Pravi ugao u geometriji. Pojam i vrste uglova Tri razvijena ugla

Učenici se u osnovnoj školi upoznaju sa pojmom ugla. Ali kao geometrijsku figuru sa određenim svojstvima, počinju je učiti od 7. razreda iz geometrije. izgleda, prilično jednostavan oblikšta se može reći o njoj. Ali, stječući nova znanja, školarci sve više razumiju da o njoj možete naučiti prilično zanimljive činjenice.

U kontaktu sa

Kada se proučavaju

Školski predmet geometrije podijeljen je u dva dijela: planimetrija i geometrija tijela. Svako od njih ima veliku pažnju. dato uglovima:

  • U planimetriji je dat njihov osnovni koncept, odvija se upoznavanje s njihovim tipovima u veličini. Osobine svake vrste trokuta se detaljnije proučavaju. Pojavljuju se nove definicije za učenike - to su geometrijski oblici koji nastaju na presjeku dvije prave jedna s drugom i sjecištu nekoliko linija sekante.
  • U stereometriji se proučavaju prostorni uglovi - diedarski i triedarski.

Pažnja! Ovaj članak govori o svim vrstama i svojstvima uglova u planimetriji.

Definicija i mjerenje

Počevši da učim, prvo odredi, šta je ugao u planimetriji.

Ako uzmemo određenu tačku na ravnini i iz nje nacrtamo dvije proizvoljne zrake, dobićemo geometrijsku figuru - ugao, koji se sastoji od sljedećih elemenata:

  • vrh - tačka iz koje su povučene zrake označena je velikim slovom latinice;
  • strane su poluprave povučene odozgo.

Svi elementi koji formiraju figuru koju razmatramo dijele ravan na dva dijela:

  • unutrašnji - u planimetriji ne prelazi 180 stepeni;
  • vanjski.

Princip mjerenja uglova u planimetriji objasnjeno intuitivno. Za početak, učenici se upoznaju sa konceptom razvijenog ugla.

Bitan! Kaže se da je ugao razvijen ako poluprave koje izlaze iz njegovog vrha čine pravu liniju. Neokrenuti ugao su svi ostali slučajevi.

Ako je podijeljeno na 180 jednakih dijelova, tada je uobičajeno smatrati mjeru jednog dijela jednakim 10. U ovom slučaju kažu da se mjerenje vrši u stepenima, a mjera stepena takve figure je 180 stepeni.

Glavni tipovi

Tipovi uglova su podeljeni prema kriterijumima kao što su stepen stepena, priroda njihovog formiranja i kategorije ispod.

Po veličini

S obzirom na veličinu, uglovi se dijele na:

  • deployed;
  • ravno;
  • tup;
  • ljuto.

Koji se ugao naziva raspoređenim je predstavljen gore. Hajde da definišemo pojam prave linije.

Može se dobiti dijeljenjem raspoređenog na dva jednaka dijela. U ovom slučaju, lako je odgovoriti na pitanje: pravi ugao, koliko je to stepeni?

Podelite 180 stepeni sa 2 da dobijete pravi ugao je 90 stepeni. Ovo je divna figura, jer su mnoge činjenice u geometriji povezane s njom.

Također ima svoje karakteristike u oznaci. Da bi se na slici prikazao pravi ugao, on nije označen lukom, već kvadratom.

Uglovi koji se dobiju dijeljenjem proizvoljne zrake prave linije nazivaju se oštrim. Prema logici stvari, proizilazi da je oštar ugao manji od pravog ugla, ali se njegova mjera razlikuje od 0 stepeni. Odnosno, ima vrijednost od 0 do 90 stepeni.

Tup ugao je veći od pravog ugla, ali manji od pravog ugla. Njena mera stepena varira od 90 do 180 stepeni.

Ovaj element se može podijeliti na različite vrste figura koje se razmatraju, isključujući prošireni.

Bez obzira na to kako je nerotirani ugao prekinut, uvijek se koristi osnovni aksiom planimetrije - "glavno svojstvo mjerenja".

At dijeljenje ugla jednim snopom ili nekoliko, stepen stepena date figure je jednak zbiru mera uglova na koje je podeljena.

Na nivou 7. razreda tu se završavaju vrste uglova po njihovoj veličini. Ali da bi se povećala erudicija, može se dodati da postoje i druge sorte koje imaju mjeru stepena veću od 180 stepeni. Zovu se konveksne.

Slike na preseku linija

Sljedeće vrste uglova sa kojima se učenici upoznaju su elementi koji nastaju kada se dvije prave seku. Figure koje su postavljene jedna naspram druge nazivaju se vertikalne. Njihova karakteristika je da su jednaki.

Elementi koji su susjedni istoj liniji nazivaju se susjedni. Teorema o preslikavanju njihovog svojstva to kaže Susjedni uglovi iznose 180 stepeni.

