قم ببناء 4 نقاط مثلثة رائعة. العمل البحثي "النقاط الرائعة للمثلث

النظريتين الأوليين معروفتان لك جيدًا، وسنثبت الاثنتين الأخريين.

النظرية 1

ثلاثة منصفات المثلثتتقاطع عند نقطة واحدة، وهي مركز الدائرة المنقوشة.

دليل

بناء على أن منصف الزاوية هو موضع النقاط المتساوية البعد عن جانبي الزاوية.

النظرية 2

تتقاطع المنصفات المتعامدة الثلاثة على جوانب المثلث عند نقطة واحدة هي مركز الدائرة المحيطة.

دليل

على أساس أن المنصف العمودي لقطعة ما هو موضع النقاط المتساوية البعد عن طرفي هذه القطعة.

النظرية 3

ثلاثة ارتفاعات أو ثلاثة مستقيمةالتي تقع عليها ارتفاعات المثلث، وتتقاطع عند نقطة واحدة. هذه النقطة تسمى مركز تقويم العظاممثلث.

دليل

من خلال رؤوس المثلث `ABC` نرسم خطوطاً مستقيمة موازية للأضلاع المتقابلة.

عند التقاطع يتكون مثلث `A_1 B_1 C_1`.

من خلال البناء، `ABA_1C` هو متوازي أضلاع، لذا `BA_1 = AC`. وبالمثل، ثبت أن `C_1B = AC`، وبالتالي `C_1B = AC`، والنقطة `B` هي منتصف القطعة `C_1A_1`.
بنفس الطريقة تمامًا، يظهر أن `C` هو منتصف `B_1A_1` و`A` هو منتصف `B_1 C_1`.
ليكن `BN` هو ارتفاع المثلث `ABC`، ثم بالنسبة للقطعة `A_1 C_1` فإن الخط المستقيم `BN` هو المنصف العمودي. ومن ثم فإن الخطوط المستقيمة الثلاثة التي تقع عليها ارتفاعات المثلث "ABC" هي منصفات أضلاع المثلث الثلاثة "A_1B_1C_1". وتتقاطع هذه الخطوط المتعامدة عند نقطة واحدة (النظرية 2).
إذا كان المثلث حادًا، فإن كل ارتفاع من الارتفاعات هو قطعة تربط قمة الرأس بنقطة ما على الجانب المقابل. في هذه الحالة تقع النقطتان `B` و`N` في أنصاف مستويات مختلفة يشكلها الخط `AM`، مما يعني أن القطعة `BN` تتقاطع مع الخط `AM`، وتقع نقطة التقاطع عند الارتفاع `BN`. أي يقع داخل المثلث .
في المثلث القائم، نقطة تقاطع الارتفاعات هي رأس الزاوية القائمة.

النظرية 4

ثلاثة متوسطات للمثلث يتقاطعان عند نقطة واحدة ويقسمان على نقطة التقاطع بنسبة `2:1`، من الرأس. تسمى هذه النقطة مركز الثقل (أو مركز الكتلة) للمثلث.
هناك براهين مختلفة لهذه النظرية. دعونا نقدم واحدة تقوم على نظرية طاليس.

دليل

اجعل `E` و`D` و`F` نقاط منتصف الأضلاع AB و`BC` و`AC` للمثلث `ABC`.

لنرسم الوسيط "AD" من خلال النقطتين "E" و"F". موازيلديها خطوط مستقيمة `EK` و `FL`. حسب نظرية طاليس `BK = KD` `(/_ABC`, E K ‖ A D) EK\|AD) و `DL = LC` `(/_ACB`, A D ‖ F L) AD\| فلوريدا). لكن `BD = DC = a//2`، لذا `BK = KD = DL = LC = a//4`. وبنفس النظرية `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, N K ‖ M D ‖ F L) NK\| دكتوراه\| FL) ، لذا `BM = 2MF`.

