Određivanje derivacije funkcije u Excel laboratoriju. Grafičko razlikovanje
Osim oblikovanja elemenata okvira ćelija, redaka i stupaca, često je korisno koristiti više Excel radnih listova. Za organiziranje i pretraživanje informacija u knjizi, prikladno je dodijeliti vlastita imena naslovima listova, odražavajući njihov semantički sadržaj. Na primjer, "početni podaci", "rezultati izračuna", "grafovi" itd. To je prikladno učiniti pomoću kontekstni izbornik. Pritisnite desnu tipku miša na kartici lista, Preimenuj list i kliknite
Za dodavanje jednog ili više novih listova odaberite List iz izbornika Umetanje. Za umetanje nekoliko listova odjednom, držanjem odaberite jezičke za željeni broj listova
Korisna operacija za pomicanje listova je uhvatiti karticu lista lijevom tipkom miša i premjestiti je na željeno mjesto. Ako u isto vrijeme pritisnete
7. zadatak . Promijenite format cijele ćelije B2 u: font - Arial 11; mjesto - u sredini, uz donji rub; jedna riječ po retku; format broja – “0,00”; granica ćelije - dvostruka linija
2.3. Ugrađene funkcije
Excel sadrži više od 150 ugrađenih funkcija za pojednostavljenje izračuna i obrade podataka. Primjer sadržaja ćelije s funkcijom: =B2+SIN(C7) , gdje su B2 i C7 adrese ćelija koje sadrže brojeve, a SIN() je naziv funkcije. Najčešće korištene Excel funkcije:
SQRT(25) = 5 - Izračunava kvadratni korijen od (25) RADIJANS(30) = 0,5 - Pretvara 30 stupnjeva u radijane INT(8,7) = 8 - Zaokružuje prema dolje na najbliži cijeli broj MOD(-3;2) = 1 - ostavlja ostatak od dijeljenja broja (-3) sa
djelitelj(2). Rezultat ima predznak djelitelja. IF(E4>0,2;”dodatno”;”pogreška”)- ako je broj u ćeliji E4 manji od 0,2,
onda Excel vraća "dodatno" (true), inače - "grešku" (false).
U formuli se funkcije mogu ugniježditi jedna u drugu, ali ne više od 8 puta.
Kada koristite funkciju, glavna stvar je definirati samu funkciju i njezin argument. Kao argument, u pravilu, navedena je adresa ćelije u kojoj su podaci zabilježeni.
Možete definirati funkciju upisivanjem teksta (ikona, brojeva itd.) u željenu ćeliju ili koristiti Čarobnjak za funkcije. Ovdje su, radi lakšeg pretraživanja, sve funkcije podijeljene u kategorije: matematičke, statističke, logičke i druge. Unutar svake kategorije poredani su abecednim redom.
Čarobnjak za funkcije poziva se naredbom izbornika Umetanje, funkcija
ili pritiskom na ikonu (f x ). U prvom prozoru koji se pojavi čarobnjaka za funkcije (slika 4) definiramo kategoriju i naziv određene funkcije, kliknemo
Riža. 4. Pogled na prozor čarobnjaka za funkcije
Riža. 5. Prozor za postavljanje argumenata odabrane funkcije
Zadatak 8. Odredi srednju vrijednost niza brojeva: 2,5; 2,9; 1,8; 3.4; 6.1;
1,0; 4,4.
Riješenje . U ćelije unosimo brojeve, na primjer, C2:C8. Odaberite ćeliju C9, u kojoj pišemo funkciju = PROSJEČNO (C2: C8), pritisnite
Zadatak 9. Pomoću uvjetne logičke funkcije IF izradite formulu za preimenovanje neparnih brojeva u "jesen", parnih brojeva - "proljeće".
Riješenje . Odaberemo stupac za unos početnih podataka - parnih (neparnih) brojeva, na primjer, A . U ćeliju B3 napišite formulu =IF(MOD(A3,2)=0,"težina","os"). Kopiranjem ćelije B3 uz stupac B dobivamo rezultate analize brojeva zapisanih u stupcu A. Rezultati rješavanja problema prikazani su na sl. 6.
Riža. 6. Rješenje zadatka br. 9
Zadatak 10. Izračunajte vrijednost funkcije y = x3 + sinx - 4ex za x = 1,58.
