Načelo možnih premikov. Splošna enačba dinamike Redukcija sil temelji na principu možnih pomikov

Slika 2.4

rešitev

Nadomestimo porazdeljeno obremenitev s koncentrirano silo Q = q∙DH. Ta sila deluje na sredini segmenta D.H.- na mestu L.

Moč F Razčlenimo ga na komponente in ga projiciramo na os: vodoravno Fxcosα in navpično F y sinα.

Slika 2.5

Za rešitev problema z uporabo principa možnih premikov je potrebno, da se struktura lahko premika in da je hkrati ena neznana reakcija v delovni enačbi. V podporo A reakcija je razdeljena na komponente X A, Y A.

Za določitev X A spremenite zasnovo podpore A tako da bistvo A se je lahko premikal samo vodoravno. Izrazimo premik točk konstrukcije z možnim vrtenjem dela CDB okoli točke B pod kotom δφ 1, del A.K.C. struktura se v tem primeru vrti okoli točke C V1— trenutno središče vrtenja (slika 2.5) pod kotom δφ 2 in premikajoče se točke L in C- volja

δS L = BL∙δφ 1 ;
δS C = BC∙δφ 1.

Istočasno

δS C = CC V1 ∙δφ 2

δφ 2 = δφ 1 ∙BC/CC V1.

Bolj priročno je sestaviti enačbo dela z delom momentov danih sil glede na središča vrtenja.

Q∙BL∙δφ 1 + F x ∙BH∙δφ 1 + F y ∙ED∙δφ 1 +
+ M∙δφ 2 — X A ∙AC V1 ∙δφ 2 = 0.

Reakcija Y A ne opravlja dela. Če preoblikujemo ta izraz, dobimo

Q∙(BH + DH/2)∙δφ 1 + F∙cosα∙BD∙δφ 1 +
+ F∙sinα∙DE∙δφ 1 + M∙δφ 1 ∙BC/CC V1 —
— X A ∙AC V1 ∙δφ 1 ∙BC/CC V1 = 0.

Zmanjšano za δφ 1, dobimo enačbo, iz katere zlahka najdemo X A.

Za določitev Y A podporna struktura A Spremenimo ga tako, da ob premikanju točke A le sila je delala Y A(Slika 2.6). Vzemimo možno premikanje dela strukture kot BDC vrtenje okoli fiksne točke B — δφ 3.

Slika 2.6

Za točko C δS C = BC∙δφ 3, trenutno središče vrtenja za del strukture A.K.C. bo točka C V2, in premikanje točke C se bo izrazilo.

Načelo možnih gibov: za ravnovesje mehanskega sistema z idealnimi zvezami je nujno in zadostno, da je vsota elementarnih del vseh aktivnih sil, ki delujejo nanj za kakršenkoli morebitni premik, enaka nič. ali v projekcijah: .

Načelo možnih premikov zagotavlja v splošni obliki pogoje ravnotežja za kateri koli mehanski sistem in zagotavlja splošno metodo za reševanje problemov statike.

Če ima sistem več prostostnih stopenj, se enačba principa možnih gibanj sestavi za vsako od neodvisnih gibanj posebej, tj. enačb bo toliko, kolikor prostostnih stopenj ima sistem.

Načelo možnih premikov je priročno v tem, da pri obravnavi sistema z idealnimi povezavami njihove reakcije niso upoštevane in je treba delovati samo z aktivnimi silami.

Načelo možnih premikov je oblikovano na naslednji način:

Da bi mater. sistem, za katerega veljajo idealne povezave, je v stanju mirovanja; nujno in zadostno je, da je vsota elementarnega dela aktivnih sil na morebitne premike točk v sistemu pozitivna.

Splošna enačba dinamike- ko se sistem v danem trenutku giblje z idealnimi povezavami, bo vsota elementarnih del vseh uporabljenih aktivnih sil in vseh vztrajnostnih sil na morebitno gibanje sistema enaka nič. Enačba uporablja načelo možnih premikov in D'Alembertovo načelo ter omogoča sestavljanje diferencialnih enačb gibanja katerega koli mehanskega sistema. Poda splošno metodo za reševanje dinamičnih problemov.

