Korelasyon katsayısı istatistiklerde neyi gösterir? Korelasyon analizi

Korelasyon katsayısı (veya doğrusal korelasyon katsayısı) "r" (nadir durumlarda "ρ") olarak gösterilir ve iki veya daha fazla değişkenin doğrusal korelasyonunu (yani bazı değer ve yönlerle verilen ilişkiyi) karakterize eder. Katsayı değeri -1 ile +1 arasındadır, yani korelasyon hem pozitif hem de negatif olabilir. Korelasyon katsayısı -1 ise mükemmel bir negatif korelasyon vardır; Korelasyon katsayısı +1 ise mükemmel bir pozitif korelasyon vardır. Diğer durumlarda, iki değişken arasında pozitif bir korelasyon vardır, negatif bir korelasyon vardır veya hiç korelasyon yoktur. Korelasyon katsayısı, ücretsiz çevrimiçi hesap makineleri kullanılarak veya iyi bir grafik hesap makinesi kullanılarak manuel olarak hesaplanabilir.

Adımlar

Korelasyon katsayısının manuel olarak hesaplanması

    Veri topla. Korelasyon katsayısını hesaplamaya başlamadan önce verilen sayı çiftini inceleyin. Bunları dikey veya yatay olarak yerleştirilebilecek bir tabloya yazmak daha iyidir. Her satırı veya sütunu "x" ve "y" olarak etiketleyin.

    • Örneğin “x” ve “y” değişkenlerinin dört çift değeri (sayıları) verilmiştir. Aşağıdaki tabloyu oluşturabilirsiniz:
      • x || sen
      • 1 || 1
      • 2 || 3
      • 4 || 5
      • 5 || 7

  1. "x"in aritmetik ortalamasını hesaplayın. Bunu yapmak için tüm "x" değerlerini toplayın ve ardından elde edilen sonucu değer sayısına bölün.

    "y"nin aritmetik ortalamasını bulun. Bunu yapmak için benzer adımları izleyin, yani "y" nin tüm değerlerini toplayın ve ardından toplamı değer sayısına bölün.

    "x"in standart sapmasını hesaplayın. X ve y'nin ortalamalarını hesapladıktan sonra bu değişkenlerin standart sapmalarını bulun. Standart sapma aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

    "y"nin standart sapmasını hesaplayın.Önceki adımda açıklanan adımları izleyin. Aynı formülü kullanın, ancak "y" değerlerini yerine koyun.

    Korelasyon katsayısını hesaplamak için temel formülü yazın. Bu formül, her iki değişken için ortalamaları, standart sapmaları ve sayı (n) çiftlerini içerir. Korelasyon katsayısı "r" (nadir durumlarda "ρ") olarak gösterilir. Bu makalede Pearson korelasyon katsayısını hesaplamak için bir formül kullanılmaktadır.

    Her iki değişkenin ortalamasını ve standart sapmasını hesapladınız, böylece korelasyon katsayısını hesaplamak için formülü kullanabilirsiniz. "n"nin her iki değişken için de değer çiftlerinin sayısı olduğunu hatırlayın. Diğer miktarların değerleri daha önce hesaplanmıştı.

    • Örneğimizde hesaplamalar şu şekilde yazılacaktır:
    • ρ = (1 n − 1) Σ (x − μ x σ x) ∗ (y − μ y σ y) (\displaystyle \rho =\left((\frac (1)(n-1))\right) \Sigma \left((\frac (x-\mu _(x))(\sigma _(x)))\right)*\left((\frac (y-\mu _(y))(\sigma _(y))))\sağ))
    • ρ = (1 3) ∗ (\displaystyle \rho =\left((\frac (1)(3))\right)*)[ (1 − 3 1 , 83) ∗ (1 − 4 2 , 58) + (2 − 3 1 , 83) ∗ (3 − 4 2 , 58) (\displaystyle \left((\frac (1-3)( 1,83))\right)*\left((\frac (1-4)(2,58))\right)+\left((\frac (2-3)(1,83))\right) *\left((\ kesir (3-4)(2,58))\sağ))
      + (4 − 3 1 , 83) ∗ (5 − 4 2 , 58) + (5 − 3 1 , 83) ∗ (7 − 4 2 , 58) (\displaystyle +\left((\frac (4-3) )(1.83))\right)*\left((\frac (5-4)(2.58))\right)+\left((\frac (5-3)(1.83))\ right)*\left( (\frac (7-4)(2,58))\sağ))]
    • ρ = (1 3) ∗ (6 + 1 + 1 + 6 4 , 721) (\displaystyle \rho =\left((\frac (1)(3))\right)*\left((\frac (6) +1+1+6)(4,721))\sağ))
    • ρ = (1 3) ∗ 2 , 965 (\displaystyle \rho =\left((\frac (1)(3))\right)*2,965)
    • ρ = (2 , 965 3) (\displaystyle \rho =\left((\frac (2,965)(3))\right))
    • ρ = 0,988 (\displaystyle \rho =0,988)

  2. Sonucu analiz edin.Örneğimizde korelasyon katsayısı 0,988'dir. Bu değer bir şekilde bu sayı çiftleri kümesini karakterize eder. Değerin işaretine ve büyüklüğüne dikkat edin.

    • Korelasyon katsayısının değeri pozitif olduğundan “x” ve “y” değişkenleri arasında pozitif bir korelasyon vardır. Yani “x”in değeri arttıkça “y”nin değeri de artıyor.
    • Korelasyon katsayısının değeri +1'e çok yakın olduğundan “x” ve “y” değişkenlerinin değerleri birbiriyle oldukça ilişkilidir. Noktaları koordinat düzlemine çizerseniz, bunlar belirli bir düz çizgiye yakın konumlandırılacaktır.

    Korelasyon katsayısını hesaplamak için çevrimiçi hesap makinelerini kullanma

    1. Korelasyon katsayısını hesaplamak için internette bir hesap makinesi bulun. Bu katsayı istatistiklerde oldukça sık hesaplanır. Çok sayıda sayı çifti varsa korelasyon katsayısını manuel olarak hesaplamak neredeyse imkansızdır. Bu nedenle korelasyon katsayısını hesaplamak için çevrimiçi hesap makineleri vardır. Bir arama motoruna “korelasyon katsayısı hesaplayıcısı” yazın (tırnak işaretleri olmadan).