Riješenje . Smjestimo podatke u ćelije A2 - x, B2 -y. Rješenje zadatka prikazano je na slici 7 u numeričkom obliku lijevo iu obliku formule desno. Prilikom rješavanja ovog problema trebali biste obratiti pozornost na pozivanje funkcija SIN i exponent za unos argumenta (vidi sl. 8).
sl.7. Rješenje zadatka broj 10
sl.8. Prozori za unos argumenata funkcije SIN i EXP
Zadatak 11 . Napraviti matematički model problema u Excelu za izračunavanje funkcije y= 1/ ((x- 3) (x+ 4)), za vrijednosti x= 3 i y= -4, prikazati "nedefinirano", brojčano vrijednosti funkcije - u ostalim slučajevima .
Zadatak 12 . Izraditi matematički model problema u Excelu: 12.1. za računanje s korijenima
a) √ x3 y2 z / √ x z ; b) (z √ z)2 ; c) 3 √ x2 3 √ x ; d) √ 5 x5 3-1 / √ 20 x 3-1
12.2. za geometrijske izračune a) odrediti kutove pravokutnog trokuta, ako je x kateta, y hipotenuza;
b) odredite udaljenost između dviju točaka u XYZ Kartezijevom koordinatnom sustavu pomoću formule
d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
c) odredite udaljenost od točke (x 0 ,y 0 ) do pravca a x + b y + c = 0 pomoću formule
d = ax0 +b y0 +c / √ (a2 +b2 )
d) odredite površinu trokuta iz koordinata vrhova pomoću formule
S = 1 2 [ (x1 − x3 )(y2 − y3 ) − (x2 − x3 )(y1 − y3 )]
3. Rješavanje problema pomoću formula i funkcija
Postoji zapravo mnogo zadataka koji se mogu uspješno riješiti korištenjem Excel formula i funkcija. Razmotrimo zadatke koji se u praksi najčešće rješavaju proračunskim tablicama: linearne jednadžbe i njihovi sustavi, izračun numeričkih vrijednosti derivacija i određenih integrala.
Derivacija funkcije y = f(x) je omjer njenog prirasta ∆y i odgovarajućeg prirasta ∆x argumenta, kada
∆x→ 0
y = f (x + x) − f (x)
Problem .13 . Odredite derivaciju funkcije y = 2x 3 + x 2 u točki x=3 .
Riješenje. Derivacija izračunata analitičkom metodom je 60 . Derivaciju ćemo izračunati u Excelu pomoću formule (1). Da biste to učinili, izvršite sljedeći niz radnji:
· Nacrtajmo oznake stupaca: H – argumenti funkcije, Y – vrijednosti funkcije, Y ` – derivacija funkcije (sl. 9).
· Tabeliramo funkciju u okolini točke x \u003d 3 s malim korakom, na primjer, 0,001, rezultati se unose u stupac X.
Riža. 9. Tablica za izračunavanje derivacije funkcije
· U ćeliju B2 unesite formulu za izračun funkcije =2*A2^3+A2^2 .
· Kopirajte formulu do retka 7, dobivamo vrijednosti funkcije na tabulatorima argumenta.
· U ćeliju C2 unesite formulu za izračun derivacije =(B3-B2)/ (A3-A2) .
· Kopirajte formulu do retka 6, dobivamo vrijednosti izvedenica na tabulatorima argumenta.
Za vrijednost x = 3 derivacija funkcije jednaka je vrijednosti 60,019, što je blizu vrijednosti izračunate analitički.
metoda trapeza. U trapezoidnoj metodi područje integracije podijeljeno je na segmente s određenim korakom, a područje ispod grafa funkcije na svakom segmentu smatra se jednakim površini trapeza. Tada formula za izračun poprima sljedeći oblik
S N = ∫ f (u) du ≈ h N ∑ − 1 [ f (a + h i) + f (a + h (i + 1)) ] (2), |
|
2 i = 0 |
|
gdje je h= (b- a)/ N korak podjele; N je broj točaka razdvajanja.
Da bi se poboljšala točnost, broj točaka razdvajanja se udvostručuje, integral se ponovno izračunava. Dijeljenje izvornog intervala se zaustavlja kada se postigne potrebna točnost:
integral, učinite sljedeće:
– odabrati N= 5, u ćeliji F2 izračunati h-korak particije (slika 10);
Riža. 10. Izračunavanje određenog integrala
· U prvom stupcu I zapisujemo broj intervala i;
· U ćeliju B2 napišite formulu =3*(2+F2*A2)^2 da izračunate prvi član formule (2);
· U ćeliju C2 napišite formulu =3*(2+F2*(A2+1))^2 za izračun drugog člana;
· "Razvucite" ćelije s uključenim formulama 4 reda niz stupce;
Zapisujemo formulu u ćeliju C7 i izračunavamo zbroj članova,
U ćeliju C8 upisujemo formulu i izračunavamo SN željenu vrijednost određenog integrala 19.02 (vrijednost S N dobivena analitički
19).
