Kako sešteti navadne ulomke z enakimi imenovalci. Seštevanje ulomkov s celimi števili in različnimi imenovalci
Dejanja z ulomki.
Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")
Torej, kaj so ulomki, vrste ulomkov, transformacije - spomnili smo se. Pojdimo k glavnemu vprašanju.
Kaj lahko storite z ulomki? Ja, vse je tako kot pri navadnih številkah. Seštevajte, odštevajte, množite, delite.
Vsa ta dejanja z decimalno delo z ulomki se ne razlikuje od dela s celimi števili. Pravzaprav je to tisto, kar je dobro pri njih, decimalnih. Edina stvar je, da morate vejico pravilno postaviti.
Mešane številke, kot sem že rekel, so malo uporabni za večino dejanj. Še vedno jih je treba pretvoriti v navadne ulomke.
Toda dejanja z navadni ulomki bolj zviti bodo. In še veliko bolj pomembno! Naj vas spomnim: vsa dejanja z ulomki s črkami, sinusi, neznankami in tako naprej in tako naprej se ne razlikujejo od dejanj z navadnimi ulomki! Operacije z navadnimi ulomki so osnova vse algebre. Zaradi tega razloga bomo tukaj zelo podrobno analizirali vso to aritmetiko.
Seštevanje in odštevanje ulomkov.
Vsak zna seštevati (odštevati) ulomke z enakimi imenovalci (močno upam!). No, čisto pozabljive naj spomnim: pri seštevanju (odštevanju) se imenovalec ne spremeni. Števci se seštejejo (odštejejo), da dobimo števec rezultata. Tip:
Skratka na splošno:
Kaj pa, če so imenovalci različni? Nato z uporabo osnovne lastnosti ulomka (tukaj pride spet prav!) naredimo imenovalce enake! Na primer:
Tukaj smo morali narediti ulomek 4/10 iz ulomka 2/5. Z edinim namenom, da bi bili imenovalci enaki. Naj za vsak slučaj pripomnim, da sta 2/5 in 4/10 isti ulomek! Samo 2/5 nam je neprijetnih, 4/10 pa je čisto v redu.
Mimogrede, to je bistvo reševanja kakršnih koli matematičnih problemov. Ko smo iz neprijetno delamo izraze ista stvar, vendar bolj priročna za reševanje.
Še en primer:
Situacija je podobna. Tukaj iz 16 naredimo 48. S preprostim množenjem s 3. Vse je jasno. Toda naleteli smo na nekaj takega:
Kako biti?! Težko je iz sedmice narediti devet! Ampak smo pametni, poznamo pravila! Preobrazimo se vsak ulomek, tako da sta imenovalca enaka. To se imenuje "zmanjšaj na skupni imenovalec":
Vau! Kako sem vedel za 63? Zelo preprosto! 63 je število, ki je deljivo s 7 in 9 hkrati. Takšno število lahko vedno dobimo z množenjem imenovalcev. Če število pomnožimo na primer s 7, potem bo rezultat zagotovo deljiv s 7!
Če morate sešteti (odšteti) več ulomkov, tega ni treba narediti v parih, korak za korakom. Samo najti morate imenovalec, ki je skupen vsem ulomkom, in vsak ulomek zmanjšati na ta isti imenovalec. Na primer:
In kaj bo skupni imenovalec? Seveda lahko pomnožite 2, 4, 8 in 16. Dobimo 1024. Nočna mora. Lažje je oceniti, da je število 16 popolnoma deljivo z 2, 4 in 8. Zato je iz teh števil enostavno dobiti 16. To število bo skupni imenovalec. Spremenimo 1/2 v 8/16, 3/4 v 12/16 in tako naprej.
Mimogrede, če vzamete 1024 za skupni imenovalec, se bo vse izšlo, na koncu se bo vse zmanjšalo. A do tega konca ne bodo prišli vsi, zaradi izračunov ...
Sami dopolnite primer. Ne nekakšen logaritem... Moralo bi biti 29/16.
Torej je seštevanje (odštevanje) ulomkov jasno, upam? Seveda je lažje delati v skrajšani različici, z dodatnimi množitelji. Toda ta užitek je na voljo tistim, ki so pošteno delali v nižjih razredih ... In niso ničesar pozabili.
In zdaj bomo naredili enaka dejanja, vendar ne z ulomki, ampak z ulomki izrazi. Tukaj se bodo odkrile nove rake, ja ...
