Materijal iz matematike "teoreme o uglovima formiranim tetivama, tangentama i sekantima." Teoreme o uglovima formiranim od dve paralelne prave
§ 1 Konverzna teorema
U ovoj lekciji ćemo saznati koje se teoreme nazivaju konverznim, dati primjere obrnutih teorema, formulirati teoreme o uglovima koje formiraju dvije paralelne prave i transverzala i upoznati se s metodom dokazivanja kontradikcijom.
Prilikom studiranja raznih geometrijski oblici Obično se formulišu definicije, dokazuju teoreme i razmatraju posledice iz teorema. Svaka teorema ima dva dijela: uslov i zaključak.
Uslov teoreme je ono što je dato, a zaključak ono što treba dokazati. Vrlo često uvjet teoreme počinje riječju "ako", a zaključak počinje riječju "onda". Na primjer, teorema o svojstvima jednakokračnog trokuta može se formulirati na sljedeći način: "Ako je trokut jednakokračan, onda su uglovi u njegovoj osnovi jednaki." Prvi dio teoreme “Ako je trokut jednakokračan” je uvjet teoreme, drugi dio teoreme “onda su uglovi u njegovoj osnovi jednaki” je zaključak teoreme.
Teorema u kojoj su uvjet i zaključak zamijenjeni naziva se inverzna teorema. Konverzna teorema teoremi o svojstvima jednakokračnog trougla zvučat će ovako: "Ako su dva ugla u trokutu jednaka, onda je takav trokut jednakokraki."
Zapišimo ukratko svaki od njih:
Vidimo da su uslov i zaključak zamenili mesta.
Svaka od ovih izjava je tačna.
Postavlja se pitanje: da li je izjava u kojoj se uslov mijenja sa zaključkom uvijek istinita?
Pogledajmo primjer.
Ako su uglovi okomiti, onda su jednaki. Ovo je istinita izjava i ima dokaza. Formulirajmo suprotnu izjavu: ako su uglovi jednaki, onda su vertikalni. Ova tvrdnja je netačna, to je lako provjeriti navođenjem pobijajućeg primjera: uzmimo dva prava ugla (vidi sliku), jednaki su, ali nisu okomiti.
Dakle, obrnuti iskazi (teoreme) u odnosu na već dokazane iskaze (teoreme) uvijek zahtijevaju dokaz.
§ 2 Teoreme o uglovima formiranim od dve paralelne prave i transverzale
Prisjetimo se sada dokazanih tvrdnji - teorema koje izražavaju znakove paralelizma dvije prave, formulirajte njihove obrnute teoreme i provjerite njihovu valjanost pružanjem dokaza.
Prvi znak paralelnih linija.
Ako su, kada se dvije prave sijeku poprečno, uključeni uglovi jednaki, tada su prave paralelne.
Obratna teorema:
Ako se dvije paralelne prave sijeku transverzalom, tada su uglovi koji se seku jednaki.
Dokažimo ovu tvrdnju.
Zadato: paralelne prave a i b seku se sekantom AB.
Dokaži: ukršteni uglovi 1 i 2 su jednaki. (vidi sliku)
dokaz:
Pretpostavimo da uglovi 1 i 2 nisu jednaki.
Odvojimo ugao CAB od zraka AB, jednak uglu 2, tako da su ugao CAB i ugao 2 poprečni uglovi na preseku pravih CA i b sekantom AB.
Po konstrukciji, ovi poprečni uglovi su jednaki, što znači da je prava CA paralelna pravoj b.
Otkrili smo da dvije prave a i CA prolaze kroz tačku A, paralelno sa pravom b. Ovo je u suprotnosti sa aksiomom paralelnih pravih: kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj prolazi samo jedna prava paralelna sa datom.
To znači da je naša pretpostavka netačna, uglovi 1 i 2 su jednaki.
Teorema je dokazana.
§ 3 Metoda dokazivanja kontradikcijom
U dokazivanju ove teoreme koristili smo metodu zaključivanja koja se naziva metodom dokaza kontradikcijom. Kada smo započeli dokaz, pretpostavili smo suprotno od onoga što se tražilo da se dokaže. Smatrajući da je ova pretpostavka tačna, rasuđivanjem smo došli do kontradikcije sa aksiomom paralelnih pravih. Iz ovoga smo zaključili da naša pretpostavka nije tačna, ali je izjava teoreme tačna. Ova vrsta dokaza se često koristi u matematici.
