Izdelava Mercatorjeve projekcije. Skrivnost Mercatorjevega zemljevida

Na potovanju peš ali s kolesom je topografska karta nepogrešljiv spremljevalec raziskovalca. Ena od nalog kartografija(ena od disciplin takšne znanosti, kot je geodezija) je slika ukrivljene površine Zemlje (figura Zemlje) na ravnem zemljevidu. Za rešitev te težave morate izbrati elipsoid- oblika tridimenzionalnega telesa, približno ustrezna zemeljsko površje, datum— začetna točka koordinatnega sistema (središče elipsoida) in začetni poldnevnik (eng. glavni meridian) In projekcija- metoda upodabljanja površine tega telesa na ravnini.

Elipsoidi in datumi

IN drugačen čas za izdelavo zemljevidov so bile uporabljene različne možnosti za predstavitev zemeljske površine v obliki krogle ali elipsoida .

Predstavitev Zemlje kot krogle s polmerom 6378137 metrov (ali 6367600 metrov) vam omogoča, da določite koordinate katere koli točke na zemeljski površini v obliki dveh števil - zemljepisne širine $\phi$ in dolžine $\lambda$:

Za zemeljski elipsoid koncept, ki se uporablja kot (geografska) širina geodetska širina(Angleščina) geodetska širina) φ - kot, ki ga tvorita normala na površino zemeljskega elipsoida v dani točki in ravnina njegovega ekvatorja , in normala ne poteka skozi središče elipsoida brez ekvatorja in polov:

Vrednost zemljepisne dolžine zemljepisna dolžina) λ je odvisen od izbire začetnega (ničelnega) poldnevnika za elipsoid.
Kot parameter elipsoida se običajno uporablja polmer velike (ekvatorialne) pol-osi a in stiskanje f .
Stiskanje $f = ((a-b) \over a)$ določa sploščenost elipsoida na polih.

Eden prvih elipsoidov je bil Besselov elipsoid(Besselov elipsoid, Bessel 1841), ki ga je iz meritev leta 1841 določil Friedrich Bessel ( Friedrich Wilhelm Bessel), z dolžino velike pol osi a= 6377397,155 m in stiskanje f = 1:299,152815 . Trenutno se uporablja v Nemčiji, Avstriji, na Češkem ter v nekaterih azijskih in evropskih državah.

datum Potsdam (PD)

Prej za izdelavo zemljevidov v projekciji UTM rabljeno mednarodni elipsoid (Mednarodni elipsoid 1924, Hayfordov elipsoid) z dolžino velike (ekvatorialne) pol-osi a= 6378388 m in stiskanje f = 1:297,00 , ki ga je predlagal ameriški geodet John Fillmore Hayford ( leta 1910.

John Fillmore Hayford

datum ED 50 (Evropski datum 1950)

• elipsoid - Mednarodni elipsoid 1924
• Greenwiški glavni poldnevnik)

Za opravljanje del na celotnem ozemlju ZSSR od leta 1946 (Resolucija Sveta ministrov ZSSR z dne 7. aprila 1946 št. 760) je bil uporabljen geodetski koordinatni sistem SK-42 (Pulkovo 1942), temelji na Elipsoid Krasovskega z dolžino velike (ekvatorialne) pol-osi a= 6378245 m in stiskanje f= 1:298,3 . Ta referenčni elipsoid je poimenovan po sovjetskem astronomu in geodetu Feodoziju Nikolajeviču Krasovskem. Središče tega elipsoida je premaknjeno glede na središče mase Zemlje za približno 100 metrov, da se kar najbolje ujema z zemeljsko površino na evropskem ozemlju ZSSR.

datum Pulkovo-1942 (Pulkovo 1942)

• elipsoid - Krasovski ( Krassowsky 1940)
• glavni poldnevnik - Greenwiški poldnevnik ( Greenwiški glavni poldnevnik)

Trenutno (vključno s sistemom GPS) elipsoid se pogosto uporablja WGS84 (Svetovni geodetski sistem 1984) z dolžino glavne osi a= 6378137 m, stiskanje f = 1:298,257223563 in ekscentričnost e = 0,081819191 . Središče tega elipsoida sovpada s središčem mase Zemlje.

datum WGS84 (EPSG:4326)

• elipsoid - WGS84
• začetni poldnevnik - referenčni poldnevnik (IERS Reference Meridian (International Reference Meridian)), ki poteka 5,31″ ​​vzhodno od poldnevnika Greenwich. Od tega poldnevnika se meri zemljepisna dolžina v sistemu GPS(Angleščina) zemljepisna dolžina GPS)
  

Središče koordinatnega sistema WGS84 sovpada z zemeljskim masnim središčem, osjo Z koordinatni sistem je namenjen referenčni drog (Angleščina) Referenčni drog IERS (IRP) in sovpada z osjo vrtenja elipsoida, osjo X poteka vzdolž presečišča začetnega poldnevnika in ravnine, ki poteka skozi izhodiščno točko in je pravokotna na os Z, os Y pravokotno na os X.

Alternativa elipsoidu WGS84 je elipsoid PZ-90, ki se uporablja v sistemu GLONASS, z dolžino velike pol osi a= 6378136 m in stiskanje f = 1:298,25784 .

