Résolvez les inégalités en utilisant la méthode des intervalles en ligne avec solution. Inégalités linéaires

De la forme ax 2 + bx + 0 0, où (au lieu du signe > il peut bien sûr y avoir n'importe quel autre signe d'inégalité). Nous disposons de tous les faits théoriques nécessaires pour résoudre de telles inégalités, comme nous allons le voir maintenant.

Exemple 1. Résoudre les inégalités :

une) x 2 - 2x - 3 >0 ; b)x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0 ; ré) x 2 - 2x - 3< 0.
Solution,

a) Considérons la parabole y = x 2 - 2x - 3, représentée sur la Fig. 117.

Résoudre l'inégalité x 2 - 2x - 3 > 0 signifie répondre à la question à quelles valeurs de x les ordonnées des points de la parabole sont positives.

On note que y > 0, c'est à dire que le graphique de la fonction est situé au dessus de l'axe des x, en x< -1 или при х > 3.

Cela signifie que les solutions aux inégalités sont toutes des questions ouvertes. faisceau(- 00 , - 1), ainsi que tous les points du faisceau ouvert (3, +00).

En utilisant le signe U (le signe pour combiner les ensembles), la réponse peut s'écrire comme suit : (-00, - 1) U (3, +00). Cependant, la réponse peut s'écrire ainsi : x< - 1; х > 3.

b) Inégalité x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: calendrier situé en dessous de l'axe des x si -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) L'inégalité x 2 - 2x - 3 > 0 diffère de l'inégalité x 2 - 2x - 3 > 0 en ce que la réponse doit également inclure les racines de l'équation x 2 - 2x - 3 = 0, c'est-à-dire les points x = - 1

et x = 3. Ainsi, les solutions à cette inégalité non stricte sont tous les points du rayon (-00, - 1], ainsi que tous les points du rayon.

Les mathématiciens pratiques disent généralement ceci : pourquoi devons-nous construire soigneusement un graphique parabolique d'une fonction quadratique lors de la résolution de l'inégalité ax 2 + bx + c > 0

y = ax 2 + bx + c (comme cela a été fait dans l'exemple 1) ? Il suffit de faire un croquis schématique du graphique, pour lequel il suffit de trouver racines trinôme quadratique (le point d'intersection de la parabole avec l'axe des x) et déterminez si les branches de la parabole sont dirigées vers le haut ou vers le bas. Cette esquisse schématique donnera une interprétation visuelle de la solution à l’inégalité.

Exemple 2. Résoudre l'inégalité - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Solution.

1) Trouvez les racines du trinôme carré - 2x 2 + 3x + 9 : x 1 = 3 ; x2 = - 1,5.

2) La parabole, qui sert de graphique à la fonction y = -2x 2 + 3x + 9, coupe l'axe des x aux points 3 et - 1,5, et les branches de la parabole sont dirigées vers le bas, puisque le plus haut coefficient- nombre négatif - 2. Sur la Fig. 118 montre un croquis du graphique.

3) En utilisant la fig. 118, nous concluons :< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Réponse : x< -1,5; х > 3.

Exemple 3. Résoudre l'inégalité 4x 2 - 4x + 1< 0.
Solution.

1) À partir de l'équation 4x 2 - 4x + 1 = 0, nous trouvons .

2) Un trinôme carré a une racine ; cela signifie que la parabole servant de graphique à un trinôme quadratique ne coupe pas l'axe des x, mais le touche au point . Les branches de la parabole sont dirigées vers le haut (Fig. 119.)

3) En utilisant le modèle géométrique présenté à la Fig. 119, nous établissons que l'inégalité donnée n'est satisfaite qu'au point, puisque pour toutes les autres valeurs de x les ordonnées du graphique sont positives.
Répondre: .
Vous avez sans doute remarqué qu'en effet, dans les exemples 1, 2, 3, un algorithme solution des inégalités quadratiques, formalisons-la.

Algorithme de résolution de l'inégalité quadratique axe 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

La première étape de cet algorithme consiste à trouver les racines d’un trinôme quadratique. Mais les racines n’existent peut-être pas, alors que pouvons-nous faire ? L’algorithme n’est alors pas applicable, ce qui signifie que nous devons penser différemment. La clé de ces arguments est donnée par les théorèmes suivants.

Autrement dit, si D< 0, а >0, alors l'inégalité ax 2 + bx + c > 0 est valable pour tout x ; au contraire, l'inégalité ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Preuve. Calendrier les fonctions y = ax 2 + bx + c est une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut (puisque a > 0) et qui ne coupe pas l'axe des x, puisque le trinôme quadratique n'a pas de racines par condition. Le graphique est présenté sur la Fig. 120. Nous voyons que pour tout x le graphique est situé au-dessus de l'axe des x, ce qui signifie que pour tout x l'inégalité ax 2 + bx + c > 0 est vraie, ce qui devait être prouvé.

Autrement dit, si D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 n'a pas de solutions.

Preuve. Le graphique de la fonction y = ax 2 + bx +c est une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas (puisque a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Exemple 4. Résoudre les inégalités :

une) 2x 2 - x + 4 >0 ; b) -x 2 + 3x - 8 >0.

a) Trouver le discriminant du trinôme carré 2x 2 - x + 4. On a D = (-1) 2 - 4 2 4 = - 31< 0.
Le coefficient dominant du trinôme (numéro 2) est positif.

Cela signifie, selon le théorème 1, que pour tout x l'inégalité 2x 2 - x + 4 > 0 est vraie, c'est-à-dire que la solution de l'inégalité donnée est le tout (-00, + 00).

b) Trouvez le discriminant du trinôme carré - x 2 + 3x - 8. On a D = 32 - 4 (- 1) (- 8) = - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Réponse : a) (-00, + 00) ; b) aucune solution.

Dans l’exemple suivant, nous présenterons une autre méthode de raisonnement utilisée pour résoudre les inégalités quadratiques.

Exemple 5. Résoudre l'inégalité 3x 2 - 10x + 3< 0.
Solution. Factorisons le trinôme quadratique 3x 2 - 10x + 3. Les racines du trinôme sont les nombres 3 et , donc en utilisant ax 2 + bx + c = a (x - x 1)(x - x 2), nous obtenons 3x 2 - 10x + 3 = 3(x - 3) ( X - )
Marquons les racines du trinôme sur la droite numérique : 3 et (Fig. 122).