Zadatak. 15. Izračunajte određeni integral:
1. Y = ∫ 2 x d x |
2. Y = ∫ 2 x3 dx |
−1 |
|
2 π |
|||||||||||||||
Y = ∫ 2sin(x )dx |
Y = ∫ x2 dx |
||||||||||||||
−2 |
|||||||||||||||
Y = ∫ |
Y = ∫ |
||||||||||||||
3x − 2 |
(2x + 1) 3 |
||||||||||||||
x + 3 |
|||||||||||||||
Y = ∫ cos |
Y = ∫ |
||||||||||||||
x 2 + 4 |
|||||||||||||||
3.2. Rješavanje linearnih jednadžbi
Linearne jednadžbe u Excelu može se riješiti pomoću funkcije Izbor parametara. Prilikom odabira parametra, vrijednost utjecajne ćelije (parametra) se mijenja sve dok formula koja ovisi o ovoj ćeliji ne vrati navedenu vrijednost.
Razmotrimo postupak traženja parametra na jednostavnom primjeru rješavanja linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom.
Zadatak 16 . Riješite jednadžbu 10 x - 10 / x = 15 .
Riješenje. Za željenu vrijednost parametra - x odaberite ćeliju A3. Unesite u ovu ćeliju bilo koji broj koji se nalazi u području definicije funkcije (u našem primjeru ovaj broj ne može biti jednak nuli). Neka bude 3. Ova vrijednost će se koristiti kao početna vrijednost. U ćeliju, na primjer, B3, u skladu s gornjom jednadžbom, unesite formulu =10*A3-10/A3. Kao rezultat niza izračuna pomoću ove formule, odabrat će se željena vrijednost parametra. Sada na izborniku Alati, odabirom naredbe Odabir parametara, pokrenite funkciju traženja parametara (slika 11, a) . Unesite parametre pretraživanja:
· Na terenu Postavite u ćeliju unesimo apsolutnu referencu na ćeliju $B$3 koja sadrži formulu.
· U polje Vrijednost unesite željeni rezultat 15 .
· Na terenu Promjena vrijednosti ćelije unesite poveznicu na ćeliju A3 koja sadrži odabranu vrijednost i kliknite
Na kraju funkcije Izbor parametara na ekranu će se pojaviti prozor Rezultat odabira parametra U kojem će se prikazati rezultati pretraživanja. Pronađeni parametar 2.000025 pojavit će se u ćeliji A3 koja je za njega rezervirana.
Obratite pozornost na činjenicu da u našem primjeru jednadžba ima dva rješenja, a parametar je odabran samo jedan. To je zato što se parametar mijenja samo dok se ne vrati tražena vrijednost. Prvi argument pronađen na ovaj način vraća nam se kao rezultat pretraživanja. Ako kao
U našem primjeru navedite početnu vrijednost -3, tada će se pronaći drugo rješenje jednadžbe: -0,5.
Sl.11. Rješenje jednadžbe: a - unos podataka, b - rezultat rješenja
Zadatak 17. Riješite jednadžbe |
||||
5x/ 9- 8= 747x/ 12 |
(2x+ 2)/ 0,5= 6x |
|||
0,5 (2x- 1)+x/ 3= 1/6 |
7(4x-6)+ 3(7-8x)= 1 |
|||
Linearni sustav |
jednadžbe |
može se riješiti različitim |
||
načini: supstitucija, zbrajanje i oduzimanje jednadžbi, pomoću matrica. Razmotrimo metodu za rješavanje kanonskog sustava linearnih jednadžbi (3) pomoću matrica.
a1 x + a2 y + b1 = 0
a3 x + a4 y + b2 =0
Poznato je da se sustav linearnih jednadžbi u matričnom prikazu zapisuje kao:
gdje je A matrica koeficijenata, X je vektor - stupac nepoznanica,
B je vektor stupca slobodnih članova. Rješenje takvog sustava
je zapisano u obrascu
X=A-1 B,
gdje je A -1 matrica inverzna u odnosu na A . To proizlazi iz činjenice da pri rješavanju matričnih jednadžbi za X treba ostati matrica identiteta E. Množenjem slijeva obje strane jednadžbe AX = B s A -1, dobivamo rješenje linearnog sustava jednadžbi.