Datumske pretvorbe

Z najenostavnejšo možnostjo prehoda med datumi Pulkovo-1942 in WGS84 upoštevati je treba le premik središča elipsoida Krasovskega glede na središče elipsoida WGS84:
priporočljivo v GOST 51794-2001 —
dX= +00023,92 m; dY= –00141,27 m; dZ= –00080,91 m;
priporočljivo v Svetovni geodetski sistem 1984. NIMA, 2000 —
dX= +00028 m; dY= –00130 m; dZ= –00095 m.
Upoštevati je treba, da so zgoraj navedene povprečne vrednosti koeficientov, ki jih je treba za natančnejšo pretvorbo izračunati za vsako točko na zemeljski površini posebej. Na primer, za Poljsko, sosednjo Belorusijo, so ti parametri naslednji:
dX= +00023 m; dY= –00124 m; dZ= –00082 m (po podatkih )
Ta transformacija se imenuje triparametrski.
Z natančnejšo transformacijo ( preoblikovanje Molodenskega) je treba upoštevati razliko med oblikami elipsoidov, ki jih določata dva parametra:
da- razlika med dolžinami velikih polosi, df— razlika med kompresijskimi razmerji (razlika v sploščitvi). Njihove vrednosti so enake za GOST in NIMA:
da= – 00108 m; df= + 0,00480795 ⋅ 10 -4 m.

Pri prehodu med datumi ED 50 in WGS84 Parametri pretvorbe so:
da= – 00251 m; df= - 0,14192702 ⋅ 10 -4 m;
za Evropo dX= -87 m; dY= –96 m; dZ= –120 m (glede na Uporabniški priročnik o datumskih transformacijah, ki vključujejo WGS-84, 3. izdaja, 2003 ).

Nabor določenih petih parametrov ( dX, dY, dZ, da, df) lahko vnesete v navigator ali navigacijski program kot karakteristiko referenčne točke, ki jo uporablja uporabnik.

Projekcije

Način prikaza tridimenzionalne zemeljske površine na dvodimenzionalni karti določa izbrana projekcija zemljevida.
Najbolj priljubljena ( normalno) cilindrična Mercatorjeva projekcija in tako sorto kot prečna cilindrična Mercatorjeva projekcija (Prečni Mercator).

Za razliko od že stoletja znane običajne Mercatorjeve projekcije, ki je še posebej dobra za prikaz ekvatorialnih območij, se prečna projekcija razlikuje po tem, da je valj, na katerega se projicira površina planeta, zasukan za 90°:

Cilindrična Mercatorjeva projekcija

Sferična Mercatorjeva projekcija

Za sferično projekcijo veljajo naslednje formule za pretvorbo zemljepisne širine $\phi$ in dolžine $\lambda$ točke na površini zemeljske krogle (v radianih) v pravokotni koordinati $x$ in $y$ na zemljevidu (v metrih):
$x = (\lambda - (\lambda)_0) \cdot R$ ;
$y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot R =\ln ( (\tan( ((\phi \over 2) + (\pi \over 4) )) )) \cdot R$
(formula logaritemskega tangensa) ,
kjer je $R$ polmer krogle, $(\lambda)_0$ je zemljepisna dolžina začetnega poldnevnika.
Faktor merila $k$ predstavlja razmerje razdalje vzdolž mreže zemljevida. razdalja mreže) do krajevne (geodetske) razdalje (eng. geodetska razdalja):
$k = (1 \nad (\cos \phi))$.
Povratni prevod se izvaja z naslednjimi formulami:
$\lambda = (x \nad R) + (\lambda)_0 $;
$ \phi = (\pi \nad 2) - 2 \arctan(e^(-y \nad R)) $ .
Pomembna lastnost Mercator projekcije za navigacijo je, da linija rumbe(Angleščina) loksodrome) ali roksodrom (angl. loksodrom) je prikazan kot ravna črta.
Loksodrom je lok, ki seka meridiane pod enakim kotom, tj. pot s konstanto ( roksodromski) kot poti.
Kot proge, PU(Angleščina) naslov) je kot med severno smerjo poldnevnika na mestu merjenja in smerjo proge, merjen v smeri urinega kazalca od smeri proti geografskemu severu (0° se uporablja za označevanje smeri gibanja proti severu, 90° proti vzhod).
Loksodromi so spirale, ki naredijo neomejeno število obratov, ko se približujejo polom.

Vedeti je treba, da roksodrom ni najkrajša pot med dvema točkama − ortodroma, lok velik krog povezovanje teh točk .

Spletni Mercator

Različico Mercatorjeve sferične projekcije uporabljajo številne zemljevidne storitve, npr. OpenStreetMap, Google Maps, Bing Maps.

IN OpenStreetMap zemljevid sveta je kvadrat s koordinatami točk vzdolž osi x in l, ki leži med -20.037.508,34 in 20.037.508,34 m. Posledično takšen zemljevid ne prikazuje območij, ki ležijo severno od 85.051129° severne zemljepisne širine in južno od 85.051129° južne zemljepisne širine. Ta vrednost zemljepisne širine $\phi_(max)$ je rešitev enačbe:
$\phi_(max) = 2\arctan(e^\pi) — (\pi\nad 2) $ .
Kot vsak zemljevid, sestavljen v Mercatorjevi projekciji, je tudi zanj značilna popačenja območij, ki se najbolj jasno kažejo pri primerjavi Grenlandije in Avstralije, prikazanih na zemljevidu:

Pri risanju zemljevida v OpenStreetMap koordinate (geografsko širino in dolžino) na elipsoidu v sistemu WGS84 se projicirajo na ravnino zemljevida, kot da bi bile te koordinate definirane na krogli s polmerom R = a= 6.378.137 m(reprojekcija) - sferična predstavitev elipsoidnih koordinat (" sferični razvoj elipsoidnih koordinat"). Ta projekcija, imenovana Spletni Mercator) ustreza EPSG (European Petroleum Survey Group) koda 3857 (" WGS 84/Psevdo-Mercator«).
Ponovno projektiranje iz EPSG:4326 V EPSG:3857($\phi ,\lambda \rightarrow x,y $) se izvaja v skladu z zgornjimi formulami za običajno sferično Mercatorjevo projekcijo.
Na takem zemljevidu se smer proti severu vedno ujema s smerjo na zgornjo stran zemljevida, poldnevniki so med seboj enakomerno oddaljene navpične črte.
Toda taka projekcija, za razliko od sferične ali eliptične Mercatorjeve projekcije, ni p enokotna ( konformno), črte rumbe v njej niso ravne. Linija rumbe (loksodrom) je črta, ki seka meridiane pod stalnim kotom.
Prednost obravnavane projekcije je enostavnost izračuna.

