Spletni kalkulator za reševanje kvadratne neenakosti. Reševanje eksponentnih neenačb

Reševanje neenačb na spletu

Preden rešite neenačbe, morate dobro razumeti, kako se enačbe rešujejo.

Ni pomembno, ali je neenakost stroga () ali nestroga (≤, ≥), prvi korak je rešitev enačbe z zamenjavo znaka neenakosti z enakostjo (=).

Naj pojasnimo, kaj pomeni rešiti neenačbo?

Po študiju enačb dobi učenec v glavi naslednjo sliko: poiskati mora vrednosti spremenljivke, tako da imata obe strani enačbe enake vrednosti. Z drugimi besedami, poiščite vse točke, v katerih velja enakost. Vse je pravilno!

Ko govorimo o neenakosti, mislimo na iskanje intervalov (odsekov), na katerih neenakost velja. Če sta v neenačbi dve spremenljivki, potem rešitev ne bodo več intervali, temveč nekatera področja na ravnini. Uganete sami, kakšna bo rešitev neenačbe v treh spremenljivkah?

Kako rešiti neenačbe?

Univerzalni način reševanja neenakosti se šteje za metodo intervalov (znana tudi kot metoda intervalov), ki je sestavljena iz določanja vseh intervalov, v mejah katerih bo določena neenakost izpolnjena.

Ne da bi se spuščali v vrsto neenakosti, v tem primeru to ni bistvo, morate rešiti ustrezno enačbo in določiti njene korenine, čemur sledi oznaka teh rešitev na številski osi.

Kako pravilno zapisati rešitev neenačbe?

Ko določite intervale reševanja neenačbe, morate pravilno zapisati samo rešitev. Obstaja pomemben odtenek - ali so meje intervalov vključene v rešitev?

Tukaj je vse preprosto. Če rešitev enačbe zadosti ODZ in neenačba ni stroga, potem je meja intervala vključena v rešitev neenačbe. Sicer pa ne.

Ob upoštevanju vsakega intervala je rešitev neenakosti lahko interval sam ali polovični interval (ko ena od njegovih meja zadošča neenakosti) ali segment - interval skupaj s svojimi mejami.

Pomembna točka

Ne mislite, da lahko samo intervali, polintervali in segmenti rešijo neenakost. Ne, rešitev lahko vključuje tudi posamezne točke.

Na primer, neenakost |x|≤0 ima samo eno rešitev - to je točka 0.

In neenakost |x|

Zakaj potrebujete kalkulator neenakosti?

Kalkulator neenakosti poda pravilen končni odgovor. V večini primerov je na voljo ilustracija številske osi ali ravnine. Vidno je, ali so meje intervalov vključene v rešitev ali ne - točke so prikazane zasenčene ali preluknjane.

Zahvale gredo spletni kalkulator Pri neenačbah lahko preverite, ali ste pravilno našli korenine enačbe, jih označili na številski osi in na intervalih (in mejah) preverili, ali je pogoj neenačbe izpolnjen?

Če se vaš odgovor razlikuje od odgovora kalkulatorja, morate vsekakor še enkrat preveriti svojo rešitev in ugotoviti napako.

Kaj morate vedeti o ikonah neenakosti? Neenakosti z ikono več (> ), oz manj (< ) se imenujejo stroga. Z ikonami več ali enako (≥ ), manj ali enako (≤ ) se imenujejo ni stroga. Ikona ni enako (≠ ) stoji ločeno, vendar morate tudi s to ikono ves čas reševati primere. In odločili se bomo.)

Sama ikona nima velikega vpliva na postopek rešitve. Toda na koncu odločitve, pri izbiri končnega odgovora, se pomen ikone pojavi v polni moči! To bomo videli spodaj v primerih. Tam je nekaj šal ...

Neenakosti, tako kot enakosti, obstajajo zvesti in nezvesti. Tukaj je vse preprosto, brez trikov. Recimo 5 > 2 je prava neenakost. 5 < 2 - nepravilno.

Ta pripravek deluje pri neenakosti vse vrste in preprosto do groze.) Samo pravilno morate izvesti dve (samo dve!) osnovni dejanji. Ta dejanja so znana vsem. Ampak značilno je, da so napake pri teh dejanjih glavna napaka pri reševanju neenačb, ja... Zato je treba ta dejanja ponoviti. Ta dejanja se imenujejo na naslednji način:

Identične transformacije neenačb.

Identične transformacije neenačb so zelo podobne identičnim transformacijam enačb. Pravzaprav je to glavni problem. Razlike vam gredo čez glavo in ... evo vas.) Zato bom te razlike še posebej izpostavil. Torej, prva identična transformacija neenakosti:

1. Enako število ali izraz lahko prištejemo (odštejemo) obema stranema neenakosti. Kaj. To ne bo spremenilo znaka neenakosti.