وهذا يعني أن الوسيط `BF` عند نقطة التقاطع `M` مع الوسيط `AD` تم تقسيمه بنسبة `2:1` من الرأس.

دعونا نثبت أن الوسيط `AD` عند النقطة `M` ينقسم بنفس النسبة. المنطق مشابه.

إذا نظرنا إلى المتوسطين `BF` و`CE`، فيمكننا أيضًا إظهار أنهما يتقاطعان عند النقطة التي يتم عندها تقسيم الوسيط `BF` بنسبة `2:1`، أي عند نفس النقطة `M`. وعند هذه النقطة، سيتم أيضًا تقسيم الوسيط "CE" بنسبة "2:1"، بدءًا من الرأس.

© كوغوشيفا ناتاليا لفوفنا، 2009 الهندسة، الصف الثامن المثلث أربع نقاط رائعة

نقطة تقاطع متوسطات المثلث نقطة تقاطع منصفات المثلث نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث نقطة تقاطع عمودي المنصفات للمثلث

الوسيط (BD) للمثلث هو القطعة التي تصل قمة المثلث بنقطة منتصف الجانب المقابل. أ ب ج د الوسيط

تتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة (مركز ثقل المثلث) وتقسم على هذه النقطة بنسبة 2:1، عد من الرأس. صباحا: MA 1 = VM: MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. أ أ 1 ب 1 م ج ج 1

المنصف (أ د) للمثلث هو الجزء المنصف للزاوية الداخلية للمثلث.

كل نقطة من منصف الزاوية غير الناشئة تكون متساوية البعد عن ضلعيها. وبالعكس: كل نقطة تقع داخل زاوية، ومتساوية البعد عن ضلعي الزاوية، تقع على منصفها. أ م ب ج

تتقاطع جميع منصفات المثلث عند نقطة واحدة وهي مركز الدائرة المدرجة في المثلث. C B 1 M A V A 1 C 1 O نصف قطر الدائرة (OM) هو خط عمودي يسقط من المركز (TO) على جانب المثلث

الارتفاع الارتفاع (C D) للمثلث هو القطعة العمودية المرسومة من رأس المثلث إلى الخط المستقيم الذي يحتوي على الضلع المقابل. ا ب ت ث

تتقاطع ارتفاعات المثلث (أو امتداداته) عند نقطة واحدة. أ أ 1 ب 1 ج ج 1

MIDPERPENDICULAR المنصف المتعامد (DF) هو الخط المتعامد مع جانب المثلث ويقسمه إلى نصفين. أ د ف ب ج

A M B m O كل نقطة من المنصف العمودي (m) على القطعة تكون على مسافة متساوية من طرفي هذه القطعة. وبالعكس: كل نقطة متساوية البعد من طرفي القطعة تقع على المنصف العمودي عليها.

تتقاطع جميع منصفات أضلاع المثلث في نقطة واحدة وهي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث. A B C O نصف قطر الدائرة المحددة هو المسافة من مركز الدائرة إلى أي قمة للمثلث (OA). م ن ص

مهام للطلاب قم بإنشاء دائرة داخل مثلث منفرج باستخدام البوصلة والمسطرة. للقيام بذلك: أنشئ منصفات في مثلث منفرج باستخدام البوصلة والمسطرة. نقطة تقاطع المنصفين هي مركز الدائرة. أنشئ نصف قطر الدائرة: عمودي من مركز الدائرة إلى جانب المثلث. بناء دائرة منقوشة في المثلث.

2. باستخدام البوصلة والمسطرة، قم ببناء دائرة تحيط بمثلث منفرج الزاوية. للقيام بذلك: أنشئ منصفات متعامدة على جوانب المثلث المنفرج. ونقطة تقاطع هذه المتعامدين هي مركز الدائرة المحددة. نصف قطر الدائرة هو المسافة من المركز إلى أي رأس في المثلث. بناء دائرة حول المثلث.

وزارة التعليم العام والمهني لمنطقة سفيردلوفسك.