Elementi u trouglu

Ako lik smatramo elementom u trokutu, onda se uglovi dijele na unutrašnje i vanjske. Trougao je omeđen sa tri segmenta i sastoji se od tri vrha. Uglovi koji se nalaze unutar trougla na svakom vrhu, naziva internim.

Ako uzmemo bilo koji unutrašnji element na bilo kojem vrhu i produžimo bilo koju stranu, tada se ugao koji se formira i koji je u susjedstvu unutarnjeg naziva vanjskim. Ovaj par elemenata ima sljedeće svojstvo: njihov zbir je 180 stepeni.

Presjek dvije prave linije

Raskrsnica linija

Kada se dvije prave seku, formiraju se i uglovi, koji su obično raspoređeni u parovima. Svaki par elemenata ima svoje ime. izgleda ovako:

  • unutrašnja poprečna: ∟4 i ∟6, ∟3 i ∟5;
  • unutrašnje jednostrano: ∟4 i ∟5, ∟3 i ∟6;
  • odgovaraju: ∟1 i ∟5, ∟2 i ∟6, ∟4 i ∟8, ∟3 i ∟7.

U slučaju kada sekansa siječe dvije prave, svi ovi parovi uglova imaju određena svojstva:

  1. Unutrašnje poprečno ležeće i odgovarajuće figure su međusobno jednake.
  2. Unutrašnji jednostrani elementi sabiraju do 180 stepeni.

Proučavamo uglove u geometriji, njihova svojstva

Vrste uglova u matematici

Zaključak

Ovaj članak predstavlja sve glavne vrste uglova koji se nalaze u planimetriji i izučavaju se u sedmom razredu. U svim narednim kursevima, svojstva koja se odnose na sve razmatrane elemente predstavljaju osnovu za dalje proučavanje geometrije. Na primjer, proučavajući, bit će potrebno prisjetiti se svih svojstava uglova nastalih na presjeku dvije paralelne linije sekante. Prilikom proučavanja karakteristika trouglova, potrebno je zapamtiti koji su susjedni uglovi. Nakon prelaska na stereometriju, sve trodimenzionalne figure će se proučavati i graditi na osnovu planimetrijskih figura.

Ovaj članak će razmotriti jedan od glavnih geometrijskih oblika - kut. Nakon opšteg uvoda u ovaj koncept, fokusiraćemo se na određeni tip takve figure. Pravi ugao je važan koncept u geometriji i bit će u fokusu ovog članka.

Uvod u pojam geometrijskog ugla

U geometriji postoji niz objekata koji čine osnovu svake nauke. Ugao se samo odnosi na njih i određuje se pomoću koncepta zraka, pa počnimo s njim.

Također, prije nego što pređete na definiciju samog ugla, morate zapamtiti nekoliko jednako važnih objekata u geometriji - ovo je tačka, ravna linija na ravni i sama ravnina. Prava linija je najjednostavniji geometrijski lik, koji nema ni početak ni kraj. Ravan je površina koja ima dvije dimenzije. Pa, zraka (ili poluprava) u geometriji je dio prave linije koja ima početak, ali nema kraj.

Koristeći ove koncepte, možemo dati izjavu da je ugao geometrijska figura koja potpuno leži u određenoj ravni i sastoji se od dvije neusklađene zrake sa zajedničkim ishodištem. Takve zrake nazivaju se stranicama ugla, a zajednički početak stranica je njegov vrh.

Vrste uglova i geometrija

Znamo da uglovi mogu biti prilično različiti. Stoga će u nastavku biti data mala klasifikacija koja će pomoći da se bolje razumiju vrste uglova i njihove glavne karakteristike. Dakle, postoji nekoliko vrsta uglova u geometriji:

  1. Pravi ugao. Karakterizira ga vrijednost od 90 stepeni, što znači da su njegove strane uvijek okomite jedna na drugu.
  2. Oštar ugao. Ovi uglovi uključuju sve njihove predstavnike, koji imaju veličinu manju od 90 stupnjeva.
  3. Tupi ugao. Svi uglovi sa vrednošću od 90 do 180 stepeni takođe mogu biti ovde.
  4. Prošireni kut. Ima veličinu od striktno 180 stepeni i spolja njegove strane čine jednu pravu liniju.

Koncept pravog ugla

Pogledajmo sada razvijeni ugao detaljnije. To je slučaj kada obje strane leže na istoj pravoj liniji, što se jasno vidi na donjoj slici. To znači da sa sigurnošću možemo reći da je jedna od njegovih strana, zapravo, nastavak druge.

Vrijedno je zapamtiti činjenicu da se takav ugao uvijek može podijeliti pomoću zraka koji izlazi iz njegovog vrha. Kao rezultat, dobijamo dva ugla, koji se u geometriji nazivaju susjednim.