Soit x > 3 ; alors x-3>0 et x->0, et donc le produit 3(x - 3)(x - ) est positif. Ensuite, laissez< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Par conséquent, le produit 3(x-3)(x-) est négatif. Enfin, soit x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) est positif.

En résumant le raisonnement, nous arrivons à la conclusion : les signes du trinôme carré 3x 2 - 10x + 3 changent comme le montre la Fig. 122. Nous nous intéressons à ce que x le trinôme carré prend des valeurs négatives. De la fig. 122 nous concluons : le trinôme carré 3x 2 - 10x + 3 prend des valeurs négatives pour toute valeur de x de l'intervalle (, 3)
Réponse (, 3), ou< х < 3.

Commentaire. La méthode de raisonnement que nous avons utilisée dans l’exemple 5 est généralement appelée méthode des intervalles (ou méthode des intervalles). Il est activement utilisé en mathématiques pour résoudre rationnel inégalités En 9e année, nous étudierons plus en détail la méthode des intervalles.

Exemple 6. A quelles valeurs du paramètre p se trouve l'équation quadratique x 2 - 5x + p 2 = 0 :
a) a deux racines différentes ;

b) a une racine ;

c) n'a pas de racines ?

Solution. Le nombre de racines d'une équation quadratique dépend du signe de son discriminant D. Dans ce cas, on trouve D = 25 - 4p 2.

a) L'équation quadratique a deux racines différentes, si D>0, alors le problème se réduit à résoudre l'inégalité 25 - 4р 2 > 0. Multiplions les deux côtés de cette inégalité par -1 (sans oublier de changer le signe du inégalité). On obtient l'inégalité équivalente 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Les signes de l'expression 4(p - 2,5) (p + 2,5) sont représentés sur la Fig. 123.

Nous concluons que l'inégalité 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) équation quadratique a une racine si D - 0.
Comme nous l'avons établi ci-dessus, D = 0 à p = 2,5 ou p = -2,5.

C'est pour ces valeurs du paramètre p que cette équation quadratique n'a qu'une seule racine.

c) Une équation quadratique n'a pas de racines si D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Nous obtenons 4p 2 - 25 > 0 ; 4 (p-2,5)(p + 2,5)>0, d'où (voir Fig. 123) p< -2,5; р >2.5. Pour ces valeurs du paramètre p, cette équation quadratique n'a pas de racines.

Réponse : a) à p (-2,5, 2,5) ;

b) à p = 2,5 ou = -2,5 ;
c) à p< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovitch A.G., Algèbre. 8e année : Manuel. pour l'enseignement général institutions.- 3e éd., révisée. - M. : Mnémosyne, 2001. - 223 p. : ill.

Aide aux écoliers en ligne, Mathématiques pour la 8e année à télécharger, calendrier et planification thématique

Que devez-vous savoir sur les icônes d’inégalité ? Inégalités avec icône plus (> ), ou moins (< ) sont appelés strict. Avec des icônes plus ou égal (≥ ), inférieur ou égal (≤ ) sont appelés pas stricte. Icône inégal (≠ ) se démarque, mais vous devez également résoudre à tout moment des exemples avec cette icône. Et nous déciderons.)

L'icône elle-même n'a pas beaucoup d'influence sur le processus de résolution. Mais à la fin de la décision, au moment de choisir la réponse finale, la signification de l'icône apparaît dans toute sa force ! C’est ce que nous verrons ci-dessous dans des exemples. Il y a des blagues là-bas...

Les inégalités, comme les égalités, existent fidèle et infidèle. Ici, tout est simple, pas d'astuces. Disons 5 > 2 est une véritable inégalité. 5 < 2 - incorrect.

Cette préparation œuvre pour les inégalités toute sorte et simple jusqu'à l'horreur.) Il vous suffit d'effectuer correctement deux (seulement deux !) actions élémentaires. Ces actions sont familières à tout le monde. Mais, de manière caractéristique, les erreurs dans ces actions sont la principale erreur dans la résolution des inégalités, oui... Par conséquent, ces actions doivent être répétées. Ces actions sont appelées ainsi :

Transformations identiques des inégalités.

Les transformations identiques des inégalités sont très similaires aux transformations identiques des équations. En fait, c'est le principal problème. Les différences vous dépassent la tête et... vous y êtes.) C'est pourquoi je soulignerai particulièrement ces différences. Donc, première transformation identique des inégalités :

1. Le même nombre ou expression peut être ajouté (soustrait) aux deux côtés de l’inégalité. N'importe lequel. Cela ne changera pas le signe de l'inégalité.

En pratique, cette règle est utilisée comme un transfert de termes du côté gauche de l'inégalité vers la droite (et vice versa) avec un changement de signe. Avec un changement de signe du terme, pas l'inégalité ! La règle un-à-un est la même que celle des équations. Mais les transformations identiques suivantes dans les inégalités diffèrent considérablement de celles dans les équations. Je les surligne donc en rouge :

2. Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés (divisés) par la même chosepositifnombre. Pour toutepositif Ne changera pas.

3. Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés (divisés) par la même chosenégatif nombre. Pour toutenégatifnombre. Le signe d'inégalité de cecichangera à l’opposé.

Vous vous souvenez (j'espère...) que l'équation peut être multipliée/divisée par n'importe quoi. Et pour n’importe quel nombre, et pour une expression avec un X. Si seulement ce n'était pas zéro. Cela fait de lui, l'équation, ni chaud ni froid.) Cela ne change pas. Mais les inégalités sont plus sensibles à la multiplication/division.

Un exemple clair pour une longue mémoire. Écrivons une inégalité qui ne fait pas de doute :

5 > 2

Multipliez les deux côtés par +3, on a:

15 > 6

Des objections? Il n'y a pas d'objections.) Et si nous multiplions les deux côtés de l'inégalité initiale par -3, on a:

15 > -6

Et c'est un mensonge pur et simple.) Un mensonge complet ! Tromperie du peuple ! Mais dès que l'on change le signe de l'inégalité par le signe opposé, tout se met en place :

15 < -6

Je ne jure pas seulement sur les mensonges et la tromperie.) "J'ai oublié de changer le signe égal..."- Ce maison erreur dans la résolution des inégalités. Cette règle triviale et simple a fait du mal à tant de gens ! Ce qu'ils ont oublié...) Alors je le jure. Peut-être que je m'en souviendrai...)