V praksi se to pravilo uporablja kot prenos izrazov z leve strani neenakosti na desno (in obratno) s spremembo predznaka. S spremembo predznaka člena, ne neenačbe! Pravilo ena proti ena je enako pravilu za enačbe. Toda naslednje identične transformacije v neenačbah se bistveno razlikujejo od tistih v enačbah. Zato jih označujem z rdečo:

2. Obe strani neenakosti lahko pomnožimo (delimo) z isto stvarjopozitivnoštevilo. Za katero kolipozitivno Ne bo spremenilo.

3. Obe strani neenakosti lahko pomnožimo (delimo) z isto stvarjonegativnoštevilo. Za katero kolinegativnoštevilo. Znak neenakosti iz tegase bo spremenilo v nasprotno.

Saj se spomniš (upam...), da se enačba lahko pomnoži/deli s čimer koli. In za poljubno število in za izraz z X. Če le ne bi bila nula. Zaradi tega enačba ni niti vroča niti hladna.) Ne spremeni se. Toda neenakosti so bolj občutljive na množenje/deljenje.

Jasen primer za dolg spomin. Zapišimo neenakost, ki ne vzbuja dvomov:

5 > 2

Pomnožite obe strani s +3, dobimo:

15 > 6

Kakšni ugovori? Ni ugovorov.) In če pomnožimo obe strani prvotne neenakosti z -3, dobimo:

15 > -6

In to je čista laž.) Popolna laž! Zavajanje ljudstva! Toda takoj, ko spremenite znak neenakosti v nasprotno, se vse postavi na svoje mesto:

15 < -6

Ne prisegam le na laži in prevare.) "Pozabil sem spremeniti enačaj ..."- To domov napaka pri reševanju neenačb. To trivialno in preprosto pravilo je prizadelo toliko ljudi! Kar so pozabili ...) Torej prisežem. Mogoče se spomnim ...)

Še posebej pozorni bodo opazili, da neenakosti ni mogoče pomnožiti z izrazom z X. Spoštovanje do tistih, ki so pozorni!) Zakaj ne? Odgovor je preprost. Predznaka tega izraza z X ne poznamo. Lahko je pozitiven, negativen ... Zato ne vemo, kateri znak neenačbe postaviti za množenjem. Naj ga spremenim ali ne? Neznano. Seveda je to omejitev (prepoved množenja/deljenja neenakosti z izrazom z x) možno zaobiti. Če ga res potrebujete. Toda to je tema za druge lekcije.

To so vse identične transformacije neenakosti. Naj vas še enkrat spomnim, da delajo za kaj neenakosti Zdaj lahko preidete na določene vrste.

Linearne neenakosti. Rešitev, primeri.

Linearne neenačbe so neenačbe, pri katerih je x na prvi potenci in ni deljenja z x. Tip:

x+3 > 5x-5

Kako se te neenakosti rešujejo? Zelo enostavno jih je rešiti! Namreč: s pomočjo zmanjšamo najbolj zmedeno linearno neenakost naravnost do odgovora. To je rešitev. Izpostavil bom glavne točke sklepa. Da bi se izognili neumnim napakam.)

Rešimo to neenakost:

x+3 > 5x-5

Rešujemo jo na povsem enak način kot linearno enačbo. Z edino razliko:

Skrbno spremljamo znak neenakosti!

Prvi korak je najpogostejši. Z X-ji - v levo, brez X-jev - v desno ... To je prva enaka transformacija, preprosta in brez težav.) Samo ne pozabite spremeniti predznakov prenesenih izrazov.

Znak neenakosti ostane:

x-5x > -5-3

Tukaj so podobni.

Znak neenakosti ostane:

4x > -8

Ostaja še uporaba zadnje enake transformacije: delite obe strani z -4.

Razdeli po negativnoštevilo.

Znak neenakosti se bo spremenil v nasprotno:

X < 2

To je odgovor.

Tako se rešujejo vse linearne neenačbe.

Pozor! Točka 2 je narisana belo, tj. nepobarvan. Notri prazno. To pomeni, da ni vključena v odgovor! Namenoma sem jo narisal tako zdravo. Takšna točka (prazna, ni zdrava!)) se v matematiki imenuje preluknjana točka.

Preostale številke na osi lahko označimo, ni pa nujno. Tuja števila, ki niso povezana z našo neenakostjo, so lahko zmedena, ja ... Zapomniti si morate le, da se števila povečujejo v smeri puščice, tj. številke 3, 4, 5 itd. so na desno so dvojke, števila pa 1, 0, -1 itd. - levo.