Zaporedje kompilacije:

a) na vsako telo delujejo določene sile, ki delujejo nanj, pogojno pa se uporabljajo tudi sile in momenti parov vztrajnostnih sil;

b) obvesti sistem o možnih premikih;

c) sestavite enačbe za princip možnih gibanj, pri čemer upoštevajte, da je sistem v ravnovesju.

Treba je opozoriti, da se lahko splošna enačba dinamike uporabi tudi za sisteme z neidealnimi povezavami, le da je treba v tem primeru reakcije neidealnih povezav, kot je sila trenja ali moment kotalnega trenja, uvrstiti med aktivne sile. .

Delo na možnem premiku tako aktivne kot vztrajnostne sile se išče na enak način kot elementarno delo na dejanskem premiku:

Možno delo sile: .

Možno delo trenutka (par sil): .

Posplošene koordinate mehanskega sistema so parametri q 1 , q 2 , ..., q S, neodvisni drug od drugega, poljubne dimenzije, ki enolično določajo položaj sistema v vsakem trenutku.

Število generaliziranih koordinat je enako S - število prostostnih stopenj mehanskega sistema. Položaj vsake ν-te točke sistema, to je njen radij vektor, v splošnem primeru lahko vedno izrazimo kot funkcijo posplošenih koordinat:

Splošna enačba dinamike v posplošenih koordinatah izgleda kot sistem S enačb, kot sledi:

……..………. ;

………..……. ;

tukaj je posplošena sila, ki ustreza posplošeni koordinati:

a je posplošena vztrajnostna sila, ki ustreza posplošeni koordinati:

Število medsebojno neodvisnih možnih premikov sistema imenujemo število prostostnih stopenj tega sistema. Na primer. žogica na ravnini se lahko giblje v katero koli smer, vendar morebitno njeno gibanje lahko dobimo kot geometrijsko vsoto dveh gibanj vzdolž dveh med seboj pravokotnih oseh. Prosto togo telo ima 6 prostostnih stopenj.

Generalizirane sile. Za vsako posplošeno koordinato lahko izračunamo ustrezno posplošeno silo Q k.

Izračun je narejen v skladu s tem pravilom.

Za določitev posplošene sile Q k, ki ustreza generalizirani koordinati q k, morate tej koordinati dati prirastek (povečajte koordinato za to količino), pri čemer pustite vse druge koordinate nespremenjene, izračunajte vsoto dela vseh sil, ki delujejo na sistem na ustreznih premikih točk, in jo delite s prirastkom koordinata:

kje je premik jaz-tista točka sistema, pridobljena s spreminjanjem k-ta posplošena koordinata.

Posplošena sila je določena z uporabo elementarnega dela. Zato lahko to silo izračunamo drugače:

In ker pride do prirastka vektorja radija zaradi prirastka koordinate z drugimi konstantnimi koordinatami in časom t, lahko relacijo opredelimo kot delni odvod. Potem

kjer so koordinate točk funkcije posplošenih koordinat (5).

Če je sistem konzervativen, to pomeni, da se gibanje dogaja pod vplivom potencialnih sil polja, katerih projekcije so , kjer so , koordinate točk pa so funkcije posplošenih koordinat, potem

Posplošena sila konservativnega sistema je delni odvod potencialne energije vzdolž ustrezne posplošene koordinate z znakom minus.

Seveda je treba pri izračunu te posplošene sile potencialno energijo določiti kot funkcijo posplošenih koordinat

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Opombe.

najprej Pri izračunu posplošenih reakcijskih sil idealne povezave niso upoštevane.

drugič Razsežnost posplošene sile je odvisna od razsežnosti posplošene koordinate.