Takođe, razvijeni ugao ima nekoliko karakteristika. Da biste razgovarali o prvom od njih, morate zapamtiti koncept "simetrale ugla". Podsjetimo da je ovo zraka koja dijeli bilo koji ugao striktno na pola. Što se tiče pravog ugla, njegova simetrala ga dijeli na način da se formiraju dva prava ugla od 90 stepeni. Ovo je vrlo lako matematički izračunati: 180˚ (stepen ispravljenog ugla): 2 = 90˚.

Ako, međutim, podijelimo razvijeni ugao potpuno proizvoljnom zrakom, onda kao rezultat uvijek dobijemo dva ugla, od kojih će jedan biti oštar, a drugi tup.

Flat Corner Properties

Biće zgodno razmotriti ovaj ugao, okupljajući sva njegova glavna svojstva, što smo uradili na ovoj listi:

  1. Stranice pravog ugla su antiparalelne i čine pravu liniju.
  2. Vrijednost razvijenog ugla je uvijek 180˚.
  3. Dva susedna ugla zajedno uvek čine pravi ugao.
  4. Pun ugao, koji iznosi 360˚, sastoji se od dva raspoređena i jednak je njihovom zbiru.
  5. Pola ispravljenog ugla je pravi ugao.

Dakle, poznavajući sve ove karakteristike ove vrste ugla, možemo ih koristiti za rješavanje niza geometrijskih problema.

Problemi sa ravnim uglovima

Kako biste shvatili da li ste savladali koncept pravog ugla, pokušajte odgovoriti na nekoliko sljedećih pitanja.

  1. Koliki je pravi ugao ako njegove stranice čine okomitu liniju?
  2. Hoće li dva ugla biti susjedna ako je veličina prvog 72˚, a drugog 118˚?
  3. Ako se puni ugao sastoji od dva ravna ugla, koliko pravih uglova ima?
  4. Pravi ugao je podijeljen snopom na dva takva ugla da su njihove mjere stepena povezane kao 1:4. Izračunajte rezultirajuće uglove.

Rješenja i odgovori:

  1. Bez obzira kako se nalazi pravi ugao, on je po definiciji uvek jednak 180˚.
  2. Susedni uglovi imaju jednu zajedničku stranu. Stoga, da biste izračunali veličinu ugla koji su sastavili, trebate samo dodati vrijednost njihovih mjera stepena. Dakle, 72 +118 = 190. Ali po definiciji, pravi ugao je 180˚, što znači da dva data ugla ne mogu biti susedna.
  3. Pravi ugao sadrži dva prava ugla. A pošto su u punoj dvije raspoređene, to znači da će u njoj biti 4 ravne linije.
  4. Ako željene kutove nazovemo a i b, onda neka x bude koeficijent proporcionalnosti za njih, što znači da je a = x, a prema tome b = 4x. Pravi ugao u stepenima je 180˚. A prema njegovim svojstvima, da je stepenasta mera ugla uvek jednaka zbiru stepenastih mera onih uglova na koje ga deli bilo koja proizvoljna zraka koja prolazi između njegovih stranica, možemo zaključiti da je x + 4x = 180 ˚, što znači 5x = 180˚ . Odavde nalazimo: x=a=36˚ i b = 4x = 144˚. Odgovor: 36˚ i 144˚.

Ako ste uspjeli odgovoriti na sva ova pitanja bez nagoveštaja i bez zavirivanja u odgovore, onda ste spremni da pređete na sljedeću lekciju geometrije.

Počnimo tako što ćemo definisati šta je ugao. Prvo, to je Drugo, formiraju ga dvije zrake, koje se nazivaju strane ugla. Treće, potonji izlaze iz jedne tačke, koja se zove vrh ugla. Na osnovu ovih znakova možemo dati definiciju: ugao je geometrijska figura koja se sastoji od dvije zrake (stranice) koje izlaze iz jedne tačke (temena).

Klasificirani su po stupnjevima, po lokaciji u odnosu jedan na drugi i u odnosu na krug. Počnimo s vrstama uglova prema njihovoj veličini.

Ima ih nekoliko varijanti. Pogledajmo pobliže svaku vrstu.

Postoje samo četiri glavne vrste uglova - pravi, tupi, oštri i razvijeni ugao.

Pravo

izgleda ovako:

Njegova mjera stepena je uvijek 90 o, drugim riječima, pravi ugao je ugao od 90 stepeni. Imaju ih samo četvorouglovi kao što su kvadrat i pravougaonik.

Blunt

izgleda ovako:

Mera stepena je uvek veća od 90 stepeni, ali manja od 180 stepeni. Može se pojaviti u takvim četverokutima kao što su romb, proizvoljni paralelogram, u poligonima.

