Određivanje derivacije funkcije u Excel laboratoriji. Grafička diferencijacija
Pored oblikovanja elemenata okvira ćelije, redova i kolona, često je korisno koristiti više Excel radnih listova. Za organiziranje i traženje informacija u knjizi, zgodno je dodijeliti vlastita imena naslovima listova, odražavajući njihov semantički sadržaj. Na primjer, "početni podaci", "rezultati proračuna", "grafovi" itd. To je zgodno učiniti pomoću kontekstni meni. Pritisnite desni taster miša na kartici lista, Preimenujte list i kliknite
Da biste dodali jedan ili više novih listova, izaberite Sheet iz menija Umetanje. Da biste umetnuli nekoliko listova odjednom, odaberite jezičke za potreban broj listova držeći
Korisna operacija za premještanje listova je da zgrabite karticu lista lijevom tipkom miša i pomaknete je na željenu lokaciju. Ako istovremeno pritisnete
Zadatak 7. Promijenite format cijele ćelije B2 u: font - Arial 11; lokacija - u centru, uz donji rub; jedna riječ po redu; format broja – “0.00”; granica ćelije - dvostruka linija
2.3. Ugrađene funkcije
Excel sadrži više od 150 ugrađenih funkcija za pojednostavljenje proračuna i obrade podataka. Primer sadržaja ćelije sa funkcijom: =B2+SIN(C7) , gde su B2 i C7 adrese ćelija koje sadrže brojeve, a SIN() je ime funkcije. Najčešće korištene Excel funkcije:
SQRT(25) = 5 - Izračunava kvadratni korijen od (25) RADIJANI(30) = 0,5 - Pretvara 30 stepeni u radijane INT(8,7) = 8 - Zaokružuje na najbliži cijeli broj MOD(-3;2) = 1 - ostavlja ostatak dijeljenja broja (-3) sa
djelitelj(2). Rezultat ima predznak djelitelja. IF(E4>0,2;”dodatno”;”greška”)- ako je broj u ćeliji E4 manji od 0,2,
tada Excel vraća "additional" (true), u suprotnom - "error" (false).
U formuli, funkcije mogu biti ugniježđene jedna u drugu, ali ne više od 8 puta.
Kada koristite funkciju, glavna stvar je definirati samu funkciju i njen argument. Kao argument, u pravilu se navodi adresa ćelije u kojoj se podaci zapisuju.
Možete definirati funkciju upisivanjem teksta (ikona, brojeva, itd.) u željenu ćeliju ili koristiti Čarobnjak za funkcije. Ovdje su, radi pogodnosti pretraživanja, sve funkcije podijeljene u kategorije: matematičke, statističke, logičke i druge. Unutar svake kategorije sortirani su po abecednom redu.
Čarobnjak za funkcije koju poziva naredba menija Umetak, funkcija
ili pritiskom na ikonu (f x ). U prvom prozoru koji se pojavi Function Wizard (slika 4) definiramo kategoriju i naziv određene funkcije, kliknemo
Rice. 4. Pogled na prozor čarobnjaka za funkcije
Rice. 5. Prozor za postavljanje argumenata odabrane funkcije
Zadatak 8. Odrediti srednju vrijednost niza brojeva: 2,5; 2.9; 1.8; 3.4; 6.1;
1,0; 4,4.
Rješenje . U ćelije unosimo brojeve, na primjer, C2:C8. Odaberite ćeliju C9 u koju upisujemo funkciju = AVERAGE (C2: C8), pritisnite
Zadatak 9. Koristeći uslovnu logičku funkciju IF napravite formulu za preimenovanje neparnih brojeva u "jesen", parnih brojeva - "proljeće".
Rješenje . Odabiremo kolonu za unos početnih podataka - parnih (neparnih) brojeva, na primjer, A. U ćeliju B3 upišite formulu =IF(MOD(A3,2)=0,"težina","os"). Kopiranjem ćelije B3 duž kolone B dobijamo rezultate analize brojeva upisanih u kolonu A. Rezultati rješavanja problema prikazani su na sl. 6.
Rice. 6. Rješenje zadatka br. 9
Zadatak 10. Izračunaj vrijednost funkcije y = x3 + sinx - 4ex za x = 1,58.
Rješenje . Postavimo podatke u ćelije A2 - x, B2 -y. Rješenje zadatka prikazano je na slici 7 u numeričkom obliku lijevo i formuliranom obliku desno. Prilikom rješavanja ovog problema treba obratiti pažnju na pozivanje funkcija SIN i eksponent za unos argumenta (vidi sliku 8).
