Matériel sur les mathématiques "théorèmes sur les angles formés par des cordes, des tangentes et des sécantes". Théorèmes sur les angles formés par deux droites parallèles

§ 1 Théorème inverse

Dans cette leçon, nous découvrirons quels théorèmes sont appelés inverses, donnerons des exemples de théorèmes inverses, formulerons des théorèmes sur les angles formés par deux droites parallèles et une transversale, et nous familiariserons avec la méthode de preuve par contradiction.

Lors de l'étude de divers formes géométriques Les définitions sont généralement formulées, les théorèmes sont prouvés et les corollaires des théorèmes sont pris en compte. Chaque théorème comporte deux parties : la condition et la conclusion.

La condition du théorème est ce qui est donné et la conclusion est ce qui doit être prouvé. Très souvent, la condition d’un théorème commence par le mot « si » et la conclusion par le mot « alors ». Par exemple, un théorème sur les propriétés d'un triangle isocèle peut être formulé comme suit : « Si le triangle est isocèle, alors les angles à sa base sont égaux. » La première partie du théorème « Si le triangle est isocèle » est la condition du théorème, la deuxième partie du théorème « alors les angles à sa base sont égaux » est la conclusion du théorème.

Un théorème dans lequel la condition et la conclusion sont inversées est appelé théorème inverse. Le théorème inverse du théorème sur les propriétés d'un triangle isocèle ressemblera à ceci : « Si deux angles dans un triangle sont égaux, alors un tel triangle est isocèle. »

Écrivons brièvement chacun d'eux :

Nous voyons que la condition et la conclusion ont changé de place.

Chacune de ces affirmations est vraie.

La question se pose : une affirmation dans laquelle la condition change avec la conclusion est-elle toujours vraie ?

Regardons un exemple.

Si les angles sont verticaux, alors ils sont égaux. Ceci est une déclaration vraie et a des preuves. Formulons l'énoncé inverse : si les angles sont égaux, alors ils sont verticaux. Cette affirmation est incorrecte, il est facile de le vérifier en donnant un exemple réfutable : prenons deux angles droits (voir figure), ils sont égaux, mais ils ne sont pas verticaux.

Ainsi, les énoncés inverses (théorèmes) par rapport à des énoncés (théorèmes) déjà prouvés nécessitent toujours une preuve.

§ 2 Théorèmes sur les angles formés par deux droites parallèles et une transversale

Rappelons maintenant les énoncés prouvés - théorèmes exprimant les signes du parallélisme de deux droites, formulons leurs théorèmes inverses et vérifions leur validité en fournissant des preuves.

Le premier signe de lignes parallèles.

Si, lorsque deux droites se coupent transversalement, les angles impliqués sont égaux, alors les droites sont parallèles.

Théorème inverse :

Si deux droites parallèles sont coupées par une transversale, alors les angles qui se croisent sont égaux.

Prouvons cette affirmation.

Étant donné : les droites parallèles a et b sont coupées par la sécante AB.

Prouver : les angles croisés 1 et 2 sont égaux. (voir l'image)

Preuve:

Supposons que les angles 1 et 2 ne soient pas égaux.

Mettons de côté l'angle CAB du rayon AB, égal à l'angle 2, de sorte que l'angle CAB et l'angle 2 soient des angles croisés à l'intersection des droites CA et b par la sécante AB.

Par construction, ces angles transversaux sont égaux, ce qui signifie que la droite CA est parallèle à la droite b.

Nous avons constaté que deux droites a et CA passent par le point A, parallèlement à la droite b. Cela contredit l'axiome des lignes parallèles : par un point ne se trouvant pas sur une ligne donnée ne passe qu'une seule ligne parallèle à celle donnée.

Cela signifie que notre hypothèse est incorrecte, les angles 1 et 2 sont égaux.

Le théorème a été prouvé.

§ 3 Mode de preuve par contradiction

Pour prouver ce théorème, nous avons utilisé une méthode de raisonnement appelée méthode de preuve par contradiction. En commençant la preuve, nous avons supposé le contraire de ce qui devait être prouvé. Considérant cette hypothèse comme correcte, nous sommes parvenus, grâce au raisonnement, à une contradiction avec l'axiome des lignes parallèles. Nous en concluons que notre hypothèse n’est pas vraie, mais que l’énoncé du théorème est vrai. Ce type de preuve est souvent utilisé en mathématiques.