Les personnes particulièrement attentives remarqueront que les inégalités ne peuvent pas être multipliées par une expression avec un X. Respect à ceux qui sont attentifs !) Pourquoi pas ? La réponse est simple. On ne connaît pas le signe de cette expression avec un X. Cela peut être positif, négatif... On ne sait donc pas quel signe d'inégalité mettre après la multiplication. Dois-je le changer ou pas ? Inconnu. Bien entendu, cette restriction (l’interdiction de multiplier/diviser une inégalité par une expression avec un x) peut être contournée. Si vous en avez vraiment besoin. Mais c'est un sujet pour d'autres leçons.

Ce sont toutes des transformations identiques des inégalités. Permettez-moi de vous rappeler encore une fois qu'ils travaillent pour n'importe lequel inégalités Vous pouvez maintenant passer à des types spécifiques.

Inégalités linéaires. Solution, exemples.

Les inégalités linéaires sont des inégalités dans lesquelles x est à la première puissance et il n'y a pas de division par x. Taper:

x+3 > 5x-5

Comment ces inégalités sont-elles résolues ? Ils sont très faciles à résoudre ! A savoir : avec l'aide de nous réduisons l'inégalité linéaire la plus déroutante directement à la réponse. C'est la solution. Je soulignerai les principaux points de la décision. Pour éviter des erreurs stupides.)

Résolvons cette inégalité :

x+3 > 5x-5

Nous le résolvons exactement de la même manière qu’une équation linéaire. Avec la seule différence :

Nous surveillons attentivement le signe d'inégalité !

La première étape est la plus courante. Avec des X - à gauche, sans X - à droite... C'est la première transformation identique, simple et sans problème.) N'oubliez pas de changer les signes des termes transférés.

Le signe de l'inégalité reste :

x-5x > -5-3

En voici des similaires.

Le signe de l'inégalité reste :

4x > -8

Il reste à appliquer la dernière transformation identique : diviser les deux côtés par -4.

Diviser par négatif nombre.

Le signe de l'inégalité changera à l'opposé :

X < 2

C'est la réponse.

C’est ainsi que toutes les inégalités linéaires sont résolues.

Attention! Le point 2 est dessiné en blanc, c'est-à-dire non peint. Vide à l'intérieur. Cela signifie qu'elle n'est pas incluse dans la réponse ! Je l'ai dessinée exprès en si bonne santé. Un tel point (vide, pas sain !)) en mathématiques s'appelle point percé.

Les nombres restants sur l’axe peuvent être marqués, mais ce n’est pas nécessaire. Les nombres superflus qui ne sont pas liés à nos inégalités peuvent prêter à confusion, oui... Il faut juste se rappeler que les nombres augmentent dans le sens de la flèche, c'est-à-dire numéros 3, 4, 5, etc. sont À droite sont des deux et les nombres sont 1, 0, -1, etc. - À gauche.

Inégalité x < 2 - strict. X est strictement inférieur à deux. En cas de doute, la vérification est simple. Nous substituons le nombre douteux à l'inégalité et pensons : "Deux est inférieur à deux ? Non, bien sûr !" Exactement. Inégalité 2 < 2 Incorrect. Un deux en retour n'est pas approprié.

Est-ce que ça va ? Certainement. Moins... Et zéro est bon, et -17, et 0,34... Oui, tous les nombres inférieurs à deux sont bons ! Et même 1,9999.... Au moins un peu, mais moins !

Marquons donc tous ces nombres sur l’axe des nombres. Comment? Il y a des options ici. La première option est l’ombrage. Nous déplaçons la souris sur l'image (ou touchons l'image sur la tablette) et voyons que la zone de tous les x qui remplissent la condition x est ombrée < 2 . C'est tout.

Examinons la deuxième option en utilisant le deuxième exemple :

X ≥ -0,5

Dessinez un axe et marquez le nombre -0,5. Comme ça:

Remarquez la différence ?) Eh bien oui, c'est difficile de ne pas le remarquer... Ce point est noir ! Peint. Cela signifie -0,5 est inclus dans la réponse. Soit dit en passant, la vérification peut dérouter quelqu'un. Remplaçons :

-0,5 ≥ -0,5

Comment ça? -0,5 n'est pas plus de -0,5 ! Et il y a plus d'icônes...

C'est bon. Dans une inégalité faible, tout ce qui correspond à l'icône convient. ET équivaut à bon et plus bien. Par conséquent, -0,5 est inclus dans la réponse.

Nous avons donc marqué -0,5 sur l'axe, il reste à marquer tous les nombres supérieurs à -0,5. Cette fois, je marque la zone des valeurs x appropriées arc(du mot arc), plutôt que d’ombrager. Nous passons le curseur sur le dessin et voyons cet arc.

Il n'y a pas de différence particulière entre l'ombrage et les bras. Faites ce que dit le professeur. S'il n'y a pas de professeur, dessinez des arcs. Dans les tâches plus complexes, l’ombrage est moins évident. Vous pouvez être confus.

C'est ainsi que les inégalités linéaires sont tracées sur un axe. Passons à la caractéristique suivante des inégalités.

Écrire la réponse aux inégalités.

Les équations étaient bonnes.) Nous avons trouvé x et noté la réponse, par exemple : x=3. Il existe deux formes d’écriture des réponses sur les inégalités. L’une est sous la forme d’une inégalité finale. Bon pour les cas simples. Par exemple:

X< 2.

C'est une réponse complète.

Parfois, vous devez écrire la même chose, mais sous une forme différente, à intervalles numériques. Ensuite, l’enregistrement commence à paraître très scientifique) :

x ∈ (-∞; 2)

Sous l'icône ∈ le mot est caché "fait parti".

L'entrée se lit comme ceci : x appartient à l'intervalle de moins l'infini à deux non compris. Assez logique. X peut être n’importe quel nombre parmi tous les nombres possibles de moins l’infini à deux. Il ne peut pas y avoir de double X, c'est ce que nous dit le mot "non compris".

Et où dans la réponse est-il clair que "non compris"? Ce fait est noté dans la réponse rond parenthèse immédiatement après les deux. Si les deux étaient inclus, le support serait carré. Comme celui-ci: ]. L'exemple suivant utilise une telle parenthèse.

Écrivons la réponse : x ≥ -0,5 à intervalles:

x ∈ [-0,5 ; +∞)

Lit : x appartient à l'intervalle de moins 0,5, y compris,à plus l'infini.

L'infini ne peut jamais être activé. Ce n'est pas un chiffre, c'est un symbole. Par conséquent, dans de telles notations, l’infini est toujours adjacent à une parenthèse.

