Ravni kot v geometriji. Pojem in vrste kotov Trije razviti koti

S pojmom kot se učenci seznanijo že v osnovni šoli. Toda kot geometrijsko figuro z določenimi lastnostmi jo začnejo preučevati od 7. razreda geometrije. Zdi se, precej preprosta oblika kaj se da reči o njej. Toda s pridobivanjem novega znanja šolarji vedno bolj razumejo, da lahko o njej izveste precej zanimivih dejstev.

V stiku z

Kdaj se preučujejo

Šolski tečaj geometrije je razdeljen na dva sklopa: planimetrija in geometrija pol. Vsak od njih ima veliko pozornosti. dano vogale:

• V planimetriji je podan njihov osnovni koncept, poteka seznanitev z njihovimi vrstami v velikosti. Lastnosti vsake vrste trikotnikov so podrobneje preučene. Pojavijo se nove definicije za študente - to so geometrijske oblike, ki nastanejo na presečišču dveh črt med seboj in na presečišču več črt sekante.
• V stereometriji se preučujejo prostorski koti - diedrski in triedrski.

Pozor! Ta članek obravnava vse vrste in lastnosti kotov v planimetriji.

Opredelitev in merjenje

Ko začnete študirati, najprej določite, kaj je kot v planimetriji.

Če vzamemo določeno točko na ravnini in iz nje narišemo dva poljubna žarka, dobimo geometrijski lik - kot, ki ga sestavljajo naslednji elementi:

• vrh - točka, iz katere so bili narisani žarki, je označena z veliko črko latinske abecede;
• stranice so od vrha narisane polovične črte.

Vsi elementi, ki tvorijo figuro, o kateri razmišljamo, delijo ravnino na dva dela:

• notranji - v planimetriji ne presega 180 stopinj;
• zunanji.

Princip merjenja kotov v planimetriji razloženo intuitivno. Za začetek se učenci seznanijo s pojmom razviti kot.

Pomembno! Pravimo, da je kot razvit, če polpremice, ki izhajajo iz njegovega vrha, tvorijo ravno črto. Raztegnjeni kot so vsi drugi primeri.

Če je razdeljen na 180 enakih delov, je običajno, da je ukrep enega dela enak 10. V tem primeru pravijo, da je meritev izvedena v stopinjah, stopnja mere takšne številke pa je 180 stopinj.

Glavne vrste

Vrste kotov so razdeljene glede na merila, kot so stopinjska mera, narava njihove tvorbe in kategorije spodaj.

Po velikosti

Glede na velikost se koti delijo na:

• razporejen;
• naravnost;
• Top;
• začinjeno.

Kateri kot se imenuje razporejen, je bilo predstavljeno zgoraj. Opredelimo pojem ravne črte.

Dobimo ga tako, da razporejeno razdelimo na dva enaka dela. V tem primeru je enostavno odgovoriti na vprašanje: pravi kot, koliko stopinj je?

180 stopinj razdelite na 2, da dobite pravi kot je 90 stopinj. To je čudovita figura, saj je z njo povezanih veliko dejstev v geometriji.

Tudi pri označevanju ima svoje značilnosti. Če želite na sliki prikazati pravi kot, ga ne označite z lokom, temveč s kvadratom.

Koti, ki jih dobimo z delitvijo poljubnega žarka ravne črte, se imenujejo ostri. Po logiki stvari sledi, da je ostri kot manjši od pravega kota, vendar je njegova mera drugačna od 0 stopinj. To pomeni, da ima vrednost od 0 do 90 stopinj.

Topi kot je večji od pravega kota, vendar manjši od ravnega kota. Njegova stopinjska mera se giblje od 90 do 180 stopinj.

Ta element je mogoče razdeliti na različne vrste obravnavanih figur, razen razširjene.

Ne glede na to, kako je nerotirani kot prelomljen, se vedno uporablja osnovni aksiom planimetrije - "glavna lastnost merjenja".

pri delitev kota z enim žarkom ali več, je stopinjska mera dane figure enaka vsoti mer kotov, na katere je razdeljena.

Na stopnji 7. razreda se vrste kotov po velikosti končajo. Da bi povečali erudicijo, lahko dodamo, da obstajajo druge sorte, ki imajo meritev stopinj več kot 180. Imenujejo se konveksne.

Številke na presečišču črt

Naslednji tipi kotov, s katerimi se učenci seznanijo, so elementi, ki nastanejo pri sekanju dveh premic. Številke, ki so postavljene druga nasproti druge, se imenujejo navpične. Njihova značilnost je, da so enakovredni.