      Verileri girin. Verileri (sayı çiftlerini) doğru girdiğinizden emin olmak için lütfen web sitesindeki talimatları inceleyin. Uygun sayı çiftlerini girmek son derece önemlidir; aksi takdirde yanlış sonuç alırsınız. Farklı web sitelerinin farklı veri giriş formatlarına sahip olduğunu unutmayın.

      • Örneğin http://ncalculators.com/statistics/correlation-cothird-calculator.htm web sitesinde “x” ve “y” değişkenlerinin değerleri iki yatay çizgiye girilir. Değerler virgülle ayrılır. Yani örneğimizde “x” değerleri şu şekilde girilmektedir: 1,2,4,5, “y” değerleri ise şu şekilde: 1,3,5,7.
      • Başka bir site olan http://www.alcula.com/calculators/statistics/correlation-coactive/'de veriler dikey olarak girilir; bu durumda karşılık gelen sayı çiftlerini karıştırmayın.

    2. Korelasyon katsayısını hesaplayın. Verileri girdikten sonra sonucu almak için “Hesapla”, “Hesapla” veya benzeri tuşlara tıklamanız yeterlidir.

    Grafik hesap makinesi kullanma

    1. Verileri girin. Bir grafik hesap makinesi alın, istatistiksel moda geçin ve Düzenle komutunu seçin.

      • Farklı hesap makineleri farklı tuş vuruşlarına basılmasını gerektirir. Bu makalede Texas Instruments TI-86 hesap makinesi anlatılmaktadır.
      • İstatistiksel hesaplama moduna geçmek için – Stat'a (“+” tuşunun üstünde) basın. Daha sonra F2 – Düzenle'ye basın.

    2. Daha önce kaydedilen verileri silin. Hesap makinelerinin çoğu, girdiğiniz istatistikleri siz silinceye kadar saklar. Eski verilerin yeni verilerle karıştırılmasını önlemek için öncelikle depolanan bilgileri silin.

      • İmleci hareket ettirmek ve "xStat" başlığını vurgulamak için ok tuşlarını kullanın. Daha sonra xStat sütununa girilen tüm değerleri kaldırmak için Temizle ve Enter tuşuna basın.
      • "yStat" başlığını vurgulamak için ok tuşlarını kullanın. Daha sonra yStat sütununa girilen tüm değerleri temizlemek için Temizle ve Enter tuşuna basın.

    3. Başlangıç ​​verilerini girin.İmleci "xStat" başlığı altındaki ilk hücreye taşımak için ok tuşlarını kullanın. İlk değeri girin ve Enter tuşuna basın. Ekranın alt kısmında “xStat (1) = __” görüntülenecek, burada boşluk yerine girilen değer görünecektir. Enter tuşuna bastıktan sonra girilen değer tabloda görünecek ve imleç bir sonraki satıra geçecektir; bu, ekranın alt kısmında “xStat (2) = __” görüntüleyecektir.

      • "X" değişkeni için tüm değerleri girin.
      • X değişkeni için tüm değerleri girdikten sonra ok tuşlarını kullanarak yStat sütununa gidin ve y değişkeni için değerleri girin.
      • Tüm sayı çiftleri girildikten sonra ekranı temizlemek ve istatistiksel hesaplama modundan çıkmak için Çıkış'a basın.

Çeşitli işaretler birbiriyle ilişkili olabilir.

Aralarında 2 tür bağlantı vardır:

  • işlevsel;
  • korelasyon.

Korelasyon Rusçaya çevrilmesi bir bağlantıdan başka bir şey değildir.
Bir korelasyon bağlantısı durumunda, bir özelliğin çeşitli değerlerinin başka bir özelliğin çeşitli değerlerine uygunluğu izlenebilir. Örnek olarak aşağıdakiler arasında belirlenmiş korelasyonları ele alabiliriz:

  • balıkçıl, turna ve leylek gibi kuşların patilerinin, boyunlarının ve gagalarının uzunluğu;
  • vücut ısısı ve kalp atış hızı göstergeleri.

Çoğu biyomedikal proses için bu tür bir bağlantının varlığı istatistiksel olarak kanıtlanmıştır.

İstatistiksel yöntemler, özelliklerin birbirine bağımlılığının varlığı gerçeğini ortaya koymayı mümkün kılar. Bunun için özel hesaplamaların kullanılması korelasyon katsayılarının (bağlantı önlemleri) oluşturulmasına yol açar.

Bu tür hesaplamalara denir korelasyon analizi. Korelasyon katsayısı ile ifade edilen 2 değişkenin (rastgele değişkenler) birbirine bağımlılığının doğrulanması için yapılır.

Korelasyon yöntemini kullanmak çeşitli sorunları çözmenize olanak tanır:

  • analiz edilen parametreler arasındaki ilişkinin varlığını belirlemek;
  • Bir korelasyonun varlığına dair bilgi, tahmin problemlerini çözmemize olanak tanır. Dolayısıyla, bir başka ilişkili parametrenin davranışının analizine dayalı olarak bir parametrenin davranışını tahmin etmek için gerçek bir fırsat vardır;
  • birbirinden bağımsız özelliklerin seçimine dayalı sınıflandırma yapılması.

Değişkenler için:

  • sıralı ölçeğe ilişkin Spearman katsayısı hesaplanır;
  • aralık ölçeğiyle ilgili – Pearson katsayısı.

Bunlar en sık kullanılan parametrelerdir, bunların dışında başkaları da vardır.

Katsayının değeri pozitif veya negatif olarak ifade edilebilir.

Birinci durumda değişkenlerden birinin değeri arttıkça ikincisinde de artış gözlenmektedir. Katsayı negatifse desen tersine döner.

Korelasyon katsayısı ne işe yarar?

Birbirleriyle ilişkili rastgele değişkenler bu bağlantının tamamen farklı doğalarına sahip olabilir. Büyüklükler arasında doğrudan bir ilişkinin izlenebildiği durum mutlaka işlevsel olmayacaktır. Çoğu zaman, her iki nicelik de bir dizi farklı faktörden etkilenir; her iki nicelik için de ortak oldukları durumlarda, ilgili modellerin oluşumu gözlenir.

Bu, miktarlar arasında bir ilişkinin varlığına ilişkin istatistiksel olarak kanıtlanmış gerçeğin, gözlemlenen değişikliklerin nedeninin belirlendiğini doğrulamadığı anlamına gelir. Kural olarak araştırmacı birbiriyle ilişkili iki sonucun olduğu sonucuna varır.

