Pravokotne ravnine označujejo pravokotnost dveh ravnin. Stereometrija
Opredelitev. Diedrski kot je lik, ki ga sestavljata premica a in dve polravnini s skupno mejo a, ki ne pripadata isti ravnini.
Opredelitev. Stopinjska mera diedrskega kota je stopinjska mera katerega koli od njegovih linearnih kotov.
Opredelitev. Dve sekajoči se ravnini imenujemo pravokotni, če je kot med njima 90 o.
Znak pravokotnosti dveh ravnin.
Lastnosti.
- V kvadru je vseh šest ploskev pravokotnikov.
- Vsi diedrski koti kvadra so pravi koti
- Kvadrat diagonale pravokotnega paralelepipeda je enak vsoti kvadratov njegovih treh dimenzij.
Težave in testi na temo "Tema 7. "Dvostranski kot. Pravokotnost ravnin."
- Diedrski kot. Pravokotnost ravnin
- Pravokotnost premice in ravnine - Pravokotnost premic in ravnin, 10. razred
Lekcije: 1 Naloge: 10 Testi: 1
- Pravokotno in poševno. Kot med premico in ravnino - Pravokotnost premic in ravnin, 10. razred
Lekcije: 2 Nalogi: 10 Testov: 1
- Vzporednost ravnin - Vzporednost premic in ravnin, 10. razred
Lekcije: 1 Naloge: 8 Testi: 1
- Pravokotne črte - Osnove geometrijskih informacij 7. razred
Lekcije: 1 Naloge: 17 Testi: 1
Gradivo o temi povzema in sistematizira informacije, ki jih poznate iz planimetrije o pravokotnosti ravnih črt. Učenje izrekov o razmerju vzporednosti in pravokotnosti premic in ravnin v prostoru ter snovi o pravokotnici in nagnjenosti je priporočljivo kombinirati s sistematičnim ponavljanjem ustrezne snovi iz planimetrije.
Rešitve skoraj vseh računskih problemov se zmanjšajo na uporabo Pitagorovega izreka in njegovih posledic. Pri številnih nalogah možnost uporabe Pitagorovega izreka ali njegovih posledic utemeljuje izrek treh navpičnic oziroma lastnosti vzporednosti in pravokotnosti ravnin.
Ta lekcija bo pomagala tistim, ki želijo razumeti temo "Znak pravokotnosti dveh ravnin." Na začetku bomo ponovili definicijo diedrskega in linearnega kota. Nato bomo razmislili, katere ravnine imenujemo pravokotne, in dokazali znak pravokotnosti dveh ravnin.
Tema: Pravokotnost premic in ravnin
Lekcija: Znak pravokotnosti dveh ravnin
Opredelitev. Diedrski kot je lik, ki ga tvorita dve polravnini, ki ne pripadata isti ravnini, in njuna skupna premica a (a je rob).
riž. 1
Oglejmo si dve polravnini α in β (slika 1). Njihova skupna meja je l. Ta slika se imenuje diedrski kot. Dve sekajoči se ravnini tvorita štiri diedrske kote s skupnim robom.
Diedrski kot se meri z njegovim linearnim kotom. Izberemo poljubno točko na skupnem robu l diedrskega kota. V polravninah α in β iz te točke potegnemo navpičnici a in b na premico l in dobimo linearni kot diedrskega kota.
Premici a in b tvorita štiri kote, enake φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Spomnimo se, da je kot med ravnimi črtami najmanjši od teh kotov.
Opredelitev. Kot med ravninama je najmanjši od diedrskih kotov, ki jih tvorita ti ravnini. φ je kot med ravninama α in β, če
Opredelitev. Dve sekajoči se ravnini imenujemo pravokotni (medsebojno pravokotni), če je kot med njima 90°.
riž. 2
Na robu l izberemo poljubno točko M (slika 2). Na rob l v ravnini α narišimo dve pravokotni premici MA = a in MB = b v ravnini β. Dobili smo kot AMB. Kot AMB je linearni kot diedrskega kota. Če je kot AMB 90°, se ravnini α in β imenujeta pravokotni.
Premica b je po konstrukciji pravokotna na premico l. Premica b je pravokotna na premico a, saj je kot med ravninama α in β 90°. Ugotovimo, da je premica b pravokotna na dve sekajoči se premici a in l iz ravnine α. To pomeni, da je premica b pravokotna na ravnino α.
Podobno lahko dokažemo, da je premica a pravokotna na ravnino β. Premica a je po konstrukciji pravokotna na premico l. Premica a je pravokotna na premico b, saj je kot med ravninama α in β 90°. Ugotovimo, da je premica a pravokotna na dve sekajoči se premici b in l iz ravnine β. To pomeni, da je premica a pravokotna na ravnino β.
