Rešite neenačbe z intervalno metodo na spletu z rešitvijo. Linearne neenakosti

Oblike ax 2 + bx + 0 0, kjer je (namesto znaka > seveda lahko katerikoli drug znak neenačbe). Imamo vsa teoretična dejstva, potrebna za rešitev takih neenakosti, kot bomo zdaj videli.

Primer 1. Reši neenačbo:

a) x 2 - 2x - 3 >0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
rešitev,

a) Razmislite o paraboli y = x 2 - 2x - 3, prikazani na sl. 117.

Reševanje neenakosti x 2 - 2x - 3 > 0 pomeni odgovor na vprašanje, pri katerih vrednostih x so ordinate točk parabole pozitivne.

Opazimo, da je y > 0, tj. graf funkcije se nahaja nad osjo x, pri x< -1 или при х > 3.

To pomeni, da so rešitve neenačbe vse odprte točke žarek(- 00 , - 1), kot tudi vse točke odprtega snopa (3, +00).

Z znakom U (znak za združevanje množic) lahko odgovor zapišemo takole: (-00, - 1) U (3, +00). Lahko pa se odgovor zapiše takole: x< - 1; х > 3.

b) Neenakost x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: urnik nahaja pod osjo x, če je -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) Neenačba x 2 - 2x - 3 > 0 se od neenačbe x 2 - 2x - 3 > 0 razlikuje po tem, da mora odgovor vsebovati tudi korene enačbe x 2 - 2x - 3 = 0, to je točke x = - 1

in x = 3. Tako so rešitve te nestroge neenakosti vse točke žarka (-00, - 1], kot tudi vse točke žarka.

Praktični matematiki običajno pravijo tole: zakaj moramo pri reševanju neenačbe ax 2 + bx + c > 0 skrbno sestaviti graf parabole kvadratne funkcije?

y = ax 2 + bx + c (kot je bilo storjeno v primeru 1)? Dovolj je, da naredite shematično skico grafa, za katero se morate samo poiskati korenine kvadratni trinom (točka presečišča parabole z osjo x) in ugotovi, ali sta veji parabole usmerjeni navzgor ali navzdol. Ta shematska skica bo dala vizualno interpretacijo rešitve neenakosti.

Primer 2. Rešite neenačbo - 2x 2 + 3x + 9< 0.
rešitev.

1) Poiščite korenine kvadratnega trinoma - 2x 2 + 3x + 9: x 1 = 3; x 2 = - 1,5.

2) Parabola, ki služi kot graf funkcije y = -2x 2 + 3x + 9, seka os x v točkah 3 in - 1,5, veje parabole pa so usmerjene navzdol, saj je najvišja koeficient- negativno število - 2. Na sl. 118 prikazuje skico grafa.

3) Z uporabo sl. 118 sklepamo:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Odgovor: x< -1,5; х > 3.

Primer 3. Rešite neenačbo 4x 2 - 4x + 1< 0.
rešitev.

1) Iz enačbe 4x 2 - 4x + 1 = 0 najdemo .

2) Kvadratni trinom ima en koren; to pomeni, da parabola, ki služi kot graf kvadratnega trinoma, ne seka osi x, ampak se je dotika v točki . Veje parabole so usmerjene navzgor (slika 119.)

3) Z uporabo geometrijskega modela, predstavljenega na sl. 119 ugotovimo, da je dana neenakost izpolnjena le v točki, saj so za vse druge vrednosti x ordinate grafa pozitivne.
Odgovor: .
Verjetno ste opazili, da je v primerih 1, 2, 3 pravzaprav zelo specifično algoritem rešitev kvadratnih neenačb, jo formalizirajmo.

Algoritem za reševanje kvadratne neenačbe ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

Prvi korak tega algoritma je iskanje korenin kvadratnega trinoma. Toda korenine morda ne obstajajo, kaj lahko torej storimo? Potem algoritem ni uporaben, kar pomeni, da moramo razmišljati drugače. Ključ do teh argumentov dajejo naslednji izreki.

Z drugimi besedami, če D< 0, а >0, potem za vse x velja neenakost ax 2 + bx + c > 0; nasprotno, neenakost ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Dokaz. Urnik funkcije y = ax 2 + bx + c je parabola, katere veje so usmerjene navzgor (ker je a > 0) in ki ne seka osi x, saj kvadratni trinom po pogoju nima korenin. Graf je prikazan na sl. 120. Vidimo, da se graf za vse x nahaja nad osjo x, kar pomeni, da za vse x velja neenakost ax 2 + bx + c > 0, kar je bilo treba dokazati.

Z drugimi besedami, če D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 nima rešitev.

Dokaz. Graf funkcije y = ax 2 + bx +c je parabola, katere veje so usmerjene navzdol (ker a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Primer 4. Reši neenačbo:

a) 2x 2 - x + 4 >0; b) -x 2 + 3x - 8 >0.

a) Poiščite diskriminant kvadratnega trinoma 2x 2 - x + 4. Imamo D = (-1) 2 - 4 2 4 = - 31< 0.
Vodilni koeficient trinoma (število 2) je pozitiven.

To pomeni, da po izreku 1 za vse x velja neenakost 2x 2 - x + 4 > 0, kar pomeni, da je rešitev dane neenačbe celota (-00, + 00).

b) Poiščite diskriminant kvadratnega trinoma - x 2 + 3x - 8. Imamo D = 32 - 4 (- 1) (- 8) = - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Odgovor: a) (-00, + 00); b) brez rešitev.

V naslednjem primeru bomo predstavili drugo metodo sklepanja, ki se uporablja za reševanje kvadratnih neenakosti.

Primer 5. Rešite neenačbo 3x 2 - 10x + 3< 0.
rešitev. Razložimo kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3. Koreni trinoma sta števili 3 in , tako da z uporabo ax 2 + bx + c = a (x - x 1)(x - x 2) dobimo 3x 2 - 10x + 3 = 3(x - 3) ( x - )
Označimo korenine trinoma na številski premici: 3 in (slika 122).

Naj bo x > 3; potem je x-3>0 in x->0, zato je produkt 3(x - 3)(x - ) pozitiven. Naprej, naj< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Zato je produkt 3(x-3)(x-) negativen. Končno naj x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) je pozitivno.

Če povzamemo sklepanje, pridemo do zaključka: znaki kvadratnega trinoma 3x 2 - 10x + 3 se spremenijo, kot je prikazano na sl. 122. Zanima nas, pri kolikšnih x ima kvadratni trinom negativne vrednosti. Iz sl. 122 sklepamo: kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3 zavzame negativne vrednosti za katero koli vrednost x iz intervala (, 3)
Odgovor (, 3), oz< х < 3.