المؤسسة التعليمية البلدية في يكاترينبورغ.

المؤسسة التعليمية – موسوش رقم 212 “مدرسة إيكاترينبرج الثقافية”

المجال التعليمي – الرياضيات.

الموضوع - الهندسة.

نقاط ملحوظة في المثلث

مرجع: طالب في الصف الثامن

سيليتسكي ديمتري كونستانتينوفيتش.

المستشار العلمي:

رابكانوف سيرجي بتروفيتش.

ايكاترينبرج، 2001

مقدمة 3

الجزء الوصفي:

مركز تقويم العظام 4

مركز الجليد 5

مركز الثقل 7

محيط المركز 8

خط أويلر 9

الجزء العملي:

المثلث المتعامد المركز 10

الاستنتاج 11

المراجع 11

مقدمة.

الهندسة تبدأ بمثلث. لمدة ألفين ونصف، كان المثلث رمزا للهندسة. يتم اكتشاف خصائصه الجديدة باستمرار. سيستغرق الحديث عن جميع الخصائص المعروفة للمثلث الكثير من الوقت. لقد كنت مهتمًا بما يسمى " نقاط رائعةمثلث." مثال على هذه النقاط هو نقطة تقاطع المنصفات. اللافت للنظر أنك إذا أخذت ثلاث نقاط عشوائية في الفضاء، وقمت ببناء مثلث منها ورسمت منصفات، فإنها (المنصفات) ستتقاطع في نقطة واحدة! ويبدو أن هذا غير ممكن، لأننا أخذنا نقاطا اعتباطية، ولكن هذه القاعدة تنطبق دائما. "النقاط الرائعة" الأخرى لها خصائص مماثلة.

بعد قراءة الأدبيات حول هذا الموضوع، حددت لنفسي تعريفات وخصائص خمس نقاط رائعة ومثلث. لكن عملي لم ينته عند هذا الحد، بل أردت استكشاف هذه النقاط بنفسي.

لهذا هدفهذا العمل عبارة عن دراسة لبعض الخصائص المميزة للمثلث، ودراسة للمثلث المتعامد المركز. وفي عملية تحقيق هذا الهدف يمكن تمييز المراحل التالية:

اختيار الأدب بمساعدة المعلم

دراسة الخصائص الأساسية للنقاط والخطوط البارزة في المثلث

تعميم هذه الخصائص

رسم وحل مسألة تنطوي على مثلث متعامد المركز

لقد عرضت النتائج التي تم الحصول عليها في هذا العمل البحثي. لقد قمت بعمل جميع الرسومات باستخدام رسومات الكمبيوتر (محرر الرسومات المتجهة CorelDRAW).

مركز تقويم العظام. (نقطة تقاطع المرتفعات)

دعونا نثبت أن المرتفعات تتقاطع عند نقطة واحدة. دعنا نأخذك عبر القمم أ, فيو معمثلث اي بي سيخطوط مستقيمة موازية لجوانب متقابلة. هذه الخطوط تشكل مثلثا أ 1 في 1 مع 1 . ارتفاع المثلث اي بي سيهي المنصفات المتعامدة على جوانب المثلث أ 1 في 1 مع 1 . لذلك يتقاطعان عند نقطة واحدة - مركز الدائرة المحيطة بالمثلث أ 1 في 1 مع 1 . تسمى نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث بالمركز المتعامد ( ح).

Icentre هو مركز الدائرة المنقوشة.