Cette forme d'enregistrement est pratique pour les réponses complexes composées de plusieurs espaces. Mais juste pour des réponses définitives. Dans les résultats intermédiaires, où une solution supplémentaire est attendue, il est préférable d'utiliser la forme habituelle, sous la forme d'une inégalité simple. Nous en traiterons dans les rubriques correspondantes.

Tâches populaires avec inégalités.

Les inégalités linéaires elles-mêmes sont simples. Les tâches deviennent donc souvent plus difficiles. Il fallait donc réfléchir. Ceci, si on n’y est pas habitué, n’est pas très agréable.) Mais c’est utile. Je vais montrer des exemples de telles tâches. Ce n’est pas à vous de les apprendre, c’est inutile. Et pour ne pas avoir peur face à de tels exemples. Réfléchissez un peu - et c'est simple !)

1. Trouvez deux solutions quelconques à l'inégalité 3x - 3< 0

Si vous ne savez pas vraiment quoi faire, rappelez-vous la règle principale des mathématiques :

Si vous ne savez pas ce dont vous avez besoin, faites ce que vous pouvez !)

X < 1

Et quoi? Rien de spécial. Que nous demandent-ils ? On nous demande de trouver deux nombres spécifiques qui sont la solution à une inégalité. Ceux. correspond à la réponse. Deux n'importe lequel Nombres. En fait, c'est déroutant.) Quelques valeurs de 0 et 0,5 conviennent. Un couple -3 et -8. Il existe un nombre infini de ces couples ! Quelle réponse est correcte ?!

Je réponds : tout ! Toute paire de nombres dont chacun est inférieur à un, sera la bonne réponse.Écrivez lequel vous voulez. Allons-nous en.

2. Résolvez l’inégalité :

4x-3 ≠ 0

Les tâches sous cette forme sont rares. Mais, en tant qu'inégalités auxiliaires, lors de la recherche d'ODZ, par exemple, ou lors de la recherche du domaine de définition d'une fonction, elles surviennent tout le temps. Une telle inégalité linéaire peut être résolue comme une équation linéaire ordinaire. Uniquement partout sauf le signe "=" ( équivaut à) mettre un signe " ≠ " (inégal). Voici comment vous abordez la réponse, avec un signe d'inégalité :

X ≠ 0,75

En plus exemples complexes, il vaut mieux faire les choses différemment. Faire de l'égalité l'inégalité. Comme ça:

4x-3 = 0

Résolvez-le calmement comme enseigné et obtenez la réponse :

x = 0,75

L'essentiel est qu'à la toute fin, en écrivant la réponse finale, n'oubliez pas que nous avons trouvé x, ce qui donne égalité. Et nous avons besoin - inégalité. Par conséquent, nous n’avons pas vraiment besoin de ce X.) Et nous devons l’écrire avec le symbole correct :

X ≠ 0,75

Cette approche entraîne moins d’erreurs. Ceux qui résolvent les équations automatiquement. Et pour ceux qui ne résolvent pas les équations, les inégalités ne servent en fait à rien...) Autre exemple de tâche populaire :

3. Trouvez la plus petite solution entière de l'inégalité :

3(x-1) < 5x + 9

Tout d’abord, nous résolvons simplement l’inégalité. On ouvre les parenthèses, on les déplace, on en amène des similaires... On obtient :

X > - 6

Cela n'a-t-il pas fonctionné comme ça !? Avez-vous suivi les panneaux !? Et derrière les pancartes des membres, et derrière les pancartes des inégalités...

Réfléchissons-y à nouveau. Nous devons trouver un numéro spécifique qui correspond à la fois à la réponse et à la condition "le plus petit entier". Si cela ne vous vient pas tout de suite, vous pouvez simplement prendre n’importe quel nombre et le découvrir. Deux sur moins six ? Certainement! Existe-t-il un nombre inférieur approprié ? Bien sûr. Par exemple, zéro est supérieur à -6. Et encore moins ? Nous avons besoin de la plus petite chose possible ! Moins trois, c'est plus que moins six ! Vous pouvez déjà saisir le modèle et arrêter de parcourir bêtement les chiffres, n'est-ce pas ?)

Prenons un nombre plus proche de -6. Par exemple, -5. La réponse est remplie, -5 > - 6. Est-il possible de trouver un autre nombre inférieur à -5 mais supérieur à -6 ? Vous pouvez par exemple -5,5... Stop ! On nous dit entier solution! Ne lance pas -5,5 ! Et moins six ? Euh-euh ! L'inégalité est stricte, moins 6 n'est en aucun cas inférieur à moins 6 !

La bonne réponse est donc -5.

Espérons qu'avec une sélection de valeurs de solution générale tout est clair. Un autre exemple:

4. Résoudre les inégalités :

7 < 3x+1 < 13

Ouah! Cette expression s'appelle triple inégalité. Il s’agit à proprement parler d’une forme abrégée d’un système d’inégalités. Mais de telles triples inégalités doivent encore être résolues dans certaines tâches... Elles peuvent être résolues sans aucun système. Selon les mêmes transformations identiques.

Il faut simplifier, ramener cette inégalité à X pur. Mais... Que faut-il déplacer où ?! C’est là qu’il est temps de se rappeler que se déplacer à gauche et à droite est forme abrégée première transformation identitaire.

UN forme complèteça ressemble à ça : N'importe quel nombre ou expression peut être ajouté/soustrait aux deux côtés de l'équation (inégalité).

Il y a trois parties ici. Nous appliquerons donc des transformations identiques aux trois parties !

Alors, débarrassons-nous de celui qui se trouve au milieu de l’inégalité. Soustrayons-en un de toute la partie médiane. Pour que l’inégalité ne change pas, on soustrait une des deux parties restantes. Comme ça:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

C'est mieux, non ?) Il ne reste plus qu'à diviser les trois parties en trois :

2 < X < 4

C'est tout. C'est la réponse. X peut être n'importe quel nombre compris entre deux (non compris) et quatre (non compris). Cette réponse est également écrite à intervalles ; ces entrées seront en inégalités quadratiques. Là, c'est la chose la plus courante.

À la fin de la leçon, je répéterai la chose la plus importante. Le succès dans la résolution des inégalités linéaires dépend de la capacité à transformer et à simplifier des équations linéaires. Si en même temps surveillez le signe d'inégalité, il n'y aura aucun problème. C'est ce que je te souhaite. Pas de problème.)