Če ena od dveh ravnin poteka skozi premico, pravokotno na drugo ravnino, sta ravnini pravokotni.
Dokaži:
riž. 3
Dokaz:
Naj se ravnini α in β sekata vzdolž premice AC (slika 3). Če želite dokazati, da sta ravnini medsebojno pravokotni, morate med njima sestaviti linearni kot in pokazati, da je ta kot 90°.
Premica AB je pravokotna na ravnino β in torej na premico AC, ki leži v ravnini β.
Narišimo premico AD pravokotno na premico AC v ravnini β. Potem je BAD linearni kot diedričnega kota.
Premica AB je pravokotna na ravnino β in torej na premico AD, ki leži v ravnini β. To pomeni, da je linearni kot BAD 90°. To pomeni, da sta ravnini α in β pravokotni, kar je bilo potrebno tudi dokazati.
Ravnina, pravokotna na premico, po kateri se sekata dve dani ravnini, je pravokotna na vsako od teh ravnin (slika 4).
Dokaži:
riž. 4
Dokaz:
Premica l je pravokotna na ravnino γ, ravnina α pa poteka skozi premico l. To pomeni, da sta glede na pravokotnost ravnin ravnini α in γ pravokotni.
Premica l je pravokotna na ravnino γ, ravnina β pa poteka skozi premico l. To pomeni, da sta glede na pravokotnost ravnin ravnini β in γ pravokotni.
PREPIS BESEDILA LEKCIJE:
Zamisel o ravnini v prostoru nam omogoča, da dobimo na primer površino mize ali stene. Vendar ima miza ali stena končne dimenzije in ravnina se razteza čez njene meje v neskončnost.
Razmislite o dveh sekajočih se ravninah. Ko se sekajo, tvorijo štiri diedrske kote s skupnim robom.
Spomnimo se, kaj je diedrski kot.
V resnici se srečujemo s predmeti, ki imajo obliko diedričnega kota: na primer rahlo odprta vrata ali na pol odprta mapa.
Ko se ravnini alfa in beta sekata, dobimo štiri diedrske kote. Naj bo eden od diedričnih kotov enak (phi), potem je drugi enak (1800 -), tretji, četrti (1800 -).
Razmislite o primeru, ko je eden od diedrskih kotov 900.
Potem so vsi diedrski koti v tem primeru enaki 900.
Uvedimo definicijo pravokotnih ravnin:
Dve ravnini se imenujeta pravokotni, če je diedrski kot med njima 90°.
Kot med ravninama sigma in epsilon je 90 stopinj, kar pomeni, da sta ravnini pravokotni
Navedimo primere pravokotnih ravnin.
Stena in strop.
Stranska stena in mizna plošča.
Oblikujmo znak pravokotnosti dveh ravnin:
IZREK: Če ena od dveh ravnin poteka skozi premico, pravokotno na drugo ravnino, sta ti ravnini pravokotni.
Dokažimo ta znak.
Po pogoju je znano, da premica AM leži v ravnini α, premica AM je pravokotna na ravnino β,
Dokaži: ravnini α in β sta pravokotni.
Dokaz:
1) Ravnini α in β se sekata vzdolž ravne črte AR, medtem ko je AM AR, saj je AM po pogoju β, to pomeni, da je AM pravokoten na katero koli ravno črto, ki leži v ravnini β.
2) Narišimo premico AT pravokotno na AP v ravnini β.
Dobimo kot TAM - linearni kot diedričnega kota. Toda kot TAM = 90°, ker je MA β. Torej α β.
Q.E.D.
Iz znaka pravokotnosti dveh ravnin imamo pomembno posledico:
POSLEDICA: Ravnina, pravokotna na premico, po kateri se sekata dve ravnini, je pravokotna na vsako od teh ravnin.
Se pravi: če je α∩β=с in γ с, potem γ α in γ β.
Dokažimo to posledico: če je ravnina gama pravokotna na premico c, potem je glede na vzporednost obeh ravnin gama pravokotna na alfa. Podobno je gama pravokotna na beta
Preformulirajmo to posledico za diedrski kot:
Ravnina, ki poteka skozi linearni kot diedrskega kota, je pravokotna na rob in ploskve tega diedrskega kota. Z drugimi besedami, če smo zgradili linearni kot diedričnega kota, potem je ravnina, ki poteka skozenj, pravokotna na rob in ploskve tega diedričnega kota.
Podano: ΔABC, C = 90°, AC leži v ravnini α, kot med ravninama α in ABC = 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.