(نقطة تقاطع المنصفين)

دعونا نثبت أن منصفات زوايا المثلث اي بي سيتتقاطع عند نقطة واحدة. النظر في هذه النقطة عنتقاطعات منصفات الزوايا أو في. جميع نقاط منصف الزاوية A تكون متساوية البعد عن الخطوط أ.بو تكييف، وأي نقطة من منصف الزاوية فيعلى مسافة متساوية من الخطوط المستقيمة أ.بو شمس، لذا أشر عنعلى مسافة متساوية من الخطوط المستقيمة تكييفو شمس، أي. تقع على منصف الزاوية مع. نقطة عنعلى مسافة متساوية من الخطوط المستقيمة أ.ب, شمسو سامما يعني أن هناك دائرة مركزها عنمماس لهذه الخطوط، ونقاط التماس تقع على الجوانب نفسها، وليس على امتداداتها. في الواقع، الزوايا في القمم أو فيمثلث AOBحاد لذلك نقطة الإسقاط عنمباشرة أ.بيقع داخل الجزء أ.ب.

للحفلات شمسو ساوالدليل مشابه.

يحتوي مركز الجليد على ثلاث خصائص:

إذا كان استمرار منصف الزاوية معيتقاطع مع الدائرة المحيطة بالمثلث اي بي سيعند هذه النقطة م، الذي - التي ماجستير=إم في=شهر.

لو أ.ب- قاعدة مثلث متساوي الساقين اي بي سي، ثم الدائرة المماسّة لأطراف الزاوية مطار الدوحة الدوليفي النقاط أو في، يمر عبر النقطة عن.

إذا كان الخط يمر عبر نقطة عنبالتوازي مع الجانب أ.ب، يعبر الجوانب شمسو سافي النقاط أ 1 و في 1 ، الذي - التي أ 1 في 1 =أ 1 في+أ.ب 1 .

مركز الجاذبية. (نقطة تقاطع المتوسطات)

دعونا نثبت أن متوسطات المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة. لهذا، النظر في هذه النقطة م، حيث يتقاطع الوسيطان أأ 1 و ب 1 . لنرسم مثلثًا ب 1 معخط الوسط أ 1 أ 2 ، موازي ب 1 . ثم أ 1 ماما=في 1 أ 2 : أ ب 1 =في 1 أ 2 :في 1 مع=فرجينيا 1 :شمس=1:2، أي نقطة التقاطع المتوسطة ب 1 و أأ 1 يقسم الوسيط أأ 1 بنسبة 1:2. وبالمثل، نقطة تقاطع المتوسطات سس 1 و أأ 1 يقسم الوسيط أأ 1 بنسبة 1:2. ولذلك، فإن نقطة تقاطع المتوسطات أأ 1 و ب 1 يتزامن مع نقطة تقاطع المتوسطات أأ 1 و سس 1 .

إذا كانت نقطة تقاطع متوسطات المثلث متصلة بالرؤوس، فسيتم تقسيم المثلثات إلى ثلاثة مثلثات متساوية المساحة. في الواقع، يكفي إثبات أنه إذا ر- أي نقطة من المتوسط أأ 1 في مثلث اي بي سيثم مساحات المثلثات أفرو ACPمتساوون. بعد كل شيء، الوسطاء أأ 1 و را 1 في المثلثات اي بي سيو رفسقطعيها إلى مثلثات متساوية المساحة.

والبيان العكسي صحيح أيضًا: إذا كان لبعض الوقت ر، يقع داخل المثلث اي بي سيمساحة المثلثات أفر, يوم الاربعاءو ريال سعوديمتساويان إذن ر- نقطة تقاطع المتوسطات.

تحتوي نقطة التقاطع على خاصية أخرى: إذا قمت بقطع مثلث من أي مادة، ورسم متوسطات عليه، وقم بإرفاق قضيب عند نقطة تقاطع المتوسطات وقم بتثبيت التعليق على حامل ثلاثي الأرجل، فسيكون النموذج (المثلث) في وضع حالة التوازن، وبالتالي فإن نقطة التقاطع ليست أكثر من مركز ثقل المثلث.

مركز الدائرة المحدودة.

