مركز الكتلة: المفهوم والحساب والمبادئ الأساسية. وزن النظام

دعونا نفكر مرة أخرى في نفس نظام النقاط المادية. لنقم ببناء متجه نصف القطر وفقًا للقاعدة التالية:

أين هو متجه نصف القطر لتلك النقطة المادية في النظام، وما هي كتلته.

يحدد متجه نصف القطر الموقع في الفضاء مركز القصور الذاتي (مركز الكتلة)أنظمة.

ليس من الضروري على الإطلاق أن تكون هناك نقطة مادية ما في مركز كتلة النظام.

مثال.لنجد مركز كتلة نظام يتكون من كرتين صغيرتين - نقاط مادية متصلة بواسطة قضيب عديم الوزن (الشكل 3.29). نظام الجسم هذا يسمى الدمبل.

أرز. 3.29. مركز كتلة الدمبل

من الشكل. انه واضح

نستبدل في هذه المعادلات التعبير الخاص بمتجه نصف القطر لمركز الكتلة

ويترتب على ذلك أن مركز الكتلة يقع على خط مستقيم يمر بمراكز الكرات. المسافات ل 1 و ل 2 بين الكرات ومركز الكتلة متساويان على التوالي

مركز الكتلة أقرب إلى الكرة التي كتلتها أكبر، كما يتبين من النسبة:

دعونا نحدد السرعة التي يتحرك بها مركز القصور الذاتي للنظام. نحن نفرق بين الجزأين حسب الوقت:

يحتوي بسط التعبير الناتج على الجانب الأيمن على مجموع نبضات جميع النقاط، أي نبض النظام. المقام هو الكتلة الإجمالية للنظام

ووجدنا أن سرعة مركز القصور الذاتي ترتبط بكمية النظام وكتلته الكلية بنفس النسبة الصالحة لنقطة مادية:

فيديو 3.11. حركة مركز الكتلة لعربتين متماثلتين متصلتين بواسطة زنبرك.

يتحرك مركز كتلة النظام المغلق دائمًا بسرعة ثابتة، نظرًا لأن زخم هذا النظام محفوظ.

إذا اشتقنا الآن عبارة زخم النظام بالنسبة إلى الزمن وأخذنا في الاعتبار أن مشتقة زخم النظام هي محصلة قوى خارجية، فسنحصل على معادلة حركة مركز كتلة النظامعلى العموم:

انه واضح

يتحرك مركز كتلة النظام بنفس الطريقة التي تتحرك بها نقطة مادية ذات كتلة تساوي كتلة جميع الجسيمات في النظام تحت تأثير المجموع المتجه لجميع القوى الخارجية المطبقة على النظام.

إذا كان هناك نظام من النقاط المادية، فإن موقعه الداخلي وحركته لا يهمنا، فيحق لنا اعتباره نقطة مادية ذات إحداثيات ناقل نصف القطر لمركز القصور الذاتي وكتلة تساوي مجموع كتل النقاط المادية للنظام.

إذا قمنا بربط نظام مرجعي بمركز كتلة نظام مغلق من النقاط المادية (الجسيمات) (يسمى مركز النظام الشامل)، فإن الزخم الإجمالي لجميع الجسيمات في مثل هذا النظام سيكون مساوياً للصفر. وهكذا، في مركز نظام الكتلة، هناك نظام مغلق من الجسيمات ككلفي حالة سكون، ولا توجد سوى حركة للجسيمات بالنسبة إلى مركز الكتلة. ولذلك، يتم الكشف بوضوح عن خصائص العمليات الداخلية التي تحدث في نظام مغلق.

في الحالة التي يكون فيها النظام عبارة عن جسم ذو توزيع مستمر للكتل، فإن تعريف مركز الكتلة يظل كما هو بشكل أساسي. نحن نحيط نقطة عشوائية في جسمنا بحجم صغير. الكتلة الموجودة في هذا الحجم تساوي , حيث كثافة مادة الجسم والتي قد لا تكون ثابتة على حجمها. يتم الآن استبدال مجموع كل هذه الكتل الأولية بالتكامل على كامل حجم الجسم، بحيث نحصل على التعبير بالنسبة لموضع مركز كتلة الجسم

وإذا كانت مادة الجسم متجانسة فإن كثافتها ثابتة، ويمكن إخراجها من تحت علامة التكامل، فتحذف في البسط والمقام. ثم يأخذ التعبير الخاص بمتجه نصف القطر لمركز كتلة الجسم الصورة

أين هو حجم الجسم.

وفي حالة التوزيع المستمر للكتل، فإن العبارة صحيحة

يتحرك مركز كتلة الجسم الصلب بنفس الطريقة التي تتحرك بها نقطة مادية كتلتها تساوي كتلة الجسم تحت تأثير المجموع المتجه لجميع القوى الخارجية المطبقة على الجسم.

مثال. إذا انفجرت قذيفة عند نقطة معينة في مسارها المكافئ، فإن الشظايا تطير على طول مسارات مختلفة، لكن مركز كتلتها يستمر في التحرك على طول القطع المكافئ.

عندما نتعامل مع نظام من الجسيمات، فمن المناسب العثور على نقطة - مركز الكتلة - التي من شأنها أن تميز موضع وحركة هذا النظام ككل. في نظام مكون من جسيمين متطابقين، من الواضح أن هذه النقطة C تقع في المنتصف بينهما (الشكل 110 أ). وهذا واضح من اعتبارات التناظر: في الفضاء المتجانس والمتناحي، تتميز هذه النقطة عن جميع النقاط الأخرى، لأنه بالنسبة لأي نقطة أخرى A تقع بالقرب من أحد الجسيمات، هناك نقطة B متماثلة لها، وتقع بالقرب من الجسيم الثاني.