V navedeni projekciji lahko zemljevid narišemo s pravokotno koordinatno mrežo (glede na vrednosti zemljepisne dolžine in širine).
Referenciranje zemljevida (primerjava pravokotnih koordinat na zemljevidu in geografskih koordinat na terenu) se lahko izvede z uporabo $N$ točk z znanimi koordinatami. Za to je potrebno rešiti sistem $2 N$ enačb oblike
$X = \rho_(\lambda) \lambda - X_0$, $Y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot \rho_(\phi) - Y_0 $.
Za reševanje sistema enačb in določanje vrednosti parametrov $X_0$ , $Y_0$ , $\rho_(\lambda)$ , $\rho_(\phi)$ lahko uporabite na primer matematični paket Mathcad.
Če želite preveriti pravilnost vezave zemljevida, lahko določite razmerje dolžin stranic pravokotnika zgrajene mreže. Če vodoravna in navpična stranica pravokotnika ustrezata enaki kotni dolžini v zemljepisni dolžini in širini, potem je razmerje med dolžino vodoravne stranice (vzporedni lok - mali krog) in dolžino navpične stranice (poldnevniški lok - veliki krog) ) mora biti enako $\cos \phi$, kjer je $ \phi$ geografska širina kraja.

Eliptična Mercatorjeva projekcija

Eliptična Mercatorjeva projekcija ( EPSG:3395 — WGS 84/Svet Mercator) uporabljajo na primer storitve Yandex zemljevidi,Vesoljske fotografije.
Za eliptično projekcijo veljajo naslednje formule za pretvorbo zemljepisne širine $\phi$ in dolžine $\lambda$ točke na površini zemeljske krogle (v radianih) v pravokotni koordinati $x$ in $y$ na zemljevidu (v metrih):
$x = (\lambda - (\lambda)_0) \cdot a$ ;
$y = a \ln (\tan ((\pi \nad 4) + (\phi \nad 2)) (((1 - e \sin (\phi)) \nad (1 + e \sin (\phi ))))^(e \več kot 2)) $ ,
kjer je $a$ dolžina velike pol osi elipsoida, $e$ je ekscentričnost elipsoida, $(\lambda)_0$ je zemljepisna dolžina začetnega poldnevnika.
Faktor lestvice $k$ je podan z:
$k = ((\sqrt ((1 - (e^2) (((\sin \phi))^2)))) \nad (\cos \phi)) $ .
Povratni prevod se izvaja z naslednjimi formulami:
$\lambda = (x \nad a) + (\lambda)_0 $;
$ \phi = (\pi \over 2) — 2 \arctan(e^(-y \over a) (((1 — e \sin (\phi)) \over (1 + e \sin (\phi) )))^(e \več kot 2)) $ .
Zemljepisna širina se izračuna po iterativni formuli, pri čemer je treba kot prvi približek uporabiti vrednost zemljepisne širine, izračunano po formuli za sferično Mercatorjevo projekcijo.

Prečna cilindrična Mercatorjeva projekcija

Dve najpogosteje uporabljeni vrsti prečne Mercatorjeve projekcije sta Gauss-Krugerjeva projekcija. Gauss-Krüger) (postala razširjena na ozemlju nekdanje ZSSR) in univerzalna prečna Mercatorjeva projekcija (eng. Univerzalni prečni Mercator (UTM)).
Pri obeh projekcijah valj, na katerega poteka projekcija, pokriva zemeljski elipsoid vzdolž poldnevnika, imenovanega centralni (aksialni) meridian ( angleščina osrednji poldnevnik, izvor zemljepisne dolžine) cone. Cona(Angleščina) območje) je odsek zemeljskega površja, ki ga omejujejo dva poldnevnika z razliko v zemljepisni dolžini 6°. Skupaj je 60 con. Območja v celoti pokrivajo zemeljsko površino med zemljepisnima širinama 80°S in 84°S.
Razlika med obema projekcijama je v tem, da je Gauss-Krugerjeva projekcija projekcija na tangentni valj, univerzalna transverzalna Mercatorjeva projekcija pa je projekcija na sekantni valj (da se izognemo popačenju na skrajnih meridianih):

Gauss-Krugerjeva projekcija

Gauss-Krugerjevo projekcijo sta razvila nemška znanstvenika Carl Gauss in Louis Kruger.
V tej projekciji so območja oštevilčena od zahoda proti vzhodu, začenši s poldnevnikom 0°. Na primer, cona 1 se razteza od poldnevnika 0° do meridiana 6°, njen osrednji meridian je 3°.
V sovjetskem sistemu postavitev in nomenklature topografskih zemljevidov se cone imenujejo stolpci in so oštevilčene od zahoda proti vzhodu, začenši s poldnevnikom 180°.
Na primer, Gomel in njegova okolica spadajo v cono 6 (stolpec 36 ) z osrednjim poldnevnikom 33°.
Cone/stolpci so razdeljeni z vzporednicami v vrstice (vsakih 4°), ki so označene z velikimi tiskanimi črkami. z latinskimi črkami od A prej V, začenši od ekvatorja do polov.
Na primer, Gomel in njegova okolica spadajo v serijo n. Tako je polno ime lista zemljevida v merilu 1: 1.000.000 (10 km v 1 cm), ki prikazuje Gomel, videti takole N-36. Ta list je razdeljen na liste zemljevidov večjega merila:


Za Belorusijo in sosednje države je urnik naslednji:

Za določitev položaja točke s pomočjo topografskega zemljevida je na zemljevidu uporabljena mreža pravokotnih koordinat X in Y, izraženo v kilometrih. Tvori ga sistem črt, vzporednih s sliko aksialnega poldnevnika cone (navpične mrežne črte, osi X) in pravokotno nanjo (vodoravne mrežne črte, osi Y).
Na zemljevidu v merilu 1:200.000 je razdalja med mrežnimi črtami 4 km; na zemljevidu merila 1:100.000 - 2 km.
Koordinate X je označen na navpičnih robovih lista zemljevida in izraža razdaljo do ekvatorja, koordinata Y je podpisana na vodoravnih robovih lista zemljevida in je sestavljena iz številke cone (prva ena ali dve števki vrednosti) in položaja točke glede na osrednji meridian cone (zadnje tri števke vrednosti, pri čemer je centralnemu poldnevniku območja dodeljena vrednost 500 km).


fragment lista N36-123 Sovjetski topografski zemljevid merilo 1:100.000

Na primer, na zgornjem fragmentu zemljevida je napis 6366 blizu navpične mrežne črte pomeni: 6 — 6. cona, 366 je razdalja v kilometrih od aksialnega poldnevnika, pogojno premaknjenega proti zahodu za 500 km, in napis 5804 blizu vodoravne mrežne črte označuje razdaljo od ekvatorja v kilometrih.

Univerzalna prečna Mercatorjeva projekcija

Univerzalni prečni Mercator ( UTM) je razvil inženirski zbor ameriške vojske ( Inženirski zbor vojske Združenih držav Amerike) v štiridesetih letih prejšnjega stoletja.

Za izdelavo zemljevidov v projekciji UTM prej je bil uporabljen elipsoid Mednarodni 1924— mreža UTM (mednarodno), in trenutno - elipsoid WGS84— mreža UTM (WGS84).
V tej projekciji so območja oštevilčena od zahoda proti vzhodu, začenši s poldnevnikom 180°.
Ta sistem uporabljajo oborožene sile ZDA in Nata. oborožene sile Združenih držav Amerike in Nata):

Vsako območje je razdeljeno na vodoravne pasove vsakih 8° zemljepisne širine. Te proge so označene s črkami, od juga proti severu, začenši s črko C za zemljepisno širino 80° S in konča s pismom X za zemljepisno širino 84° n. Pisma jaz in O izpuščeno, da ne bi prišlo do zamenjave s številkama 1 in 0. Vrstica, označena s črko X, zavzema 12° zemljepisne širine.
Območje v tej projekciji je označeno s številko. zemljepisno dolžino) in pismo (kanal zemljepisne širine, angl. območje zemljepisne širine):


Ta slika prikazuje dve nestandardni coni dolžine - cono 32V razširjeno na vso južno Norveško, območje 31V pa skrajšano na samo vodo.
Za Gomel in njegovo okolico je območje označeno kot 36U s centralnim poldnevnikom 33°:

Območje je pokrito s pravokotno (kilometrsko) mrežo (mreža po univerzalni prečni Mercatorjevi projekciji, UPPM):


Dolžina stranice mrežnega kvadrata na zgornjem izrezku zemljevida je 10 km.

Izhodišče koordinatnega sistema za vsako cono je določeno s presečiščem ekvatorja in osrednjega poldnevnika cone.
Koordinate E (Easting) na takšni mreži predstavlja razdaljo na zemljevidu od osrednjega poldnevnika v metrih (proti vzhodu - pozitivno, proti zahodu - negativno), ki se ji prišteje + 500.000 metrov (angl. False Easting
Koordinate n (Sever) na takšni mreži predstavlja razdaljo na zemljevidu od ekvatorja v metrih (na severu - pozitivno, na jugu - negativno) in v Južna polobla ta razdalja se odšteje od 10.000.000 metrov. False Northing), da se izognete pojavu negativnih vrednosti.
Na primer, za spodnji levi kot mrežnega kvadrata na zgornjem zemljevidu so koordinate zapisane kot
36U(oz 36+ ) 380000 5810000 ,
Kje 36 — zemljepisno dolžino, U — območje zemljepisne širine, 380000 — vzhod, 5810000 — proti severu.

Pretvori zemljepisno širino in dolžino v koordinate UTM ilustrirano s sliko:

p— obravnavana točka
F- točka presečišča navpičnice, spuščene na osrednji poldnevnik iz točke p, s centralnim meridianom (točka na centralnem meridianu z enakim proti severu, kot obravnavano točko p) . Zemljepisna širina točke F(Angleščina) širina odtisa) je označen kot $\phi ‘ $ .
O- ekvator
OZ- centralni meridian
LP- vzporedna točka p
ZP— meridian točke p
OL = k 0 S- meridianski lok od ekvatorja
OF = n — proti severu
FP = E — vzhod
GN— smer proti severu mreže zemljevida (angl. mreža sever)
C- kot konvergence meridianov (eng. konvergenca meridianov) - kot med smerjo pravega severa (eng. pravi sever) in severno od mreže zemljevida

Pri transformaciji pravokotnih koordinat ( X, Y) za Gauss-Krugerjevo projekcijo na elipsoid WGS84 na pravokotne koordinate ( n, E) za univerzalno transverzalno Mercatorjevo projekcijo na isti elipsoid WGS84 treba je upoštevati faktor obsega faktor lestvice) $k_0 = 0,9996 $ :
$ N = X \cdot k_0 $ ;
$ E = Y_0 + Y \cdot k_0 $,
kjer je $Y_0 = 500.000 $ metrov.

Navedeni faktor lestvice $k_0 = 0,9996 $ velja samo za osrednji meridian območja. Ko se odmikate od aksialnega poldnevnika, se spreminja faktor lestvice.

Opomba. Napaka pri branju koordinat z zemljevida ( natančnost georeferenciranja) običajno velja za ±0,2 mm. Prav to je natančnost naprav, ki se uporabljajo za izdelavo analognega zemljevida.