Neenakost x < 2 - stroga. X je strogo manjši od dveh. Če ste v dvomih, je preverjanje preprosto. Dvomljivo število nadomestimo v neenakost in pomislimo: "Dva je manj kot dva? Ne, seveda!" Točno tako. Neenakost 2 < 2 nepravilno. Dvojka v zameno ni primerna.

Je ena v redu? Vsekakor. Manj ... In ničla je dobra, pa -17 in 0,34 ... Ja, vse številke, ki so manjše od dve, so dobre! In celo 1,9999.... Vsaj malo, a manj!

Označimo torej vsa ta števila na številski osi. kako Tukaj so možnosti. Prva možnost je senčenje. Z miško se pomaknemo čez sliko (ali se dotaknemo slike na tablici) in vidimo, da je območje vseh x-ov, ki izpolnjujejo pogoj x, zasenčeno < 2 . To je vse.

Oglejmo si drugo možnost z uporabo drugega primera:

X ≥ -0,5

Nariši os in označi število -0,5. Všečkaj to:

Opazite razliko?) No, ja, težko je ne opaziti ... Ta pika je črna! Prebarvano. To pomeni -0,5 je vključeno v odgovor. Tukaj, mimogrede, lahko preverjanje koga zmede. Zamenjajmo:

-0,5 ≥ -0,5

Kako to? -0,5 ni več kot -0,5! Obstaja še več ikon ...

V redu je. V šibki neenakosti je primerno vse, kar ustreza ikoni. IN enako dobro, in več dobro. Zato je v odgovor vključeno -0,5.

Torej, na osi smo označili -0,5, ostane še, da označimo vsa števila, ki so večja od -0,5. Tokrat označujem območje primernih vrednosti x lok(iz besede lok), namesto senčenja. Kazalec premaknemo nad risbo in vidimo ta lok.

Med senčenjem in rokami ni posebne razlike. Naredi, kot pravi učitelj. Če ni učitelja, narišite loke. Pri kompleksnejših nalogah je senčenje manj očitno. Lahko se zmedeš.

Tako se na osi narišejo linearne neenačbe. Preidimo na naslednjo značilnost neenakosti.

Pisanje odgovora za neenačbe.

Enačbe so bile dobre.) Poiskali smo x in zapisali odgovor, na primer: x=3. Obstajata dve obliki zapisa odgovorov v neenačbe. Ena je v obliki končne neenakosti. Dobro za preproste primere. Na primer:

X< 2.

To je popoln odgovor.

Včasih morate zapisati isto stvar, vendar v drugačni obliki, v številčnih intervalih. Potem začne posnetek izgledati zelo znanstveno):

x ∈ (-∞; 2)

Pod ikono ∈ beseda je skrita "pripada".

Vpis se glasi takole: x pripada intervalu od minus neskončnosti do dva ne vključuje. Čisto logično. X je lahko katero koli število od vseh možnih števil od minus neskončnosti do dva. Dvojnega X-a ne more biti, kar nam pove beseda "brez".

In kje v odgovoru je to jasno "brez"? To dejstvo je navedeno v odgovoru krog oklepaj takoj za dvema. Če bi bila oba vključena, bi bil oklepaj kvadrat. Kot ta: ]. Naslednji primer uporablja takšen oklepaj.

Zapišimo odgovor: x ≥ -0,5 v intervalih:

x ∈ [-0,5; +∞)

bere: x pripada intervalu od minus 0,5, vključno z do plus neskončnosti.

Neskončnosti ni mogoče nikoli vklopiti. To ni številka, je simbol. Zato je v takih zapisih neskončnost vedno poleg oklepaja.

Ta oblika zapisa je primerna za kompleksne odgovore, sestavljene iz več presledkov. Ampak – samo za končne odgovore. Pri vmesnih rezultatih, kjer se pričakuje nadaljnja rešitev, je bolje uporabiti običajno obliko, v obliki preproste neenačbe. To bomo obravnavali v ustreznih temah.

Priljubljene naloge z neenačbami.

Same linearne neenakosti so preproste. Zato naloge pogosto postanejo težje. Treba je bilo torej razmišljati. To, če tega niste vajeni, ni zelo prijetno.) Je pa koristno. Pokazal bom primere takih nalog. Ni za vas, da se jih učite, to je nepotrebno. In da ne bi bilo strah ob srečanju s takimi primeri. Samo malo pomislite - in preprosto je!)

1. Poiščite poljubni dve rešitvi neenačbe 3x - 3< 0

Če ni povsem jasno, kaj storiti, se spomnite glavnega pravila matematike:

Če ne veste, kaj potrebujete, naredite, kar lahko!)