أرز. 110. يقع مركز كتلة جسيمين متطابقين عند النقطة C مع ناقل نصف القطر؛ مركز كتلة جسيمين مختلفي الكتلة يقسم القطعة بينهما بنسبة تتناسب عكسيا مع كتلتي الجسيمين (ب)

من الواضح أن متجه نصف القطر للنقطة C يساوي نصف مجموع ناقلات نصف القطر للجسيمات المتطابقة (الشكل 110 أ): وبعبارة أخرى، هو متوسط ​​القيمة المعتادة للمتجهات

تحديد مركز الكتلة.كيفية تعميم هذا التعريف على حالة جسيمين لهما كتلتين مختلفتين؟ من المتوقع أنه إلى جانب المركز الهندسي للنظام، الذي لا يزال متجه نصف قطره يساوي نصف المجموع، ستلعب النقطة دورًا معينًا، يتم تحديد موضعها من خلال التوزيع

أنا آكل جماعيا. ومن الطبيعي تعريفه بحيث تتناسب مساهمة كل جسيم مع كتلته:

إن متجه نصف القطر لمركز الكتلة، المحدد بالصيغة (1)، هو القيمة المتوسطة المرجحة لمتجهات نصف القطر للجسيمات، وهو أمر واضح إذا أعدنا كتابة (1) بالشكل

يدخل متجه نصف القطر لكل جسيم بوزن يتناسب مع كتلته. ومن السهل أن نرى أن مركز الكتلة C، الذي تحدده الصيغة (1)، يقع على قطعة الخط المستقيم التي تربط الجسيمات وتقسمها بنسبة تتناسب عكسيا مع كتل الجسيمات: (الشكل 110ب).

يرجى ملاحظة أن تعريف مركز الكتلة الوارد هنا يتعلق بحالة توازن الرافعة التي تعرفها. دعونا نتخيل أن الكتل النقطية، التي تخضع لتأثير مجال جاذبية منتظم، مرتبطة بقضيب ذي كتلة لا تذكر. ستكون هذه الرافعة في حالة توازن إذا تم وضع نقطة ارتكازها في مركز الكتلة C.

التعميم الطبيعي للصيغة (1) على حالة النظام الذي يتكون من نقاط مادية ذات كتل ومتجهات نصف قطر هو المساواة

والذي يعمل بمثابة تعريف لمتجه نصف القطر لمركز الكتلة (أو مركز القصور الذاتي) للنظام.

سرعة مركز الكتلة .لا يميز مركز الكتلة الموضع فحسب، بل يميز أيضًا حركة نظام الجزيئات ككل. يتم التعبير عن سرعة مركز الكتلة، التي تحددها المساواة على النحو التالي من (2)، على النحو التالي من حيث سرعات الجسيمات التي تشكل النظام:

البسط على الجانب الأيمن من هذا التعبير، كما يلي من الصيغة (6) من الفقرة السابقة، يحتوي على الزخم الكلي للنظام P، والمقام هو كتلته الإجمالية M. وبالتالي، فإن زخم نظام الجسيمات يساوي إلى منتج كتلة النظام بأكمله M وسرعة مركز كتلته

توضح الصيغة (4) أن زخم النظام يرتبط بسرعة مركز كتلته بنفس الطريقة التي يرتبط بها زخم الجسيم الفردي بسرعة الجسيم. وبهذا المعنى فإن حركة مركز الكتلة تميز حركة النظام ككل.

قانون حركة مركز الكتلة.إن قانون التغير في زخم نظام الجسيمات، المعبر عنه بالصيغة (9) من الفقرة السابقة، هو في الأساس قانون حركة مركز كتلته. في الواقع، من (4) مع كتلة إجمالية ثابتة M للنظام لدينا

مما يعني أن معدل تغير زخم النظام يساوي حاصل ضرب كتلته وتسارع مركز الكتلة. بمقارنة (5) بالصيغة (6) § 29 نحصل على ذلك

وفقًا لـ (6)، يتحرك مركز كتلة النظام حيث تتحرك نقطة مادية واحدة من الكتلة M تحت تأثير قوة تساوي مجموع جميع القوى الخارجية المؤثرة على الجسيمات الداخلة إلى النظام. على وجه الخصوص، مركز كتلة النظام الفيزيائي المغلق، الذي لا تؤثر عليه قوى خارجية، يتحرك بشكل منتظم ومستقيم في الإطار المرجعي بالقصور الذاتي أو يكون في حالة سكون.

إن فكرة مركز الكتلة في عدد من الحالات تجعل من الممكن الحصول على إجابات لبعض الأسئلة بشكل أكثر بساطة من الاستخدام المباشر لقانون الحفاظ على الزخم. النظر في المثال التالي.

رائد فضاء خارج السفينة.يبدأ رائد فضاء، ثابت بالنسبة للمركبة الفضائية ذات الكتلة مع إيقاف تشغيل المحرك، في سحب نفسه نحو السفينة باستخدام سلك أمان خفيف. ما هي المسافات التي سيقطعها رائد الفضاء والمركبة الفضائية قبل اللقاء إذا كانت المسافة الأولية بينهما كذلك؟

يقع مركز كتلة السفينة ورائد الفضاء على الخط المستقيم الذي يربط بينهما، والمسافات المقابلة بينهما تتناسب عكسيا مع الكتلتين.

نحصل عليه على الفور

في الفضاء السحيق، حيث لا توجد قوى خارجية، يكون مركز كتلة هذا النظام المغلق إما في حالة سكون أو يتحرك بسرعة ثابتة. في الإطار المرجعي حيث يكون في حالة سكون، يقطع رائد الفضاء والسفينة المسافات المعطاة في الصيغة (7) قبل اللقاء.

من أجل صحة هذا المنطق، من المهم بشكل أساسي استخدام إطار مرجعي بالقصور الذاتي. إذا قمنا هنا بربط النظام المرجعي بسفينة الفضاء بشكل متهور، لكنا قد توصلنا إلى نتيجة مفادها أنه عندما يتم سحب رائد الفضاء، يبدأ مركز كتلة النظام في التحرك في غياب القوى الخارجية: فهو يقترب من السفينة. يحافظ مركز الكتلة على سرعته فقط بالنسبة للإطار المرجعي بالقصور الذاتي.

المعادلة (6)، التي تحدد تسارع مركز كتلة نظام الجسيمات، لا تشمل القوى الداخلية المؤثرة فيه. هل هذا يعني أن القوى الداخلية ليس لها أي تأثير على حركة مركز الكتلة إطلاقا؟ وفي غياب القوى الخارجية أو عندما تكون هذه القوى ثابتة، فهذا هو الحال بالفعل. على سبيل المثال، في مجال الجاذبية الموحد، يستمر مركز كتلة القذيفة التي انفجرت أثناء الطيران في التحرك على طول نفس القطع المكافئ حتى لا تسقط أي من الشظايا على الأرض.

دور القوى الداخلية.وفي الحالات التي يمكن أن تتغير فيها القوى الخارجية، يكون الوضع أكثر تعقيدا إلى حد ما. لا تؤثر القوى الخارجية على مركز الكتلة، بل على الجسيمات الفردية للنظام. يمكن أن تعتمد هذه القوى على موضع الجزيئات، ويتم تحديد موضع كل جسيم أثناء حركته من خلال جميع القوى المؤثرة عليه، سواء الخارجية أو الداخلية.