Razmotrimo posljedicu dokazane teoreme.
Posljedica:
Ako je prava okomita na jednu od dvije paralelne prave, ona je također okomita na drugu.
Neka je prava a paralelna pravoj b, prava c okomita na pravu a, tj. ugao 1 = 90º.
Prava c seče pravu a, što znači da i prava c seče pravu b.
Kada se paralelne prave seku sa transverzalom, poprečni uglovi su jednaki, što znači ugao 1 = ugao 2.
Pošto je ugao 1 = 90º, onda je ugao 2 = 90º, što znači da je prava c okomita na pravu b.
Istraga je dokazana.
Inverzna teorema za drugi kriterij paralelizma pravih:
Ako se dvije paralelne prave sijeku transverzalom, tada su odgovarajući uglovi jednaki.
Obratna teorema za treći kriterij paralelizma pravih:
Ako se dvije paralelne prave sijeku transverzalom, tada je zbir jednostranih uglova 180º.
Dakle, u ovoj lekciji smo saznali koje se teoreme nazivaju konverznim, formulisali i ispitali teoreme o uglovima koje formiraju dve paralelne prave i transverzala, a takođe smo se upoznali sa metodom dokaza kontradiktorno.
Spisak korišćene literature:
- Geometrija. 7-9 razredi: udžbenik. za opšte obrazovanje organizacije / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev i dr. - M.: Obrazovanje, 2013. - 383 str.: ilustr.
- Gavrilova N.F. Razvoj nastave iz geometrije 7. razred. - M.: “VAKO”, 2004, 288 str. - (Za pomoć učitelju).
- Belitskaya O.V. Geometrija. 7. razred. Dio 1. Testovi. – Saratov: Licej, 2014. – 64 str.
Rybalko Pavel
Ova prezentacija sadrži: 3 teoreme sa dokazima i 3 zadatka za konsolidaciju proučenog materijala sa detaljno rješenje. Prezentacija može biti korisna nastavniku u lekciji, jer će uštedeti dosta vremena. Može se koristiti i kao opći pregled na kraju školske godine.
Skinuti:
Pregled:
Da biste koristili preglede prezentacija, kreirajte račun za sebe ( račun) Guglajte i prijavite se: https://accounts.google.com
Naslovi slajdova:
Teoreme o uglovima formiranim od dvije paralelne prave i transverzale. Izvođač: učenik 7. razreda Rybalko Pavel, Mytishchi, 2012
Teorema: Ako se dvije paralelne prave sijeku transverzalom, tada su uglovi koji se seku jednaki. a u A B 1 2 1 = 2 c
Dokaz: A B C D M N 1 2 A B C D M N 1 2 K O Neka su prave AB i CD paralelne, MN je njihova sekansa. Dokažimo da su poprečni uglovi 1 i 2 jednaki jedan drugom. Pretpostavimo da 1 i 2 nisu jednaki. Povučemo pravu K F kroz tačku O. Tada u tački O možemo konstruirati KON , koji leži poprečno i jednako 2. Ali ako je KON = 2, tada će prava K F biti paralelna sa CD. Utvrdili smo da su dvije prave AB i K F povučene kroz tačku O, paralelno sa pravom CD. Ali to ne može biti. Došli smo do kontradikcije jer smo pretpostavili da 1 i 2 nisu jednaki. Dakle, naša pretpostavka je netačna i 1 mora biti jednako 2, tj. poprečni uglovi su jednaki. F
Teorema: Ako se dvije paralelne prave sijeku transverzalom, tada su odgovarajući uglovi jednaki. a u A B 1 2 1 = 2
Dokaz: 2 a u A B 3 1 Neka se paralelne prave a i b sijeku sekantom AB, tada će poprečne 1 i 3 biti jednake. 2 i 3 su jednaki vertikalnim. Iz jednakosti 1 = 3 i 2 = 3 slijedi da je 1 = 2. Teorema je dokazana
Teorema: Ako se dvije paralelne prave sijeku transverzalom, tada je zbir jednostranih uglova 180°. a u A B 3 1 1 + 3 = 180°
Dokaz: Neka se paralelne prave a i b sijeku sekantom AB, tada će odgovarajući 1 i 2 biti jednaki, 2 i 3 su susjedni, dakle 2 + 3 = 180 °. Iz jednakosti 1 = 2 i 2 + 3 = 180 ° slijedi da je 1 + 3 = 180 °. Teorema je dokazana. 2 a u A B 3 1
Rješenje: 1. Neka je X 2, tada je 1 = (X+70°), jer zbir uglova 1 i 2 = 180°, zbog činjenice da su susedni. Napravimo jednačinu: X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (ugao 2) 2. Nađi 1. 55° + 70° = 125° 3. 1 = 3, tj. To. oni su vertikalni. 3 = 5, jer leže popreko. 125° 5 = 7, jer oni su vertikalni. 2 = 4, jer oni su vertikalni. 4 = 6, jer leže popreko. 55° 6 = 8, jer oni su vertikalni. Zadatak br. 1: A B 4 3 5 8 7 7 2 1 6 Uslov: pronađite sve uglove nastale kada se dve paralelne prave A i B seku sa transverzalom C, ako je jedan od uglova za 70° veći od drugog.
