Razmislite, na katere oblike je razdeljen mnogokotnik. Pravilni mnogokotnik

Kako se imenuje mnogokotnik? Vrste mnogokotnikov. MNOGOKOTNIK, ploščati geometrijski lik s tremi ali več stranicami, ki se sekajo v treh ali več točkah (ogliščih). Opredelitev. Mnogokotnik je geometrijska figura, ki je z vseh strani omejena s sklenjeno lomljeno črto, sestavljeno iz treh ali več segmentov (povezav). Trikotnik je vsekakor mnogokotnik. Poligon je figura, ki ima pet ali več kotov.

Opredelitev. Štirikotnik je ploska geometrijska figura, sestavljena iz štirih točk (oglišča štirikotnika) in štirih zaporednih segmentov, ki jih povezujejo (stranice štirikotnika).

Pravokotnik je štirikotnik z vsemi pravimi koti. Imenujemo jih glede na število stranic oziroma oglišč: TRIKOTNIK (trostrani); KVADAGON (štiristrani); PENTAGON (petstranski) itd. V osnovni geometriji lik imenujemo lik, ki ga omejujejo ravne črte, imenovane stranice. Točki, v katerih se stranice sekata, imenujemo oglišča. Mnogokotnik ima več kot tri kote. To je sprejeto ali dogovorjeno.

Trikotnik je trikotnik. In štirikotnik tudi ni mnogokotnik in se ne imenuje štirikotnik - je bodisi kvadrat, romb ali trapez. Dejstvo, da ima mnogokotnik s tremi stranicami in tremi koti svoje ime "trikotnik", mu ne odvzame statusa mnogokotnika.

Oglejte si, kaj je "POLYGON" v drugih slovarjih:

Izvemo, da je ta lik omejen s sklenjeno lomljeno črto, ki pa je lahko preprosta, zaprta. Pogovorimo se o tem, da so mnogokotniki lahko ravni, pravilni ali konveksni. Kdo še ni slišal za skrivnostni Bermudski trikotnik, v katerem brez sledu izginjajo ladje in letala? Toda trikotnik, ki nam je znan iz otroštva, je poln veliko zanimivih in skrivnostnih stvari.

Čeprav seveda lahko figuro, sestavljeno iz treh kotov, štejemo tudi za poligon

Toda to ni dovolj za karakterizacijo figure. Lomljena črta A1A2...An je lik, ki je sestavljen iz točk A1,A2,...An in odsekov A1A2, A2A3,..., ki jih povezujejo. Enostavno zaprto lomljeno črto imenujemo mnogokotnik, če njeni sosednji členi ne ležijo na isti ravni črti (slika 5). V besedo "poligon" namesto dela "mnogo" nadomestite določeno številko, na primer 3. Dobili boste trikotnik. Upoštevajte, da kolikor je kotov, toliko je tudi stranic, zato bi te figure lahko imenovali polilaterale.

Naj bo A1A2...A n dan konveksen mnogokotnik in n>3. Vanj narišimo diagonale (iz enega oglišča)

Vsota kotov vsakega trikotnika je 1800, število teh trikotnikov n pa je 2. Zato je vsota kotov konveksnega n - trikotnika A1A2...A n 1800* (n - 2). Izrek je dokazan. Zunanji kot konveksnega mnogokotnika pri danem oglišču je kot, ki meji na notranji kot mnogokotnika pri tem oglišču.

V štirikotnik nariši ravno črto, tako da ga deli na tri trikotnike

Štirikotnik nikoli nima treh oglišč na isti premici. Beseda "poligon" nakazuje, da imajo vse figure v tej družini "veliko kotov". Zlomljena črta se imenuje preprosta, če nima samopresečišč (sl. 2, 3).

Dolžina lomljene črte je vsota dolžin njenih členov (slika 4). V primeru n=3 je izrek veljaven. Torej kvadrat lahko imenujemo drugače - navaden štirikotnik. Takšne figure so že dolgo zanimale obrtnike, ki so okrasili zgradbe.

Število oglišč je enako številu stranic. Polilinija se imenuje zaprta, če njeni konci sovpadajo. Naredili so lepi vzorci, na primer na parketu. Naša peterokraka zvezda je navadna peterokotna zvezda.