Geoid

Treba je opozoriti, da je natančnejši približek površine našega planeta geoid(Angleščina) geoid) je ekvipotencialna površina zemeljskega gravitacijskega polja, tj. površina geoida je povsod pravokotna na navpično črto. Toda gravitacijo določa vektorska vsota gravitacijske sile Zemlje in centrifugalne sile, povezane z vrtenjem Zemlje, zato gravitacijski potencial ne sovpada s čisto gravitacijskim potencialom.
Geoid sovpada s povprečno gladino Svetovnega oceana, glede na katerega se meri nadmorske višine.
Geoid ima kompleksno obliko, ki odraža porazdelitev mas znotraj Zemlje, zato se za reševanje geodetskih problemov geoid nadomesti z elipsoidom revolucije. Najsodobnejši matematični model geoida je EGM2008, ki je nadomestil popularni model EGM96.

Se nadaljuje.

Poglej ta zemljevid in povej, katero ozemlje je večje: Grenlandija, označena z belo, ali Avstralija, označena z oranžno? Zdi se, da je Grenlandija vsaj trikrat večja od Avstralije.

Toda, če pogledamo referenčno knjigo, smo presenečeni, ko preberemo, da je območje Avstralije 7,7 milijona km 2, območje Grenlandije pa le 2,1 milijona km 2. Grenlandija se torej zdi tako velika samo na našem zemljevidu, v resnici pa je manj kot Avstralija približno tri in pol krat. Če ta zemljevid primerjate z globusom, lahko vidite, da dlje kot je ozemlje od ekvatorja, bolj je raztegnjeno.

Zemljevid, ki si ga ogledujemo, je bil izdelan z uporabo projekcija zemljevida, ki ga je v 16. stoletju izumil flamski znanstvenik Gerardus Mercator. Živel je v dobi, ko so čez oceane gradili nove trgovske poti. Kolumb je leta 1492 odkril Ameriko in prvi obkroženje pod vodstvom Magellana potekala v letih 1519–1522 - ko je bil Mercator star 10 let. Odprta zemljišča je bilo treba narisati na zemljevide, za to pa se je bilo treba naučiti prikazati okroglo Zemljo na ravnem zemljevidu. In zemljevide je bilo treba narediti tako, da bi jih kapitani lahko uporabljali.

Kako kapitan uporablja zemljevid? Po njej začrta pot. Pomorščaki 13.–16. stoletja so uporabljali portolane - zemljevide, ki so upodabljali tolmun Mediteransko morje, kot tudi obale Evrope in Afrike onstran Gibraltarja. Takšne zemljevide so označevali z mrežo loksodromov – črt stalne smeri. Naj mora kapitan pluti po odprtem morju od enega otoka do drugega. Na zemljevid prilepi ravnilo, določi smer (na primer "na jug-jugovzhod") in krmarju da ukaz, naj drži to smer po kompasu.

Mercatorjeva ideja je bila ohraniti princip risanja poti z ravnilom in na zemljevidu sveta. To pomeni, da če držite konstantno smer na kompasu, bo pot na zemljevidu ravna. Toda kako to narediti? In tu kartografu priskoči na pomoč matematika. Mentalno razrežite globus na ozke trakove vzdolž meridianov, kot je prikazano na sliki. Vsak tak trak je mogoče razviti na ravnini brez večjega popačenja, nato pa se bo spremenil v trikotno figuro - "klin" z ukrivljenimi stranicami.

Vendar se izkaže, da je globus razrezan in zemljevid mora biti neprekinjen, brez rezov. Da bi to dosegli, vsak klin razdelimo na "skoraj kvadratke". To naredimo tako, da iz spodnje leve točke klina narišemo odsek pod kotom 45° na desno stran klina, od tam narišemo vodoravni rez na levo stran klina - odrežemo prvi kvadrat . Od točke, kjer se rez konča, ponovno narišemo segment pod kotom 45° na desno stran, nato vodoravnega na levo, odrežemo naslednji "skoraj kvadrat" in tako naprej. Če je bil prvotni klin zelo ozek, se bodo "skoraj kvadrati" le malo razlikovali od pravih kvadratov, saj bodo njihove stranice skoraj navpične.

Dokončajmo zadnje korake. Poravnajmo "skoraj kvadrate" v prave kvadratna oblika. Kot razumemo, lahko popačenja naredimo poljubno majhna z zmanjšanjem širine zagozd, v katere razrežemo globus. Postavimo v vrsto kvadratke, ki mejijo na ekvator na globusu. Nanje bomo po vrstnem redu postavili vse ostale kvadrate, ki jih bomo najprej raztegnili na velikost ekvatorialnih kvadratov. Rezultat je mreža kvadratov enake velikosti. Res je, v tem primeru vzporednice, ki so na zemljevidu enako razporejene, ne bodo več enakomerno razporejene na globusu. Konec koncev, dlje ko je bil prvotni kvadrat na globusu od ekvatorja, večji povečavi je bil izpostavljen, ko je bil prenesen na zemljevid.

Vendar pa bodo koti med smerema pri tej konstrukciji ostali nepopačeni, saj se je vsak kvadrat praktično le spremenil v merilu, smeri pa se ne spremenijo, ko sliko preprosto povečamo. In prav to si je želel Mercator, ko je prišel s svojo projekcijo! Kapitan lahko s pomočjo ravnila zariše svojo smer na zemljevid in vodi svojo ladjo po tej smeri. V tem primeru bo ladja plula vzdolž črte, ki poteka pod enakim kotom na vse meridiane. Ta vrstica se imenuje roksodrom .

Plavanje po loksodromu je zelo priročno, saj ne zahteva posebnih izračunov. Res je, roksodrom ni najkrajša črta med dvema točkama na zemeljskem površju. Tako najkrajšo črto lahko določimo tako, da med tema točkama potegnemo nit na globusu.

Umetnik Evgeniy Panenko

Mercatorjeva projekcija

Konformno cilindrično projekcijo je leta 1569 prvi predlagal in uporabil nizozemski kartograf Mercator.