X < 1

In kaj? Nič posebnega. Kaj nas sprašujejo? Prosimo, da poiščemo dve določeni števili, ki sta rešitev neenačbe. Tisti. ustreza odgovoru. Dva kajštevilke. Pravzaprav je to zmedeno.) Primernih je nekaj 0 in 0,5. Par -3 in -8. Teh parov je neskončno veliko! Kateri odgovor je pravilen?!

Odgovorim: vse! Vsak par števil, od katerih je vsako manjše od ena, bo pravilen odgovor. Napišite katero želite. Gremo naprej.

2. Reši neenačbo:

4x - 3 ≠ 0

Naloge v tej obliki so redke. Toda kot pomožne neenakosti se pri iskanju ODZ, na primer, ali pri iskanju domene definicije funkcije, pojavljajo ves čas. Tako linearno neenačbo je mogoče rešiti kot navadno linearno enačbo. Samo povsod razen znaka "=" ( enako) postavite znak " ≠ " (ni enako). Tako pristopite k odgovoru z znakom neenakosti:

X ≠ 0,75

V več zapleteni primeri, je bolje narediti stvari drugače. Iz enakosti naredi neenakost. Všečkaj to:

4x - 3 = 0

Mirno rešite, kot je naučeno, in dobite odgovor:

x = 0,75

Glavna stvar je, da čisto na koncu, ko zapisujete končni odgovor, ne pozabite, da smo našli x, kar daje enakost. In potrebujemo - neenakost. Zato tega X pravzaprav ne potrebujemo.) In zapisati ga moramo s pravilnim simbolom:

X ≠ 0,75

Ta pristop povzroči manj napak. Tisti, ki avtomatsko rešujejo enačbe. In za tiste, ki ne rešujejo enačb, neenakosti pravzaprav ne koristijo ...) Še en primer priljubljene naloge:

3. Poišči najmanjšo celoštevilsko rešitev neenačbe:

3(x - 1) < 5x + 9

Najprej enostavno rešimo neenačbo. Odpremo oklepaje, jih premaknemo, prinesemo podobne ... Dobimo:

X > - 6

Ali ni šlo tako!? Ste sledili znakom!? In za znaki članov, in za znakom neenakosti ...

Pomislimo še enkrat. Najti moramo točno določeno število, ki ustreza tako odgovoru kot pogoju "najmanjše celo število".Če se vam ne posveti takoj, lahko preprosto vzamete katero koli številko in jo ugotovite. Dva na minus šest? Vsekakor! Ali obstaja primerna manjša številka? Seveda. Na primer, nič je večja od -6. In še manj? Potrebujemo najmanjšo možno stvar! Minus tri je več kot minus šest! Lahko že ujamete vzorec in nehate neumno iti skozi številke, kajne?)

Vzemimo številko bližje -6. Na primer, -5. Odgovor je izpolnjen, -5 > - 6. Ali je mogoče najti drugo število, manjše od -5, vendar večje od -6? Lahko na primer -5,5... Stop! Rečeno nam je cela rešitev! Ne vrti -5,5! Kaj pa minus šest? Uh-uh! Neenakost je stroga, minus 6 nikakor ni manjše od minus 6!

Zato je pravilen odgovor -5.

Upam, da je z izbiro vrednosti iz splošne rešitve vse jasno. Še en primer:

4. Rešite neenačbo:

7 < 3x+1 < 13

Vau! Ta izraz se imenuje trojna neenakost. Strogo gledano je to skrajšana oblika sistema neenakosti. A takšne trojne neenačbe je treba še reševati pri nekaterih nalogah... Rešuje se tudi brez sistemov. Po enakih enakih transformacijah.

To neenakost moramo poenostaviti, prenesti na čisti X. Ampak ... Kaj bi bilo treba kam preseliti?! Tukaj je čas, da se spomnimo, da je premikanje levo in desno kratka oblika prva transformacija identitete.

A polna oblika zveni takole: Poljubno število ali izraz lahko dodamo/odštejemo obema stranema enačbe (neenakost).

Tukaj so trije deli. Tako bomo uporabili enake transformacije za vse tri dele!

Torej, znebimo se tistega v srednjem delu neenakosti. Od celotnega sredinskega dela odštejmo eno. Da se neenačba ne spremeni, od preostalih dveh delov odštejemo enega. Všečkaj to:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

To je bolje, kajne?) Vse, kar ostane, je, da vse tri dele razdelite na tri:

2 < X < 4

To je vse. To je odgovor. X je lahko poljubno število od dve (brez) do štiri (brez). Tudi ta odgovor je zapisan v intervalih; taki vnosi bodo v kvadratnih neenačbah. Tam so najpogostejša stvar.

Na koncu lekcije bom ponovil najpomembnejše. Uspeh pri reševanju linearnih neenačb je odvisen od sposobnosti preoblikovanja in poenostavljanja linearnih enačb. Če hkrati pazi na znak neenakosti, ne bo nobenih težav. To ti želim. Brez težav.)