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Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Aujourd’hui, mes amis, il n’y aura ni morve ni sentimentalité. Au lieu de cela, je vous enverrai, sans poser de questions, au combat avec l'un des adversaires les plus redoutables du cours d'algèbre de 8e à 9e années.

Oui, vous avez tout bien compris : nous parlons d'inégalités avec module. Nous examinerons quatre techniques de base avec lesquelles vous apprendrez à résoudre environ 90 % de ces problèmes. Et les 10 % restants ? Eh bien, nous en parlerons dans une leçon séparée. :)

Cependant, avant d’analyser l’une des techniques, je voudrais vous rappeler deux faits que vous devez déjà connaître. Sinon, vous risquez de ne pas comprendre du tout le contenu de la leçon d’aujourd’hui.

Ce que vous devez déjà savoir

Captain Obviousness semble laisser entendre que pour résoudre des inégalités avec module, vous devez savoir deux choses :

1. Comment les inégalités sont résolues ;
2. Qu'est-ce qu'un module ?

Commençons par le deuxième point.

Définition du module

Tout est simple ici. Il existe deux définitions : algébrique et graphique. Pour commencer - algébrique :

Définition. Le module d'un nombre $x$ est soit le nombre lui-même, s'il est non négatif, soit le nombre qui lui est opposé, si le $x$ d'origine est toujours négatif.

C'est écrit ainsi :

\[\gauche| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Parlant dans un langage simple, le module est « un nombre sans moins ». Et c’est dans cette dualité (à certains endroits, il n’est pas nécessaire de faire quoi que ce soit avec le numéro d’origine, mais à d’autres, il faut supprimer une sorte de moins) et c’est là que réside toute la difficulté pour les étudiants débutants.

Il existe également une définition géométrique. Il est également utile de le savoir, mais nous n'y reviendrons que dans des cas complexes et particuliers, où l'approche géométrique est plus pratique que l'approche algébrique (spoiler : pas aujourd'hui).

Définition. Soit le point $a$ sur la droite numérique. Puis le module $\left| x-a \right|$ est la distance du point $x$ au point $a$ sur cette ligne.

Si vous faites un dessin, vous obtiendrez quelque chose comme ceci :

Définition du module graphique

D'une manière ou d'une autre, de la définition d'un module sa propriété clé découle immédiatement : le module d'un nombre est toujours une quantité non négative. Ce fait constituera le fil rouge qui parcourra tout notre récit d’aujourd’hui.

Résoudre les inégalités. Méthode d'intervalle

Examinons maintenant les inégalités. Il y en a un grand nombre, mais notre tâche est maintenant de pouvoir résoudre au moins le plus simple d'entre eux. Celles qui se réduisent aux inégalités linéaires, ainsi qu'à la méthode des intervalles.

J'ai deux grandes leçons sur ce sujet (d'ailleurs, très, TRÈS utiles - je recommande de les étudier) :

1. Méthode d'intervalle pour les inégalités (surtout regarder la vidéo) ;
2. Les inégalités rationnelles fractionnaires sont une leçon très approfondie, mais après cela, vous n’aurez plus aucune question.

Si vous savez tout cela, si l'expression « passons de l'inégalité à l'équation » ne vous donne pas une vague envie de vous cogner contre le mur, alors vous êtes prêt : bienvenue en enfer dans le sujet principal de la leçon. :)

1. Inégalités de la forme « Le module est inférieur à la fonction »

C'est l'un des problèmes les plus courants avec les modules. Il faut résoudre une inégalité de la forme :

\[\gauche| f\droit| \ltg\]

Les fonctions $f$ et $g$ peuvent être n'importe quoi, mais ce sont généralement des polynômes. Exemples de telles inégalités :

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \droite| \ltx+7; \\ & \gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \gauche| ((x)^(2))-2\gauche| x \droite|-3 \droite| \lt 2. \\\fin(aligner)\]

Tous peuvent être résolus littéralement en une seule ligne selon le schéma suivant :

\[\gauche| f\droit| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \droit.\droit)\]

Il est facile de voir qu'on se débarrasse du module, mais en retour on obtient une double inégalité (ou, ce qui revient au même, un système de deux inégalités). Mais cette transition prend en compte absolument tous les problèmes possibles : si le nombre sous le module est positif, la méthode fonctionne ; si négatif, cela fonctionne toujours ; et même avec la fonction la plus inadéquate à la place de $f$ ou $g$, la méthode fonctionnera toujours.

Naturellement, la question se pose : ne pourrait-il pas être plus simple ? Malheureusement, ce n'est pas possible. C’est tout l’intérêt du module.

Cependant, assez de philosopher. Résolvons quelques problèmes :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| 2x+3 \droite| \ltx+7\]

Solution. Nous avons donc devant nous une inégalité classique de la forme « le module est moindre » - il n'y a même rien à transformer. Nous travaillons selon l'algorithme :

\[\begin(align) & \left| f\droit| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \gauche| 2x+3 \droite| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Ne vous précipitez pas pour ouvrir les parenthèses précédées d'un « moins » : il est fort possible qu'en raison de votre précipitation vous commettiez une erreur offensante.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Le problème se réduisait à deux inégalités élémentaires. Notons leurs solutions sur des droites numériques parallèles :

Intersection de plusieurs

L’intersection de ces ensembles sera la réponse.

Réponse : $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Solution. Cette tâche est un peu plus difficile. Tout d’abord, isolons le module en déplaçant le deuxième terme vers la droite :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\gauche(x+1 \droite)\]

Evidemment, on a encore une inégalité de la forme « le module est plus petit », on se débarrasse donc du module en utilisant l'algorithme déjà connu :

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Maintenant attention : quelqu'un va dire que je suis un peu pervers avec toutes ces parenthèses. Mais permettez-moi de vous rappeler une fois de plus que notre objectif principal est résoudre correctement l'inégalité et obtenir la réponse. Plus tard, lorsque vous maîtriserez parfaitement tout ce qui est décrit dans cette leçon, vous pourrez le pervertir vous-même à votre guise : ouvrir des parenthèses, ajouter des moins, etc.