Fig.7. Rješenje zadatka broj 10
Fig.8. Windows za unos argumenta funkcije SIN i EXP
Zadatak 11. Napravite matematički model zadatka u Excelu za izračunavanje funkcije y= 1/ ((x- 3) (x+ 4)), za vrijednosti x= 3 i y= -4, prikažite "nedefinirano", numeričko vrijednosti funkcije - u drugim slučajevima.
Zadatak 12. Napravite matematički model problema u Excel-u: 12.1. za izračunavanje s korijenima
a) √ x3 y2 z / √ x z ; b) (z √ z)2 ; c) 3 √ x2 3 √ x ; d) √ 5 x5 3-1 / √ 20 x 3-1
12.2. za geometrijske proračune a) odrediti uglove pravokutnog trougla, ako je x krak, y hipotenuza;
b) odrediti rastojanje između dve tačke u XYZ Dekartovom koordinatnom sistemu koristeći formulu
d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
c) odrediti udaljenost od tačke (x 0 ,y 0 ) do prave a x + b y + c = 0 koristeći formulu
d = ax0 +b y0 +c / √ (a2 +b2 )
d) odredite površinu trokuta iz koordinata vrhova koristeći formulu
S = 1 2 [ (x1 − x3 )(y2 − y3 ) − (x2 − x3 )(y1 − y3 )]
3. Rješavanje problema korištenjem formula i funkcija
Postoje zapravo mnogi zadaci koji se mogu uspješno riješiti korištenjem Excel formula i funkcija. Razmotrimo zadatke koji se u praksi najčešće rješavaju pomoću proračunskih tablica: linearne jednadžbe i njihovi sistemi, izračunavanje numeričkih vrijednosti izvoda i određenih integrala.
Derivat funkcije y = f(x) je omjer njenog prirasta ∆y i odgovarajućeg inkrementa ∆x argumenta, kada
∆x→ 0
y = f (x + x) − f (x)
Problem .13 . Naći derivaciju funkcije y = 2x 3 + x 2 u tački x=3.
Rješenje. Izvod izračunat analitičkom metodom je 60 . Izvod ćemo izračunati u Excelu koristeći formulu (1). Da biste to učinili, izvršite sljedeći slijed radnji:
· Nacrtajmo notaciju kolona: H – argumenti funkcije, Y – vrijednosti funkcije, Y ` – izvod funkcije (slika 9).
· Tabelarno prikazujemo funkciju u susjedstvu tačke x \u003d 3 s malim korakom, na primjer, 0,001, rezultati se unose u kolonu X.
Rice. 9. Tablica za izračunavanje derivacije funkcije
· U ćeliju B2 unesite formulu za izračunavanje funkcije =2*A2^3+A2^2.
· Kopirajte formulu do reda 7, dobijamo vrijednosti funkcije na tabulatorima argumenta.
· U ćeliju C2 unesite formulu za izračunavanje izvoda =(B3-B2)/ (A3-A2) .
· Kopirajte formulu do reda 6, dobijamo vrijednosti derivacija na tabulatorima argumenta.
Za vrijednost x = 3, izvod funkcije je jednak vrijednosti 60,019, što je blizu vrijednosti izračunate analitički.
trapezoidna metoda. U metodi trapeza, integracijska površina je podijeljena na segmente s određenim korakom, a površina ispod grafa funkcije na svakom segmentu smatra se jednakom površini trapeza. Tada formula za izračunavanje poprima sljedeći oblik
S N = ∫ f (u) du ≈ h N ∑ − 1 [ f (a + h i) + f (a + h (i + 1)) ] (2), |
|
2 i = 0 |
|
gdje je h= (b- a)/ N korak particije; N je broj podijeljenih tačaka.
Da bi se poboljšala tačnost, broj tačaka razdvajanja se udvostručuje, integral se ponovo izračunava. Podjela originalnog intervala se zaustavlja kada se postigne potrebna preciznost:
integral, uradite sledeće:
– izabrati N= 5, u ćeliji F2 izračunati h-korak particije (slika 10);
Rice. 10. Izračunavanje određenog integrala
· U prvoj koloni I zapisujemo broj intervala i;
· U ćeliju B2 upišite formulu =3*(2+F2*A2)^2 da biste izračunali prvi član formule (2);
· U ćeliju C2 upišite formulu =3*(2+F2*(A2+1))^2 da biste izračunali drugi član;
· “Rastežite” ćelije s uključenim formulama 4 reda dolje kolone;
Zapisujemo formulu u ćeliju C7 i izračunavamo zbir članova,
U ćeliju C8 upisujemo formulu i izračunavamo SN željenu vrijednost definitivnog integrala 19,02 (vrijednost S N dobijena analitički
19).