Lagrangeove enačbe 2. vrste so izpeljane iz splošne enačbe dinamike v posplošenih koordinatah. Število enačb ustreza številu prostostnih stopenj:

Za sestavljanje Lagrangeove enačbe 2. vrste so izbrane posplošene koordinate in najdene posplošene hitrosti . Ugotovljena je kinetična energija sistema, ki je funkcija posplošenih hitrosti , in v nekaterih primerih posplošene koordinate. Izvedemo operacije diferenciacije kinetične energije, ki jo podajajo leve strani Lagrangeovih enačb, dobljene izraze enačimo s posplošenimi silami, za ugotavljanje katerih se poleg formul (26) pri reševanju problemov pogosto uporabljajo:

V števcu na desni strani formule je vsota elementarnih del vseh aktivnih sil na možni premik sistema, ki ustreza variaciji i-te generalizirane koordinate - . Pri tem morebitnem gibanju se vse druge posplošene koordinate ne spremenijo. Nastale enačbe so diferencialne enačbe gibanja mehanskega sistema z S stopnje svobode.

Nujno in zadostno je, da je vsota dela, vseh aktivnih sil, ki delujejo na sistem za morebitno gibanje sistema, enaka nič.

Število enačb, ki jih je mogoče sestaviti za mehanski sistem na podlagi načela možnih pomikov, je enako številu prostostnih stopenj prav tega mehanskega sistema.

Literatura

• Targ S. M. Kratek tečaj teoretične mehanike. Učbenik za visoke šole - 10. izd., prenov. in dodatno - M.: Višje. šola, 1986.- 416 str., ilustr.
• Osnovni tečaj teoretične mehanike (prvi del) N. N. Buchgolts, Založba Nauka, Glavna redakcija fizikalne in matematične literature, Moskva, 1972, 468 str.

Fundacija Wikimedia. 2010.

Oglejte si, kaj je "Načelo možnih premikov" v drugih slovarjih:

načelo možnih gibanj

Eno od variacijskih načel mehanike, ki določa splošni pogoj za mehansko ravnovesje. sistemi. Po V. p.p., za mehansko ravnovesje. sistemi z idealnimi povezavami (glej MEHANSKE POVEZAVE) je potrebno in zadostno, da je vsota dela dAi... ... Fizična enciklopedija

Veliki enciklopedični slovar

NAČELO MOŽNIH GIBANJ, za ravnovesje mehanskega sistema je nujno in zadostno, da je vsota del vseh sil, ki delujejo na sistem za morebitno gibanje sistema enaka nič. Načelo možnih premikov se uporablja, ko... ... enciklopedični slovar

Eno od variacijskih načel mehanike (glej Variacijska načela mehanike), ki določa splošni pogoj za ravnovesje mehanskega sistema. Po V. p.p., za ravnovesje mehanskega sistema z idealnimi povezavami (glej Povezave ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Načelo virtualne hitrosti, diferencialno variacijsko načelo klasične mehanike, izraža najbolj splošne pogoje ravnovesja mehanskih sistemov, omejenih z idealnimi povezavami. Po V. p. p. mehan. sistem je v ravnovesju... Matematična enciklopedija

Za ravnotežje mehanskega sistema je nujno in zadostno, da je vsota dela vseh sil, ki delujejo na sistem za morebitno gibanje sistema, enaka nič. Načelo možnih premikov se uporablja pri preučevanju ravnotežnih pogojev... ... enciklopedični slovar

Za mehansko ravnovesje. Za sistem je nujno in zadostno, da je vsota dela vseh sil, ki delujejo na sistem za morebitno gibanje sistema enaka nič. V. p. p. se uporablja pri preučevanju ravnotežnih pogojev kompleksnih mehanskih sistemov. sistemi..... Naravoslovje. enciklopedični slovar

princip virtualnih premikov- virtualiųjų poslinkių principas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. princip navideznega premika vok. Prinzip der virtuellen Verschiebungen, n rus. princip virtualnih premikov, m; princip možnih gibanj, m pranc. principe des … Fizikos terminų žodynas

Eden od variacijskih principov mehanike, glede na rum za dani razred mehanskih gibov v primerjavi med seboj. sistema, velja tisto, za katero fizično. velikost, imenovana delovanja, ima najmanjši (natančneje stacionarni)… … Fizična enciklopedija

knjige

• Teoretična mehanika. V 4 zvezkih. 3. zvezek: Dinamika. Analitična mehanika. Besedila predavanj. Jastreb Ministrstva za obrambo Ruske federacije, Bogomaz Irina Vladimirovna. Učbenik vsebuje dva dela enega predmeta teoretične mehanike: dinamiko in analitično mehaniko. Prvi del podrobno obravnava prvi in ​​drugi problem dinamike, tudi...