Komentiraj. Metoda sklepanja, ki smo jo uporabili v primeru 5, se običajno imenuje metoda intervalov (ali metoda intervalov). Aktivno se uporablja v matematiki za reševanje racionalno neenakosti V 9. razredu bomo podrobneje preučili intervalno metodo.

Primer 6. Pri katerih vrednostih parametra p je kvadratna enačba x 2 - 5x + p 2 = 0:
a) ima dva različna korena;

b) ima en koren;

c) nima korenin?

rešitev. Število korenin kvadratne enačbe je odvisno od predznaka njene diskriminante D. V tem primeru najdemo D = 25 - 4p 2.

a) Kvadratna enačba ima dva različna korena, če je D>0, se problem zmanjša na reševanje neenačbe 25 - 4р 2 > 0. Pomnožimo obe strani te neenakosti z -1 (ne pozabimo spremeniti predznaka neenakost). Dobimo ekvivalentno neenakost 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Znaki izraza 4 (p - 2,5) (p + 2,5) so prikazani na sl. 123.

Sklepamo, da je neenakost 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) kvadratna enačba ima en koren, če je D - 0.
Kot smo ugotovili zgoraj, je D = 0 pri p = 2,5 ali p = -2,5.

Za te vrednosti parametra p ima ta kvadratna enačba samo en koren.

c) Kvadratna enačba nima korenin, če D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Dobimo 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2,5)(p + 2,5)>0, od koder (glej sliko 123) p< -2,5; р >2.5. Za te vrednosti parametra p ta kvadratna enačba nima korenin.

Odgovor: a) pri p (-2,5, 2,5);

b) pri p = 2,5 ali = -2,5;
c) na str< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovič A. G., Algebra. 8. razred: Učbenik. za splošno izobraževanje ustanove - 3. izd., spremenjena. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 str.: ilustr.

Pomoč za šolarje na spletu, Matematika za 8. razred prenos, koledarsko in tematsko načrtovanje

Kaj morate vedeti o ikonah neenakosti? Neenakosti z ikono več (> ), oz manj (< ) se imenujejo stroga. Z ikonami več ali enako (≥ ), manj ali enako (≤ ) se imenujejo ni stroga. Ikona ni enako (≠ ) stoji ločeno, vendar morate tudi s to ikono ves čas reševati primere. In odločili se bomo.)

Sama ikona nima velikega vpliva na postopek rešitve. Toda na koncu odločitve, pri izbiri končnega odgovora, se pomen ikone pojavi v polni moči! To bomo videli spodaj v primerih. Tam je nekaj šal ...

Neenakosti, tako kot enakosti, obstajajo zvesti in nezvesti. Tukaj je vse preprosto, brez trikov. Recimo 5 > 2 je prava neenakost. 5 < 2 - nepravilno.

Ta pripravek deluje pri neenakosti vse vrste in preprosto do groze.) Samo pravilno morate izvesti dve (samo dve!) osnovni dejanji. Ta dejanja so znana vsem. Ampak značilno je, da so napake pri teh dejanjih glavna napaka pri reševanju neenačb, ja... Zato je treba ta dejanja ponavljati. Ta dejanja se imenujejo na naslednji način:

Identične transformacije neenačb.

Identične transformacije neenačb so zelo podobne identičnim transformacijam enačb. Pravzaprav je to glavni problem. Razlike vam gredo čez glavo in ... evo vas.) Zato bom te razlike še posebej izpostavil. Torej, prva identična transformacija neenakosti:

1. Enako število ali izraz lahko prištejemo (odštejemo) obema stranema neenakosti. Kaj. To ne bo spremenilo znaka neenakosti.

V praksi se to pravilo uporablja kot prenos izrazov z leve strani neenakosti na desno (in obratno) s spremembo predznaka. S spremembo predznaka člena, ne neenačbe! Pravilo ena proti ena je enako pravilu za enačbe. Toda naslednje identične transformacije v neenačbah se bistveno razlikujejo od tistih v enačbah. Zato jih označujem z rdečo:

2. Obe strani neenakosti lahko pomnožimo (delimo) z isto stvarjopozitivnoštevilo. Za katero kolipozitivno Ne bo spremenilo.

3. Obe strani neenakosti lahko pomnožimo (delimo) z isto stvarjonegativnoštevilo. Za katero kolinegativnoštevilo. Znak neenakosti iz tegase bo spremenilo v nasprotno.

Saj se spomniš (upam...), da se enačba lahko pomnoži/deli s čimer koli. In za poljubno število in za izraz z X. Če le ne bi bila nula. Zaradi tega enačba ni niti vroča niti hladna.) Ne spremeni se. Toda neenakosti so bolj občutljive na množenje/deljenje.

Jasen primer za dolg spomin. Zapišimo neenakost, ki ne vzbuja dvomov:

5 > 2

Pomnožite obe strani s +3, dobimo:

15 > 6

Kakšni ugovori? Ni ugovorov.) In če pomnožimo obe strani prvotne neenakosti z -3, dobimo:

15 > -6

In to je čista laž.) Popolna laž! Zavajanje ljudstva! Toda takoj, ko spremenite znak neenakosti v nasprotno, se vse postavi na svoje mesto:

15 < -6

Ne prisegam le na laži in prevare.) "Pozabil sem spremeniti enačaj ..."- To domov napaka pri reševanju neenačb. To trivialno in preprosto pravilo je prizadelo toliko ljudi! Kar so pozabili ...) Torej prisežem. Mogoče se spomnim ...)

Še posebej pozorni bodo opazili, da neenakosti ni mogoče pomnožiti z izrazom z X. Spoštovanje do tistih, ki so pozorni!) Zakaj ne? Odgovor je preprost. Predznaka tega izraza z X ne poznamo. Lahko je pozitiven, negativen ... Zato ne vemo, kateri znak neenačbe postaviti za množenjem. Naj ga spremenim ali ne? Neznano. Seveda je to omejitev (prepoved množenja/deljenja neenakosti z izrazom z x) možno zaobiti. Če ga res potrebujete. Toda to je tema za druge lekcije.

To so vse identične transformacije neenakosti. Naj vas še enkrat spomnim, da delajo za kaj neenakosti Zdaj lahko preidete na določene vrste.

Linearne neenakosti. Rešitev, primeri.

Linearne neenačbe so neenačbe, pri katerih je x na prvi potenci in ni deljenja z x. Tip:

x+3 > 5x-5

Kako se te neenakosti rešujejo? Zelo enostavno jih je rešiti! Namreč: s pomočjo zmanjšamo najbolj zmedeno linearno neenakost naravnost do odgovora. To je rešitev. Izpostavil bom glavne točke sklepa. Da bi se izognili neumnim napakam.)

Rešimo to neenakost:

x+3 > 5x-5

Rešujemo jo na povsem enak način kot linearno enačbo. Z edino razliko:

Skrbno spremljamo znak neenakosti!