Zadatak. 15. Izračunajte definitivni integral:
1. Y = ∫ 2 x d x |
2. Y = ∫ 2 x3 dx |
−1 |
|
2 pi |
|||||||||||||||
Y = ∫ 2sin(x )dx |
Y = ∫ x2 dx |
||||||||||||||
−2 |
|||||||||||||||
Y = ∫ |
Y = ∫ |
||||||||||||||
3x − 2 |
(2x + 1) 3 |
||||||||||||||
x + 3 |
|||||||||||||||
Y = ∫ cos |
Y = ∫ |
||||||||||||||
x 2 + 4 |
|||||||||||||||
3.2. Rješavanje linearnih jednadžbi
Linearne jednadžbe u Excelu se može riješiti pomoću funkcije Odabir parametara. Prilikom odabira parametra, vrijednost utjecajne ćelije (parametra) se mijenja sve dok formula koja ovisi o ovoj ćeliji ne vrati navedenu vrijednost.
Razmotrimo proceduru traženja parametra koristeći jednostavan primjer rješavanja linearne jednadžbe s jednom nepoznatom.
Zadatak 16. Riješite jednačinu 10 x - 10 / x = 15 .
Rješenje. Za željenu vrijednost parametra - x, odaberite ćeliju A3. Unesimo u ovu ćeliju bilo koji broj koji leži u području definicije funkcije (u našem primjeru ovaj broj ne može biti jednak nuli). Neka bude 3. Ova vrijednost će se koristiti kao početna vrijednost. U ćeliju, na primjer, B3, u skladu s gornjom jednačinom, unesite formulu =10*A3-10/A3. Kao rezultat niza proračuna koji koriste ovu formulu, bit će odabrana željena vrijednost parametra. Sada u meniju Alati, odabirom komande Odabir parametara, pokrenite funkciju traženja parametara (slika 11, a) . Unesite parametre pretrage:
· Na terenu Postavljeno u ćeliju hajde da unesemo apsolutnu referencu na ćeliju $B$3 koja sadrži formulu.
· U polje Vrijednost unesite željeni rezultat 15 .
· Na terenu Promjena vrijednosti ćelije unesite vezu do ćelije A3 koja sadrži odabranu vrijednost i kliknite
Na kraju funkcije Odabir parametara na ekranu će se pojaviti prozor Rezultat odabira parametara U kojoj će biti prikazani rezultati pretrage. Pronađeni parametar 2.000025 pojavit će se u ćeliji A3, koja je bila rezervirana za njega.
Obratite pažnju na činjenicu da u našem primjeru jednadžba ima dva rješenja, a parametar je odabran samo jedno. To je zato što se parametar mijenja samo dok se ne vrati tražena vrijednost. Prvi argument pronađen na ovaj način vraća nam se kao rezultat pretraživanja. Ako kao
U našem primjeru navedite početnu vrijednost -3, tada će se naći drugo rješenje jednadžbe: -0,5.
Fig.11. Rješenje jednadžbe: a - unos podataka, b - rezultat rješenja
Zadatak 17. Riješite jednačine |
||||
5x/ 9- 8= 747x/ 12 |
(2x+ 2)/ 0,5= 6x |
|||
0,5 (2x- 1)+x/ 3= 1/6 |
7(4x-6)+ 3(7-8x)= 1 |
|||
Linearni sistem |
jednačine |
može se riješiti različitim |
||
načini: zamjena, sabiranje i oduzimanje jednadžbi, korištenjem matrica. Razmotrimo metodu za rješavanje kanonskog sistema linearnih jednačina (3) korištenjem matrica.
a1 x + a2 y + b1 = 0
a3 x + a4 y + b2 =0
Poznato je da se sistem linearnih jednadžbi u matričnom prikazu piše kao:
gdje je A matrica koeficijenata, X je vektor - stupac nepoznanica,
B je vektor stupaca slobodnih članova. Rešenje za takav sistem
je napisan u formi
X=A-1 B,
gdje je A -1 matrica inverzna u odnosu na A . Ovo proizilazi iz činjenice da pri rješavanju matričnih jednadžbi za X treba ostati identična matrica E. Množenjem sa leve strane obe strane jednačine AX = B sa A -1, dobijamo rešenje linearnog sistema jednačina.