Korelasyon katsayısının özellikleri

Bu istatistiksel karakteristik aşağıdaki özelliklere sahiptir:

  • katsayı değeri -1 ile +1 arasında değişir. Uç değerlere ne kadar yakınsa doğrusal parametreler arasındaki pozitif veya negatif ilişki o kadar güçlü olur. Sıfır değer durumunda özellikler arasında korelasyonun olmamasından bahsediyoruz;
  • Katsayının pozitif değeri, bir özelliğin değeri arttığında ikincisinde de bir artışın gözlemlendiğini gösterir (pozitif korelasyon);
  • Negatif değer - bir özelliğin değerinde bir artış olması durumunda, ikincisinde bir azalma gözlenir (negatif korelasyon);
  • gösterge değerinin uç noktalara (-1 veya +1) yaklaşması çok güçlü bir doğrusal ilişkinin varlığına işaret etmekte;
  • katsayı değeri değişmeden kalırken bir özelliğin göstergeleri değişebilir;
  • korelasyon katsayısı boyutsuz bir niceliktir;
  • Bir korelasyonun varlığı mutlaka bir neden-sonuç ilişkisini doğrulamaz.

Korelasyon katsayısı değerleri

Korelasyonun gücü, belirli bir sayısal değerin niteliksel bir özelliğe karşılık geldiği Cheldock ölçeğine başvurularak karakterize edilebilir.

Değer ile pozitif bir korelasyon olması durumunda:

  • 0-0,3 – korelasyon çok zayıf;
  • 0,3-0,5 – zayıf;
  • 0,5-0,7 – orta kuvvet;
  • 0,7-0,9 – yüksek;
  • 0,9-1 – çok yüksek korelasyon gücü.

Ölçek negatif korelasyon için de kullanılabilir. Bu durumda niteliksel özelliklerin yerini zıt özellikler alır.

Korelasyon gücünü yalnızca 3 dereceyle ayıran basitleştirilmiş Cheldock ölçeğini kullanabilirsiniz:

  • çok güçlü - göstergeler ±0,7 - ±1;
  • ortalama - göstergeler ±0,3 - ±0,699;
  • çok zayıf - göstergeler 0 - ±0,299.

Bu istatistiksel gösterge, yalnızca özellikler arasında doğrusal bir ilişkinin varlığı varsayımını test etmeye değil, aynı zamanda bunun gücünü de belirlemeye olanak tanır.

Korelasyon katsayısı türleri

Korelasyon katsayıları işaret ve değere göre sınıflandırılabilir:

  • pozitif;
  • hükümsüz;
  • olumsuz.

Analiz edilen değerlere bağlı olarak katsayı hesaplanır:

  • Pearson;
  • Mızrakçı;
  • Kendal;
  • Fechner imzalıyor;
  • uyumluluk veya çoklu sıra korelasyonu.

Pearson korelasyon katsayısı, değişkenlerin mutlak değerleri arasında doğrudan ilişkiler kurmak için kullanılır. Bu durumda her iki değişken serisinin dağılımlarının normale yaklaşması gerekir. Karşılaştırılan değişkenler aynı sayıda değişen özellik açısından farklılık göstermelidir. Değişkenleri temsil eden ölçeğin aralıklı veya oranlı bir ölçek olması gerekir.

  • korelasyon gücünün doğru bir şekilde belirlenmesi;
  • niceliksel özelliklerin karşılaştırılması.

Doğrusal Pearson korelasyon katsayısını kullanmanın birkaç dezavantajı vardır:

  • sayısal değerlerin aykırı olması durumunda yöntem kararsızdır;
  • Bu yöntemi kullanarak yalnızca doğrusal bir ilişki için korelasyon gücünü belirlemek mümkündür; değişkenlerin diğer türdeki karşılıklı ilişkileri için regresyon analizi yöntemleri kullanılmalıdır.

Sıra korelasyonu, fenomenler arasındaki ilişkinin istatistiksel olarak incelenmesine olanak tanıyan Spearman yöntemiyle belirlenir. Bu katsayı sayesinde, niceliksel olarak ifade edilen iki özellik serisinin gerçek paralellik derecesi hesaplanır ve ayrıca tanımlanan bağlantının sıkılığı da değerlendirilir.

  • korelasyon kuvvetinin değerinin kesin olarak belirlenmesini gerektirmez;
  • karşılaştırılan göstergelerin hem niceliksel hem de niteliksel anlamları vardır;
  • karakteristik serilerinin değerlerin açık değişkenleriyle karşılaştırılması.

Spearman'ın yöntemi parametrik olmayan bir analiz yöntemi olduğundan bir özelliğin dağılımının normalliğini kontrol etmeye gerek yoktur. Ayrıca farklı ölçeklerde ifade edilen göstergeleri karşılaştırmanıza olanak tanır. Örneğin, belirli bir kan hacmindeki kırmızı kan hücrelerinin sayısının karşılaştırılması (sürekli ölçek) ve puanlarla ifade edilen uzman değerlendirmesi (sıralı ölçek).

Karşılaştırılan miktarların değerleri arasındaki büyük fark, yöntemin etkinliğini olumsuz yönde etkilemektedir. Bu yöntem, ölçülen değerin eşit olmayan bir değer dağılımı ile karakterize edildiği durumlarda da etkili değildir.

Excel'de korelasyon katsayısının adım adım hesaplanması

Korelasyon katsayısının hesaplanması, bir dizi matematiksel işlemin sırayla gerçekleştirilmesini içerir.

Pearson katsayısını hesaplamak için yukarıdaki formül, bu işlemin manuel olarak yapılması durumunda ne kadar emek yoğun olduğunu gösterir.
Excel'in yeteneklerini kullanmak, katsayıyı bulma sürecini önemli ölçüde hızlandırır.

Basit bir eylem algoritmasını takip etmek yeterlidir:

  • temel bilgilerin girilmesi - x değerlerinden oluşan bir sütun ve y değerlerinden oluşan bir sütun;
  • araçlarda “Formüller” sekmesini seçin ve açın;
  • Açılan sekmede “Fx işlevi ekle” seçeneğini seçin;
  • Açılan iletişim kutusunda, 2 veri seti arasındaki korelasyon katsayısını hesaplamanıza olanak tanıyan “Corel” istatistiksel fonksiyonunu seçin;
  • Açılan pencerede verileri girin: dizi 1 – x sütununun değer aralığı (veriler seçilmelidir), dizi 2 – y sütununun değer aralığı;
  • “tamam” tuşuna basıldığında katsayı hesaplamasının sonucu “değer” satırında görünür;
  • 2 veri seti arasında bir korelasyonun varlığına ve bunun gücüne ilişkin sonuç.