Sešteti moramo torej dva ulomka:
Imenovalci morajo biti enaki. In samo s pomočjo množenje! To narekuje glavna lastnost ulomka. Zato X v prvem ulomku v imenovalcu ne morem dodati ena. (to bi bilo lepo!). Če pa imenovalce pomnožiš, vidiš, vse skupaj raste! Torej zapišemo vrstico ulomka, pustimo na vrhu prazen prostor, nato ga seštejemo, spodaj pa zapišemo produkt imenovalcev, da ne pozabimo:
In seveda ničesar ne množimo na desni strani, ne odpiramo oklepajev! In zdaj, ko pogledamo skupni imenovalec na desni strani, ugotovimo: da bi dobili imenovalec x(x+1) v prvem ulomku, morate števec in imenovalec tega ulomka pomnožiti z (x+1) . In v drugem ulomku - do x. Tole dobite:
Opomba! Tukaj so oklepaji! To so grablje, na katere stopi marsikdo. Seveda ne oklepaji, ampak njihova odsotnost. Oklepaj se pojavi, ker množimo vseštevnik in vse imenovalec! In ne njihovih posameznih kosov...
V števec desne strani zapišemo vsoto števcev, vse je kot pri številskih ulomkih, nato v števcu desne strani odpremo oklepaje, tj. Vse pomnožimo in damo podobno. Ni vam treba odpirati oklepajev v imenovalcih ali ničesar množiti! Na splošno je v imenovalcih (kateri koli) izdelek vedno prijetnejši! Dobimo:
Tako smo dobili odgovor. Postopek se zdi dolg in težaven, vendar je odvisen od prakse. Ko rešiš primere, se navadiš, bo vse postalo preprosto. Tisti, ki so ulomke obvladali pravočasno, delajo vse te operacije z eno levo roko, samodejno!
In še ena opomba. Mnogi se pametno ukvarjajo z ulomki, zataknejo pa se pri primerih z celaštevilke. Na primer: 2 + 1/2 + 3/4=? Kam pritrditi dvodelno? Ni vam ga treba nikamor pritrditi, iz dveh morate narediti delček. Ni lahko, ampak zelo preprosto! 2=2/1. Všečkaj to. Vsako celo število lahko zapišemo kot ulomek. Števec je samo število, imenovalec je ena. 7 je 7/1, 3 je 3/1 in tako naprej. Enako je s črkami. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 itd. In potem s temi ulomki delamo po vseh pravilih.
No, osvežili smo znanje seštevanja in odštevanja ulomkov. Ponavljalo se je pretvarjanje ulomkov iz ene vrste v drugo. Lahko se tudi pregledate. Naj se malo dogovorimo?)
Izračunajte:
Odgovori (v neredu):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Množenje/deljenje ulomkov – v naslednji lekciji. Na voljo so tudi naloge za vse operacije z ulomki.
Če vam je všeč ta stran ...
Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)
Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)
Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.
Z ulomki lahko izvajate različne operacije, na primer seštevanje ulomkov. Seštevanje ulomkov lahko razdelimo na več vrst. Vsaka vrsta dodajanja ulomkov ima svoja pravila in algoritem dejanj. Oglejmo si podrobneje vsako vrsto dodatka.
Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
Oglejmo si primer seštevanja ulomkov s skupnim imenovalcem.
Turisti so se odpravili na pohod od točke A do točke E. Prvi dan so prehodili od točke A do B oziroma \(\frac(1)(5)\) celotno pot. Drugi dan so prehodili celotno pot od točke B do D ali \(\frac(2)(5)\). Koliko so prevozili od začetka poti do točke D?
Če želite najti razdaljo od točke A do točke D, morate sešteti ulomke \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).
Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci pomeni, da morate sešteti števce teh ulomkov, vendar bo imenovalec ostal enak.
\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)
V dobesedni obliki bo vsota ulomkov z enakimi imenovalci videti takole:
\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)
Odgovor: turisti so celotno pot prehodili \(\frac(3)(5)\).
Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
Poglejmo primer:
Sešteti morate dva ulomka \(\frac(3)(4)\) in \(\frac(2)(7)\).
Če želite sešteti ulomke z različnimi imenovalci, morate najprej najti, nato pa uporabite pravilo za seštevanje ulomkov s podobnimi imenovalci.
Za imenovalca 4 in 7 bo skupni imenovalec število 28. Prvi ulomek \(\frac(3)(4)\) je treba pomnožiti s 7. Drugi ulomek \(\frac(2)(7)\ ) je treba pomnožiti s 4.