Rešenje: 1. Jer 4 = 45°, zatim 2 = 45°, jer je 2 = 4 (odgovarajuće) 2. 3 susedno sa 4, dakle 3+ 4=180°, pa slijedi da je 3= 180° - 45°= 135°. 3. 1 = 3, jer leže popreko. 1 = 135°. Odgovor: 1=135°; 2=45°; 3=135°. Zadatak br. 2: A B 1 Uslov: na slici postoje prave A II B i C II D, 4=45°. Pronađite uglove 1, 2, 3. 3 2 4
Rješenje: 1. 1= 2, jer oni su vertikalni, što znači 2= 45°. 2. 3 je susedno 2, dakle 3+ 2=180°, a iz ovoga sledi da je 3= 180° - 45°= 135°. 3. 4 + 3=180°, jer oni su jednostrani. 4 = 45°. Odgovor: 4=45°; 3=135°. Zadatak br. 3: A B 2 Uslov: dvije paralelne prave A i B seku se sekantom C. Pronađite čemu će 4 i 3 biti jednaki ako je 1=45°. 3 4 1
Teoreme o formiranim uglovima
Geometrija, poglavlje III, 7. razred
Za udžbenik L.S. Atanasyan
nastavnik matematike najviše kategorije
Opštinska obrazovna ustanova "Osnovna srednja škola Upshinskaya"
Orsha okrug Republike Mari El
Obratno od ove teoreme
Teorema: U jednakokračnom trouglu uglovi osnove su jednaki .
Teorema: Ako je trokut jednakokraki, tada su mu uglovi osnove jednaki .
Uslov teoreme (Dato): trougao - jednakokraki
Zaključak teoreme (dokazati): bazni uglovi su jednaki
Uslov teoreme : bazni uglovi su jednaki
Zaključak teoreme : trougao - jednakokraki
NOVA IZJAVA
Obrnuto
teorema
Ako trougao ima dva ugla
su jednaki, onda je jednakokraki .
Obratno od ove teoreme
Da li je obrnuto uvijek tačno?
Teorema
Obratna teorema
Ako je zbir dva ugla 180 0 , tada su uglovi susjedni
Zbir susjednih uglova
jednako 180 0 .
Ako su uglovi jednaki,
onda su vertikalne
Vertikalni uglovi su jednaki
Ako je u trokutu simetrala povučena na jednu od njegovih stranica ujedno i medijana povučena na ovu stranu, onda je ovaj trokut jednakokračan
U jednakokračnom trouglu, simetrala povučena do osnove je medijan i visina
Ako je u trokutu simetrala povučena na jednu od njegovih stranica ujedno i visina povučena na ovu stranu, onda je ovaj trokut jednakokračan
E Ako je trokut jednakokraki, onda je simetrala povučena bazi , je i medijana i visina
Uglovi formirani od dvije paralelne prave i transverzale
Da li je obrnuto uvijek tačno?
Teorema
Obratna teorema
Ako dva paralelne linije su tada ukrštane sekantom ukršteni uglovi su jednaki
poprečni uglovi jednaka To prave su paralelne .