Elemente, ki mejijo na isto črto, imenujemo sosednji. To pravi izrek, ki preslika njihovo lastnost Seštevek sosednjih kotov znaša 180 stopinj.

Elementi v trikotniku

Če figuro obravnavamo kot element v trikotniku, potem kote delimo na notranje in zunanje. Trikotnik je omejen s tremi segmenti in je sestavljen iz treh oglišč. Koti, ki se nahajajo znotraj trikotnika na vsaki točki, imenovan interni.

Če vzamemo kateri koli notranji element na katerem koli oglišču in podaljšamo katero koli stran, potem se kot, ki nastane in meji na notranjega, imenuje zunanji. Ta par elementov ima naslednjo lastnost: njuna vsota je 180 stopinj.

Presečišče dveh ravnih črt

Presek črte

Ko se dve ravni črti sekata, nastanejo tudi koti, ki so običajno razdeljeni v parih. Vsak par elementov ima svoje ime. Videti je takole:

• notranje križno ležeče: ∟4 in ∟6, ∟3 in ∟5;
• notranje enostransko: ∟4 in ∟5, ∟3 in ∟6;
• ustrezne: ∟1 in ∟5, ∟2 in ∟6, ∟4 in ∟8, ∟3 in ∟7.

V primeru, ko sekanta seka dve premici, imajo vsi ti pari kotov določene lastnosti:

1. Notranje križno ležeče in ustrezne figure so med seboj enake.
2. Notranji enostranski elementi seštejejo do 180 stopinj.

Preučujemo kote v geometriji, njihove lastnosti

Vrste kotov v matematiki

Zaključek

V tem članku so predstavljene vse glavne vrste kotov, ki jih najdemo v planimetriji in se preučujejo v sedmem razredu. Pri vseh nadaljnjih predmetih so lastnosti, ki se nanašajo na vse obravnavane elemente, osnova za nadaljnji študij geometrije. Na primer, pri študiju se bo treba spomniti vseh lastnosti kotov, ki nastanejo na presečišču dveh vzporednih črt sekante. Pri preučevanju značilnosti trikotnikov se je treba spomniti, kaj so sosednji koti. Po prehodu na stereometrijo se bodo vse tridimenzionalne figure preučevale in gradile na podlagi planimetričnih figur.

Ta članek bo obravnaval eno od glavnih geometrijskih oblik - kot. Po splošnem uvodu v ta koncept se bomo osredotočili na določeno vrsto takšne figure. Ravni kot je pomemben koncept v geometriji in bo v središču tega članka.

Uvod v pojem geometrijskega kota

V geometriji obstaja vrsta predmetov, ki tvorijo osnovo vse znanosti. Kot se samo nanaša nanje in je določen s pojmom žarka, zato začnimo z njim.

Tudi preden nadaljujete z definicijo samega kota, se morate spomniti več enako pomembnih predmetov v geometriji - to je točka, ravna črta na ravnini in sama ravnina. Ravna črta je najpreprostejši geometrijski lik, ki nima ne začetka ne konca. Ravnina je površina, ki ima dve dimenziji. No, žarek (ali polpremica) je v geometriji del premice, ki ima začetek, nima pa konca.

Z uporabo teh pojmov lahko trdimo, da je kot geometrijski lik, ki v celoti leži v določeni ravnini in je sestavljen iz dveh neusklajenih žarkov s skupnim izhodiščem. Takšni žarki se imenujejo stranice kota, skupni začetek stranic pa je njegova konica.

Vrste kotov in geometrija

Vemo, da so koti lahko precej različni. Zato bo spodaj podana majhna klasifikacija, ki bo pomagala bolje razumeti vrste kotov in njihove glavne značilnosti. Torej, v geometriji obstaja več vrst kotov:

1. Pravi kot. Zanj je značilna vrednost 90 stopinj, kar pomeni, da so njegove stranice vedno pravokotne druga na drugo.
2. Oster kot. Ti koti vključujejo vse njihove predstavnike, katerih velikost je manjša od 90 stopinj.
3. Topi kot. Tu so lahko tudi vsi koti z vrednostjo od 90 do 180 stopinj.
4. Razširjen kotiček. Ima velikost strogo 180 stopinj, navzven pa njegove stranice tvorijo eno ravno črto.

Koncept ravnega kota

Zdaj pa si podrobneje oglejmo razvit kot. To je v primeru, ko obe strani ležita na isti premici, kar je jasno razvidno iz spodnje slike. To pomeni, da lahko z gotovostjo trdimo, da je ena od njegovih strani pravzaprav nadaljevanje druge.