دعونا نشرح ذلك باستخدام نفس المثال البسيط للقذيفة التي تتكسر إلى شظايا صغيرة أثناء الطيران تحت تأثير القوى الداخلية. في حين أن جميع الشظايا في حالة طيران، فإن مركز الكتلة، كما ذكرنا سابقًا، يستمر في التحرك على طول نفس القطع المكافئ. ومع ذلك، بمجرد أن تلمس واحدة على الأقل من الشظايا الأرض وتتوقف حركتها، ستتم إضافة قوة خارجية جديدة - قوة رد الفعل لسطح الأرض التي تعمل على الشظية المتساقطة. نتيجة لذلك، سيتغير تسارع مركز الكتلة، ولن يتحرك على نفس القطع المكافئ. إن ظهور قوة رد الفعل هذه هو نتيجة لعمل القوى الداخلية التي فجرت القذيفة. لذا، فإن عمل القوى الداخلية في لحظة انكسار القذيفة يمكن أن يؤدي إلى تغيير في التسارع الذي سيتحرك به مركز الكتلة في أوقات لاحقة، وبالتالي إلى تغيير في مساره.

دعونا نعطي مثالا أكثر وضوحا على تأثير القوى الداخلية على حركة مركز الكتلة. لنتخيل أن القمر الصناعي للأرض،

وتدور حوله في مدار دائري، وتحت تأثير القوى الداخلية ينقسم إلى نصفين. يتوقف أحد النصفين ويبدأ بالسقوط عموديًا على الأرض. وفقا لقانون الحفاظ على الزخم، يجب على النصف الثاني في هذه اللحظة مضاعفة سرعته، موجها بشكل عرضي إلى الدائرة. كما سنرى أدناه، بهذه السرعة، سيطير هذا النصف بعيدا عن الأرض إلى مسافة كبيرة بلا حدود. وبالتالي، فإن مركز كتلة القمر الصناعي، أي نصفيه، سيتحرك أيضًا إلى مسافة لا متناهية من الأرض. والسبب في ذلك هو عمل القوى الداخلية عندما ينقسم القمر الصناعي إلى قسمين، وإلا فإن القمر الصناعي غير المقسم سيستمر في التحرك في مدار دائري.

الدفع النفاث.قانون الحفاظ على زخم النظام المغلق يجعل من السهل شرح مبدأ الحركة التفاعلية. عند حرق الوقود، ترتفع درجة الحرارة وينشأ ضغط مرتفع في غرفة الاحتراق، مما يؤدي إلى هروب الغازات الناتجة من فوهة محرك الصاروخ بسرعة عالية. وفي غياب المجالات الخارجية، يظل الزخم الإجمالي للصاروخ والغازات المتسربة من الفوهة دون تغيير. لذلك، عندما تتدفق الغازات، يكتسب الصاروخ سرعة في الاتجاه المعاكس.

معادلة مششيرسكي.نحصل على معادلة تصف حركة الصاروخ. لنفترض أن الصاروخ في لحظة معينة من الزمن يكون له سرعة في إطار مرجعي قصوري، دعونا نقدم إطارًا مرجعيًا قصوريًا آخر، حيث يكون الصاروخ في لحظة معينة من الزمن بلا حراك. دعونا نسمي هذا النظام المرجعي comoving. إذا قام محرك صاروخي عامل بإخراج غازات جماعية بسرعة نسبة إلى الصاروخ خلال فترة من الزمن، فبعد فترة ستكون سرعة الصاروخ في هذا النظام المصاحب مختلفة عن الصفر وتساوي

دعونا نطبق قانون حفظ الزخم على النظام الفيزيائي المغلق قيد النظر، وهو الصاروخ بالإضافة إلى الغازات. في اللحظة الأولية، في الإطار المرجعي المصاحب، يكون الصاروخ والغازات في حالة سكون، وبالتالي فإن الزخم الإجمالي يساوي صفرًا. وبعد مرور الزمن، يصبح زخم الصاروخ مساويًا لكمية حركة الغازات المقذوفة، وبالتالي

يتم الحفاظ على الكتلة الإجمالية للنظام الصاروخي بالإضافة إلى الغازات، وبالتالي فإن كتلة الغازات المقذوفة تساوي فقدان كتلة الصاروخ:

الآن تتم إعادة كتابة المعادلة (8) بعد القسمة على فترة زمنية كـ

وبالانتقال إلى النهاية نحصل على معادلة حركة جسم متغير الكتلة (الصاروخ) في غياب القوى الخارجية:

المعادلة (9) لها شكل قانون نيوتن الثاني، إذا اعتبر طرفها الأيمن قوة رد فعل، أي القوة التي تؤثر بها الغازات الخارجة منها على الصاروخ. كتلة الصاروخ هنا ليست ثابتة، بل تتناقص مع مرور الوقت بسبب فقدان المادة، أي بالتالي القوة التفاعلية؛ موجهة في الاتجاه المعاكس لسرعة الغازات المتسربة من الفوهة بالنسبة للصاروخ. ويمكن ملاحظة أن هذه القوة أكبر كلما زادت سرعة تدفق الغاز وزاد استهلاك الوقود لكل وحدة زمنية.

تم الحصول على المعادلة (9) في نظام مرجعي قصوري معين - النظام المصاحب. ونظرًا لمبدأ النسبية، فإنه صحيح أيضًا في أي إطار مرجعي بالقصور الذاتي. إذا كان هناك، بالإضافة إلى القوة التفاعلية، أي قوى خارجية أخرى تؤثر على الصاروخ، مثل الجاذبية ومقاومة الهواء، فيجب إضافتها إلى الجانب الأيمن من المعادلة (9):

تم الحصول على هذه المعادلة لأول مرة بواسطة Meshchersky وتحمل اسمه. بالنسبة لوضع تشغيل محرك معين، عندما تكون الكتلة دالة معينة معروفة للوقت، تتيح لك معادلة Meshchersky حساب سرعة الصاروخ في أي وقت.

