4 harika üçgen noktası oluşturun. Araştırma çalışması "Bir üçgenin dikkat çekici noktaları

İlk iki teoremi iyi biliyorsunuz, diğer ikisini ispatlayacağız.

teorem 1

Bir üçgenin üç açıortayı bir noktada kesişir, ki bu yazılı dairenin merkezi.

Kanıt

Açıortay, açının kenarlarından eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri olduğu gerçeğine dayanır.

teorem 2

Üçgenin kenarlarına dik olan üç açıortay, çevrelenmiş dairenin merkezi olan bir noktada kesişir.

Kanıt

bir parçanın dikey açıortayının, bu parçanın uçlarından eşit uzaklıkta olan noktaların yeri olduğu gerçeğine dayanır.

teorem 3

Üç yükseklik veya üç düzÜçgenin yüksekliklerinin bulunduğu , bir noktada kesişir. Bu nokta denir diklik merkeziüçgen.

Kanıt

"ABC" üçgeninin köşelerinden karşılıklı taraflara paralel düz çizgiler çiziyoruz.

Kavşakta bir "A_1 B_1 C_1" üçgeni oluşur.

Yapı gereği "ABA_1C" bir paralelkenardır, yani "BA_1 = AC". Benzer şekilde "C_1B = AC", dolayısıyla "C_1B = AC", "B" noktasının "C_1A_1" segmentinin orta noktası olduğu belirlenir.
Tam olarak aynı şekilde, "C", "B_1A_1" öğesinin ortasıdır ve "A", "B_1 C_1" öğesinin ortasıdır.
"BN", "ABC" üçgeninin yüksekliği olsun, ardından "A_1 C_1" doğru parçası için "BN" doğrusu dikey açıortay olsun. Bundan, "ABC" üçgeninin yüksekliklerinin üzerinde bulunduğu üç düz çizginin "A_1B_1C_1" üçgeninin üç kenarının dikey açıortayları olduğu sonucu çıkar; ve bu tür dikeyler bir noktada kesişir (Teorem 2).
Üçgen dar açılıysa, yüksekliklerin her biri tepe noktasını ve karşı taraftaki bir noktayı birleştiren bir parçadır. Bu durumda, "B" ve "N" noktaları, "AM" doğrusunun oluşturduğu farklı yarım düzlemlerde yer alır; bu, "BN" doğru parçasının "AM" doğrusunu kestiği, kesişme noktasının "BN" yüksekliğinde olduğu, yani üçgenin içinde olduğu anlamına gelir.
Bir dik üçgende yüksekliklerin kesişme noktası dik açının tepe noktasıdır.

teorem 4

Bir üçgenin üç ortancası bir noktada kesişir ve kesişme noktasını yukarıdan sayarak "2:1" oranında paylaşır. Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi (veya kütle merkezi) denir.
Bu teoremin çeşitli ispatları vardır. İşte Thales teoremine dayanan bir tanesi.

Kanıt

"AB", "BC" ve "AC" kenarlarının orta noktaları "ABC" üçgeninin "E", "D" ve "F" noktaları olsun.

Medyan "AD"yi çizin ve "E" ve "F" noktalarından geçirin paralel doğrudan "EK" ve "FL". Thales teoremine göre, `BK = KD` `(/_ABC`, EK ‖ A D) EK\|AD) ve `DL = LC` `(/_ACB`, AD ‖ F L) AD\| FL). Ancak "BD = DC = a//2", yani "BK = KD = DL = LC = a//4". Aynı teorem ile `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, N K ‖ M D ‖ F L) NK\| MD\| FL) , yani "BM = 2MF".

Bu, medyan "AD" ile kesiştiği "M" noktasındaki medyan "BF"nin yukarıdan sayılarak "2:1" oranında bölündüğü anlamına gelir.

"M" noktasındaki "AD" medyanının aynı oranda bölündüğünü kanıtlayalım. Mantık benzer.

"BF" ve "CE" medyanlarını dikkate alırsak, "BF" medyanının "2:1" oranında bölündüğü noktada, yani aynı "M" noktasında kesiştiklerini de gösterebiliriz. Ve bu noktada, medyan "CE" de üstten sayılarak "2:1" oranında bölünecektir.