Prvi korak je najpogostejši. Z X-ji - v levo, brez X-jev - v desno ... To je prva enaka transformacija, preprosta in brez težav.) Samo ne pozabite spremeniti predznakov prenesenih izrazov.

Znak neenakosti ostane:

x-5x > -5-3

Tukaj so podobni.

Znak neenakosti ostane:

4x > -8

Ostaja še uporaba zadnje enake transformacije: delite obe strani z -4.

Razdeli po negativnoštevilo.

Znak neenakosti se bo spremenil v nasprotno:

X < 2

To je odgovor.

Tako se rešujejo vse linearne neenačbe.

Pozor! Točka 2 je narisana belo, tj. nepobarvan. Notri prazno. To pomeni, da ni vključena v odgovor! Namenoma sem jo narisal tako zdravo. Takšna točka (prazna, ni zdrava!)) se v matematiki imenuje preluknjana točka.

Preostale številke na osi lahko označimo, ni pa nujno. Tuja števila, ki niso povezana z našo neenakostjo, so lahko zmedena, ja ... Zapomniti si morate le, da se števila povečujejo v smeri puščice, tj. številke 3, 4, 5 itd. so na desno so dvojke, števila pa 1, 0, -1 itd. - levo.

Neenakost x < 2 - stroga. X je strogo manjši od dveh. Če ste v dvomih, je preverjanje preprosto. Dvomljivo število nadomestimo v neenakost in pomislimo: "Dva je manj kot dva? Ne, seveda!" točno tako. Neenakost 2 < 2 nepravilno. Dvojka v zameno ni primerna.

Je ena v redu? Vsekakor. Manj ... In ničla je dobra, pa -17 in 0,34 ... Ja, vse številke, ki so manjše od dve, so dobre! In celo 1,9999.... Vsaj malo, a manj!

Označimo torej vsa ta števila na številski osi. kako Tukaj so možnosti. Prva možnost je senčenje. Z miško se pomaknemo čez sliko (ali se dotaknemo slike na tablici) in vidimo, da je območje vseh x-ov, ki izpolnjujejo pogoj x, zasenčeno < 2 . To je vse.

Oglejmo si drugo možnost z uporabo drugega primera:

X ≥ -0,5

Nariši os in označi število -0,5. Všečkaj to:

Opazite razliko?) No, ja, težko je ne opaziti ... Ta pika je črna! Prebarvano. To pomeni -0,5 je vključeno v odgovor. Tukaj, mimogrede, lahko preverjanje koga zmede. Zamenjajmo:

-0,5 ≥ -0,5

Kako to? -0,5 ni več kot -0,5! Obstaja še več ikon ...

V redu je. V šibki neenakosti je primerno vse, kar ustreza ikoni. IN enako dobro, in več dobro. Zato je v odgovor vključeno -0,5.

Torej, na osi smo označili -0,5, ostane še, da označimo vsa števila, ki so večja od -0,5. Tokrat označujem območje primernih vrednosti x lok(iz besede lok), namesto senčenja. Kazalec premaknemo nad risbo in vidimo ta lok.

Med senčenjem in rokami ni posebne razlike. Naredi, kot pravi učitelj. Če ni učitelja, narišite loke. Pri kompleksnejših nalogah je senčenje manj očitno. Lahko se zmedeš.

Tako se na osi narišejo linearne neenačbe. Preidimo na naslednjo značilnost neenakosti.

Pisanje odgovora za neenačbe.

Enačbe so bile dobre.) Poiskali smo x in zapisali odgovor, na primer: x=3. Obstajata dve obliki zapisa odgovorov v neenačbe. Ena je v obliki končne neenakosti. Dobro za preproste primere. Na primer:

X< 2.

To je popoln odgovor.

Včasih morate zapisati isto stvar, vendar v drugačni obliki, v številčnih intervalih. Potem začne posnetek izgledati zelo znanstveno):

x ∈ (-∞; 2)

Pod ikono ∈ beseda je skrita "pripada".

Vpis se glasi takole: x pripada intervalu od minus neskončnosti do dva ne vključuje. Čisto logično. X je lahko katero koli število od vseh možnih števil od minus neskončnosti do dva. Dvojnega X-a ne more biti, kar nam pove beseda "brez".

In kje v odgovoru je to jasno "brez"? To dejstvo je navedeno v odgovoru krog oklepaj takoj za dvema. Če bi bila oba vključena, bi bil nosilec kvadrat. Kot ta: ]. Naslednji primer uporablja takšen oklepaj.

Zapišimo odgovor: x ≥ -0,5 v intervalih:

x ∈ [-0,5; +∞)

bere: x pripada intervalu od minus 0,5, vključno z do plus neskončnosti.

Neskončnosti ni mogoče nikoli vklopiti. To ni številka, je simbol. Zato je v takih zapisih neskončnost vedno poleg oklepaja.

Ta oblika zapisa je primerna za kompleksne odgovore, sestavljene iz več presledkov. Ampak – samo za končne odgovore. Pri vmesnih rezultatih, kjer se pričakuje nadaljnja rešitev, je bolje uporabiti običajno obliko, v obliki preproste neenačbe. To bomo obravnavali v ustreznih temah.

Priljubljene naloge z neenačbami.

Same linearne neenakosti so preproste. Zato naloge pogosto postanejo težje. Treba je bilo torej razmišljati. To, če tega niste vajeni, ni zelo prijetno.) Je pa koristno. Pokazal bom primere takih nalog. Ni za vas, da se jih učite, to je nepotrebno. In da ne bi bilo strah ob srečanju s takimi primeri. Samo malo pomislite - in preprosto je!)

1. Poiščite poljubni dve rešitvi neenačbe 3x - 3< 0

Če ni povsem jasno, kaj storiti, se spomnite glavnega pravila matematike:

Če ne veste, kaj potrebujete, naredite, kar lahko!)

X < 1

In kaj? Nič posebnega. Kaj nas sprašujejo? Prosimo, da poiščemo dve določeni števili, ki sta rešitev neenačbe. Tisti. ustreza odgovoru. Dva kajštevilke. Pravzaprav je to zmedeno.) Primernih je nekaj 0 in 0,5. Par -3 in -8. Teh parov je neskončno veliko! Kateri odgovor je pravilen?!

Odgovorim: vse! Vsak par števil, od katerih je vsako manjše od ena, bo pravilen odgovor. Napišite katero želite. Gremo naprej.