Considérons le corollaire du théorème prouvé.

Conséquence:

Si une droite est perpendiculaire à l’une des deux droites parallèles, alors elle est également perpendiculaire à l’autre.

Soit la ligne a parallèle à la ligne b, la ligne c perpendiculaire à la ligne a, c'est-à-dire angle 1 = 90º.

La ligne c coupe la ligne a, ce qui signifie que la ligne c coupe également la ligne b.

Lorsque des lignes parallèles coupent une transversale, les angles transversaux sont égaux, ce qui signifie angle 1 = angle 2.

Puisque l'angle 1 = 90º, alors l'angle 2 = 90º, ce qui signifie que la ligne c est perpendiculaire à la ligne b.

L'enquête a été prouvée.

Le théorème inverse du deuxième critère du parallélisme des droites :

Si deux droites parallèles sont coupées par une transversale, alors les angles correspondants sont égaux.

Le théorème inverse du troisième critère du parallélisme des droites :

Si deux droites parallèles sont coupées par une transversale, alors la somme des angles unilatéraux est de 180º.

Ainsi, dans cette leçon, nous avons découvert quels théorèmes sont appelés inverses, formulé et examiné des théorèmes sur les angles formés par deux droites parallèles et une transversale, et nous nous sommes également familiarisés avec la méthode de preuve par contradiction.

Liste de la littérature utilisée :

Géométrie. 7e à 9e années : manuel. pour l'enseignement général organisations / L.S. Atanasyan, V.F. Butouzov, S.B. Kadomtsev et al. - M. : Education, 2013. - 383 p. : ill.
Gavrilova N.F. Développements de cours en géométrie 7e année. - M. : « VAKO », 2004, 288 p. - (Pour aider le professeur de l'école).
Belitskaïa O.V. Géométrie. 7e année. Partie 1. Essais. – Saratov : Lycée, 2014. – 64 p.

Rybalko Pavel

Cette présentation contient : 3 théorèmes avec preuves et 3 tâches pour consolider la matière étudiée avec solution détaillée. La présentation peut être utile à l'enseignant pendant la leçon, car elle lui fera gagner beaucoup de temps. Il peut également servir de bilan général de fin d’année scolaire.

Télécharger:

Aperçu:

Pour utiliser les aperçus de présentation, créez un compte Google et connectez-vous : https://accounts.google.com

Légendes des diapositives :

Théorèmes sur les angles formés par deux droites parallèles et une transversale. Interprète : Rybalko Pavel, élève de 7e année, Mytishchi, 2012

Théorème : Si deux droites parallèles sont coupées par une transversale, alors les angles qui se croisent sont égaux. une dans A B 1 2  1 =  2 c

Preuve : A B C D M N 1 2 A B C D M N 1 2 K O Soient les droites AB et CD parallèles, MN est leur sécante. Montrons que les angles transversaux 1 et 2 sont égaux entre eux. Supposons que  1 et  2 ne soient pas égaux. Traçons une droite K F passant par le point O. Puis au point O nous pouvons construire  KON , transversal et égal à  2. Mais si  KON =  2, alors la droite K F sera parallèle à CD. Nous avons constaté que deux droites AB et K F passent par le point O, parallèlement à la droite CD. Mais cela ne peut pas être le cas. Nous sommes arrivés à une contradiction car nous avons supposé que  1 et  2 ne sont pas égaux. Par conséquent, notre hypothèse est incorrecte et  1 doit être égal à  2, c'est-à-dire que les angles transversaux sont égaux. F

Théorème : Si deux droites parallèles sont coupées par une transversale, alors les angles correspondants sont égaux. une dans A B 1 2  1 =  2

Preuve : 2 a dans A B 3 1 Supposons que les droites parallèles a et b soient coupées par la sécante AB, alors les transversales  1 et  3 seront égales.  2 et  3 sont égaux à la verticale. Des égalités  1 =  3 et  2 =  3 il s'ensuit que  1 =  2. Le théorème est prouvé

Théorème : Si deux droites parallèles sont coupées par une transversale, alors la somme des angles unilatéraux est de 180°. a dans A B 3 1  1 +  3 = 180°