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Po pridobitvi začetnih informacij o neenačbah s spremenljivkami preidemo na vprašanje njihovega reševanja. Analizirali bomo reševanje linearnih neenačb z eno spremenljivko in vse metode za njihovo reševanje z algoritmi in primeri. Upoštevane bodo samo linearne enačbe z eno spremenljivko.

Kaj je linearna neenakost?

Najprej morate definirati linearno enačbo in ugotoviti njeno standardno obliko ter kako se bo razlikovala od drugih. Iz šolskega tečaja smo ugotovili, da med neenakostmi ni bistvene razlike, zato je treba uporabiti več definicij.

Definicija 1

Linearna neenakost z eno spremenljivko x je neenačba oblike a · x + b > 0, če je namesto > uporabljen kateri koli znak neenačbe< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definicija 2

Neenakosti a x< c или a · x >c, pri čemer je x spremenljivka, a in c pa nekaj števil, se kliče linearne neenačbe z eno spremenljivko.

Ker ni nič rečeno o tem, ali je koeficient lahko enak 0, potem velja stroga neenakost oblike 0 x > c in 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Njihove razlike so:

• zapis a · x + b > 0 v prvem in a · x > c – v drugem;
• dopustnost, da je koeficient a enak nič, a ≠ 0 - v prvem in a = 0 - v drugem.

Menijo, da sta neenačbi a · x + b > 0 in a · x > c enakovredni, ker ju dobimo s prenosom člena iz enega dela v drugega. Reševanje neenačbe 0 x + 5 > 0 bo privedlo do dejstva, da jo bo treba rešiti, primer a = 0 pa ne bo deloval.

Definicija 3

Menijo, da so linearne neenakosti v eni spremenljivki x neenakosti oblike a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 in a x + b ≥ 0, kjer sta a in b realni števili. Namesto x je lahko navadno število.

Na podlagi pravila imamo, da je 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 imenujemo zvodljive na linearne.

Kako rešiti linearno neenakost

Glavni način reševanja takšnih neenakosti je uporaba ekvivalentnih transformacij za iskanje elementarnih neenakosti x< p (≤ , >, ≥), p, ki je določeno število, za a ≠ 0 in ima obliko a< p (≤ , >, ≥) za a = 0.

Za reševanje neenakosti v eni spremenljivki lahko uporabite intervalno metodo ali jo predstavite grafično. Vsako od njih je mogoče uporabiti ločeno.

Uporaba ekvivalentnih transformacij

Rešiti linearno neenačbo oblike a x + b< 0 (≤ , >, ≥), je treba uporabiti ekvivalentne transformacije neenakosti. Koeficient je lahko nič ali ne. Upoštevajmo oba primera. Če želite izvedeti, se morate držati sheme, ki jo sestavljajo 3 točke: bistvo postopka, algoritem in sama rešitev.

Definicija 4

Algoritem za reševanje linearne neenačbe a x + b< 0 (≤ , >, ≥) za a ≠ 0

• število b bo premaknjeno na desno stran neenakosti z nasprotnim predznakom, kar nam bo omogočilo, da pridemo do ekvivalenta a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• Obe strani neenakosti bosta deljeni s številom, ki ni enako 0. Poleg tega, ko je a pozitiven, predznak ostane; ko je a negativen, se spremeni v nasprotno.

Oglejmo si uporabo tega algoritma za reševanje primerov.

Primer 1

Rešite neenačbo oblike 3 x + 12 ≤ 0.

rešitev

Ta linearna neenakost ima a = 3 in b = 12. To pomeni, da koeficient a pri x ni enak nič. Uporabimo zgornje algoritme in rešimo.

Člen 12 je treba premakniti na drug del neenačbe in spremeniti predznak pred njim. Potem dobimo neenačbo oblike 3 x ≤ − 12. Oba dela je treba deliti s 3. Predznak se ne spremeni, saj je 3 pozitivno število. Dobimo, da je (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, kar daje rezultat x ≤ − 4.

Neenačba oblike x ≤ − 4 je enakovredna. To pomeni, da je rešitev za 3 x + 12 ≤ 0 katero koli realno število, ki je manjše ali enako 4. Odgovor je zapisan kot neenačba x ≤ − 4 ali številski interval oblike (− ∞, − 4].

Celoten zgoraj opisani algoritem je zapisan takole:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

odgovor: x ≤ − 4 ali (− ∞ , − 4 ] .

Primer 2

Navedite vse razpoložljive rešitve neenačbe − 2, 7 · z > 0.

rešitev

Iz pogoja vidimo, da je koeficient a za z enak - 2,7, b pa je eksplicitno odsoten ali enak nič. Ne morete uporabiti prvega koraka algoritma, ampak takoj preiti na drugega.