2. Reši neenačbo:

4x - 3 ≠ 0

Naloge v tej obliki so redke. Toda kot pomožne neenakosti se pri iskanju ODZ, na primer, ali pri iskanju domene definicije funkcije, pojavljajo ves čas. Tako linearno neenačbo je mogoče rešiti kot navadno linearno enačbo. Samo povsod razen znaka "=" ( enako) postavite znak " ≠ " (ni enako). Tako pristopite k odgovoru z znakom neenakosti:

X ≠ 0,75

V več zapleteni primeri, je bolje narediti stvari drugače. Iz enakosti naredi neenakost. Všečkaj to:

4x - 3 = 0

Mirno rešite, kot je naučeno, in dobite odgovor:

x = 0,75

Glavna stvar je, da čisto na koncu, ko zapisujete končni odgovor, ne pozabite, da smo našli x, kar daje enakost. In potrebujemo - neenakost. Zato tega X pravzaprav ne potrebujemo.) In zapisati ga moramo s pravilnim simbolom:

X ≠ 0,75

Ta pristop povzroči manj napak. Tisti, ki avtomatsko rešujejo enačbe. In za tiste, ki ne rešujejo enačb, neenakosti pravzaprav ne koristijo ...) Še en primer priljubljene naloge:

3. Poišči najmanjšo celoštevilsko rešitev neenačbe:

3(x - 1) < 5x + 9

Najprej enostavno rešimo neenačbo. Odpremo oklepaje, jih premaknemo, prinesemo podobne ... Dobimo:

X > - 6

Ali ni šlo tako!? Ste sledili znakom!? In za znaki članov, in za znakom neenakosti ...

Pomislimo še enkrat. Najti moramo točno določeno število, ki ustreza tako odgovoru kot pogoju "najmanjše celo število".Če se vam ne posveti takoj, lahko preprosto vzamete katero koli številko in jo ugotovite. Dva na minus šest? Vsekakor! Ali obstaja primerna manjša številka? Seveda. Na primer, nič je večja od -6. In še manj? Potrebujemo najmanjšo možno stvar! Minus tri je več kot minus šest! Lahko že ujamete vzorec in nehate neumno iti skozi številke, kajne?)

Vzemimo številko bližje -6. Na primer, -5. Odgovor je izpolnjen, -5 > - 6. Ali je mogoče najti drugo število, manjše od -5, vendar večje od -6? Lahko na primer -5,5... Stop! Rečeno nam je cela rešitev! Ne vrti -5,5! Kaj pa minus šest? Uh-uh! Neenakost je stroga, minus 6 nikakor ni manjše od minus 6!

Zato je pravilen odgovor -5.

Upajmo, da z izbiro vrednosti iz splošna rešitev vse jasno. Še en primer:

4. Rešite neenačbo:

7 < 3x+1 < 13

Vau! Ta izraz se imenuje trojna neenakost. Strogo gledano je to skrajšana oblika sistema neenakosti. A takšne trojne neenačbe je treba še reševati pri nekaterih nalogah... Rešuje se tudi brez sistemov. Po enakih enakih transformacijah.

To neenakost moramo poenostaviti, prenesti na čisti X. Ampak ... Kaj naj se kam prenese?! Tukaj je čas, da se spomnimo, da je premikanje levo in desno skrajšana oblika prva transformacija identitete.

A polna oblika zveni takole: Poljubno število ali izraz lahko dodamo/odštejemo obema stranema enačbe (neenakost).

Tukaj so trije deli. Tako bomo uporabili enake transformacije za vse tri dele!

Torej, znebimo se tistega v srednjem delu neenakosti. Od celotnega sredinskega dela odštejmo eno. Da se neenačba ne spremeni, od preostalih dveh delov odštejemo enega. Všečkaj to:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

To je bolje, kajne?) Vse, kar ostane, je, da vse tri dele razdelite na tri:

2 < X < 4

To je vse. To je odgovor. X je lahko poljubno število od dve (brez) do štiri (brez). Tudi ta odgovor je zapisan v intervalih; taki vnosi bodo v kvadratnih neenačbah. Tam so najpogostejša stvar.

Na koncu lekcije bom ponovil najpomembnejše. Uspeh pri reševanju linearnih neenačb je odvisen od sposobnosti preoblikovanja in poenostavljanja linearnih enačb. Če hkrati pazi na znak neenakosti, ne bo nobenih težav. To ti želim. Brez težav.)

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Danes, prijatelji, ne bo nobenih smrkljev ali sentimentalnosti. Namesto tega vas bom brez vprašanj poslal v bitko z enim najmočnejših nasprotnikov v tečaju algebre za 8. in 9. razred.

Da, vse ste prav razumeli: govorimo o neenačbah z modulom. Ogledali si bomo štiri osnovne tehnike, s katerimi se boste naučili rešiti približno 90% tovrstnih težav. Kaj pa preostalih 10%? No, o njih bomo govorili v ločeni lekciji. :)

Vendar bi vas rad pred analizo katere koli tehnike spomnil na dve dejstvi, ki ju že morate poznati. V nasprotnem primeru tvegate, da sploh ne boste razumeli gradiva današnje lekcije.

Kaj že morate vedeti

Zdi se, da Captain Obviousness namiguje, da morate za reševanje neenakosti z modulom vedeti dve stvari:

1. Kako se rešujejo neenakosti;
2. Kaj je modul?

Začnimo z drugo točko.

Definicija modula

Tukaj je vse preprosto. Obstajata dve definiciji: algebraična in grafična. Za začetek - algebraično:

Opredelitev. Modul števila $x$ je bodisi samo število, če je nenegativno, bodisi nasprotno število, če je prvotni $x$ še vedno negativen.

Napisano je takole:

\[\levo| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Govorjenje v preprostem jeziku, je modul "število brez minusa". In prav v tej dvojnosti (ponekod vam ni treba storiti ničesar z izvirno številko, drugje pa morate odstraniti kakšen minus) je vsa težava začetnikov.

Obstaja tudi geometrijska definicija. Koristno je tudi vedeti, vendar se bomo nanj obrnili le v zapletenih in nekaterih posebnih primerih, kjer je geometrijski pristop bolj primeren kot algebrski (spoiler: danes ne).

Opredelitev. Naj bo na številski premici označena točka $a$. Nato modul $\left| x-a \right|$ je razdalja od točke $x$ do točke $a$ na tej premici.

Če narišete sliko, boste dobili nekaj takega:

Opredelitev grafičnega modula

Tako ali drugače iz definicije modula takoj sledi njegova ključna lastnost: modul števila je vedno nenegativna količina. To dejstvo bo rdeča nit skozi celotno našo današnjo pripoved.

Reševanje neenačb. Intervalna metoda

Zdaj pa poglejmo neenakosti. Veliko jih je, vendar je naša naloga zdaj rešiti vsaj najpreprostejše od njih. Tiste, ki se reducirajo na linearne neenakosti, pa tudi na intervalno metodo.

Imam dve veliki lekciji o tej temi (mimogrede, zelo, ZELO koristni - priporočam, da jih preučite):

1. Intervalna metoda za neenakosti (posebej si oglejte video);
2. Ulomne racionalne neenakosti so zelo obsežna lekcija, a po njej ne boste imeli nikakršnih vprašanj.