Ugotovite: razdaljo od točke B do ravnine α.
1) Konstruirajmo VC α. Potem je KS projekcija sonca na to ravnino.
2) BC AC (po pogoju), kar pomeni po izreku treh navpičnic (TPP) KS AC. Zato je VSK linearni kot diedričnega kota med ravnino α in ravnino trikotnika ABC. To je VSK = 60 °.
3) Iz ΔBCA po Pitagorovem izreku:
Odgovor VK je enak 6 korenin iz treh cm
Praktična uporaba (aplikativna narava) pravokotnosti dveh ravnin.
Pravokotnost v prostoru ima lahko:
1. Dve ravni črti
3. Dve ravnini
Poglejmo te tri primere po vrsti: vse definicije in izjave izrekov, povezanih z njimi. In potem bomo razpravljali o zelo pomembnem izreku o treh navpičnicah.
Pravokotnost dveh črt.
definicija:
Lahko rečeš: tudi meni so odkrili Ameriko! Vendar ne pozabite, da v vesolju ni vse tako kot na letalu.
Na ravnini so lahko pravokotne samo naslednje premice (sekajoče se):
Toda dve ravni črti sta lahko pravokotni v prostoru, tudi če se ne sekata. poglej:
premica je pravokotna na premico, čeprav se z njo ne seka. Kako to? Spomnimo se definicije kota med ravnimi črtami: če želite najti kot med sekajočima se črtama in, morate skozi poljubno točko na črti a narisati ravno črto. In potem bo kot med in (po definiciji!) enak kotu med in.
Ali se spomniš? No, v našem primeru, če se ravne črte in izkažejo za pravokotne, potem moramo upoštevati, da so ravne črte in pravokotne.
Za popolno jasnost si poglejmo primer. Naj bo kocka. In od vas zahtevajo, da poiščete kot med črtami in. Te črte se ne sekajo - sekajo se. Da bi našli kot med in, narišimo.
Zaradi dejstva, da je paralelogram (in celo pravokotnik!), Se izkaže, da. In zaradi dejstva, da je kvadrat, se izkaže, da. No, to pomeni.
Pravokotnost premice in ravnine.
definicija:
Tukaj je slika:
premica je pravokotna na ravnino, če je pravokotna na vse, vse premice v tej ravnini: in, in, in, in celo! In milijardo drugih neposrednih!
Ja, ampak kako lahko potem na splošno preveriš pravokotnost v premici in v ravnini? Življenje torej ni dovolj! Toda na našo srečo so nas matematiki z izumom rešili nočne more neskončnosti znak pravokotnosti premice in ravnine.
Naj formuliramo:
Ocenite, kako super je:
če sta v ravnini samo dve ravni črti (in), na katero je ravna črta pravokotna, potem se bo ta ravna črta takoj izkazala za pravokotno na ravnino, to je na vse ravne črte v tej ravnini (vključno z nekaterimi ravnimi linija, ki stoji ob strani). To je zelo pomemben izrek, zato bomo njegov pomen narisali tudi v obliki diagrama.
In poglejmo še enkrat primer.
Naj nam bo dan pravilni tetraeder.
Naloga: dokažite to. Rekli boste: to sta dve ravni črti! Kaj ima s tem pravokotnost premice in ravnine?!
Ampak poglej:
označimo sredino roba in narišimo ter. To so mediane v in. Trikotniki so pravilni in...
Tukaj je, čudež: izkazalo se je, da od in. In naprej, vsem ravnim črtam v ravnini, kar pomeni in. Dokazali so. In najpomembnejša točka je bila ravno uporaba znaka pravokotnosti premice in ravnine.
Ko sta ravnini pravokotni
definicija:
To pomeni (za več podrobnosti glej temo "diedrski kot") sta ravnini (in) pravokotni, če se izkaže, da je kot med obema navpičnicama (in) na presečišče teh ravnin enak. In obstaja izrek, ki povezuje koncept pravokotnih ravnin s konceptom pravokotnosti v prostoru premice in ravnine.
Ta izrek se imenuje
Kriterij za pravokotnost ravnin.
Oblikujmo:
Kot vedno je dekodiranje besed "takrat in šele takrat" videti takole:
- Če, potem poteka skozi pravokotno na.
- Če gre skozi pravokotnico na, potem.
(seveda, tukaj smo letala).
Ta izrek je eden najpomembnejših v stereometriji, a na žalost tudi eden najtežjih za uporabo.
Zato morate biti zelo previdni!
Torej, besedilo:
In spet dešifriranje besed »takrat in samo takrat«. Izrek navaja dve stvari hkrati (poglejte sliko):
poskusimo ta izrek uporabiti za rešitev problema.