Ali ovo je u suprotnosti aksiom paralele , onda je naša pretpostavka netačna
IZ METODE
SUPROTNO
Iznosimo pretpostavku suprotnu od onoga što treba dokazati
Kroz rasuđivanje dolazimo do kontradikcije sa dobro poznatim aksiomom ili teoremom
Zaključujemo da je naša pretpostavka netačna i da je teorema tačna
Ali ovo je u suprotnosti aksiom paralele
Stoga je naša pretpostavka netačna
Ako se dvije paralelne prave sijeku transverzalom, tada su uglovi koji se seku jednaki
POSLEDICA IZ TEOREME
Ako je prava okomita na jednu od dvije paralelne prave, ona je također okomita na drugu
Formirani uglovi
dvije paralelne prave i transverzala
Teorema
Obratna teorema
Ako je na presjeku dvije prave linije sekansa odgovarajući uglovi su jednaki , To prave su paralelne .
Ako dva paralelne linije su tada ukrštane sekantom odgovarajući uglovi su jednaki
Formirani uglovi
dvije paralelne prave i transverzala
Teorema
Obratna teorema
Ako je na presjeku dvije prave linije sekansa 0 , To prave su paralelne .
Ako dva paralelne linije su tada ukrštane sekantom zbir jednostranih uglova je 180 0
Prave a i b su paralelne.
Pronađite ugao 2.
Prave a i b su paralelne.
Pronađite nepoznate uglove
Prave a i b su paralelne.
Pronađite nepoznate uglove
Pronađite nepoznate uglove
Pronađite nepoznate uglove
Pronađite nepoznate uglove
Prave a i b su paralelne. Pronađite nepoznate uglove ako je zbir dvaju uglova koji se sijeku 100 0 .
Prave a i b su paralelne. Pronađite nepoznate uglove ako je zbir dva odgovarajuća ugla 260 0 .
Prave a i b su paralelne. Pronađite nepoznate uglove ako je razlika između dva jednostrana ugla 50 0 .
Video lekcija o teoremama o uglovima između dvije paralelne prave i njihove transverzale sadrži materijal koji predstavlja strukturne karakteristike teoreme, primjere formiranja i dokaza obrnutih teorema, te posljedice iz njih. Svrha ove video lekcije je da produbi koncept teoreme, dekomponujući je na njene komponente, uzimajući u obzir koncept inverzne teoreme, da razvije sposobnost da se konstruiše teorema inverzna datoj teoremi, posledice iz teoreme i da se razviti sposobnost dokazivanja tvrdnji.
Oblik video lekcije vam omogućava da uspješno stavite naglasak prilikom demonstracije materijala, što olakšava razumijevanje i pamćenje materijala. Tema ove video lekcije je složena i važna, pa je upotreba vizuelnog pomagala ne samo preporučljiva, već i poželjna. Pruža priliku za poboljšanje kvaliteta učenja. Animirani efekti poboljšavaju prezentaciju nastavnog materijala, približavaju proces učenja tradicionalnom, a korištenje videa oslobađa nastavnika da produbi individualni rad.
Video lekcija počinje najavom svoje teme. Na početku lekcije razmatra se dekompozicija teoreme na njene komponente radi boljeg razumijevanja njene strukture i mogućnosti daljeg istraživanja. Na ekranu je prikazan dijagram koji pokazuje da se teorema sastoji od njenih uslova i zaključaka. Pojam uvjeta i zaključka opisan je na primjeru znaka paralelnih pravih, uz napomenu da je dio iskaza uvjet teoreme, a zaključak zaključak.
Produbljujući stečeno znanje o strukturi teoreme, studenti dobijaju pojam teoreme inverzne datoj. Nastaje kao rezultat zamjene - uslov postaje zaključak, zaključak - uslov. Kako bi se razvila sposobnost učenika da konstruišu teoreme suprotne podacima i sposobnost njihovog dokazivanja, razmatraju se teoreme suprotne onima o znakovima paralelnih pravih o kojima se raspravlja u lekciji 25.
Na ekranu se prikazuje teorema inverzna prvoj teoremi, koja opisuje znak paralelnih pravih. Zamjenom uvjeta i zaključka dobijamo tvrdnju da ako se bilo koja paralelna prava siječe transverzalom, tada će uglovi koji se formiraju poprečno u ovom slučaju biti jednaki. Dokaz je prikazan na slici koja prikazuje prave a, b, kao i transverzala koja prolazi kroz ove prave u njihovim tačkama M i N. Na slici su označeni poprečni uglovi ∠1 i ∠2. Potrebno je dokazati njihovu jednakost. Prvo, dokaz čini pretpostavku da ovi uglovi nisu jednaki. Da bi se to učinilo, određena prava P je povučena kroz tačku M. Konstruiše se ugao `∠PMN, koji leži poprečno sa uglom ∠2 u odnosu na MN. Uglovi `∠PMN i ∠2 su konstrukcijski jednaki, dakle MP║b. Zaključak - dvije prave paralelne sa tačkom povučene su kroz b. Međutim, to je nemoguće jer ne odgovara aksiomu paralelnih linija. Iznesena pretpostavka pokazuje se pogrešnom, što dokazuje valjanost originalne izjave. Teorema je dokazana.