Zadatak 18. Riješiti sistem linearnih jednačina
Rješenje. Za dati sistem linearnih jednadžbi, vrijednosti odgovarajuće matrice i vektora stupca imaju oblik:
Da biste riješili problem, izvršite sljedeće radnje:
· A2:B3 i u njega upiši elemente matrice A.
· Odaberite blok ćelija, na primjer, C2:C3 i u njega upišite elemente matrice B.
· Odaberite blok ćelija, na primjer, D2:D3 postaviti rezultat rješavanja sistema jednačina.
U ćeliju D2 unesite formulu = MULTIPLE(MOBR(A2:B3),C2:C3).
Excel biblioteka u sekciji matematičkih funkcija sadrži funkcije za izvođenje operacija nad matricama. Konkretno, ovo su funkcije:
Parametri ovih funkcija mogu biti adrese adresa na nizove koji sadrže matrične vrijednosti ili imena raspona i izraze.
Na primjer, MOBR (A1: B2) ili MOBR (matrica_1).
Recite Excelu da se operacija izvodi na nizovima pritiskom na kombinaciju tipki
4. Rješavanje problema optimizacije
Mnogi problemi predviđanja, dizajna i proizvodnje svode se na široku klasu problema optimizacije. Takvi zadaci su, na primjer: maksimiziranje proizvodnje robe uz ograničenja na sirovine za proizvodnju ovih dobara; osoblje za postizanje najboljih rezultata uz najniže troškove; minimiziranje troškova transporta robe; postizanje specificiranog kvaliteta legure; određivanje dimenzija određenog kontejnera, uzimajući u obzir troškove materijala za postizanje maksimalne zapremine; razne
problemi koji uključuju slučajne varijable i drugi problemi optimalne alokacije resursa i optimalnog dizajna.
Rješavanje problema ove vrste može se obaviti u EXCEL-u pomoću alata Solver, koji se nalazi u izborniku Tools. Formulacija takvih problema može biti sistem jednačina sa nekoliko nepoznanica i skupom ograničenja na rješenja. Stoga, rješavanje problema mora početi izgradnjom odgovarajućeg modela. Pogledajmo ove naredbe na primjeru.
Zadatak 20. Pretpostavimo da smo odlučili da proizvedemo dva tipa sočiva A i B. Sočivo tipa A sastoji se od 3 komponente sočiva, tipa B - od 4. U sedmici se ne može napraviti više od 1800 sočiva. Potrebno je 15 minuta za sklapanje sočiva tipa A, 30 minuta za sočiva tipa B. Radna sedmica za 4 zaposlena je 160 sati. Koliko leća A i B treba napraviti da bi se ostvarila maksimalna zarada, ako sočivo tipa A košta 3.500 rubalja, a tipa B - 4.800 rubalja.
Rješenje. Za rješavanje ovog problema potrebno je sastaviti i popuniti tabelu u skladu sa sl. 12:
· Preimenujte ćeliju B2 u x, broj A sočiva.
· Hajdemo legalno preimenovati ćeliju B3 u y.
ciljna funkcija Profit = 3500*x+4800*y unesite u ćeliju B5. · Troškovi branja su jednaki =3*x+4*y unesite u ćeliju B7.
· Vremenski troškovi su =0,25*x+0,5*y unesite u ćeliju B8.
Ime |
|||
kompletan set |
|||
Trošak tokom vremena |
|||
Fig.12. Popunjavanje tabele početnim podacima
· Izaberite ćeliju B5 i izaberite meni Podaci, a zatim aktivirajte komandu Search solution. Popunimo ćelije ovog prozora u skladu sa sl.13.
· Pritisnite<Выполнить >; ako je sve urađeno ispravno, tada će rješenje biti kao što je navedeno u nastavku.
Numerička diferencijacija
Odjeljak br. 5
Problem približnog izračunavanja derivacije može nastati u slučajevima kada je analitički izraz za proučavanu funkciju nepoznat. Funkcija se može specificirati u tabeli, ili je poznat samo graf funkcije, dobijen, na primjer, kao rezultat očitavanja senzora parametara procesa.