\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(rdeča) (7) + 2 \times \color(rdeča) (4))(4 \ krat \barva(rdeča) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)
V dobesedni obliki dobimo naslednjo formulo:
\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)
Seštevanje mešanih števil ali mešanih ulomkov.
Seštevanje poteka po zakonu seštevanja.
Pri mešanih ulomkih seštejemo cele dele s celimi deli in ulomke z ulomki.
Če imajo ulomki mešanih števil enake imenovalce, potem števce seštejemo, imenovalec pa ostane enak.
Seštejmo mešani števili \(3\frac(6)(11)\) in \(1\frac(3)(11)\).
\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\barva(rdeča) (3) + \barva(modra) (\frac(6)(11))) + ( \barva(rdeča) (1) + \barva(modra) (\frac(3)(11))) = (\barva(rdeča) (3) + \barva(rdeča) (1)) + (\barva( modra) (\frac(6)(11)) + \barva(modra) (\frac(3)(11))) = \barva(rdeča)(4) + (\barva(modra) (\frac(6) + 3)(11))) = \barva(rdeča)(4) + \barva(modra) (\frac(9)(11)) = \barva(rdeča)(4) \barva(modra) (\frac (9)(11))\)
Če imajo ulomki mešanih števil različne imenovalce, potem najdemo skupni imenovalec.
Izvedimo seštevanje mešanih števil \(7\frac(1)(8)\) in \(2\frac(1)(6)\).
Imenovalec je drugačen, zato moramo najti skupni imenovalec, enak je 24. Prvi ulomek \(7\frac(1)(8)\) pomnožimo z dodatnim faktorjem 3, drugi ulomek pa \( 2\frac(1)(6)\) s 4.
\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(rdeča) (3))(8 \times \color(rdeča) (3) ) = 2\frac(1\krat \barva(rdeča) (4))(6\krat \barva(rdeča) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)
Povezana vprašanja:
Kako sešteti ulomke?
Odgovor: najprej se morate odločiti, za kakšno vrsto izraza gre: ulomki imajo enake imenovalce, različne imenovalce ali mešane ulomke. Glede na vrsto izraza nadaljujemo z algoritmom rešitve.
Kako rešiti ulomke z različnimi imenovalci?
Odgovor: najti morate skupni imenovalec in nato upoštevati pravilo seštevanja ulomkov z enakimi imenovalci.
Kako rešiti mešane ulomke?
Odgovor: cela števila seštevamo s celimi števili, ulomke pa z ulomki.
Primer #1:
Ali lahko vsota dveh povzroči pravi ulomek? Nepravilen ulomek? Navedite primere.
\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)
Ulomek \(\frac(5)(7)\) je pravi ulomek, je rezultat vsote dveh pravih ulomkov \(\frac(2)(7)\) in \(\frac(3) (7)\).
\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \krat 9 + 8 \krat 5)(5 \krat 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)
Ulomek \(\frac(58)(45)\) je nepravi ulomek, je rezultat vsote pravih ulomkov \(\frac(2)(5)\) in \(\frac(8) (9)\).
Odgovor: Odgovor na obe vprašanji je pritrdilen.
Primer #2:
Seštejte ulomke: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .
a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)
b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(rdeča) (3))(3 \times \color(rdeča) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)
Primer #3:
Zapiši mešani ulomek kot vsoto naravnega števila in pravega ulomka: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)
a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)
b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)
Primer #4:
Izračunajte vsoto: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)
a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)
b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11) )(13) \)
c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\krat 3)(5\krat 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)
Naloga #1:
Pri kosilu smo jedli \(\frac(8)(11)\) iz torte, zvečer pri večerji pa \(\frac(3)(11)\). Mislite, da je bila torta v celoti pojedena ali ne?
rešitev:
Imenovalec ulomka je 11 in pove, na koliko delov je bila torta razdeljena. Pri kosilu smo pojedli 8 kosov torte od 11. Pri večerji smo pojedli 3 kose torte od 11. Seštejmo 8 + 3 = 11, pojedli smo kose torte od 11, torej celotno torto.
\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)
Odgovor: cela torta je bila pojedena.
Ta lekcija bo zajemala seštevanje in odštevanje algebrskih ulomkov z različnimi imenovalci. Navadne ulomke z različnimi imenovalci že znamo seštevati in odštevati. Da bi to naredili, je treba ulomke zreducirati na skupni imenovalec. Izkazalo se je, da algebraični ulomki sledijo istim pravilom. Hkrati pa že znamo algebraične ulomke zreducirati na skupni imenovalec. Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci je ena najpomembnejših in najtežjih tem v 8. razredu. Poleg tega se bo ta tema pojavila v številnih temah tečaja algebre, ki ga boste študirali v prihodnosti. V okviru lekcije bomo preučili pravila za dodajanje in odštevanje algebrskih ulomkov z različnimi imenovalci ter analizirali številne tipične primere.