Za izpeljavo formul za to projekcijo najprej določimo merilo z vzporednicami v najenostavnejši cilindrični projekciji v tako imenovani kvadratni projekciji. Pri tej projekciji meridiani in vzporedniki, narisani skozi enako število stopinj zemljepisne dolžine in širine, tvorijo mrežo kvadratov na zemljevidu, dolžine vzdolž vseh meridianov in ekvatorja pa se ohranijo (ekvidistančna projekcija).

Naj sta PC0A0 in PD0B0 (slika 1) meridiana na globusu s polmerom R z neskončno majhno razliko v zemljepisni dolžini in naj bodo ravne črte

riž. 1. Dva poldnevnika in dva vzporednika na globusu in na zemljevidu v cilindrični projekciji

CA in DB sta ustrezna poldnevnika na zemljevidu v kvadratni projekciji.

Potem bo infinitezimalni segment C0D0 poljubnega vzporednika z zemljepisno širino in polmerom r na globusu ustrezal infinitezimalnemu segmentu CD na zemljevidu in merilu vzdolž vzporednika

CD = AB = A0 B0 ,

Kjer je A0B0 lok ekvatorja.

Ker je razmerje lokov krogov enako razmerju njihovih polmerov, potem

Od OS 0Z", Kje OS 0Z"= Imamo

torej

Iz formule je razvidno, da se vzporedno merilo v kvadratni projekciji spreminja od enote do neskončnosti in je na ekvatorju enako enoti (pri = 0°), na poli točki pa neskončnosti (pri = 90°). Pol v kvadratni projekciji je predstavljen z ravnim odsekom, ki je enak dolžini ekvatorju.

Zdaj, da bi bilo merilo vzdolž meridianov enako merilu vzdolž vzporednikov (m = n), tj. da bi se premaknili iz kvadratne projekcije v konformno (od popačenih elips do krogov), je potrebno raztegniti meridiane. kvadratne projekcije v vsaki točki tolikokrat, kolikorkrat se povečajo vzporedniki te projekcije glede na ustrezne vzporednike globusa, torej za krat. Posledično je za preoblikovanje kvadratne kartografske mreže kot prvega približka v kartografsko mrežo konformne projekcije potrebno ustrezno pomnožiti segmente poldnevnika OA, AB, BC itd. (slika 2).

riž. 2. Preoblikovanje kvadratne projekcije v konformno cilindrično

z 1, 2, 3 itd., kjer so 1, 2, 3 zemljepisne širine razpolovnih točk teh segmentov. Potem bo meridianski segment OS1 v konformni projekciji, ki ustreza segmentu OS v kvadratni projekciji, predstavljen z izrazom

OS1 = OA1 + A1 B1, + B1C1 = OA 1 + AB 2 + B.C. 3 ,

In saj segmenti

OA = AB = BC,

OS 1 =OA (1 +2 +3).

Meridianski segment OS 1 bo določena čim natančneje, čim manjši so segmenti, ki jo sestavljajo, saj mora biti raztezanje meridianov neprekinjeno od ekvatorja do danega vzporednika.

Najbolj natančen rezultat bomo dobili, če bo meridianski segment D v Mercatorjevi projekciji sestavljen iz vsote neskončno velika količina neskončno majhne količine

,

Kje Dx- neskončno majhen odsek poldnevnika v kvadratni projekciji,

DD- ustrezni infinitezimalni segment poldnevnika v Mercatorjevi konformni projekciji. Toda zaradi konstantnosti lestvice vzdolž meridianov v kvadratni projekciji segment

Vsoto neskončno majhnih količin v višji matematiki imenujemo integral. Če vzamemo integral obeh strani enakosti, vzamemo vsoto neskončno majhnih vrednosti teh delov enakosti v določenih mejah.

Integral izražanja znotraj vrednosti zemljepisne širine od 0 do Zapišimo takole

Kot rezultat integracije na levi strani enakosti dobimo meridianski segment D; desna stran enakosti je integral tabele, ki je enak

Tako segment meridiana

,

kjer je C integracijska konstanta.

Vrednost C mora biti konstantna za vse zemljepisne širine, zato jo je mogoče zlahka določiti tako, da vzamemo = 0°. Pri = 0° vzporednik ustreza ekvatorju, za katerega je D = 0, tj.

torej

Če preidemo iz naravnega logaritma v decimalni in izrazimo D v glavnem merilu zemljevida in v centimetrih, bomo imeli končno delovno formulo za izračun odseka poldnevnika D v konformni cilindrični projekciji za kroglo

(29)

Kje Mod=0,4343.

Formula kaže, da je odsek poldnevnika D za pol ( = 90°) enak neskončnosti, to pomeni, da pol v tej projekciji ne bo upodobljen na zemljevidu.

Če vzamemo Zemljo kot elipsoid, bomo imeli formulo

(30)

kjer je a polmer ekvatorja zemeljskega elipsoida (izražen v metrih),

U je enaka vrednosti kot v formuli (22) enakokotne konične projekcije.

Razdalje med meridiani v konformni projekciji in v kvadratni projekciji so določene s formulo

Kje je izraženo v radianski meri. Če vzamemo Zemljo kot elipsoid in jo izrazimo v glavnem merilu zemljevida in v centimetrih, bomo imeli

Ta formula je pogosto zapisana v obliki

(31)

Kje U- razdalja od srednjega meridiana zemljevida do tistega, ki se določa,

°-razlika med dolžinama srednjega in določenega poldnevnika, izražena v stopinjah, °=57°,3.

Očitno bodo popačenja v konformni cilindrični projekciji na tangentni valj izražena s formulami

(32)

Za izračun odsekov poldnevnika D, ordinat y in skal v konformni cilindrični projekciji na sekantni valj bodo delovne formule imele obliko

(34)

(35)

(37)

kjer je r0 polmer vzporednega odseka z zemljepisno širino 0 na zemeljskem elipsoidu,

r-polmer vzporednika z zemljepisno širino na zemeljskem elipsoidu, s katerim je določeno merilo,

Glavno merilo zemljevida,

° - razlika v dolžini srednjega in določenega poldnevnika, izražena v stopinjah.