© Kugusheva Natalya Lvovna, 2009 Geometri, 8. Sınıf ÜÇGENLERDE ÇIKARILABİLİR DÖRT NOKTA

Üçgenin medyanlarının kesişme noktası Üçgenin ortaortaylarının kesişme noktası Üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktası Bir üçgenin dik açıortaylarının kesişme noktası

Bir üçgenin ortancası (BD), üçgenin köşesini karşı kenarın orta noktasına bağlayan doğru parçasıdır. A B C D Medyan

Bir üçgenin medyanları bir noktada (üçgenin ağırlık merkezi) kesişir ve bu noktaya yukarıdan sayılarak 2: 1 oranında bölünür. AM:MA 1 = VM:MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1

Bir üçgenin açıortayı (AD), üçgenin iç açısının açıortayının parçası.

Açılmamış bir açının açıortayının her noktası, kenarlarından eşit uzaklıktadır. Tersine, bir açının içinde ve açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta açıortay üzerindedir. AMB C

Bir üçgenin tüm açıortayları bir noktada kesişir - üçgenin içinde yazılı dairenin merkezi. C B 1 M A B A 1 C 1 O Çemberin yarıçapı (OM), üçgenin merkezinden (t.O) kenarına bırakılan bir diktir

YÜKSEKLİK Bir üçgenin yüksekliği (C D), üçgenin tepesinden karşı kenarı içeren doğruya indirilen dikey parçadır. A B C D

Bir üçgenin (veya uzantılarının) yükseklikleri bir noktada kesişir. A A 1 B B 1 C C 1

ORTA DİK Dik açıortay (DF), bir üçgenin bir kenarına dik olan ve üçgeni ikiye bölen bir çizgidir. A D F B C

A M B m O Bir parçaya dik açıortayın (m) her noktası, bu parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır. Tersine, parçanın uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta, ona dik açıortay üzerinde yer alır.

Bir üçgenin kenarlarının tüm dikey açıortayları bir noktada kesişir - üçgenin çevrelediği dairenin merkezi. A B C O Çevrelenmiş çemberin yarıçapı, çemberin merkezinden üçgenin (OA) herhangi bir tepe noktasına olan uzaklıktır. m n p

Öğrenci görevleri Geniş bir üçgen içine çizilmiş bir daire oluşturmak için bir pergel ve cetvel kullanın. Bunu yapmak için: Pergel ve cetvel kullanarak geniş bir üçgenin açıortaylarını oluşturun. Açıortayların kesişme noktası çemberin merkezidir. Çemberin yarıçapını oluşturun: çemberin merkezinden üçgenin kenarına dik. Üçgenin içine yazılmış bir daire oluşturun.

2. Geniş bir üçgeni çevreleyen bir daire oluşturmak için bir pergel ve düz kenar kullanın. Bunu yapmak için: Geniş bir üçgenin kenarlarına dik açıortaylar oluşturun. Bu dik doğruların kesişme noktası, çevrelenmiş çemberin merkezidir. Bir dairenin yarıçapı, merkezden üçgenin herhangi bir köşesine olan mesafedir. Bir üçgeni çevreleyen bir daire oluşturun.

Sverdlovsk Bölgesi Genel ve Mesleki Eğitim Bakanlığı.

MOUO Yekaterinburg.

Eğitim kurumu - MOUSOSH No. 212 "Yekaterinburg Kültür Lisesi"

Eğitim alanı - matematik.

Konu geometri.

Üçgenin dikkat çekici noktaları

Açıklaması: 8. sınıf öğrencisi

Selitsky Dmitry Konstantinovich.

Bilim danışmanı:

Rabkanov Sergei Petrovich.

Yekaterinburg, 2001

giriiş 3

Açıklayıcı kısım:

Ortocenter 4

Merkez 5

ağırlık merkezi 7

Çevrelenmiş çemberin merkezi 8

Euler hattı 9

pratik kısım:

Orta merkezli üçgen 10

Sonuç 11

Referanslar 11

Giriiş.

Geometri bir üçgenle başlar. İki buçuk bin yıldır üçgen, geometrinin bir sembolü olmuştur. Sürekli olarak yeni özellikler keşfedilmektedir. Üçgenin bilinen tüm özelliklerinden bahsetmek çok zaman alacaktır. sözde ilgilendim harika noktalarüçgen." Bu tür noktalara bir örnek, açıortayların kesişme noktasıdır. Uzayda rastgele üç nokta alırsak, bunlardan bir üçgen oluşturur ve açıortaylar çizersek, bunların (ortaylar) bir noktada kesişecekleri dikkat çekicidir! Görünüşe göre bu mümkün değil çünkü keyfi noktalar aldık ama bu kural her zaman işe yarar. Diğer "harika noktalar" da benzer özelliklere sahiptir.