Pour commencer, on va simplement supprimer le double moins à gauche :

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\gauche(x+1 \droite)\]

Ouvrons maintenant toutes les parenthèses dans la double inégalité :

Passons à la double inégalité. Cette fois les calculs seront plus sérieux :

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( aligner)\right.\]

Les deux inégalités sont quadratiques et peuvent être résolues par la méthode des intervalles (c'est pourquoi je dis : si vous ne savez pas ce que c'est, il vaut mieux ne pas encore aborder les modules). Passons à l'équation de la première inégalité :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\gauche(x+5 \droite)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\fin (aligner)\]

Comme vous pouvez le voir, le résultat est une équation quadratique incomplète, qui peut être résolue de manière élémentaire. Examinons maintenant la deuxième inégalité du système. Là, vous devrez appliquer le théorème de Vieta :

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\fin (aligner)\]

On marque les nombres résultants sur deux droites parallèles (séparées pour la première inégalité et séparées pour la seconde) :

Encore une fois, puisque nous résolvons un système d'inégalités, nous nous intéressons à l'intersection des ensembles ombrés : $x\in \left(-5;-2 \right)$. C'est la réponse.

Réponse : $x\in \left(-5;-2 \right)$

Je pense qu'après ces exemples, le schéma de solution est extrêmement clair :

1. Isolez le module en déplaçant tous les autres termes du côté opposé de l’inégalité. On obtient donc une inégalité de la forme $\left| f\droit| \ltg$.
2. Résolvez cette inégalité en supprimant le module selon le schéma décrit ci-dessus. À un moment donné, il faudra passer d’une double inégalité à un système de deux expressions indépendantes, dont chacune peut déjà être résolue séparément.
3. Finalement, il ne reste plus qu'à recouper les solutions de ces deux expressions indépendantes - et c'est tout, nous obtiendrons la réponse finale.

Un algorithme similaire existe pour les inégalités du type suivant, lorsque le module est supérieur à la fonction. Il y a cependant quelques « mais » sérieux. Nous allons parler de ces « mais » maintenant.

2. Inégalités de la forme « Le module est supérieur à la fonction »

Ils ressemblent à ceci :

\[\gauche| f\droit| \gtg\]

Similaire au précédent ? Il semble. Et pourtant, ces problèmes sont résolus d’une manière complètement différente. Formellement, le schéma est le suivant :

\[\gauche| f\droit| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Autrement dit, nous considérons deux cas :

1. Premièrement, nous ignorons simplement le module et résolvons l'inégalité habituelle ;
2. Ensuite, en substance, nous développons le module avec le signe moins, puis multiplions les deux côtés de l'inégalité par −1, pendant que j'ai le signe.

Dans ce cas, les options sont combinées avec un crochet, c'est-à-dire Nous avons devant nous une combinaison de deux exigences.

Attention encore : ceci n'est pas un système, mais une totalité, donc dans la réponse, les ensembles sont combinés plutôt que se croisant. C’est une différence fondamentale par rapport au point précédent !

En général, de nombreux étudiants sont complètement confus avec les syndicats et les intersections, alors réglons ce problème une fois pour toutes :

• "∪" est un signe d'union. Il s'agit essentiellement d'une lettre « U » stylisée qui nous vient de En anglais et est une abréviation de « Union », c'est-à-dire "Les associations".
• "∩" est le signe d'intersection. Cette connerie ne vient de nulle part, mais est simplement apparue comme un contrepoint au « ∪ ».

Pour que ce soit encore plus facile à retenir, il suffit de dessiner des jambes vers ces panneaux pour fabriquer des lunettes (ne m'accusez pas maintenant de promouvoir la toxicomanie et l'alcoolisme : si vous étudiez sérieusement cette leçon, alors vous êtes déjà toxicomane) :

Différence entre intersection et union d'ensembles

Traduit en russe, cela signifie ce qui suit : l'union (la totalité) comprend des éléments des deux ensembles, elle n'est donc en rien inférieure à chacun d'eux ; mais l'intersection (le système) ne comprend que les éléments qui se trouvent simultanément dans le premier ensemble et dans le second. Par conséquent, l’intersection des ensembles n’est jamais plus grande que les ensembles sources.

Alors c'est devenu plus clair ? C'est super. Passons à la pratique.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| 3x+1 \droite| \gt 5-4x\]

Solution. On procède selon le schéma :

\[\gauche| 3x+1 \droite| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ droite.\]

Nous résolvons chaque inégalité dans la population :

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Nous marquons chaque ensemble résultant sur la droite numérique, puis les combinons :

Union d'ensembles

Il est bien évident que la réponse sera $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Réponse : $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Solution. Bien? Rien, tout est pareil. On passe d'une inégalité avec un module à un ensemble de deux inégalités :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\fin (aligner) \right.\]

Nous résolvons toutes les inégalités. Malheureusement, les racines n'y seront pas très bonnes :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13 ; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\fin (aligner)\]

La deuxième inégalité est également un peu farfelue :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21 ; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\fin (aligner)\]

Vous devez maintenant marquer ces nombres sur deux axes – un axe pour chaque inégalité. Cependant, vous devez marquer les points dans le bon ordre : plus le nombre est grand, plus le point se déplace vers la droite.

Et ici, une configuration nous attend. Si tout est clair avec les nombres $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (les termes au numérateur du premier fraction sont inférieurs aux termes du numérateur de la seconde, donc la somme est également inférieure), avec les nombres $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ il n'y aura pas non plus de difficultés (nombre positif évidemment plus négatif), alors avec les derniers couples tout n'est pas si clair. Quel est le plus grand : $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ou $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$ ? Le placement des points sur les droites numériques et, en fait, la réponse dépendront de la réponse à cette question.

Alors comparons :

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrice)\]

Nous avons isolé la racine, obtenu des nombres non négatifs des deux côtés de l'inégalité, nous avons donc le droit de mettre les deux côtés au carré :

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrice)\]

Je pense que c'est une évidence que $4\sqrt(13) \gt 3$, donc $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, les points finaux sur les axes seront placés comme ceci :

Un cas de racines laides

Permettez-moi de vous rappeler que nous résolvons un ensemble, la réponse sera donc une union, pas une intersection d'ensembles ombrés.

Réponse : $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Comme vous pouvez le constater, notre système fonctionne très bien pour les problèmes simples comme pour les problèmes très difficiles. Le seul « point faible » de cette approche est qu’il faut comparer correctement les nombres irrationnels (et croyez-moi : ce ne sont pas que des racines). Mais une leçon distincte (et très sérieuse) sera consacrée aux questions de comparaison. Et nous passons à autre chose.