Začinjeno

izgleda ovako:

Mera stepena oštrog ugla je uvek manja od 90°. Javlja se u svim četverokutima, osim u kvadratu i proizvoljnom paralelogramu.

raspoređeno

Prošireni ugao izgleda ovako:

Ne javlja se u poligonima, ali nije ništa manje važno od svih ostalih. Pravi ugao je geometrijska figura čija je mjera stepena uvijek 180º. Možete graditi na njemu crtanjem jedne ili više zraka iz njegovog vrha u bilo kojem smjeru.

Postoji nekoliko drugih sekundarnih tipova uglova. Ne izučavaju se u školama, ali je potrebno znati barem o njihovom postojanju. Postoji samo pet sekundarnih tipova uglova:

1. Nula

izgleda ovako:

Već sam naziv ugla govori o njegovoj veličini. Njegova unutrašnja površina je 0 o, a stranice leže jedna na drugu kao što je prikazano na slici.

2. Kosi

Kosi može biti pravi, tup, oštar i razvijen ugao. Njegov glavni uslov je da ne bude jednak 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Konveksna

Konveksni su nulti, pravi, tupi, oštri i razvijeni uglovi. Kao što ste već shvatili, mjera stepena konveksnog ugla je od 0 o do 180 o.

4. Nekonveksan

Nekonveksni su uglovi sa stepenom od 181 o do 359 o uključujući.

5. Pun

Ugao sa mjerom od 360 stepeni je potpuni ugao.

To su sve vrste uglova prema njihovoj veličini. Sada razmotrite njihove tipove prema lokaciji u ravnini u odnosu jedan na drugi.

1. Dodatni

To su dva oštra ugla koji čine jednu pravu liniju, tj. njihov zbir je 90 o.

2. Povezano

Susjedni uglovi nastaju ako se zrak povuče u bilo kojem smjeru kroz raspoređeni, tačnije, kroz njegov vrh. Njihov zbir je 180 o.

3. Vertikalno

Vertikalni uglovi nastaju kada se dve prave seku. Njihove mjere stepena su jednake.

Sada pređimo na vrste uglova koji se nalaze u odnosu na krug. Ima ih samo dva: centralna i upisana.

1. Central

Centralni ugao je onaj sa vrhom u centru kružnice. Njegova mjera stepena jednaka je mjeri stepena manjeg luka savijenog stranicama.

2. Upisano

Upisani ugao je onaj čiji vrh leži na kružnici i čije stranice ga sijeku. Njegova mjera stepena jednaka je polovini luka na kojem počiva.

Sve je u uglovima. Sada znate da pored najpoznatijih - oštrih, tupih, ravnih i raspoređenih - u geometriji postoje mnoge druge vrste njih.

Ugao je geometrijska figura koja se sastoji od dvije različite zrake koje izlaze iz jedne tačke. U ovom slučaju, ove zrake se nazivaju stranicama ugla. Tačka koja je početak zraka naziva se vrh ugla. Na slici se vidi ugao sa vrhom u tački O, i stranke k I m.

Na stranama ugla su označene tačke A i C. Ovaj ugao se može označiti kao ugao AOC. U sredini mora biti naziv tačke u kojoj se nalazi ugaoni vrh. Postoje i druge oznake, ugao O ili ugao km. U geometriji se umjesto riječi ugao često ispisuje posebna ikona.

Okretni i neokretni ugao

Ako obje strane ugla leže na istoj pravoj liniji, onda se takav ugao naziva raspoređeno ugao. To jest, jedna strana ugla je nastavak druge strane ugla. Na slici ispod prikazan je ugao O.

Treba napomenuti da bilo koji ugao dijeli ravan na dva dijela. Ako ugao nije proširen, tada se jedan od dijelova naziva unutrašnja regija ugla, a drugi je vanjski dio ovog ugla. Na slici ispod prikazan je nespljošten ugao i označeni su vanjski i unutrašnji dijelovi ovog ugla.

U slučaju razvijenog ugla, bilo koji od dva dela na koje on deli ravan može se smatrati spoljnim delom ugla. Možemo govoriti o položaju tačke u odnosu na ugao. Tačka može ležati izvan ugla (u vanjskom dijelu), može biti na jednoj od njegovih strana ili može ležati unutar ugla (u unutrašnjem području).

Na slici ispod, tačka A leži izvan ugla O, tačka B leži na jednoj strani ugla, a tačka C leži unutar ugla.

Merenje ugla

Za mjerenje uglova postoji uređaj koji se zove kutomjer. Jedinica za ugao je stepen. Treba napomenuti da svaki ugao ima određenu mjeru stepena, koja je veća od nule.

U zavisnosti od stepena mere, uglovi se dele u nekoliko grupa.

Slični postovi