ما الاعتبارات الفيزيائية التي تشير إلى مدى استصواب تحديد مركز الكتلة باستخدام الصيغة (1)؟

بأي معنى يميز مركز الكتلة حركة نظام الجسيمات ككل؟

ماذا يقول قانون حركة مركز الكتلة لنظام من الأجسام المتفاعلة؟ هل تؤثر القوى الداخلية على تسارع مركز الكتلة؟

هل يمكن للقوى الداخلية أن تؤثر على مسار مركز كتلة النظام؟

في مشكلة انفجار القذيفة، التي تم تناولها في الفقرة السابقة، يسمح لنا قانون حركة مركز الكتلة بالعثور على مدى طيران الجزء الثاني على الفور إذا كانت سرعته الأولية أفقية. كيف افعلها؟ لماذا لا تنطبق هذه الاعتبارات في الحالة التي تكون فيها سرعتها الأولية مكونة رأسية؟

أثناء تسارع الصاروخ، يعمل محركه في وضع ثابت، بحيث لا تتغير السرعة النسبية لتدفق الغاز واستهلاك الوقود لكل وحدة زمنية. هل سيكون تسارع الصاروخ ثابتا؟

اشتق معادلة Meshchersky باستخدام إطار بالقصور الذاتي، بدلاً من الإطار المرجعي المتحرك، حيث يكون للصاروخ سرعة بالفعل

صيغة تسيولكوفسكي.لنفترض أن الصاروخ يتسارع في الفضاء الحر، حيث لا تؤثر عليه أي قوى خارجية. ومع استهلاك الوقود، تقل كتلة الصاروخ. دعونا نوجد العلاقة بين كتلة الوقود المستهلكة والسرعة التي اكتسبها الصاروخ.

بعد تشغيل المحرك، يبدأ الصاروخ الثابت في التقاط السرعة، ويتحرك في خط مستقيم. وبإسقاط المعادلة المتجهة (9) على اتجاه حركة الصاروخ نحصل على ذلك

وفي المعادلة (11) سنعتبر كتلة الصاروخ دالة على السرعة التي اكتسبها الصاروخ، ومن ثم يمكن تمثيل معدل تغير الكتلة مع مرور الوقت على النحو التالي:

مركز الكتلة

مركز القصور الذاتي، نقطة هندسية يحدد موقعها توزيع الكتل في الجسم أو النظام الميكانيكي. يتم تحديد إحداثيات الكتلة المركزية بواسطة الصيغ

,

أين م إلى -كتل من النقاط المادية التي تشكل النظام، س ك، ذ ك، ض ك -إحداثيات هذه النقاط، م= Σ م إلى -كتلة النظام، ρ - الكثافة، الخامس-مقدار. يختلف مفهوم مركز الجاذبية عن مفهوم مركز الجاذبية (انظر مركز الجاذبية) حيث أن الأخير منطقي فقط بالنسبة لجسم صلب يقع في مجال جاذبية موحد؛ لا يرتبط مفهوم النظام الميكانيكي بأي مجال قوة وهو منطقي لأي نظام ميكانيكي. بالنسبة للجسم الصلب، فإن موضعي مركز الثقل ومركز الثقل يتطابقان.

عندما يتحرك نظام ميكانيكي، تتحرك كتلته المركزية بنفس الطريقة التي تتحرك بها نقطة مادية إذا كانت كتلتها تساوي كتلة النظام وتقع تحت تأثير جميع القوى الخارجية المطبقة على النظام. بالإضافة إلى ذلك، فإن بعض معادلات حركة النظام الميكانيكي (الجسم) فيما يتعلق بالمحاور التي تنشأ في مركز الحركة وتتحرك مع مركز الحركة انتقاليًا تحتفظ بنفس شكل الحركة بالنسبة إلى النظام المرجعي بالقصور الذاتي (انظر .النظام المرجعي بالقصور الذاتي). وفي ضوء هذه الخصائص، يلعب مفهوم الحركة المركزية دورًا مهمًا في ديناميكيات النظام والجسم الصلب.

إس إم تارج.

الموسوعة السوفيتية الكبرى. - م: الموسوعة السوفيتية. 1969-1978 .

انظر ما هو "مركز الكتلة" في القواميس الأخرى:

- (مركز القصور الذاتي) للجسم (نظام النقاط المادية)، وهي النقطة التي يحدد موقعها توزيع الكتل في الجسم أو النظام الميكانيكي. عندما يتحرك جسم فإن مركز كتلته يتحرك كنقطة مادية كتلتها تساوي كتلة الجسم بأكمله، إلى... ... القاموس الموسوعي

- (مركز القصور الذاتي) للجسم (نظام النقاط المادية) نقطة تميز توزيع الكتل في الجسم أو النظام الميكانيكي. عندما يتحرك جسم فإن مركز كتلته يتحرك كنقطة مادية كتلتها تساوي كتلة الجسم كله الذي ... ... القاموس الموسوعي الكبير

مركز الكتلة- نظام ميكانيكي؛ مركز الكتلة صناعة مركز القصور الذاتي نقطة هندسية يكون مجموع حاصل ضرب كتل جميع النقاط المادية المكونة لنظام ميكانيكي ومتجهات نصف قطرها المرسومة من هذه النقطة يساوي صفر... المعجم التوضيحي للمصطلحات البوليتكنيكية

نفس مركز القصور الذاتي. القاموس الموسوعي المادي. م: الموسوعة السوفيتية. رئيس التحرير أ.م.بروخوروف. 1983. مركز الكتلة... الموسوعة الفيزيائية

ولهذا المصطلح معاني أخرى، انظر مركز الجاذبية (المعاني). مركز الكتلة، مركز القصور الذاتي، barycenter (من اليونانية الأخرى: βαρύς ثقيل + κέντρον مركز) (في الميكانيكا) نقطة هندسية تميز حركة جسم أو نظام من الجسيمات على أنها ... ... ويكيبيديا

مركز الكتلة- 3.1 مركز الكتلة: نقطة مرتبطة بجسم مادي ولها خاصية مفادها أن جسم نقطة خيالية بكتلة تساوي كتلة هذا الجسم المادي، إذا تم وضعها في هذه النقطة، سيكون لها نفس عزم القصور الذاتي بالنسبة إلى تعسفي... ... كتاب مرجعي للقاموس لمصطلحات التوثيق المعياري والتقني

مركز القصور الذاتي، النقطة C، التي تميز توزيع الكتل في الميكانيكية. نظام. متجه نصف القطر للكتلة المركزية لنظام يتكون من نقاط مادية، حيث mi وri هما متجه الكتلة ونصف القطر للنقطة ith، وM هي كتلة النظام بأكمله. عندما يتحرك النظام، تتحرك القطعة المركزية... قاموس البوليتكنيك الموسوعي الكبير

- (مركز القصور الذاتي) للجسم (نظام النقاط المادية)، النقطة، موضع السرب يميز توزيع الكتل في الجسم أو الميكانيكية. نظام. عندما يتحرك جسم فإن كتلته المركزية تتحرك مثل نقطة مادية كتلتها تساوي كتلة الجسم بأكمله، باتجاه سرب... ... علم الطبيعة. القاموس الموسوعي

مركز الكتلة- (مركز القصور الذاتي) نقطة هندسية يحدد موقعها توزيع الكتل في الجسم أو النظام الميكانيكي... نتالبيقفلالا. القاموس التوضيحي المصور.