Oglejmo si najpreprostejši primer za navadne ulomke.
Primer 1. Dodajte ulomke: .
rešitev:
Spomnimo se pravila seštevanja ulomkov. Za začetek je treba ulomke zreducirati na skupni imenovalec. Skupni imenovalec navadnih ulomkov je najmanjši skupni večkratnik(LCM) prvotnih imenovalcev.
Opredelitev
Vsaj naravno število, ki je hkrati deljivo s številkama in .
Če želite najti LCM, morate imenovalce razdeliti na prafaktorje in nato izbrati vse prafaktorje, ki so vključeni v razširitev obeh imenovalcev.
; . Potem mora LCM števil vsebovati dve dvojki in dve trojki: .
Ko najdete skupni imenovalec, morate za vsak ulomek poiskati dodaten faktor (pravzaprav skupni imenovalec delite z imenovalcem ustreznega ulomka).
Vsak ulomek se nato pomnoži z dobljenim dodatnim faktorjem. Dobimo ulomke z enakimi imenovalci, ki smo se jih naučili seštevati in odštevati v prejšnjih urah.
Dobimo: 
.
odgovor:.
Oglejmo si zdaj seštevanje algebraičnih ulomkov z različnimi imenovalci. Najprej si poglejmo ulomke, katerih imenovalec so števila.
Primer 2. Dodajte ulomke: .
rešitev:
Algoritem rešitve je popolnoma podoben prejšnjemu primeru. Enostavno je najti skupni imenovalec teh ulomkov: in dodatne faktorje za vsakega od njih.
.
odgovor:.
Torej, oblikujmo algoritem za seštevanje in odštevanje algebraičnih ulomkov z različnimi imenovalci:
1. Poišči najmanjši skupni imenovalec ulomkov.
2. Za vsakega od ulomkov poišči dodatne faktorje (tako, da skupni imenovalec deliš z imenovalcem danega ulomka).
3. Števce pomnožite z ustreznimi dodatnimi faktorji.
4. Seštevaj ali odštevaj ulomke po pravilih za seštevanje in odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
Oglejmo si zdaj primer z ulomki, katerih imenovalec vsebuje črkovne izraze.
Primer 3. Dodajte ulomke: .
rešitev:
Ker so črkovni izrazi v obeh imenovalcih enaki, bi morali najti skupni imenovalec za številke. Končni skupni imenovalec bo videti takole: . Tako je rešitev tega primera videti takole:.
odgovor:.
Primer 4. Odštej ulomke: .
rešitev:
Če pri izbiri skupnega imenovalca ne morete »goljufati« (ne znate ga faktorizirati ali uporabiti skrajšanih formul za množenje), potem morate za skupni imenovalec vzeti produkt imenovalcev obeh ulomkov.
odgovor:.
Na splošno je pri reševanju takih primerov najtežje najti skupni imenovalec.
Poglejmo bolj zapleten primer.
Primer 5. Poenostavite:.
rešitev:
Pri iskanju skupnega imenovalca morate najprej poskusiti faktorizirati imenovalce prvotnih ulomkov (za poenostavitev skupnega imenovalca).
V tem konkretnem primeru:
Potem je enostavno določiti skupni imenovalec: 
.
Določimo dodatne faktorje in rešimo ta primer:
odgovor:.
Zdaj pa določimo pravila za seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
Primer 6. Poenostavite:.
rešitev:
odgovor:.
Primer 7. Poenostavite:.
rešitev:
.
odgovor:.
Poglejmo zdaj primer, v katerem nista dodana dva, ampak trije ulomki (navsezadnje pravila seštevanja in odštevanja za večje število ulomkov ostajajo enaka).
Primer 8. Poenostavite:.
Razmislite o ulomku $\frac63$. Njegova vrednost je 2, ker je $\frac63 =6:3 = 2$. Kaj se zgodi, če števec in imenovalec pomnožimo z 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Očitno se vrednost ulomka ni spremenila, zato je $\frac(12)(6)$ kot y prav tako enako 2. Lahko pomnožite števec in imenovalec za 3 in dobite $\frac(18)(9)$ ali za 27 in dobite $\frac(162)(81)$ ali za 101 in dobite $\frac(606)(303)$. V vsakem od teh primerov je vrednost ulomka, ki ga dobimo, če števec delimo z imenovalcem, 2. To pomeni, da se ni spremenil.