Ponekad je prilikom rješavanja određenih problema na računaru, zbog glomaznosti proračuna, pogodnije izračunati derivate numeričkom metodom nego analitičkom. U ovom slučaju, naravno, potrebno je opravdati primijenjenu numeričku metodu, odnosno osigurati da je greška numeričke metode u prihvatljivim granicama.
Jedna od učinkovitih metoda za rješavanje diferencijalnih jednadžbi je metoda razlike, kada se umjesto željene funkcije razmatra tablica njenih vrijednosti u određenim tačkama, dok se derivati približno zamjenjuju formulama razlike.
Neka je graf funkcije poznat y = f(X) na segmentu [ A,b].Možete izgraditi graf derivacije funkcije, pamteći njeno geometrijsko značenje. Iskoristimo činjenicu da je derivacija funkcije u tački X jednaka tangenti ugla nagiba na x-osu tangente na njen graf u ovoj tački.
Ako x = x 0 , nađi at 0 = f(x 0) koristeći graf i zatim nacrtajte tangentu AB na graf funkcije u tački ( X 0 , y 0) (slika 5.1). Nacrtajte liniju paralelnu sa tangentom AB, kroz tačku (-1, 0) i pronađite tačku at 1 njegov presek sa y-osom. Zatim vrijednost at 1 jednaka je tangenti nagiba tangente na x-osu, tj. derivaciji funkcije f(x) u tački X 0:
at 1 = = tg α = f ¢ ( x 0), i tačka M 0 (X 0 , at 1) pripada grafu derivacije.
Da biste izgradili graf derivacije, potrebno je podijeliti segment [ A,b] na nekoliko dijelova sa tačkama x i, zatim grafički konstruirajte vrijednost derivacije za svaku tačku i povežite dobijene tačke glatkom krivuljom koristeći obrasce.
Na sl. 5.2 prikazuje konstrukciju pet tačaka M 1, M 2 ,... , M 5 i graf derivacije.
Algoritam za konstruisanje grafa derivacije:
1. Gradimo tangentu na graf funkcije at= f(x)u trenutku ( X 1 ,f(x 1)); iz tačke (-1, 0) paralelne sa tangentom u tački ( X 1 ,f(x 1)) nacrtajte pravu liniju do preseka sa y-osom; ova tačka preseka daje vrednost derivacije f ¢ ( X 1) Izgradnja tačke M 1 (X 1 , f ¢ ( X 1)).
2. Slično konstruišemo preostale tačke M 2 ,M 3 , M 4 i M 5 .
3. Povežite tačke M 1 ,M 2 ,M 3 ,M 4 ,M 5 glatka kriva.
|
Dobivena kriva je graf derivacije.
Preciznost grafičke metode za određivanje derivata je niska. Dajemo opis ove metode samo u obrazovne svrhe.
Komentar. Ako u algoritmu za konstruisanje grafa derivacije, umjesto tačke (-1, 0), uzmemo tačku ( -l,0), gdje l> 0, tada će graf biti iscrtan na drugoj skali duž y-ose.
5 . 2 .Formule razlike
A) Formule razlike za obične derivate
Formule razlike za približno izračunavanje izvoda sugerira sama definicija izvoda. Neka vrijednosti funkcije budu u tačkama x i označeno sa y i:
y i= f(x i),x i = a+ ih,i = 0, 1, ... , n; h=
Razmatramo slučaj ujednačene raspodjele tačaka na segmentu [ a, b]. Za aproksimativno izračunavanje derivata u tačkama x i možete koristiti sljedeće formule razlike , ili diferencijalne derivate .
Budući da je granica relacije (5.1) at h® 0 je jednako desnom izvodu u tački x i, onda se ova relacija ponekad naziva prava razlika derivat u tački x i.Iz sličnog razloga se zove relacija (5.2). lijeva razlika derivat u tački x i Poziva se relacija (5.3). derivat centralne razlike u tački x i.
Procijenimo grešku formula razlike (5.1)–(5.3), uz pretpostavku da je funkcija f(x) se širi u Tejlorov niz u blizini tačke x i:
f(x)= f(x i)+ . (5.4)
Postavljanje u (5.4) X= x i+ h ili x = x i- h, dobijamo
Direktnom zamjenom proširenja (5.5) i (5.6) u formulu (5.10), možemo dobiti ovisnost između drugog izvoda funkcije i formula razlike za izvod drugog reda .