نقطة تميز توزيع الكتل في الجسم أو النظام الميكانيكي. عندما يتحرك جسم (نظام) فإن كتلته المركزية تتحرك كنقطة مادية كتلتها تساوي كتلة الجسم بأكمله، وتطبق عليها جميع القوى المؤثرة على هذا الجسم... القاموس الفلكي

كتب

• ، ويبر ألفريد. ألفريد فيبر عالم اجتماع وعالم ثقافي ومؤرخ ألماني، يدرك تمامًا طبيعة واتجاه التاريخ الاجتماعي والاتجاهات السياسية. شاهد صادم على كارثتين أوروبيتين..
• المفضلة. أزمة الثقافة الأوروبية، فيبر أ.. ألفريد فيبر (1868-1958) - عالم اجتماع ألماني، وعالم ثقافي، ومؤرخ، يدرك تمامًا طبيعة واتجاه التاريخ الاجتماعي والاتجاهات السياسية. شاهد مصدوم على كارثتين..

مركز الجاذبية(أو مركز الكتلة) لجسم معين هي نقطة لها خاصية أنه إذا علق الجسم من هذه النقطة فإنه يحافظ على مكانه.

سننظر أدناه في المشكلات ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد المرتبطة بالبحث عن مراكز كتلة مختلفة - بشكل أساسي من وجهة نظر الهندسة الحسابية.

في الحلول التي تمت مناقشتها أدناه، يمكن التمييز بين حلين رئيسيين: حقيقة. الأول هو أن مركز كتلة نظام النقاط المادية يساوي متوسط ​​إحداثياتها، مأخوذًا بمعاملات تتناسب مع كتلتها. والحقيقة الثانية هي أننا إذا عرفنا مركزي كتلة شكلين غير متقاطعين، فإن مركز كتلة اتحادهما يقع على القطعة التي تربط هذين المركزين، فيقسمها بنفس نسبة كتلة الشكلين. الرقم الثاني يتعلق بكتلة الأول.

حالة ثنائية الأبعاد: المضلعات

في الواقع، عند الحديث عن مركز كتلة شكل ثنائي الأبعاد، يمكننا أن نعني أحد الأشكال الثلاثة التالية مهام:

• مركز كتلة نظام النقاط - أي. تتركز الكتلة كلها فقط في رؤوس المضلع.
• مركز كتلة الإطار - أي. تتركز كتلة المضلع في محيطه.
• مركز كتلة الشكل الصلب - أي. يتم توزيع كتلة المضلع على كامل مساحته.

كل مشكلة من هذه المشاكل لها حل مستقل وسيتم مناقشتها بشكل منفصل أدناه.

مركز كتلة نظام النقاط

هذه هي أبسط المسائل الثلاث، وحلها هو الصيغة الفيزيائية المعروفة لمركز كتلة نظام من النقاط المادية:

أين كتل النقاط، ومتجهات نصف القطر (التي تحدد موقعها بالنسبة إلى الأصل)، ومتجه نصف القطر المطلوب لمركز الكتلة.

على وجه الخصوص، إذا كانت جميع النقاط لها نفس الكتلة، فإن إحداثيات مركز الكتلة هي متوسطإحداثيات النقاط. ل مثلثتسمى هذه النقطة النقطه الوسطىويتزامن مع نقطة تقاطع المتوسطات:

ل دليلوتكفي هذه الصيغ أن نتذكر أن التوازن يتحقق عند نقطة يكون عندها مجموع لحظات جميع القوى يساوي الصفر. في هذه الحالة، يتحول هذا إلى الشرط الذي يكون فيه مجموع متجهات نصف القطر لجميع النقاط بالنسبة للنقطة، مضروبًا في كتل النقاط المقابلة، يساوي صفرًا:

وبالتعبير من هنا نحصل على الصيغة المطلوبة.

مركز كتلة الإطار

ولكن بعد ذلك يمكن استبدال كل جانب من جوانب المضلع بنقطة واحدة - منتصف هذا الجزء (نظرًا لأن مركز كتلة الجزء المتجانس هو منتصف هذا الجزء)، بكتلة تساوي طول هذا الجزء.

والآن لدينا مشكلة تتعلق بنظام النقاط المادية، وبتطبيق الحل من الفقرة السابقة عليها نجد:

حيث هي نقطة منتصف الجانب رقم i من المضلع، وطول الجانب رقم i، هو المحيط، أي. مجموع أطوال الجوانب.

ل مثلثيمكن إظهار العبارة التالية: هذه النقطة هي نقطة تقاطع منصفمثلث يتكون من منتصف أضلاع المثلث الأصلي. (لإظهار ذلك، تحتاج إلى استخدام الصيغة المذكورة أعلاه، ثم لاحظ أن المنصفات تقسم جوانب المثلث الناتج بنفس نسب مراكز كتلة هذه الجوانب).

مركز كتلة الشكل الصلب

نحن نعتقد أن الكتلة موزعة بشكل موحد على الشكل، أي. الكثافة عند كل نقطة من الشكل تساوي نفس العدد.

حالة المثلث

يقال أن الإجابة ستكون هي نفسها بالنسبة للمثلث النقطه الوسطى، أي. النقطة التي يشكلها الوسط الحسابي لإحداثيات القمم:

حالة المثلث: برهان

نقدم هنا برهانًا أوليًا لا يستخدم نظرية التكاملات.

كان أرخميدس أول من قدم مثل هذا الدليل الهندسي البحت، لكنه كان معقدًا للغاية، مع وجود عدد كبير من الإنشاءات الهندسية. الدليل المقدم هنا مأخوذ من مقال "العثور على النقط الوسطى بالطريقة السهلة" بقلم أبوستول، مناتساكانيان.