لنثبت أن هناك نقطة متساوية البعد عن رءوس المثلث، أو بمعنى آخر، أن هناك دائرة تمر عبر رءوس المثلث الثلاثة. موضع النقاط المتساوية البعد عن النقاط أو في، عمودي على الجزء أ.ب، مروراً بمنتصفه (المنصف العمودي على القطعة أ.ب). النظر في هذه النقطة عن، حيث تتقاطع منصفات الخطوط المتعامدة مع القطع أ.بو شمس. نقطة عنعلى مسافة متساوية من النقاط أو في، وكذلك من النقاط فيو مع. وبالتالي فهو متساوي البعد عن النقاط أو مع، أي. كما أنها تقع على المنصف العمودي على القطعة تكييف.

مركز عنتقع الدائرة المحيطة داخل المثلث فقط إذا كان المثلث حادًا. إذا كان المثلث قائم الزاوية، فالنقطة عنيتطابق مع منتصف الوتر، وإذا كانت الزاوية عند الرأس معحادة ثم مستقيمة أ.بيفصل النقاط عنو مع.

في الرياضيات، غالبًا ما يحدث أن الكائنات المحددة بطرق مختلفة تمامًا تكون هي نفسها. دعونا نعرض هذا مع مثال.

يترك أ 1 , في 1 ,مع 1 – منتصف الجوانب شمس,ساوAB. ويمكن إثبات أن دوائر المثلثات مقيدة أ.ب 1 مع, أ 1 شمس 1 و أ 1 في 1 مع 1 يتقاطعان عند نقطة واحدة، وهذه النقطة هي مركز المثلث اي بي سي. إذن، لدينا نقطتان مختلفتان تمامًا: نقطة تقاطع المنصفات المتعامدة مع جوانب المثلث اي بي سيونقطة تقاطع دوائر المثلثات أ.ب 1 مع 1 , أ 1 شمسو أ 1 في 1 مع 1 . ولكن تبين أن هاتين النقطتين تتطابقان.

خط أويلر المستقيم.

إن الخاصية المدهشة للنقاط المميزة للمثلث هي أن بعضها مرتبط ببعضه البعض بعلاقات معينة. على سبيل المثال، مركز الثقل م، مركز تقويم العظام نومركز الدائرة المحيطية عنتقع على نفس الخط المستقيم، وتقسم النقطة M القطعة OH بحيث تكون العلاقة صحيحة اوم:MN=1:2. تم إثبات هذه النظرية عام 1765 على يد العالم السويسري ليوناردو أويلر.

مثلث متعامد المركز.

مثلث متعامد المركز(مثلث متعامد) هو مثلث ( منل) ، رؤوسها هي قواعد ارتفاعات هذا المثلث ( اي بي سي). هذا المثلث له العديد من الخصائص المثيرة للاهتمام. دعونا نعطي واحد منهم.

ملكية.

يثبت:

مثلثات ايه كيه ام, سي إم إنو بي كيه إنيشبه المثلث اي بي سي;

زوايا المثلث المتعامد إم إن كيهنكون: ل كنم = ط - 2 ل أ,لكمن = π – 2 ل ب, ل إم إن كيه = ط - - 2 ل ج.

دليل:

لدينا أ.بكوس أ, أ.ك.كوس أ. لذلك، أكون./أ.ب = أ.ك./تيار متردد..

لأن عند المثلثات اي بي سيو ايه كيه امركن أ- مشتركان، فهما متشابهان، ومنه نستنتج أن الزاوية ل ايه كيه ام = ل ج. لهذا ل بكم = ل ج. التالي لدينا ل MKC= ط/2 - ل ج, ل NKC= ط/2 – - - ل ج، أي. كورونا- زاوية منصف إم إن كيه. لذا، ل إم إن كيه= π – 2 ل ج. تم إثبات المساواة المتبقية بالمثل.

خاتمة.

وفي نهاية هذا العمل البحثي يمكن استخلاص النتائج التالية:

النقاط والخطوط البارزة في المثلث هي:

مركز تقويم العظامالمثلث هو نقطة تقاطع ارتفاعاته.

andcentreالمثلث هو نقطة تقاطع المنصفات.