Enak vzorec opazimo pri drugih frakcijah. Če števec in imenovalec ulomka $\frac(120)(60)$ (enako 2) delimo z 2 (rezultat je $\frac(60)(30)$) ali s 3 (rezultat je $\frac(40)(20) $), ali za 4 (rezultat $\frac(30)(15)$) in tako naprej, potem v vsakem primeru ostane vrednost ulomka nespremenjena in enaka 2.
To pravilo velja tudi za ulomke, ki niso enaki celo število.
Če števec in imenovalec ulomka $\frac(1)(3)$ pomnožimo z 2, dobimo $\frac(2)(6)$, kar pomeni, da se vrednost ulomka ni spremenila. In dejansko, če pito razdelite na 3 dele in vzamete enega od njih ali pa jo razdelite na 6 delov in vzamete 2 dela, boste v obeh primerih dobili enako količino pite. Zato sta števili $\frac(1)(3)$ in $\frac(2)(6)$ enaki. Oblikujmo splošno pravilo.
Števec in imenovalec katerega koli ulomka lahko pomnožimo ali delimo z istim številom, ne da bi spremenili vrednost ulomka.
To pravilo se izkaže za zelo uporabno. Na primer, v nekaterih primerih, vendar ne vedno, omogoča izogibanje operacijam z velikimi številkami.
Na primer, lahko števec in imenovalec ulomka $\frac(126)(189)$ delimo s 63 in dobimo ulomek $\frac(2)(3)$, s katerim je veliko lažje računati. Še en primer. Števec in imenovalec ulomka $\frac(155)(31)$ lahko delimo z 31 in dobimo ulomek $\frac(5)(1)$ ali 5, saj je 5:1=5.
V tem primeru smo se prvič srečali ulomek, katerega imenovalec je 1. Takšni ulomki igrajo pomembno vlogo pri izračunih. Ne smemo pozabiti, da je katero koli število mogoče deliti z 1 in njegova vrednost se ne bo spremenila. To pomeni, da je $\frac(273)(1)$ enako 273; $\frac(509993)(1)$ je enako 509993 in tako naprej. Zato nam ni treba deliti števil z , saj lahko vsako celo število predstavimo kot ulomek z imenovalcem 1.
S takšnimi ulomki, katerih imenovalec je 1, lahko izvajate enake aritmetične operacije kot z vsemi drugimi ulomki: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1 ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.
Lahko se vprašate, kaj nam pomaga, če celo število predstavimo kot ulomek z enoto pod črto, saj je bolj priročno delati s celim številom. Bistvo pa je, da nam predstavljanje celega števila kot ulomka daje možnost učinkovitejšega izvajanja različnih operacij, ko imamo opravka s celimi števili in ulomki hkrati. Na primer za učenje seštejte ulomke z različnimi imenovalci. Recimo, da moramo sešteti $\frac(1)(3)$ in $\frac(1)(5)$.
Vemo, da lahko seštejemo samo ulomke, katerih imenovalci so enaki. To pomeni, da se moramo naučiti reducirati ulomke na obliko, kjer sta njihova imenovalca enaka. V tem primeru bomo spet potrebovali dejstvo, da lahko števec in imenovalec ulomka pomnožimo z istim številom, ne da bi spremenili njegovo vrednost.
Najprej pomnožimo števec in imenovalec ulomka $\frac(1)(3)$ s 5. Dobimo $\frac(5)(15)$, vrednost ulomka se ni spremenila. Nato pomnožimo števec in imenovalec ulomka $\frac(1)(5)$ s 3. Dobimo $\frac(3)(15)$, spet se vrednost ulomka ni spremenila. Zato je $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
Zdaj pa poskusimo uporabiti ta sistem za seštevanje števil, ki vsebujejo cele in ulomke.
Sešteti moramo $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Najprej pretvorimo vse člene v ulomke in dobimo: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Zdaj moramo vse ulomke spraviti na skupni imenovalec, za to pomnožimo števec in imenovalec prvega ulomka z 12, drugega s 4 in tretjega s 3. Kot rezultat dobimo $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, kar je enako $\frac(55)(12)$. Če se želite znebiti nepravilni ulomek, se lahko spremeni v število, sestavljeno iz celega števila in ulomka: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ ali $4\frac(7 )( 12)$.