Preuve : Supposons que les droites parallèles a et b soient coupées par la sécante AB, alors les  1 et  2 correspondants seront égaux,  2 et  3 sont adjacents, donc  2 +  3 = 180 °. Des égalités  1 =  2 et  2 +  3 = 180 ° il s'ensuit que  1 +  3 = 180 °. Le théorème a été prouvé. 2 une dans UN B 3 1

Solution : 1. Soit X  2, alors  1 = (X+70°), car la somme des angles 1 et 2 = 180°, du fait qu'ils sont adjacents. Faisons une équation : X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (Angle 2) 2. Trouvez  1. 55° + 70° = 125° 3.  1 =  3, soit À. ils sont verticaux.  3 =  5, car ils sont couchés en travers. 125°  5 =  7, car ils sont verticaux.  2 =  4, car ils sont verticaux.  4 =  6, car ils sont couchés en travers. 55°  6 =  8, car ils sont verticaux. Problème n°1 : A B 4 3 5 8 7 2 1 6 Condition : trouver tous les angles formés lorsque deux droites parallèles A et B se coupent avec une transversale C, si l'un des angles est 70° plus grand que l'autre.

Solution : 1. Parce que  4 = 45°, alors  2 = 45°, car  2 =  4 (comme correspondant) 2.  3 est adjacent à  4, donc  3+  4 = 180°, et il s'ensuit que  3= 180°-45°= 135°. 3.  1 =  3, car ils sont couchés en travers.  1 = 135°. Réponse :  1=135° ;  2=45°;  3=135°. Problème n°2 : A B 1 Condition : sur la figure il y a des droites A II B et C II D,  4=45°. Trouvez les angles 1, 2, 3. 3 2 4

Solution : 1.  1=  2, car ils sont verticaux, ce qui signifie  2= 45°. 2.  3 est adjacent à  2, donc  3+  2=180°, et il en résulte que  3= 180° - 45°= 135°. 3.  4 +  3=180°, car ils sont unilatéraux.  4 = 45°. Réponse :  4=45° ;  3=135°. Problème n°3 : A B 2 Condition : deux droites parallèles A et B sont coupées par une sécante C. Déterminez à quoi  4 et  3 seront égaux si  1=45°. 3 4 1

Théorèmes sur les angles formés

Géométrie, chapitre III, 7e année

Vers le manuel de L.S. Atanasyan

professeur de mathématiques de la catégorie la plus élevée

Établissement d'enseignement municipal "École secondaire de base Upshinskaya"

District d'Orsha de la République de Mari El

L'inverse de ce théorème

Théorème: Dans un triangle isocèle, les angles de base sont égaux .

Théorème: Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base sont égaux .

Condition du théorème (donné) : triangle - isocèle

Conclusion du théorème (Démontrer) : les angles de base sont égaux

Condition du théorème : les angles de base sont égaux

Conclusion du théorème : triangle - isocèle

NOUVELLE DÉCLARATION

Inverse

théorème

Si un triangle a deux angles

sont égaux, alors il est isocèle .

L'inverse de ce théorème

L’inverse est-il toujours vrai ?

Théorème

Théorème inverse

Si la somme de deux angles est 180 0 , alors les angles sont adjacents

Somme des angles adjacents

égal à 180 0 .

Si les angles sont égaux,

alors ils sont verticaux

Les angles verticaux sont égaux

Si dans un triangle la bissectrice tracée sur un de ses côtés est aussi la médiane tracée sur ce côté, alors ce triangle est isocèle

Dans un triangle isocèle, la bissectrice tirée vers la base est la médiane et l'altitude

Si dans un triangle la bissectrice tracée sur un de ses côtés est aussi l'altitude tracée sur ce côté, alors ce triangle est isocèle

E Si le triangle est isocèle, alors la bissectrice tirée vers la base , est à la fois la médiane et la hauteur

Angles formés par deux lignes parallèles et une transversale

L’inverse est-il toujours vrai ?

Théorème

Théorème inverse

Si deux lignes parallèles sont traversés par une sécante, alors les angles croisés sont égaux

angles transversaux égal Que les lignes sont parallèles .

Mais cela contredit axiome du parallèle , alors notre hypothèse est incorrecte

DE LA MÉTHODE

OPPOSÉ

Nous avançons une hypothèse contraire à ce qui doit être prouvé

Grâce au raisonnement, nous arrivons à une contradiction avec un axiome ou un théorème bien connu.