ويتلخص الدليل في إظهار أن مركز كتلة المثلث يقع على أحد المتوسطات؛ وبتكرار هذه العملية مرتين أخريين، سنبين بذلك أن مركز الكتلة يقع عند نقطة تقاطع المتوسطات، وهي النقطة الوسطى.

لنقسم هذا المثلث إلى أربعة، نربط منتصف أضلاعه، كما هو موضح في الشكل:

المثلثات الأربعة الناتجة تشبه المثلث ذو المعامل .

يشكل المثلثان رقم 1 ورقم 2 معًا متوازي أضلاع، يقع مركز كتلته عند نقطة تقاطع قطريه (نظرًا لأن هذا الشكل متماثل بالنسبة إلى كلا القطرين، وبالتالي مركز ثقله). يجب أن تقع الكتلة على كل من القطرين). تقع النقطة في منتصف الضلع المشترك للمثلثين رقم 1 ورقم 2، وتقع أيضاً على وسط المثلث:

لنفترض الآن أن المتجه هو المتجه المرسوم من قمة الرأس إلى مركز كتلة المثلث رقم 1، وليكن المتجه هو المتجه المرسوم من النقطة (التي، تذكر، هي منتصف الجانب الذي يقع عليه) :

هدفنا هو إظهار أن المتجهات و على خط واحد.

دعونا نشير إلى النقاط التي تمثل مراكز كتلة المثلثين رقم 3 ورقم 4. ومن الواضح إذن أن مركز كتلة مجموعة هذين المثلثين سيكون النقطة، التي تمثل منتصف القطعة المستقيمة. علاوة على ذلك، فإن المتجه من نقطة إلى أخرى يتزامن مع المتجه.

يقع مركز الكتلة المطلوب للمثلث في منتصف الجزء الذي يربط النقاط و (بما أننا قسمنا المثلث إلى جزأين متساويين في المساحة: رقم 1-رقم 2 ورقم 3-رقم 4):

وبالتالي فإن المتجه من قمة الرأس إلى النقطه الوسطى هو . ومن ناحية أخرى، لأنه المثلث رقم 1 يشبه المثلث الذي له معامل، فإن نفس المتجه يساوي . ومن هنا نحصل على المعادلة:

حيث نجد:

وهكذا أثبتنا أن المتجهات و على خط واحد، مما يعني أن النقطه الوسطى المطلوبة تقع على الوسيط المنبثق من قمة الرأس.

علاوة على ذلك، أثبتنا على طول الطريق أن النقطه الوسطى تقسم كل وسيط في النسبة، بدءًا من الرأس.

حالة المضلع

دعنا ننتقل الآن إلى الحالة العامة - أي. لهذه المناسبة مضلع. بالنسبة له، لم يعد هذا المنطق قابلاً للتطبيق، لذا فإننا نختصر المشكلة إلى مشكلة مثلثية: أي، نقسم المضلع إلى مثلثات (أي نمثله)، ونجد مركز كتلة كل مثلث، ثم نجد مركز كتلة مراكز الكتلة الناتجة للمثلثات.

الصيغة النهائية هي كما يلي:

أين هي النقطه الوسطى للمثلث ث في تثليث مضلع معين، هي مساحة المثلث ث للتثليث، هي مساحة المضلع بأكمله.

يعد تثليث المضلع المحدب مهمة تافهة: لهذا، على سبيل المثال، يمكنك أن تأخذ مثلثات، حيث .

حالة المضلع: طريقة بديلة

من ناحية أخرى، فإن استخدام الصيغة المذكورة أعلاه ليس مناسبًا جدًا مضلعات غير محدبةلأن تثليثها ليس بالمهمة السهلة في حد ذاته. ولكن بالنسبة لمثل هذه المضلعات، يمكنك التوصل إلى نهج أبسط. وهي لنرسم تشبيهًا لكيفية البحث عن مساحة مضلع عشوائي: يتم تحديد نقطة عشوائية، ثم يتم تلخيص مناطق الإشارة للمثلثات التي تشكلها هذه النقطة ونقاط المضلع: . يمكن استخدام تقنية مماثلة للعثور على مركز الكتلة: الآن فقط سنجمع مراكز كتلة المثلثات المأخوذة بمعاملات تتناسب مع مساحاتها، أي. الصيغة النهائية لمركز الكتلة هي:

حيث هي نقطة تعسفية، هي نقاط المضلع، هي النقطه الوسطى للمثلث، هي المنطقة الموقعة لهذا المثلث، هي المنطقة الموقعة للمضلع بأكمله (أي).

حالة ثلاثية الأبعاد: متعددات الوجوه

كما هو الحال في الحالة ثنائية الأبعاد، في الحالة ثلاثية الأبعاد، يمكننا التحدث فورًا عن أربع صيغ محتملة للمشكلة:

• مركز كتلة نظام النقاط - رؤوس متعدد السطوح.
• مركز كتلة الإطار هو حواف متعدد السطوح.
• مركز كتلة السطح - أي. يتم توزيع الكتلة على مساحة سطح متعدد السطوح.
• مركز كتلة متعدد السطوح الصلبة - أي. يتم توزيع الكتلة في جميع أنحاء متعدد السطوح.

مركز كتلة نظام النقاط

وكما في الحالة ثنائية الأبعاد، يمكننا تطبيق الصيغة الفيزيائية والحصول على نفس النتيجة:

والذي، في حالة تساوي الكتل، يتحول إلى الوسط الحسابي لإحداثيات جميع النقاط.

مركز كتلة الإطار متعدد السطوح

وكما هو الحال في الحالة ثنائية الأبعاد، فإننا ببساطة نستبدل كل حافة من متعدد السطوح بنقطة مادية تقع في منتصف هذه الحافة، وبكتلة تساوي طول هذه الحافة. بعد أن تلقينا مشكلة النقاط المادية، نجد حلها بسهولة كمجموع مرجح لإحداثيات هذه النقاط.

مركز كتلة سطح متعدد السطوح

كل وجه من سطح متعدد السطوح هو شكل ثنائي الأبعاد، يمكننا البحث عن مركز كتلته. بعد العثور على مراكز الكتلة هذه واستبدال كل وجه بمركز كتلته، نحصل على مشكلة تتعلق بالنقاط المادية، والتي يسهل حلها بالفعل.

مركز كتلة مجسم متعدد السطوح الصلبة

حالة رباعي الاسطح

وكما هو الحال في الحالة ثنائية الأبعاد، فلنحل أولًا أبسط مشكلة، وهي مشكلة رباعي السطوح.