Mreža karte v Mercatorjevi projekciji

Za izdelavo kartografske mreže v Mercatorjevi projekciji in narisovanje referenčnih točk na zemljevidu, ki se sestavlja, je potrebno poznati pravokotne koordinate (poldnevniški segment D in ordinata y) presečišč meridianov in vzporednikov ter referenčnih točk.

Povprečna vrednost D za argument zemljepisne širine je izbrana iz posebnih tabel, ki jih je sestavil Hidrografski direktorat mornarice, vrednost y pa se izračuna po formuli (35).

Izhodišče koordinat na pomorskih kartah je vzeto kot točka presečišča srednjega poldnevnika in glavnega vzporednika morskega bazena, za katerega so karte izdelane. Ta vzporednik je vzporednik odseka in njegovo merilo je enako ena.

Če poznate pravokotne koordinate oglišč vogalov okvirja zemljevida, poiščite dimenzije strani tega okvira kot razliko v segmentih poldnevnika D za južni in severni vzporednik ter razliko v vrednostih y za zahodni in vzhodni meridian. Na podlagi ugotovljenih dimenzij stranic se zgradi pravokotnik (notranji okvir lista), ki bo osnova za izdelavo vmesnih meridianov in vzporednikov zemljevida ter za risanje referenčnih točk.

Meridiani in vzporedniki v Mercatorjevi projekciji so upodobljeni kot vzporedne in medsebojno pravokotne ravne črte, zato je za njihovo konstrukcijo dovolj določiti segmente poldnevnika D. Za točke presečišča vzporednikov zemljevida z osjo X in ordinato y za točke presečišča meridianov zemljevida z osjo Y. Ko najdete te vrednosti, določite razlike D - Dyu in y - y3 za navedene točke. Tukaj je Dyu odsek poldnevnika južnega vzporednika, uz pa je ordinata zahodnega poldnevnika. Te razlike so položene od vrha jugozahodnega vogala okvira vzdolž zahodne in južne strani, črte pa so narisane skozi točke odlaganja, vzporedne z južno oziroma stransko stranjo, ki bodo vzporedniki in meridiani zemljevida. .

Slika 3 Mreža zemljevida v konformni cilindrični projekciji (Mercator)

Na sl. Slika 3 prikazuje mrežo zemljevida v konformni cilindrični projekciji (na tangentni valj) za sliko globus. Vrednosti lestvice v tej projekciji so podane v tabeli 4.

Tabela 4

Lestvice v konformni cilindrični Mercatorjevi projekciji.

Ker je Mercatorjeva projekcija enakokotna in so meridiani v njej upodobljeni kot vzporedne ravne črte, ima eno izjemna lastnina: Črta, ki seka vse meridiane pod enakim kotom, je v tej projekciji prikazana kot ravna črta. Ta črta se imenuje roksodrom. Gibajoča se ladja, če s pomočjo kompasa drži isto smer, dejansko sledi roksodromu. Ta lastnost Mercatorjeve projekcije je privedla do njene široke uporabe za pomorske karte.

riž. 4. Ortodroma in roksodroma na karti v Mercatorjevi projekciji

Ortodroma in roksodroma

Z zemljevidom, izdelanim v Mercatorjevi projekciji, je enostavno in preprosto označiti pot ladje in določiti njeno stalno smer, to je smer, v kateri se mora premikati, da pride iz ene točke v drugo. Konstantno smer ladje določimo tako, da s kotomerjem izmerimo kot med premico, ki povezuje te točke na zemljevidu, in enim od poldnevnikov.

Vendar je treba opozoriti, da se z veliko razdaljo med točkama A in B (slika 4) loksodroma na krogli močno odmakne od ortodrome (najkrajša razdalja med tema točkama), ki je v projekciji

riž. 5. Ortodroma in roksodrom med New Yorkom in Moskvo na karti v Mercatorjevi projekciji.

Mercator je predstavljen z ukrivljeno črto. V tem primeru navigator usmerja ladjo ne po eni smeri, ampak po več, pri čemer spremeni smer gibanja na določenih točkah (a in b). Pot ladje bo na zemljevidu prikazana v obliki lomljenih črt tetiv, vpisanih v ortodromo. Glede na risbo ladja od točke A do točke A bo šel pod azimutom od točke A do točke b - pod azimutom, od točke b do končne točke B - pod azimutom.

Za jasnost lahko navedemo (slika 5), ​​da je dolžina ortodrome med New Yorkom in Moskvo 7507 km, loksodroma pa 8371 km, kar pomeni, da je razlika med njunima dolžinama 864 km. Največja razdalja med točkami loksodroma in ortodrome tukaj doseže 1650 km.

Druga prednost Mercatorjeve projekcije pri njeni uporabi za pomorske navigacijske karte je, da vam omogoča enostavno, z dovolj natančnostjo za prakso, določanje razdalj v navtičnih miljah z zemljevida, ne da bi se zatekli k izdelavi posebnih lestvic, ampak samo z delitvami (v stopinje ali minute), natisnjene na straneh okvirja kartice. Morska milja je enaka 1852 m, kar približno ustreza povprečni dolžini meridianskega loka ene minute.

Če je na primer iz zemljevida potrebno določiti razdaljo AB v navtičnih miljah (slika 42), potem, ko odstranite segment AB z raztopino kompasa, uporabite kompas na najbližjo stran okvira zemljevida, tako da sredina segmenta - točka C - je na povprečni zemljepisni širini točk A in B (v točki C1). Število poldnevniških minut, izračunano znotraj tega segmenta, bo izražalo razdaljo AB v navtičnih miljah (na sliki 6, segment A B = 215 milj).