Primjer 3: Koristeći autofilter, odaberite studente koji uče u grupi br. 5433 sa prezimenom koje počinje na slovo C.
Sekvenciranje
1. Kopirajte bazu podataka (slika 30) na list 3.
2. Prezime.
3. Odaberite stavku sa listeFilteri teksta → Prilagođeni filter. U prozoru koji se pojavi Custom AutoFilter odaberite kriterij odabira koji počinje sa , u polje nasuprot unesite željeno slovo (provjerite da li je izgled na ruskom). Pritisnite OK.
4. Otvorite padajuću listu u koloni broj grupe.
5. Odaberite željeni broj.
Filtriranje zapisa u bazi podataka sa naprednim filterom
Napredni filter omogućava vam da tražite redove koristeći složenije kriterije od prilagođenih automatskih filtera. Napredni filter koristi interval kriterijuma za filtriranje podataka.
Kada koristite napredni filter, imena kolona na kojima su navedeni uslovi kopiraju se ispod izvorne tabele. Kriterijumi odabira se unose ispod naziva kolona. Nakon primjene filtera, na ekranu se mogu prikazati samo oni redovi koji ispunjavaju navedene kriterije, a filtrirani podaci se mogu kopirati na drugi list ili u drugu oblast na istom radnom listu.
Primjer 4: Odaberite sve učenike iz grupe # 5433 čiji je GPA veći ili jednak 4,5.
Sekvenciranje
1. Kopirajte bazu podataka (slika 30) na list 4.
2. Kopirajte nazive kolona Broj grupe i prosječan rezultat
na područje ispod originalne tabele. Upišite tražene kriterije odabira ispod naziva kolona (Sl. 32)
Rice. 32. Excel prozor sa naprednim filterom
2. Na kartici Podaci na traci sa alatkama Sortiranje
i filter odaberite Napredno. Pojavit će se dijaloški okvir (slika 33) u kojem su specificirani rasponi podataka.
Rice. 33. Prozor naprednog filtera
U polju za unos originalni raspon specificira interval koji sadrži izvornu bazu podataka. U našem slučaju se bira raspon ćelija od A1 do I9.
U polju za unos Raspon uslova odabire se interval ćelija na radnom listu koji sadrži tražene kriterije (C12:D13).
U polje za unos Stavite rezultat u opseg označava interval u kojem se kopiraju linije koje zadovoljavaju kriterije
teorije. U našem slučaju, ćelija je naznačena ispod područja kriterija, na primjer A16. Ovo polje je dostupno samo kada je odabrano radio dugme. Kopirajte rezultat na drugu lokaciju.
Polje za potvrdu Samo jedinstveni zapisi je dizajniran da prikaže samo redove koji se ne ponavljaju.
Rezultirajuća tabela koja zadovoljava kriterijume filtriranja prikazana je na sl. 34.
Rice. 34. Excel prozor sa rezultatima filtriranja
1. Kreirajte vlastitu bazu podataka, broj zapisa u kojoj mora biti najmanje 15, a broj stupaca mora biti najmanje 6. Na primjer, baza podataka Spisak klijenata (Sl. 35).
2. Primijenite tri autofiltra na bazu podataka (na odvojenim listovima). Broj kriterijuma mora biti najmanje dva.
3. Primijenite tri napredna filtera na zapise baze podataka, od kojih svaki sadrži najmanje dva kriterija. Postavite sve napredne filtere na jedan list ispod originalne tabele.
Rice. 35. Excel prozor sa bazom podataka Lista kupaca
LAB #5
Numerička diferencijacija i jednostavna analiza funkcija
Svrha rada: Istražiti funkciju do ekstrema, naučiti odrediti kritičnu tačku.
Iz predmeta matematike poznato je da derivatna formula općenito izgleda ovako:
f "(x)= lim |
||
∆x0 |
||
gdje je Δx prirast argumenta; x je broj koji teži nuli. Uz pomoć derivacije možete odrediti kritične točke funkcije - minimume, maksimume ili infleksije. Ako je vrijednost derivacije funkcije pri bilo kojoj vrijednosti x jednaka nuli, tada pri ovoj vrijednosti x funkcija ima kritičnu tačku.
Primjer 1: Funkcija f x = x 2 + 2x 3 definirana je na intervalu x 5;5. Istražite ponašanje funkcije f(x) .