Vsa pravila, ki dovoljujejo operacije z ulomki, ki smo jih pravkar preučevali, veljajo tudi v primeru negativnih števil. Torej, -1: 3 lahko zapišemo kot $\frac(-1)(3)$ in 1: (-3) kot $\frac(1)(-3)$.
Ker tako deljenje negativnega števila s pozitivnim številom kot deljenje pozitivnega števila z negativnim rezultatom dobimo negativna števila, bo v obeh primerih odgovor negativno število. To je
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ ali $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. Znak minus, če ga zapišemo na ta način, se nanaša na celoten ulomek in ne ločeno na števec ali imenovalec.
Po drugi strani pa lahko (-1) : (-3) zapišemo kot $\frac(-1)(-3)$, in ker deljenje negativnega števila z negativnim številom da pozitivno število, potem $\frac (-1 )(-3)$ lahko zapišemo kot $+\frac(1)(3)$.
Seštevanje in odštevanje negativnih ulomkov poteka po isti shemi kot seštevanje in odštevanje pozitivnih ulomkov. Na primer, kaj je $1- 1\frac13$? Predstavimo obe števili kot ulomke in dobimo $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Spravimo ulomke na skupni imenovalec in dobimo $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, to je $\frac(3)(3)-\ frac(4) (3)$ ali $-\frac(1)(3)$.
V petem stoletju pred našim štetjem je starogrški filozof Zenon iz Eleje oblikoval svoje znamenite aporije, med katerimi je najbolj znana aporija »Ahil in želva«. Takole zveni:Recimo, da Ahil teče desetkrat hitreje od želve in je tisoč korakov za njo. V času, ki ga Ahil potrebuje, da preteče to razdaljo, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. Ko Ahil preteče sto korakov, se želva plazi še deset korakov in tako naprej. Proces se bo nadaljeval ad infinitum, Ahil ne bo nikoli dohitel želve.
To razmišljanje je postalo logični šok za vse naslednje generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Vsi so tako ali drugače obravnavali Zenonove aporije. Šok je bil tako močan, da " ... razprave se nadaljujejo še danes, znanstvena skupnost še ni uspela priti do enotnega mnenja o bistvu paradoksov ... v preučevanje problematike so bili vključeni matematična analiza, teorija množic, novi fizikalni in filozofski pristopi ; nobeden od njih ni postal splošno sprejeta rešitev problema ..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Vsi razumejo, da so preslepljeni, vendar nihče ne razume, v čem je prevara.
Z matematičnega vidika je Zenon v svoji aporiji jasno prikazal prehod od kvantitete k . Ta prehod pomeni uporabo namesto stalnih. Kolikor razumem, matematični aparat za uporabo spremenljivih merskih enot še ni bil razvit ali pa ni bil uporabljen pri Zenonovi aporiji. Uporaba naše običajne logike nas pripelje v past. Mi pa zaradi vztrajnosti mišljenja na recipročno vrednost dodajamo stalne časovne enote. S fizičnega vidika je to videti kot upočasnjevanje časa, dokler se popolnoma ne ustavi v trenutku, ko Ahil dohiti želvo. Če se čas ustavi, Ahil ne more več prehiteti želve.
Če obrnemo našo običajno logiko, se vse postavi na svoje mesto. Ahil teče s konstantno hitrostjo. Vsak naslednji segment njegove poti je desetkrat krajši od prejšnjega. Skladno s tem je čas, porabljen za njegovo premagovanje, desetkrat manjši od prejšnjega. Če v tej situaciji uporabimo koncept "neskončnosti", potem bi bilo pravilno reči, da bo Ahil dohitel želvo neskončno hitro."
Kako se izogniti tej logični pasti? Ostanite v stalnih časovnih enotah in ne preklopite na recipročne enote. V Zenonovem jeziku je to videti takole:
V času, ki ga potrebuje Ahil, da preteče tisoč korakov, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. V naslednjem časovnem intervalu, ki je enak prvemu, bo Ahil pretekel še tisoč korakov, želva pa se bo plazila sto korakov. Zdaj je Ahil osemsto korakov pred želvo.
Ta pristop ustrezno opisuje realnost brez logičnih paradoksov. Ampak ni popolna rešitev Težave. Einsteinova izjava o neustavljivosti svetlobne hitrosti je zelo podobna Zenonovi aporiji "Ahil in želva". Ta problem moramo še preučiti, premisliti in rešiti. In rešitev je treba iskati ne v neskončno velikem številu, ampak v merskih enotah.
Druga zanimiva Zenonova aporija govori o leteči puščici:
Leteča puščica je negibna, saj v vsakem trenutku miruje, in ker v vsakem trenutku miruje, vedno miruje.