Bu konuyla ilgili literatürü okuduktan sonra, kendime beş harika nokta ve bir üçgenin tanımlarını ve özelliklerini belirledim. Ama işim bununla da bitmedi, bu noktaları kendim keşfetmek istedim.

Bu yüzden hedef Bu çalışmanın bir kısmı, bir üçgenin bazı dikkat çekici özelliklerinin incelenmesi ve ortosentrik bir üçgenin incelenmesidir. Bu hedefe ulaşma sürecinde, aşağıdaki aşamalar ayırt edilebilir:

Bir öğretmenin yardımıyla literatür seçimi

Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının ve doğrularının temel özelliklerini öğrenmek

Bu özelliklerin genelleştirilmesi

Orta merkezli bir üçgenle ilgili bir problem çizme ve çözme

Bu araştırma çalışmasında elde edilen sonuçları sundum. Tüm çizimleri bilgisayar grafikleri (vektör grafik editörü CorelDRAW) kullanarak yaptım.

Diklik merkezi. (Yüksekliklerin kesişme noktası)

Yüksekliklerin bir noktada kesiştiğini kanıtlayalım. zirvelerden geçelim A, İÇİNDE Ve İLEüçgen ABC zıt taraflara paralel düz çizgiler. Bu çizgiler bir üçgen oluşturur A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 . üçgenin yüksekliği ABCüçgenin kenarlarının dikey açıortaylarıdır A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 . bu nedenle, bir noktada kesişirler - üçgenin çevrelenmiş çemberinin merkezi A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 . Üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktasına ortomerkez ( H).

Merkez, yazılı bir dairenin merkezidir.

(ortayların kesişme noktası)

Bir üçgenin açıortaylarının olduğunu kanıtlayalım. ABC bir noktada kesişir. Bir noktayı düşünün HAKKINDA açıortayların kesişim noktaları A Ve İÇİNDE. A açısının açıortayının herhangi bir noktası çizgilerden eşit uzaklıktadır AB Ve AC ve açıortayın herhangi bir noktası İÇİNDE düz çizgilerden eşit uzaklıkta AB Ve Güneş, yani nokta HAKKINDA düz çizgilerden eşit uzaklıkta AC Ve Güneş, yani açıortay üzerinde yer alır İLE. nokta HAKKINDA düz çizgilerden eşit uzaklıkta AB, Güneş Ve SA, yani merkezli bir daire var HAKKINDA bu çizgilere teğettir ve temas noktaları uzantılarında değil, yanlarda bulunur. Gerçekten de, köşelerdeki açılar A Ve İÇİNDEüçgen AOB keskin bu nedenle nokta projeksiyonu HAKKINDA direkt olarak AB segmentin içinde yer alır AB.

partiler için Güneş Ve SA kanıt benzerdir.

Merkezin üç özelliği vardır:

Açıortayın devamı ise İLEüçgenin çevrel çemberiyle kesişir ABC noktada M, O MA=OG=MO.

Eğer AB- bir ikizkenar üçgenin tabanı ABC, ardından daire açının kenarlarına teğet ÇAP noktalarda A Ve İÇİNDE, noktadan geçer HAKKINDA.

Bir noktadan geçen doğru ise HAKKINDA tarafa paralel AB, kenarları keser Güneş Ve SA noktalarda A 1 Ve İÇİNDE 1 , O A 1 İÇİNDE 1 =A 1 İÇİNDE+AB 1 .

Ağırlık merkezi. (Medyanların kesişme noktası)

Bir üçgenin medyanlarının bir noktada kesiştiğini kanıtlayalım. Bunun için noktayı göz önünde bulundurun M ortancaların kesiştiği yer AAA 1 Ve BB 1 . hadi bunu bir üçgende yapalım BB 1 İLE orta hat A 1 A 2 , paralel BB 1 . Daha sonra A 1 E:AM=İÇİNDE 1 A 2 :AB 1 =İÇİNDE 1 A 2 :İÇİNDE 1 İLE=VA 1 :Güneş=1:2, yani medyan nokta BB 1 Ve AAA 1 medyanı böler AAA 1 1:2 oranında. Benzer şekilde, medyanların kesişme noktası SS 1 Ve AAA 1 medyanı böler AAA 1 1:2 oranında. Bu nedenle, medyanların kesişme noktası AAA 1 Ve BB 1 medyanların kesişme noktası ile çakışıyor AAA 1 Ve SS 1 .