Naloga: podana je pravilna šesterokotna piramida. Poiščite kot med črtama in.
rešitev:
Ker v pravilni piramidi vrh, ko se projicira, pade v središče baze, se izkaže, da je ravna črta projekcija ravne črte.
Vemo pa, da je v pravilnem šesterokotniku. Uporabimo izrek treh navpičnic:
In napišemo odgovor: .
PRAVOKOTNOST RAVNIH ČRT V PROSTORU. NA KRATKO O GLAVNEM
Pravokotnost dveh črt.
Dve premici v prostoru sta pravokotni, če je med njima kot.
Pravokotnost premice in ravnine.
Premica je pravokotna na ravnino, če je pravokotna na vse premice v tej ravnini.
Pravokotnost ravnin.
Ravnini sta pravokotni, če je diedrski kot med njima enak.
Kriterij za pravokotnost ravnin.
Dve ravnini sta pravokotni, če in samo če gre ena od njiju skozi navpičnico na drugo ravnino.
Izrek treh pravokotnikov:
Pa je tema končana. Če berete te vrstice, pomeni, da ste zelo kul.
Ker le 5% ljudi zmore nekaj obvladati samih. In če preberete do konca, potem ste v teh 5%!
Zdaj pa najpomembnejše.
Razumeli ste teorijo o tej temi. In ponavljam, to ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.
Težava je v tem, da to morda ni dovolj ...
Za kaj?
Za uspešno opravljen enotni državni izpit, za vpis na fakulteto s proračunom in, kar je NAJBOLJ POMEMBNO, za življenje.
Ne bom vas prepričeval v nič, samo eno stvar bom rekel ...
Ljudje, ki so prejeli dobro izobrazbo, zaslužijo veliko več kot tisti, ki je niso prejeli. To je statistika.
Ampak to ni glavna stvar.
Glavno, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem ...
Ampak pomislite sami ...
Kaj je potrebno, da smo prepričani, da smo boljši od drugih na Enotnem državnem izpitu in na koncu ... srečnejši?
PRIDOBITE SE Z REŠEVANJEM PROBLEMOV NA TO TEMO.
Med izpitom ne boste zahtevali teorije.
Boste potrebovali reševanje težav s časom.
In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali preprosto ne boste imeli časa.
To je kot v športu – večkrat moraš ponoviti, da zagotovo zmagaš.
Poiščite zbirko kjer koli želite, nujno z rešitvami, podrobno analizo in odločaj se, odločaj se!
Uporabite lahko naše naloge (izbirno) in jih seveda priporočamo.
Če želite bolje uporabljati naše naloge, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.
kako Obstajata dve možnosti:
- Odklenite vse skrite naloge v tem članku -
- Odkleni dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 členih učbenika - Kupite učbenik - 899 RUR
Da, v našem učbeniku imamo 99 takih členov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih se lahko odpre takoj.
Dostop do vseh skritih nalog je zagotovljen za CELOTNO življenjsko dobo spletnega mesta.
V zaključku...
Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne ustavite se pri teoriji.
"Razumem" in "lahko rešim" sta popolnoma različni veščini. Potrebujete oboje.
Poiščite težave in jih rešite!
Če ena od dveh ravnin poteka skozi premico, pravokotno na drugo ravnino, sta dani ravnini pravokotni () (slika 28)
α – ravnina, V– premica, ki je pravokotna nanjo, β – ravnina, ki poteka skozi premico V, In z– premica, po kateri se sekata ravnini α in β.
Posledica.Če je ravnina pravokotna na presečišče dveh danih ravnin, potem je pravokotna na vsako od teh ravnin
Problem 1. Dokaži, da lahko skozi katero koli točko na premici v prostoru potegnemo dve različni premici, pravokotni nanjo.
Dokaz:
Po aksiomu jaz obstaja točka, ki ni na črti A. Po izreku 2.1 skozi točko IN in neposredno A lahko narišemo ravnino α. (Slika 29) Po izreku 2.3 skozi točko A v ravnini α lahko narišemo premico A. Po aksiomu C 1 obstaja točka Z, ki ne pripada α. Po izreku 15.1 skozi točko Z in neposredno A lahko narišemo ravnino β. V ravnini β lahko po izreku 2.3 skozi točko a narišemo premico z A. Po konstrukciji imata premici b in c samo eno skupno točko A in obe sta pravokotni
Naloga 2. Zgornja konca dveh navpično stoječih stebrov, ki sta med seboj oddaljena 3,4 m, sta povezana s prečko. Višina enega stebra je 5,8 m, drugega pa 3,9 m. Poiščite dolžino prečke.