Nous concluons que notre hypothèse est incorrecte et que le théorème est correct

Mais cela contredit axiome du parallèle

Notre hypothèse est donc incorrecte

Si deux droites parallèles sont coupées par une transversale, alors les angles qui se croisent sont égaux

COROLLAIRE DU THÉORÈME

Si une droite est perpendiculaire à l’une des deux droites parallèles, alors elle est également perpendiculaire à l’autre

Angles formés

deux lignes parallèles et une transversale

Théorème

Théorème inverse

Si, à l’intersection de deux droites, une sécante les angles correspondants sont égaux , Que les lignes sont parallèles .

Si deux lignes parallèles sont traversés par une sécante, alors les angles correspondants sont égaux

Angles formés

deux lignes parallèles et une transversale

Théorème

Théorème inverse

Si, à l’intersection de deux droites, une sécante 0 , Que les lignes sont parallèles .

Si deux lignes parallèles sont traversés par une sécante, alors la somme des angles unilatéraux est de 180 0

Les droites a et b sont parallèles.

Trouvez l'angle 2.

Les droites a et b sont parallèles.

Trouver des angles inconnus

Les droites a et b sont parallèles.

Trouver des angles inconnus

Les droites a et b sont parallèles. Trouvez les angles inconnus si la somme de deux angles qui se croisent est 100 0 .

Les droites a et b sont parallèles. Trouver les angles inconnus si la somme de deux angles correspondants est 260 0 .

Les droites a et b sont parallèles. Trouvez les angles inconnus si la différence entre deux angles unilatéraux est de 50 0 .

Une leçon vidéo sur les théorèmes sur les angles entre deux droites parallèles et leur transversale contient du matériel présentant les caractéristiques structurelles du théorème, des exemples de formation et de preuve de théorèmes inverses, ainsi que leurs corollaires. Le but de cette leçon vidéo est d'approfondir le concept de théorème, en le décomposant en ses composants, en considérant le concept de théorème inverse, de développer la capacité de construire un théorème inverse à un théorème donné, les conséquences du théorème, et de développer la capacité de prouver des déclarations.

La forme de la leçon vidéo vous permet de mettre l'accent avec succès lors de la démonstration du matériel, ce qui facilite la compréhension et la mémorisation du matériel. Le sujet de cette leçon vidéo est complexe et important, c'est pourquoi l'utilisation d'une aide visuelle est non seulement conseillée, mais également souhaitable. C’est l’occasion d’améliorer la qualité de l’apprentissage. Les effets animés améliorent la présentation du matériel pédagogique, rapprochent le processus d'apprentissage du processus traditionnel et l'utilisation de la vidéo libère l'enseignant pour approfondir le travail individuel.

La leçon vidéo commence par l'annonce de son sujet. Au début de la leçon, la décomposition du théorème en ses composantes est envisagée pour une meilleure compréhension de sa structure et des possibilités de recherches ultérieures. Un diagramme s'affiche à l'écran démontrant que le théorème comprend ses conditions et ses conclusions. Le concept de condition et de conclusion est décrit à l'aide de l'exemple du signe des droites parallèles, en notant qu'une partie de l'énoncé est la condition du théorème et que la conclusion est la conclusion.

En approfondissant les connaissances acquises sur la structure du théorème, les étudiants apprennent le concept d'un théorème inverse à un théorème donné. Il se forme à la suite d'un remplacement - la condition devient la conclusion, la conclusion - la condition. Afin de développer la capacité des élèves à construire des théorèmes inverses aux données et à les prouver, des théorèmes inverses à ceux abordés dans la leçon 25 sur les signes des droites parallèles sont considérés.

L'écran affiche le théorème inverse du premier théorème, qui décrit le signe des droites parallèles. En échangeant la condition et la conclusion, nous obtenons l'affirmation selon laquelle si des lignes parallèles sont coupées par une transversale, alors les angles transversaux formés dans ce cas seront égaux. La preuve est démontrée sur la figure, qui montre les lignes a, b, ainsi qu'une transversale passant par ces lignes en leurs points M et N. Les angles transversaux ∠1 et ∠2 sont marqués dans l'image. Il faut prouver leur égalité. Premièrement, la preuve suppose que ces angles ne sont pas égaux. Pour ce faire, une certaine ligne droite P est tracée passant par le point M. Un angle `∠PMN est construit, qui est transversal avec un angle ∠2 par rapport à MN. Les angles `∠PMN et ∠2 sont égaux par construction, donc MP║b. Conclusion - deux lignes parallèles à un point sont tracées via b. Cependant, cela est impossible car cela ne correspond pas à l’axiome des lignes parallèles. L’hypothèse avancée s’avère fausse, prouvant la validité de la déclaration originale. Le théorème a été prouvé.