V tej aporiji je logični paradoks premagan zelo preprosto - dovolj je pojasniti, da leteča puščica v vsakem trenutku miruje na različnih točkah v prostoru, kar je pravzaprav gibanje. Tukaj je treba opozoriti na drugo točko. Iz ene fotografije avtomobila na cesti ni mogoče ugotoviti niti dejstva njegovega gibanja niti razdalje do njega. Če želite ugotoviti, ali se avto premika, potrebujete dve fotografiji, posneti z iste točke v različnih časovnih točkah, vendar ne morete določiti razdalje od njiju. Za določitev razdalje do avtomobila potrebujete dve fotografiji, posneti iz različnih točk v prostoru v enem trenutku, vendar iz njih ne morete ugotoviti dejstva gibanja (seveda še vedno potrebujete dodatne podatke za izračune, trigonometrija vam bo pomagala ). Posebno pozornost želim opozoriti na to, da sta dve točki v času in dve točki v prostoru različni stvari, ki ju ne smemo mešati, saj ponujata različne možnosti za raziskovanje.
Sreda, 4. julij 2018
Razlike med množico in množico so zelo dobro opisane na Wikipediji. Pa poglejmo.
Kot lahko vidite, »v nizu ne moreta biti dva enaka elementa«, če pa so v nizu enaki elementi, se tak niz imenuje »multiset«. Razumna bitja ne bodo nikoli razumela takšne absurdne logike. To je raven govorečih papig in dresiranih opic, ki nimajo pameti od besede "popolnoma". Matematiki delujejo kot navadni trenerji in nam pridigajo svoje absurdne ideje.
Nekoč so bili inženirji, ki so gradili most, v čolnu pod mostom, medtem ko so preizkušali most. Če se je most zrušil, je povprečen inženir umrl pod ruševinami svoje stvaritve. Če je most zdržal obremenitev, je nadarjeni inženir zgradil druge mostove.
Ne glede na to, kako se matematiki skrivajo za besedno zvezo »pozor, jaz sem v hiši« ali bolje rečeno »matematika preučuje abstraktne pojme«, obstaja ena popkovina, ki jih neločljivo povezuje z realnostjo. Ta popkovina je denar. Uporabimo matematično teorijo množic za same matematike.
Zelo dobro smo se učili matematiko in zdaj sedimo za blagajno in delimo plače. Matematik torej pride k nam po svoj denar. Celoten znesek mu preštejemo in ga razporedimo po svoji mizi v različne kupčke, v katere damo bankovce enakih vrednosti. Nato iz vsakega kupa vzamemo po en račun in damo matematiku njegov »matematični nabor plače«. Pojasnimo matematiku, da bo preostale račune prejel šele, ko bo dokazal, da množica brez enakih elementov ni enaka množici z enakimi elementi. Tu se začne zabava.
Najprej bo delovala logika poslancev: "To lahko velja za druge, zame pa ne!" Potem nas bodo začeli prepričevati, da imajo bankovci istega apoena različne številke bankovcev, kar pomeni, da jih ni mogoče šteti za iste elemente. V redu, preštejmo plače v kovancih - na kovancih ni številk. Tu se bo matematik začel mrzlično spominjati fizike: različni kovanci imajo različno količino umazanije, kristalna struktura in razporeditev atomov je edinstvena za vsak kovanec ...
In zdaj imam največ zanimanje Vprašaj: kje je črta, za katero se elementi multimnožice spremenijo v elemente množice in obratno? Takšna linija ne obstaja – o vsem odločajo šamani, znanost tu niti približno ne laže.
Poglej tukaj. Izberemo nogometne stadione z enako površino igrišča. Območja polj so enaka – kar pomeni, da imamo multimnožico. Če pa pogledamo imena teh istih stadionov, jih dobimo veliko, saj so imena različna. Kot lahko vidite, je ista množica elementov hkrati množica in multimnožica. Katera je pravilna? In tu matematik-šaman-oštar potegne iz rokava asa adutov in nam začne pripovedovati ali o množici ali multimnožici. V vsakem primeru nas bo prepričal, da ima prav.
Da bi razumeli, kako sodobni šamani operirajo s teorijo množic in jo povezujejo z realnostjo, je dovolj odgovoriti na eno vprašanje: kako se elementi enega sklopa razlikujejo od elementov drugega? Pokazal vam bom, brez kakršnih koli "predstavljivo kot enotna celota" ali "ni predstavljivo kot ena sama celota."