Zadatak 18. Riješite sustav linearnih jednadžbi
Riješenje. Za zadani sustav linearnih jednadžbi, vrijednosti odgovarajuće matrice i vektora stupca imaju oblik:
Da biste riješili problem, učinite sljedeće:
· A2:B3 i u nju upiši elemente matrice A.
· Odaberite blok ćelija, na primjer, C2:C3 i u nju upiši elemente matrice B.
· Odaberite blok ćelija, na primjer, D2:D3 za postavljanje rezultata rješavanja sustava jednadžbi.
U ćeliju D2 unesite formulu = MULTIPLE(MOBR(A2:B3),C2:C3).
Excel biblioteka u dijelu matematičkih funkcija sadrži funkcije za izvođenje operacija na matricama. Konkretno, ovo su funkcije:
Parametri ovih funkcija mogu biti adresne reference na nizove koji sadrže matrične vrijednosti ili nazive raspona i izraze.
Na primjer, MOBR (A1: B2) ili MOBR (matrix_1).
Obavijestite Excel da se operacija izvodi na nizovima pritiskom na kombinaciju tipki
4. Rješavanje problema optimizacije
Mnogi problemi predviđanja, projektiranja i proizvodnje svode se na široku klasu optimizacijskih problema. Takvi zadaci su, na primjer: maksimiziranje proizvodnje dobara uz ograničenja sirovina za proizvodnju tih dobara; zapošljavanje osoblja za postizanje najboljih rezultata uz najniže troškove; minimiziranje troškova transporta robe; postizanje zadane kvalitete legure; određivanje dimenzija određenog spremnika, uzimajući u obzir trošak materijala za postizanje maksimalnog volumena; razne
problemi koji uključuju slučajne varijable, te drugi problemi optimalne alokacije resursa i optimalnog dizajna.
Rješavanje problema ove vrste može se obaviti u EXCEL-u pomoću alata Solver koji se nalazi u izborniku Alati. Formulacija takvih problema može biti sustav jednadžbi s nekoliko nepoznanica i skupom ograničenja rješenja. Stoga rješavanje problema mora započeti konstrukcijom odgovarajućeg modela. Pogledajmo ove naredbe na primjeru.
Zadatak 20. Pretpostavimo da smo odlučili proizvesti dvije vrste leća A i B. Leća tipa A sastoji se od 3 komponente leće, tipa B od 4. Tjedno se ne može izraditi više od 1800 leća. Za sastavljanje objektiva tipa A potrebno je 15 minuta, a za objektiv tipa B 30 minuta. Radni tjedan za 4 zaposlenika je 160 sati. Koliko leća A i B treba napraviti da biste dobili maksimalnu zaradu, ako leća tipa A košta 3500 rubalja, a tipa B - 4800 rubalja.
Riješenje. Za rješavanje ovog problema potrebno je sastaviti i popuniti tablicu prema Sl. 12:
· Preimenujte ćeliju B2 u x, broj leća za pogled A.
· Zakonski preimenujmo ćeliju B3 u y .
ciljna funkcija Dobit = 3500*x+4800*y upišite u ćeliju B5. · Troškovi branja jednaki su =3*x+4*y unesite u ćeliju B7.
· Troškovi vremena su =0,25*x+0,5*y unesite u ćeliju B8.
Ime |
|||
kompletan set |
|||
Troškovi tijekom vremena |
|||
sl.12. Popunjavanje tablice početnim podacima
· Odaberite ćeliju B5 i odaberite izbornik Podaci, zatim aktivirajte naredbu Traži rješenje. Ispunimo ćelije ovog prozora u skladu sa sl.13.
· Pritisnite<Выполнить >; ako je sve učinjeno ispravno, tada će rješenje biti kao što je navedeno u nastavku.
Numeričko razlikovanje
Odjeljak br. 5
Problem približnog izračuna derivacije može se pojaviti u slučajevima kada je analitički izraz za proučavanu funkciju nepoznat. Funkcija može biti navedena u tablici ili je poznat samo graf funkcije, dobiven npr. kao rezultat očitanja senzora procesnih parametara.