Obe strani enačbe delimo s številom - 2, 7. Ker je število negativno, je treba znak neenakosti obrniti. To pomeni, da (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Zapisali bomo celoten algoritem kratka oblika:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

odgovor: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Primer 3

Rešite neenačbo - 5 x - 15 22 ≤ 0.

rešitev

Glede na pogoj vidimo, da je treba rešiti neenačbo s koeficientom a za spremenljivko x, ki je enak - 5, s koeficientom b, ki ustreza ulomku - 15 22. Neenačbo je treba rešiti po algoritmu, to je: premakniti - 15 22 na drug del z nasprotnim predznakom, oba dela deliti z - 5, spremeniti predznak neenačbe:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Med zadnjim prehodom za desno stran se uporablja pravilo deljenja številk različna znamenja 15 22: - 5 = - 15 22: 5, po katerem izvedemo deljenje navadni ulomek naravnemu številu - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

odgovor: x ≥ - 3 22 in [ - 3 22 + ∞) .

Oglejmo si primer, ko je a = 0. Linearni izraz oblike a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Vse temelji na določitvi rešitve neenačbe. Za katero koli vrednost x dobimo numerično neenakost oblike b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Vse sodbe bomo obravnavali v obliki algoritma za reševanje linearnih neenačb 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definicija 5

Številska neenakost oblike b< 0 (≤ , >, ≥) je resnična, potem ima izvirna neenakost rešitev za katero koli vrednost, in je napačna, če izvirna neenačba nima rešitev.

Primer 4

Rešite neenačbo 0 x + 7 > 0.

rešitev

Ta linearna neenakost 0 x + 7 > 0 ima lahko poljubno vrednost x. Potem dobimo neenakost oblike 7 > 0. Zadnja neenakost velja za resnično, kar pomeni, da je lahko poljubno število njena rešitev.

Odgovori: interval (− ∞ , + ∞) .

Primer 5

Poišči rešitev neenačbe 0 x − 12, 7 ≥ 0.

rešitev

Pri zamenjavi spremenljivke x poljubnega števila dobimo, da ima neenakost obliko − 12, 7 ≥ 0. Nepravilno je. To pomeni, da 0 x − 12, 7 ≥ 0 nima rešitev.

odgovor: ni rešitev.

Oglejmo si reševanje linearnih neenačb, kjer sta oba koeficienta enaka nič.

Primer 6

Določite nerešljivo neenačbo iz 0 x + 0 > 0 in 0 x + 0 ≥ 0.

rešitev

Pri zamenjavi poljubnega števila namesto x dobimo dve neenačbi oblike 0 > 0 in 0 ≥ 0. Prvo je napačno. To pomeni, da 0 x + 0 > 0 nima rešitev, 0 x + 0 ≥ 0 pa ima neskončno število rešitev, torej poljubno število.

Odgovori: neenačba 0 x + 0 > 0 nima rešitev, 0 x + 0 ≥ 0 pa ima rešitve.

Ta metoda je obravnavana v šolskem tečaju matematike. Intervalna metoda je sposobna razrešiti različne vrste neenakosti, tudi linearne.

Intervalna metoda se uporablja za linearne neenakosti, ko vrednost koeficienta x ni enaka 0. V nasprotnem primeru boste morali izračunati z drugo metodo.

Opredelitev 6

Intervalna metoda je:

• uvedba funkcije y = a · x + b ;
• iskanje ničel za razdelitev domene definicije na intervale;
• opredelitev znakov za njihove pojme o intervalih.

Sestavimo algoritem za reševanje linearnih enačb a x + b< 0 (≤ , >, ≥) za a ≠ 0 z uporabo intervalne metode:

• iskanje ničel funkcije y = a · x + b za rešitev enačbe oblike a · x + b = 0 . Če je a ≠ 0, bo rešitev enojni koren, ki bo dobil oznako x 0;
• konstrukcija koordinatne črte s podobo točke s koordinato x 0, pri strogi neenakosti je točka označena s preluknjano, pri nestrogi neenakosti - s senčeno;
• določanje znakov funkcije y = a · x + b na intervalih, za to je potrebno najti vrednosti funkcije v točkah na intervalu;
• reševanje neenačbe z znaki > ali ≥ na koordinatni premici, dodajanje senčenja nad pozitivnim intervalom,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Oglejmo si nekaj primerov reševanja linearnih neenačb z intervalno metodo.