Bir üçgenin medyanlarının kesişme noktası köşelere bağlıysa, üçgenler eşit alanlı üç üçgene bölünür. Aslında, eğer kanıtlamak için yeterlidir R- medyanın herhangi bir noktası AAA 1 bir üçgende ABC, ardından üçgenlerin alanları AVR Ve ASR eşittir. Sonuçta, medyanlar AAA 1 Ve RA 1 üçgenlerde ABC Ve karavan onları eşit alana sahip üçgenler halinde kesin.

Sohbet ifadesi de doğrudur: eğer bir nokta için R, üçgenin içinde yatan ABC, üçgen alanları AVR, ÇARŞAMBA GÜNÜ Ve SAR eşittir, o zaman R medyanların kesişme noktasıdır.

Kesişme noktasının bir özelliği daha vardır: herhangi bir malzemeden bir üçgen keserseniz, üzerine medyanlar çizerseniz, medyanların kesişme noktasında bir kaldırmayı sabitlerseniz ve süspansiyonu bir tripoda sabitlerseniz, model (üçgen) denge durumunda olacaktır, bu nedenle kesişme noktası üçgenin ağırlık merkezinden başka bir şey değildir.

Sınırlandırılmış çemberin merkezi.

Üçgenin köşelerinden eşit uzaklıkta bir nokta olduğunu, yani üçgenin üç köşesinden geçen bir çember olduğunu ispatlayalım. Noktalardan eşit uzaklıktaki noktaların yeri A Ve İÇİNDE, segmente diktir AB orta noktasından geçen (segmente dik açıortay) AB). Bir noktayı düşünün HAKKINDA segmentlerin dikey açıortaylarının kesiştiği yer AB Ve Güneş. Nokta HAKKINDA noktalardan eşit uzaklıkta A Ve İÇİNDE noktalardan olduğu gibi İÇİNDE Ve İLE. yani noktalardan eşit uzaklıkta A Ve İLE, yani aynı zamanda segmentin dik açıortayı üzerinde yer alır AC.

merkez HAKKINDA sınırlı daire, yalnızca üçgen akutsa üçgenin içinde yer alır. Üçgen bir dik üçgen ise, o zaman nokta HAKKINDA hipotenüsün orta noktası ile çakışıyorsa ve tepe noktasındaki açı ise İLE künt sonra düz AB noktaları ayırır HAKKINDA Ve İLE.

Matematikte, çok farklı şekillerde tanımlanan nesnelerin aynı olduğu ortaya çıkar. Bunu bir örnekle gösterelim.

İzin vermek A 1 , İÇİNDE 1 ,İLE 1 - kenarların orta noktaları Güneş,SA ve AV. Üçgenlerin çevrelediği çemberlerin ispatlanabilmesi AB 1 İLE, A 1 Güneş 1 Ve A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 bir noktada kesişir ve bu nokta üçgenin çevrelenmiş çemberinin merkezidir ABC. Yani, görünüşte tamamen farklı iki noktamız var: orta dikeylerin üçgenin kenarlarına kesişme noktası ABC ve üçgenlerin çevrelenmiş dairelerinin kesişme noktası AB 1 İLE 1 , A 1 Güneş Ve A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 . ancak bu iki noktanın çakıştığı ortaya çıktı.

Euler'in düz çizgisi.

Bir üçgenin harika noktalarının en şaşırtıcı özelliği, bazılarının birbirleriyle belirli ilişkilerle ilişkili olmasıdır. Örneğin ağırlık merkezi M, diklik merkezi H ve çevrelenmiş çemberin merkezi HAKKINDA bir düz çizgi üzerinde uzanır ve M noktası, OH parçasını böler, böylece ilişki ÖM:MN=1:2. Bu teorem 1765 yılında İsviçreli bilim adamı Leonardo Euler tarafından ispatlandı.

ortosentrik üçgen.

ortosentrik üçgen(dik üçgen) bir üçgendir ( MNİLE), köşeleri verilen üçgenin yüksekliklerinin tabanları olan ( ABC). Bu üçgenin birçok ilginç özelliği var. Onlardan birini alalım.

Mülk.

Kanıtlamak:

üçgenler AKM, CMN Ve BKN bir üçgene benzer ABC;

Bir dik üçgenin açıları MNK bunlar: L KNM = π - 2 L A,LKMN = π-2 L B, L MNK = π - - 2 L C.