AC= 5,8 m, ВD= 3,9 m, AB- ? (slika 30)
AE = AC – CE = AC – BD= 5,8 – 3,9 = 1,9 (m)
Po Pitagorovem izreku iz ∆ AEV dobimo:
AB 2 = AE 2 + EB 2 = AE 2 + CD 2 = ( 1,9) 2 + (3,4) 2 = 15,17 (m2)
AB= = 3,9 (m)
Naloge
Tarča. Naučite se analizirati v najpreprostejših primerih medsebojni dogovor objektov v prostoru, uporablja planimetrična dejstva in metode pri reševanju stereometričnih problemov.
1. Dokaži, da lahko skozi katero koli točko premice v prostoru potegneš premico pravokotno nanjo.
2. Premice AB, AC in AD so v parih pravokotne. Poišči segment CD, če:
1) AB = 3 cm , sonce= 7 cm, AD= 1,5 cm;
2) VD= 9 cm, AD= 5 cm, sonce= 16 cm;
3) AB = b, BC = a, AD = d;
4) ВD = с, ВС = а, АD = d
3. Točka A je oddaljena a iz oglišč enakostraničnega trikotnika s stranico A. Poiščite razdaljo od točke A do ravnine trikotnika.
4. Dokaži, da če je premica vzporedna z ravnino, so vse njene točke enako oddaljene od ravnine.
5. Telefonska žica dolžine 15 m je napeta od telefonskega stebra, kjer je pritrjena na višini 8 m od površine tal, do hiše, kjer je pritrjena na višini 20 m. Poiščite razdaljo med hišo in stebrom, ob predpostavki, da žica ne povesi.
6. Iz točke na ravnino sta narisani dve nagnjeni nagibi, enaki 10 cm in 17 cm, razlika v projekcijah teh nagnjenih je 9 cm, poišči projekciji nagnjenih.
7. Iz točke na ravnino narišemo dve nagnjeni, od katerih je ena za 26 cm večja od druge. Nagnjeni projekciji sta 12 cm in 40 cm Poišči nagnjeni.
8. Iz točke na ravnino narišemo dve nagnjeni premici. Poišči dolžini poševnic, če sta v razmerju 1:2 in sta projekciji poševnic 1 cm in 7 cm.
9. Iz točke na ravnino sta narisani dve nagnjeni pobočji, enaki 23 cm in 33 cm.
razdalja od te točke do ravnine, če so nagnjene projekcije v razmerju 2:3.
10. Poiščite razdaljo od sredine odseka AB do ravnine, ki tega odseka ne seka, če sta razdalji od točk a in B do ravnine: 1) 3,2 cm in 5,3 cm;7,4 cm in 6,1 cm; 3) a in c.
11. Reši prejšnjo nalogo pod pogojem, da odsek AB seka ravnino.
12. Odsek dolg 1 m seka ravnino, njegova konca sta od ravnine oddaljena 0,5 m in 0,3 m. Poiščite dolžino projekcije odseka na ravnino.
13. Iz točk A in B spustimo navpičnici na ravnino. Poišči razdaljo med točkama A in B, če sta navpičnici 3 m in 2 m, razdalja med njunima osnovama je 2,4 m in odsek AB ne seka ravnine.
14. Iz točk A in B, ki ležita v dveh pravokotnih ravninah, spustimo navpičnici AC in BD na presečišče ravnin. Poišči dolžino odseka AB, če: 1) AC = 6 m, BD = 7 m, CD = 6 m; 2) AC = 3 m, ВD = 4 m, CD = 12 m; 3) AD = 4 m, BC = 7 m, CD = 1 m; 4) AD = BC = 5 m, CD = 1 m; 4) AC = a, BD = b, CD = c; 5) AD = a, BC = b, CD = c.
15. Iz oglišč A in B enakostraničnega trikotnika ABC vrnemo navpičnici AA 1 in BB 1 na ravnino trikotnika. Poiščite razdaljo od oglišča C do sredine segmenta A 1 B 1, če je AB = 2 m, CA 1 = 3 m, CB 1 = 7 m in segment A 1 B 1 ne seka ravnine trikotnika
16. Iz oglišč A in B ostrih kotov pravokotnega trikotnika ABC stojita navpičnici AA 1 in BB 1 na ravnino trikotnika. Poiščite razdaljo od oglišča C do sredine odseka A 1 B 1, če je A 1 C = 4 m, AA 1 = 3 m, CB 1 = 6 m, BB 1 = 2 m in se odsek A 1 B 1 ne seka ravnina trikotnika.