3. Inégalités avec des « queues » non négatives

Passons maintenant à la partie la plus intéressante. Ce sont des inégalités de la forme :

\[\gauche| f\droit| \gt\gauche| g\droite|\]

D'une manière générale, l'algorithme dont nous allons parler maintenant n'est correct que pour le module. Cela fonctionne dans toutes les inégalités où il y a des expressions garanties non négatives à gauche et à droite :

Que faire de ces tâches ? Rappelez-vous juste:

Dans les inégalités avec des « queues » non négatives, les deux côtés peuvent être élevés à n’importe quelle puissance naturelle. Il n’y aura aucune restriction supplémentaire.

Tout d'abord, nous nous intéresserons à la quadrature - elle brûle les modules et les racines :

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\fin (aligner)\]

Ne confondez pas cela avec la racine d’un carré :

\[\sqrt(((f)^(2)))=\gauche| f \right|\ne f\]

D’innombrables erreurs ont été commises lorsqu’un étudiant a oublié d’installer un module ! Mais c'est une histoire complètement différente (ce sont pour ainsi dire des équations irrationnelles), nous n'entrerons donc pas dans les détails maintenant. Résolvons mieux quelques problèmes :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| x+2 \droite|\ge \gauche| 1-2x \droite|\]

Solution. Remarquons immédiatement deux choses :

1. Il ne s’agit pas d’une inégalité stricte. Les points sur la droite numérique seront perforés.
2. Les deux côtés de l'inégalité sont évidemment non négatifs (c'est une propriété du module : $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Par conséquent, nous pouvons mettre au carré les deux côtés de l’inégalité pour nous débarrasser du module et résoudre le problème en utilisant la méthode habituelle des intervalles :

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\fin (aligner)\]

A la dernière étape, j'ai un peu triché : j'ai changé la séquence des termes, profitant de la régularité du module (en fait, j'ai multiplié l'expression $1-2x$ par −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ droite)\droite)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Nous résolvons en utilisant la méthode des intervalles. Passons de l'inégalité à l'équation :

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\fin (aligner)\]

Nous marquons les racines trouvées sur la droite numérique. Encore une fois : tous les points sont ombrés car l’inégalité originelle n’est pas stricte !

Se débarrasser du signe du module

Je vous le rappelle pour les plus têtus : on reprend les signes de la dernière inégalité, qui a été notée avant de passer à l'équation. Et nous peignons les zones requises dans la même inégalité. Dans notre cas, il s'agit de $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, c'est fini maintenant. Le problème est résolu.

Réponse : $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \droite|\]

Solution. Nous faisons tout pareil. Je ne ferai pas de commentaire - regardez simplement la séquence d'actions.

Mettez-le au carré :

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ à droite))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Méthode d'intervalle :

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Flèche droite x=-1,5 ; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\fin (aligner)\]

Il n’y a qu’une seule racine sur la droite numérique :

La réponse est tout un intervalle

Réponse : $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Une petite note sur la dernière tâche. Comme l'un de mes étudiants l'a noté avec précision, les deux expressions sous-modulaires de cette inégalité sont évidemment positives, de sorte que le signe du module peut être omis sans nuire à la santé.

Mais il s’agit d’un niveau de pensée complètement différent et d’une approche différente - on peut conditionnellement l’appeler la méthode des conséquences. À ce sujet - dans une leçon séparée. Passons maintenant à la dernière partie de la leçon d’aujourd’hui et examinons un algorithme universel qui fonctionne toujours. Même lorsque toutes les approches précédentes étaient impuissantes. :)

4. Méthode d'énumération des options

Et si toutes ces techniques n’aidaient pas ? Si l'inégalité ne peut être réduite à des queues non négatives, s'il est impossible d'isoler le module, si en général il y a de la douleur, de la tristesse, de la mélancolie ?

C’est alors que « l’artillerie lourde » de toutes les mathématiques entre en scène : la méthode de la force brute. Par rapport aux inégalités de module, cela ressemble à ceci :

1. Écrivez toutes les expressions sous-modulaires et définissez-les égales à zéro ;
2. Résolvez les équations résultantes et marquez les racines trouvées sur une droite numérique ;
3. La ligne droite sera divisée en plusieurs sections, à l'intérieur desquelles chaque module aura un signe fixe et sera donc révélé de manière unique ;
4. Résolvez l'inégalité sur chacune de ces sections (vous pouvez considérer séparément les racines-limites obtenues à l'étape 2 - pour des raisons de fiabilité). Combinez les résultats - ce sera la réponse. :)

Alors comment ? Faible? Facilement! Seulement pour longtemps. Voyons en pratique :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| x+2 \droite| \lt \gauche| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Solution. Cette merde ne se résume pas à des inégalités comme $\left| f\droit| \lt g$, $\gauche| f\droit| \gt g$ ou $\left| f\droit| \lt \gauche| g \right|$, donc nous agissons en avant.

Nous écrivons des expressions sous-modulaires, les assimilons à zéro et trouvons les racines :

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\fin (aligner)\]

Au total, nous avons deux racines qui divisent la droite numérique en trois sections, au sein desquelles chaque module se révèle de manière unique :

Partitionnement de la droite numérique par des zéros de fonctions sous-modulaires

Examinons chaque section séparément.

1. Soit $x \lt -2$. Alors les deux expressions sous-modulaires sont négatives et l’inégalité d’origine sera réécrite comme suit :

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Nous avons une limitation assez simple. Recoupons-le avec l'hypothèse initiale selon laquelle $x \lt -2$ :

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Évidemment, la variable $x$ ne peut pas être simultanément inférieure à −2 et supérieure à 1,5. Il n'y a pas de solutions dans ce domaine.

1.1. Considérons séparément le cas limite : $x=-2$. Remplaçons simplement ce nombre dans l'inégalité d'origine et vérifions : est-ce vrai ?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \gauche| -3\droite|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\fin (aligner)\]

Il est évident que l’enchaînement des calculs nous a conduit à une inégalité incorrecte. Par conséquent, l'inégalité d'origine est également fausse et $x=-2$ n'est pas inclus dans la réponse.

2. Soit maintenant $-2 \lt x \lt 1$. Le module de gauche s'ouvrira déjà avec un « plus », mais celui de droite s'ouvrira toujours avec un « moins ». Nous avons:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\fin(aligner)\]

Encore une fois, nous rejoignons l’exigence initiale :

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Et encore une fois, l’ensemble des solutions est vide, puisqu’il n’existe pas de nombres à la fois inférieurs à −2,5 et supérieurs à −2.