Ponekad, prilikom rješavanja određenih problema na računalu, zbog glomaznosti izračuna, može biti zgodnije izračunati derivacije numeričkom metodom nego analitičkom. U tom slučaju, naravno, potrebno je opravdati primijenjenu numeričku metodu, odnosno osigurati da je pogreška numeričke metode u prihvatljivim granicama.
Jedna od učinkovitih metoda za rješavanje diferencijalnih jednadžbi je metoda razlike, kada se umjesto željene funkcije razmatra tablica njezinih vrijednosti u određenim točkama, dok se derivacije približno zamjenjuju formulama razlike.
Neka je poznat graf funkcije y = f(x) na intervalu [ A,b].Možete izgraditi graf derivacije funkcije, pamteći njezino geometrijsko značenje. Iskoristimo činjenicu da je derivacija funkcije u točki x jednaka tangensu kuta nagiba na x-os tangente na njezin grafikon u ovoj točki.
Ako x = x 0, pronađi na 0 = f(x 0) pomoću grafa i zatim nacrtati tangentu AB na graf funkcije u točki ( x 0 , g 0) (Slika 5.1). Nacrtaj pravac paralelan s tangentom AB, kroz točku (-1, 0) i pronađite točku na 1 njegovo sjecište s osi y. Zatim vrijednost na 1 jednak je tangensu nagiba tangente na x-os, tj. izvodu funkcije f(x) u točki x 0:
na 1 = = tg α = f ¢ ( x 0), i točka M 0 (x 0 , na 1) pripada grafu derivacije.
Za izgradnju grafa derivacije potrebno je razdvojiti segment [ A,b] na nekoliko dijelova s točkama x i, zatim grafički konstruirajte vrijednost derivacije za svaku točku i pomoću uzoraka spojite dobivene točke glatkom krivuljom.
Na sl. 5.2 prikazuje konstrukciju pet točaka M 1, M 2 ,... , M 5 i graf derivacije.
Algoritam za konstruiranje grafa derivacije:
1. Gradimo tangentu na graf funkcije na= f(x)u točki ( x 1 ,f(x 1)); iz točke (-1, 0) paralelno s tangentom u točki ( x 1 ,f(x 1)) nacrtati ravnu liniju do sjecišta s y-osi; ova točka presjeka daje vrijednost derivacije f ¢ ( x 1).Izgradnja točke M 1 (x 1 , f ¢ ( x 1)).
2. Na sličan način konstruiramo preostale točke M 2 ,M 3 , M 4 i M 5 .
3. Spojite točkice M 1 ,M 2 ,M 3 ,M 4 ,M 5 glatka krivulja.
|
Dobivena krivulja je graf derivacije.
Točnost grafičke metode za određivanje derivacije je niska. Dajemo opis ove metode samo u obrazovne svrhe.
Komentar. Ako u algoritmu za konstruiranje grafa derivacije umjesto točke (-1, 0) uzmemo točku ( -l,0), gdje l> 0, tada će se grafikon iscrtati u drugom mjerilu duž y-osi.
5 . 2 .Formule razlike
A) Formule razlike za obične derivacije
Formule razlike za približan izračun derivacije sugerirane su već samom definicijom derivacije. Neka su vrijednosti funkcije u točkama x i označen sa y i:
y i= f(x i),x i = a+ ih,ja = 0, 1, ... , n; h=
Razmatramo slučaj jednolike raspodjele točaka na segmentu [ a, b]. Za približan izračun derivacija u točkama x i možete koristiti sljedeće formule razlike , ili diferencijske derivacije .
Budući da je granica relacije (5.1) na h® 0 jednaka je desnoj derivaciji u točki x i, onda se ovaj odnos ponekad naziva derivacija desne razlike u točki x i.Iz sličnog razloga naziva se relacija (5.2). lijeva razlika izvod u točki x i.Relacija (5.3) naziva se derivacija središnje razlike u točki x i.
Procijenimo pogrešku formula razlike (5.1)–(5.3) pod pretpostavkom da je funkcija f(x) širi se u Taylorov niz u blizini točke x i:
f(x)= f(x i)+ . (5.4)
Postavljanje u (5.4) x= x i+ h ili x = x i- h, dobivamo
Izravnom zamjenom proširenja (5.5) i (5.6) u formulu (5.10) možemo dobiti ovisnost između druge derivacije funkcije i formula razlike za derivaciju drugog reda .