Če veste vse to, če besedna zveza "gremo od neenakosti k enačbi" ne povzroči nejasne želje, da bi se udarili ob zid, potem ste pripravljeni: dobrodošli v peklu pri glavni temi lekcije. :)

1. Neenakosti oblike "Modul je manjši od funkcije"

To je ena najpogostejših težav z moduli. Rešiti je treba neenačbo oblike:

\[\levo| f\desno| \ltg\]

Funkciji $f$ in $g$ sta lahko karkoli, običajno pa sta polinomi. Primeri takih neenakosti:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \desno| \lt x+7; \\ & \levo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\levo(x+1 \desno) \lt 0; \\ & \levo| ((x)^(2))-2\levo| x \desno|-3 \desno| \lt 2. \\\konec(poravnaj)\]

Vse jih je mogoče rešiti dobesedno v eni vrstici po naslednji shemi:

\[\levo| f\desno| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \desno.\desno)\]

Lahko vidimo, da se znebimo modula, v zameno pa dobimo dvojno neenakost (ali, kar je isto, sistem dveh neenakosti). Toda ta prehod upošteva absolutno vse možne težave: če je število pod modulom pozitivno, metoda deluje; če je negativen, še vedno deluje; in tudi z najbolj neustrezno funkcijo namesto $f$ ali $g$ bo metoda še vedno delovala.

Seveda se postavlja vprašanje: ali ne bi moglo biti preprostejše? Na žalost ni mogoče. To je bistvo modula.

Vendar dovolj s filozofiranjem. Rešimo nekaj težav:

Naloga. Reši neenačbo:

\[\levo| 2x+3 \desno| \lt x+7\]

rešitev. Torej, pred nami je klasična neenakost v obliki "modul je manjši" - sploh ni ničesar za transformacijo. Delamo po algoritmu:

\[\begin(align) & \left| f\desno| \lt g\desna puščica -g \lt f \lt g; \\ & \levo| 2x+3 \desno| \lt x+7\desna puščica -\levo(x+7 \desno) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\konec(poravnaj)\]

Ne hitite z odpiranjem oklepajev, pred katerimi je "minus": povsem možno je, da boste zaradi naglice naredili žaljivo napako.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\levo\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \desno.\]

\[\levo\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \desno.\]

\[\levo\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \desno.\]

Problem smo zreducirali na dve elementarni neenakosti. Oglejmo si njihove rešitve na vzporednih številskih premicah:

Presečišče mnogih

Sečišče teh množic bo odgovor.

Odgovor: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \desno)$

Naloga. Reši neenačbo:

\[\levo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\levo(x+1 \desno) \lt 0\]

rešitev. Ta naloga je nekoliko težja. Najprej izolirajmo modul tako, da premaknemo drugi izraz v desno:

\[\levo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \lt -3\levo(x+1 \desno)\]

Očitno imamo spet neenakost oblike "modul je manjši", zato se modula znebimo z že znanim algoritmom:

\[-\levo(-3\levo(x+1 \desno) \desno) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\levo(x+1 \desno)\]

Zdaj pa pozor: kdo bo rekel, da sem malo perverznež z vsemi temi oklepaji. A naj vas še enkrat spomnim, da je naš ključni cilj pravilno reši neenačbo in dobi odgovor. Kasneje, ko boste popolnoma obvladali vse, kar je opisano v tej lekciji, lahko sami spremenite, kot želite: odprite oklepaje, dodajte minuse itd.

Za začetek se preprosto znebimo dvojnega minusa na levi:

\[-\levo(-3\levo(x+1 \desno) \desno)=\levo(-1 \desno)\cdot \levo(-3 \desno)\cdot \levo(x+1 \desno) =3\levo(x+1 \desno)\]

Zdaj pa odprimo vse oklepaje v dvojni neenakosti:

Pojdimo k dvojni neenakosti. Tokrat bodo izračuni resnejši:

\[\levo\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \desno.\]

\[\levo\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( poravnaj)\desno.\]

Obe neenačbi sta kvadratni in ju je mogoče rešiti z intervalno metodo (zato pravim: če ne veste, kaj je to, je bolje, da se modulov še ne lotevate). Pojdimo k enačbi v prvi neenačbi:

\[\začetek(poravnaj) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\levo(x+5 \desno)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\konec(poravnaj)\]

Kot lahko vidite, je rezultat nepopolna kvadratna enačba, ki jo je mogoče rešiti na elementaren način. Zdaj pa poglejmo drugo neenakost sistema. Tam boste morali uporabiti Vietin izrek:

\[\začetek(poravnaj) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \levo(x-3 \desno)\levo(x+2 \desno)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\konec(poravnaj)\]

Dobljena števila označimo na dveh vzporednih črtah (ločeno za prvo neenakost in ločeno za drugo):

Ponovno, ker rešujemo sistem neenačb, nas zanima presečišče osenčenih množic: $x\in \left(-5;-2 \right)$. To je odgovor.

Odgovor: $x\in \left(-5;-2 \desno)$

Mislim, da je po teh primerih shema rešitve zelo jasna:

1. Izolirajte modul tako, da premaknete vse druge člene na nasprotno stran neenakosti. Tako dobimo neenakost oblike $\left| f\desno| \ltg$.
2. Rešite to neenakost tako, da se znebite modula po zgoraj opisani shemi. Na neki točki bo treba z dvojne neenakosti preiti na sistem dveh neodvisnih izrazov, od katerih je že mogoče reševati vsakega posebej.
3. Končno ostane le še presekati rešitve teh dveh neodvisnih izrazov - in to je to, dobili bomo končni odgovor.

Podoben algoritem obstaja za neenačbe naslednje vrste, ko je modul večji od funkcije. Vendar pa obstaja nekaj resnih "ampak". Zdaj bomo govorili o teh "ampak".

2. Neenakosti oblike "Modul je večji od funkcije"

Izgledajo takole:

\[\levo| f\desno| \gtg\]

Podoben prejšnjemu? Izgleda. In vendar se takšne težave rešujejo na povsem drugačen način. Formalno je shema naslednja:

\[\levo| f\desno| \gt g\desna puščica \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \desno.\]

Z drugimi besedami, upoštevamo dva primera:

1. Najprej preprosto zanemarimo modul in rešimo običajno neenakost;
2. Nato v bistvu razširimo modul z znakom minus in nato pomnožimo obe strani neenakosti z −1, medtem ko imam znak.

V tem primeru so možnosti združene z oglatim oklepajem, tj. Pred seboj imamo kombinacijo dveh zahtev.

Ponovno upoštevajte: to torej ni sistem, ampak celota v odgovoru so množice kombinirane in ne križane. To je temeljna razlika od prejšnje točke!