Korelasyon katsayısı iki değişken arasındaki ilişkinin derecesidir. Hesaplanması iki veri seti arasında bir ilişkinin olup olmadığı konusunda fikir verir. Regresyondan farklı olarak korelasyon, miktarların değerlerini tahmin etmez. Ancak katsayıyı hesaplamak ön istatistiksel analizde önemli bir adımdır. Örneğin doğrudan yabancı yatırım düzeyi ile GSYİH büyüme oranı arasındaki korelasyon katsayısının yüksek olduğunu gördük. Bu bize refahın sağlanması için özellikle yabancı girişimcilere yönelik uygun bir iklimin yaratılması gerektiği fikrini veriyor. İlk bakışta bu kadar bariz bir sonuç değil!

Korelasyon ve Nedensellik

Belki de hayatımızda bu kadar sağlam yerleşmiş tek bir istatistik alanı yoktur. Korelasyon katsayısı sosyal bilginin her alanında kullanılmaktadır. Başlıca tehlikesi, insanları ikna etmek ve bazı sonuçlara inandırmak için yüksek değerlerinin sıklıkla spekülasyona tabi tutulmasıdır. Ancak aslında güçlü bir korelasyon, büyüklükler arasında hiçbir şekilde neden-sonuç ilişkisi olduğunu göstermez.

Korelasyon katsayısı: Pearson ve Spearman formülü

İki değişken arasındaki ilişkiyi karakterize eden birkaç temel gösterge vardır. Tarihsel olarak ilki Pearson doğrusal korelasyon katsayısıdır. Okulda öğretiliyor. Fr.'nin çalışmasına dayanarak K. Pearson ve J. Yule tarafından geliştirilmiştir. Galton. Bu katsayı, rasyonel olarak değişen rasyonel sayılar arasındaki ilişkiyi görmenizi sağlar. Her zaman -1'den büyük ve 1'den küçüktür. Negatif bir sayı ters orantılı bir ilişkiyi gösterir. Katsayı sıfır ise değişkenler arasında ilişki yoktur. Pozitif bir sayıya eşit - incelenen miktarlar arasında doğrudan orantılı bir ilişki vardır. Spearman'ın sıra korelasyon katsayısı, değişken değerlerden oluşan bir hiyerarşi oluşturarak hesaplamaları basitleştirmenize olanak tanır.

Değişkenler arasındaki ilişkiler

Korelasyon iki soruyu yanıtlamaya yardımcı olur. Öncelikle değişkenler arasındaki ilişkinin pozitif mi yoksa negatif mi olduğu. İkincisi, bağımlılığın ne kadar güçlü olduğu. Korelasyon analizi bu önemli bilgiyi sağlayabilecek güçlü bir araçtır. Ailenin gelir ve giderlerinin orantılı olarak düşüp arttığını görmek kolaydır. Bu ilişki olumlu olarak değerlendirilmektedir. Tam tersi, bir ürünün fiyatı arttığında ona olan talep azalır. Bu ilişkiye negatif denir. Korelasyon katsayısının değerleri -1 ile 1 arasında değişmektedir. Sıfır, çalışılan değerler arasında herhangi bir ilişkinin olmadığı anlamına gelir. Elde edilen gösterge uç değerlere ne kadar yakınsa ilişki o kadar güçlüdür (negatif veya pozitif). Bağımlılığın yokluğu -0,1'den 0,1'e kadar bir katsayı ile gösterilir. Böyle bir değerin yalnızca doğrusal bir ilişkinin olmadığını gösterdiğini anlamalısınız.

Uygulama özellikleri

Her iki göstergenin kullanımı belirli varsayımları içerir. Birincisi, güçlü bir bağlantının varlığı, bir miktarın diğerini belirlediği gerçeğini belirlemez. Her birini tanımlayan üçüncü bir miktar olabilir. İkinci olarak Pearson korelasyon katsayısının yüksek olması, çalışılan değişkenler arasında neden-sonuç ilişkisi olduğunu göstermez. Üçüncüsü, tamamen doğrusal bir ilişki gösterir. Korelasyon, cinsiyet veya favori renk gibi kategoriler yerine anlamlı niceliksel verileri (örneğin, barometrik basınç, hava sıcaklığı) değerlendirmek için kullanılabilir.

Çoklu korelasyon katsayısı

Pearson ve Spearman iki değişken arasındaki ilişkiyi incelediler. Ama bunlardan üç veya daha fazlası varsa ne yapmalı? Çoklu korelasyon katsayısının kurtarmaya geldiği yer burasıdır. Örneğin, gayri safi milli hasıla yalnızca doğrudan yabancı yatırımlardan değil, aynı zamanda hükümetin para ve maliye politikalarının yanı sıra ihracat düzeyinden de etkilenmektedir. Büyüme oranı ve GSYİH hacmi, bir dizi faktörün etkileşiminin sonucudur. Ancak çoklu korelasyon modelinin bir takım basitleştirmelere ve varsayımlara dayandığı anlaşılmalıdır. İlk olarak değerler arasındaki çoklu bağlantı hariç tutulmuştur. İkinci olarak, bağımlı ile onu etkileyen değişkenler arasındaki ilişkinin doğrusal olduğu kabul edilir.

Korelasyon ve regresyon analizinin kullanım alanları

Büyüklükler arasındaki ilişkileri bulmanın bu yöntemi istatistikte yaygın olarak kullanılmaktadır. En sık üç ana durumda başvurulur:

  1. İki değişkenin değerleri arasındaki neden-sonuç ilişkilerini test etmek. Sonuç olarak araştırmacı, doğrusal bir ilişki keşfetmeyi ve nicelikler arasındaki bu ilişkileri açıklayan bir formül türetmeyi umuyor. Ölçü birimleri farklı olabilir.
  2. Miktarlar arasındaki ilişkiyi kontrol etmek için. Bu durumda kimse hangi değişkenin bağımlı değişken olduğunu belirleyemez. Her iki miktarın değerini başka bir faktörün belirlediği ortaya çıkabilir.
  3. Denklemi türetmek için. Bu durumda, sayıları basitçe yerine koyabilir ve bilinmeyen değişkenin değerlerini öğrenebilirsiniz.