Toda vseh pravilnih mnogokotnikov ni bilo mogoče uporabiti za izdelavo parketa. Oglejmo si podrobneje dve vrsti mnogokotnikov: trikotnik in štirikotnik. Mnogokotnik, v katerem so vsi notranji koti enaki, se imenuje pravilen. Poligoni so poimenovani glede na število stranic ali oglišč.

V tej lekciji bomo začeli novo temo in predstavili nov koncept za nas: "mnogokotnik". Ogledali si bomo osnovne pojme, povezane s poligoni: stranice, vrhni koti, konveksnost in nekonveksnost. Potem bomo dokazali najpomembnejša dejstva, kot je izrek o vsoti notranjih kotov mnogokotnika, izrek o vsoti zunanjih kotov mnogokotnika. Posledično se bomo približali študiju posebnih primerov poligonov, ki jih bomo obravnavali v nadaljnjih lekcijah.

Tema: Štirikotniki

Lekcija: Mnogokotniki

V tečaju geometrije preučujemo lastnosti geometrijskih likov in smo že pregledali najpreprostejše med njimi: trikotnike in kroge. Obenem smo obravnavali tudi specifične posebne primere teh likov, kot so pravi, enakokraki in pravilni trikotnik. Zdaj je čas za pogovor o bolj splošnih in zapletenih številkah - poligoni.

S posebnim primerom poligoniže poznamo - to je trikotnik (glej sliko 1).

riž. 1. Trikotnik

Že samo ime poudarja, da gre za figuro s tremi koti. Zato v mnogokotnik lahko jih je veliko, tj. več kot tri. Na primer, narišimo peterokotnik (glej sliko 2), tj. figura s petimi vogali.

riž. 2. Pentagon. Konveksni poligon

Opredelitev.Poligon- figura, sestavljena iz več točk (več kot dveh) in ustreznega števila segmentov, ki jih zaporedno povezujejo. Te točke se imenujejo vrhovi mnogokotnik, segmenti pa so stranke. V tem primeru nobeni dve sosednji stranici ne ležita na isti premici in nobeni dve nesosednji stranici se ne sekata.

Opredelitev.Pravilni mnogokotnik je konveksen mnogokotnik, v katerem so vse stranice in koti enaki.

Kaj mnogokotnik deli ravnino na dve področji: notranjo in zunanjo. Notranje območje se imenuje tudi mnogokotnik.

Z drugimi besedami, na primer, ko govorijo o peterokotniku, mislijo tako na njegovo celotno notranjo regijo kot na njeno mejo. In notranja regija vključuje vse točke, ki ležijo znotraj poligona, tj. točka se nanaša tudi na peterokotnik (glej sliko 2).

Poligone včasih imenujemo tudi n-kotniki, da poudarimo, da je upoštevan splošni primer prisotnosti nekega neznanega števila kotov (n kosov).

Opredelitev. Obod poligona- vsota dolžin stranic mnogokotnika.

Sedaj se moramo seznaniti z vrstami mnogokotnikov. Razdeljeni so na konveksen in nekonveksna. Na primer, mnogokotnik, prikazan na sl. 2 je konveksna, na sl. 3 nekonveksne.

riž. 3. Nekonveksni mnogokotnik

Definicija 1. Poligon klical konveksen, če pri risanju ravne črte skozi katero koli njegovo stranico celotno mnogokotnik leži le na eni strani te premice. Nekonveksna so vsi ostali poligoni.

Zlahka si je predstavljati, da ko razširimo katero koli stran peterokotnika na sl. 2 vse bo na eni strani te ravne črte, tj. je konveksna. Toda pri risanju ravne črte skozi štirikotnik na sl. 3 že vidimo, da ga deli na dva dela, tj. ni konveksen.

Vendar obstaja še ena definicija konveksnosti mnogokotnika.

Definicija 2. Poligon klical konveksen, če so pri izbiri dveh njegovih notranjih točk in povezovanju z odsekom vse točke odseka tudi notranje točke mnogokotnika.

Prikaz uporabe te definicije je prikazan na primeru konstruiranja segmentov na sl. 2 in 3.

Opredelitev. Diagonala mnogokotnika je vsak segment, ki povezuje dve nesosednji točki.

Za opis lastnosti mnogokotnikov obstajata dva najpomembnejša izreka o njihovih kotih: izrek o vsoti notranjih kotov konveksnega mnogokotnika in izrek o vsoti zunanjih kotov konveksnega mnogokotnika. Poglejmo jih.