Zatim se pažnja učenika skreće na način dokazivanja koji je korišten u toku rasuđivanja. Dokaz u kojem se pretpostavlja da je tvrdnja koja se dokazuje netačna naziva se dokazom kontradikcijom u geometriji. Ova metoda se često koristi za dokazivanje različitih geometrijskih iskaza. U ovom slučaju, uz pretpostavku nejednakosti poprečno ležećih uglova, u toku rezonovanja se pojavila kontradikcija, koja negira valjanost takve kontradikcije.
Studenti se podsjećaju da je slična metoda ranije korištena u dokazima. Primjer za to je dokaz teoreme u lekciji 12 da se dvije prave koje su okomite na treću ne sijeku, kao i dokaz posljedica u lekciji 28 iz aksioma paralelnih pravih.
Još jedan dokaziv zaključak kaže da je prava okomita na obje paralelne prave ako je okomita na jednu od njih. Na slici su prikazane prave a i b i prava c okomita na njih. Okomitost prave c na a znači da je ugao koji se sa njom formira jednak 90°. Paralelizam a i b i njihov presek sa pravom c znači da prava c seče b. Ugao ∠2 formiran sa pravom b je poprečno na ugao ∠1. A pošto su, prema uslovu, prave paralelne, onda su ti uglovi jednaki. Shodno tome, ugao ∠2 će takođe biti jednak 90°. To znači da je pravac c okomita na pravu b. Teorema koja se razmatra je dokazana.
Zatim dokazujemo teoremu suprotnu drugom kriteriju za paralelne prave. Konverzna teorema kaže da ako su dvije prave paralelne, odgovarajući uglovi koji se formiraju će biti jednaki. Dokaz počinje konstrukcijom sekante c i paralelnih pravih a i b. Uglovi stvoreni u ovom slučaju označeni su na slici. Postoji par odgovarajućih uglova koji se nazivaju ∠1 i ∠2, kao i označeni ugao ∠3, koji leži poprečno sa uglom ∠1. Paralelizam a i b znači jednakost ∠3=∠1 kako leži poprečno. S obzirom da su ∠3, ∠2 vertikalni, oni su takođe jednaki. Posljedica takvih jednakosti je izjava da je ∠1=∠2. Teorema koja se razmatra je dokazana.
Posljednja teorema koja će se dokazati u ovoj lekciji je inverzna od posljednjeg testa za paralelne prave. Njegov tekst kaže da ako transverzala prolazi kroz paralelne prave, zbir jednostranih uglova koji se formiraju jednak je 180°. Napredak dokaza je prikazan na slici, koja prikazuje prave a i b koje sijeku sekantu c. Potrebno je dokazati da će zbir jednostranih uglova biti jednak 180°, odnosno ∠4+∠1 = 180°. Iz paralelizma pravih a i b slijedi jednakost odgovarajućih uglova ∠1 i ∠2. Susjednost uglova ∠4, ∠2 znači da njihov zbir iznosi 180°. U ovom slučaju, uglovi ∠1= ∠2 - što znači da će ∠1 dodati uglu ∠4 biti 180°. Teorema je dokazana.
Za dublje razumijevanje načina na koji se inverzne teoreme formiraju i dokazuju, posebno je napomenuto da ako je teorema dokazana i istinita, to ne znači da će i inverzna teorema biti istinita. Da bismo ovo razumjeli, dat je jednostavan primjer. Postoji teorema da su svi vertikalni uglovi jednaki. Obratna teorema zvuči kao da su svi jednaki uglovi vertikalni, što nije tačno. Na kraju krajeva, možete konstruisati dva jednaka ugla koji nisu okomiti. To se može vidjeti na prikazanoj slici.
Video lekcija „Teoreme o uglovima koje formiraju dve paralelne prave i transverzala“ je vizuelna pomoć koju nastavnik može koristiti na času geometrije, a može uspešno da formira ideju o inverznim teoremama i posledicama, kao i njihov dokaz u samostalno učenje materijal, koji će biti koristan u učenju na daljinu.