Vredno si je zapomniti dejstvo, da lahko tak kot vedno razdelimo z žarkom, ki izhaja iz njegovega vrha. Kot rezultat dobimo dva kota, ki ju v geometriji imenujemo sosednja.

Tudi razviti kot ima več značilnosti. Če želite govoriti o prvem od njih, se morate spomniti pojma "simetrala kota". Spomnimo se, da je to žarek, ki vsak kot deli strogo na polovico. Kar zadeva ravni kot, ga simetrala deli tako, da nastaneta dva prava kota po 90 stopinj. To je matematično zelo enostavno izračunati: 180˚ (stopinja izravnanega kota): 2 = 90˚.

Če pa razdelimo razviti kot s povsem poljubnim žarkom, dobimo vsled tega vedno dva kota, od katerih bo eden oster, drugi pa top.

Lastnosti ravnega kota

Primerno bo razmisliti o tem kotu in združiti vse njegove glavne lastnosti, ki smo jih naredili na tem seznamu:

1. Stranice ravnega kota so protivzporedne in tvorijo ravno črto.
2. Vrednost razvitega kota je vedno 180˚.
3. Dva sosednja kota skupaj vedno tvorita ravni kot.
4. Polni kot, ki znaša 360˚, je sestavljen iz dveh razgrnjenih in je enak njuni vsoti.
5. Pol izravnanega kota je pravi kot.

Torej, če poznamo vse te značilnosti te vrste kota, jih lahko uporabimo za reševanje številnih geometrijskih problemov.

Težave z ravnimi vogali

Da bi razumeli, ali ste obvladali koncept ravnega kota, poskusite odgovoriti na nekaj naslednjih vprašanj.

1. Kaj je ravni kot, če njegove stranice tvorijo navpičnico?
2. Ali bosta dva kota sosednja, če je magnituda prvega 72˚, drugega pa 118˚?
3. Če je polni kot sestavljen iz dveh ravnih kotov, koliko pravih kotov ima?
4. Ravni kot je z žarkom razdeljen na dva takšna kota, da sta njuni stopinjski meri v razmerju 1:4. Izračunajte nastale kote.

Rešitve in odgovori:

1. Ne glede na to, kako se ravni kot nahaja, je po definiciji vedno enak 180˚.
2. Sosednji vogali imajo eno skupno stranico. Zato morate za izračun velikosti kota, ki ga sestavijo, samo dodati vrednost njihovih stopinjskih mer. Torej, 72 +118 = 190. Toda po definiciji je ravni kot 180˚, kar pomeni, da dva dana kota ne moreta biti sosednja.
3. Ravni kot vsebuje dva prava kota. In ker sta v polni dve razporejeni, to pomeni, da bodo v njej 4 ravne črte.
4. Če imenujemo želena kota a in b, potem naj bo x koeficient sorazmernosti zanje, kar pomeni, da je a \u003d x in s tem b \u003d 4x. Ravni kot v stopinjah je 180˚. In glede na njegove lastnosti, da je stopinjska mera kota vedno enaka vsoti stopinjskih mer tistih kotov, na katere ga razdeli katerikoli poljuben žarek, ki poteka med njegovimi stranicami, lahko sklepamo, da je x + 4x = 180 ˚, kar pomeni 5x = 180˚. Od tu dobimo: x=a=36˚ in b = 4x = 144˚. Odgovor: 36˚ in 144˚.

Če vam je uspelo odgovoriti na vsa ta vprašanja brez pozivov in brez pokukanja v odgovore, potem ste pripravljeni na naslednjo lekcijo geometrije.

Začnimo z opredelitvijo, kaj je kot. Prvič, je Drugič, tvorita ga dva žarka, ki ju imenujemo stranice kota. Tretjič, slednji izhajajo iz ene točke, ki se imenuje vrh vogala. Na podlagi teh znakov lahko damo definicijo: kot je geometrijska figura, ki je sestavljena iz dveh žarkov (stranic), ki izhajata iz ene točke (vrh).

Razvrščeni so po stopnjah, po lokaciji med seboj in glede na krog. Začnimo z vrstami kotov glede na njihovo velikost.

Obstaja jih več sort. Oglejmo si podrobneje vsako vrsto.

Obstajajo samo štiri glavne vrste kotov - pravi, tupi, ostri in razviti koti.

Naravnost

Videti je takole:

Njegova stopinjska mera je vedno 90 o, z drugimi besedami, pravi kot je kot 90 stopinj. Imajo jih samo štirikotniki, kot sta kvadrat in pravokotnik.

Top

Videti je takole:

Stopinjska mera je vedno večja od 90 stopinj, vendar manjša od 180 stopinj. Lahko se pojavi v takšnih štirikotnikih, kot je romb, poljuben paralelogram, v poligonih.