Sebep-sonuç ilişkisini arayan bir adam

Bilinç öyle bir şekilde tasarlanmıştır ki etrafımızda olup bitenleri mutlaka açıklamamız gerekir. İnsan her zaman yaşadığı dünyanın resmi ile aldığı bilgiler arasında bir bağlantı arar. Beyin çoğu zaman kaostan düzen yaratır. Sebep-sonuç ilişkisinin olmadığı yerde rahatlıkla görebilir. Bilim adamlarının bu eğilimin üstesinden gelmeyi özellikle öğrenmeleri gerekiyor. Veriler arasındaki ilişkileri objektif olarak değerlendirebilme yeteneği akademik kariyerde esastır.

Medya önyargı

Bir korelasyonun varlığının nasıl yanlış yorumlanabileceğini düşünelim. Kötü davranışları olan bir grup İngiliz öğrenciye ebeveynlerinin sigara içip içmediği soruldu. Daha sonra test gazetede yayınlandı. Sonuç, ebeveynlerin sigara içmesi ile çocuklarının suç işlemesi arasında güçlü bir ilişki olduğunu gösterdi. Hatta bu çalışmayı yapan profesör sigara paketlerinin üzerine bu konuda bir uyarı konulmasını bile önerdi. Ancak bu sonuçla ilgili bir takım sorunlar var. Birincisi, korelasyon büyüklüklerden hangisinin bağımsız olduğunu göstermez. Bu nedenle ebeveynlerin zararlı alışkanlığının çocukların itaatsizliğinden kaynaklandığını varsaymak oldukça mümkündür. İkincisi, her iki sorunun da üçüncü bir faktörden kaynaklanmadığını kesin olarak söylemek mümkün değildir. Örneğin düşük gelirli aileler. Araştırmayı yürüten profesörün ilk bulgularının duygusal yönünü de belirtmekte fayda var. Sigara içmenin ateşli bir karşıtıydı. Dolayısıyla araştırmasının sonuçlarını bu şekilde yorumlaması şaşırtıcı değildir.

sonuçlar

Korelasyonu iki değişken arasındaki neden-sonuç ilişkisi olarak yanlış yorumlamak, utanç verici araştırma hatalarına neden olabilir. Sorun bunun insan bilincinin temelinde yer almasıdır. Birçok pazarlama hilesi bu özelliğe dayanmaktadır. Sebep-sonuç ve korelasyon arasındaki farkı anlamak, hem günlük yaşamınızda hem de profesyonel kariyerinizde bilgileri rasyonel bir şekilde analiz etmenize olanak sağlar.

7.3.1. Korelasyon katsayıları ve belirleme.Ölçülebilir iletişim yakınlığı faktörler arasındaki odak(doğrudan veya ters), hesaplama:

1) iki faktör arasında doğrusal bir ilişkinin belirlenmesi gerekiyorsa, - çift ​​katsayısı korelasyonlar: 7.3.2 ve 7.3.3'te Bravais-Pearson'a göre eşleştirilmiş doğrusal korelasyon katsayısının hesaplanması işlemleri ( R) ve eşleştirilmiş Spearman sıra korelasyon katsayısı ( R);

2) İki faktör arasındaki ilişkiyi belirlemek istiyorsak ancak bu ilişki açıkça doğrusal değilse, o zaman korelasyon ilişkisi ;

3) bir faktör ile belirli bir dizi diğer faktör arasındaki ilişkiyi belirlemek istiyorsak, o zaman (veya aynı şey olan “çoklu korelasyon katsayısı”);

4) eğer bir faktörün, ilkini etkileyen faktörler grubuna dahil olan, yalnızca belirli bir diğeriyle bağlantısını izole etmek istiyorsak, bunun için diğer tüm faktörlerin etkisini değişmeden düşünmemiz gerekir - o zaman kısmi korelasyon katsayısı .

Herhangi bir korelasyon katsayısı (r, r) mutlak değerde 1'i aşamaz yani –1< r (r) < 1). Если получено значение 1, то это значит, что рассматриваемая зависимость не статистическая, а функциональная, если 0 - корреляции нет вообще.

Korelasyon katsayısının işareti ilişkinin yönünü belirler: “+” işareti (veya işaret yok) ilişkinin olduğu anlamına gelir dümdüz (pozitif), “-” işareti bağlantının olduğu anlamına gelir tersi (olumsuz). İşaretin bağlantının yakınlığıyla hiçbir ilgisi yok

Korelasyon katsayısı istatistiksel ilişkiyi karakterize eder. Ancak çoğu zaman başka bir bağımlılık türünü belirlemek gerekir, yani: belirli bir faktörün onunla ilişkili başka bir faktörün oluşumuna katkısı nedir. Bu tür bir bağımlılık, bir dereceye kadar geleneksel olarak karakterize edilir. determinasyon katsayısı (D ), formülle belirlenir D = r 2 ´100% (burada r, Bravais-Pearson korelasyon katsayısıdır, bkz. 7.3.2). Ölçümler gerçekleştirilmiş olsaydı sıra ölçeği (sıra ölçeği) o zaman güvenirliğe bir miktar zarar vererek, r değeri yerine formülde r değerini (Spearman korelasyon katsayısı, bkz. 7.3.3) kullanabilirsiniz.

Örneğin, B faktörünün A faktörüne bağımlılığının bir özelliği olarak, r = 0,8 veya r = –0,8 korelasyon katsayısını elde edersek, o zaman D = 0,8 2 ´100% = %64, yani yaklaşık 2 ½ 3. Sonuç olarak A faktörünün ve değişimlerinin B faktörünün oluşumuna katkısı yaklaşık 2'dir. ½ Genel olarak tüm faktörlerin toplam katkısından 3.

7.3.2. Bravais-Pearson korelasyon katsayısı. Bravais-Pearson korelasyon katsayısını hesaplama prosedürü ( R ) yalnızca ilişkinin normal frekans dağılımına sahip örnekler temelinde değerlendirildiği durumlarda kullanılabilir ( normal dağılım ) ve aralık veya oran ölçeklerinde yapılan ölçümlerle elde edilir. Bu korelasyon katsayısının hesaplama formülü şöyledir:



å ( X Ben - )( sen Ben - )

R = .

n×s x ×s y

Korelasyon katsayısı neyi gösterir? Öncelikle korelasyon katsayısının işareti ilişkinin yönünü gösterir, yani “-” işareti ilişkinin olduğunu gösterir. tersi, veya olumsuz(bir eğilim vardır: bir faktörün değerlerinde bir azalmayla, başka bir faktörün karşılık gelen değerleri artar ve bir artışla azalırlar) ve bir işaretin veya "+" işaretinin olmaması şunu gösterir: dümdüz, veya pozitif bağlantılar (bir eğilim vardır: bir faktörün değerlerinin artmasıyla diğerinin değerleri artar ve azaldıkça azalır). İkinci olarak korelasyon katsayısının mutlak (işaretten bağımsız) değeri bağlantının yakınlığını (kuvvetini) gösterir. Genel olarak kabul edilir (oldukça keyfi olarak): r değerleri için< 0,3 корреляция çok zayıf, çoğu zaman dikkate alınmaz, 0,3 £ r< 5 корреляция zayıf, 0,5 £ r'de< 0,7) - ortalama, 0,7 £ veya 0,9 £) - güçlü ve son olarak r > 0,9 için - çok güçlü. Bizim durumumuzda (r » 0,83) ilişki ters (negatif) ve güçlüdür.