Primjer 3: Autofilterom odabrati studente koji studiraju u grupi br. 5433 s prezimenom koje počinje na slovo C.
Sekvenciranje
1. Kopirajte bazu podataka (Sl. 30) na list 3.
2. Prezime.
3. Odaberite stavku s popisaFiltri teksta → Prilagođeni filtar. U prozoru koji se pojavi Prilagođeni automatski filtar odaberite kriterij odabira počinje s , u polje nasuprot unesite željeno slovo (provjerite je li izgled na ruskom). Pritisnite OK.
4. Otvorite padajući popis u stupcu broj grupe.
5. Odaberite željeni broj.
Filtriranje zapisa u bazi s naprednim filtrom
Napredni filter omogućuje vam pretraživanje redaka pomoću složenijih kriterija od prilagođenih automatskih filtara. Napredni filtar koristi interval kriterija za filtriranje podataka.
Kada koristite napredni filtar, nazivi stupaca u kojima su navedeni uvjeti kopiraju se ispod izvorne tablice. Ispod naziva stupaca upisuju se kriteriji odabira. Nakon primjene filtra, na ekranu se mogu prikazati samo oni redovi koji zadovoljavaju navedene kriterije, a filtrirani podaci mogu se kopirati na drugi list ili u drugo područje na istom radnom listu.
Primjer 4: Odaberite sve studente iz grupe #5433 čiji je GPA veći ili jednak 4,5.
Sekvenciranje
1. Kopirajte bazu podataka (Sl. 30) na list 4.
2. Kopirajte nazive stupaca Broj grupe i prosječna ocjena
na područje ispod izvorne tablice. Pod nazivima stupaca unesite potrebne kriterije odabira (Sl. 32)
Riža. 32. Excel prozor s naprednim filterom
2. Na kartici Podaci na alatnoj traci Sortiraj
i filtrom odaberite Napredno. Pojavit će se dijaloški okvir (Slika 33) u kojem su navedeni rasponi podataka.
Riža. 33. Prozor naprednog filtra
U polje za unos izvorni raspon specificira interval koji sadrži izvornu bazu podataka. U našem slučaju odabran je raspon ćelija od A1 do I9.
U polje za unos Raspon uvjeta odabire se interval ćelija na radnom listu koji sadrži tražene kriterije (C12:D13).
U polje za unos unesite rezultat u raspon označava interval u kojem se kopiraju linije koje zadovoljavaju kriterije
teorije. U našem slučaju, ćelija je naznačena ispod područja kriterija, na primjer A16. Ovo polje je dostupno samo kada je odabran radio gumb. Kopirajte rezultat na drugo mjesto.
Potvrdni okvir Samo jedinstveni zapisi dizajniran je za prikaz samo redova koji se ne ponavljaju.
Rezultirajuća tablica koja zadovoljava kriterije filtriranja prikazana je na sl. 34.
Riža. 34. Excel prozor s rezultatima filtriranja
1. Napravite vlastitu bazu podataka, broj zapisa u kojoj mora biti najmanje 15, a broj stupaca mora biti najmanje 6. Npr. Popis klijenata (slika 35).
2. Primijenite tri autofiltera na bazu podataka (na zasebnim listovima). Broj kriterija mora biti najmanje dva.
3. Primijenite tri napredna filtra na zapise baze podataka, od kojih svaki sadrži najmanje dva kriterija. Postavite sve napredne filtere na jedan list ispod originalne tablice.
Riža. 35. Excel prozor s bazom podataka Popis kupaca
LABORATORIJ #5
Numeričko diferenciranje i jednostavna analiza funkcija
Svrha rada: Istražiti funkciju do ekstrema, naučiti odrediti kritičnu točku.
Iz tečaja matematike poznato je da formula derivata općenito izgleda ovako:
f "(x)= lim |
||
∆x0 |
||
gdje je Δx prirast argumenta; x je broj koji teži nuli. Uz pomoć derivacije možete odrediti kritične točke funkcije - minimume, maksimume ili infleksije. Ako je vrijednost derivacije funkcije pri bilo kojoj vrijednosti x jednaka nuli, tada pri toj vrijednosti x funkcija ima kritičnu točku.
Primjer 1 : Funkcija f x = x 2 + 2x 3 definirana je na intervalu x 5;5 . Istražite ponašanje funkcije f(x) .