Sekvenciranje
1. Neka je Δx = 0,00001. U ćeliju A1 upisati: šDx=Ÿ (Sl. 36). Odaberite slovo D, kliknite desnom tipkom miša na odabrano slovo, odaberite Format Cells. Na kartici Font odaberite font Simbol. Slovo D će postati grčko slovo ѓŭ. Poravnanje u ćeliji se može izvršiti udesno. U ćeliju B1 unesite vrijednost 0,00001.
2. U ćelijama od A2 do F2 uredite zaglavlje za tabelu, kao što je prikazano na sl. 36.
3. Kolona A, počevši od trećeg reda, će sadržavati x vrijednosti. U ćelije A3 do A13 unesite vrijednosti od -5 do 5.
4. U ćeliju B3 upišite formulu =A3^2+2*A3-3 i proširite je na konačnu vrijednost x (do 13. reda).
5. Da biste odredili derivaciju funkcije i izračunali njene vrijednosti u datom intervalu, potrebno je napraviti međuproizvod
tačne proračune. U ćeliju C3 unesite formulu za zbir argumenta x i njegovog prirasta Δx. Formula je: =A3+$B$1. Proširite njegovu vrijednost na konačnu vrijednost argumenta x.
Rice. 36. Excel prozor sa proučavanjem ponašanja funkcije
6. U ćeliju D3 upišite formulu =C3^2+2*C3-3, koja izračunava vrijednost funkcije f iz argumenta x Δx. Protegnite rezultirajuću vrijednost do krajnje vrijednosti argumenta.
7. U ćeliju E3 upisati formulu izvoda (1), s obzirom da su vrijednosti f x u B3, a vrijednosti f x + Δx u D3.
Formula će izgledati ovako: =(D3-B3)/$B$1.
8. Odredite ponašanje funkcije na datom intervalu (povećava, opada ili postoji kritična tačka). Da biste to učinili, morate napisati formulu u ćeliju F3 kako biste odredili ponašanje funkcije. Formula sadrži tri uslova:
f" (x)< 0 |
- funkcija se smanjuje; |
||
f" (x) > 0 |
- funkcija se povećava; |
||
f"(x)=0 |
– postoji kritična tačka* . |
9. Konstruirajte grafove za vrijednosti fx i f"(x). Grafikon (slika 37) pokazuje da ako je vrijednost izvoda funkcije nula, onda funkcija ima kritičnu tačku na ovom mjestu.
* Zbog prevelike greške u proračunu, vrijednost f "(x) možda neće biti jednaka 0. Ali je ipak potrebno opisati ovu situaciju.
Rice. 37. Dijagram proučavanja ponašanja funkcije
Zadaci za samostalan rad
Funkcija f(x) je definirana na intervalu x. Istražite ponašanje funkcije f(x) . Izgradite grafikone.
2x2 |
X [ 4 ;4 ] |
||||||||
X [ 5 ;5 ] |
|||||||||
2x+2 |
|||||||||
f(x)=x3 |
3x2 |
2 , x [ 2 ;4 ] |
|||||||
f(x)=x |
X [ 2 ;3 ] |
||||||||
x 2 + 7 |
|||||||||
LAB #6
Konstrukcija tangente na graf funkcije
Svrha rada: Savladati izračunavanje vrijednosti jednadžbe tangente na graf funkcije u tački x 0.
Jednadžba tangente na graf funkcije y = f(x) u tački
Primjer 1: Funkcija y = x 2 + 2x 3 definirana je na intervalu x [ 5; 5 ] . Konstruirajte tangentu na graf ove funkcije u tački x 0 = 1.
Slijed:
1. Numerički diferencirajte ovu funkciju (vidi Laboratorijski rad br. 5). Tabela početnih podataka prikazana je na sl. 38.
Rice. 38. Tabela početnih podataka
2. Odredite lokaciju u tabeli x , x 0 , f (x 0 ) i f "(x 0 ). Očigledno, x će biti vrijednosti iz
kolona A, počevši od trećeg reda (slika 38). Ako je x 0 = 1, tada će ćelija A9 djelovati kao x 0 . Prema tome, vrijednost funkcije f u tački x 0 nalazi se u ćeliji B9, a vrijednost f" (x 0 )
- u ćeliji E9.