Na splošno je veliko študentov popolnoma zmedenih s sindikati in križišči, zato razrešimo to vprašanje enkrat za vselej:

• "∪" je znak unije. V bistvu je to stilizirana črka "U", ki je prišla k nam v angleščini in je okrajšava za »Unijo«, tj. "Združenja".
• "∩" je znak križišča. Ta bedarija ni prišla od nikoder, ampak se je preprosto pojavila kot kontrapunkt "∪".

Da si boste še lažje zapomnili, samo narišite noge tem znakom, da naredite očala (samo ne me zdaj obtoževati, da spodbujam odvisnost od drog in alkoholizem: če resno preučujete to lekcijo, potem ste že odvisnik od drog):

Razlika med presekom in unijo množic

Prevedeno v ruščino, to pomeni naslednje: zveza (celota) vključuje elemente iz obeh sklopov, zato nikakor ni manjša od vsakega od njih; toda presečišče (sistem) vključuje le tiste elemente, ki so hkrati v prvem in drugem nizu. Zato presečišče množic ni nikoli večje od izvornih množic.

Je torej postalo bolj jasno? To je super. Pojdimo k praksi.

Naloga. Reši neenačbo:

\[\levo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\]

rešitev. Nadaljujemo po shemi:

\[\levo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\desna puščica \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \desno) \\\end(align) \ prav.\]

Rešimo vsako neenakost v populaciji:

\[\levo[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\levo[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\levo[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \desno.\]

Vsak nastali niz označimo na številski premici in jih nato združimo:

Zveza sklopov

Povsem očitno je, da bo odgovor $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Odgovor: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \desno)$

Naloga. Reši neenačbo:

\[\levo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gt x\]

rešitev. No? Nič - vse je isto. Od neenakosti z modulom preidemo na niz dveh neenakosti:

\[\levo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gt x\desna puščica \levo[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \desno.\]

Rešimo vsako neenakost. Na žalost korenine tam ne bodo zelo dobre:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\konec(poravnaj)\]

Tudi druga neenakost je malce divja:

\[\začetek(poravnaj) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\konec(poravnaj)\]

Zdaj morate te številke označiti na dveh oseh - ena os za vsako neenakost. Vendar pa morate točke označiti v pravilnem vrstnem redu: večje kot je število, bolj se točka premakne v desno.

In tukaj nas čaka postavitev. Če je s številkami $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (členi v števcu prvega ulomek manjši od členov v števcu sekunde, zato je tudi vsota manjša), s številkami $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ prav tako ne bo težav (pozitivno število očitno bolj negativno), potem z zadnjim parom ni vse tako jasno. Kaj je večje: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ali $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Od odgovora na to vprašanje bo odvisna postavitev točk na številskih premicah in pravzaprav odgovor.

Torej primerjajmo:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Izolirali smo koren, dobili nenegativna števila na obeh straneh neenakosti, zato imamo pravico kvadrirati obe strani:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Mislim, da ni pametno, da je $4\sqrt(13) \gt 3$, torej $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$ bodo končne točke na oseh postavljene takole:

Primer grdih korenin

Naj vas spomnim, da rešujemo množico, zato bo odgovor unija, ne presečišče osenčenih množic.

Odgovor: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \desno)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Kot lahko vidite, naša shema odlično deluje tako pri preprostih kot pri zelo težkih težavah. Edina "šibka točka" tega pristopa je, da morate pravilno primerjati iracionalna števila (in verjemite mi: to niso samo korenine). Toda ločena (in zelo resna) lekcija bo namenjena vprašanjem primerjave. In gremo naprej.

3. Neenakosti z nenegativnimi "repi"

Zdaj smo pri najbolj zanimivem delu. To so neenakosti oblike:

\[\levo| f\desno| \gt\levo| g\desno|\]

Na splošno je algoritem, o katerem bomo govorili zdaj, pravilen samo za modul. Deluje v vseh neenačbah, kjer so na levi in ​​desni zagotovljeni nenegativni izrazi:

Kaj storiti s temi nalogami? Le Zapomni si:

V neenačbah z nenegativnimi "repi" lahko obe strani dvignemo na poljubno naravno potenco. Dodatnih omejitev ne bo.

Najprej nas bo zanimalo kvadriranje - zažge module in korenine:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\levo(\sqrt(f) \desno))^(2))=f. \\\konec(poravnaj)\]

Samo tega ne zamenjujte s kvadratnim korenom:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\levo| f \desno|\ne f\]

Nešteto napak je bilo storjeno, ko je študent pozabil namestiti modul! A to je povsem druga zgodba (to so tako rekoč iracionalne enačbe), zato se v to zdaj ne bomo spuščali. Bolje rešimo nekaj težav:

Naloga. Reši neenačbo:

\[\levo| x+2 \desno|\ge \levo| 1-2x \desno|\]

rešitev. Naj takoj opazimo dvoje:

1. To ni stroga neenakost. Točke na številski premici bodo preluknjane.
2. Obe strani neenakosti sta očitno nenegativni (to je lastnost modula: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Zato lahko kvadriramo obe strani neenakosti, da se znebimo modula in rešimo problem z običajno intervalno metodo:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \desno) )^(2)); \\ & ((\levo(x+2 \desno))^(2))\ge ((\levo(2x-1 \desno))^(2)). \\\konec(poravnaj)\]

Pri zadnjem koraku sem malo goljufal: spremenil sem zaporedje členov, pri čemer sem izkoristil parnost modula (pravzaprav sem izraz $1-2x$ pomnožil z −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \desno))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \desno)-\left(x+2 \desno) \desno)\cdot \left(\left(2x-1 \desno)+\left(x+2 \ desno)\desno)\le 0; \\ & \levo(2x-1-x-2 \desno)\cdot \levo(2x-1+x+2 \desno)\le 0; \\ & \levo(x-3 \desno)\cdot \levo(3x+1 \desno)\le 0. \\\konec(poravnaj)\]

Rešujemo z intervalno metodo. Pojdimo od neenakosti k enačbi:

\[\begin(align) & \left(x-3 \desno)\left(3x+1 \desno)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\konec(poravnaj)\]

Najdene korenine označimo na številski premici. Še enkrat: vse točke so zasenčene, ker prvotna neenakost ni stroga!

Znebiti se znaka modula

Naj spomnim za tiste, ki ste še posebej trmasti: predznake vzamemo iz zadnje neenakosti, ki smo jo zapisali, preden smo prešli na enačbo. In prebarvamo področja, ki jih zahteva ista neenakost. V našem primeru je $\levo(x-3 \desno)\levo(3x+1 \desno)\le 0$.

OK, zdaj je vsega konec. Problem je rešen.

Odgovor: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \desno]$.

Naloga. Reši neenačbo:

\[\levo| ((x)^(2))+x+1 \desno|\le \levo| ((x)^(2))+3x+4 \desno|\]

rešitev. Vse delamo enako. Ne bom komentiral - samo poglejte zaporedje dejanj.