Vzpostavitev splošnega stanja ravnovesja mehanskega sistema. Po tem principu je za ravnotežje mehanskega sistema z idealnimi povezavami potrebno in zadostno, da je vsota navideznega dela $A\_i$ le aktivne sile pri morebitnem premiku sistema so bile enake nič (če bi sistem pripeljali v ta položaj z ničelnimi hitrostmi).

Število linearno neodvisnih ravnotežnih enačb, ki jih je mogoče sestaviti za mehanski sistem na podlagi načela možnih pomikov, je enako številu prostostnih stopenj tega mehanskega sistema.

Možno gibanja neprostega mehanskega sistema imenujemo namišljena infinitezimalna gibanja, ki jih v danem trenutku dovoljujejo omejitve, ki so naložene sistemu (v tem primeru se čas, ki je eksplicitno vključen v enačbe nestacionarnih omejitev, šteje za fiksnega). Imenujemo projekcije možnih pomikov na kartezične koordinatne osi variacije Kartezične koordinate.

Virtualno gibanja se imenujejo infinitezimalna gibanja, ki jih dovolijo povezave med "zamrznjenim časom". Tisti. razlikujejo se od možnih premikov le, če so povezave reonomne (izrecno odvisne od časa).

Če je na primer sistem podvržen $l$ holonomne reonomske povezave:

$f\_(\backslash alpha)(\backslash vec\; r,\; t)\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline(1,l)$

To so možna gibanja $\backslash Delta\; \backslash vec\; r$ so tiste, ki zadovoljujejo

$\backslash sum\_(i=1)^(N)\; \backslash frac(\backslash delni\; f\_(\backslash alpha))(\backslash delni\; \backslash vec(r))\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; \backslash vec(r)\; +\; \backslash frac(\backslash delni\; f\_(\backslash alpha\; ))(\backslash partial\; t)\; \backslash Delta\; t\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline(1,l)$

In virtualno $\backslash delta\; \backslash vec\; r$:

$\backslash sum\_(i=1)^(N)\; \backslash frac(\backslash delni\; f\_(\backslash alpha))(\backslash delni\; \backslash vec(r))\backslash delta\; \backslash vec(r)\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline(1\; ,l)$

Navidezna gibanja na splošno nimajo nobene zveze s procesom gibanja sistema - uvedena so samo zato, da bi identificirali razmerja sil, ki obstajajo v sistemu, in dosegli pogoje ravnovesja. Potrebna je majhna količina premika, da se reakcije idealnih povezav lahko štejejo za nespremenjene.

Napišite oceno o članku "Načelo možnih gibanj"

Literatura

• Buchgolts N. N. Osnovni tečaj teoretične mehanike. 1. del. 10. izd. - Sankt Peterburg: Lan, 2009. - 480 str. - ISBN 978-5-8114-0926-6.
• Targ S. M. Kratek tečaj teoretične mehanike: Učbenik za univerze. 18. izd. - M .: Višja šola, 2010. - 416 str. - ISBN 978-5-06-006193-2.
• Markeev A.P. Teoretična mehanika: učbenik za univerze. - Izhevsk: Raziskovalni center "Regularna in kaotična dinamika", 2001. - 592 str. - ISBN 5-93972-088-9.

Odlomek, ki opisuje načelo možnih gibanj

– Nous y voila, [To je bistvo.] zakaj mi nisi nič povedal prej?
– V mozaični aktovki, ki jo hrani pod blazino. "Zdaj vem," je rekla princesa brez odgovora. »Ja, če je za mano greh, velik greh, potem je to sovraštvo do tega podlega,« je skoraj zavpila princesa, popolnoma spremenjena. - In zakaj se drgne tukaj? Ampak povedal ji bom vse, vse. Prišel bo čas!