Izrek. O vsoti notranjih kotov konveksnega mnogokotnika (n-gon).

Kje je število njegovih kotov (stranic).

Dokaz 1. Upodabljajmo na sl. 4 konveksni n-kotnik.

riž. 4. Konveksni n-kotnik

Iz oglišča narišemo vse možne diagonale. N-kotnik razdelijo trikotnike, saj vsaka stran mnogokotnika tvori trikotnik, razen stranic, ki mejijo na vrh. Iz slike je enostavno videti, da bo vsota kotov vseh teh trikotnikov popolnoma enaka vsoti notranjih kotov n-kotnika. Ker je vsota kotov katerega koli trikotnika , je vsota notranjih kotov n-kotnika:

Q.E.D.

Dokaz 2. Možen je še en dokaz tega izreka. Narišimo podoben n-kotnik na sl. 5 in poveži poljubno njeno notranjo točko z vsemi oglišči.

riž. 5.

Dobili smo razbitje n-kotnika na n trikotnikov (toliko stranic, kolikor je trikotnikov). Vsota vseh njunih kotov je enaka vsoti notranjih kotov mnogokotnika in vsoti kotov v notranji točki in to je kot. Imamo:

Q.E.D.

Dokazano.

Po dokazanem izreku je jasno, da je vsota kotov n-kotnika odvisna od števila njegovih stranic (od n). Na primer v trikotniku, vsota kotov pa je . V štirikotniku je vsota kotov itd.

Izrek. O vsoti zunanjih kotov konveksnega mnogokotnika (n-gon).

Kje je število njegovih kotov (stranic), in , …, so zunanji koti.

Dokaz. Upodabljajmo konveksni n-kotnik na sl. 6 in označite njegov notranji in zunanji kot.

riž. 6. Konveksni n-kotnik z določenimi zunanjimi koti

Ker Zunanji vogal je nato povezan z notranjim kot sosednji in podobno za preostale zunanje vogale. Nato:

Pri transformacijah smo uporabili že dokazan izrek o vsoti notranjih kotov n-kotnika.

Dokazano.

Iz dokazanega izreka sledi zanimivo dejstvo, da je vsota zunanjih kotov konveksnega n-kotnika enaka na število njegovih kotov (stranic). Mimogrede, v nasprotju z vsoto notranjih kotov.

Bibliografija

1. Aleksandrov A.D. in drugi Geometrija, 8. razred. - M.: Izobraževanje, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolov V.V. Geometrija, 8. razred. - M.: Izobraževanje, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrija, 8. razred. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Domača naloga

§ 1 Pojem trikotnika

V tej lekciji se boste seznanili s oblikami, kot so trikotniki in mnogokotniki.

Če tri točke, ki ne ležijo na isti premici, povežemo z odseki, dobimo trikotnik. Trikotnik ima tri oglišča in tri stranice.

Pred vami je trikotnik ABC, ki ima tri oglišča (točko A, točko B in točko C) in tri stranice (AB, AC in CB).

Mimogrede, te iste strani lahko imenujemo drugače:

AB=BA, AC=SA, CB=BC.

Stranice trikotnika tvorijo tri kote na ogliščih trikotnika. Na sliki vidite kot A, kot B, kot C.

Tako je trikotnik geometrijska figura, ki jo tvorijo trije segmenti, ki povezujejo tri točke, ki ne ležijo na isti ravni črti.

§ 2 Pojem poligona in njegove vrste

Poleg trikotnikov so še štirikotniki, peterokotniki, šesterokotniki itd. Z eno besedo jih lahko imenujemo poligoni.

Na sliki vidite štirikotnik DMKE.

Točke D, M, K in E so oglišča štirikotnika.

Odseki DM, MK, KE, ED so stranice tega štirikotnika. Tako kot v primeru trikotnika, stranice štirikotnika tvorijo štiri kote na ogliščih, kot ste uganili, od tod tudi ime - štirikotnik. Za ta štirikotnik vidite na sliki kot D, kot M, kot K in kot E.

Katere štirikotnike že poznate?

Kvadrat in pravokotnik! Vsak od njih ima štiri vogale in štiri stranice.

Druga vrsta poligona je pentagon.