Kvadrat:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \desno| \desno))^(2)); \\ & ((\levo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))\le ((\levo(((x)^(2))+3x+4 \desno))^(2)); \\ & ((\levo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))-((\levo(((x)^(2))+3x+4 \ desno))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \desno)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \desno)\le 0; \\ & \levo(-2x-3 \desno)\levo(2((x)^(2))+4x+5 \desno)\le 0. \\\konec(poravnaj)\]

Intervalna metoda:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Desna puščica x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Desna puščica D=16-40 \lt 0\Desna puščica \varnič . \\\konec(poravnaj)\]

Na številski premici je samo en koren:

Odgovor je cel interval

Odgovor: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.

Majhna opomba o zadnji nalogi. Kot je natančno ugotovil eden od mojih študentov, sta oba submodularna izraza v tej neenakosti očitno pozitivna, zato lahko znak modula izpustimo brez škode za zdravje.

Ampak to je povsem druga raven razmišljanja in drugačen pristop – pogojno lahko temu rečemo metoda posledic. O tem - v ločeni lekciji. Zdaj pa pojdimo na zadnji del današnje lekcije in si oglejmo univerzalni algoritem, ki vedno deluje. Tudi ko so bili vsi prejšnji pristopi nemočni. :)

4. Metoda naštevanja možnosti

Kaj pa, če vse te tehnike ne pomagajo? Če neenakosti ni mogoče zmanjšati na nenegativne repe, če je nemogoče izolirati modul, če na splošno obstaja bolečina, žalost, melanholija?

Nato na sceno stopi "težka artilerija" vse matematike - metoda surove sile. V zvezi z neenakostmi z modulom je videti takole:

1. Izpišite vse submodularne izraze in jih postavite na nič;
2. Reši dobljene enačbe in označi najdene korene na eni številski premici;
3. Ravna črta bo razdeljena na več odsekov, znotraj katerih ima vsak modul fiksen predznak in je zato edinstveno razkrit;
4. Rešite neenačbo na vsakem takem odseku (ločeno lahko upoštevate meje korenin, pridobljene v koraku 2 - za zanesljivost). Združi rezultate - to bo odgovor. :)

Torej, kako? Slaba? Enostavno! Samo za dolgo časa. Poglejmo v praksi:

Naloga. Reši neenačbo:

\[\levo| x+2 \desno| \lt \levo| x-1 \desno|+x-\frac(3)(2)\]

rešitev. To sranje se ne zmanjša na neenakosti, kot je $\left| f\desno| \lt g$, $\levo| f\desno| \gt g$ ali $\left| f\desno| \lt \levo| g \right|$, zato ukrepamo vnaprej.

Izpišemo submodularne izraze, jih enačimo na nič in poiščemo korenine:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\desna puščica x=1. \\\konec(poravnaj)\]

Skupaj imamo dva korena, ki delita številsko premico na tri odseke, znotraj katerih je vsak modul razkrit edinstveno:

Razdelitev številske premice z ničlami ​​submodularnih funkcij

Oglejmo si vsak razdelek posebej.

1. Naj bo $x \lt -2$. Potem sta oba submodularna izraza negativna in prvotna neenakost bo prepisana na naslednji način:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \desno) \lt -\left(x-1 \desno)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\konec(poravnaj)\]

Imamo dokaj preprosto omejitev. Presekajmo ga z začetno predpostavko, da je $x \lt -2$:

\[\levo\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Očitno je, da spremenljivka $x$ ne more biti hkrati manjša od −2 in večja od 1,5. Na tem področju ni rešitev.

1.1. Ločeno razmislimo o mejnem primeru: $x=-2$. Nadomestimo to številko v prvotno neenakost in preverimo: ali drži?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \levo| -3\desno|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\desna puščica \varnič . \\\konec(poravnaj)\]

Očitno je, da nas je računska veriga pripeljala do nepravilne neenakosti. Zato je tudi prvotna neenakost napačna in $x=-2$ ni vključen v odgovor.

2. Naj bo zdaj $-2 \lt x \lt 1$. Levi modul se bo že odprl s "plusom", desni pa se bo še vedno odprl z "minusom". Imamo:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \desno)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\konec(poravnaj)\]

Spet se presekamo s prvotno zahtevo:

\[\levo\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

In spet, množica rešitev je prazna, saj ni števil, ki bi bila hkrati manjša od −2,5 in večja od −2.

2.1. In spet poseben primer: $x=1$. V prvotno neenakost nadomestimo:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \levo| 3\desno| \lt \levo| 0\desno|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\desna puščica \varnič . \\\konec(poravnaj)\]

Podobno kot v prejšnjem "posebnem primeru", število $x=1$ očitno ni vključeno v odgovor.

3. Zadnji del vrstice: $x \gt 1$. Tu se vsi moduli odprejo z znakom plus:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

In spet presekamo najdeno množico z izvirno omejitvijo:

\[\levo\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Končno! Našli smo interval, ki bo odgovor.

Odgovor: $x\in \left(4,5;+\infty \desno)$

Za konec še ena pripomba, ki vas bo morda rešila neumnih napak pri reševanju resničnih problemov:

Rešitve neenačb z moduli običajno predstavljajo zvezne množice na številski premici - intervale in odseke. Izolirane točke so veliko manj pogoste. In še manj pogosto se zgodi, da meja rešitve (konec segmenta) sovpada z mejo obravnavanega območja.

Posledično, če meje (isti »posebni primeri«) niso vključene v odgovor, potem območja levo in desno od teh meja skoraj zagotovo ne bodo vključena v odgovor. In obratno: meja je vnesena v odgovor, kar pomeni, da bodo nekatera območja okoli nje tudi odgovori.

Upoštevajte to, ko pregledujete svoje rešitve.

Zdravo! Dragi moji učenci, v tem članku se bomo naučili reševati eksponentne neenačbe .

Ne glede na to, kako zapletena se vam zdi eksponentna neenakost, so po nekaterih transformacijah (o njih bomo govorili malo kasneje) vse neenakosti se zmanjšajo na reševanje najenostavnejših eksponentnih neenakosti:

a x > b, a x< b in a x ≥ b, a x ≤ b.

Poskusimo ugotoviti, kako se takšne neenakosti razrešijo.

Preučili bomo rešitev stroge neenakosti. Edina razlika pri reševanju nestrogih neenačb je, da so dobljeni ustrezni koreni vključeni v odgovor.

Recimo, da moramo rešiti neenakost oblike in f (x) > b, Kje a>1 in b>0.

Oglejte si diagram za reševanje takšnih neenačb (slika 1):

Zdaj pa poglejmo konkreten primer. Rešite neenačbo: 5 x – 1 > 125.