Medtem ko so takšni pogovori potekali v sprejemni sobi in v princesinih sobah, je kočija s Pierrom (ki je bil poslan) in z Ano Mihajlovno (ki je ugotovila, da mora iti z njim) pripeljala na dvorišče grofa Bezukhija. Ko so kolesa kočije tiho zadonela po slami, razprostrti pod okni, se je Anna Mikhailovna obrnila k svojemu spremljevalcu s tolažilnimi besedami in se prepričala, da spi v kotu kočije, in ga je zbudila. Ko se je zbudil, je Pierre sledil Ani Mihajlovni iz kočije in takrat samo razmišljal o srečanju z umirajočim očetom, ki ga je čakalo. Opazil je, da se niso pripeljali do sprednjega, ampak do zadnjega vhoda. Medtem ko je stopal s stopnice, sta od vhoda v senco zidu naglo zbežala dva človeka v meščanskih oblačilih. Ko se je ustavil, je Pierre v sencah hiše na obeh straneh videl še več podobnih ljudi. Toda niti Anna Mikhailovna, niti lakaj niti kočijaž, ki si ni mogel pomagati, da ne bi videli teh ljudi, niso bili pozorni nanje. Zato je to tako potrebno, se je odločil Pierre in sledil Ani Mihajlovni. Ana Mihajlovna se je s hitrimi koraki povzpela po slabo osvetljenem ozkem kamnitem stopnišču in klicala Pierra, ki je zaostajal za njo, čeprav mu ni bilo jasno, zakaj sploh mora iti k grofu, še manj pa, zakaj mora iti gor. zadnje stopnice, vendar se je, sodeč po samozavesti in naglici Ane Mihajlovne, sam odločil, da je to potrebno. Na polovici stopnic so ju skoraj podrli nekateri ljudje z vedri, ki so, ropotajoč s škornji, tekli proti njim. Ti ljudje so se stisnili ob steno, da bi spustili Pierra in Ano Mihajlovno, in ob pogledu nanje niso pokazali niti najmanjšega presenečenja.
– Ali so tukaj polprinceske? « je Anna Mikhailovna vprašala enega od njih ...
»Tukaj,« je odgovoril lakaj s pogumnim, glasnim glasom, kot da je zdaj vse mogoče, »vrata so na levi, mati.«
"Mogoče me grof ni poklical," je rekel Pierre, ko je odšel na ploščad, "bi šel k sebi."
Anna Mikhailovna se je ustavila, da bi dohitela Pierra.
- Ah, mon ami! - rekla je z isto kretnjo kot zjutraj s sinom in se dotaknila njegove roke: - croyez, que je souffre autant, que vous, mais soyez homme. [Verjemi mi, ne trpim nič manj kot ti, ampak bodi moški.]
- Prav, grem? - je vprašal Pierre in ljubeče pogledal Ano Mihajlovno skozi očala.

Načelo možnih premikov omogoča reševanje najrazličnejših problemov o ravnotežju mehanskih sistemov - iskanje neznanih aktivnih sil, določanje reakcij povezav, iskanje ravnotežnih položajev mehanskega sistema pod vplivom uporabljene sistem sil. Naj to ponazorimo s konkretnimi primeri.

Primer 1. Poiščite velikost sile P, ki drži težke gladke prizme z masami v stanju ravnovesja. Poševni kot prizem je enak (slika 73).

rešitev. Uporabimo načelo možnih gibov. Sporočimo sistemu možni premik in izračunajmo možno delo aktivnih sil:

Možno delo, ki ga opravi gravitacija, je nič, saj je sila pravokotna na vektor elementarnega premika točke delovanja sile. Če tukaj zamenjamo vrednost in izraz enačimo z nič, dobimo:

Ker je , potem je izraz v oklepaju enak nič:

Od tu najdemo

Primer 2. Homogeni nosilec AB dolžine in teže P, obremenjen s parom sil z danim momentom M, je pritrjen, kot je prikazano na sl. 74 in miruje. Določite reakcijo palice BD, če z vodoravnico tvori kot a.

rešitev. Naloga se od prejšnje razlikuje po tem, da je tukaj treba najti reakcijo idealne povezave. Toda reakcija idealnih povezav ni vključena v enačbo dela, ki izraža princip možnih gibanj. V takih primerih je treba uporabiti načelo možnih premikov v povezavi z načelom sprostitve vezi.