Hatırlatalım: Korelasyon katsayısının değerleri –1 ila +1 aralığında olabilir. R değerinin bu sınırların dışına çıkması hesaplamalarda şunu gösterir: bir hata yapıldı . Eğer R= 1, bu, bağlantının istatistiksel değil işlevsel olduğu anlamına gelir; bu, sporda, biyolojide veya tıpta neredeyse hiçbir zaman gerçekleşmez. Her ne kadar az sayıda ölçümle, fonksiyonel bağlantının resmini veren rastgele bir değer seçimi mümkün olsa da, böyle bir durum daha az olasıdır, karşılaştırılan numunelerin hacmi (n), yani sayı ne kadar büyük olursa karşılaştırılan ölçüm çiftleri.

Hesaplama tablosu (Tablo 7.1) formüle göre oluşturulmuştur.

Tablo 7.1.

Bravais-Pearson hesaplamaları için hesaplama tablosu

x ben sen ben (X Ben - ) (X ben – ) 2 (sen Ben - ) (sen ben – ) 2 (X Ben - )( sen Ben - )
13,2 4,75 0,2 0,04 –0,35 0,1225 – 0,07
13,5 4,7 0,5 0,25 – 0,40 0,1600 – 0,20
12,7 5,10 – 0,3 0,09 0,00 0,0000 0,00
12,5 5,40 – 0,5 0,25 0,30 0,0900 – 0,15
13,0 5,10 0,0 0,00 0,00 0.0000 0,00
13,2 5,00 0,1 0,01 – 0,10 0,0100 – 0,02
13,1 5,00 0,1 0,01 – 0,10 0,0100 – 0,01
13,4 4,65 0,4 0,16 – 0,45 0,2025 – 0,18
12,4 5,60 – 0,6 0,36 0,50 0,2500 – 0,30
12,3 5,50 – 0,7 0,49 0,40 0,1600 – 0,28
12,7 5,20 –0,3 0,09 0,10 0,0100 – 0,03
åx i =137 =13,00 evet ben =56.1 =5.1 å( X ben – ) 2 = =1,78 å( sen ben – ) 2 = = 1,015 å( X Ben - )( sen ben – )= = –1,24

Çünkü S x = ï ï = ï ï» 0.42, bir

S y = ï ï» 0,32, R" –1,24ï (11'0.42'0.32) » –1,24ï 1,48 » –0,83 .

Başka bir deyişle, korelasyon katsayısının ne olduğunu çok kesin olarak bilmeniz gerekir. yapamamak mutlak değer olarak 1,0'ı aşar. Bu genellikle büyük hatalardan kaçınmanıza veya daha doğrusu hesaplamalar sırasında yapılan hataları bulup düzeltmenize olanak tanır.

7.3.3. Spearman korelasyon katsayısı. Daha önce de belirtildiği gibi, Bravais-Pearson korelasyon katsayısı (r) yalnızca analiz edilen faktörlerin frekans dağılımında normale yakın olduğu ve değişken değerlerin mutlaka oran ölçeğinde veya aralık ölçeğinde yapılan ölçümlerle elde edildiği durumlarda kullanılabilir. fiziksel birimlerle ifade edilirlerse bu olur. Diğer durumlarda Spearman korelasyon katsayısı bulunur ( R). Ancak bu katsayı Olabilmek izin verildiği (ve arzu edildiği) durumlarda uygulanır ! ) Bravais-Pearson korelasyon katsayısını uygulayın. Ancak Bravais-Pearson'a göre katsayıyı belirleme prosedürünün daha yüksek güç (“çözme yetenek"), Bu yüzden R olduğundan daha bilgilendirici R. Hatta harika N sapma R±%10 mertebesinde olabilir.

Tablo 7.2 Katsayı için hesaplama formülü

x i y i R x R y |d R | d R 2 Spearman korelasyonu

13,2 4,75 8,5 3,0 5,5 30,25 R= 1 – . Vos

13,5 4,70 11,0 2,0 9,0 81,00 örneğimizi kullanıyoruz

Hesaplama için 12,7 5,10 4,5 6,5 2,0 4,00 R, ama inşa edeceğiz

12,5 5,40 3,0 9,0 6,0 36,00 başka bir tablo (Tablo 7.2).

13,0 5,10 6,0 6,5 0,5 0,25 Değerleri yerine koyalım:

13,2 5,00 8,5 4,5 4,0 16,00 r = 1– =

13,1 5,00 7,0 4,5 2,5 6,25 =1– 2538:1320 » 1–1,9 » – 0,9.

13,4 4,65 10,0 1,0 9,0 81,00 Görüyoruz: R biraz olduğu ortaya çıktı

12,4 5,60 2,0 11,0 9,0 81,00 daha fazla R ama bu farklı

12,3 5,50 1,0 10,0 9,0 81,00 ki bu çok büyük değil. Sonuçta ne zaman

12,7 5,20 4,5 8,0 3,5 12,25 çok küçük N değerler R Ve R

åd R 2 = 423 çok yaklaşıktır, pek güvenilir değildir, gerçek değerleri büyük ölçüde değişebilir, dolayısıyla fark R Ve R 0,1 önemsizdir. GenellikleRanalog olarak kabul edilirR , ancak yalnızca daha az doğru. Ne zaman işaretler R Ve R bağlantının yönünü gösterir.

7.3.4. Korelasyon katsayılarının güvenilirliğinin uygulanması ve doğrulanması. Faktörler arasındaki korelasyonun derecesini belirlemek, ihtiyacımız olan faktörün gelişimini kontrol etmek için gereklidir: bunu yapmak için, onu önemli ölçüde etkileyen diğer faktörleri etkilememiz ve bunların etkililiğinin boyutunu bilmemiz gerekir. Hazır testleri geliştirmek veya seçmek için faktörler arasındaki ilişkiyi bilmek gerekir: Bir testin bilgi içeriği, sonuçlarının bizi ilgilendiren özelliğin veya özelliğin tezahürleriyle ilişkilendirilmesiyle belirlenir. Korelasyon bilgisi olmadan herhangi bir seçilim şekli imkansızdır.