يُذكر أن مركز كتلة رباعي السطوح يتزامن مع نقطة تقاطع متوسطاته (متوسط ​​رباعي السطوح هو قطعة مرسومة من قمته إلى مركز كتلة الوجه المقابل؛ وبالتالي، متوسط ​​رباعي السطوح يمر عبر قمة الرأس ومن خلال نقطة تقاطع متوسطات الوجه الثلاثي).

لماذا هو كذلك؟ هنا، يكون المنطق المشابه للحالة ثنائية الأبعاد صحيحًا: إذا قطعنا رباعي السطوح إلى رباعيين باستخدام مستوى يمر عبر قمة رباعي السطوح وبعض متوسط ​​الوجه المقابل، فإن كلاً من رباعي السطوح الناتج سيكون له نفس الحجم (بما أن سيتم تقسيم الوجه المثلثي بواسطة الوسيط إلى مثلثين متساويين في المساحة، ولن يتغير ارتفاع الرباعيين). وبتكرار هذه الحجج عدة مرات نجد أن مركز الكتلة يقع عند نقطة تقاطع متوسطات رباعيات الأسطح.

هذه النقطة - نقطة تقاطع متوسطات رباعي الاسطح - تسمى بها النقطه الوسطى. يمكن إثبات أن إحداثياته ​​في الواقع تساوي الوسط الحسابي لإحداثيات رؤوس رباعي السطوح:

(يمكن استنتاج ذلك من حقيقة أن النقطه الوسطى تقسم المتوسطات في النسبة)

وبالتالي، لا يوجد فرق جوهري بين حالتي رباعي السطوح والمثلث: فالنقطة المساوية للوسط الحسابي للقمم هي مركز الكتلة في صيغتين للمشكلة: كلاهما عندما تكون الكتل موجودة عند القمم فقط، وعندما يتم توزيع الجماهير على كامل المنطقة/الحجم. في الواقع، يتم تعميم هذه النتيجة على بُعد اعتباطي: مركز كتلة اعتباطي بسيط(البسيط) هو الوسط الحسابي لإحداثيات رؤوسه.

حالة متعدد السطوح التعسفي

دعونا ننتقل الآن إلى الحالة العامة - حالة متعدد السطوح الاعتباطي.

مرة أخرى، كما في الحالة ثنائية الأبعاد، نختصر هذه المشكلة إلى مشكلة تم حلها بالفعل: نقسم متعدد السطوح إلى رباعيات السطوح (أي نجعلها رباعية السطوح)، ونجد مركز كتلة كل منها، ونحصل على الإجابة النهائية لسؤال المشكلة في شكل مجموع مرجح للمراكز الموجودة بالوزن.

نظام ميكانيكي

النظام الميكانيكي عبارة عن مجموعة من النقاط المادية:- التحرك وفق قوانين الميكانيكا الكلاسيكية. و - التفاعل مع بعضهم البعض ومع الهيئات غير المدرجة في هذه المجموعة.

وزن

تتجلى الكتلة في الطبيعة بعدة طرق.

كتلة الجاذبية السلبيةيوضح القوة التي يتفاعل بها الجسم مع مجالات الجاذبية الخارجية - في الواقع، هذه الكتلة هي الأساس لقياس الكتلة عن طريق الوزن في علم القياس الحديث.

كتلة الجاذبية النشطةيُظهر نوع مجال الجاذبية الذي يخلقه هذا الجسم نفسه - تظهر كتل الجاذبية في قانون الجاذبية العالمية.

كتلة خاملةيصف القصور الذاتي للأجسام ويظهر في إحدى صيغ قانون نيوتن الثاني. إذا كانت هناك قوة تعسفية في الإطار المرجعي القصوري تعمل على تسريع الأجسام المختلفة غير المتحركة في البداية بشكل متساوٍ، فسيتم تعيين نفس كتلة القصور الذاتي لهذه الأجسام.

كتل الجاذبية والقصور الذاتي متساوية مع بعضها البعض (بدقة عالية - حوالي 10 −13 - تجريبيًا، وفي معظم النظريات الفيزيائية، بما في ذلك كل تلك المؤكدة تجريبيًا - بالضبط)، لذلك، في الحالة التي لا نتحدث فيها عن " فيزياء جديدة"، فإنهم يتحدثون ببساطة عن الكتلة، دون تحديد أي منها يقصدون.

في الميكانيكا الكلاسيكية كتلة نظام الهيئات متساويةمجموع جماهير الهيئات المكونة لها. في الميكانيكا النسبية، الكتلة ليست كمية فيزيائية مضافة، أي أن كتلة النظام في الحالة العامة لا تساوي مجموع كتل مكوناته، ولكنها تتضمن طاقة ربط وتعتمد على طبيعة حركة المادة. الجزيئات نسبة لبعضها البعض

مركز الكتلة - (في الميكانيكا) نقطة هندسية تميز حركة الجسم أو نظام الجزيئات ككل. إنه ليس مطابقًا لمفهوم مركز الثقل (على الرغم من أنه يتطابق في أغلب الأحيان).

يتم تحديد موضع مركز الكتلة (مركز القصور الذاتي) لنظام النقاط المادية في الميكانيكا الكلاسيكية على النحو التالي:

أين هو متجه نصف القطر لمركز الكتلة، هو ناقل نصف القطر أناالنقطة الرابعة من النظام - الكتلة أناالنقطة الرابعة.

في حالة التوزيع الشامل المستمر:

أين الكتلة الكلية للنظام، والحجم، والكثافة. وهكذا فإن مركز الكتلة يميز توزيع الكتلة على جسم أو نظام من الجزيئات.

يمكن إثبات أنه إذا كان النظام لا يتكون من نقاط مادية، بل من أجسام ممتدة ذات كتل، فإن متجه نصف القطر لمركز كتلة هذا النظام يرتبط بمتجهات نصف القطر لمراكز كتلة الأجسام بواسطة علاقة:

بمعنى آخر، في حالة الأجسام الممتدة، تكون الصيغة صحيحة، ويتوافق هيكلها مع ذلك المستخدم للنقاط المادية.

في الميكانيكا!!!

يستخدم مفهوم مركز الكتلة على نطاق واسع في الميكانيكا والفيزياء.

