je tudi omeniti, da se naloga, povezana z iskanjem ničel funkcije, ne pojavi samo pri preučevanju in gradnji grafa funkcije, temveč tudi kot samostojna naloga in kot način reševanja neenakosti. Morda boste morali najti ničle funkcije na grafu ali uporabiti matematični zapis.
Iskanje teh vrednosti vam bo pomagalo natančneje prikazati graf funkcije. Če govorimo v preprostem jeziku, potem je ničla funkcije vrednost spremenljivke x, pri kateri je y = 0. Če iščete ničle funkcije na grafu, bodite pozorni na točke, v katerih se graf seka z osjo x.
Če želite najti ničle funkcije, morate rešiti naslednjo enačbo: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Po izvedbi potrebnih izračunov dobimo naslednji odgovor:
Konstantnost znaka
Naslednja stopnja raziskovanja in konstrukcije funkcije (grafa) je iskanje intervalov s konstantnim znakom. To pomeni, da moramo določiti, v katerih intervalih funkcija deluje pozitivna vrednost, in na nekaterih - negativno. Pri tem nam bodo pomagale ničelne funkcije, ki jih najdete v zadnjem razdelku. Torej, zgraditi moramo ravno črto (ločeno od grafa) in porazdeliti ničle funkcije vzdolž nje v pravilnem vrstnem redu od najmanjše do največje. Zdaj morate določiti, kateri od nastalih intervalov ima znak "+" in kateri ima "-".
V našem primeru ima funkcija pozitivno vrednost na intervalih:
- od 1 do 4;
- od 9 do neskončnosti.
Negativni pomen:
- od minus neskončnosti do 1;
- od 4 do 9.
To je precej enostavno določiti. V funkcijo zamenjajte poljubno število iz intervala in poglejte, kakšen predznak ima odgovor (minus ali plus).
Naraščajoče in padajoče funkcije
Da bi raziskali in zgradili funkcijo, moramo vedeti, kje se bo graf povečal (grel navzgor vzdolž osi Oy) in kje bo padel (polzel navzdol vzdolž osi y).
Funkcija narašča le, če večja vrednost spremenljivke x ustreza večji vrednosti y. To pomeni, da je x2 večji od x1 in f(x2) večji od f(x1). In opazimo povsem nasproten pojav z padajočo funkcijo (več kot je x, manj je y). Če želite določiti intervale povečanja in zmanjšanja, morate najti naslednje:
- domena definicije (že imamo);
- izpeljanka (v našem primeru: 1/3(3x^2-28x+49);
- reši enačbo 1/3(3x^2-28x+49)=0.
Po izračunih dobimo rezultat:
Dobimo: funkcija narašča na intervalih od minus neskončnosti do 7/3 in od 7 do neskončnosti ter pada na intervalu od 7/3 do 7.
Ekstremi
Preučevana funkcija y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) je zvezna in obstaja za katero koli vrednost spremenljivke x. Ekstremna točka prikazuje maksimum in minimum dane funkcije. V našem primeru jih ni, kar močno poenostavi nalogo gradnje. V nasprotnem primeru jih je mogoče najti tudi s funkcijo izpeljave. Ko jih najdete, jih ne pozabite označiti na grafikonu.
Konveksnost in konkavnost
Nadaljujemo z nadaljnjim raziskovanjem funkcije y(x). Zdaj ga moramo preveriti glede konveksnosti in konkavnosti. Definicije teh pojmov je precej težko razumeti, zato je bolje vse analizirati s primeri. Za preizkus: funkcija je konveksna, če je nepadajoča funkcija. Strinjam se, to je nerazumljivo!
Najti moramo odvod funkcije drugega reda. Dobimo: y=1/3(6x-28). Sedaj pa izenačimo desno stran z nič in rešimo enačbo. Odgovor: x=14/3. Našli smo prevojno točko, to je mesto, kjer graf prehaja iz konveksnosti v konkavnost in obratno. Na intervalu od minus neskončnosti do 14/3 je funkcija konveksna, od 14/3 do plus neskončnosti pa konkavna. Zelo pomembno je tudi upoštevati, da mora biti prevojna točka na grafu gladka in mehka, ne sme biti ostrih vogalov.
Določitev dodatnih točk
Naša naloga je raziskati in sestaviti graf funkcije. Študijo smo zaključili, izdelava grafa funkcije zdaj ni težavna. Za natančnejšo in podrobnejšo reprodukcijo krivulje ali ravne črte na koordinatni ravnini lahko najdete več pomožnih točk. Precej enostavno jih je izračunati. Na primer, vzamemo x=3, rešimo nastalo enačbo in poiščemo y=4. Ali x=5 in y=-5 in tako naprej. Za gradnjo lahko vzamete toliko dodatnih točk, kot jih potrebujete. Vsaj 3-5 se jih najde.
Izris grafa
Morali smo raziskati funkcijo (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Na koordinatni ravnini so bile narejene vse potrebne oznake med izračuni. Vse, kar je treba narediti, je zgraditi graf, torej povezati vse pike. Povezovanje pik naj bo gladko in natančno, to je stvar spretnosti – malo vaje in vaš urnik bo popoln.