Yukarıda sporda ve genel olarak pedagojik, tıbbi ve hatta ekonomik ve sosyolojik uygulamalarda neyin belirlendiği belirtilmişti. katkı , Hangi bir faktör diğerinin oluşumuna katkıda bulunur. Bunun nedeni, söz konusu faktör-sebebe ek olarak, hedef(bizi ilgilendiren faktör) hareket ederek, her birine veya diğerlerine ve diğerlerine katkıda bulunur.

Her faktör-neden katkısının ölçüsünün alınabileceğine inanılmaktadır. determinasyon katsayısı D ben = r 2 ´100%. Yani örneğin r = 0,6 ise, yani. A ve B faktörleri arasındaki ilişki ortalamadır, bu durumda D = 0,6 2 ´100% = %36. Dolayısıyla A faktörünün B faktörünün oluşumuna katkısının yaklaşık 1 olduğu bilindiğinde ½ 3, örneğin yaklaşık 1'ini bu faktörün hedeflenen gelişimine ayırabilirsiniz. ½ 3 eğitim süresi. Korelasyon katsayısı r = 0,4 ise, D = r 2 %100 = %16 veya yaklaşık olarak 1 ½ 6 iki kattan daha azdır ve bu mantığa göre, bu mantığa göre sadece 1 tanesi onun gelişimine ayrılmalıdır. ½ Eğitim süresinin 6. kısmı.

Çeşitli önemli faktörler için D i değerleri, aslında diğer faktörler üzerinde çalıştığımız iyileştirme uğruna, bizi ilgilendiren hedef faktör üzerindeki etkilerinin niceliksel ilişkisi hakkında yaklaşık bir fikir verir. (örneğin koşan bir uzun atlamacı, sprint hızını artırmak için çalışır, yani nasıl atlamada sonuçların oluşmasına en önemli katkıyı sağlayan faktördür).

tanımladığını hatırlayın D belki bunun yerine R koymak R Her ne kadar elbette tespitin doğruluğu daha düşük olsa da.

Temelli seçici Korelasyon katsayısı (örnek verilerden hesaplanmıştır), genel olarak ele alınan faktörler arasında bir bağlantı olduğu gerçeğinin güvenilirliği hakkında bir sonuca varılamaz. Geçerliliği değişen derecelerde böyle bir sonuca varmak için standart korelasyon anlamlılık kriterleri. Kullanımları faktörler arasında doğrusal bir ilişki olduğunu varsayar ve normal dağılım her birindeki frekanslar (seçici değil, genel temsili anlamına gelir).

Örneğin, Öğrenci t-testlerini kullanabilirsiniz. Onun dis-

eşit formül: tp= –2 , burada k, incelenen örnek korelasyon katsayısıdır, a N- karşılaştırılan numunelerin hacmi. Ortaya çıkan t kriterinin hesaplanan değeri (t p), seçtiğimiz anlamlılık düzeyinde ve serbestlik derecesi sayısı n = n – 2 olan tabloyla karşılaştırılır. Hesaplama işinden kurtulmak için özel bir masa örnek korelasyon katsayılarının kritik değerleri(yukarıya bakın), faktörler arasında güvenilir bir bağlantının varlığına karşılık gelir (dikkate alınarak) N Ve A).

Tablo 7.3.

Örnek korelasyon katsayısının güvenilirliği için sınır değerleri

Korelasyon katsayılarını belirlerken serbestlik derecesi sayısı 2'ye eşit alınır (ör. N= 2) Tabloda belirtilmiştir. 7,3 değerleri güven aralığının alt sınırına sahiptir doğru Korelasyon katsayısı 0'dır, yani bu tür değerlerle korelasyonun hiç meydana geldiği iddia edilemez. Örnek korelasyon katsayısının değeri tabloda belirtilenden yüksekse, uygun anlamlılık düzeyinde gerçek korelasyon katsayısının sıfıra eşit olmadığı varsayılabilir.

Ancak ele alınan faktörler arasında gerçek bir bağlantı olup olmadığı sorusunun cevabı başka bir soruya yer bırakıyor: gerçek anlam sonsuz büyük bir değer için gerçekte olabileceği gibi korelasyon katsayısı N? Herhangi bir değer için bu aralık R Ve N karşılaştırılabilir faktörler hesaplanabilir, ancak bir grafik sistemi kullanmak daha uygundur ( nomogram), burada her bir eğri çifti, üzerlerinde belirtilen bazıları için oluşturulmuştur N, aralığın sınırlarına karşılık gelir.

Pirinç. 7.4. Örnek korelasyon katsayısının güven sınırları (a = 0,05). Her eğri, üzerinde gösterilene karşılık gelir N.

Şekil 2'deki nomograma atıfta bulunarak. 7.4'te, örnek korelasyon katsayısının hesaplanan değerleri için a = 0,05'te gerçek korelasyon katsayısının değer aralığını belirlemek mümkündür.

7.3.5. Korelasyon ilişkileri.İkili korelasyon ise doğrusal olmayan, korelasyon katsayısını hesaplamak imkansızdır, belirlemek korelasyon ilişkileri . Zorunlu gereklilik: özellikler oran ölçeğinde veya aralık ölçeğinde ölçülmelidir. Faktörün korelasyon bağımlılığını hesaplayabilirsiniz. X faktörden e ve faktörün korelasyon bağımlılığı e faktörden X- Onlar farklı. Küçük hacim için N Faktörleri temsil eden dikkate alınan örneklerin korelasyon ilişkilerini hesaplamak için aşağıdaki formülleri kullanabilirsiniz:

korelasyon oranı h x½y= ;

korelasyon ilişkisi h y ½ x= .

Burada ve X ve Y örneklerinin aritmetik ortalamalarıdır ve - sınıf içi aritmetik ortalamalar. Yani, faktör X örneğindeki bu değerlerin aritmetik ortalaması aynı değerler eşleniktir Y faktörü örneğinde (örneğin, X faktöründe 4, 6 ve 5 değerleri varsa, Y faktörü örneğinde aynı değer 9 ile ilişkili 3 seçenek varsa, o zaman = (4+) 6+5) ½ 3 = 5). Buna göre X faktörü örneğinde aynı değerlerle ilişkilendirilen Y faktörü örneğindeki değerlerin aritmetik ortalamasıdır. Bir örnek verelim ve hesaplamayı yapalım:

X: 75 77 78 76 80 79 83 82 ; Y: 42 42 43 43 43 44 44 45 .