2.1. Et encore un cas particulier : $x=1$. On substitue à l'inégalité originelle :

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \gauche| 3\droite| \lt \gauche| 0\droite|+1-1.5 ; \\ & 3 \lt -0,5 ; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\fin (aligner)\]

Semblable au « cas particulier » précédent, le nombre $x=1$ n'est clairement pas inclus dans la réponse.

3. Le dernier morceau de la ligne : $x \gt 1$. Ici, tous les modules sont ouverts avec un signe plus :

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Et encore une fois, nous croisons l'ensemble trouvé avec la contrainte d'origine :

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Enfin! Nous avons trouvé un intervalle qui sera la réponse.

Réponse : $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Enfin, une remarque qui vous évitera peut-être des erreurs stupides lors de la résolution de problèmes réels :

Les solutions aux inégalités avec modules représentent généralement des ensembles continus sur la droite numérique - intervalles et segments. Les points isolés sont beaucoup moins fréquents. Et encore moins souvent, il arrive que la limite de la solution (la fin du segment) coïncide avec la limite de la plage considérée.

Par conséquent, si les limites (les mêmes « cas particuliers ») ne sont pas incluses dans la réponse, alors les zones situées à gauche et à droite de ces limites ne seront presque certainement pas incluses dans la réponse. Et vice versa : la frontière est entrée dans la réponse, ce qui signifie que certaines zones autour d'elle seront également des réponses.

Gardez cela à l’esprit lorsque vous examinez vos solutions.

Bonjour! Mes chers étudiants, dans cet article nous apprendrons comment résoudre les inégalités exponentielles .

Aussi compliquée que puisse vous paraître l'inégalité exponentielle, après quelques transformations (nous en parlerons un peu plus tard) toutes les inégalités sont réduits à résoudre les inégalités exponentielles les plus simples:

une x > b, un x< b Et une x ≥ b, une x ≤ b.

Essayons de comprendre comment ces inégalités sont résolues.

Nous étudierons une solution inégalités strictes. La seule différence lors de la résolution d’inégalités non strictes est que les racines correspondantes résultantes sont incluses dans la réponse.

Supposons que nous devions résoudre une inégalité de la forme et f (x) > b, Où une>1 Et b>0.

Regardez le diagramme permettant de résoudre de telles inégalités (Figure 1) :

Regardons maintenant un exemple spécifique. Résoudre l'inégalité : 5 x – 1 > 125.

Puisque 5 > 1 et 125 > 0, alors
x – 1 > log 5 125, soit
x – 1 > 3,
x > 4.

Répondre: (4; +∞) .

Quelle sera la solution à cette même inégalité ? et f (x) >b, Si 0 Et b>0?

Ainsi, le diagramme de la figure 2

Exemple: Résoudre les inégalités (1/2) 2x - 2 ≥ 4

En appliquant la règle (Figure 2), on obtient
2х – 2 ≤ log 1/2 4,
2х – 2 ≤ –2,
2x ≤ 0,
x ≤ 0.

Répondre: (–∞; 0] .

Regardons à nouveau la même inégalité et f (x) > b, Si une>0 Et b<0 .

Ainsi, le schéma de la figure 3 :

Un exemple de résolution d'une inégalité (1/3) x + 2 > –9. Comme nous le remarquons, quel que soit le nombre que nous substituons à x, (1/3) x + 2 est toujours supérieur à zéro.

Répondre: (–∞; +∞) .

Comment les inégalités de forme sont-elles résolues ? et f(x)< b , Où une>1 Et b>0?

Schéma de la figure 4 :

Et l'exemple suivant : 3 3 –x ≥ 8.
Puisque 3 > 1 et 8 > 0, alors
3 – x > log 3 8, c'est-à-dire
–x > journal 3 8 – 3,
X< 3 – log 3 8.

Répondre: (0 ; 3–log 3 8) .

Comment la solution aux inégalités peut-elle changer ? et f(x)< b , à 0 Et b>0?

Schéma de la figure 5 :

Et l'exemple suivant : Résoudre l'inégalité 0,6 2x – 3< 0,36 .

En suivant le schéma de la figure 5, nous obtenons
2x – 3 > log 0,6 0,36,
2х – 3 > 2,
2x > 5,
x > 2,5

Répondre: (2,5; +∞) .

Considérons le dernier schéma de résolution d'une inégalité de la forme et f(x)< b , à une>0 Et b<0 , présenté dans la figure 6 :

Par exemple, résolvons l'inégalité :

Nous notons que quel que soit le nombre que nous substituons à x, le côté gauche de l'inégalité est toujours supérieur à zéro et notre expression est inférieure à -8, c'est-à-dire et zéro, ce qui signifie qu’il n’y a pas de solutions.

Répondre: aucune solution.

Sachant comment résoudre les inégalités exponentielles les plus simples, vous pouvez procéder à résoudre les inégalités exponentielles.

Exemple 1.

Trouver la plus grande valeur entière de x qui satisfait l'inégalité

Puisque 6 x est supérieur à zéro (en aucun x le dénominateur ne passe à zéro), en multipliant les deux côtés de l'inégalité par 6 x, nous obtenons :

440 – 2 6 2x > 8, puis
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2х > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

X< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Réponse 1.

Exemple 2.

Résoudre les inégalités 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

Notons 2 x par y, obtenons l'inégalité y 2 – 3y + 2 ≤ 0 et résolvons cette inégalité quadratique.

y 2 – 3y +2 = 0,
y 1 = 1 et y 2 = 2.

Les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, traçons un graphique :

Alors la solution de l’inégalité sera l’inégalité 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Répondre: (0; 1) .

Exemple 3. Résoudre l'inégalité 5x +1 – 3x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Rassemblons des expressions avec les mêmes bases dans une partie de l'inégalité

5x +1 – 2 5x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Prenons 5 x entre parenthèses du côté gauche de l'inégalité, et 3 x du côté droit de l'inégalité et nous obtenons l'inégalité

5x (5-2)< 3 х (9 – 2/3),
3·5x< (25/3)·3 х

Divisez les deux côtés de l'inégalité par l'expression 3 3 x, le signe de l'inégalité ne change pas, puisque 3 3 x est un nombre positif, on obtient l'inégalité :

X< 2 (так как 5/3 > 1).

Répondre: (–∞; 2) .

Si vous avez des questions sur la résolution d'inégalités exponentielles ou si vous souhaitez vous entraîner à résoudre des exemples similaires, inscrivez-vous à mes cours. Tutrice Valentina Galinevskaya.

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