V mislih zavrzimo palico BD in obravnavajmo njeno reakcijo S kot aktivno silo neznane velikosti. Po tem bomo sistem obvestili o možnem gibanju (pod pogojem, da je ta povezava popolnoma odsotna). To bo osnovno vrtenje nosilca AB pod kotom okoli osi tečaja A v eno ali drugo smer (na sliki 74 - v nasprotni smeri urinega kazalca). Elementarni premiki točk uporabe aktivnih sil in jim pripisana reakcija S so enaki:

Ustvarimo enačbo dela

Če izraz v oklepaju enačimo z nič, ugotovimo

Primer 3. Homogena palica OA je pritrjena z težo s pomočjo cilindričnega tečaja O in vzmeti AB (slika 75). Določite položaje, v katerih je palica lahko v ravnovesju, če je togost vzmeti enaka k, naravni dolžini vzmeti - in je točka B na isti navpičnici kot točka O.

rešitev. Na palico OA delujeta dve aktivni sili - lastna teža in prožnostna sila vzmeti, kjer je kot, ki ga tvori palica z navpičnico OB. Prekrivajoče povezave so idealne (v tem primeru je samo ena povezava - tečaj O).

Obvestimo sistem možnega gibanja - elementarno vrtenje palice okoli osi tečaja O za kot , izračunamo možno delo aktivnih sil in ga enačimo na nič:

Tukaj nadomestimo izraz za silo F in vrednost

po preprostih transformacijah dobimo naslednjo trigonometrično enačbo za določitev kota (p, ko je palica v ravnovesju:

Enačba določa tri vrednosti za kot:

Posledično ima palica tri ravnotežne položaje. Ker prvi dve ravnotežni poziciji obstajata, če je pogoj izpolnjen. Ravnotežje vedno obstaja.

Na koncu ugotavljamo, da je načelo možnih gibanj mogoče uporabiti tudi za sisteme z neidealnimi povezavami. Poudarek na idealnosti povezav je v formulaciji principa z enim samim namenom - pokazati, da je mogoče ravnotežne enačbe mehanskih sistemov sestaviti brez vključitve reakcij idealnih povezav, s čimer se poenostavijo izračuni.

Za sisteme z neidealnimi zvezami je treba načelo možnih pomikov preoblikovati takole: za ravnovesje mehanskega sistema z držalnimi zvezami, med katerimi so neidealne povezave, je potrebno in zadostno, da možno delo aktivnih sil in reakcij neidealne povezave enake nič. Vendar pa je mogoče storiti brez preoblikovanja principa, pogojno razvrstiti reakcije neidealnih povezav med aktivnimi silami.

Vprašanja za samotestiranje

1. Kaj je glavna značilnost neprostega mehanskega sistema v primerjavi s prostim?

2. Kaj je možno gibanje? Navedite primere.

3. Kako se določi spreminjanje koordinat točk v sistemu med njegovim morebitnim premikanjem (navedite tri načine)?

4. Kako so povezave razvrščene glede na vrsto njihovih enačb? Navedite primere omejujočih in nevsebujočih povezav, stacionarnih in nestacionarnih.

5. V katerem primeru se povezava imenuje idealna? nepopolna?

6. Podajte besedno formulacijo in matematični zapis principa možnih gibanj.

7. Kako je formuliran princip možnih premikov za sisteme, ki vsebujejo neidealne povezave?

8. Naštejte glavne vrste problemov, ki jih rešujemo po načelu možnih gibanj.

vaje

Z uporabo načela možnih premikov rešite naslednje probleme iz zbirke I.V. Meščerski 1981 izdaja: 46,1; 46,8; 46,17; 2,49; 4.53.