3. U koloni F izračunava se jednadžba tangente na graf funkcije f(x). Prilikom izračunavanja jednačine (1) potrebno je da se vrijednosti x 0, f (x 0) i f" (x 0) ne mijenjaju. Stoga napišite
Da biste adresirali ćelije A9, B9 i E9, morate koristiti apsolutne reference na ove ćelije. Ćelije se fiksiraju pomoću znaka š$Ÿ. Ćelije će izgledati ovako: $A$9, $B$9 i $E$9.
Rice. 39. Grafikon funkcije f(x) i tangente na graf u tački x=1
Zadaci za samostalan rad
Funkcija f(x) je definirana na intervalu x. Izračunajte jednadžbu tangente. Konstruirajte tangentu na graf funkcije u datoj tački.
2x2 |
X [ 4 ;4 ] , x0 = 1 |
|||||||||
X [ 5 ;5 ] , x0 |
||||||||||
2x+2 |
||||||||||
f(x)=x3 |
3x2 |
2 , x [ 2 ;4 ] , x0 = 0 |
||||||||
f(x)=x |
X [ 2 ;3 ], x0 |
|||||||||
x 2 + 7 |
||||||||||
1. Vedeneeva, E. A. Funkcije i formule Excel 2007. Korisnička biblioteka / E. A. Vedeneeva. - Sankt Peterburg: Peter, 2008. - 384 str.
2. Sviridova, M. Yu. Spreadsheets Excel / M. Yu. Sviridova. - M.: Academia, 2008. - 144 str.
3. Serogodsky, V. V. Grafovi, proračuni i analiza podataka
V Excel 2007 / V. V. Serogodsky, R. G. Prokdi, D. A. Kozlov, A. Yu. Druzhinin. - M.: Nauka i tehnologija, 2009. - 336 str.
Grafička diferencijacija počinje iscrtavanjem grafa funkcije za date vrijednosti. U eksperimentalnoj studiji, takav graf se dobija pomoću uređaja za samosnimanje. Zatim se tangente povlače na krivu u fiksnim pozicijama i izračunavaju se vrijednosti derivata u odnosu na tangentu ugla koji formira tangenta na osu apscise.
Na sl. 5.8, A prikazana je kriva dobijena eksperimentalno na instalaciji (slika 5.6). Određivanje kutnog ubrzanja (željene funkcije) vrši se grafičkim diferenciranjem prema omjeru:
(5.19)
Tangenta nagiba tangente na krivulju u nekoj tački i su predstavljeni kao omjer segmenata , gdje je TO- odabrani segment integracije (slika 5.8, b)
Nakon zamjene ove relacije u relaciju (5.19), dobijamo
gdje je ordinata grafa ugaonog ubrzanja zahtjeva;
Skala željenog grafikona; SI jedinice: = mm; \u003d mm / (rad sa -2).
Graf funkcije se gradi prema pronađenim vrijednostima ordinata za određeni broj pozicija. Tačke na krivulji su povezane rukom glatkom linijom, a zatim zaokružene uzorkom.
Grafičko diferenciranje razmatranom metodom tangenta ima relativno nisku tačnost. Veća tačnost se postiže grafičkom diferencijacijom metodom akorda (slika 5.8, V I G).
 |
Na datoj krivulji je označen broj tačaka 1 ", 2 ", 3" , koji su povezani akordima, tj. zamijenite datu krivu isprekidanom linijom. Napravljena je sljedeća pretpostavka: ugao nagiba tangenti u tačkama koje se nalaze u sredini svakog dijela krive jednak je kutu nagiba odgovarajuće tetive. Ova pretpostavka unosi neku grešku, ali se odnosi samo na ovu tačku. Ove greške se ne zbrajaju, što osigurava prihvatljivu tačnost metode.
Preostale konstrukcije su slične onima koje su prethodno opisane za grafičku diferencijaciju tangentnom metodom. Odaberite segment (mm); provode grede nagnute pod uglovima 
do preseka sa y-osom u tačkama 1
", 2
", 3
" ... , koji se prenose na ordinate nacrtane u sredini svakog od intervala. Rezultirajuće tačke 1
*, 2
*, 3
* su tačke željene funkcije 
.
Razmjere duž koordinatnih osa ovom metodom konstrukcije povezane su istom relacijom (5.21), koja je izvedena za slučaj grafičke diferencijacije metodom tangente.
Diferencijacija funkcija f(x), dat (ili izračunat) kao niz brojeva, izvodi se metodom numeričke diferencijacije pomoću računara.
Što je manji korak u nizu brojeva, točnije možete izračunati vrijednost derivacije funkcije u ovom intervalu