Primer 6

Rešite neenačbo − 3 x + 12 > 0.

rešitev

Iz algoritma sledi, da morate najprej najti koren enačbe − 3 x + 12 = 0. Dobimo, da je − 3 · x = − 12 , x = 4 . Kjer označimo točko 4, je treba narisati koordinatno črto. Preluknjana bo, ker je neenakost stroga. Razmislite o spodnji risbi.

Treba je določiti znake v intervalih. Za določitev na intervalu (− ∞, 4) je potrebno izračunati funkcijo y = − 3 x + 12 pri x = 3. Od tu dobimo, da je − 3 3 + 12 = 3 > 0. Predznak na intervalu je pozitiven.

Predznak določimo iz intervala (4, + ∞), nato nadomestimo vrednost x = 5. Imamo, da je − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Neenačbo rešimo z znakom >, senčenje pa izvedemo preko pozitivnega intervala. Razmislite o spodnji risbi.

Iz risbe je razvidno, da ima želena rešitev obliko (− ∞ , 4) ali x< 4 .

Odgovori: (− ∞ , 4) ali x< 4 .

Da bi razumeli, kako grafično prikazati, je treba kot primer upoštevati 4 linearne neenakosti: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 in 0, 5 x − 1 ≥ 0. Njihove rešitve bodo vrednosti x< 2 , x ≤ 2 , x >2 in x ≥ 2. Da bi to naredili, narišimo linearno funkcijo y = 0, 5 x − 1, prikazano spodaj.

Jasno je, da

Opredelitev 7

• reševanje neenačbe 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• rešitev 0, 5 x − 1 ≤ 0 velja za interval, kjer je funkcija y = 0, 5 x − 1 nižja od O x ali sovpada;
• rešitev 0, 5 · x − 1 > 0 štejemo za interval, funkcija se nahaja nad O x;
• rešitev 0, 5 · x − 1 ≥ 0 velja za interval, kjer graf nad O x ali sovpada.

Bistvo grafičnega reševanja neenačb je iskanje intervalov, ki jih je treba prikazati na grafu. V tem primeru ugotovimo, da ima leva stran y = a · x + b, desna stran pa y = 0 in sovpada z O x.

Opredelitev 8

Izriše se graf funkcije y = a x + b:

• pri reševanju neenačbe a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• pri reševanju neenačbe a · x + b ≤ 0 se določi interval, kjer je graf upodobljen pod osjo O x ali sovpada;
• pri reševanju neenačbe a · x + b > 0 se določi interval, kjer je graf upodobljen nad O x;
• Pri reševanju neenačbe a · x + b ≥ 0 se določi interval, kjer je graf nad O x ali sovpada.

Primer 7

Z grafom rešite neenačbo - 5 · x - 3 > 0.

rešitev

Treba je zgraditi graf linearne funkcije - 5 · x - 3 > 0. Ta premica pada, ker je koeficient pri x negativen. Za določitev koordinat točke njenega presečišča z O x - 5 · x - 3 > 0 dobimo vrednost - 3 5. Predstavimo ga grafično.

Če rešite neenačbo z znakom >, potem morate biti pozorni na interval nad O x. Označimo zahtevani del letala z rdečo barvo in ga dobimo

Zahtevana vrzel je del O x rdeča. To pomeni, da bo odprt številski žarek - ∞ , - 3 5 rešitev neenačbe. Če bi po pogoju imeli nestrogo neenačbo, bi bila vrednost točke - 3 5 tudi rešitev neenačbe. In to bi sovpadalo z O x.

Odgovori: - ∞ , - 3 5 ali x< - 3 5 .

Grafična rešitev je uporabljena, ko leva stran ustreza funkciji y = 0 x + b, to je y = b. Potem bo ravna črta vzporedna z O x ali sovpada pri b = 0. Ti primeri kažejo, da neenakost morda nima rešitev ali pa je rešitev poljubno število.

Primer 8

Določite iz neenačb 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

rešitev

Predstavitev y = 0 x + 7 je y = 7, potem bo podana koordinatna ravnina s premico, ki je vzporedna z O x in se nahaja nad O x. Torej 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Šteje se, da je graf funkcije y = 0 x + 0 y = 0, to pomeni, da ravna črta sovpada z O x. To pomeni, da ima neenačba 0 x + 0 ≥ 0 veliko rešitev.

Odgovori: Druga neenačba ima rešitev za katero koli vrednost x.

Neenačbe, ki se reducirajo na linearne

Rešitev neenačb lahko zreduciramo na rešitev linearna enačba, ki se imenujejo neenačbe, ki se reducirajo na linearne.

Te neenakosti so bile obravnavane v šolskem tečaju, saj so bile poseben primer reševanja neenačb, kar je vodilo do odpiranja oklepajev in redukcije podobnih členov. Na primer, upoštevajte, da je 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Zgoraj podane neenakosti se vedno reducirajo na obliko linearne enačbe. Nato se odprejo oklepaji in podajo podobni izrazi ter prenesejo iz različne dele, spreminjanje predznaka v nasprotno.