مركز الجاذبيةالمثلث هو نقطة تقاطع متوسطاته.

محيط- هي نقطة تقاطع العمودين المنصفين؛

خط أويلر المستقيم- هذا هو الخط المستقيم الذي يقع عليه مركز الثقل ومركز تقويم العظام ومركز الدائرة المحددة.

يقسم المثلث المتعامد المثلث المعطى إلى ثلاثة مثلثات متشابهة.

بعد أن فعل هذا العمللقد تعلمت الكثير عن خصائص المثلث. كان هذا العمل مناسبًا بالنسبة لي من حيث تطوير معرفتي في مجال الرياضيات. في المستقبل، أنوي تطوير هذا الموضوع المثير للاهتمام.

فهرس.

Kiselyov A. P. الهندسة الابتدائية. - م: التربية، 1980.

كوكستر جي.إس.، جريتزر إس.إل. لقاءات جديدة مع الهندسة. - م: ناوكا، 1978.

براسولوف ف. مشاكل في التخطيط. – م: ناوكا، 1986. – الجزء الأول.

شاريجين آي إف. مشاكل الهندسة: قياس المخططات. - م: ناوكا، 1986.

سكانافي إم آي الرياضيات. مشاكل مع الحلول. - روستوف على نهر الدون: فينيكس، 1998.

بيرغر م. الهندسة في مجلدين - م: مير، 1984.

أربع نقاط بارزة

مثلث

الهندسة

الصف 8

ساخاروفا ناتاليا إيفانوفنا

مدرسة MBOU الثانوية رقم 28 في سيمفيروبول

• نقطة تقاطع متوسطات المثلث
• نقطة تقاطع منصفات المثلث
• نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث
• نقطة تقاطع المتوسطات المتعامدة للمثلث

الوسيط

المتوسط ​​(دينار بحريني)المثلث هو القطعة التي تصل رأس المثلث بمنتصف الضلع المقابل.

الوسطاءالمثلثات تتقاطع في نقطة واحدة (مركز الجاذبيةمثلث) ويتم تقسيمها على هذه النقطة بنسبة 2: 1، عد من قمة الرأس.

منصف

منصف (م)المثلث هو الجزء المنصف للزاوية الداخلية للمثلث. ∟ سيئة = ∟CAD.

كل نقطة منصفاتزاوية غير متطورة متساوية البعد من ضلعيها.

خلف: كل نقطة تقع داخل زاوية، ومتساوية البعد من ضلعي الزاوية، تقع عليها منصف.

جميع المنصفاتالمثلثان يتقاطعان في نقطة واحدة - وسط المكتوب في مثلث الدوائر.

نصف قطر الدائرة (OM) هو عمودي ينحدر من المركز (TO) على جانب المثلث

ارتفاع

الارتفاع (قرص مضغوط)المثلث هو القطعة المستقيمة المتعامدة التي ترسم من أحد رؤوس المثلث على المستقيم الذي يحتوي على الضلع المقابل لها.

مرتفعاتتتقاطع المثلثات (أو امتداداتها). واحد نقطة.

عمودي متوسط

المنصف العمودي (DF)يسمى الخط المستقيم المتعامد على أحد أضلاع المثلث ويقسمه إلى نصفين.

كل نقطة منصف عمودي(م) إلى مقطع متساوي البعد من طرفي هذا المقطع.

خلف: كل نقطة متساوية البعد عن طرفي القطعة تقع على نقطة المنتصف عموديله.

جميع منصفات أضلاع المثلث تتقاطع في نقطة واحدة - وسط الموصوف بالقرب من المثلث دائرة .

نصف قطر الدائرة المحيطة هو المسافة من مركز الدائرة إلى أي قمة للمثلث (OA).

صفحة 177 رقم 675 (رسم)

العمل في المنزل

ص173§3 تعريفات ونظريات ص177رقم675(النهاية)