Kanıt:

Sahibiz ABçünkü A, AKçünkü A. Buradan, AM/AB = AK/AC.

Çünkü üçgenler ABC Ve AKM köşe A ortak, o zaman benzerler, buradan açının olduğu sonucuna varıyoruz L AKM = L C. Bu yüzden L Bkm = L C. O zaman elimizde L MKC= π/2 - L C, L NKC= π/2 – - - L C, yani SC- açıortay MNK. Bu yüzden, L MNK= π - 2 L C. Kalan eşitlikler de benzer şekilde ispatlanır.

Çözüm.

Bu araştırma çalışmasının sonunda, aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir:

Üçgenin dikkat çekici noktaları ve çizgileri şunlardır:

diklik merkeziüçgen, yüksekliklerinin kesişme noktasıdır;

merkezüçgen, açıortayların kesişme noktasıdır;

ağırlık merkeziüçgen, medyanlarının kesişme noktasıdır;

çevrelenmiş çemberin merkezi dikey açıortayların kesişme noktasıdır;

Euler çizgisi ağırlık merkezinin, diklik merkezinin ve çevrelenmiş dairenin merkezinin üzerinde bulunduğu düz bir çizgidir.

Bir ortosentrik üçgen, belirli bir üçgeni üç benzer üçgene böler.

Yapmış olan bu iş, Bir üçgenin özellikleri hakkında çok şey öğrendim. Bu çalışma, matematik alanındaki bilgilerimin gelişimi açısından benimle ilgiliydi. Gelecekte, bu en ilginç konuyu geliştirmeyi düşünüyorum.

Kaynakça.

Kiselev A.P. Temel geometri. – M.: Aydınlanma, 1980.

Kokseter G.S., Greitzer S.L. Geometri ile yeni karşılaşmalar. – M.: Nauka, 1978.

Prasolov V.V. Planimetride problemler. - M.: Nauka, 1986. - 1. Kısım.

Sharygin I.F. Geometride problemler: Planimetri. – M.: Nauka, 1986.

Scanavi MI Matematik. Çözümlerle ilgili sorunlar. - Rostov-on-Don: Phoenix, 1998.

Berger M. Geometri iki ciltte - M: Mir, 1984.

DÖRT BÜYÜK NOKTA

ÜÇGEN

Geometri

8. sınıf

Sakharova Natalya İvanovna

Simferopol MBOU ortaokulu No. 28

• Bir üçgenin medyanlarının kesişme noktası
• Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası
• Üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktası
• Bir üçgenin orta dikmelerinin kesişme noktası

Medyan

Medyan (BD) Bir üçgen, üçgenin köşesini karşı kenarın orta noktasına bağlayan bir çizgi parçasıdır.

medyanlarüçgenler kesişir bir noktada (ağırlık merkeziüçgen) ve bu noktayı yukarıdan sayarak 2:1 oranında bölün.

AÇIORTAY

Bisektör (AD)üçgene, üçgenin iç açısının açıortayının parçası denir. ∟ KÖTÜ = ∟CAD.

her nokta açıortay gelişmemiş bir açının kenarlarına eşit uzaklıktadır.

Geri: bir açının içindeki ve açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta, açıortay.

Tüm açıortaylarüçgenler bir noktada kesişir yazılı merkez bir üçgene daireler.

Çemberin yarıçapı (OM), merkezden (T.O) üçgenin kenarına bırakılan bir diktir.

YÜKSEKLİK

Yükseklik (CD) Bir üçgen, üçgenin tepesinden karşı tarafı içeren çizgiye bırakılan bir dikey parçadır.

Yüksekliklerüçgenler (veya uzantıları) kesişir bir nokta.

ORTA DİK

Dikey açıortay (DF)üçgenin kenarına dik olan ve onu ikiye bölen çizgiye denir.

her nokta orta dik(m) bir segmente, bu segmentin uçlarından eşit uzaklıktadır.

Geri: segmentin uçlarından eşit uzaklıkta olan her nokta orta noktada yer alır dik ona.

Bir üçgenin kenarlarının tüm dikey açıortayları bir noktada kesişir - açıklanan merkezi üçgenin yanında daireler .

Sınırlandırılmış dairenin yarıçapı, dairenin merkezinden üçgenin herhangi bir köşesine (OA) olan mesafedir.

Sayfa 177 №675 (çizim)

Ev ödevi

S.173 § 3 tanımlar ve teoremler s.177 No. 675 (bitiş)