Začinjeno

Videti je takole:

Stopinjska mera ostrega kota je vedno manjša od 90°. Pojavlja se v vseh štirikotnikih, razen v kvadratu in poljubnem paralelogramu.

razporejen

Razširjeni kot izgleda takole:

Ne pojavlja se v poligonih, a ni nič manj pomemben kot vsi ostali. Ravni kot je geometrijski lik, katerega stopinjska mera je vedno 180º. Lahko ga gradite tako, da iz njegovega vrha v katero koli smer potegnete enega ali več žarkov.

Obstaja več drugih sekundarnih vrst kotov. V šolah jih ne preučujejo, vendar je treba vedeti vsaj o njihovem obstoju. Obstaja samo pet sekundarnih vrst kotov:

1. Nič

Videti je takole:

Že samo ime kota pove o njegovi velikosti. Njegova notranja površina je 0 o, stranice pa ležijo ena na drugi, kot je prikazano na sliki.

2. Poševno

Poševno je lahko ravno, tupo, ostro in razvit kot. Njegov glavni pogoj je, da ne sme biti enak 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Konveksno

Konveksni so ničelni, pravi, tupi, ostri in razviti koti. Kot ste že razumeli, je stopinjska mera konveksnega kota od 0 o do 180 o.

4. Nekonveksno

Nekonveksni so koti s stopinjsko mero od 181 o do vključno 359 o.

5. Polno

Kot z merilom 360 stopinj je popoln kot.

To so vse vrste kotov glede na njihovo velikost. Zdaj razmislite o njihovih vrstah glede na lokacijo na ravnini glede na drugo.

1. Dodatno

To sta dva ostra kota, ki tvorita eno ravno črto, tj. njihova vsota je 90 o.

2. Sorodno

Sosednji koti nastanejo, če žarek narišemo v katero koli smer skozi razporejeno, natančneje skozi njen vrh. Njihova vsota je 180 o.

3. Navpično

Navpični koti nastanejo, ko se dve črti sekata. Njihove stopnje so enake.

Zdaj pa preidimo na vrste kotov, ki se nahajajo glede na krog. Samo dva sta: osrednji in vpisan.

1. Središče

Osrednji kot je tisti, katerega vrh je v središču kroga. Njegova stopinjska mera je enaka stopinjski meri manjšega loka, ki ga povezujejo stranice.

2. Vpisano

Včrtan kot je tisti, katerega vrh leži na krožnici in katere stranice jo sekajo. Njegova stopinjska mera je enaka polovici loka, na katerem leži.

Vse se vrti okoli vogalov. Zdaj veste, da poleg najbolj znanih - ostrih, tupih, ravnih in razporejenih - v geometriji obstaja še veliko drugih vrst.

Kot je geometrijski lik, ki je sestavljen iz dveh različnih žarkov, ki izhajata iz ene točke. V tem primeru se ti žarki imenujejo stranice kota. Točko, ki je začetek žarkov, imenujemo vrh kota. Na sliki lahko vidite vogal z vrhom v točki O, in stranke k in m.

Na straneh kota sta označeni točki A in C. Ta kot lahko označimo kot kot AOC. Na sredini mora biti ime točke, v kateri se nahaja oglišče kota. Obstajajo tudi druge oznake, kot O ali kot km. V geometriji se namesto besede kot pogosto piše posebna ikona.

Obrtni in neobrtni kot

Če obe strani kota ležita na isti ravni črti, potem se takšen kot imenuje razporejen kota. To pomeni, da je ena stran vogala nadaljevanje druge strani vogala. Spodnja slika prikazuje kot O.

Upoštevati je treba, da vsak kot deli ravnino na dva dela. Če vogal ni razširjen, se en del imenuje notranji del vogala, drugi pa zunanji del tega vogala. Spodnja slika prikazuje nesploščen kot in označena zunanja in notranja področja tega kota.

V primeru razvitega kota lahko katerega koli od obeh delov, na katere deli ravnino, štejemo za zunanje območje kota. Lahko govorimo o legi točke glede na kot. Točka lahko leži zunaj vogala (v zunanjem predelu), lahko je na eni od njegovih strani ali pa znotraj vogala (v notranjem predelu).

Na spodnji sliki leži točka A zunaj vogala O, točka B leži na eni strani vogala, točka C pa znotraj vogala.

Merjenje kota

Za merjenje kotov obstaja naprava, imenovana kotomer. Enota za kot je stopnja. Upoštevati je treba, da ima vsak kot določeno stopinjsko mero, ki je večja od nič.

Glede na stopinjsko mero delimo kote v več skupin.