Na koncu je treba opozoriti, da se pri sestavljanju topografskih in pregledno-topografskih zemljevidov različnih meril kot kartografsko gradivo pogosto uporabljajo različne pomorske karte, sestavljene v konformni cilindrični projekciji. Zato je poznavanje značilnosti te projekcije velikega praktičnega pomena.

riž. 6. Določanje razdalje AB v miljah z zemljevida v Mercatorjevi projekciji

telovadba

Izračunajte odsek poldnevnika D in ordinato "y" v konformni cilindrični projekciji na tangentni valj za točko c geografske koordinate= 30°, 35° (od povprečnega poldnevnika, vzetega kot os X) pri = 1:5000000. Elipsoid Krasovskega.

Konformna cilindrična projekcija - 5,0 od 5 na podlagi 1 glasovanja

Omogoča prekrivanje obrisov držav na drugih ozemljih ob upoštevanju kompenzacije za izkrivljanja Mercatorjeve projekcije. Ta projekcija je bila nekoč ustvarjena za navigacijske namene - za zagotavljanje točnosti medsebojni dogovor ozemlja vzdolž osi "sever-jug" in "zahod-vzhod". Vendar pa ima svojo pomanjkljivost - bližje polom, večje je popačenje. Tudi druge projekcije imajo resna popačenja. Zato naše dojemanje geografski zemljevid je tudi bistveno popačen - recimo Grenlandija na zemljevidu Mercatorjeve projekcije zavzema trikrat večjo površino od Avstralije, čeprav je v resnici 3,5-krat manjša (!). In bližje ekvatorju, manjša je relativna velikost držav.

Na splošno lahko na tej strani izvajate vse vrste zanimivih trikov in opazujete metamorfoze različne države v prekrivanju. Celo presenetljivo je, da se takšno spletno mesto ni pojavilo prej - osnovna ideja je tako dobra. Včasih dobite osupljive učinke, ki porušijo običajne vzorce. Druga možnost je, da se država vrti v krogu, pri čemer bodo upoštevane tudi kompenzacije projekcije.

Poglejmo nekaj učinkov.
Tukaj je na primer prekrivanje nekaterih evropskih držav na indonezijskih otokih. Poglejte, kako skromno velika je videti Francija na Kalimantanu (na desni). Češka se nahaja na južni Maleziji in Singapurju (sredina), Norveška pa na Sumatri na levi. V evropskem merilu zelo dolg, pravzaprav je le malo daljši od otoka Sumatra.

2. Kitajska v vzhodni Evraziji. Če ga popraviš zahodna meja na progi Talin - Praga, potem bo vzhod (Mandžurija) vzhodno od Novosibirska, polotok Liaodong pa nekje v regiji Astana. Hainan bo v osrednjem Iranu.

3. Avstralija v vzhodni Evraziji. Tu je najbolj jasno vidna kompenzacija Mercatorjeve projekcije: sega od Münchna do Čeljabinska, še bolj pa od juga proti severu. Tukaj lahko vidite, kakšna ogromna puščavska ozemlja so v Avstraliji - nič manj kot zamrznjena prostranstva Sibirije, saj je poseljena bolj ali manj le na jugovzhodu in ozek pas na zahodu.

4. Mehika o Evropi. Od francoskega Bresta skoraj do Nižni Novgorod. In mehiška Kalifornija se razteza od Normandije do Benetk.

5. Indonezija v vzhodni Evraziji. Dolžina otokov je enakovredna razdalji od Severne Irske do osrednjega Kazahstana, sam Kalimantan pa zlahka pokriva celotno baltsko regijo z ruskim severozahodom.

6. Združene države v vzhodni Evraziji. Iz Talina - več kot v Krasnojarsk!

7. Kazahstan o Evropi. Tudi na splošno zelo ugleden: od zahodne Francije skoraj do Harkova. Zajema večji del celinske Evrope.

8. Iran v severni Evropi: od norveških Lofotov do Kazana :)

9. Vietnam v evropski Rusiji. Navpično je enaka razdalji vlaka št. 7 Leningrad - Sevastopol, vodoravno pa tudi nič: od Moskve do Čeljabinska, in to v ukrivljeni smeri.

Druge zanimive primerjave.

10. Kamčatka in Velika Britanija. Je precej majhna: od rta Lopatka do Palane.

11. Estonija je kot tretjina Liberije, ki je načeloma majhna.

12. Avstrija, Madžarska, Belgija na Madagaskarju.

Poglejmo zdaj ruske ustreznice.

13. Rusija proti Avstraliji. Če je Perth v regiji Makhachkala, potem je Melbourne nekje blizu Barnaula. Trdna. Toda vseeno se Rusija razteza skoraj do Fidžija.

14. Rusija o Afriki. Kuban v regiji Južne Afrike (Novorossiysk kot Cape Town) - Kamčatka sega južno od Anatolije, približno tam, kjer je Antalya.

15. Rusija naprej Južna Amerika. Če je Tierra del Fuego približno tam, kjer je Čečenija, potem je Kamčatka v regiji Kolumbije, Čukotka pa severno od Panamskega prekopa. Ali vidite, kako gromozanska je naša država? Več kot cela celina.

16. Rusija naprej Severna Amerika. San Francisco je v regiji Krim - Chukotka je skoraj blizu Irske. Tukaj lahko mimogrede jasno vidite velikost oceanskih prostranstev severnega Atlantika.

17. Luksemburg na St. Petersburg. Ni tako majhen :)))

18. Na tem ozemlju (Bangladeš, označeno z modro) - živi 168 milijonov ljudi!!! Si lahko predstavljate gostoto prebivalstva? In ni udobno zmerno podnebje, in vlažna tropska džungla ter kanali Gangesa in Brahmaputre ...

19. In za sladico - čili ob transsibirski železnici. Kot lahko vidite, pokriva razdaljo od Moskve do Bajkala v ozkem pasu.

Tole je nekaj zanimivih primerjav :)