Točke O, P, X, Y, T so oglišča peterokotnika, odseki TO, OP, PX, XY, YT pa stranice tega peterokotnika. Pentagon ima pet kotov oziroma pet stranic.

Kaj mislite, koliko kotov in koliko strani ima šestkotnik? Tako je, šest! Če sklepamo na podoben način, lahko rečemo, koliko stranic, oglišč ali kotov ima določen mnogokotnik. In lahko sklepamo, da je trikotnik tudi mnogokotnik, ki ima natanko tri kote, tri stranice in tri oglišča.

Tako ste se v tej lekciji seznanili s pojmoma, kot sta trikotnik in mnogokotnik. Naučili smo se, da ima trikotnik 3 oglišča, 3 stranice in 3 kote, štirikotnik 4 oglišča, 4 stranice in 4 kote, peterokotnik 5 stranic, 5 oglišč, 5 kotov itd.

Seznam uporabljene literature:

1. Matematika 5. razred. Vilenkin N.Y., Zhokhov V.I. in drugi 31. izd., izbrisano. - M: 2013.
2. Didaktična gradiva za matematiko 5. razred. Avtor - Popov M.A. - leto 2013
3. Računamo brez napak. Delo s samotestiranjem pri matematiki 5.-6. Avtor - Minaeva S.S. - leto 2014
4. Didaktična gradiva za matematiko 5. razred. Avtorji: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. Testi in samostojno delo pri matematiki 5. razred. Avtorji - Popov M.A. - leto 2012
6. Matematika. 5. razred: poučna. za splošnoizobraževalce. ustanove / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009

Del ravnine, ki ga omejuje sklenjena lomljena črta, imenujemo mnogokotnik.

Segmenti te lomljene črte se imenujejo stranke mnogokotnik. AB, BC, CD, DE, EA (slika 1) so stranice mnogokotnika ABCDE. Vsota vseh strani mnogokotnika se imenuje njegova obseg.

Poligon se imenuje konveksen, če se nahaja na eni strani katere koli njegove stranice, neomejeno razširjeno čez obe točki.

Poligon MNPKO (slika 1) ne bo konveksen, saj se nahaja na več kot eni strani premice KR.

Upoštevali bomo samo konveksne mnogokotnike.

Koti, ki jih tvorita dve sosednji stranici mnogokotnika, se imenujejo njegovi notranji vogali, njihovi vrhovi pa so oglišča mnogokotnika.

Odsek premice, ki povezuje dve nesosednji oglišči mnogokotnika, se imenuje diagonala mnogokotnika.

AC, AD - diagonale poligona (slika 2).

Koti, ki mejijo na notranje kote mnogokotnika, se imenujejo zunanji koti mnogokotnika (slika 3).

Glede na število kotov (stranic) imenujemo mnogokotnik trikotnik, štirikotnik, peterokotnik itd.

Za dva poligona pravimo, da sta skladna, če ju je mogoče združiti s prekrivanjem.

Včrtani in opisani mnogokotniki

Če vsa oglišča mnogokotnika ležijo na krožnici, se mnogokotnik imenuje vpisana v krog in krog - opisano blizu poligona (slika).

Če se vse strani mnogokotnika dotikajo kroga, se imenuje mnogokotnik opisano o krogu, krog pa se imenuje vpisana v mnogokotnik (sl.).

Podobnost mnogokotnikov

Dva istoimenska mnogokotnika se imenujeta podobna, če sta kota enega od njiju enaka kotom drugega in sta podobni strani mnogokotnikov sorazmerni.

Mnogokotnike z enakim številom stranic (kotov) imenujemo istoimenski mnogokotniki.

Stranice podobnih mnogokotnikov, ki povezujejo oglišča ustrezno enakih kotov, se imenujejo podobne (slika).

Da bi bil na primer mnogokotnik ABCDE podoben mnogokotniku A'B'C'D'E', je potrebno, da: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' in poleg tega AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Razmerje obsegov podobnih mnogokotnikov

Najprej razmislite o lastnosti niza enakih razmerij. Vzemimo na primer naslednja razmerja: 2/1 = 4/2 = 6/3 = 8/4 =2.