Tablo 7.4

Hesaplama tablosu

x ben sen ben xy x ben – x (x ben – x) 2 x ben – xy (x ben–xy) 2
–4 –1
–2
–3 –2
–1
–3
x=79 y=43 S=76 S=28

Bu nedenle, h y ½ x= "0,63.

7.3.6. Kısmi ve çoklu korelasyon katsayıları. 2 faktör arasındaki bağımlılığı değerlendirmek için korelasyon katsayılarını hesaplarken varsayılan olarak başka hiçbir faktörün bu bağımlılık üzerinde etkisinin olmadığını varsayarız. Gerçekte durum böyle değil. Dolayısıyla kilo ve boy arasındaki ilişki kalori alımından, sistematik fiziksel aktivite miktarından, kalıtımdan vb. çok önemli ölçüde etkilenir. Gerektiğinde 2 faktör arasındaki ilişki değerlendirilirken önemli etkiyi dikkate alın diğer faktörler ve aynı zamanda kendinizi onlardan izole edin, bunların değişmediğini düşünerek, hesaplamak özel (aksi takdirde - kısmi ) korelasyon katsayıları.

Örnek: Önemli ölçüde aktif olan 3 faktör X, Y ve Z arasındaki ikili bağımlılıkları değerlendirmemiz gerekiyor. R XY (Z) X ve Y faktörleri arasındaki kısmi korelasyon katsayısı (bu durumda Z faktörünün değerinin değişmediği kabul edilir), R ZX (Y) - Z ve X faktörleri arasındaki kısmi korelasyon katsayısı (sabit bir Y faktörü değeri ile), R YZ (X) - Y ve Z faktörleri arasındaki kısmi korelasyon katsayısı (sabit bir X faktörü değeriyle). Hesaplanan basit eşleştirilmiş (Bravais-Pearson) korelasyon katsayılarını kullanma R XY, R XZ ve R YZ, m

Kısmi korelasyon katsayılarını aşağıdaki formülleri kullanarak hesaplayabilirsiniz:

r XY – R XZ' R YZ R XZ – R XY' R ZY R ZY –r ZX' R YZ

R XY(Z) = ; R XZ(Y) = ; R ZY(X) =

Ö(1– R 2 XZ)(1– R 2 YZ) Ö(1– R 2 XY)(1– R 2 ZY) Ö(1– R 2 ZX)(1– R 2 YX)

Kısmi korelasyon katsayıları ise -1'den +1'e kadar değerler alabilmektedir. Bunların karesini alarak karşılık gelen bölümleri elde ederiz belirleme katsayıları , olarak da adlandırılır özel kesinlik önlemleri(100 ile çarpın ve %%) olarak ifade edin. Kısmi korelasyon katsayıları, 3. faktörün (sanki değişmemiş gibi) onlar üzerindeki etkisinin gücüne bağlı olan basit (tam) çift katsayılarından az çok farklıdır. Boş hipotez (H 0), yani X ve Y faktörleri arasında bir bağlantının (bağımlılığın) bulunmadığına ilişkin hipotez test edilir (toplam işaret sayısıyla) k) aşağıdaki formülü kullanarak t-testini hesaplayarak: T P = R XY (Z)' ( N–k) 1 ½ 2' (1– R 2 XY (Z)) –1 ½ 2 .

Eğer T R< T a n , hipotez kabul edilir (bağımlılığın olmadığını varsayarız), ancak eğer T P³ T a n - hipotez çürütüldü, yani bağımlılığın gerçekten gerçekleştiğine inanılıyor. T tablodan bir n alınır T-Öğrenci sınavı ve k- dikkate alınan faktörlerin sayısı (örneğimizde 3), serbestlik derecesi sayısı N= n – 3. Diğer kısmi korelasyon katsayıları da benzer şekilde kontrol edilir (bunun yerine formülde) R XY (Z) buna göre değiştirilir R XZ(Y) veya R ZY(X)).

Tablo 7.5

İlk veri

Ö (1 – 0,71 2)(1 – 0,71 2) Ö (1 – 0,5)(1 – 0,5)

X faktörünün birkaç faktörün (burada Y ve Z faktörleri) birleşik etkisine bağımlılığını değerlendirmek için, basit çift korelasyon katsayılarının değerlerini hesaplayın ve bunları kullanarak hesaplayın çoklu korelasyon katsayısı R X(YZ):

Ö R 2XY+ R 2 XZ – 2 R XY' R XZ' R YZ

R X(YZ) = .

Ö 1 – R 2YZ

7.2.7. Birliktelik katsayısı. arasındaki ilişkiyi ölçmek çoğu zaman gereklidir. kalite işaretler, yani niceliksel olarak temsil edilemeyen (karakterize edilemeyen) bu tür özellikler, ölçülemez. Örneğin görev, ilgili kişilerin spordaki uzmanlığı ile içe dönüklük (kişiliğin kendi öznel dünyasının fenomenlerine odaklanması) ve dışa dönüklük (kişiliğin kendi öznel dünyasına odaklanması) gibi kişisel özellikler arasında bir ilişki olup olmadığını bulmaktır. harici nesneler). Sembolleri tabloda sunuyoruz. 7.6.

Tablo 7.6.

X (yıl) Y (kez) Z (kez) X (yıl) Y (kez) Z (kez)
İşaret 1 İşaret 2 içe dönüklük Dışadönüklük
Spor Oyunları A B
Jimnastik İle D

Açıkçası burada elimizdeki rakamlar yalnızca dağıtım frekansları olabilir. Bu durumda hesaplayın birliktelik katsayısı (diğer adı " beklenmedik durum katsayısı "). En basit durumu ele alalım: iki özellik çifti arasındaki ilişkiye ve hesaplanan beklenmedik durum katsayısına denir. tetrakorik (tabloya bakınız).

Tablo 7.7.

bir =20 b = 15 A + B = 35
s =15 d=5 C + D = 20
A + C = 35 B + D = 20 N = 55

Aşağıdaki formülü kullanarak hesaplamalar yapıyoruz:

MS – M.Ö. 100 – 225 –123

Daha fazla sayıda özelliğe sahip birleşme katsayılarının (birleşik katsayılar) hesaplanması, uygun sıradaki benzer bir matris kullanılarak yapılan hesaplamaları içerir.

İlgili yayınlar