Sekvenciranje
1. Neka je Δx = 0,00001. U ćeliju A1 upišite: šDx=Ÿ (slika 36). Odaberite slovo D, kliknite desnom tipkom miša na odabrano slovo, odaberite Format Cells. Na kartici Font odaberite font Simbol. Slovo D postat će grčko slovo ẑŭ. Poravnanje u ćeliji može se izvršiti udesno. U ćeliju B1 unesite vrijednost 0,00001.
2. U ćelijama od A2 do F2 rasporedite zaglavlje za tablicu, kao što je prikazano na sl. 36.
3. Stupac A, počevši od trećeg reda, sadržavat će x vrijednosti. U ćelije A3 do A13 unesite vrijednosti od -5 do 5.
4. U ćeliju B3 upišite formulu =A3^2+2*A3-3 i proširite je do konačne vrijednosti x (do 13. retka).
5. Da bi se odredila derivacija funkcije i izračunale njezine vrijednosti u zadanom intervalu, potrebno je napraviti međuprodukt
točne kalkulacije. U ćeliju C3 unesite formulu za zbroj argumenta x i njegovog povećanja Δx. Formula je: =A3+$B$1 . Rastegni njegovu vrijednost na konačnu vrijednost argumenta x.
Riža. 36. Excel prozor s proučavanjem ponašanja funkcije
6. U ćeliju D3 napišite formulu =C3^2+2*C3-3 , koja izračunava vrijednost funkcije f iz argumenta x Δx . Rastegni dobivenu vrijednost do krajnje vrijednosti argumenta.
7. U ćeliju E3 upišite formulu derivacije (1), s obzirom da su vrijednosti f x u B3, a vrijednosti f x + Δx u D3.
Formula će izgledati ovako: =(D3-B3)/$B$1.
8. Odredite ponašanje funkcije na zadanom intervalu (raste, opada ili postoji kritična točka). Da biste to učinili, trebate napisati formulu u ćeliju F3 kako biste odredili ponašanje funkcije. Formula sadrži tri uvjeta:
f" (x)< 0 |
- funkcija se smanjuje; |
||
f" (x) > 0 |
- povećava se funkcija; |
||
f"(x)=0 |
– postoji kritična točka* . |
9. Izradite grafikone za vrijednosti f x i f "(x). Grafikon (slika 37) pokazuje da ako je vrijednost derivacije funkcije nula, tada funkcija ima kritičnu točku na ovom mjestu.
* Zbog prevelike pogreške u izračunu, vrijednost f "(x) možda neće biti jednaka 0. Ali ipak je potrebno opisati ovu situaciju.
Riža. 37. Dijagram proučavanja ponašanja funkcije
Zadaci za samostalan rad
Funkcija f(x) definirana je na intervalu x . Istražite ponašanje funkcije f(x) . Izgradite grafikone.
2x2 |
X [ 4 ; 4 ] |
||||||||
X [ 5 ;5 ] |
|||||||||
2x+2 |
|||||||||
f(x)=x3 |
3x2 |
2 , x [ 2 ; 4 ] |
|||||||
f(x)= x |
X [ 2 ;3 ] |
||||||||
x 2 + 7 |
|||||||||
LABORATORIJ #6
Konstrukcija tangente na graf funkcije
Svrha rada: Ovladati izračunom vrijednosti jednadžbe tangente na graf funkcije u točki x 0.
Jednadžba tangente na graf funkcije y = f(x) u točki
Primjer 1: Funkcija y = x 2 + 2x 3 definirana je na intervalu x [ 5; 5 ] . Konstruirajte tangentu na graf te funkcije u točki x 0 = 1.
Redoslijed:
1. Ovu funkciju numerički diferencirati (vidi Laboratorijski rad br. 5). Tablica početnih podataka prikazana je na sl. 38.
Riža. 38. Tablica početnih podataka
2. Odredite mjesto u tablici x , x 0 , f (x 0 ) i f "(x 0 ) . Očito, x će biti vrijednosti iz
stupac A, počevši od trećeg reda (slika 38). Ako je x 0 = 1, tada će ćelija A9 djelovati kao x 0 . Sukladno tome, vrijednost funkcije f u točki x 0 nalazi se u ćeliji B9, a vrijednost f" (x 0 )
- u ćeliji E9.