Ensuite, l'attention des étudiants est attirée sur la méthode de preuve utilisée au cours du raisonnement. Une preuve dans laquelle l’affirmation prouvée est supposée fausse est appelée preuve par contradiction en géométrie. Cette méthode est souvent utilisée pour prouver diverses affirmations géométriques. Dans ce cas, après avoir supposé l'inégalité des angles croisés, une contradiction est apparue au cours du raisonnement, qui nie la validité d'une telle contradiction.

Il est rappelé aux étudiants qu'une méthode similaire a déjà été utilisée dans les épreuves. Un exemple en est la preuve du théorème de la leçon 12 selon lequel deux droites perpendiculaires à une troisième ne se coupent pas, ainsi que la preuve des corollaires de la leçon 28 à partir de l'axiome des droites parallèles.

Un autre corollaire démontrable stipule qu’une droite est perpendiculaire aux deux droites parallèles si elle est perpendiculaire à l’une d’elles. La figure montre les droites a et b et une droite c qui leur est perpendiculaire. La perpendiculaire d'une droite c à a signifie que l'angle formé avec elle est égal à 90°. Le parallélisme de a et b et leur intersection avec la droite c signifie que la droite c coupe b. L'angle ∠2 formé avec la droite b est transversal à l'angle ∠1. Et puisque, selon la condition, les droites sont parallèles, alors ces angles sont égaux. En conséquence, l'angle ∠2 sera également égal à 90°. Cela signifie que la ligne c est perpendiculaire à la ligne b. Le théorème considéré a été prouvé.

Nous démontrons ensuite le théorème inverse du deuxième critère pour les droites parallèles. Le théorème inverse stipule que si deux droites sont parallèles, les angles correspondants formés seront égaux. La preuve commence par la construction d’une sécante c et de droites parallèles a et b. Les angles créés dans ce cas sont marqués sur la figure. Il existe une paire d'angles correspondants appelés ∠1 et ∠2, ainsi qu'un angle marqué ∠3, qui se trouve transversalement à l'angle ∠1. Le parallélisme de a et b signifie l'égalité ∠3=∠1 comme étant transversale. Considérant que ∠3, ∠2 sont verticaux, ils sont également égaux. Une conséquence de telles égalités est l’affirmation selon laquelle ∠1=∠2. Le théorème considéré a été prouvé.

Le dernier théorème à prouver dans cette leçon est l’inverse du dernier test pour les droites parallèles. Son texte précise que si une transversale passe par des lignes parallèles, la somme des angles unilatéraux formés est égale à 180°. La progression de la preuve est démontrée sur la figure, qui montre les droites a et b coupant la sécante c. Il faut prouver que la somme des angles unilatéraux sera égale à 180°, soit ∠4+∠1 = 180°. Du parallélisme des droites a et b, découle l'égalité des angles correspondants ∠1 et ∠2. La contiguïté des angles ∠4, ∠2 signifie qu'ils totalisent 180°. Dans ce cas, les angles ∠1= ∠2 - ce qui signifie que ∠1 ajouté à l'angle ∠4 sera de 180°. Le théorème a été prouvé.

Pour une compréhension plus approfondie de la façon dont les théorèmes inverses sont formés et prouvés, il convient de noter séparément que si un théorème est prouvé et vrai, cela ne signifie pas que le théorème inverse sera également vrai. Pour comprendre cela, un exemple simple est donné. Il existe un théorème selon lequel tous les angles verticaux sont égaux. Le théorème inverse donne l’impression que tous les angles égaux sont verticaux, ce qui n’est pas vrai. Après tout, vous pouvez construire deux angles égaux qui ne sont pas verticaux. Cela peut être vu sur l’image présentée.

La leçon vidéo « Théorèmes sur les angles formés par deux droites parallèles et une transversale » est une aide visuelle qui peut être utilisée par un enseignant dans un cours de géométrie, et peut également se faire une idée avec succès des théorèmes inverses et des corollaires, ainsi que leur preuve lors de l'étude indépendante de la matière et être utiles dans la formation à distance.