Nedelja, 18. marec 2018
Vsota števk števila je ples šamanov s tamburinom, ki nima nobene zveze z matematiko. Da, pri pouku matematike nas učijo najti vsoto števk števila in jo uporabiti, a zato so šamani, da svoje potomce učijo svojih veščin in modrosti, sicer bodo šamani preprosto izumrli.
Potrebujete dokaz? Odprite Wikipedijo in poskusite najti stran "Vsota števk števila." Ona ne obstaja. V matematiki ni formule, s katero bi lahko našli vsoto števk katerega koli števila. Navsezadnje so številke grafični znaki, s katerimi pišemo števila, v matematičnem jeziku pa naloga zveni takole: »Poišči vsoto grafičnih znakov, ki predstavljajo poljubno število.« Matematiki tega problema ne morejo rešiti, šamani pa to z lahkoto.
Ugotovimo, kaj in kako naredimo, da bi našli vsoto števk danega števila. In tako imamo številko 12345. Kaj je treba storiti, da bi našli vsoto števk tega števila? Razmislimo o vseh korakih po vrstnem redu.
1. Zapišite številko na list papirja. Kaj smo storili? Število smo pretvorili v grafični številski simbol. To ni matematična operacija.
2. Eno nastalo sliko razrežemo na več slik, ki vsebujejo posamezne številke. Rezanje slike ni matematična operacija.
3. Posamezne grafične znake pretvorite v številke. To ni matematična operacija.
4. Seštej dobljena števila. Zdaj je to matematika.
Vsota števk števila 12345 je 15. To so »tečaji krojenja in šivanja«, ki jih poučujejo šamani, uporabljajo pa jih matematiki. A to še ni vse.
Z matematičnega vidika ni vseeno, v katerem številskem sistemu zapišemo število. Torej bo v različnih številskih sistemih vsota števk istega števila različna. V matematiki je številski sistem označen kot indeks na desni strani števila. Z velikim številom 12345 si ne želim delati glave, razmislimo o številki 26 iz članka o. Zapišimo to število v dvojiškem, osmiškem, decimalnem in šestnajstiškem številskem sistemu. Vsakega koraka ne bomo gledali pod mikroskopom; to smo že storili. Poglejmo rezultat.
Kot lahko vidite, je v različnih številskih sistemih vsota števk istega števila različna. Ta rezultat nima nobene zveze z matematiko. To je enako, kot če bi določili površino pravokotnika v metrih in centimetrih, bi dobili popolnoma drugačne rezultate.
Ničla je videti enako v vseh številskih sistemih in nima vsote števk. To je še en argument v prid dejstvu, da. Vprašanje za matematike: kako se v matematiki označi nekaj, kar ni številka? Kaj, za matematike ne obstaja nič razen številk? Šamanom to lahko dovolim, znanstvenikom pa ne. Realnost niso samo številke.
Dobljeni rezultat je treba obravnavati kot dokaz, da so številski sistemi merske enote za števila. Navsezadnje ne moremo primerjati števil z različnimi merskimi enotami. Če enaka dejanja z različnimi merskimi enotami iste količine po primerjavi privedejo do različnih rezultatov, potem to nima nobene zveze z matematiko.
Kaj je prava matematika? To je takrat, ko rezultat matematične operacije ni odvisen od velikosti števila, uporabljene merske enote in od tega, kdo to dejanje izvaja.
Oh! Ali ni to žensko stranišče?
- Mlada ženska! To je laboratorij za preučevanje nedefilske svetosti duš med njihovim vnebovzetjem v nebesa! Halo na vrhu in puščica navzgor. Kakšno drugo stranišče?
Ženska... Avreol na vrhu in puščica navzdol sta moški.
Če se vam takšno umetniško delo večkrat na dan zasveti pred očmi,
Potem ni presenetljivo, da nenadoma najdete čudno ikono v svojem avtomobilu:
Osebno se trudim, da pri kakajočem človeku vidim minus štiri stopinje (ena slika) (kompozicija večih slik: znak minus, številka štiri, oznaka stopinj). In mislim, da to dekle ni bedak, ki ne pozna fizike. Samo ima močan stereotip dojemanja grafičnih podob. In tega nas matematiki ves čas učijo. Tukaj je primer.
1A ni "minus štiri stopinje" ali "en a". To je "človek, ki se pokaka" ali številka "šestindvajset" v šestnajstiškem zapisu. Tisti ljudje, ki nenehno delajo v tem sistemu številk, samodejno zaznajo številko in črko kot en grafični simbol.