3. U stupcu F izračunava se jednadžba tangente na graf funkcije f(x). Pri izračunavanju jednadžbe (1) potrebno je da se vrijednosti x 0, f (x 0) i f "(x 0) ne mijenjaju. Stoga, u pisanom obliku
Za adresiranje ćelija A9, B9 i E9, morate koristiti apsolutne reference na te ćelije. Ćelije su fiksirane pomoću znaka š$Ÿ. Ćelije će izgledati ovako: $A$9 , $B$9 i $E$9 .
Riža. 39. Graf funkcije f(x) i tangente na graf u točki x=1
Zadaci za samostalan rad
Funkcija f(x) definirana je na intervalu x . Izračunajte jednadžbu tangente. Konstruirajte tangentu na graf funkcije u zadanoj točki.
2x2 |
X [4;4], x0 = 1 |
|||||||||
X [ 5 ; 5 ] , x0 |
||||||||||
2x+2 |
||||||||||
f(x)=x3 |
3x2 |
2 , x [ 2 ;4 ] , x0 = 0 |
||||||||
f(x)= x |
X [2;3], x0 |
|||||||||
x 2 + 7 |
||||||||||
1. Vedeneeva, E. A. Funkcije i formule programa Excel 2007. Korisnička knjižnica / E. A. Vedeneeva. - St. Petersburg: Peter, 2008. - 384 str.
2. Sviridova, M. Yu. Proračunske tablice Excel / M. Yu. Sviridova. - M.: Academia, 2008. - 144 str.
3. Serogodsky, V. V. Grafikoni, izračuni i analiza podataka
V Excel 2007 / V. V. Serogodsky, R. G. Prokdi, D. A. Kozlov, A. Yu. Družinin. - M.: Znanost i tehnologija, 2009. - 336 str.
Grafičko razlikovanje počinje iscrtavanjem grafa funkcije za zadane vrijednosti. U eksperimentalnoj studiji takav se grafikon dobiva pomoću uređaja za samosnimanje. Zatim se povlače tangente na krivulju u fiksnim položajima, a vrijednosti derivacije se izračunavaju u odnosu na tangens kuta koji tvori tangenta na os apscise.
Na sl. 5.8, A prikazana je krivulja dobivena eksperimentalno na instalaciji (slika 5.6). Određivanje kutnog ubrzanja (željene funkcije) provodi se grafičkim diferenciranjem prema omjeru:
(5.19)
Tangenta nagiba tangente na krivulju u nekoj točki ja predstavljeni su kao omjer segmenata , gdje DO- odabrani segment integracije (Sl. 5.8, b)
Nakon što ovu relaciju zamijenimo relacijom (5.19), dobivamo
gdje je ordinata tvrdnje grafa kutne akceleracije;
Mjerilo željenog grafikona; SI jedinice: = mm; \u003d mm / (rad s -2).
Grafikon funkcije izgrađen je prema pronađenim vrijednostima ordinata za više pozicija. Točke na krivulji ručno su povezane glatkom linijom, a zatim zaokružene uzorkom.
Grafičko diferenciranje razmatranom metodom tangenti ima relativno nisku točnost. Veća točnost postiže se grafičkim diferenciranjem metodom akorda (Sl. 5.8, V I G).
 |
Na danoj krivulji označen je niz točaka 1 ", 2 ", 3" , koji su povezani akordima, t j . zadanu krivulju zamijenite izlomljenom linijom. Učinjena je sljedeća pretpostavka: kut nagiba tangenti u točkama koje se nalaze u sredini svakog dijela krivulje jednak je kutu nagiba odgovarajuće tetive. Ova pretpostavka donosi neke pogreške, ali se odnosi samo na ovu točku. Te se pogreške ne zbrajaju, što osigurava prihvatljivu točnost metode.
Preostale konstrukcije slične su onima prethodno opisanim za grafičko diferenciranje metodom tangente. Odaberite segment (mm); provodi zrake nagnute pod kutovima 
do sjecišta s y-osi u točkama 1
", 2
", 3
" ... , koje se prenose na ordinate ucrtane u sredini svakog od intervala. Dobivene točke 1
*, 2
*, 3
* su točke tražene funkcije 
.
Mjerila duž koordinatnih osi kod ove metode konstrukcije povezana su istom relacijom (5.21), koja je izvedena za slučaj grafičkog diferenciranja metodom tangente.
Diferencijacija funkcija f(x), zadan (ili izračunat) kao niz brojeva, izvodi se metodom numeričke diferencijacije pomoću računala.
Što je manji korak u nizu brojeva, točnije možete izračunati vrijednost derivacije funkcije u ovom intervalu