Ko neenačbo 5 − 2 x > 0 reduciramo na linearno, jo predstavimo tako, da ima obliko − 2 x + 5 > 0, za redukcijo druge pa dobimo 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Treba je odpreti oklepaje, prinesti podobne izraze, vse izraze premakniti na levo stran in prinesti podobne izraze. Videti je takole:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

To vodi rešitev do linearne neenakosti.

Te neenakosti se štejejo za linearne, saj imajo enak princip rešitve, po katerem jih je mogoče zmanjšati na elementarne neenakosti.

Za rešitev te vrste neenakosti jo je potrebno reducirati na linearno. To je treba storiti tako:

Opredelitev 9

• odprti oklepaji;
• zbiranje spremenljivk na levi in ​​števila na desni;
• podajte podobne izraze;
• obe strani delite s koeficientom x.

Primer 9

Rešite neenačbo 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

rešitev

Odpremo oklepaje, nato dobimo neenačbo oblike 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Po zmanjšanju podobnih členov imamo, da je 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Ko člene premaknemo z leve na desno, ugotovimo, da je 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Zato obstaja neenakost oblike 32 ≤ 0 iz tiste, ki jo dobimo z izračunom 0 x + 32 ≤ 0. Vidimo, da je neenakost napačna, kar pomeni, da neenakost, podana s pogojem, nima rešitev.

Odgovori: ni rešitev.

Omeniti velja, da obstaja veliko drugih vrst neenakosti, ki jih je mogoče zmanjšati na linearne ali neenakosti zgoraj prikazanega tipa. Na primer, 5 2 x − 1 ≥ 1 je eksponentna enačba, ki se reducira na rešitev linearne oblike 2 x − 1 ≥ 0. Te primere bomo upoštevali pri reševanju tovrstnih neenačb.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Kaj se je zgodilo "kvadratna neenakost"? Brez dvoma!) Če vzamete kaj kvadratno enačbo in v njej zamenjaj predznak "=" (enako) kateremu koli znaku neenakosti ( > ≥ < ≤ ≠ ), dobimo kvadratno neenakost. Na primer:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

No, saj razumeš ...)

Ni zaman, da sem tukaj povezal enačbe in neenačbe. Bistvo je, da je prvi korak pri reševanju kaj kvadratna neenakost - reši enačbo, iz katere je sestavljena ta neenačba. Iz tega razloga nezmožnost reševanja kvadratnih enačb samodejno povzroči popolno napako pri neenakosti. Je namig jasen?) Če kaj, poglejte, kako rešiti katero koli kvadratno enačbo. Tam je vse podrobno opisano. In v tej lekciji se bomo ukvarjali z neenakostmi.

Za rešitev pripravljena neenačba ima obliko: na levi je kvadratni trinom sekira 2 +bx+c, na desni - nič. Znak neenakosti je lahko karkoli. Prva dva primera sta tukaj so že pripravljeni na odločitev. Tretji primer je treba še pripraviti.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

V članku bomo razmislili reševanje neenačb. Jasno vam bomo povedali o kako sestaviti rešitev neenakosti, z jasnimi primeri!

Preden si ogledamo reševanje neenačb s primeri, poglejmo osnovne pojme.

Splošne informacije o neenakosti

Neenakost je izraz, v katerem so funkcije povezane z relacijskimi znaki >, . Neenakosti so lahko numerične in dobesedne.
Neenakosti z dvema znakoma razmerja se imenujejo dvojne, s tremi - trojne itd. Na primer:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Neenačbe, ki vsebujejo znak > ali ali - niso stroge.
Reševanje neenačbe je katera koli vrednost spremenljivke, za katero bo ta neenakost resnična.
"Reši neenačbo" pomeni, da moramo najti nabor vseh njegovih rešitev. Obstajajo različne metode za reševanje neenačb. Za rešitve neenakosti Uporabljajo številsko premico, ki je neskončna. na primer rešitev neenakosti x > 3 je interval od 3 do +, število 3 pa ni vključeno v ta interval, zato je točka na premici označena s praznim krogcem, ker neenakost je stroga.
+
Odgovor bo: x (3; +).
Vrednost x=3 ni vključena v nabor rešitev, zato je oklepaj okrogel. Znak neskončnosti je vedno označen z oklepajem. Znak pomeni "pripadnost".
Poglejmo, kako rešiti neenakosti na drugem primeru z znakom:
x 2
-+
Vrednost x=2 je vključena v množico rešitev, zato je oklepaj kvadraten, točka na premici pa označena s polnim krogom.
Odgovor bo: x)