Ker je 5 > 1 in 125 > 0, torej
x – 1 > log 5 125, to je
x – 1 > 3,
x > 4.

odgovor: (4; +∞) .

Kakšna bo rešitev te iste neenakosti? in f (x) >b, Če 0 in b>0?

Torej, diagram na sliki 2

primer: Reši neenačbo (1/2) 2x - 2 ≥ 4

Z uporabo pravila (slika 2) dobimo
2х – 2 ≤ log 1/2 4,
2х – 2 ≤ –2,
2x ≤ 0,
x ≤ 0.

odgovor: (–∞; 0] .

Ponovno poglejmo isto neenakost in f (x) > b, Če a>0 in b<0 .

Torej, diagram na sliki 3:

Primer reševanja neenačbe (1/3) x + 2 > –9. Kot smo opazili, je ne glede na to, katero število zamenjamo za x, (1/3) x + 2 vedno večje od nič.

odgovor: (–∞; +∞) .

Kako se rešujejo neenakosti oblike? in f(x)< b , Kje a>1 in b>0?

Diagram na sliki 4:

In še naslednji primer: 3 3 – x ≥ 8.
Ker je 3 > 1 in 8 > 0, torej
3 – x > log 3 8, to je
–x > log 3 8 – 3,
X< 3 – log 3 8.

odgovor: (0; 3–log 3 8) .

Kako se lahko spremeni rešitev neenačbe? in f(x)< b , pri 0 in b>0?

Diagram na sliki 5:

In še naslednji primer: Rešite neenačbo 0,6 2x – 3< 0,36 .

Po diagramu na sliki 5 dobimo
2x – 3 > log 0,6 0,36,
2x – 3 > 2,
2x > 5,
x > 2,5

odgovor: (2,5; +∞) .

Oglejmo si zadnjo shemo za reševanje neenakosti oblike in f(x)< b , pri a>0 in b<0 , prikazano na sliki 6:

Na primer, rešimo neenačbo:

Upoštevamo, da je ne glede na to, katero število zamenjamo namesto x, leva stran neenakosti vedno večja od nič, naš izraz pa je manjši od -8, tj. in nič, kar pomeni, da ni rešitev.

odgovor: brez rešitev.

Če veste, kako rešiti najpreprostejše eksponentne neenakosti, lahko nadaljujete reševanje eksponentnih neenačb.

Primer 1.

Poiščite največjo celoštevilsko vrednost x, ki ustreza neenakosti

Ker je 6 x večje od nič (pri nobenem x se imenovalec ne premakne na nič), če pomnožimo obe strani neenakosti s 6 x, dobimo:

440 – 2 6 2x > 8, torej
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2х > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Odgovor: 1.

Primer 2.

Reši neenačbo 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

Označimo 2 x z y, dobimo neenačbo y 2 – 3y + 2 ≤ 0 in rešimo to kvadratno neenačbo.

y 2 – 3y +2 = 0,
y 1 = 1 in y 2 = 2.

Veje parabole so usmerjene navzgor, narišimo graf:

Potem bo rešitev neenačbe neenačba 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

odgovor: (0; 1) .

Primer 3. Reši neenačbo 5 x +1 – 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Zberimo izraze z enakimi osnovami v enem delu neenačbe

5 x +1 – 2 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Vzemimo 5 x iz oklepaja na levi strani neenakosti in 3 x na desni strani neenakosti in dobimo neenakost

5 x (5 – 2)< 3 х (9 – 2/3),
3,5 x< (25/3)·3 х

Obe strani neenačbe delimo z izrazom 3 3 x, predznak neenakosti se ne spremeni, ker je 3 3 x pozitivno število, dobimo neenakost:

X< 2 (так как 5/3 > 1).

odgovor: (–∞; 2) .

Če imate vprašanja o reševanju eksponentnih neenakosti ali bi radi vadili reševanje podobnih primerov, se prijavite na moje lekcije. Učiteljica Valentina Galinevskaya.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

rešitev neenakosti v načinu na spletu rešitev skoraj vsako dano neenakost na spletu. matematične neenakosti na spletu rešiti matematiko. Hitro najdi rešitev neenakosti v načinu na spletu. Spletna stran www.site vam omogoča iskanje rešitev skoraj vsako dano algebrski, trigonometrična oz transcendentalna neenakost na spletu. Pri študiju skoraj katere koli veje matematike na različnih stopnjah se morate odločiti neenakosti na spletu. Če želite takoj dobiti odgovor in, kar je najpomembneje, točen odgovor, potrebujete vir, ki vam to omogoča. Zahvaljujoč spletnemu mestu www.site reši neenakost na spletu bo trajalo nekaj minut. Glavna prednost www.site pri reševanju matematičnih neenakosti na spletu- to je hitrost in natančnost podanega odgovora. Spletno mesto lahko reši katero koli algebraične neenakosti na spletu, trigonometrične neenakosti na spletu, transcendentalne neenakosti na spletu, in neenakosti z neznanimi parametri v načinu na spletu. Neenakosti služijo kot močan matematični aparat rešitve praktični problemi. S pomočjo matematične neenakosti mogoče je izraziti dejstva in razmerja, ki se na prvi pogled zdijo zmedena in zapletena. Neznane količine neenakosti lahko najdete tako, da problem formulirate v matematični jezik v obliki neenakosti in odločiti se prejeta naloga v načinu na spletu na spletni strani www.site. Kaj algebraična neenakost, trigonometrična neenakost oz neenakosti ki vsebuje transcendentalno lastnosti, ki jih lahko enostavno odločiti se na spletu in dobite natančen odgovor. Pri študiju naravoslovja se neizogibno srečaš s potrebo rešitve neenačb. V tem primeru mora biti odgovor točen in ga je treba dobiti takoj v načinu na spletu. Zato za reševanje matematičnih neenakosti na spletu priporočamo stran www.site, ki bo postala vaš nepogrešljiv kalkulator za reševanje algebraičnih neenačb na spletu, trigonometrične neenakosti na spletu, in transcendentalne neenakosti na spletu oz neenakosti z neznanimi parametri. Za praktične probleme iskanja spletnih rešitev za različne matematične neenakosti vir www.. Reševanje neenakosti na spletu sami, je koristno preveriti prejeti odgovor z spletno reševanje neenačb na spletni strani www.site. Neenakost morate pravilno zapisati in jo takoj dobiti spletna rešitev, nato pa ostane le še primerjava odgovora s svojo rešitvijo neenačbe. Preverjanje odgovora ne bo trajalo več kot minuto, dovolj je reši neenakost na spletu in primerjajte odgovore. Tako se boste izognili napakam pri odločitev in pravočasno popravi odgovor, ko reševanje neenačb na spletu bodisi algebrski, trigonometrična, transcendentalno oz neenakost z neznanimi parametri.