يمكن اعتبار حركة الجسم الصلب بمثابة تراكب لحركة مركز الكتلة والحركة الدورانية للجسم حول مركز كتلته. في هذه الحالة، يتحرك مركز الكتلة بنفس الطريقة التي يتحرك بها جسم له نفس الكتلة، ولكن بأبعاد متناهية الصغر (نقطة مادية). وهذا الأخير يعني، على وجه الخصوص، أن جميع قوانين نيوتن تنطبق على وصف هذه الحركة. في كثير من الحالات، يمكنك تجاهل حجم الجسم وشكله تمامًا والنظر فقط في حركة مركز كتلته.

غالبًا ما يكون من المناسب النظر في حركة نظام مغلق في إطار مرجعي مرتبط بمركز الكتلة. ويسمى هذا النظام المرجعي مركز نظام الكتلة (نظام C)، أو مركز نظام القصور الذاتي. وفيه يظل الزخم الإجمالي لنظام مغلق دائمًا مساويًا للصفر، مما يجعل من الممكن تبسيط معادلات حركته.

مراكز كتلة الأشكال المتجانسة

الجزء له وسط.

بالنسبة للمضلعات (الأشكال والإطارات المسطحة الصلبة):

متوازي الأضلاع له نقطة تقاطع قطريه.

المثلث لديه نقطة تقاطع المتوسطات ( النقطه الوسطى).

المضلع المنتظم له مركز تناظر دوراني.

نصف الدائرة له نقطة تقسم نصف القطر العمودي بنسبة 4:3π من مركز الدائرة.

الزخم = الدافع

مقدار حركة النظام (نبض النظام).

كمية الحركة (نبض الجسم)– كمية فيزيائية متجهة تساوي حاصل ضرب كتلة الجسم وسرعته:

يعد الدافع (كمية الحركة) أحد أهم الخصائص الأساسية لحركة الجسم أو نظام الأجسام.

دعونا نكتب قانون نيوتن الثاني بشكل مختلف، مع الأخذ في الاعتبار أن التسارع إذن

حاصل ضرب القوة وزمن تأثيرها يساوي الزيادة في زخم الجسم (الشكل 1):

أين هو دافع القوة، مما يدل على أن نتيجة القوة لا تعتمد فقط على قيمتها، ولكن أيضا على مدة عملها.

رسم بياني 1

سيتم تسمية مقدار حركة النظام (النبضة) بكمية متجهة تساوي المجموع الهندسي (المتجه الرئيسي) لكميات الحركة (النبضات) لجميع نقاط النظام(الصورة 2):

يتضح من الرسم أنه بغض النظر عن قيم سرعات نقاط النظام (ما لم تكن هذه السرعات متوازية)، فإن المتجه يمكن أن يأخذ أي قيم بل ويتحول إلى صفر عندما يتم إغلاق المضلع المبني من المتجهات. وبالتالي، لا يمكن الحكم على طبيعة حركة النظام بشكل كامل من خلال حجمها.

الصورة 2

دعونا نجد صيغة تسهل كثيرًا حساب القيمة وفهم معناها أيضًا.

من المساواة

يتبع ذلك

وبأخذ المشتقة الزمنية لكلا الطرفين، نحصل على

ومن هنا نجد ذلك

مقدار حركة (زخم) النظام يساوي ناتج كتلة النظام بأكمله وسرعة مركز كتلته . هذه النتيجة ملائمة بشكل خاص للاستخدام عند حساب كميات حركة الأجسام الصلبة.

يتضح من الصيغة أنه إذا تحرك جسم (أو نظام) بحيث يظل مركز الكتلة ثابتًا، فإن زخم الجسم يساوي صفرًا. على سبيل المثال، كمية حركة جسم يدور حول محور ثابت ويمر بمركز كتلته ستكون صفرًا.

إذا كانت حركة الجسم معقدة، فلن تميز القيمة الجزء الدوراني من الحركة حول مركز الكتلة. على سبيل المثال، بالنسبة للعجلة المتدحرجة، بغض النظر عن كيفية دوران العجلة حول مركز كتلتها مع.

هكذا، الزخم يميز فقط الحركة الانتقالية للنظام. في الحركة المعقدة، تميز الكمية فقط الجزء الانتقالي من حركة النظام مع مركز الكتلة.

النقطة الرئيسية هي الكمية ستف دي في انبعاث (نبض) النظام.

اللحظة الرئيسية للزخم (أو اللحظة الحركية) لنظام بالنسبة إلى مركز معين عنتسمى كمية تساوي المجموع الهندسي لعزوم كميات حركة جميع نقاط النظام بالنسبة لهذا المركز.

يتم تحديد لحظات كميات حركة النظام بالنسبة إلى محاور الإحداثيات بالمثل:

في هذه الحالة، فإنها تمثل في نفس الوقت إسقاطات المتجه على محاور الإحداثيات.

مثلما أن زخم النظام هو سمة من سمات حركته الانتقالية، اللحظة الرئيسية لزخم النظام هي سمة من سمات الحركة الدورانية للنظام.

الشكل 6

لفهم المعنى الميكانيكي للكمية ل 0 ولدينا الصيغ اللازمة لحل المسائل، نحسب الزخم الزاوي لجسم يدور حول محور ثابت (الشكل 6)، علاوة على ذلك، كالعادة، تعريف المتجه ويأتي لتحديد توقعاتها.

دعونا أولا نجد الصيغة الأكثر أهمية للتطبيقات، والتي تحدد الكمية لض، أي العزم الحركي لجسم يدور حول محور الدوران.

لأي نقطة من الجسم تقع على مسافة من محور الدوران تكون سرعتها . ولذلك لهذه النقطة. ثم بالنسبة للجسم كله، مع إخراج العامل المشترك ω من بين قوسين، نحصل عليه

تمثل القيمة الموجودة بين قوسين لحظة القصور الذاتي للجسم بالنسبة للمحور ض. نجد أخيرا

هكذا، إن اللحظة الحركية لجسم يدور بالنسبة لمحور الدوران تساوي حاصل ضرب لحظة القصور الذاتي للجسم بالنسبة لهذا المحور والسرعة الزاوية للجسم.

إذا كان النظام يتكون من عدة أجسام تدور حول نفس المحور، فمن الواضح أنه سيكون هناك

من السهل رؤية التشابه بين الصيغ و: مقدار الحركة يساوي منتج الكتلة (كمية تميز القصور الذاتي للجسم أثناء الحركة الانتقالية) والسرعة؛ اللحظة الحركية تساوي ناتج لحظة القصور الذاتي (القيمة التي تميز القصور الذاتي للجسم أثناء الحركة الدورانية) والسرعة الزاوية.