Poiščemo vsoto prejšnjih členov teh odnosov, nato vsoto njihovih naslednjih členov in poiščemo razmerje dobljenih vsot, dobimo:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Enako dobimo, če vzamemo vrsto drugih relacij, na primer: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3. Poiščemo vsoto prejšnjih členov teh razmerij in vsote naslednjih, nato pa poiščemo razmerje teh vsot, dobimo:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

V obeh primerih se vsota prejšnjih členov niza enakih relacij nanaša na vsoto naslednjih členov iste vrste, tako kot se prejšnji člen katerega koli od teh relacij nanaša na svojega naslednjega.

To lastnost smo izpeljali z upoštevanjem številnih numeričnih primerov. Lahko se izpelje strogo in v splošni obliki.

Zdaj razmislite o razmerju obsegov podobnih mnogokotnikov.

Naj bo mnogokotnik ABCDE podoben mnogokotniku A’B’C’D’E’ (slika).

Iz podobnosti teh mnogokotnikov sledi, da

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Na podlagi lastnosti, ki smo jo izpeljali za vrsto enakih razmerij, lahko zapišemo:

Vsota prejšnjih členov relacij, ki smo jih vzeli, predstavlja obseg prvega poligona (P), vsota naslednjih členov teh relacij pa predstavlja obseg drugega poligona (P'), kar pomeni P / P ' = AB / A'B'.

torej Obseg podobnih mnogokotnikov je povezan z njihovimi podobnimi stranicami.

Razmerje ploščin podobnih mnogokotnikov

Naj sta ABCDE in A’B’C’D’E’ podobna mnogokotnika (slika).

Znano je, da ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' in ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Poleg tega

;

Ker sta druga razmerja teh razmerij enaka, kar izhaja iz podobnosti mnogokotnikov, torej

Z uporabo lastnosti niza enakih razmerij dobimo:

oz

kjer sta S in S' ploščini teh podobnih mnogokotnikov.

torej Ploščine podobnih mnogokotnikov so povezane kot kvadrati podobnih stranic.

Nastalo formulo je mogoče pretvoriti v to obliko: S / S’ = (AB / A’B’) 2

Območje poljubnega poligona

Naj bo treba izračunati površino poljubnega štirikotnika ABC (sl.).

Vanj narišimo diagonalo, na primer AD. Dobimo dva trikotnika ABD in ACD, katerih ploščini lahko izračunamo. Nato poiščemo vsoto ploščin teh trikotnikov. Dobljena vsota bo izrazila površino tega štirikotnika.

Če morate izračunati površino peterokotnika, naredimo isto: narišemo diagonale iz ene od oglišč. Dobimo tri trikotnike, katerih ploščine lahko izračunamo. To pomeni, da lahko najdemo površino tega peterokotnika. Enako storimo pri izračunu površine katerega koli poligona.

Projektirano območje poligona

Spomnimo se, da je kot med premico in ravnino kot med dano premico in njeno projekcijo na ravnino (slika).

Izrek. Območje pravokotne projekcije poligona na ravnino je enako površini projiciranega mnogokotnika, pomnoženemu s kosinusom kota, ki ga tvorita ravnina poligona in projekcijska ravnina.

Vsak poligon lahko razdelimo na trikotnike, katerih vsota površin je enaka površini mnogokotnika. Zato je dovolj dokazati izrek za trikotnik.

Naj se ΔАВС projicira na ravnino R. Razmislimo o dveh primerih:

a) ena od stranic ΔABC je vzporedna z ravnino R;

b) nobena od stranic ΔABC ni vzporedna R.

Razmislimo prvi primer: naj [AB] || R.

Narišimo ravnino skozi (AB) R 1 || R in projicira pravokotno ΔАВС na R 1 in naprej R(riž); dobimo ΔАВС 1 in ΔА'В'С'.

Z lastnostjo projekcije imamo ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С' in zato

S Δ ABC1 = S Δ A’B’C’

Narišimo ⊥ in odsek D 1 C 1 . Potem je ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ vrednost kota med ravnino ΔABC in ravnino R 1. Zato

S Δ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

in torej S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.

Pojdimo k razmisleku drugi primer. Narišimo letalo R 1 || R skozi tisto oglišče ΔАВС, razdalja od katerega do ravnine R najmanjši (naj bo to oglišče A).

Projicirajmo ΔАВС na ravnino R 1 in R(riž); naj bodo njegove projekcije ΔАВ 1 С 1 oziroma ΔА'В'С'.

Naj bo (BC) ∩ str 1 = D. Potem

S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Drugi materiali